Правило деления производной: Правила дифференцирования — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Конспект урока “Производная. Правила и формулы дифференцирования”

Тема: Производная. Правила и формулы дифференцирования.

Вспомним определение производной функции.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения прир5ащения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Пример

Найти производную функции 

Решение: 

Это простейший пример, его можно найти в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции.

Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают  или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где  – постоянное число;

производную степенной функции:
,  в частности: , , .

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где  – постоянное число (константа)

Пример

Найти производную функции 

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Решаем:

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно преобразовать – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

Готово.

 

2) Производная суммы равна сумме производных

 

 

Пример

Найти производную функции 

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде .

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида  желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель.

 

 

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

 

Пример

 

Пример

 

 

 

 4) Производная частного функций

 

Пример

Найти производную функции 

Теперь смотрим на выражение в скобках. В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Применяем первое и второе правило:

Штрихов больше нет, раскрываем скобки и упрощаем выражение.


 

 

Пример

 

 

Задания для самостоятельной работы:

Найти производные функций:

 

1)

2)

3)


 

Использование производных спектров – Справочник химика 21

    Степень ухудшения отношения сигнал шум при дифференцировании зависит от формы полосы, шага и метода дифференцирования. При отсутствии сглаживания на каждой ступени дифференцирования отношение сигнал шум падает в среднем в 3—5 раз. Поэтому, например, в четвертых производных оно может составлять 0,001—0,006 от отношения сигнал шум в исходном спектре. Очевидно, что без специальных мер по повышению отношения сигнал шум использование производных спектров невозможно. Такими мерами является усреднение большого числа отсчетов в исходном спектре или его сглаживание (см. раздел 8.5). 
[c.24]

    Использование производных спектров [c.25]

    Сравнением этого уравнения с (13.29) можно установить в уравнении для вычисления сопряженной плотности замедления, что, кроме изменения знака при производной, спектр деления и сечение деления поменялись местами. Нахождение сопряженной плотности замедления походит на обратное вычисление плотности замедления вычисление сопряженной функции начинается с тепловых энергий, где она имеет наибольшее значение, причем сечение деления играет роль источника. Сопряженные нейтроны как бы следуют затем вверх по энергии (из-за отрицательной производной) с потерями, обусловленными поглощением точно так же, как и в случае плотности замедления.

При больших энергиях величина произведения спектра деления на сопряженную функцию определяет число сопряженных нейтронов , начинающих свой путь снова из тепловой области. Это свойство летаргии сопряженных функций дало повод к использованию выражения прямой счет в случае вычисления плотности замедления или потока с помощью уравнения замедления (13.29) в противоположность обратному счету для сопряженной функции согласно уравнению (13.37). [c.572]

    Следует отметить, что по сравнению с другими методами, излагаемыми в данном разделе, метод обращения кривизны требует соблюдения линейного поглощения примеси в меньшем интервале длин волн — только в непосредственной близости от Я акс основного вещества. К недостатку метода следует отнести субъективность визуальной оценки момента изменения кривизны дифференциального спектра. Как показано в работе [152, с. 24], погрешность метода для веществ с полосами поглощения малой полуширины составляет около 5%, а для веществ с пологими максимумами поглощения возрастает до 10—15%.

Увеличение точности метода возможно при использовании производной спектрофотометрии. 
[c.105]

    Другой метод с использованием производных основан на реакции трихлоруксусного эфира изоциановой кислоты со спиртами с последующей регистрацией спектра резонанса на протонах, находящихся в а-положении по отношению к атому кислорода [81 Уравнение соответствующей реакции имеет вид [c.67]


    Использование производных от спектров поглощения по длине волны было впервые описано в работах Френча с сотрудниками [119, 120]. Этот метод получил название производной спектрофотометрии и в настоящее время довольно широко используется в различных отраслях химии [121—124].  [c.27]

    Строго говоря, использование координат О—Я (вместо В—V) искажает симметрию исходных спектров поглощения, а следовательно, и производных спектров. Однако в сравнительно узких спектральных интервалах длина волны практически линейно связана с частотой, и вид производных по частоте и по длине волны одинаков.

