Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
ОглавлениеВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА2. Упорядочение области рациональных чисел. 3. Сложение и вычитание рациональных чисел. 4. Умножение и деление рациональных чисел. 5. Аксиома Архимеда. § 2. Введение иррациональных чисел.  Упорядочение области вещественных чисел8. Вспомогательные предложения. 9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью. 10. Непрерывность области вещественных чисел. 11. Границы числовых множеств. § 3. Арифметические действия над вещественными числами 13. Свойства сложения. 14. Определение произведения вещественных чисел. 15. Свойства умножения. 16. Заключение. 17. Абсолютные величины. § 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 19. Степень с любым вещественным показателем. 20. Логарифмы. 21. Измерение отрезков. ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. Варианта и ее предел 23. Предел варианты. 24. Бесконечно малые величины. 26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел. 27. Бесконечно большие величины. § 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 29. Леммы о бесконечно малых. 30. Арифметические операция над переменными.  31. Неопределенные выражения. 32. Примеры на нахождение пределов. 33. Теорема Штольца и ее применения. § 3. Монотонная варианта 35. Примеры. 36. Число е. 37. Приближенное вычисление числа е. 38. Лемма о вложенных промежутках. § 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 40. Частичные последовательности и частичные пределы. 42. Наибольший и наименьший пределы. ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Понятие функции 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. 45. Определение понятия функции. 46. Аналитический способ задания функции. 47. График функции. 48. Важнейшие классы функций. 49. Понятие обратной функции. 50. Обратные тригонометрические функции. 51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания. § 2. Предел функции 53. Сведение к случаю варианты. 54. Примеры. 55. Распространение теории пределов. 56. Примеры. 57. Предел монотонной функции.  58. Общий признак Больцано—Коши. 59. Наибольший и наименьший пределы функции. § 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 61. Шкала бесконечно малых. 62. Эквивалентные бесконечно малые. 63. Выделение главной части. 64. Задачи. 65. Классификация бесконечно больших. § 4. Непрерывность (и разрывы) функций 67. Арифметические операции над непрерывными функциями. 68. Примеры непрерывных функций. 69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов. 70. Примеры разрывных функций. 71. Непрерывность и разрывы монотонной функции. 73. Суперпозиция непрерывных функций. 74. Решение одного функционального уравнения. 75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций. 76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов. 77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов. 78. Степенно-показательные выражения.  79. Примеры. § 5. Свойства непрерывных функций 81. Применение к решению уравнений. 82. Теорема о промежуточном значении. 83. Существование обратной функции. 85. Наибольшее и наименьшее значения функции. 86. Понятие равномерной непрерывности. 87. Теорема Кантора. 88. Лемма Бореля. 89. Новые доказательства основных теорем. ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ § 1. Производная и ее вычисление 91. Задача о проведении касательной к кривой. 92. Определение производной. 93. Примеры вычисления производных. 94. Производная обратной функции. 95. Сводка формул для производных. 96. Формула для превращения функции. 97. Простейшие правила вычисления производных. 98. Производная сложной функции. 100. Односторонние производные. 101. Бесконечные производные. § 2. Дифференциал 104. Связь между диффереицируемостью и существованием производной.  105. Основные формулы и правила дифференцирования. 106. Инвариантность формы дифференциала. 107. Дифференциалы как источник приближенных формул. 108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 110. Теорема Дарбу 111. Теорема Ролля. 112. Формула Лагранжа. 113. Предел производной. 114. Формула Коши. § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 117. Формула Лейбница. 118. Примеры. 119. Дифференциалы высших порядков. 120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков. 121. Параметрическое дифференцирование. 122. Конечные разности. § 5. Формула Тейлора 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано. 125. Примеры. 126. Другие формы дополнительного члена. 127. Приближенные формулы. § 6. Интерполирование 129. Дополнительный члеп формулы Лагранжа.  130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита. § 1. Изучение хода изменения функции 132. Условие монотонности функции. 133. Доказательство неравенств. 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия. 136. Достаточные условия. Первое правило. 136. Примеры. 137. Второе правило. 138. Использование высших производных. 139. Разыскание наибольших и наименьших значений. 