Правило производных: Таблица производных и правила дифференцирования

Содержание

Математический анализ. Понятие производной. Правила вычисления производных

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII века Лейбницем, состоит в следующем:

Значение производной функции y=f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику

функции в той же точке x, т.е.                k = f ’(x) = tg φ

Рассмотрим задачу.

Определение: прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной,

называется нормалью к кривой в этой точке.

Если кривая определена уравнением  , то уравнение касательной к ней в точке   

имеет вид:

а уравнение нормали:

Как Вы заметили нам нужно найти производную, чтобы написать уравнение касательной или нормали. 

Существуют общие правила нахождения производной:

(в пояснении   – это у(x +∆x)  )

Применим эти правила и найдем производную функции y=5x

  1. y(x +∆x)  = 5(x +∆x) = 5x + 5∆x
  2. ∆y = y(x +∆x) –  y(x) = (5x + 5∆x) – 5x = 5∆x
  3.    =   = 5

Таким образом, мы нашли производную функции, пользуясь непосредственным определением производной.

Но это не очень удобно, хотя и позволяет вычислить производную любой элементарной функции.

Вспомним, элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа

арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция 

с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные

тригонометрические функции.

Формулы производных основных элементарных функций

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию).

Справедливо равенство            (c f (x))’ = c f ‘ (x) , где  c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций).

Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций).

Производная разности функций вычисляется по формуле 

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций

 равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций).

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (xg (x))’ = f ‘ (xg (x) + f (xg’ (x),

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции,

умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

Правило 5 (производная частного двух функций).

Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Таблица производных и правила дифференцирования функций

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Содержание

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле:

, то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Характеристика производной и ее смысл

Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правилаНазвание правилаПравило дифференцирования
1Производная постоянной величины, С-постоянная
2Производная суммы.
3Производная произведения постоянной на функцию, С – постоянная
4Производная переменной x
5Производная произведения двух функций
6Производная деления двух функций
7Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулыНазвание производнойОсновные элементарные функцииСложные функции
1Производная натурального логарифма по x
2Производная логарифмической функции по основанию a
3Производная по x в степени n
4Производная квадратного корня
5Производная a в степени x
6Производная e в степени x
7Производная синуса
8Производная косинуса
9Производная тангенса
10Производная котангенса
11Производная арксинуса
12Производная арккосинуса
13Производная арктангенса
14Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

   

   

   

   

Ответ:

   

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

   

   

Ответ:

   

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

   

   

Ответ:

   

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

   

   

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Использование производных финансовых инструментов зарегистрированными инвестиционными компаниями и компаниями по развитию бизнеса: руководство по соблюдению требований для малых предприятий[1]

Настоящее руководство по соблюдению состоит из следующих частей:

  • Введение
  • На кого распространяется правило 18f-4?
  • Какое освобождение от ответственности предоставляет правило и каковы условия правила?
  • Каким образом в соответствии с правилом 18f-4 рассматриваются соглашения об обратном выкупе или аналогичные финансовые операции, а также соглашения о необеспеченных обязательствах?
  • Каковы требования к отчетности?
  • Как насчет заемных или обратных ETF?
  • Даты вступления в силу и соответствия
  • Прочие ресурсы
  • Обращение в Комиссию

Введение

28 октября 2020 г. Комиссия по ценным бумагам и биржам («Комиссия») приняла новое правило 18f-4 в соответствии с Законом об инвестиционных компаниях 1940 г. («Закон»), а также дополнительные правила и поправки к форме. , которые в совокупности предназначены для обеспечения обновленного комплексного подхода к регулированию использования средств производных финансовых инструментов и некоторых других операций. В связи с этими новыми правилами Комиссия внесла поправки в правило 6c-11 в соответствии с Законом, чтобы разрешить использование заемных или обратных биржевых фондов («ETF») без получения приказа об освобождении от уплаты налогов. Наконец, Комиссия приняла новые требования к отчетности и поправки к формам N-PORT, N-LIQUID (которые будут переименованы в «Форма N-RN») и N-CEN.