[c.28]

    Таким образом, использование дифференцированных спектров (особенно второй производной) позволяет  [c.200]

    ХИМИИ и аналитической химии им. В. И. Вернадского АН СССР проведен ряд работ по исследованию люминесцентных свойств (в ус.ловиях эффекта Шпольского) простых ароматических соединений (бензол, его гомологи и производные) с целью получения и использования квазилинейчатых спектров люминесценции в аналитической практике, в частности при анализе природных и сточных вод. 

[c.193]

    Использование четных производных объясняется тем, что их экстремумы совпадают с экстремумами основной функции. На рис. 6.1 показаны пики второй производной спектра слабо поглощающего компонента и компонентов, дающих сильно перекрывающиеся полосы. Из этих рисунков следует, что полосы вторых про- [c.225]

    В табл. 3 даны выражения энергетических спектров и автокорреляционных функций для случаев вертикальной производной порядка п от гравитационных и магнитных аномалий и Z для наиболее применяемых на практике простейших тел, рассмотренных в 7 главы 1. Все выражения определены из формул (3.1), (3.2), (3.3) и (3.10), (3.12), (3.20) с использованием значений спектров 5(со) или Siu, v), полученных в главе 1 и приведенных в табл. 1 (условные обозначения те же, что и в 7). [c.95]

    Для BAO аминного типа, а иногда и фенольного, снимают электронные спектры в области 250—350 нм, где поглощают ароматические кольца использованных для модификации низко-молекулярных антиоксидантов, которыми обычно являются производные вторичных ароматических аминов или пространственно-затрудненных фенолов. Если исходный полимер не поглощает в указанной области длин волн, то модифицированный полимер (ВАО) будет иметь максимумы поглощения за счет присоединенных низкомолекулярных антиоксидантов, причем положение максимумов поглощения практически не меняется. Это позволяет использовать спектрофотометрический метод [c.32]

    Использование производных от спектров поглощения по длине волны было впервые описано Френчем и др. [249]. В дальнейшем производная спектроскопии проявила себя как эффективный метод тонкого разрешения слабо выраженных УФ- и видимых спектров [250-252]. Она предусматривает вычисление первой, второй или высших порядков прозводных интенсивности поглощения по длине [c.180]

    Хотя в последнее время на спектрофотометрах можно получать производные спектры до 4-й производной втслючительно (вьтше просто не требуется), но все же более точным является численное дифференцирование спектров методом цифровой фильтрации — с использованием ортогональных полиномов [25]. [c.508]

    В последние годы в практике аналитической химии 1пирокое применение приобрела производственная спектрофотометрия. Обусловлено это следующими обстоятельствами. Во-первых, развитием техники современные спектрофотометры с совмещенными с ними микрокомпьютерами, обеспеченными специальными программами, позволяют сразу записьшать первую, вторую и более высокого порядка производные спектров поглощения. Во-вторых, использование дифференцированньгх спектров (особенно второй производной) позволяет  [c.319]

    Морган и Гольдштейн [2949] исследовали микроволновые спектры молекул Ha HF, Hj HF и h3 HF, соответствующие чисто вращательным переходам / = 0- 1 и J I 2 в основном колебательном состоянии По этим данным в работе [2949] определены значения вращательных постоянных Вд и Со указанных молекул с погрешностью, не превосходящей 0,0005%. Предполагая, что молекула 2h4F плоская и что Н—С—Н = = С—С—Н=120°, авторы работы [2949] вычислили моменты инерции для 1134 вариантов возможных значений остальных структурных параметров. Сравнение расчетных значений моментов инерции молекул Hj HF, Ha HF и HaO HF с экспериментальными, а также применение расчетов по методу наименьших квадратов с использованием производных моментов инерции по структурным параметрам позволило авторам работы [2949] определить следующие значения этих величин гс=с = 1,337 +0,002, гс-р = 1,344 + 0,002, Гс-н (группа HF) = 1,080 + 0,005, гс н (группа Hj) = 1,075 + 0,005 A, С—С—F = = 121,0 + 0,2 С—С—Н = 120° (принято) —в согласии со значениями, найденными Баком и др. [626] [c.574]

