Главная
Правило лопиталя примеры решения: 2.4.3. Примеры решения задач по теме «Правило Лопиталя»

Правило лопиталя примеры решения: 2.4.3. Примеры решения задач по теме «Правило Лопиталя»

Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя).

Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения производных этих функций (конечному или бесконечному).

(1)

Если функция f(x) и φ(x) при х → х0 являются бесконечно малыми, то предел в левой части равенства (1) является неопределенностью вида:

.

Если функция f(x) и φ(x) при х → х0 являются бесконечно большими, то предел в левой части равенства (1) является неопределенностью вида:

.

Данные неопределенности можно устранить, если от отношения функций f(x)/φ(x) при вычислении предела в соответствии с (1) перейти к отношению производных этих функций .

Пример 1.

Вычислить предел:

.

Решение. Данный предел приводится к первому замечательному пределу:

.

Вычислим данный предел, используя правило Лопиталя. Для этого найдем производные числителя и знаменателя дроби.

(sin ax)’ = a cos ax

(x)’ = 1.

В соответствии с формулой (1) запишем:

.

В некоторых случаях при переходе от отношения функций f(x)/φ(x) к отношению производных устранить неопределенность не удается. В этом случае правило Лопиталя можно записать в виде:

(2)

где f(k)(x) и φ(k)(x) производные k-того порядка от функций f(x) и φ(x). То есть для снятия неопределенности вида или иногда необходимо k раз продифференцировать числитель и знаменатель дроби.

Пример 2.

Вычислить предел .

Решение. При х → ∞ числитель х и знаменатель

ехдроби являются бесконечно большими величинами. Мы получаем неопределенность вида .

Для снятия данной неопределенности нужно продифференцировать числитель и знаменатель дроби три раза:

По формуле (2) записываем:

.

Следует обратить внимание, что при применении правила Лопиталя (1) и (2) берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример 3.

Решение.Вычислим предел при х → +∞:

.

Краткий курс высшей математики

Краткий курс высшей математики
  

Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.

Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой
3. Абсолютная величина действительного числа
4. Расстояние между двумя точками на прямой
§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Расстояние между двумя точками на плоскости
3. Деление отрезка в данном отношении
4. Координаты точки в пространстве
5. Расстояние между двумя точками в пространстве
§ 3.
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
2. Полярные координаты
3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
2. Понятие функции
3. График функции
4. Способы задания функций
5. Основные элементарные функции и их графики
6. Сложные функции. Элементарные функции
7. Целые и дробно-рациональные функции
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции
§ 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам
§ 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
2. Поворот осей координат
ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. ПРЯМАЯ
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат
4. Общее уравнение прямой и его частные случаи
5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению
6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
8. Пучок прямых
9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
10. Расстояние от точки до прямой
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Окружность
3. Эллипс
4. Гипербола
5. Парабола
6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена
8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат
9. График дробно-линейной функции
10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат
ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2. Определитель третьего порядка
3. Понятие об определителях высших порядков
§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
2. Линейные операции над векторами
4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси
5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
6. Направляющие косинусы вектора
7. Условие коллинеарности двух векторов
8. Скалярное произведение
9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов
10. Косинус угла между двумя векторами
11. Векторное произведение
12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
13. Смешанное произведение трех векторов
14. Геометрический смысл смешанного произведения
15. Условие компланарности трех векторов
§ 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
2. Равенство матриц. Действия над матрицами
3. Обратная матрица
4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
2. Преобразование координат
3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
ГЛАВА IV.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
4. Построение плоскости по ее уравнению
5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
6. Точка пересечения трех плоскостей
§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Общие уравнения прямой
3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
4. Канонические уравнения прямой
5. Уравнения прямой, проходящей через две точки
6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
2. Точка пересечения прямой с плоскостью
3. Расстояние от точки до плоскости
4. Пучок плоскостей
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Цилиндрические поверхности
3. Конические поверхности
4. Поверхность вращения
6. Гиперболоиды
7. Параболоиды
ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2. Предел функции при х -> -оо
3. Предел функции при х->х0
4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции
5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями
6. Основные теоремы о пределах
7. Предел функции при x -> 0
8. Последовательность. Число e
9. Натуральные логарифмы
10. Сравнение бесконечно малых функций
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций
3. Свойства функций, непрерывных на сегменте
4. Понятие об обратной функции
5. Обратные тригонометрические функции
6. Показательная и логарифмическая функции
7. Понятие о гиперболических функциях
ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Приращение аргумента и приращение функции
2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции
3. Задачи, приводящие к понятию производной
4. Определение производной и ее механический смысл
5. Дифференцируемость функции
6. Геометрический смысл производной
7. Производные некоторых основных элементарных функций
8. Основные правила дифференцирования
9. Производная обратной функции
10. Производные обратных тригонометрических функций
11. Производная сложной функции
§ 12. Производные гиперболических функций
13. Производная степенной функции с любым показателем
14. Сводная таблица формул дифференцирования
15. Неявные функции и их дифференцирование
16. Уравнения касательной а нормали к кривой
17. Графическое дифференцирование
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Нахождение производных высших порядков
2. Механический смысл второй производной
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
2. Производная как отношение дифференциалов
3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций
4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
6. Дифференциалы высших порядков
§ 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
§ 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная
3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой
4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
2. Теорема Ролля
3. Теорема Лагранжа
4. Правило Лопиталя
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
2. Максимум и минимум функции
3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной
4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
5. Применение теории максимума и минимума к решению задач
6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
7. Асимптоты графика функции
8. Общая схема исследования функции и построение ее графика
§ 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных
§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
3. Таблица основных интегралов
4. Основные свойства неопределенного интеграла
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2. Интегрирование методом замены переменной
3. Интегрирование по частям
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби
3. Интегрирование простейших рациональных дробей
4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
5. Метод неопределенных коэффициентов
6. Интегрирование рациональных дробей
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
2. Рациональные функции двух переменных
3. Интегралы вида
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. Интеграл вида
3. Интегралы видов
4. Интегралы вида
§ 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
2. Задача о работе переменной силы
§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Свойства определенного интеграла
3. Производная интеграла по переменной верхней границе
4. Формула Ньютона—Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2. Вычисление площади в полярных координатах
3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
4. Объем тела вращения
5. Длина дуги кривой
6. Дифференциал дуги
7. Площадь поверхности вращения
8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм
§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
2. Вычисление кривизны
3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
4. Эволюта и эвольвента
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Интегралы от разрывных функций
3. Признаки сходимости несобственных интегралов
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2. Метод трапеций
3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона)
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. График функции двух переменных
3. Функции трех и большего числа переменных
§ 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва
2. Непрерывность функции нескольких переменных
3. Понятие области
4. Точки разрыва
5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
3. Частные производные высших порядков
§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Полный дифференциал функции
3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций
2. Инвариантность формы полного дифференциала
3. Дифференцирование неявных функций
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
2. Производная по направлению
3. Градиент
4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности
5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2. Двойной интеграл. Теорема существования
3. Свойства двойного интеграла
4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
6. Приложения двойного интеграла
§ 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2. Тройной интеграл и его свойства
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
5. Приложения тройного интеграла
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
3. Вычисление криволинейного интеграла
4. Формула Остроградского — Грина
5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу
7. Криволинейный интеграл по длине дуги
ГЛАВА XI. РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
2. Геометрическая прогрессия
3. Простейшие свойства числовых рядов
4. Необходимый признак сходимости ряда
5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
6. Знакопеременные ряды
7. Остаток ряда и его оценка
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды по степеням разности х-а
4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
2. Приближенное вычисление интегралов
§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
2. Числовые ряды с комплексными членами
3. Степенные ряды в комплексной области
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
2. Ряд Фурье
3. Сходимость ряда Фурье
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l
ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
3. Уравнения с разделяющимися переменными
4. Однородные уравнения
5. Линейные уравнения
6. Уравнение в полных дифференциалах
7. Особые решения
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
4. Метод вариации произвольных постоянных
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

7.

7E: Упражнения для правила Лопиталя
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    18783

    • Термины и понятия

    1. Перечислите различные неопределенные формы, описанные в этом разделе. 9∞\) не считаются неопределенными, так как эти пределы могут быть четко определены.

    3. T/F: Правило Лопиталя утверждает, что \(\frac{d}{dx} \left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right ) = \frac{f’ (х)}{г'(х)}\).

    Ответ:
    Ложь. Правило Лопиталя – это метод определения пределов рациональных функций в определенных случаях. Оно не заменяет правило частного при взятии производной этих рациональных функций. 9{\infty}\)”, это означает, что функция в основании показателя приближается к \(1\), а функция в показателе степени приближается к \(\infty\). Это неопределенно, так как если базовая функция приближается к 1, но всегда меньше 1, то предел может быть равен 0, а если базовая функция приближается к 1, но всегда больше 1, предел может быть \(\infty\). Но поскольку эта неопределенность существует , предел может быть любым.

    5. Объясните, почему пределы формы \(\infty – \infty\) неопределенны.

    Ответ:
    Пределы этой формы зависят от относительной скорости, с которой два члена приближаются \(\infty\). Если первый член приближается к \(\infty\) быстрее, чем второй, предел будет равен \(\infty\). Если второй член приближается к \(\infty\) быстрее, чем первый, предел будет равен \(-\infty\). n−1}{х}\) 9{−x}}{x} \quad = \quad 2\)

     

    Авторы

    • Гилберт Стрэнг (MIT) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими сотрудничающими авторами. Этот контент от OpenStax лицензирован по лицензии CC-BY-SA-NC 4.0. Скачать бесплатно на http://cnx.org.

