Правило умножения матрицы на матрицу: Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Умножение матриц: определение и правила

Клэр хочет знать, что произойдет, если она возьмет вектор, который начинается в начале координат и заканчивается в (1, 1), и повернет его против часовой стрелки 90 ^o вокруг начала координат. А также, что происходит с вектором, когда она увеличивает его в 3 раза.

Это можно сделать физически, нарисовав вектор на графическом листе, обведя вектор на кальке и повернув кальку 90 ^o против часовой стрелки. Для масштабирования мы могли бы использовать линейку, чтобы увеличить вектор в три раза.

Но есть более простой способ сделать это с помощью умножения матриц!

Мы представляем вектор, который начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в (1, 1), матрицей порядка 2 × 1, где первая строка задает x-компоненту, а вторая строка задает y-компоненту как 11.

Для поворота этого вектора на 90 ^o против часовой стрелки мы просто умножаем матрицу вращения, которая равна 0-110, на матрицу 11, и это дает нам результирующий вектор. Для масштабирования вектора мы просто умножаем матрицу 11 на скаляр 3.

В этой статье мы узнаем, как выполнить умножение двух матриц и как умножить матрицу на скаляр.

Как умножить матрицу на скаляр?

Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто умножаем каждый элемент матрицы на скаляр.

В приведенном выше примере, когда нам нужно масштабировать вектор с коэффициентом 3, нам нужно было умножить скаляр 3 на матрицу 11. Для этого нам просто нужно умножить каждый элемент матрицы на скаляр. В этом случае результатом снова будет матрица 33,9.0005

В общем, если нам нужно умножить скаляр, скажем, u, на матрицу A=abcd, мы получим

uA=u×abcd=u×au×bu×cu×d.

1. Умножив скаляр 4 на матрицу 363340, мы получим 4×34×63×64×34×44×0=12241812160.

2. Если матрица A=123494567, то 2A=2×12×22×32×42×92×42×52×62×7=2468188101214.

Как перемножить две матрицы?

В отличие от сложения и вычитания матриц, мы не требуем, чтобы матрица имела один и тот же порядок для выполнения умножения матриц. Однако количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы. Это условие совместимости, которое необходимо проверить для выполнения матричного умножения.

Для выполнения умножения двух матриц проверка совместимости заключается в том, что количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Матрицы A=124864304,B=356 имеют порядок 3×3 и 1×3 соответственно.

Мы можем умножить матрицу B на A, записанную как BA, так как количество столбцов B и количество строк A одинаковы.

Однако мы не можем умножить A на B, записанное как AB, так как количество столбцов в A равно 3, а количество строк в B равно 1, что не одно и то же.

Также важно отметить, что AB≠BA. Это отличается от умножения целых чисел, где 2×3=3×2=6. При умножении матриц важен порядок, в котором перемножаются матрицы. Как видно из этого примера, мы можем сделать BA, но не AB.

Рассмотрим две матрицы A и B с порядками m×n и p×q. Предположим, мы хотим перемножить их, где A — первая матрица, а B — вторая матрица, тогда

• по тесту на совместимость, количество столбцов в A = количеству столбцов в B, то есть n = p;
• порядок матрицы AB будет равен количеству строк в A × количеству столбцов в B, то есть m × q;
• ^{элемент в строке i и столбце j матрицы AB находится путем суммирования произведения всех элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.}

Рассмотрим две матрицы A=24 ,В=57.

Порядок этих матриц 1×2 и 2×1 соответственно.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Мы можем найти AB, поскольку количество столбцов в A = количеству строк в B = 2.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Матрица AB будет иметь то же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, как B. В этом случае порядок AB будет 1×1.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

AB=2457=_

Единственный элемент матрицы AB можно получить, умножив элементы первой строки A24 на соответствующие элементы первого столбца B57 и сложив результаты.

То есть (2×5)+(4×7)=10+28=38.

Это причина проверки совместимости. Количество элементов в каждой строке A будет таким же, как количество элементов в каждом столбце B. Таким образом, произведение AB = 38.

Теперь найдем BA для того же примера.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Совместимость для этого умножения состоит в том, что количество столбцов B = количеству строк A = 1.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Порядок матрицы BA = количество строк B × количество столбцов A = 2×2.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

BA=5724=____

Элемент в строке 1 и столбце 1 BA находится путем умножения соответствующих элементов первой строки B5 на первый столбец A2. В этом случае, поскольку у нас есть только один элемент, мы имеем 5×2=10.

