Правило вычисления производной сложной функции: Ошибка 404 Страница не найдена - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Урок 11. правила дифференцирования – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

разбор основных правил дифференцирования функций;
примеры вычисления производной линейной функции;
правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) – g(x))’ = f ‘(x) – g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x³+3x²-x.

Решение:

f(x)=8x³+3x²-x

f’(x)=(8x³)’+(3x²)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x³) ‘=8(x³) ‘=8·3x²=24x²

(3x²) ‘=3(x²) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x³) ‘+(3x²) ‘-x’=24x²+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x²+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)²

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F’ (x)=8x-4.

Производная сложной функции. Вычисление производных сложных функций.

План

проведения открытого урока № 5

Дата:

Группа:

Дисциплина: Математика

Раздел дисциплины: Математический анализ.

Тема дисциплины 1.1 Дифференциальное исчисление.

Тема занятия: Производная сложной функции. Вычисление производных сложных

функций.

Тип учебного занятия: Комбинированное занятие.

Цели занятия:

Предметные: Обобщить и систематизировать знания о производной, отработать

навыки вычисления производной. Сформировать понятие

производной сложной функции. Закрепить

умение производить вычисления по формулам.

Метапредметные: Формировать умение воспринимать и осмысливать знания в готовом

виде, умение выделять главное. Развивать умение работать в

должном темпе, приемы запоминания.

Личностные: Формировать познавательную потребность, стремление к глубокому

усвоению материала, стремление к высокому качеству результатов

труда.

Межпредметные связи:

Обеспечивающие дисциплины: Математика.

Обеспечиваемые дисциплины: Техническая механика. Устройство автомобилей.

Методы: словесные – лекция; практические – решение упражнений по образцу;

наглядные с использованием презентации и раздаточного материала.

Демонстрационный материал:

Компьютер.
Оргтехника.
Презентация к уроку.

Раздаточный материал:

Карточки с заданиями для индивидуальной работы.
Комплект заданий для устной работы.
Карточки для самостоятельной работы.

ХОД ЗАНЯТИЯ:

Организационно-мотивационная часть (10 минут).

Приветствие.
Сообщение темы занятия.
Постановка цели занятия.
Письменный опрос у доски (2 человека).
Письменный опрос на местах (4 человека).
Первый ряд пишет наизусть формулы из таблицы производных.
Фронтальный опрос.
Проверка домашнего задания.
Сбор решенных заданий.

Устная работа (задания на экране) (10 минут).

Вычислить производные функций (работает вся группа).

Самостоятельная работа (10 минут).

Вычислить производные функций.

(проверка преподавателем решенных ранее заданий).

Объявление результатов проверки заданий, решенных ранее. (2 минуты).

Актуализация опорных знаний. (2 минуты).

Изложение нового материала. (20 минут).

Закрепление (32 минуты).

Мини-тренинг с использованием элементов проблемного обучения и метода мозгового штурма.

Вычислить производные сложных функций.

Домашнее задание. (2 минуты).

Подведение итогов занятия. (2 минуты).

ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ:

Производная сложной функции.

Сложная функция.

Понятие сложной функции широко используется в математике. Со

сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов.

Пусть заданы две функции и , причем область определения функции содержит множество значений функции . Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функции и , или суперпозицией функций и .

Например, функция есть сложная функция, составленная из более простых функций и .

Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций. Например, функция может быть рассмотрена как суперпозиция следующих функций:

, , .

Пример. Для функций и составьте .

Используя определение сложной функции, получаем:

Рассмотренный пример показывает, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют, т. е. вообще говоря, если .

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция , , имеет производную в точке , а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле или, опуская значение аргументов,

Примеры:

Найти производные следующих функций:

1. .

Решение:

Полагая и , применяя правило дифференцирования сложной функции, имеет:

2. .

Решение:

Полагая , найдем, используя соответствующие формулы:

Решение:

Полагая , найдем:

4. ;

5. .

6. Найти производную функции при данном значении

аргумента:

7. ; ;

;

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ

Мозговой штурм

Мозговой штурм (мозговая атака, брейнсторминг, brainstorming) включает в себя два этапа:

Группа выдвигает идеи по заданной теме. Все идеи фиксируются, в том числе на первый взгляд абсурдные. Критиковать нельзя.
Оценка и развитие идей. Отбор лучших идей.

Суть метода — в отделении процесса генерации идей (первый этап) от их анализа и отбора (второй этап).

Подготовка мозгового штурма

Сформируйте группу генераторов идей (как правило, 5-10 человек). Это должны быть творческие люди, обладающие подвижным, активным умом.

Сформируйте экспертную группу, которой предстоит подвергнуть анализу все выдвинутые идеи и отобрать лучшие. На практике нередко сами генераторы, завершив выдвижение идей, выступают как эксперты. В рекламных агентствах в роли эксперта выступает креативный директор.

За день-два до штурма разошлите участникам оповещение о штурме с кратким описанием темы и задачи (бриф). Возможно, кто-то придёт с готовыми идеями.

Подготовьте всё необходимое для записи идей и демонстрации списка. Варианты:

Доска и мел

Листы бумаги на планшетах и фломастеры

Разноцветные стикеры

Ноутбук в связке с проектором

Назначьте ведущего мозгового штурма. В большинстве случаев ведущий известен изначально, он и организует брейнсторминг.

Выберите одного или двух секретерей, которые будут фиксировать все идеи.

Назначьте продолжительность первого этапа. Обычно около часа, в креативных агентствах, конечно, дольше. Ведь генерация идей — их основная работа.Участники должны знать, что время ограничено, и им необходимо выдать как можно больше идей в сжатые сроки. Это активизирует, заставляет выложиться. Чёткий тайминг — такое же обязательное условие для участников штурма, как длина дистанции для бегунов.

Поставьте задачу. Что конкретно нужно получить в результате мозговой атаки? Запишите задачу так, чтобы она всё время была на виду. Формулировка задачи и полезная информация содержатся также в брифе, который роздан в печатном виде.Участники должны чётко представлять, зачем они собрались и какую проблему собираются решить. В мозговой атаке приветствуется сумятица идей, но не сумятица задач.

Проведение мозгового штурма

1. Этап генерации идей (Фаза «мечтателя»)

Спустите фантазию с поводка! Пусть каждый выдвинет как можно больше идей. Приветствуются озарения и необузданная фантазия в альтернативных направлениях. Можно высказывать безответственные, причудливые, прикольные, нелепые идеи. Самые лучшие — это сумасшедшие идеи. В глазах современников Галилей тоже, наверное, нёс ахинею.

Каждая идея полезна уже потому, что она стимулирует другие. Стремитесь развивать, комбинировать и улучшать высказанные ранее идеи, получать от них новые ассоциативные идеи.

Создатель метода мозгового штурма Алекс Осборн (Alex F. Osborn) говорил: «Количество идей переходит в качество. В каждой идее есть рациональное зерно».

Высказывайте свои идеи без доказательств и объяснений. Излагайте идеи кратко, в нескольких словах. Тем не менее, ведущий и группа должны понять суть предложения. Если это не так, ведущий помогает автору сформулировать идею под запись.