    • Грегори Хартман (Вирджинский военный институт). Свой вклад внесли Трой Симерс и Димплекумар Чалишаяр из VMI, а также Брайан Хейнольд из Университета Маунт-Сент-Мэри. Авторские права на этот контент защищены некоммерческой лицензией Creative Commons Attribution (BY-NC). http://www.apexcalculus.com/

    • Термины и понятия 1–4 и 6–8 были адаптированы из Apex Calculus Пола Сибургера (Общественный колледж Монро)
      • .
    • Термины и понятия Задача 5 была создана Paul Seeburger
    • Задачи 33 и 34 из Apex Calculus. Решение задачи 34 Пола Сибургера
    • Задачи 35 и 36, а также решения терминов и понятий, задач 1–6 и задачи 36 были добавлены Полом Зеебургером
    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. расчет: да
      исчисление

      – Существуют ли ситуации, в которых правило Лопиталя НЕ БУДЕТ работать?

      Наш первый шаг к лучшему пониманию того, когда применимо правило Лопиталя, состоит в том, чтобы рассмотреть его формальное изложение. Это теорема, поэтому она всегда верна; нам просто нужно убедиться, что все необходимые предположения/гипотезы верны для предела, который мы пытаемся оценить. Давайте взглянем! 9-$.

      Для «нормальных» пределов просто проверьте, что применимы обе части теоремы Лопиталя и найденный левый предел равен найденному правому пределу. Это верно, потому что мы знаем, что предел существует тогда и только тогда, когда боковые пределы существуют и равны.

      Увидев формальную формулировку теоремы Лопиталя, очень полезно понять, когда ее можно применять. Посмотрим еще раз и сделаем несколько замечаний:

      Примечание 1. 9+$, например, помните, что вы можете выбрать $b$. Вы можете выбрать $b$ как можно ближе к $a$. Единственная проблема здесь будет заключаться в том, что ваша функция будет настолько странной, что, как бы близко вы ни подошли к $a$, она все равно не будет дифференцируема на этом маленьком интервале.

      Замечание 2. После того, как вы нашли этот интервал $(a, b)$, убедитесь, что $g’$ никогда не равно нулю внутри этого интервала. Опять же, помните, если ваш интервал не сработал, не сдавайтесь, попробуйте найти меньший интервал, который соответствует вашим потребностям. 9+} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\text{ }\text{ }$ каким-то образом, возможно, с другим применением правила Лопиталя.

      Предположим, вы хотите применить правило Лопиталя для вычисления $$\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin( x)}$$

      Давайте проверим четыре условия.

      Условие 1. Если мы выберем $a = 0$ и $b = 2\pi$, то $f$ и $g$ дифференцируемы в $(0,2\pi)$, так что все в порядке.

      Условие 2. К сожалению, производная от $g$ равна нулю при $p = \frac{\pi}{2}$, и это нарушило бы условие 2. К счастью, этой проблемы можно избежать, выбрав меньшее интервал, например, $a = 0$ и $b = \frac{\pi}{4}$. Теперь обе функции дифференцируемы на интервале, и производная от $g$ никогда не равна нулю. 9+} \dfrac{x}{\sin(x)} = 1\text{ }\text{ }$$

      Давайте рассмотрим примеры, нарушающие заданные условия. Мы приближаемся к ответу на ваш вопрос.

      Для условия 1. Возьмите $f$ в качестве волновой функции треугольника, и вы хотите вычислить предел, когда $x \to \infty$. Проблема здесь в том, что нельзя выбрать любое $a \in \mathbb{R}$ такое, что $f$ дифференцируемо в $(a,\infty)$, потому что внутри всегда будет пик треугольной волны этом интервале, и функция не дифференцируема в этом пике.

      Для условия 2. Возьмем $g(x) = \sin(\frac{1}{x})$, и вы хотите вычислить предел, когда $x \to 0$. Проблема здесь в том, что вы не можете выбрать любое $b > 0$ такое, что $g’$ никогда не будет равно нулю в $(0,b)$, потому что всегда будет бесконечное количество синусоидальных пиков в любом интервале $( 0,b)$ (посмотрите на график $\sin(\frac{1}{x})$).

      Для условия 3. Я призываю вас подумать над этим примером, это не должно быть слишком сложно.

      Для условия 4. Стивен Губкин в своем ответе привел такой пример: рассмотрим $f(x) = x+\sin(x)$ и $g(x) = x$. Предел $\frac{x + \sin(x)}{x}$ существует, когда $x \to \infty$, но $\lim_{x \to \infty} \frac{1+\cos(x )}{1}$ не существует.

      • Правило Лопиталя — это математическая теорема, поэтому она всегда верна. Вам просто нужно проверить, все ли гипотезы были удовлетворены. В начале этого ответа даны четыре условия справедливости теоремы.

      • Обратите внимание на то, что на самом деле говорит теорема: 92}}}{x}$$

        Теорема Лопиталя применима в этом случае, и она верна, но бесполезна, потому что новый предел так же сложен, как и первый, и вы не добились никакого прогресса.

        И последнее (забавный факт). В своем вопросе вы сказали

        Сегодня был мой первый день изучения правила Лопиталя, и мне было интересно, есть ли какие-либо ситуации, в которых вы не можете использовать это правило, за исключением случаев, когда можно определить предел.

      Оставить комментарий