Элемент в строке 1 и столбце 2 БА находится путем умножения соответствующих элементов первой строки B5 на второй столбец A4. То есть 5×4=20.

Элемент в строке 2 и столбце 1 BA находится путем умножения соответствующих элементов второй строки B7 на первый столбец A2. То есть 7×2=14.

Аналогично t элемент в строке 2 и столбце 2 из ВА =7×4=28. Следовательно, матрица BA равна 10201428.

В общем, рассмотрим две матрицы A=abcd,B=efgh.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Количество столбцов A = количеству строк B = 2, поэтому мы можем найти AB.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Результирующая матрица имеет то же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, что и B. В этом случае порядок AB будет 2×2.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

Элемент в строке 1 и столбце 1 таблицы AB находится из первой строки строки Aab и первого столбца таблицы Beg. Умножаем соответствующие элементы и складываем результаты. То есть (а×е)+(б×г).

Элемент в строке 1 и столбце 2 таблицы AB определяется из первой строки таблицы Aab и второго столбца таблицы Bfh. То есть (a×f)+(b×h).

Аналогично находим остальные элементы матрицы и получаем

AB=abcdefgh=(a×e)+(b×g)(a×f)+(b×h)(c×e)+(d×g)(c×f)+(d×h) .

Мы хотим найти произведение матриц AB

A=123246,B=124635.

Решение

Шаг 1 – Проверка совместимости: количество столбцов A = количество строк B = 3.

Шаг 2 – Порядок матрицы произведения: количество строк A ×количество столбцов B = 2×2.

Шаг 3 – Нахождение элементов матрицы произведения:

Элемент в строке 1 и столбце 1 AB получается из

123 и 143 как (1×1)+(2×4)+(3×3)=18.

Элемент в строке 1 и столбце 2 AB получается из

123 и 265 как (1×2)+(2×6)+(3×5)=29.

Аналогично получаем остальные элементы AB. Следовательно,

АВ=18293658.

Дано A=20131440-2,B=1230-214-10, найти матрицу AB.

Решение

Шаг 1 – Проверка совместимости: количество столбцов A = количество строк B = 3.

Шаг 2 – Порядок матрицы произведения: количество строк A × количество столбцов B = 3×3.

Шаг 3 – Нахождение элементов AB:

AB=(2×1)+(0×0)+(1×4)(2×2)+(0×-2)+(1× -1)(2×3)+(0×1)+(1×0)(3×1)+(1×0)+(4×4)(3×2)+(1×-2)+ (4×-1)(3×3)+(1×1)+(4×0)(4×1)+(0×0)+(-2×4)(4×2)+(0× -2)+(-2×-1)(4×3)+(0×1)+(-2×0)=2+0+44+0-16+0+03+0+166-2- 49+1+04+0-88+0+212+0+0=63619010-41012

Умножение матриц — ключевые выводы

• Умножение матрицы на скаляр: Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто умножаем каждый элемент матрицы на скаляр.
• Умножение двух матриц: Порядок умножения матриц имеет значение.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Количество столбцов первой матрицы = количеству строк второй матрицы

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Количество строк первой матрицы × количество столбцов второй матрицы

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведения.

Умножить соответствующие элементы строк первой матрицы на элементы столбцов второй матрицы и сложить их.

Умножение матриц | Формула, правила, умножение и факты

Что такое матрица?

Матрица определяется как прямоугольный массив чисел, символов или выражений, расположенных в строках и столбцах (множественное число: матрицы). Если в массиве n строк и m столбцов, то это матрица размера n×m. размерности матрицы обозначаются числами n и m. Числа в матрице обозначаются как их элементы .

Обозначение матриц

Мы обычно обозначаем матрицы заглавными буквами, такими как A, B, C и т.д.

A≔ Матрица обозначается заглавной буквой.
a≔ Элемент матрицы обозначается строчной буквой.

Прямоугольные скобки обычно используются для записи матриц. Горизонтальные и вертикальные линии элементов в матрице называются соответственно строками и столбцами.

Размер матрицы

Количество строк и столбцов, содержащихся в матрице, определяет ее размер. Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей размера m × n или матрицей размера m на n, где m и n называются размерами матрицы. При описании матрицы вы указываете количество строк по количеству столбцов. Иногда это называют порядком матрицы. Например, матрица

A=[12       34]

называется матрицей размера один на четыре, поскольку она имеет одну строку и четыре столбца. Мы также можем сказать, что порядок A равен 1 × 4. Матрица

B = [123  456]

является матрицей 3 × 2, поскольку она имеет три строки и два столбца. Он имеет порядок 3×2.