140. Задачи. § 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 142. Простейшие предложения о выпуклых функциях. 143. Условия выпуклости функции. 144. Неравенство Иенсена и его приложения. 145. Точки перегиба. § 3. Построение графиков функций 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты. 149. Примеры. § 4. Раскрытие неопределенностей 151. Неопределенность вида oo/oo 152. Другие виды неопределенностей. § 5. Приближенное решение уравнений 154.  Правило пропорциональных частей (метод хорд).155. Правило Ньютона (метод касательных). 156. Примеры в упражнения. 157. Комбинированный метод. 158. Примеры и упражнения. ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. 161. Арифметическое n-мерное пространство. 162. Примеры областей в n-мерном пространстве. 163. Общее определение открытой и замкнутой области. 164. Функции n переменных. 165. Предел функции нескольких переменных. 166. Сведение к случаю варианты. 167. Примеры. 168. Повторные пределы. § 2. Непрерывные функции 170. Операции над непрерывными функциями. 171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши. 172. Лемма Больцано—Вейерштрасса. 173. Теоремы Вейерштрасса. 174. Равномерная непрерывность. 175. Лемма Бореля. 176. Новые доказательства основных теорем. § 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных  Полное приращение функции.179. Полный дифференциал. 180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных. 181. Производные от сложных функций. 182. Примеры. 183. Формула конечных приращений. 184. Производная по заданному направлению. 185. Инвариантность формы (первого) дифференциала. 186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. 187. Однородные функции. 188. Формула Эйлера. § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 190. Теорема о смешанных производных. 191. Обобщение. 193. Дифференциалы высших порядков. 194. Дифференциалы сложных функций. 195. Формула Тейлора. § 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 197. Достаточные условия (случай функции двух переменных). 198. Достаточные условия (общий случай). 199. Условия отсутствия экстремума. 200. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры. 201.  Задачи.ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Формальные свойства функциональных определителей 203. Умножение якобианов. 204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби). § 2. Неявные функции 206. Существование неявной функции. 207. Дифференцируемость неявной функции. 208. Неявные функции от нескольких переменных. 209. Вычисление производных неявных функций. 210. Примеры. § 3. Некоторые приложения теории неявных функций 212. Метод неопределенных множителей Лагранжа. 213. Достаточные для относительного экстремума условия. 214. Примеры и задачи. 215. Понятие независимости функций. 216. Ранг матрицы Якоби. § 4. Замена переменных 218. Примеры. 219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных. 220. Метод вычисления дифференциалов. 221. Общий случай замены переменных. 222. Примеры. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ § 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 224.  Примеры.225. Кривые механического происхождения. 226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры. 227. Поверхности и кривые в пространстве. 228. Параметрическое представление. 229. Примеры. § 2. Касательная и касательная плоскость 231. Примеры. 232. Касательная в полярных координатах. 233. Примеры. 234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности. 235. Примеры. 236. Особые точки плоских кривых. 237. Случай параметрического задания кривой. § 3. Касание кривых между собой 239. Примеры. 240. Характеристические точки. 241. Порядок касания двух кривых. 242. Случай неявного задания одной из кривых. 243. Соприкасающаяся кривая. 244. Другой подход к соприкасающимся кривым. § 4. Длина плоской кривой 246. Направление на кривой. 247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги. 248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги. 249. Дуга в роли параметра.  Положительное направление касательной.§ 5. Кривизна плоской кривой 251. Круг кривизны и радиус кривизны. 252. Примеры. 253. Координаты центра кривизны. 254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты. 255. Свойства эволют и эвольвент. 256. Разыскание эвольвент. ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ |
Правило произведения — задача 2
По правилу произведения производная произведения функций f(x)g(x) равна f(x)g'(x) + f'(x)g(x). Итак, чтобы вычислить производную произведения функций, вычислите производные отдельных функций. Затем просто умножьте производную второй функции на первую функцию и добавьте производную первой функции, умноженную на вторую функцию.
Например, если ваша функция h(x)=x 2 ln(x), пусть f(x)=x 2 и g(x)=ln(x). Из правил вывода степенных функций и логарифмических функций мы знаем, что f'(x)=2x и g'(x)=1/x.
h'(x)=f(x)g'(x) + f'(x)g(x). Итак, h'(x)=x 2 (1/x) + 2xln(x) = x + 2xln(x).
Иногда при умножении двух длинных полиномиальных функций проще использовать правило произведения, чем пытаться разложить полином.