    Становится очевидным, насколько полезно, помимо очистки исходного материала, использовать при масс-снектрометрическом исследовании не одно, а два производных изучаемого соединения, поскольку часто при этом возникает возможность взглянуть на оба конца молекулы. Это значительно труднее осуществить при использовании только спектра эфира вследствие тенденции карбметоксильных осколков сохранять положительный заряд при диссоциации. [c.343]


    Примерами использования ИК-спектров производных пиридина в аналитических целях являются определение алкилпиридинов [112], идентификация пиридиновых оснований, выделяемых из каменноугольной смолы [239] и определение воды в алкилпириди-нах [211]. [c.576]

    При определении содержания гидроксильных групп методом ЯМР существенное увеличение чувствительности достигается при использовании производных. Наиболее простой путь — ацетилирование уксусным ангидридом. Вместо сигнала ОН в спектре появляется интенсивный синглет ОСОСН3. Еще больше растет чувствительность при замене ОН-групп на триметилсилильные 051(СНз)з-При трифторацетилировании или реакции с гексафтор ацетоном ОН-группы заменяются на СРз, которые можно определить по спектру ЯМР [c.112]

    Неэквивалентность химических сдвигов в Р-ЯМР-спектрах наблюдалась для диастереомерных производных МТФК [15, 16], Сигнал в Р-ЯМР-спектре имеет ряд преимуществ перед сигналами протонов в ПМР-спектрах а) сигнал имеет простую форму, высокую интенсивность и не перекрывается с другими сигналами, б) различия химических сдвигов для а-СРд-группы таких диастереомерных производных обычно жачительно больше (0,11 – 0,71 м. д.), чем различия химических сдвигов протонов (0,03-0,13 м. д.), для одних и тех же соединений. Поэтому определение энантиомерной чисготы на основании К-ЯМР-сигналов во многих случаях более надежно, чем при использовании ПМР-спектров. Детальные исследования различных субстратов указывают, что 5р-сигнал для произ- [c. 171]

    Купер в качестве фотосенсибилизаторов ПП применил антра-хиновые красители [29, 33]. Систематическое исследование ПП под действием лучей видимой части спектра при использовании производных антрахинона (ЛQ) проведено Геацинтовым и др. [43, 44]. [c.38]

    Максиму1лы в спектрах поглощения использования производных азулена [c.469]

    При использовании масс-спектрометра с высокой разрешающей силой исследовались спектры ряда бортриалкилов с общей формулой ВНз, где К — метил, этил, пропил и изопропил [219]. Были идентифицированы осколочные ионы, содержащие и не содержащие бор изучались также масс-спектры дейтерированных бортриалкилов. Все это позволило установить механизм распада исследуемых молекул под действием электронного удара. На основании полученных данных были установлены закономерности, позволившие проводить идентификацию неизвестных бортриалкилов без предварительного изучения эталонов. Аналогичные исследования проводились с циклогексанонамн, меченными дейтерием и О [220] и изопропилиденовыми производными глюкозы, галактозы и других углеводов, меченных С и О [221].[c.126]

    Особенности структуры и свойств бакибола открывают некоторые уникальные возможности использования спектроскопии ЯМР для структурного исследования его замещенных производных. Рутинное применение спектроскопии 2 -ЯMP для этих целей часто оказьшается затруднительным из-за появления множества сигналов малой интенсивности. Недавно было предложено красивое и остроумное решение задачи, основанное на способности фуллеренов давать (в момент их образования в газовой фазе) эндоэдральные комплексы с благородными газами [15j]. Гелиевые комплексы дают в спектре Ше-ЯМР узкий синглет со значительным химическим сдвигом относительно растворенного свободного Не (—6,3 м.д. для См, -28 м.д. для С70) благодаря влиянию фуллереновой оболочки. Положение этих сигналов весь- [c.403]

    Л. а. орг. соел затруднен, т. к. их спектры люминесценции, как правило, неспецифичны. Однако предложены методы количеств определения порфиринов, витаминов, антибиотиков, хлорофилла и др. 2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

Правила мощности, произведения и частного

Последнее обновление: 9 июля 2021 г.