Совет: Помните, что сначала указывается количество строк, а затем количество столбцов.

Рассмотрите аббревиатуру «RC» для «Row then Column», чтобы помочь вам запомнить это.

Что такое умножение матриц?

Жак Филипп Мари Бине, французский математик, впервые описал матричное умножение в 1812 году для изображения композиции линейных карт, представленных матрицами. В результате умножение матриц является фундаментальным инструментом линейной алгебры с различными приложениями во многих областях математики, включая прикладную математику, статистику, физику, экономику и инженерию. Вычисление матричного произведения является фундаментальным процессом во всех вычислительных приложениях линейной алгебры.

Существует только два метода умножения матриц. Первый метод включает умножение матрицы на скаляр. Это называется скалярным умножением. Второй способ заключается в умножении одной матрицы на другую. Это называется умножением матриц.

Скалярное умножение

Поскольку выражение A+A представляет собой сумму двух матриц с одинаковыми размерами, матрицу A можно сложить с самой собой. В итоге мы удваиваем каждую запись в A, когда вычисляем A+A. В результате мы можем интерпретировать выражение 2A как предписывающее нам умножить каждый элемент в A на  2. 

Обычно, чтобы умножить матрицу на число, умножьте это число на каждый элемент матрицы. Например,

Отдельные числа обычно называют скалярами при обсуждении матриц. В результате мы называем операцию умножения матрицы на число скалярным умножением.

Скалярное произведение

Чтобы умножить одну матрицу на другую, мы должны сначала понять, что такое скалярное произведение. Скалярное произведение — это метод нахождения произведения двух векторов, также известный как умножение векторов. Предположим, что следующие два вектора:

u=[123] , v=[456]

Чтобы умножить эти два вектора, просто перемножьте соответствующие элементы и сложите полученные произведения.

u∙v=(1)(4)+(2)(5)+(3)(6)
=4+10+18
=32

В результате перемножения векторов получаем единственное значение . Обратите внимание, однако, что два вектора имеют одинаковое количество записей. Что, если один из векторов содержит меньше элементов, чем другой?

 Например, пусть

u=[214] , v=[310     2]

Когда соответствующие записи были перемножены и сложены вместе, решение будет:

u∙v= [214] [310     2]
=2(3)+1(1)+0(4)+?(2)

Здесь возникла проблема. Первые три записи скалярного произведения имеют соответствующие записи для умножения, а четвертая — нет. Это означает, что скалярное произведение этих двух векторов не может быть вычислено.

В результате скалярное произведение двух векторов с разным количеством элементов не может быть найдено. Они оба должны содержать одинаковое количество записей.

Каковы условия для умножения матриц?

Когда мы хотим перемножить матрицы, мы должны сначала убедиться, что операция возможна, что не всегда так. Кроме того, в отличие от числовой арифметики и алгебры, даже если произведение существует, порядок умножения может повлиять на результат.

Изучение скалярного произведения необходимо при умножении матриц. При умножении одной матрицы на другую строки и столбцы должны рассматриваться как векторы.

Пример 1. Найти AB, если A=[1234] и B=[5678]

А∙В= [1234] ^. [5678]

Сосредоточьтесь на следующих строках и столбцах

где r ₁ — первая строка, r ₂ ​ — вторая строка, c ₁ , c _{2 ​90are38 первая и ​90are38 вторые столбцы. Рассматривайте каждую строку и столбец как вектор.}

Обратите внимание, что умножение матрицы 2×2 на другую матрицу 2×2 дает матрицу 2×2. Таким образом, в полученной матрице должно быть четыре элемента.

Убедитесь, что первая запись находится в первой строке и первом столбце. Итак, чтобы получить значение первой записи, просто возьмите скалярное произведение r ₁ и с ₁ . Таким образом, первая запись будет

Теперь обратите внимание, что расположение второй записи находится в первой строке и втором столбце. Итак, чтобы получить значение второй записи, просто возьмите скалярное произведение r ₁ и c ₂ . Таким образом, вторая запись будет

. Ту же стратегию можно использовать для получения значения двух последних записей.

Пример 2. Найти AB, если A=[14   25 36] и B=[111  111 111 111]

A∙B= [14  25 36] x [111 111 111 111]

Используйте скалярные произведения для вычисления каждой записи.