На кого распространяется правило 18f-4?

Новое правило 18f-4 разрешает взаимным фондам (кроме фондов денежного рынка), ETF, зарегистрированным закрытым фондам и компаниям по развитию бизнеса (совместно именуемым «фондами») заключать сделки с деривативами и некоторые другие сделки, несмотря на ограничения, указанные в статья 18 Закона.

Какое освобождение от ответственности предусматривает правило и каковы условия правила?

Закон ограничивает возможности фондов участвовать в транзакциях, связанных с потенциальными платежными обязательствами в будущем, включая обязательства по производным инструментам, таким как форварды, фьючерсы, свопы и выпущенные опционы. Новое правило разрешает фондам заключать такие сделки, если они соответствуют определенным условиям, предназначенным для решения неправомерных спекуляций и проблем с достаточностью активов, лежащих в основе раздела 18, описанного ниже.

Программа управления рисками производных финансовых инструментов. Новое правило обычно требует, чтобы фонд принял и внедрил письменную программу управления рисками производных финансовых инструментов. Программа установит стандартизированную систему управления рисками для фондов, а также позволит адаптировать ее к конкретным рискам фондов, основанным на принципах. «Риски деривативов» включают левередж, рыночный риск, риск контрагента, риск ликвидности, операционный и юридический риски.

Программа должна включать рекомендации по рискам, стресс-тестирование, тестирование на истории (подробнее об этом см. ниже при обсуждении требуемого лимита риска левериджа фонда), внутреннюю отчетность и эскалацию, а также элементы обзора программы.

  • Руководство по рискам. Программа должна включать рекомендации по рискам, в том числе создание, поддержание и обеспечение соблюдения этих рекомендаций. К ним относятся инвестиции, управление рисками или связанные с ними руководящие принципы, которые предусматривают количественные или иным образом измеримые критерии, показатели или пороговые значения, связанные с рисками производных финансовых инструментов фонда.
  • Стресс-тестирование . Программа должна включать стресс-тестирование портфеля фонда для оценки возможных убытков в стрессовых условиях.
  • Внутренняя отчетность и эскалация . О некоторых вопросах, касающихся использования фондом деривативов, необходимо сообщать руководству фонда и совету директоров.
    Например, в программе будет указано, когда управляющий рисками производных финансовых инструментов должен информировать (1) управляющих портфелем фонда о превышении нормативных требований и результатах стресс-тестирования и (2) непосредственно совету директоров фонда о существенных рисках, связанных с использованием фондом производных финансовых инструментов.
  • Периодический обзор программы . Менеджер по рискам деривативов должен пересматривать программу не реже одного раза в год, чтобы оценивать эффективность программы и отражать изменения риска с течением времени.

Менеджер по управлению рисками производных финансовых инструментов, утвержденный советом фонда, будет управлять программой. Это лицо должно быть должностным лицом или должностными лицами инвестиционного консультанта фонда и не может быть управляющим портфелем фонда. Менеджер фонда по рискам деривативов должен будет отчитываться перед советом фонда о реализации и эффективности программы управления рисками деривативов, чтобы облегчить надзорную роль совета. Менеджер по рискам деривативов должен напрямую подчиняться совету фонда. Правило требует, чтобы управляющий рисками деривативов предоставлял правлению фонда определенные письменные отчеты о программе.

Ограничение риска кредитного плеча фонда. Фонд, полагающийся на правило, как правило, должен соответствовать внешнему лимиту риска левериджа фонда на основе стоимости под риском или «VaR». Этот внешний предел основан на относительном тесте VaR, который сравнивает VaR фонда с VaR его «назначенного эталонного портфеля». Если менеджер фонда по рискам, связанным с производными финансовыми инструментами, разумно определит, что назначенный эталонный портфель не обеспечит надлежащего эталонного портфеля для целей теста относительной VaR, фонд должен будет пройти абсолютный тест VaR.