Записываются все идеи. Нет плохих идей! Все идеи приветствуются. На первом этапе количество идей предпочтительнее качества. Осборн говорил: «Количество, количество и ещё раз количество, вот девиз дня. Чем больше попыток, тем больше вероятность попадания в цель».

Критика идей на этапе генерации абсолютно запрещена. Наложено табу на реплики: «Это глупо», «Детский лепет», «Ерунда», «Это невозможно», «Мы делали это раньше, но безрезультатно» и т. п. Критика запрещается даже в форме жестов, ироничных взглядов и скептических усмешек. Иначе у генераторов может пропасть всякая охота генерировать.

В агентстве Saatchi & Saatchi запрещалось использовать словосочетание «Да, но…». Вместо него надо было говорить «Да, и…».

Приветствуются юмор, смех. Поддерживайте и создавайте атмосферу уважительного радостного общения умных и остроумных, заинтересованных в хорошем решении людей.

Прямолинейное мышление не может обнаружить скрытые идеи, лежащие в стороне. Вместо того, чтобы напрягаться, расслабьтесь, смейтесь, и такое дурачество поможет вам двинуться в новом направлении.

Самый интересный момент штурма — наступление пика, ажиотажа, когда идеи начинают просто фонтанировать. Происходит непроизвольная генерация гипотез участниками. Этот пик был теоретически обоснован Зигмундом Фрейдом в работах о бессознательном.

Правильный сеанс мозгового штурма — особое психологическое состояние группы, когда думается без волевых усилий и принимается во внимание «всё, что придёт в голову». Такое состояние оказывается продуктивным, поскольку позволяет использовать подсознание человека — мощный ресурс творческого мышления.

После завершения активной фазы генерации участники штурма коллективно редактируют список наработанных идей. На этом этапе уже возможно полукритичное отношение к ним и расширение списка новыми идеями, возникшими в процессе редактирования.

«Сухой остаток» первого этапа — начерно отредактированный список идей, зафиксированных кратко, торопливо. Из этой «руды» предстоит извлечь бриллиант. Или несколько бриллиантов.

Перерыв.

2. Этап оценки идей (Фаза «реалиста»)

Самая лучшая идея — та, которую вы рассматриваете сейчас. Анализируйте её так, как будто других идей нет вообще. Это правило подразумевает предельное внимание к каждой записанной идее.

Хотя критика уже не возбраняется, она должна быть конструктивной. Постарайтесь найти рациональное зерно в каждой идее. Если время позволяет, на этапе оценки лучше не спешить.

Используйте метод контрольных вопросов.

Как минимум, каждую идею желательно протестировать по краткому вопроснику типа:

Решение в рамках закона?

Идея реализуема до 10 июня?

Разумны ли предполагаемые затраты?

Каким образом данная идея, если её реализовать, провалится?

Когда есть бриф, общий критерий такой: идея по брифу или не по брифу? Решающее слово в оценке идей принадлежит креативному директору.

Развивайте идеи. Группируйте их в тренды. Пытайтесь «поженить» элементы разных гипотез. Иногда самые лучшие идеи получаются в результате объединения двух менее ярких предложений. Креативность превосходно проявляет себя не только при создании новых идей, но и в работе с уже имеющимися.

Используйте морфологический метод: не поленитесь начертить таблицу по типу таблицы футбольного чемпионата, где каждой команде,.. — то есть идее — предстоит «сыграть» с каждой.

Помечайте идеи вашего списка:

+ + очень хорошая, оригинальная идея

+ неплохая идея

0 не удалось найти конструктива

Отбросьте явно банальные, тупиковые, неплодотворные идеи.

Считается, что лишь 10-15% идей оказываются приемлемыми, зато среди них встречаются весьма оригинальные. Ценно, если «выжившие» идеи выстраиваются в логичную цепь — рекламную кампанию.

Ведущий мозговой атаки:

Ведущий (фасилитатор, модератор) поочередно даёт слово генераторам идей, чтобы они не галдели все одновременно. Следит, чтобы все участники штурма имели равную возможность высказаться. Ведущий может вносить свои идеи наравне со всеми.

Корректно, но решительно пресекает критику идей, которая почти всегда непроизвольно возникает, особенно поначалу. Типичные фразы idea killers (убийц идей), и как на них нужно отвечать:

— Из этого ничего не выйдет. — «Конечно, если не развивать эту идею, из неё ничего не получится».

— Это не работает — «Но идея ведь неплохая?»

— Это чересчур — «И что?»

— Клиент никогда это не одобрит — «А что если одобрит?»

— Ну и что в этом оригинального? — «То, что это раньше никто не предлагал».

— Кто угодно может придумать такое — «Точно!»

Ведущий обеспечивает непрерывность выдвижения идей. Он всеми мерами не допускает зажима «плохих» идей, снимает боязнь участников «ляпнуть что-нибудь не то». Доброжелательность ведущего стимулирует рождение новых идей у членов группы. Но он не должен слишком хвалить даже явно удачные гипотезы, чтобы не нарушить равенство участников штурма.

Ведущий следит за регламентом. Напоминает, сколько времени осталось до конца сеанса. Тактично останавливает креатора, который высказывает свою идею дольше полуминуты. Мозговой штурм — это интенсивный, быстро протекающий творческий процесс.

Искусство ведущего мозговой атаки заключается в умении раскрепостить мышление членов творческой группы, вдохновить их на свободное самовыражение.

Что может и чего не может мозговой штурм

Метод мозгового штурма эффективен:

При решении задач, которые не имеют однозначного решения, и задач, где решения требуются нетрадиционные. Таковы все задачи по созданию рекламного креатива.

Когда необходимо быстро найти выход из критической ситуации.

Везде, где нужно получить много идей за короткое время. Методика мозгового штурма универсальна.

Несовершенство метода заключается в том, что поиск идей идёт случайным образом, наобум. Вы никогда не останетесь совсем без идей. Но нет гарантии, что среди ваших решений окажется действительно превосходное.

Метод мозгового штурма — эффективная помощь в генерации идей. Но он не замещает целиком творческий процесс.

Технология проблемного обучения

Под проблемным обучение понимается такая организация учебных занятий, которая предлагает создание под руководством преподавателя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей.

Уникальность проблемного обучения состоит в его многофункциональности, эффективном решении следующих задач:

стимулирование внутренней мотивации учения;

повышение познавательного интереса;

формирование самостоятельности;

развитие творческих способностей, воображения;

создание условия для самоопределения в профессиональной образовательной сфере;

развитие коммуникативных навыков;

прочное изучение изученного;

формирование убеждений;

овладение первичными навыками исследовательской деятельности.

Структура, состоящая из следующих элементов:

учебная проблема, вызывающая соответствующую (проблемную) ситуацию;

гипотеза или предположения по ее разрешению;

обоснование выдвинутой гипотезы, т.е. различного рода доказательства (теоретическое, экспериментально-практическое, фактическое;)

Вывод.

Этот блок элементов является основным и называется проблемно-структурированным блоком (ПСБ).

Исследовательская работа являет собой самый высокий уровень, при котором обучающиеся самостоятельно выдвигаю проблему и решают ее. Этому уровню соответствует исследовательский метод, форма реализации которого – проблемные практические и теоретические задания.

