Правило прямоугольника онлайн
Правило прямоугольника применяется в методе Жордана-Гаусса.Алгоритм пересчета таблиц по правилу прямоугольника.
Выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ
СТЭ – элемент старого плана, РЭ – разрешающий элемент, А и В – элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор Правило прямоугольника предназначен для пересчета таблиц методом жордановских преобразований.
- Шаг №1
- Шаг №2
Выберите размерность таблицы.
2345678910
x
2345678910
Примечание. Данный метод не стоит путать с формулой прямоугольников.
Пример №1. Производится пересчет элементов новой симплекс-таблицы. Каким будет значение элемента x25 в новой симплекс-таблице, если до пересчета x25 = -3 , x27 =5 , х45 = -8 , х47 =2
Решение.
x25 =x25 – x45*x27/x47 = -3 – (-8)*5/2 = -3+20 = 17
Пример №2. По приведенной ниже симплекс-таблице определите, является ли соответствующее ей базисное решение оптимальным. Если решение не является оптимальным, осуществите пересчет таблицы.
| ПЧ | X3 | X4 | |
| F | -5 | 2 | -1 |
| X1 | 4 | 2 | 1 |
| X2 | 3 | 1 | 2 |
Решение.
Базисное решение называется допустимым базисным решением, если значения входящих в него базисных переменных x
Поскольку X1 = 4 > 0, X2 = 3 > 0, то это допустимое базисное решение. Определим, является ли оно оптимальным. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить. В индексной строке X4 = -1 < 0, поэтому план не является оптимальным. Осуществим пересчет таблицы.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: min (4:1 , 3:2 ) = 11/2
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Вместо переменной x
Таблица 1
| ПЧ | X3 | X4 | |
| F | -5 | 2 | -1 |
| X1 | 4 | 2 | 1 |
| X2 | 3 | 1 | 2 |
Разрешающий элемент РЭ=2.
НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ
СТЭ – элемент старого плана, РЭ – разрешающий элемент (2), А и В – элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ (см. табл.2).
Формируем таблицу.
| 4-(3 • 1):2 | 2-(1 • 1):2 | 1-(2 • 1):2 |
| 3 : 2 | 1 : 2 | 2 : 2 |
| -5-(3 • -1):2 | 2-(1 • -1):2 | -1-(2 • -1):2 |
Получаем новую таблицу:
Таблица 3
| ПЧ | X3 | X2 | |
| F | -31/2 | 21/2 | 0 |
| X1 | 21/2 | 0 | |
| X4 | 11/2 | 1/2 | 1 |
Поскольку X3≥0, X2≥0, то получили оптимальный план.
Пример №3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом, используя в качестве начальной угловой точки:
f(x) = -2x1 + x2 + 4x3 – x4 – x5 → min
x2 + 2x4 – x5 = 1
x1
2x2 + x3 + 2x5 = 4
xj ≥ 0, j=1,..,5, x0 = (1;1;2;0;0)
Решение.
Сведем задачу F(X) → min к задаче F(X) → max. Для этого умножаем F(X) на (-1).
0x1-1x2 + 0x3-2x4 + 1x5 = -1
-1x1 + 0x2 + 0x3 + 1x4 + 1x5 = -1
0x1-2x2-1x3 + 0x4-2x5 = -4
F(x) = 2x1 – x2 – 4x3 + x4 + x5
Затем систему ограничений преобразуем методом Гаусса-Жордана к такой форме, чтобы базисными стали переменные
|
-1 |
0 | -1 | 0 | -2 | 1 |
| -1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| -4 | 0 | -2 | -1 | 0 | -2 |
| 0 | -2 | 1 | 4 | -1 | -1 |
Итерация №1.
Разрешающий элемент РЭ=-1.
Формируем таблицу.
Строка, соответствующая переменной x2 , получена в результате деления всех элементов строки x2 на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x2 записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:
| -1 | 0 | -1 | 0 | -2 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | -1 | -1 | |
| -4 | 0 | -2 | -1 | 0 | -2 |
| 2 | 0 | 1 | 4 | -3 | -3 |
Итерация №2. Разрешающий элемент РЭ=-1.
Строка, соответствующая переменной x4, получена в результате деления всех элементов строки x3 на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x4 записываем нули.