Оптимизация, как один из основных процессов во многих алгоритмах машинного обучения, основана на использовании производных, чтобы решить, каким образом обновить значения параметров модели, чтобы максимизировать или минимизировать целевую функцию.

В этом руководстве мы продолжим изучение различных методов, с помощью которых мы можем находить производные функций. В частности, мы будем изучать правила степени, произведения и отношения, которые мы можем использовать для получения производных функций быстрее, чем если бы нам пришлось находить каждую производную из первых принципов. Следовательно, для функций, которые особенно сложны, хранение таких правил под рукой для нахождения их производных будет становиться все более важным.

В этом уроке вы познакомитесь с правилами степени, произведения и частного для нахождения производной функции.

После прохождения этого урока вы будете знать:

  • Степенное правило, которому следует следовать при нахождении производной переменного основания, возведенной в фиксированную степень.
  • Как правило произведения позволяет нам найти производную функции, которая определяется как произведение двух других (или более) функций.
  • Как правило частных позволяет нам найти производную функции, являющейся отношением двух дифференцируемых функций.

Начнем.

Правила мощности, произведения и частного
Фотография Андреаса М., некоторые права защищены.

Обзор учебника

Это руководство разделено на три части; они:

  • Правило силы
  • Правило продукта
  • Частное правило

Правило силы

Если у нас есть переменное основание, возведенное в фиксированную степень, правило, которому нужно следовать, чтобы найти его производную, состоит в том, чтобы уменьшить степень перед переменным основанием, а затем вычесть степень на 1.

Например, если у нас есть функция f ( x ) = x 2 , производную которой мы хотим найти, мы сначала приносим 2 перед x и затем уменьшите мощность на 1:

ф ( х ) = х 2

f ’( х ) = 2 х

Чтобы лучше понять, откуда взялось это правило, давайте пойдем более длинным путем и найдем производную от f ( x ), начав с определения производной:

Здесь мы подставляем вместо f ( x ) = x 2 и затем приступаем к упрощению выражения:

Когда ч приближается к значению 0, этот предел приближается к 2 x , что согласуется с результатом, который мы получили ранее, используя правило степени.

Если применить к f ( x ) = x , правило мощности дает нам значение 1. Это потому, что когда мы подносим значение 1 перед x , а затем вычитаем мощность на 1 у нас остается значение 0 в показателе степени. Так как х 0 = 1, то f ’ ( х ) = (1) ( х 0 ) = 1.

Лучший способ понять эту производную — понять, что f(x) = x — это линия, соответствующая форме y = mx + b, поскольку f(x) = x совпадает с f(x) = 1x + 0 (или у = 1х + 0).Наклон (m) этой линии равен 1, поэтому производная равна 1. Или вы можете просто запомнить, что производная x равна 1. Но если вы забудете обе эти идеи, вы всегда можете использовать правило степени.

Страница 131, Исчисление для чайников, 2016.

Правило степени можно применять к любой степени, будь то положительная, отрицательная или дробная. Мы также можем применить его к радикальным функциям, сначала представив их показатель степени (или степень) в виде дроби:

f ( x ) = √ x = x 1/2

f’ ( x ) = (1 / 2) x -1/2

Правило продукта

Предположим, что теперь у нас есть функция f ( x ), для которой мы хотели бы найти производную, являющуюся произведением двух других функций, u ( x ) = 2 x 2 и v ( х ) = х 3 :

F ( x ) = u ( x ) v ( x ) = (2 x 2 ) ( x 3 )

Чтобы узнать, как найти производную f ( x ), давайте сначала начнем с нахождения производной произведения u ( x ) и v ( x ). напрямую:

( U ( x ) V ( x )) ‘= (((2 x 2 ) ( x 3 ))’ = (2 x 5 )’ = 10 х 4

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если в противном случае нам придется сначала вычислять производные функций по отдельности, а затем перемножать их:

U ‘ ( x ) V’ ( x ) = (2 x 2 ) ‘( x 3 )’ = (4 x ) (3 x 2 ) = 12 х 3

Ясно, что второй результат не совпадает с первым, и это потому, что мы не применяли правило произведения .