Частично-поисковый уровень предполагает выдвижение проблемы (проблемной ситуации) преподавателем, а решение предлагается найти обучающимся самостоятельно под руководством преподавателя. Это средний уровень проблемности, он может быть организован методом эвристического диалога, форма реализации которого – беседа эвристического характера.

Самый низкий уровень проблемности – проблемное изложение, в ходе которого преподаватель сам выдвигает проблему, создавая у студентов проблемную ситуацию, сам выдвигает гипотезу и сам доказывает. Метод, соответствующий этому уровню, так и называется – проблемное изложение; форма его реализации – лекция проблемного характера.

Проблемная ситуация – основная категория проблемного обучения.

Обнаружение противоречий и осознание их как трудностей в проблемной ситуации должно сопровождаться возникновением интереса.

Проблемная ситуация – это психическое состояние обучающегося, в которой он:

видит противоречия, какие-либо несоответствия;
осознает их как трудности, преодоление которых требует новой информации;
хочет разрешить данные противоречия.

В результате возникновения проблемной ситуации в сознании обучающихся (студентов) формулируется проблема. Она, как правило, реализуется в форме вопроса, причем чем глубже сформулирована проблема, тем острее интерес к ней, а следовательно, и успешнее ее разрешение.

Этапы построения проблемного занятия:

актуализация опорных знаний;
анализ проблемного задания;
вычленение проблемы;
выдвижение всевозможных предположений;
сужение поля поиска;
доказательство рабочих гипотез;
проверка правильности решения.

Этап 1-й, актуализация опорных знаний. Цель: вспомнить и актуализировать имеющиеся знания (что мы знаем или должны знать?).

Путь реализации: фронтальный опрос, рассказ-вступление, решение задачи, индивидуальный устный ответ с последующими необходимыми уточнениями и добавлениями.

Результат: наличие у студентов опорных знаний, необходимых для осмысленного восприятия противоречий.

Спектр изменений личности студента: формируется умение соотносить ответы с образцом, четко формулировать ответы, управлять своим вниманием, развивать стремление к взаимопомощи и оказанию поддержки.

Этап 2-й, анализ проблемного задания. Цель: понять начальные условия. (Почему это происходит?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, изложение преподавателя, постановка проблемного опыта.

Результат: понимание существования, наличия какого-то несоответствия.

Спектр изменений личности студента: формируется умение ответственно относиться к своей позиции и сопоставлять ее с позицией другого, корректировать свою точку зрения.

Этап 3-й, вычленение проблемы. Цель: выявление сути противоречия. (В чем наше затруднение? Что мы не знаем?)

Путь реализации: работа в группах («мозговой штурм»), индивидуальные суждения-выступления, коллективное обсуждение, изложение преподавателем.

Результат: вербальная формулировка проблемы.

Спектр изменений личности студента: формируется развитие логического мышления, вербализация перехода от анализа противоречия к поиску направления его разрешения, самостоятельность суждений, развитие навыков интеллектуального взаимодействия с партнерами по образовательному процессу.

Этап 4-й, выдвижение возможных предположений. Цель: выдвижение предположений по решению проблемы. (Как можно ответить на вопрос, какие могут быть гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, «мозговая атака», индивидуальные суждения, предположения, выдвинутые преподавателем (изложение).

Результат: наличие ряда гипотез.

Спектр изменений личности студента: проявляется гибкость мышления, формируется умение мысленно прослеживать путь решения, аналитико-прогностические умения.

Этап 5-й, сужение поля поиска. Цель: проработать каждое из выдвинутых предложений с целью отсева неперспективных. (Какие гипотезы неперспективны? Какие более перспективны?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, групповая работа, индивидуальные суждения, изложение-рассуждение преподавателя.

Результат: сужение поля поиска решения, определение рабочей гипотезы.

Спектр изменений личности студента: формируется умение делать эскизные проект решения проблемы, анализировать перспективность гипотез, определять недостатки и достоинства предложений, несмотря на их авторство.

Этап 6-й, доказательство рабочих гипотез. Цель: доказать рабочую гипотезу. (Какое теоретическое или практическое обоснование мы можем предложить? Как доказать справедливость выдвинутой гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, последовательное проведение доказательства несколькими студентами или представителем группы. Доказательство гипотезы самим преподавателем (мини-лекция, объяснение). Коллективное доказательство под руководством преподавателя (фронтальная беседа).

Результат: наличие стройной системы доказательство и уяснение ее сути.

Спектр изменений личности студента: формируется умение формулировать и выстраивать логику доказательства, конструировать цепочку причинно-следственных связей, выстраивать свою позицию и быть готовым к ее коррекции или замене.

Этап 7-й, проверка гипотез. Цель: осуществить рефлексию проделанной работы, сделать вывод. (Как проверить правильность решения? Или: Как доказать правильность доказательства?)

Пути реализации: задание (на поэтапную проверку правильности выполненных действий, соотнесение начальных условий с характером и содержанием решения и т.д.). Упражнения (на проверку правильности вывода путем переноса его на другие аналогичные исходной, ситуации).

Результат: убежденность в правильности полученного вывода.

Спектр изменений личности студента: формируется способность к объяснению, оценке собственных действий, убежденность.

Ранее мы указывали на существование трех уровней проблемности: 1) низкий, 2) средний, 3) высокий.

При реализации первого уровня преподаватель сам формулирует проблему, показывает противоречия, формулирует задание или вопрос, сам выдвигает гипотезу, обосновывает и доказывает ее, делает вывод.

На втором уровне преподаватель лишь формулирует проблему, создавая проблемную ситуацию, а студенты под его руководством выдвигают гипотезы, стремятся доказать их, делают вывод.

На третьем уровне преподаватель организует обучение таким образом, что студенты сами обнаруживают противоречия, сами выдвигают и доказывают гипотезы, делают выводы.

Каждому уровню соответствует свой метод. Первому соответствует метод проблемного изложения, чаще всего реализуемый в форме проблемной лекции. Второму уровню соответствует метод эвристической беседы, который чаще всего используется на семинарских и практических занятиях. Третьему – исследовательская работа, доминирующая на практических занятиях.

При чередовании этапов (преподаватель – студенты – преподаватель – студенты) можно получить второй уровень проблемности, реализуемый через беседу проблемного характера. Если же все этапы реализуются самими студентами при минимальной необходимой помощи преподавателя, то имеем третий уровень проблемности – исследовательскую работу. Если все этапы указанной выше схемы реализуются через изложение преподавателя, то получаем проблемную лекцию, соответствующую первому уровню проблемности.

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1. Омельченко В.П. «Математика», Ростов-на-Дону, «Феникс»,2005 г.

2. Дадаян А.А. «Математика», Москва, «ФОРУМ-ИНФРА-М», 2003г.

3. Богомолов Н.В. «Математика», Москва, «Дрофа», 2005г.

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». Москва,

изд. «Высшая школа», 2002г.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. « Высшая математика

в упражнениях и задачах». Москва, ОНИКС 21 век. «Мир и

образование», 2002г.

Интернет-ресурсы:

www.exponenta.ru – Образовательный математический сайт

www.math34.ru – Математический анализ.

http://www.allmath.ru- Математический портал

ПРИЛОЖЕНИЕ

Раздаточный материал для студентов.