  • Как фонд будет соответствовать относительному тесту VaR
    ?
    • Относительный предел VaR . VaR фонда не должен превышать 200% VaR назначенного эталонного портфеля фонда. Для закрытых фондов с размещенными на тот момент привилегированными акциями VaR не должен превышать 250% VaR назначенного эталонного портфеля фонда.
    • Использование назначенного индекса в качестве назначенного справочного портфеля . Фонд может использовать «назначенный индекс» в качестве разработанного эталонного портфеля. Это индекс без использования заемных средств, который утверждается менеджером по управлению рисками деривативов для целей относительного теста VaR и отражает рынки или классы активов, в которые инвестирует фонд. Правило запрещает фондам выбирать определенные индексы, такие как индекс, управляемый аффилированным лицом (если только он не широко известен и не используется), в качестве назначенного им индекса. Смешанные индексы разрешены, если каждый составляющий индекс соответствует требованиям правила. Фонд, который отслеживает индекс без заемных средств, должен использовать этот индекс в качестве назначенного эталонного портфеля фонда.
    • Использование портфеля ценных бумаг фонда в качестве референтного портфеля . Фонд также может использовать свой собственный портфель ценных бумаг и других инвестиций, исключая любые операции с производными инструментами, в качестве своего назначенного эталонного портфеля. Менеджер по рискам деривативов должен одобрить портфель ценных бумаг для целей относительного теста VaR, и он должен отражать рынки или классы активов, в которые инвестирует фонд.
  • Как фонд будет соответствовать абсолютному тесту VaR ? VaR фонда не должен превышать 20% от стоимости чистых активов фонда. Для закрытых фондов с размещенными на тот момент привилегированными акциями VaR не должен превышать 25% стоимости чистых активов фонда.
  • Какие параметры модели VaR должен использовать фонд? Модель VaR фонда должна учитывать и включать все существенные идентифицируемые факторы рыночного риска, связанные с инвестициями фонда. Правило содержит неисчерпывающий список общих факторов рыночного риска, которые фонд должен учитывать в своей модели VaR. Кроме того, модель VaR должна использовать 9уровень достоверности 9% и временной горизонт 20 торговых дней, а также основываться на исторических рыночных данных не менее чем за три года.
  • Что произойдет, если фонд не соответствует своему тесту VaR? Фонд должен определять свое соответствие тесту VaR не реже одного раза в рабочий день. Если фонд не соблюдает требования, он должен незамедлительно вернуться к ним таким образом, чтобы это отвечало наилучшим интересам фонда и его акционеров. Если фонд не соблюдает требования в течение пяти рабочих дней, менеджер по управлению рисками деривативов должен предоставить определенные письменные отчеты совету фонда и проанализировать обстоятельства, вызвавшие несоответствие фонда, и соответствующим образом обновить любые элементы программы. Для фондов, которые не соблюдают требования в течение тридцати календарных дней, менеджер по управлению рисками деривативов должен регулярно обновлять доску до тех пор, пока фонд не вернется в соответствие.
  • Как фонд должен контролировать свою модель расчета VaR ? Фонд должен «протестировать» свою модель VaR, то есть сравнить фактическую прибыль или убыток фонда за каждый рабочий день с рассчитанной для этого дня VaR. Фонд должен указать в качестве исключения любой случай, когда фонд несет убытки, превышающие предполагаемые убытки, полученные в результате расчета VaR.

Исключение для ограниченных пользователей деривативов. Если фонд является «ограниченным пользователем деривативов», он не обязан принимать программу управления рисками деривативов, придерживаться основанного на VaR ограничения на риск левериджа фонда или соблюдать соответствующие требования совета директоров по надзору и отчетности. Чтобы полагаться на это исключение из правила, фонд должен принять и внедрить письменные политики и процедуры, разумно разработанные для управления рисками, связанными с производными финансовыми инструментами. Это исключение распространяется только на фонды, которые ограничивают свои деривативы до 10% от своих чистых активов.