Получаем новую таблицу:
| -1 | 0 | -1 | 0 | -2 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | -1 | -1 |
| 4 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 |
| -14 | 0 | -7 | 0 | -3 | -11 |
Итерация №3. Разрешающий элемент РЭ=-1. Строка, соответствующая переменной x
На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x3 записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:
| 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | -1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | -1 | -1 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | -4 | 4 |
| -7 | 0 | 0 | 0 | 11 | -18 |
Далее необходимо переназначить переменные и решать симплекс-методом.
ЛЕКЦИЯ №6. 6.1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений — Студопедия
Поделись с друзьями:
6.1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений:
(1)
В матрице А выберем отличный от нулю элемент .
Этот элемент называется разрешающим элементом, p-ый столбец матрицы А – разрешающим столбцом, а q-ая строка – разрешающей.
Рассмотрим новую систему уравнений:
(2)
с матрицей ; коэффициенты и свободные члены этой системы определяются по формулам
если .
В частности , если Если же , то принимаем , . Таким образом q-е уравнение в системах (1) и (2) одинаково, а коэффициенты при во всех уравнениях системы (2), кроме q-го, равны нулю.
Следует иметь в виду, что системы (1) и (2) одновременно совместны или несовместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).
Для определения элемента матрицы полезно иметь в виду так называемое “правило прямоугольника”.
Рассмотрим 4 элемента матрицы А: (элемент, подлежащий преобразованию) (разрешающий элемент) и элементы и . Для нахождения элемента следует из элемента вычесть произведение элементов , расположенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент
Аналогичным образом можно преобразовать систему (2) приняв за разрешающий элемент матрицы элемент , причем s q, После этого преобразования все коэффициенты при , кроме обратятся в нуль.
Полученная система может быть снова преобразована и т.д. Если r = n (ранг системы равен числу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида
из которой находятся значения неизвестных.
Описанный метод решения, основанный на последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана-Гаусса.
Пример. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса
Запишем коэффициенты, свободные члены и суммы коэффициентов и свободных ( – контрольный столбец) членов в следующую таблицу
| -2 | ||||
| -1 | -1 |
Возьмем за разрешающий элемент коэффициент при , в первом уравнение. Перепишем таблицу, где первая строка будет без изменения, а все элементы первого столбца будут равны нулю.
Применив правило прямоугольника, заполним остальные клетки.
| -9 | -13 | -9 | -31 |
=4- = 22 =5- = -31.
За разрешающий элемент возьмем коэффициент при во втором уравнении. Перепишем таблицу, где вторая строка будет без изменения, а элементы второго столбца будут равны нулю (кроме разрешающего элемента).
Остальные клетки заполним, применив правило прямоугольника.
; =-31-
Первую и третью строку умножим на 7
| -19 | -19 |
| -19 | -19 |
За разрешающий элемент возьмем коэффициент при в третьем уравнении.
Перепишем таблицу, где третья стока будет без изменения, элементы третьего столбца будут равны нулю, кроме разрешающего элемента.
Остальные клетки заполним, применив правило прямоугольника.
=22-
Получим Отсюда – един. решение.
I:
S: Столбец неизвестных системы линейных уравнений это
-:
-:
-:
-:
I:
S: Столбец свободных коэффициентов системы линейных уравнений это
-:
-:
-:
-:
I:
S: Матрица вида системы линейных уравнений, состоящая из коэффициентов называется
-: матрицей системы
-: расширенной матрицей
-: определителем
-: столбцом неизвестных
I:
S: Решение системы есть
-: (-1; 1; -2)
-: (2; 1; 3)
-: (0; 5; 1)
-: (-2; 0; 0)
I:
S: Для определения элемента матрицы полезно иметь в виду
+: “правило прямоугольника”.
-: “правило треугольника”.
-: коэффициенты и свободные члены этой системы
-: свободные члены этой системы
I:
S: Методом Жордана-Гаусса коэффициенты и свободные члены системы определяются по формулам
+: и
-: и
-: и
-: и
I:
S: Элемент отличный от нулю называется
-: разрешающим элементом
-: свободным элементом
-: неизвестным элементом
-: нулевым элементом
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Engineering at Alberta Courses »Метод прямоугольника
Метод прямоугольника
Пусть .