Письменный опрос у доски 2 человека.

при х=-2;
при у=1.

Письменный опрос на местах 4 человека.

Найдите частные производные функций:

1. а) ; б) при х=0;

2. а) ; б) при х=1;

3. а) , ; б) ;

4. а) б) , .

Найдите значение производной функции

при х=-2.

———————————————————————————————————————

Найдите значение производной функции

при х=1.

Вычислить производные функций:

1.;

2. при х=0.

————————————————————————————————-

Вычислить производные функций:

1.;

2. при х=1.

Вычислить производные функций:

2. .

———————————————————————————————————————

Вычислить производные функций:

7. Фронтальный опрос.

Содержание опроса:

а) Дайте определение производной.

б) В чем состоит физический смысл производной?

в) В чем состоит геометрический смысл производной?

г) Как называется операция нахождения производной?

д) Перечислите правила дифференцирования.

е) Как найти производную суммы или разности нескольких функций?

ж) Как найти производную произведения двух функций?

з) Как найти производную частного двух функций?

Устная работа (задания на экране).

Вычислить производные функций.

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

1 вариант.

Вычислить производные функций:

———————————————————————————————————————

Самостоятельная работа

2 вариант.

Вычислить производные функций:

Самостоятельная работа

3 вариант.

Вычислить производные функций:

;

———————————————————————————————————————

Самостоятельная работа

4 вариант.

Вычислить производные функций:

;

Самостоятельная работа

5 вариант.

Вычислить производные функций:

;

—————————————————————————————

Самостоятельная работа

6 вариант.

Вычислить производные функций:

;

Самостоятельная работа

7 вариант.

Вычислить производные функций:

;

—————————————————————————————

Самостоятельная работа

8 вариант.

Вычислить производные функций:

;

Самостоятельная работа

9 вариант.

Вычислить производные функций:

;

Самостоятельная работа

10 вариант.

Вычислить производные функций:

;

6. Изложение нового материала

Содержание: а) Определение производной сложной функции.

б) Примеры производных сложных функций.

в) Правило вычисления производной сложной функции.

г) Методика вычисления производных сложных функций.

7. Закрепление: мини-тренинг с использованием элементов технологии мозгового

штурма:

Вычислить производные сложных функций: -33

1) ;

;

; .

8. Домашнее задание:

а) Выучить теорию.

б) Вычислить производные сложных функций:

9. Подведение итогов занятия:

Кратко обобщить информацию, сделать выводы по занятию.

Оценка работы группы в целом и отдельных студентов.

Преподаватель Е.Ю. Богина

Вычисление производных. Правила дифференцирования — методическая рекомендация. Алгебра, 10 класс.

1.	Главные формулы производной	1 вид – рецептивный	лёгкое	1 Б.	Задача на проверку знаний главных формул производной.
2.	Угловой коэффициент касательной	1 вид – рецептивный	лёгкое	1 Б.	График функции — парабола, задана абсцисса точки.
3.	Производная многочлена	2 вид – интерпретация	лёгкое	3 Б.	Вычисление производной многочлена.
4.	Производная функции, состоящей из слагаемых	2 вид – интерпретация	лёгкое	8 Б.	Нахождение производной функции, состоящей из нескольких слагаемых.
5.	Нахождение функции по производной	2 вид – интерпретация	среднее	1 Б.	Дана производная функции.
6.	Производная произведения функций в данной точке	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Вычисление производной произведения функций в данной точке.
7.	Производная частного функций в данной точке	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Вычисление производной частного функций в данной точке.
8.	Производная тригонометрических функций	2 вид – интерпретация	среднее	1 Б.	Вычисление производной тригонометрических функций.
9.	Производная сложной функции	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Нахождение призводной сложной функции.
10.	Производная сложной тригонометрической функции	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Нахождение производной сложной тригонометрической функции.
11.	Производная третьего порядка	2 вид – интерпретация	среднее	1 Б.	Вычисление и понятие производной n-ого порядка.
12.	Производная функции в данной точке	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Вычисление производной функции в данной точке.
13.	Вычисление аргумента функции	3 вид – анализ	сложное	3 Б.	Используется запись в виде интервала и с модулем. Производная функции принимает положительные значения.
14.	Производная сложной функции в неравенстве	3 вид – анализ	сложное	1 Б.	Задана обратная и сложная функция.

как найти, вычислить и понять с нуля

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Вычисление производных сложных функций

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Дифференцирования сложной функции: .

Обратим внимание на запись . Здесь две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию будем называтьвнешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения «внешняя» функция, «внутренняя» функция являются неформальны и применяются только для того, чтобы легче было понять материал.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.Под синусом находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть сумма, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя.

В данном примере функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а тригонометрическая функция синус – внешней функцией.

Первое, что необходимо сделать при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В данном простом примере понятно, что под синус вложен многочлен . В том случае, когда нет очевидности как функция внутренняя, а какая внешняя, можно использовать следующий прием.

Представим, что нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что необходимо вычислить в первую очередь?В первую очередьнужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией . Во вторую очередьнужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией .

После того, как разобралисьс внутренней и внешней функциями применяем правило дифференцирования сложной функции .

Сначаланаходим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция =9x+6 не изменилась.

Очевидно, что

Результат в чистовом оформлении выглядит так:

Далее берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2.Найти производную функции

Решение.Записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен и есть внутренняя функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция. Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз:любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Когда находим производную от внешней функции , внутренняя функция не меняется. Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции.

Пример 3. Найти производную функции а) ; б)

Решение.

а)

б) .

Пример 4.Найти производную функции

Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции:

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: .

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Рекомендуемые страницы:

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

3.6: Цепное правило – математика LibreTexts

Цели обучения

Сформулируйте цепное правило для композиции двух функций.

Примените цепное правило вместе с правилом мощности. n, \ sin x, \ cos x и т. Д.2 + 1} \). В этом разделе мы изучаем правило нахождения производной композиции двух или более функций.

Вывод правила цепочки

Когда у нас есть функция, которая представляет собой композицию из двух или более функций, мы могли бы использовать все методы, которые мы уже изучили, чтобы различать ее. Однако использование всех этих техник для разбиения функции на более простые части, которые мы можем различать, может оказаться громоздким. Вместо этого мы используем правило цепочки , которое гласит, что производная сложной функции – это производная внешней функции, вычисленная во внутренней функции, умноженная на производную внутренней функции.3) \).

Теперь, когда мы вывели частный случай цепного правила, мы сформулируем общий случай, а затем применим его в общей форме к другим составным функциям. Неофициальное доказательство приводится в конце раздела.

Правило

: правило цепочки

Пусть \ (f \) и \ (g \) – функции. Для всех \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g \) дифференцируема в \ (x \) и \ (f \) дифференцируема в \ (g (x) \), производная сложной функции

\ [h (x) = (f∘g) (x) = f \ big (g (x) \ big) \]

выдается

\ [h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x).\]

В качестве альтернативы, если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}. \]

Стратегия решения проблем: применение правила цепочки

Чтобы различать \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big) \), начните с определения \ (f (x) \) и \ (g (x) \).
Найдите \ (f ‘(x) \) и оцените его в \ (g (x) \), чтобы получить \ (f’ \ big (g (x) \ big) \).
Найдите \ (g ‘(x). \)
Запишите \ (h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) ⋅g ‘(x).\)

Примечание : Применяя правило цепочки к композиции двух или более функций, имейте в виду, что мы работаем извне, функция внутри. Также полезно помнить, что производная композиции двух функций может считаться состоящим из двух частей; производная от композиции трех функций состоит из трех частей; и так далее. Кроме того, помните, что мы никогда не оцениваем производный инструмент по производному инструменту.