Правило произведения говорит нам, что производная произведения двух функций может быть найдена как:

F ‘ ( x ) = u’ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ‘ ( x )

Мы можем прийти к правилу произведения, если проделаем весь путь, применяя свойства пределов, снова начав с определения производной:

Мы знаем, что F ( x ) = U ( x ) V ( x ) и, следовательно, мы можем заменить F ( x ) и F ( х + ч ):

На данном этапе наша цель состоит в том, чтобы разложить числитель на несколько пределов, которые затем можно оценивать по отдельности. Для этого вводится вычитание слагаемых u ( x ) v ( x + h ) – u ( x ) v ( x 7 h 9 9 ). в числитель. Его введение не меняет определения f ’ ( x ), которое мы только что получили, но поможет нам разложить числитель на множители:

Полученное выражение кажется сложным, однако, если мы присмотримся повнимательнее, то поймем, что у нас есть общие термины, которые можно вынести за скобки:

Выражение можно еще больше упростить, применив предельные законы, которые позволяют разделить суммы и произведения на отдельные пределы:

Теперь решение нашей проблемы стало яснее.Мы можем видеть, что первый и последний члены в упрощенном выражении соответствуют определению производной u ( x ) и v ( x ), которые мы можем обозначить как u ( x )’ и v ( x )’ соответственно. Второй член приближается к непрерывной и дифференцируемой функции, v ( x ), поскольку h приближается к 0, тогда как третий член равен u ( x ).

Следовательно, мы снова приходим к правилу произведения:

F ‘ ( x ) = u’ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ‘ ( x )

с этим новым инструментом в руке, давайте пересмотреть нахождение F ‘( x ) Когда u ( x ) = 2 x 2 и V ( x ) = x 3 :

F ‘ ( x ) = u’ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ‘ ( x )

F ‘ ( x ) = (4 x ) ( x 3 ) + (2 x 2 ) (3 x 2 ) = 4 x 4 + 6 х 4 = 10 х 4

Полученная производная теперь правильно соответствует производной произведения ( u ( x ) v ( x ))’, которое мы получили ранее.

Это был довольно простой пример, который мы могли бы вычислить напрямую. Однако у нас могут быть более сложные задачи, связанные с функциями, которые нельзя умножать напрямую, и к которым мы можем легко применить правило произведения. Например:

f ( х ) = х 2 sin х

F ‘ ( x ) = ( x 2 )’ (SIN x ) + ( x 2 ) (SIN x ) ‘ = 2 x x + x 2 cos x

Мы можем даже распространить правило произведения на более чем две функции.Например, скажем, f ( x ) теперь определяется как произведение трех функций: u ( x ), v ( x ) и w (3 x 9):

f ( x ) = u ( x ) v ( x ) w ( x ) 3

Мы можем применить правило произведения следующим образом:

f ‘( x ) = u ‘ ( x ) V ( x ) W ( x ) + u ( x ) v ‘( x ) w ( x ) + u ( x ) v ( x ) w 0 ‘( 0 3)

Частное правило

Точно так же правило частных говорит нам, как найти производную функции, f ( x ), то есть отношение двух дифференцируемых функций, x ( x ) и v ( x ):

Мы можем вывести правило частных из первых принципов, как мы сделали для правила произведения, то есть, начав с определения производной и применяя свойства пределов. Или мы можем пойти по более короткому пути и вывести правило частного, используя само правило произведения. На этот раз пойдем по этому маршруту:

.

Мы можем применить правило произведения к u ( x ), чтобы получить:

U ‘( x ) = F ‘ ( x ) V ( x ) + F ( x ) V ‘( x )

Обратное решение для f ’( x ) дает нам:

Один последний шаг заменяет f ( x ), чтобы получить правило отношения:

Мы видели, как найти производную функций синуса и косинуса.Используя правило частных, теперь мы можем найти и производную функции тангенса:

f ( x ) = tan x = sin x / cos x

Применение правила отношения и упрощение полученного выражения:

Из тождества Пифагора в тригонометрии мы знаем, что cos 2 x + sin 2 x = 1, следовательно:

Таким образом, используя правило отношения, мы легко нашли, что производная тангенса есть функция квадрата секущей.