дифференциация правило продукта производная
Итак, мы говорим о правиле произведения. Помните, что говорят, что производная произведения двух функций равна производной первой, умноженной на вторую, плюс производная первой, умноженной на вторую.
Итак, давайте применим это к этим двум задачам. Здесь меня просят дифференцировать x², умноженное на 2, на x. Это даст мне dy/dx равно первому x², умноженному на производную второго, 2 на x, плюс второе 2 на x, умноженному на производную от первого, x².
Итак, здесь я должен вспомнить, какова производная от 2 к х. Помните, что я сделал это намеренно. X² и 2 на x выглядят очень похоже.
Это силовая функция. Степенная функция — это функция, в основе которой лежит х. Экспоненциальная функция — это функция, в которой x находится в показателе степени. Вы различаете их по-разному. Производная от 2 к х равна ln2 умножить на 2 на х, то есть умножить на х².
Тогда здесь производная x² равна 2x. Итак, это 2 к х умножить на 2х. Кроме того, легко попасть в беду, потому что, если ваши иксы начинают всплывать, одно может стать другим. Это очень хорошо. Что я могу сделать, так это выделить все, что является общим. Я вижу, что от 2 до x здесь обычное дело. Есть также общий множитель х, но я пока просто вынесу 2 из х. У нас есть ln2 умножить на x² плюс 2x. Это наша производная.
Давайте посмотрим на этого парня. Теперь эта функция является произведением двух многочленов. Если вы перемножите его, вы, вероятно, просто получите один большой многочлен. Вы могли бы различать это таким образом. Вы также можете пропустить этот шаг, потому что это будет много алгебры. Вы можете обойти это и дифференцировать, используя правило продукта.
Таким образом, dy/dx равно производной первой, умноженной на вторую. Вместо того, чтобы писать это, я просто собираюсь дифференцировать это. Чтобы быть 2x минус 3. Плюс вторая, эта функция умножается на производную от первой; 3x² плюс 5. Это ваш ответ.
Ваш учитель может попросить вас упростить этот ответ. Предполагая, что они не хотели, чтобы вы умножали это в начале, они могут не захотеть, чтобы вы умножали это в конце. Это очень простой способ, по крайней мере, получить функцию, которая является производной вашего исходного многочлена.
World Web Math: Правило произведения
World Web Math: Правило произведения Мы хотели бы иметь возможность брать производные от произведений функций производные которых мы уже знаем. Например f ( x )=( x -2)( x -1) произведение двух функций, u ( x ) = x -2 и v ( x ) = x -1, оба из которых производные, которые, как мы знаем, равны 1.
Было бы неплохо, если бы производная от
продукт был продуктом производной, как это для сумм?
К сожалению, это не случай;и в этом достаточно простом случае легко видеть, что производная продукта НЕ продукт производные. Хотя это наивное предположение было неверным, мы все же можем выяснить, что производная продукта должна быть. Помните: когда интуиция подводит, применить определение. Учитывать
Хороший способ запомнить правило продукта для дифференциации:
первая производная от второй плюс вторая умноженная на
производное от первого».
Сейчас это может показаться неинтуитивным, но посмотрите,
и через несколько дней вы будете повторять это и себе.
Другой способ запомнить приведенный выше вывод — подумать о продукт u ( x ) v ( x ) как площадь прямоугольника шириной u ( x ) и высотой против ( х ). Изменение площади равно d ( uv ), что и указано на рисунке ниже.
Этот аргумент не может
представляют собой строгое доказательство, поскольку оно использует дифференциалы
алгебраически; скорее, это геометрическое указание на то, почему
Правило произведения имеет ту же форму, что и оно.- Мы можем использовать правило произведения, чтобы подтвердить тот факт, что производная
постоянная функция, умноженная на константу, умноженная на производную от
функция. Для c константа,
Является ли это существенно проще, чем умножение полиномиальный и дифференцирующий непосредственно – вопрос мнения; решите сами.
- Если f и g являются дифференцируемыми функциями
такое, что f (2)=3, f ´(2)=-1, г (2)=-5 и г ´(2)=2, то каково значение
( фг )´(2)?
- С
что такое г ´( x )?
- Если f , g и h дифференцируемы, используйте
правило произведения, чтобы показать, что
Как следствие, покажите, что Это частный случай цепного правила. 