Объединение правил цепи и мощности

Теперь мы можем применить правило цепочки к составным функциям, но обратите внимание, что нам часто нужно использовать его с другими правилами.3 \) при \ (x = −2 \).

Подсказка: Используйте предыдущий пример в качестве руководства.

Ответ: \ (у = -48x-88 \)

Объединение правила цепочки с другими правилами

Теперь, когда мы можем объединить цепное правило и правило мощности, мы исследуем, как объединить цепное правило с другими правилами, которые мы изучили. В частности, мы можем использовать его с формулами для производных тригонометрических функций или с правилом произведения.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование правила цепочки для функции общего косинуса

Найти производную от \ (h (x) = \ cos \ big (g (x) \ big). \)

Решение

Думайте о \ (h (x) = \ cos \ big (g (x) \ big) \) как о \ (f \ big (g (x) \ big) \), где \ (f (x) = \ cos Икс\). Поскольку \ (f ‘(x) = – \ sin x \). у нас есть \ (f ‘\ big (g (x) \ big) = – \ sin \ big (g (x) \ big) \). Затем делаем следующий расчет.

\ [\ begin {align *} h ‘(x) & = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x) & & \ text {Примените правило цепочки.5 + 2x). \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найти производную от \ (h (x) = \ sin (7x + 2). \)

Подсказка: Сначала примените цепное правило к \ (h (x) = \ sin \ big (g (x) \ big) \), а затем используйте \ (g (x) = 7x + 2 \).

Ответ: \ (h ‘(x) = 7 \ cos (7x + 2) \)

На этом этапе мы предоставляем список производных формул, которые могут быть получены путем применения цепного правила в сочетании с формулами для производных тригонометрических функций.Их выводы аналогичны тем, которые использовались в приведенных выше примерах. Для удобства формулы также даны в обозначениях Лейбница, которые некоторым студентам легче запомнить. (Мы обсуждаем цепное правило, используя обозначения Лейбница в конце этого раздела.) Не обязательно запоминать их как отдельные формулы, поскольку все они являются приложениями цепного правила к ранее изученным формулам.

Использование цепного правила с тригонометрическими функциями

Для всех значений \ (x \), для которых определена производная,

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ sin (g (x)) \ Big) = \ cos (g (x)) \ cdot g ‘(x) \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ sin u \ Big) = \ cos u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cos (g (x)) \ Big) = – \ sin (g (x)) \ cdot g ‘(x) \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cos u \ Big) = – \ sin u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ tan (g (x)) \ Big) = \ sec ^ 2 (g (x)) \ cdot g ‘(x) \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ tan u \ Big) = \ text {sec} ^ 2u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cot (g (x)) \ Big) = – \ text {csc} ^ 2 (g (x)) \ cdot g ‘(x) \ )

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cot u \ Big) = – \ text {csc} ^ 2u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {sec} (g (x)) \ Big) = \ text {sec} (g (x)) \ tan (g (x)) \ cdot g ‘(x) \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {sec} \, u \ Big) = \ text {sec} \, u \ tan u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {csc} (g (x)) \ Big) = – \ text {csc} (g (x)) \ cot (g (x) ) \ cdot g ‘(x) \)

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {csc} \, u \ Big) = – \ text {csc} \, u \ cot u \ cdot \ dfrac {du} {dx}.4} \)

Композиты из трех или более функций

Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза. Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем сгенерировать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.

В общем, сначала сдаем

\ [k (x) = h \ Big (е \ big (g (x) \ big) \ Big).\ nonumber \]

Затем, применяя цепное правило, мы получаем

\ [k ‘(x) = \ dfrac {d} {dx} \ Big (h \ big (f \ big (g (x) \ big) \ big) \ Big) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) ⋅ \ dfrac {d} {dx} \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big). \ nonumber \]

Применяя снова цепное правило, получаем

\ [k ‘(x) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f ‘\ big (g (x) \ big) \ cdot g’ (x)) . \ nonumber \]

Правило: цепное правило для композиции из трех функций

Решение

Для всех значений \ (x \), для которых функция дифференцируема, если

\ (k (x) = h \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big), \)

, затем

\ (k ‘(x) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f ‘\ big (g (x) \ big) \ cdot g’ (x)) . 2 + 1).3) \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): использование правила цепочки в задаче скорости

Частица движется по координатной оси. Его положение в момент времени t определяется выражением \ (s (t) = \ sin (2t) + \ cos (3t) \). Какова скорость частицы в момент времени \ (t = \ dfrac {π} {6} \)?

Решение

Чтобы найти \ (v (t) \), скорость частицы в момент времени \ (t \), мы должны продифференцировать \ (s (t) \). Таким образом,

\ [v (t) = s ‘(t) = 2 \ cos (2t) −3 \ sin (3t). \ Nonumber \]

Правило доказательства цепочки

Здесь мы представляем очень неформальное доказательство цепного правила.Для простоты мы игнорируем некоторые вопросы: например, мы предполагаем, что \ (g (x) ≠ g (a) \) для \ (x ≠ a \) в некотором открытом интервале, содержащем \ (a \). Начнем с применения предельного определения производной к функции \ (h (x) \), чтобы получить \ (h ‘(a) \):

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {x − a}. \ ]

Переписывая, получаем

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a}. \]

Хотя понятно, что

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g ‘(a), \]

не очевидно, что

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = f ‘\ большой (г (а) \ большой).\]

Чтобы убедиться в этом, сначала напомним, что, поскольку \ (g \) дифференцируема в \ (a \), \ (g \) также непрерывна в \ (a. \) Таким образом,

\ [\ lim_ {x → a} g (x) = g (a). \]

Затем сделайте замену \ (y = g (x) \) и \ (b = g (a) \) и используйте замену переменных в пределе, чтобы получить

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = \ lim_ {y → b} \ dfrac {f (y) −f (b)} {y − b} = f ‘(b) = f’ \ big (g (a) \ big). \]

Наконец,

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f ‘\ big (g (a) \ big) \ cdot g’ (a).\]

□

Пример \ (\ PageIndex {10} \): использование правила цепочки с функциональными значениями

Пусть \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big). \) Если \ (g (1) = 4, g ‘(1) = 3 \) и \ (f’ (4 ) = 7 \), найти \ (h ‘(1). \)

Решение

Используйте цепное правило, затем замените.

\ [\ begin {align *} h ‘(1) & = f’ \ big (g (1) \ big) \ cdot g ‘(1) & & \ text {Применить правило цепочки.} \\
& = f ‘(4) ⋅3 & & \ text {Substitute} \; g (1) = 4 \; \ text {и} \; g ‘(1) = 3. \\
& = 7⋅3 & & \ text {Substitute} \; f ‘(4) = 7.\\
& = 21 & & \ text {Упростить.} \ End {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Дано \ (h (x) = f (g (x)) \). Если \ (g (2) = – 3, g ‘(2) = 4, \) и \ (f’ (- 3) = 7 \), найдите \ (h ‘(2) \).