Следовательно, две матрицы можно перемножить, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Умножение дает другую матрицу с тем же количеством строк, что и у первой, и тем же количеством столбцов, что и у второй. Если это не так, умножение не может быть выполнено.

В символах пусть A будет матрицей m×p, а пусть B будет матрицей q×n. Тогда произведение A×B=AB будет матрицей размера m×n при условии, что p=q. Если p≠q, умножение матриц не определено. Например, матрицу 2×5 нельзя умножить на матрицу 3×4, потому что 5≠3, тогда как матрицу 2×5 можно умножить на 5×3, и в результате получится матрица 2×3.

Каковы свойства умножения матриц?

Умножение матриц имеет некоторые общие свойства с обычным умножением. Умножение матриц, с другой стороны, не определено, если число столбцов в первом сомножителе отличается от числа строк во втором сомножителе, и оно некоммутативно, даже если произведение остается определенным после того, как порядок сомножителей измененный.

Некоммутативность 

Некоммутативность умножения матриц является одним из наиболее существенных различий между умножением действительных чисел и умножением матриц. Следовательно, порядок умножения двух матриц имеет значение при умножении матриц.

Операция является коммутативной, если для двух элементов A и B, таких, что произведение AB

определено, тогда также определено BA, AB=BA

Например,

A=[0100] и B=[0010 ]

затем,

AB= [0100] x [0010] = [1000]

но

BA= [0010] x [0010] = [1000]

Обратите внимание, что продукты не совпадают с AB ≠БА. Следовательно, умножение матриц не является коммутативным.

Коммутативность имеет место в одном особом случае. Это при умножении диагональных матриц одинаковой размерности.

Помимо этого важного отличия, свойства умножения матриц в основном аналогичны свойствам умножения действительных чисел.

Дистрибутивность

Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц. То есть, если A, B, C, D матрицы соответствующих размеров m×n,n×p, n×p и p×q, то дистрибутивность слева

AB+C=AB+AC

и другое имеет правильное распределение

B+CD=BD+CD

Пример 1: 

Обратите внимание, что AB+C=AB+AC. Теперь найдите B+CA и  BA+CA

. Обратите внимание, что B+CA=BA+CA. Также примечательно, что AB + CB + CA и что AB + AC ≠ BA + CA, что напоминает нам о некоммутативности матричного умножения.

Ассоциативность

Это свойство указывает, что группировка, окружающая умножение матриц, может быть изменена.

Если A, B, C являются матрицами m×n, n×p и p×q соответственно, то (AB)C=A(BC)

Например, вы можете умножить матрицу A на матрицу B, а затем умножить результат на матрицу C, или вы можете умножить матрицу B на матрицу C, а затем умножить результат на матрицу A.

Применяя это свойство, помните о порядке перемножения матриц, поскольку умножение матриц не является коммутативным.

Пример 1: 

Мы можем найти (AB)C следующим образом:

Мы можем найти A(BC) следующим образом:

Обратите внимание, что ABC= A(BC).

Свойство мультипликативной идентичности

Матрица n × n , обозначенная как In, представляет собой матрицу с n строками и n столбцами. Все записи по диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого – это единицы, а все остальные – нули.

Например:

Свойство мультипликативной идентичности утверждает, что произведение любой матрицы размера n×n A и I n всегда равно A, независимо от порядка выполнения умножения. Другими словами, A∙I=I∙A=A

Роль, которую играет единичная матрица n×n в умножении матриц, подобна роли, которую играет число 1 в действительной системе счисления. Если a — действительное число, то мы знаем, что a∙1=a и 1∙a=a

Мультипликативное свойство нуля

Нулевая матрица — это матрица, в которой все элементы равны 0. Например, 3× 3 нулевая матрица O _3×3 =[0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Нулевая матрица обозначается буквой O, при необходимости можно добавить нижний индекс для указания размеров матрицы.

Мультипликативное свойство нуля гласит, что произведение любой матрицы размера n×n на нулевую матрицу размера n×n является нулевой матрицей размера n×n. Другими словами, А∙О=О∙А=О.

Роль, которую нулевая матрица размера n×n играет в умножении матриц, аналогична роли, которую играет число 0 в действительной системе счисления. Если a — действительное число, то мы знаем, что a∙0=0 и 0∙a=0

Свойство измерения

Свойство измерения — это свойство, уникальное для матриц. Это свойство состоит из двух частей:

1. Если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице, определяется произведение двух матриц.