Дополнительная литература

В этом разделе содержится больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

Книги

Артикул

Сводка

В этом руководстве вы узнали, как применять правила степени, произведения и частного для нахождения производной функции.

В частности, вы узнали:

  • Степенное правило, которому следует следовать при нахождении производной переменного основания, возведенной в фиксированную степень.
  • Как правило произведения позволяет нам найти производную функции, которая определяется как произведение двух других (или более) функций.
  • Как правило частных позволяет нам найти производную функции, являющейся отношением двух дифференцируемых функций.

Есть вопросы?
Задавайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

Мэтуэй | Популярные проблемы

1 Найдите производную – d/dx натуральное бревно х
2 Вычисление интеграла интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найдите производную – d/dx е^х
4 Вычисление интеграла интеграл от e^(2x) по x
5 Найдите производную – d/dx 1 шт. 2

Справка по математике – Расчет – Свойства производных

Справка по математике – Расчет – Свойства производных – Техническое обучение

Техническое обучение Главная Указатель сайта Расширенные книги Скорость Арифметический математический индекс Алгебраический индекс Calculus Index Trig Index Chemistry Index Сувенирный магазин Harry DVD, видео, книги, аудио компакт-диски и кассеты Поттер Лорд Кольца DVD, видео, книги, аудио компакт-диски и кассеты Винни-Пух DVD, видео, книги, аудио компакт-диски, аудиокассеты и игрушки DVD-диски STAR WARS и видеокассеты VHS

Свойства производных Линейность Пример линейного комбинированного правила с использованием линейного комбинированного правила Определение правила продукта Пример правила продукта с использованием правила продукта Определение частного правила примера частного правила с использованием определения частного правила Правило цепочки (функция версии функции) Определение правила цепочки (композиционная версия) Пример цепного правила Рекомендуемые книги В этой статье рассматриваются законы, которые позволяют нам создавать производные сложные функции из простых. Эти законы являются частью повседневных инструментов дифференциальное исчисление. Линейность Предположим, что f(x) и g(x) — дифференцируемые функции, а a и b являются действительными числами. Тогда функция

дифференцируема, а производная равна Линейный Комбинированное правило

Этот закон линейности применим ко многим, многим математических процессов настолько, что мы считаем важным подчеркнуть их природу. с альтернативной записью.

Представим дифференцирование по x, применив оператор D x к функции:

Последнее обозначение справа — старое, традиционное обозначение. для производной и включен для полноты. Используя эти обозначения, закон линейности становится

Линейность настолько распространена, что читателю надлежит тщательно переварить это понятие.

возврат наверх

Пример использования Правило линейной комбинации

Найдите производную числа

Раствор

Использование линейности,

Мы можем расширить понятие линейности, чтобы охватить любое количество константы и функции.

Пусть

Затем

Это правило можно применять для любого конечного числа терминов.

возврат наверх

Правило продукта

Это правило используется для нахождения производной произведения двух функции.

Пусть

Затем

Короче говоря,

   Определение Правила продукта

вернуться наверх

Пример использования правила продукта

Используйте правило произведения, чтобы найти производную от

Раствор

Здесь,

Так

Примечание. Хотя это можно упростить, большинство профессоров (и оценщики!) предпочитаю, чтобы вы оставили все как есть – таким образом, использование правила произведения чистый. Кроме того, проницательные читатели, вероятно, заметили, что мы могли бы упростить h(x) сначала алгебраически, а затем применил правило линейной комбинации. Хотя это может быть верно для этого примера, в следующих разделах мы рассмотрим функции, где единственное практическое значение способ сделать производную – использовать правило произведения. В некоторых случаях самый простой способ делать производную не лучшим образом.

возврат наверх

Частное правило

Правило частных дает производную одной функции, деленную на Другая.Пусть

И потребовать, чтобы g(x) не равнялось нулю. Затем

Короче говоря,

   Определение правила отношения

вернуться наверх

Пример использования правила отношения

Найдите производную функции

Раствор

Здесь,

Итак,

Как и прежде, алгебраическое упрощение не всегда является хорошей идеей.