Подсказка: Следуйте примеру \ (\ PageIndex {10} \).

Ответ: 28

Цепное правило с использованием обозначений Лейбница

Как и в случае с другими производными, которые мы видели, мы можем выразить цепное правило, используя обозначения Лейбница.Это обозначение цепного правила широко используется в физических приложениях.

Для \ (h (x) = f (g (x)), \) пусть \ (u = g (x) \) и \ (y = h (x) = g (u). \) Таким образом,

\ [h ‘(x) = \ dfrac {dy} {dx} \ nonumber \]

\ [f ‘(g (x)) = f’ (u) = \ dfrac {dy} {du} \ nonumber \]

\ [g ‘(x) = \ dfrac {du} {dx}. \ Nonumber \]

Следовательно,

\ [\ dfrac {dy} {dx} = h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x) = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac { du} {dx}. \ nonumber \]

Правило: цепное правило с использованием обозначения Лейбница

Если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}.3). \)

Ключевые понятия

Цепное правило позволяет нам различать композиции из двух или более функций. В нем говорится, что для \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big), \)

\ (h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x). \)

В обозначениях Лейбница это правило принимает форму

\ (\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx} \).

Мы можем использовать правило цепочки с другими правилами, которые мы изучили, и мы можем вывести формулы для некоторых из них.{n − 1} \ cdot g ‘(x) \)

Глоссарий

линейка: цепное правило определяет производную сложной функции как производную внешней функции, вычисленную во внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Авторы и авторство

Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax лицензирован CC-BY-SA-NC 4.0 лицензия. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

3.3 Разграничение составов функций

Исчисление одной действительной переменной Пхенг Ким Винг
Глава 3: Правила дифференциации Раздел 3.3. Состав функций Правило цепочки

3,3
Дифференциация составов функций
Правило цепочки

Вернуться к содержанию
Перейти к проблемам и решениям

1.Состав функций

Рассмотрим пример. Пусть f ( x ) = x ² и g ( x ) = 3 x + 1. Тогда f ( g ( x )) = ( г ( x )) ² = (3 x + 1) ². Получили новый
функция, значение которой при x равно (3 x + 1) ².Этот новый Функция получается путем комбинирования или составления функций f и g и
таким образом, называется составом или составной функцией , f и g . Обозначается как f o g , произносится как f circle g или
f круглый г . Следовательно, ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x )) = (3 x + 1) ².

В обозначениях f ( g ( x )), f снаружи функция и г внутренний. Чтобы вычислить ( f o g ) ( x ) = (3 x + 1) ², сначала мы
вычисляем 3 x + 1 = g ( x ), затем вычисляем (3 x + 1) ² = f ( g ( x )) = ( f o г ) ( x ).Следовательно внутренняя функция г предшествует

Рис.1.1

Состав функций f и g .

внешняя функция f в порядке вычисление ( f o g ) ( x ) или f ( g ( x )).См. Рис. 1.1. Имейте в виду, что здесь у нас есть
, , три различных функции : f , g и f o g . Домен f o g – это набор всех x , так что f ( g ( x )) существует или имеет смысл.
Таким образом, это набор всех x в домене g , так что g ( x ) находится в домене из ф .

Определение 1.1

Пусть f и g будет functions и D – набор всех x в dom ( g ), так что g ( x ) находится в dom ( f ). потом состав или
составная функция , из f и g – это функция из D до диапазона ( f ), который обозначается f o g , произносится f круг
g или f круглый g , и это определяется по:

( f o g ) ( x ) = f ( g ( x ))

для всех x в D .Обратите внимание, что D = dom ( f o g ).

Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

Мы собирается установить в следующей теореме формулу для производной от состав ф o г дифференцируемый
функции f и g с точки зрения производные f и g .Пусть u = g ( x ) и y = f ( u ) = f ( g ( x )) = ( f o g ) ( х ). См. Рис. 2.1.
Напомним, что интерпретация производной как скорости изменения обсуждалась. в разделе 2.3 . Предположим, du / dx = 3 и

Фиг.2,1

y = f ( u ) = f ( g ( x )) = ( f o g ) ( x ).

dy / du = 2. Поскольку x изменяется, u изменяется в 3 раза быстрее, чем x , и y изменяется в 2 раза так быстро, как u , таким образом, y изменения
2 x 3 = в 6 раз быстрее, чем x .Мы только что наблюдали интуитивно понятно, что скорость изменения y относительно x равна
скорость изменения y относительно u , умноженная на скорость изменения u относительно x : dy / dx = ( dy / du ) ( du / dx ).
Это то же самое, что сказать, что производная f o g относительно x равна производной f относительно г ( x )
умноженное на производную g относительно x : ( f o g ) ‘( x ) = f ‘ ( g ( x )) g ‘( х ).

Теорема 2.1 Правило цепочки

Если u = г ( x ) дифференцируема в точке x и y = f ( u ) дифференцируема в точке g ( x ), затем y = f ( g ( x )) =
( f o g ) ( x ) есть дифференцируемые при x и:

( f o g ) ‘( x ) = f ‘ ( g ( x )) g ‘( x ).

В системе обозначений Лейбница:

Доказательство

Отсюда:

EOP

Примечание на Доказательство

Замечание 2.1

В системе обозначений Лейбница:

du кажутся вычеркнуть из числителя и знаменателя двух дробей.Обозначения dy / dx , dy / du и
du / dx отображаются как нормальные фракции. Это полезно для запоминания формулы.

Формула ( f o g ) ‘( x ) = f ‘ ( g ( x )) g ‘( x ) может быть записана как ( f ) ( г ( x ))) ‘= г ‘ ( г ( x )) г ‘( x ).Пусть теперь u = u ( x ) = g ( x ). Тогда
эту последнюю формулу можно как-то упростить следующим образом: форма, которую, возможно, легче запомнить:

( f ( u )) ‘= f ‘ ( u ) u ‘( x ),

, где ( f ( u )) ‘= ( d / dx ) f ( u ) (производная от f ( u ) с отражением до x ), f ‘( u ) = ( d / du ) f ( u ) (производная от f ( u ) относительно
u ) и u ‘( x ) = г ‘ ( x ).

Пример 2.1

Дифференцировать г ( x ) = (3 x + 4) ².

Раствор

г ‘( x ) = 2 (3 x + 4) (3) = 6 (3 х + 4).
EOS

Мы думаем о 3 x + 4 as u ( u = 3 x + 4) и f ( u ) как u ² ( f ( u ) = u ²).Тогда g ( x ) = f ( u ) и поэтому g ‘( x ) = ( d / dx ) f ( u ) = ( f ( u )) ‘=
f ‘ ( u ) u ‘( x ) = 2 u (3) = 6 (3 x + 4). Для этой конкретной простой функции g мы можем проверить: g ( x ) = (3 x + 4) ² = 9 x ² + 24 x + 16;
таким образом, г ‘( x ) = 18 x + 24 = 6 (3 x + 4), то же, что и по цепному правилу.

Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

3. Власть Правило Дифференциация целых степеней функций

в секции 3.2 Следствие 4.1 имеем, что для любого целого n производная от x ⁿ is nx ⁿ ¹: ( d / dx ) x ⁿ 907 907 907 907 ¹.Это
производная целых степеней переменных. Теперь мы расширим это до целочисленных степеней функций.

Следствие 3.1 Правило степени для целых показателей

Доказательство
Пусть y = ( u ( x )) ⁿ .Использование цепного правила получаем:

EOP

Пример 3.1

Дифференцировать г ( x ) = (3 x + 4) ².

Раствор

г ‘( x ) = 2 (3 x + 4) (3) = 6 (3 х + 4).
EOS

Это та же функция g , что и в Пример 2.1 , где мы использовали цепочку Правило прямо дифференцировать г .

Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

4. Власть Правило Разграничение рациональных полномочий функций

Теперь мы расширяем правило мощности на рациональные степени функций.Напомним, что рациональное число – это число что может быть
записывается как отношение или дробь м / n , где м – целое число и n положительное целое число.

Следствие 4.1 Правило мощности для рациональных экспонент

Доказательство
Существует целое число м и положительное целое число n такое, что r = m / n .Использование правила мощности для целочисленных показателей ср
есть:

EOP

Посмотрим в разделе 6.3 Ур. [4.1] , что ( d / dx ) x ^a = ax ^a ¹ для любого реального номер а , откуда по цепному правилу получаем
( d / dx ) ( u ( x )) ^a = a ( u ( x )) ^a ¹ ( du / dx ) для любого real номер а , рациональный или иррациональный.

Пример 4,1

Решение

EOS

Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

5. Дифференциация квадратного корня функций

Таким образом, для всех x > 0 или для всех x , где u ( x )> 0:

Замечание, что первая формула также была получено в разделе 3.2 Следствие 2.1 .

Пример 5,1

Решение

EOS

Эта функция h ( t ) также была дифференцирован в Пример 4.1 с использованием правило власти. На самом деле для квадратного корня
Функция правила извлечения квадратного корня, как показано здесь, проще, чем правило мощности.

Перейти к проблемам & Solutions Вернуться к началу страницы

6.Применение правила цепочки больше, чем Один раз за один шаг

Пример 6.1

Решение 1

EOS

В приведенном выше решении мы применяем цепное правило дважды в два разных этапа: сначала, чтобы дифференцировать 10-й мощность, а затем
дифференцировать 15-ю степень.Мы можем и лучше применить все экземпляры цепное правило за один шаг, так как
показано в решении 2 ниже.

Решение 2

EOS

Вернуться к началу Страница

Проблемы И Решения

1. Различают следующие функции. Вам не нужно упрощать ответы.

Решение

Вернуться к началу Страница

2. Пусть y = f ( u ) = ( u ² + 3 u 4) ^3/2 и u = g ( x ) = x ³ 3.Находить ( f o g ) ‘(2) по:
a. Выражение y напрямую как функцию x и дифференцируя.
г. Использование цепного правила.

Решение

Вернуться к началу Страница

3. а. Покажите, что ( d / dx ) | x | = sgn x , где sgn – это функция signum , определяемая:

г. Найдите f ‘( x ), если f ( x ) = | 2 + x ³ |.

Решение

г. f ‘( x ) = (sgn (2 + x ³)) (3 x ²) = 3 x ² sgn (2 + x ³).

Вернуться к началу Страница

4. Используйте формулы ( d / dx ) sin x = cos x , ( d / dx ) cos x = sin x и ( d / dx ) ln x = 1/ x .
а. Найдите f ‘( x ), если f ( x ) = sin cos sin ³ x .
г. Найдите v ‘, если v = cos ² (5 4 y ³).
г. Вычислить ( d / dt ) ln ( a ln ( bt + c )).

Решение

а. f ‘( x ) = (cos cos sin ³ x ) (sin sin ³ x ) (3 (sin ² x ) (cos x )) = 3 sin ² x cos x cos cos sin ³ x sin sin ³ x .

г. v ‘= 2 (cos (5 4 y ³)) ( sin (5 4 y ³)) (12 y ²) = 24 y ² cos (5 4 y ³) sin (5 4 y ³).

Вернуться к началу Страница

5. Пусть y = ( u + 1) / u . Предположим, что u = g ( x ) и g (3) = 2, где g – дифференцируемая функция, и предположим ( dy / dx ) | _x ₌ ₃ = 5.
Найдите g ‘(3).

Решение

У нас:

или 5 = (1/2 ²) г ‘(3) = (1/4) г ‘ (3).Таким образом, г ‘(3) = 20.

Вернуться к началу Страница

6. Пусть f ( x ) = ( x a ) ^m ( x b ) ⁿ , где 715 a и м и n составляют положительные целые числа. Докажите, что существует c где a < c < b
, так что производная от f исчезает по адресу c .

Решение

У нас:

Используя тот факт, что a < b , m > 0, и n > 0 получаем:

a b <0 < b a ,
м ( a b ) <0 < n ( b a ),
ma ma <0 < nb na ,
ma mb + na na <0 < nb na + mb mb ,
a ( m + n ) ( mb + na ) < 0 < b ( m + n ) ( mb + na ),
a ( m + n ) < mb + na < b 907 м + n ),

завершает доказательство.

Вернуться к началу Страница Вернуться к содержанию

Правило цепочки

Это наиболее важное правило, которое позволяет вычислить производную композиции двух или более функций.

Сначала рассмотрим понятие составной функции. Пусть функция \ (g \) определена на множестве \ (X \) и может принимать значения в множестве \ (U \). В этом случае мы говорим, что функция \ (g \) отображает множество \ (X \) в \ (U \), и функция записывается как

\ [{u = g \ left (x \ right), \; \; \ text {where} \; \; \;} \ kern-0.3pt {x \ in X, u \ in U.} \]

Теперь представьте, что на множестве \ (U \) определена другая функция \ (f \). Эта функция отображает набор \ (U \) в \ (Y: \)

\ [{y = f \ left (u \ right), \; \; \ text {where} \; \; \;} \ kern-0.3pt {u \ in U, y \ in Y.} \]

Это двойное отображение, в котором диапазон первой карты является подмножеством области второй карты, называется композицией карт, а соответствующие функции образуют композицию функций.

Если \ (g: X \ to U \) и \ (f: U \ to Y \), то композиция функций \ (g \) и \ (f \) обозначается как

\ [{y = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right)} = {f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right)} = {f \ влево (и \ вправо)} \]

и представляет собой «двухуровневую» составную функцию или функцию функции.

Если \ (f \) и \ (g \) – дифференцируемые функции, то составная функция \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \) также дифференцируема в \ ( x \), а его производная равна

\ [
{\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right)}
= {\ frac {d} {{dx}} f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) g ‘\ left (x \ right)}
= {\ frac {{df}} {{ du}} \ frac {{du}} {{dx}}.}
\]

При более внимательном рассмотрении формулы мы замечаем, что она включает в себя умножение значения производной для внешней функции на значение производной для внутренней функции.Однако, когда мы дифференцируем составную функцию \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \) в точке \ (x \), мы умножаем значение производной внутренней функции на \ (x \), умноженное на значение производной внешней функции в точке \ (u = g \ left (x \ right) \)… не в точке \ (x! \)

Докажем приведенную выше формулу.