  • Воздействие производных финансовых инструментов . В соответствии с правилом, «воздействие производных финансовых инструментов» представляет собой сумму: (1) валовых условных сумм операций фонда с производными инструментами, такими как фьючерсы, свопы и опционы; и (2) в случае заемных средств для продажи без покрытия стоимость любого актива, проданного без покрытия. Фонды могут исключать операции хеджирования определенных валют и процентных ставок.
  • Восстановление . Если фонд превышает 10-процентный порог и не уменьшает свою подверженность риску в течение пяти рабочих дней, консультант фонда должен предоставить совету фонда письменный отчет, информирующий правление о том, (1) что консультант намерен сократить подверженность риску в кратчайшие сроки, но в течение более тридцати дней, или (2) внедрить программу управления рисками производных финансовых инструментов и соблюдать основанное на VaR ограничение на риск левериджа фонда, как только это станет практически возможным.

Ведение учета. Правило включает определенные требования к ведению учета денежных средств.

Каким образом в соответствии с правилом 18f-4 рассматриваются соглашения об обратном выкупе или аналогичные финансовые операции, а также соглашения о необеспеченных обязательствах?

Соглашения обратного РЕПО . Правило разрешает фонду заключать соглашения обратного РЕПО или аналогичные финансовые операции. Фонд может ограничить свою деятельность по обратному обратному выкупу и другой аналогичной финансовой операции применимым лимитом покрытия активов в соответствии с Законом для приоритетных ценных бумаг, представляющих задолженность. Или вместо этого он может рассматривать их как сделки с производными инструментами (и, следовательно, фонд будет включать их, когда он рассматривает другие свои сделки с производными инструментами в соответствии с правилом).

Соглашения об обязательствах без финансирования. Правило разрешает фонду заключать соглашения о необеспеченных обязательствах, если он разумно полагает на момент заключения такого соглашения, что у него будет достаточно денежных средств и их эквивалентов для выполнения своих обязательств в отношении своих соглашений о необеспеченных обязательствах. по мере их наступления. Фонд должен учитывать свои уникальные факты и обстоятельства при формировании такого разумного убеждения. Правило предписывает определенные конкретные факторы, которые фонд должен учитывать.

Каковы требования к отчетности?

Форма N-ПОРТ. Поправки к этой форме требуют, чтобы фонд сообщал информацию о своих рисках по деривативам, если он полагается на исключение для ограниченных пользователей деривативов, и (для применимых фондов) информацию о соблюдении им основанного на VaR лимита риска левериджа. Часть этой информации будет конфиденциально сообщена Комиссии.

Форма N-RN (ранее Форма N-LIQUID). Поправки к этой форме требуют, чтобы фонд конфиденциально уведомлял Комиссию, когда фонд превышает применимый лимит VaR в течение пяти рабочих дней. Фонд должен сообщить эту информацию в течение одного рабочего дня (после пятого рабочего дня после превышения лимита VaR). Эти фонды должны подать второй отчет, когда они вернутся в соответствие.

Форма N-CEN. Для внесения поправок в эту форму требуются средства, чтобы установить флажок, чтобы определить, полагались ли они на правило 18f-4 в течение отчетного периода, в том числе на то, полагались ли они на различные конкретные положения правила.

Как насчет заемных или обратных ETF?

Фонды с кредитным плечом или обратные фонды, как правило, подпадают под действие правила 18f-4, как и другие фонды, включая требование соблюдения основанного на VaR лимита риска кредитного плеча фонда. Правило включает исключение из ограничения на основе VaR для фондов с кредитным плечом или обратных фондов, действующих по состоянию на 28 октября 2020 г., которые стремятся получить доход от инвестиций выше 200% от дохода (или обратного дохода) базового индекса фонда и удовлетворяют определенным требованиям. условия и другие требования правила 18f-4.