возврат наверх

Цепное правило

Цепное правило используется в случае функции функции , также известная как составная функция или композиция функций . Там два общих обозначения с одинаковыми значениями:

Как и в случае линейных комбинаций, произведений и частных, композиции — еще один инструмент, который позволяет нам создавать более сложные функции из более простых.Композиции особенно полезны в случае, когда данная проблема имеет так называемые цепочек. зависимости , где величина, которую мы хотим изучить, является функцией второй величины которая, в свою очередь, зависит от третьей величины. Эти цепные зависимости возникают на практике. приложения так часто им дается специальное имя связанных ставок проблем .

Начнем с двух предположений: g должна быть непрерывной и дифференцируемой в точке x 0 и f должно быть непрерывным и дифференцируемым в g(x 0 ). Используя наклонную форму определение производной:

Теперь, если мы определим

Тогда по непрерывности g(x)

Другими словами,

Это позволяет нам сделать замену

Теперь у нас есть

Это правило цепи :

   Определение Цепного правила (функция варианта функции)

Использование обозначения композиции дает

   Определение Цепное правило (композиционная версия)

вернуться наверх

Пример цепного правила

Найдите производную числа

Раствор

Нам нужно определить внутреннюю (g(x)) и внешнюю (f(x)) функции:

Дифференцирование каждого дает

Теперь применим цепное правило

Понятно, что этот пример был бы очень сложным без цепное правило – любая попытка умножить полином заняла бы слишком много времени и с большой долей вероятности могут привести к математическим ошибкам.

вернуться в топ

Рекомендуемые книги

  Набросок Шаума исчисления (Schaum’s…

    Классическая книга задач по исчислению – очень легкая по теории, много задачи с полными решениями, больше задач с ответами
 
 

 

  Легко Шаума Схема: Исчисление

    Упрощенная и обновленная версия классической схемы Шаума.Нет такой же полной, как и предыдущая книга, но достаточной для большинства учащихся
 
 

1996–2002

Hyper-Ad Communications. Все права защищены.
 

вернуться в топ

Дифференциация – Частное Правило | andymath.com

Andymath.com предлагает бесплатные видео, заметки и практические задачи с ответами! Печатные страницы упрощают математику. 2}\)

\(\bullet\text{ Производные – цепное правило}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\displaystyle\frac{d}{dx}[f(g( х))]= f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
\(\bullet\text{ Производные – ln(x)}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\displaystyle\frac{d}{dx}[ln( х)]= \displaystyle \frac{1}{x}\)
\(\bullet\text{Неявное дифференцирование}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{Горизонтальная касательная}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{ Теорема о среднем значении}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{ Связанные курсы}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{Увеличение и уменьшение интервалов}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{ Интервалы вогнутости вверх и вниз}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{ Точки перегиба}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\)
\(\bullet\text{ График f(x), f'(x) и f”(x)}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\ )
\(\bullet\text{Метод Ньютона}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,x_{n+1}=x_n – \displaystyle \frac{f(x_n )}{f'(x_n)}\)
\(\bullet\text{Домашняя страница Andymath}\)

Производные тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие \(6\) функции: синус \(\left(\sin x\right),\) косинус \(\left(\cos x\right),\) тангенс \(\left (\tan x\right),\) котангенс \(\left(\cot x\right),\) секанс \(\left(\sec x\right)\) и косеканс \(\left(\csc x\ правильно). 2}\sin x\]

Пример 1.\prime } = – 2\cos \sin x \cdot \sin \sin x \cdot \cos x.\]

Последнее выражение можно упростить формулой двойного угла:

\[2\cos \sin x \cdot \sin \sin x = \sin \left( {2\sin x} \right).\]

Следовательно, производная равна

\[y’\left( x \right) = – \sin \left( {2\sin x} \right)\cos x.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Формула коэффициента разности | Производное правило частного и дифференцирование

Если вам трудно, формула разности частных является прекрасным инструментом для вычисления наклона секущей кривой.Здесь мы обсудим основы формулы разности частных, производные правила частных и формулу дифференцирования. Обладая глубоким пониманием этих концепций, вы сможете быстро находить решения различных сложных математических задач.