Метод прямоугольников использует определение интеграла Римана для вычисления приблизительной оценки площади под кривой путем рисования множества прямоугольников очень малой ширины, примыкающих друг к другу между графиком функции и осью. Для простоты ширина прямоугольников выбрана постоянной. Позвольте быть количество интервалов с и постоянный интервал . Метод прямоугольника может быть реализован одним из следующих трех способов:
Если и – левая и правая точки, определяющие номер прямоугольника , то предполагается, что высота прямоугольника равна , предполагается, что высота прямоугольника равна , и предполагается, что высота прямоугольника равна . называется правилом средней точки.
Чтобы проиллюстрировать разницу, рассмотрим функцию на интервале . Точный интеграл можно вычислить как
Следующие три инструмента показывают реализацию метода прямоугольника для численного интегрирования функции с использованием , и , соответственно. Для каждый прямоугольник касается графика функции в верхнем левом углу прямоугольника.
Для каждый прямоугольник касается графика функции в средней точке верхней стороны. Для каждый прямоугольник касается графика функции в верхнем правом углу прямоугольника. Площади прямоугольников рассчитываются под каждой кривой. Используйте ползунок, чтобы увеличить количество прямоугольников, чтобы увидеть, сколько прямоугольников необходимо, чтобы получить хорошее приближение для площади под кривой. 92;
I1[f, 0, 1, 13,0]
I2[f, 0, 1, 13,0]
I3[f, 0, 1, 13,0] Просмотр кода Python
по определению I1 (f, a, b, n):
h = (б - а)/n
возвращаемая сумма ([f (a + i * h) * h для i в диапазоне (int (n))])
def I2(f, a, b, n):
h = (б - а)/n
возвращаемая сумма ([f (a + (i + 1/2) * h) * h для i в диапазоне (int (n))])
def I3(f, a, b, n):
h = (б - а)/n
возвращаемая сумма ([f (a + (i + 1) * h) * h для i в диапазоне (int (n))])
защита f(x): вернуть x**2
печать("I1:",I1(f, 0, 1, 13.0))
печать("I2:",I2(f, 0, 1, 13.0))
печать("I3:",I3(f, 0, 1, 13.0))
По следующей ссылке представлены коды MATLAB для реализации метода прямоугольников.
Файлы MATLAB: Файл 1 (прямой m)
Анализ ошибок
Теорему Тейлора можно использовать для определения того, как изменяется ошибка при уменьшении размера шага. Во-первых, давайте рассмотрим (то же самое относится и к ). Погрешность вычисления числа прямоугольников между точками и будет оцениваться. Используя теорему Тейлора, так что:
Погрешность интеграла с использованием этого прямоугольника можно рассчитать следующим образом:
Если – количество подразделений (количество прямоугольников), т. е. , то:
Другими словами, общая ошибка ограничена членом, который прямо пропорционален . Когда уменьшается, граница ошибки уменьшается пропорционально. Конечно, когда она достигает нуля, ошибка также становится равной нулю.
(правило средней точки) обеспечивает более высокую скорость сходимости или более точную аппроксимацию, поскольку ошибка ограничена членом, который прямо пропорционален, как будет показано здесь.
Используя теорему Тейлора, так что:
Где . Погрешность интеграла с использованием этого прямоугольника можно вычислить следующим образом:
Если – количество подразделений (количество прямоугольников), т. е. , то:
Другими словами, общая ошибка ограничена членом, прямо пропорциональным которому обеспечивает более быструю сходимость, чем . Инструменты, показанные выше, могут служить хорошей иллюстрацией этого. Только с пятью прямоугольниками уже дает очень хорошую оценку интеграла по сравнению с , и .
Пример
Используя метод прямоугольника с , вычислить , и сравнить с точным интегралом функции на интервале . Затем найдите требуемые значения, чтобы суммарная ошибка, полученная с помощью и полученная с помощью, была ограничена 0,001.
Решение
Поскольку расстояние можно рассчитать как:
Следовательно, , , , , и . Значения функции в этих точках определяются как:
По методу прямоугольника имеем:
Для , нам нужно вычислить значения функции в середине каждого прямоугольника:
Следовательно:
Точный интеграл равен:
Очевидно, обеспечивает хорошее приближение всего с 4 прямоугольниками!