Правило 6c-11 также было изменено, чтобы включить ETF с кредитным плечом и обратные ETF в рамках этого правила, если они соответствуют применимым положениям правила 18f-4. Правило 6c-11 разрешает ETF, которые удовлетворяют определенным условиям, работать без получения приказа Комиссии об исключении.

Даты вступления в силу и соблюдения

Правило вступит в силу 19 февраля 2021 г. Комиссия установила дату соблюдения 19 августа 2022 г., чтобы дать фондам достаточно времени для соблюдения положений правила 18f-4 и соответствующих требований к отчетности. .

19 августа 2022 г. Общее заявление о политике 1979 г. (выпуск 10666), в котором содержалось руководство Комиссии о том, как средства могут участвовать в определенных торговых операциях в свете ограничений, предусмотренных разделом 18 Закона, будет отозвано. Соответствующие инструкции для персонала также будут отозваны в этот день. Фонд может полагаться на правило 18f-4 после даты вступления правила в силу, но до даты его соблюдения, при условии, что фонд удовлетворяет применимым условиям правила и не полагается также на выпуск 10666 или соответствующие указания Комиссии или персонала.

Другие ресурсы

Принятие версии можно найти на веб-сайте Комиссии по адресу https://www.sec.gov/rules/final/2020/ic-34084.pdf.

С предлагаемым выпуском можно ознакомиться на веб-сайте Комиссии по адресу https://www. sec.gov/rules/proposed/2019/34-87607.pdf.

Связаться с Комиссией

Отдел управления инвестициями Комиссии будет рад помочь малым предприятиям с вопросами, касающимися правила 18f-4. Вы можете отправить вопрос по электронной почте [email protected]. Кроме того, вы можете связаться с офисом главного юрисконсульта Отдела управления инвестициями по телефону (202) 551-6825.


[1] Это руководство было подготовлено сотрудниками Комиссии по ценным бумагам и биржам США как «руководство по соблюдению требований малого бизнеса» в соответствии с разделом 212 Закона о справедливости соблюдения нормативных требований в отношении малого бизнеса от 1996 года с поправками. Руководство обобщает и объясняет правила и формы поправок, принятых Комиссией, но не заменяет собой никаких правил или форм. Только само правило или форма могут предоставить полную и окончательную информацию о своих требованиях.

Численность, математика и статистика – Набор академических навыков

Правила дифференцирования (экономика)

ContentsToggle Главное меню 1 Дифференциация 2 Правило константы 3 Правило мощности 4 Правило суммы или разности 5 Правило цепи 6 Экспоненциальная функция 7 Правило продукта 8 Правило частного 9 Проверьте себя 10 Внешние ресурсы

Дифференциация

Здесь мы рассмотрим правила, которые мы используем для дифференциации большинства типов функций.

Правило константы

Производная функции вида $y=a$ (где $a$ — константа) равна нулю: \[\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x }=0\] 9{-3} \end{align}

Цепное правило

Это правило используется для дифференцирования функции от другой функции, $y=f(g(x))$. Чтобы дифференцировать $y=f(g(x) ))$, пусть $u=g(x)$, так что имеем $y$ как функцию от $u$, $y=f(u)$. Тогда цепное правило гласит: \mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\] После того, как вы решите это, вы замените $u$ на $g(x)$, и теперь ваш ответ будет выражен в виде $x$.

Пример 1
92} \end{align}

Правило произведения

Мы используем правило произведения, чтобы дифференцировать функцию $y=uv$, которая является произведением двух функций $x$, $u$ и $v$. Правило произведения говорит, что производная от $y$ равна: d} x}+v\dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\]

На словах это означает, что «производная произведения двух функций есть производная первой, умноженная на второе плюс производная от первого, умноженная на второе».

Оставить комментарий