2. Если произведение определено, результирующая матрица будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Например, если A — матрица 3×2, а B — матрица 2×4, свойство размерности говорит нам, что произведение AB определено и AB будет матрицей 3×4.

Где можно применить умножение матриц?

Умножение матриц исторически использовалось для упрощения и уточнения вычислений в линейной алгебре. Эта тесная связь между линейной алгеброй и матричным умножением продолжает оставаться фундаментальной для всей математики, а также для физики, химии, инженерии и компьютерных наук.

Записи в матрице могут представлять данные, а также математические уравнения. Матрицы умножения могут обеспечить быстрое, но точное приближение к гораздо более сложным вычислениям во многих инженерных приложениях, критичных ко времени.

Матрицы появились как способ описания систем линейных уравнений, тип задач, с которыми знаком каждый, кто изучал алгебру в начальной школе. Термин «линейный» просто означает, что переменные в уравнениях не имеют показателей, поэтому их графики всегда представляют собой прямые линии.

Уравнение x-2y=0, например, имеет бесконечное число решений как для y, так и для x, что можно изобразить в виде прямой линии, проходящей через точки (0,0), (2,1), (4,2) и так далее. Но если вы объедините его с уравнением x -y=1, то будет только одно решение: x=2 и y=1. В точке (2,1) также пересекаются графики двух уравнений.

Матрица, иллюстрирующая эти два уравнения, будет представлять собой сетку чисел два на два, где верхняя строка будет [1-2], а нижняя строка будет [1-1], чтобы соответствовать коэффициентам переменных в два уравнения.

Компьютеры часто используются для решения систем линейных уравнений — обычно с более чем двумя переменными — в различных приложениях, начиная от обработки изображений и заканчивая генетическим анализом. Их также часто просят перемножить матрицы.

Умножение матриц аналогично решению линейных уравнений для конкретных переменных. Рассмотрим выражения t + 2p + 3h, 4t + 5p + 6h и 7t + 8p + 9h, которые описывают три различные математические операции, включающие измерения температуры, давления и влажности. Их можно представить в виде трехстрочной матрицы: [1 2 3], [4 5 6] и [7 8 9].

Предположим, вы измеряете температуру, давление и влажность вне дома в два разных времени. Эти показания также могут быть представлены в виде матрицы с первым набором показаний в одном столбце и вторым набором показаний в другом.

Умножение этих матриц влечет за собой сопоставление строк из первой матрицы, которая описывает уравнения, и столбцов из второй, которая представляет измерения, умножение соответствующих членов, их сложение и ввод результатов в новую матрицу. Числа в окончательной матрице, например, могут предсказать путь системы низкого давления.

Конечно, сведение сложной динамики моделей погодных систем к набору линейных уравнений само по себе является трудной задачей. Но это поднимает одну из причин, по которой матрицы так популярны в компьютерных науках: они позволяют компьютерам заранее выполнять большую вычислительную тяжелую работу. Создание матрицы, которая дает полезные результаты вычислений, может быть трудным, но умножение матриц обычно не является трудным.

Графика — это одна из областей компьютерных наук, где умножение матриц особенно полезно, поскольку цифровое изображение по своей сути является матрицей: строки и столбцы матрицы соответствуют строкам и столбцам пикселей, а числовые значения соответствуют цветовые значения пикселей. Декодирование цифрового видео требует умножения матриц. Например, некоторым исследователям удалось создать один из первых чипов для реализации нового стандарта высокоэффективного кодирования видео для телевизоров сверхвысокой четкости. Паттерны, которые они обнаружили в используемых матрицах, сыграли свою роль в этом успехе.

Матричное умножение также может помочь в обработке цифрового видео и цифрового звука. Цифровой аудиосигнал, по сути, представляет собой серию чисел, которые представляют собой изменение давления воздуха акустического аудиосигнала во времени. Умножение матриц используется во многих методах фильтрации или сжатия цифровых аудиосигналов, включая преобразование Фурье.

Еще одна причина, по которой матрицы так полезны в компьютерных науках, заключается в том, что графики также полезны. Граф — это математическая конструкция, состоящая из узлов, обычно изображаемых в виде кругов, и ребер, обычно изображаемых в виде соединяющих их линий. Графики обычно используются для представления действий компьютерной программы в отношениях, характерных для логистических задач.