Границы ошибки
Суммарные ошибки, полученные, когда действительно меньше границ ошибок, полученных по приведенным выше формулам.
При и погрешность оценки ограничена:
Ошибки и действительно меньше этой верхней границы. По той же формуле можно найти значение так, чтобы ошибка была ограничена 0,001:
Следовательно, чтобы гарантировать ошибку менее 0,001 при использовании , интервал придется разделить на: прямоугольники! В этом случае и
Аналогично, когда ошибка использования оценки ограничена:
Ошибка действительно ограничена этой верхней ошибкой. По той же формуле можно найти значение так, чтобы ошибка была ограничена 0,001:
Следовательно, чтобы гарантировать ошибку менее 0,001 при использовании , интервал придется разделить на: прямоугольники! В этом случае и
Видео лекции
Обо мне Я профессор физики в Университете Олд Доминион (ODU)
и старший сотрудник теоретического отдела в
Национальный ускорительный комплекс лаборатории Томаса Джефферсона (JLab). M y основной сферой интересов является Квантовая хромодинамика (КХД). У меня около 100 статей, опубликованных в ведущих журналов по физике с общим числом цитирований более 10000. Два моих любимых результата — это померон БФКЛ в КХД и Уравнение БК для эволюции цветовых диполей. Профессиональные интересы T Вот две причины, по которым Теория рассеяния высоких энергий в квантовой хромодинамике (КХД)
по-прежнему интересен спустя тридцать лет после его создания. Во-первых, сведения об основных
Структура материи исходит из экспериментов, проводимых на ускорителях высоких энергий, таких как
Новый Большой адронный коллайдер (БАК). Для поиска Новая Физика на БАК нужно отделить
сигнал (рождение новой частицы) от фона (излучение нескольких сотен “старых”
частиц), которые должны быть описаны КХД с достаточной точностью. M y Основным интересом в настоящее время является изучение поведения высоких энергий в КХД высокой плотности.
Наиболее изучен случай глубоконеупругого рассеяния (ГНР) при малых значениях переменной Бьоркена x .
Поведение структурных функций ДИС при малых x описывается эволюцией цветовых диполей.
В ведущем порядке оно дается уравнением Балицкого-Ковчегова (БК), которое в настоящее время является исходным.
точка обсуждения эволюции малых x в режиме насыщения.
Уравнение БК является асимптотическим, и чтобы выяснить, актуально ли оно в настоящее время
энергий нужно знать поправки следующего за ведущим порядка (NLO).
Это была давняя проблема в физике насыщения, и после года вычислений мой
мы со студентом Г. A Другим процессом, который несколько менее изучен теоретически, является рассеяние тяжелых ионов.
учился в RHIC и LHC. В отличие от DIS, который можно интерпретировать (в лабораторной рамке)
как создание диполей виртуальным фотоном с последующим рассеянием
этих диполей от ядра, рассеяние двух тяжелых ядер должно
включают эволюцию, идущую в обоих направлениях к любому из ядер. Кажется, что
единственная надежда на аналитический расчет в КХД состоит в том, чтобы построить эффективный 2+1
действие (со временем = быстрота), которое включает в себя два
эволюции. Такое эффективное действие будет включать как создание, так и уничтожение
диполей и, следовательно, допускают померонные петли, которые
возможно, являются источником унитаризации высокоэнергетических амплитуд. |
Я получил докторскую степень. по физике Петербургского института ядерной физики (Санкт-Петербург, Россия) в 1984.
После этого я работал в ПИЯФ, Университете штата Пенсильвания, Массачусетском технологическом институте, а с 1996 года работаю в ODU/JLab.
Во-вторых, есть ускорители.
которые исследуют структуру вещества КХД как в нормальных условиях (лаборатория Джефферсона),
и в экстремальных условиях, которые могли существовать в начале Вселенной
(исследования кварк-глюонной плазмы на ускорителе RHIC в Брукхейвенской национальной лаборатории).
Чирлилли смогли ее решить.
Тщательный анализ поправок NLO очень важен как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения.
точек зрения, поскольку определяет, может ли описание DIS в терминах цветовых диполей
быть полезным для будущего электронно-ионного коллайдера.