Коэффициент разности

В первый раз, когда вы слышите о «коэффициенте разности», вы можете быть пустыми или не уверены в этом термине. Это на самом деле сумасшедшая формула, которая включает в себя расчет различных элементов, функций, графиков, секущих и даже хуже.Тем не менее, мы уверены, что как только вы закончите читать этот пост, вы станете экспертом в коэффициенте разности. Если мы начнем с простого определения, то коэффициент разности — это вычисление наклона секущей между любыми двумя точками на графике функции F(x).

График дифференциальных коэффициентов

При просмотре функция представляет собой линию или кривую, имеющую только одно значение либо для координаты x, либо для координаты y. Для числа x, как только вы подключите функцию, выходное значение будет рассчитано автоматически для данной функции.Проще говоря, формула разностного отношения помогает найти наклон, когда вы работаете с кривой. Вот краткий обзор графика коэффициентов разности и связанной с ним формулы для лучшего понимания концепции.

На основании диаграммы, приведенной выше, формула кривой секущей может быть представлена ​​как –

\[\ \frac{y_2-y_1}{x_2 – x_1}\]

Исходя из приведенного выше обсуждения, становится ясно, что мы написали здесь формулу для секущей. Это специальная линия, которая проходит между любыми двумя точками кривой. Эти две точки обычно обозначаются как x или (x + h) на оси x. Поскольку мы работаем над функцией, ее представление должно быть в виде онлайн-функции, такой как f (x) и f (x + h) на нашей оси Y соответственно. Вы можете дополнительно попрактиковаться в формуле, чтобы решить самую сложную задачу, подставив значения в формулу.

Формула коэффициента разности

Проще говоря, формула коэффициента разности представляет собой среднюю скорость изменения функции за определенный интервал времени.Как только вы возьмете производную этой формулы скорости изменения, ее можно будет измерить как мгновенную скорость изменения.

Существует множество приложений, связанных с проектом, включающим расчет скорости для конкретного объекта в данный момент времени. Студенты могут использовать эту формулу при изучении скорости на уроках физики и во многих других случаях.

Для расчета с одной переменной разностное частное будет почти таким же, как имя выражения, когда предел определяется как h, приближающийся к нулю. 2 } \]

Проще говоря, частное правило — это метод определения дифференцирования функции, которую можно определить как отношение двух уникальных по своей природе функций.2} \]

Отличительные черты

Ресурсы
·  Cool Tools
·  Формулы и таблицы
·  Справочные материалы
·  Подготовка к тестам
·  Учебные советы
903 9002
Поиск


  
Дифференциация Идентификационные данные
(Математика | Исчисление | производные | удостоверения)

Определения производной:
df / dx = lim (dx -> 0) (f (x + dx) – f (x)) / dx (справа двусторонняя)
df / dx = lim (dx -> 0) (f (x) – f (x-dx)) / dx (слева двусторонняя)
df / dx = lim (dx -> 0) (f (x + dx) – f (x-dx)) / (2dx) (оба двусторонняя)

f(t) dt = f(x) (Основная теорема для производных)


с f(x) = c
f(x) (c константа)

(е(х) + г(х)) = е (х) + г(х)

f(g(x)) = f(g) * g(x) (цепочка правило)

f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g ‘(x) (правило произведения)

f(x)/g(x) = (f ‘(x)g(x) – f(x)g ‘(x)) / g ^ 2 (x) (частное правило)


Тождества с частичным дифференцированием

, если f(x(r,s), y(r,s))

df / dr = df / dx * dx / DR + df / dy * dy / DR
df / ds = df / dx * dx / Ds + df / dy * dy / Ds

, если f(x(r,s))

df/DR = df/dx * dx/DR
df / Ds = df / dx * dx / Ds

производная по направлению

df(x,y) / d(Xi sub a) = f1(x,y) cos(a) + f2(x,y) sin(a)
(Xi sub a) = угол против часовой стрелки от поз.

Оставить комментарий