Возьмем произвольную точку \ ({x_0} \). Мы предполагаем, что функция \ (u = g \ left (x \ right) \) дифференцируема в \ ({x_0} \), а функция \ (y = f \ left (u \ right) \), соответственно, является дифференцируемо в точке \ ({u_0} = g \ left ({{x_0}} \ right) \).Это означает, что производные \ (g ‘\ left (x \ right) \) и \ (f’ \ left (u \ right) \) существуют в указанных точках, а функции \ (g \ left (x \ right) ) \) и \ (f \ left (u \ right) \) непрерывны в окрестности этих точек.

Производная внешней функции \ (y = f \ left (u \ right) \) в точке \ ({u_0} \) записывается с использованием определения предела как

\ [f ’\ left ({{u_0}} \ right) = \ lim \ limits _ {\ Delta u \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta u}}. \]

Это выражение можно переписать в виде:

\ [{\ Delta y} = {f ’\ left ({{u_0}} \ right) \ Delta u + \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ Delta u,} \]

, где ошибка \ (\ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \)) зависит от приращения \ (\ Delta u \) и выполняется следующее условие:

\ [{\ lim \ limits _ {\ Delta u \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right)} = {\ varepsilon \ left (0 \ right) = 0.} \]

Разделите выражение для \ (\ Delta y \) на приращение внутренней переменной \ (\ Delta x \ ne 0: \)

\ [{\ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}} = {f ‘\ left ({{u_0}} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x }} + \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}.} \]

Поскольку внутренняя функция \ (u = g \ left (x \ right) \) дифференцируема в \ ({x_0}, \), то

\ [\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} = g ’\ left ({{x_0}} \ right).\]

Отметим также, что \ (\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta u = 0 \) непрерывностью функции \ (u \ left (x \ right) \) и, следовательно,

\ [
{\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) = \ varepsilon \ left ({\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Дельта u} \ right)}
= {\ varepsilon \ left (0 \ right) = 0.}
\]

В результате производная сложной функции в точке \ ({x_0} \) выражается следующей формулой:

\ [
{y ‘\ left ({{x_0}} \ right)} = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}}
= {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{f ‘\ left ({{u_0}} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} \ верно.} + {\ left. {\ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} \ right]}
= {f ‘\ left ({ {u_0}} \ right) \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} + {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}}
= {f ‘\ left ({{u_0}} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right) + 0 \ cdot g’ \ left ({{x_0}} \ right)}
= {f ‘\ left ({ {u_0}} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right)}
= {f’ \ left ({g \ left ({{x_0}} \ right)} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right).\ prime}}
= {f ‘\ left ({g \ left ({h \ left (x \ right)} \ right)} \ right) \ cdot g’ \ left ({h \ left (x \ right) } \ right) \ cdot h ‘\ left (x \ right).}
\]

Вы можете заметить, что производная составной функции представлена как серийный продукт производных составляющих функций. Аргументы функций связаны (связаны), так что значение внутренней функции является аргументом для следующей внешней функции. 4}}}} \]

Пример 55

\ [y = \ ln \ tan \ left ({\ frac {x} {2} + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \]
Пример 1.\ prime}}

= {- 3 \ sin \ left ({3x + 2} \ right).}
\]
Исчисление I – правило цепочки
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. {- \ frac {1} {2}}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt {5z – 8 }}} \]
, которая не является производной, которую мы вычислили с использованием определения.Это близко, но это не то же самое. Таким образом, одно правило мощности просто не сработает, чтобы получить здесь производную.
Давайте продолжим смотреть на эту функцию и заметим, что если мы определим,
\ [f \ left (z \ right) = \ sqrt z \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} g \ left (z \ right) = 5z – 8 \]
, то мы можем написать функцию как композицию.
\ [R \ left (z \ right) = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (z \ right) = f \ left ({g \ left (z \ right)} \ right) = \ sqrt {5z – 8} \]
, и оказывается, что на самом деле довольно просто дифференцировать композицию функций с помощью правила цепочки .Есть две формы цепного правила. Вот они.
Правило цепочки
Предположим, что у нас есть две функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), и обе они дифференцируемы.
Если мы определим \ (F \ left (x \ right) = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \), то производная от \ (F \ left (x \ right )\) является, \ [F ‘\ left (x \ right) = f’ \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \, \, \, g ‘\ left (x \ right) \]
Если мы имеем \ (y = f \ left (u \ right) \) и \ (u = g \ left (x \ right) \), то производная от \ (y \) равна, \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{dy}} {{du}} \, \, \ frac {{du}} {{dx}} \]
У каждой из этих форм есть свое применение, однако мы будем работать в основном с первой формой в этом классе.Чтобы увидеть доказательство правила цепочки, см. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительные сведения».
Теперь давайте вернемся и применим правило цепочки к функции, которую мы использовали, когда открывали этот раздел. {{\ mbox {производная от}} \ atop {\ mbox {external function}}} \, \ , \, \ underbrace {\, \, \, \, \ left (5 \ right) \, \, \, \,} _ {{\ mbox {производная от}} \ atop {\ mbox {внутри функции}} } \]
В общем, именно так мы думаем о цепном правиле.Мы идентифицируем «внутреннюю функцию» и «внешнюю функцию». Затем мы дифференцируем внешнюю функцию, оставляя только внутреннюю функцию, и умножаем все это на производную внутренней функции. В общем виде это
\ [F ‘\ left (x \ right) = \ underbrace {\, \, \, \, \, f’ \, \, \, \, \,} _ {{\ mbox {производная от}} \ наверху {\ mbox {вне функции}}} \, \, \, \, \ underbrace {\, \, \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \, \,} _ {{\ mbox {внутри функции}} \ atop {\ mbox {left alone}}} \, \, \, \, \, \ underbrace {\, \, \, g ‘\ left (x \ right) \, \, \, } _ {{\ mbox {производная по разам}} \ atop {\ mbox {внутренней функции}}} \]
Мы всегда можем определить «внешнюю функцию» в приведенных ниже примерах, задав себе вопрос, как бы мы оценили эту функцию.Например, в случае \ (R \ left (z \ right) \), если бы мы спросили себя, что такое \ (R \ left (2 \ right) \), мы сначала оценили бы материал под радикалом, а затем, наконец, возьмем квадратный корень из этого результата. Квадратный корень – это последняя операция, которую мы выполняем при оценке, и это также внешняя функция. Внешняя функция всегда будет последней операцией, которую вы бы выполнили, если бы собирались оценить функцию.
Давайте взглянем на несколько примеров правила цепочки.2} + 9}} \) Показать решение
Идентифицировать внешнюю функцию в предыдущих двух было довольно просто, поскольку в некотором смысле это действительно была «внешняя» функция. В этом случае нужно быть немного осторожнее. Напомним, что внешняя функция – это последняя операция, которую мы выполняем при оценке. В этом случае, если бы мы оценили эту функцию, последняя операция была бы экспоненциальной. Следовательно, внешняя функция – это экспоненциальная функция, а внутренняя функция – ее показатель.4}}} \]
Снова не забудьте оставить внутреннюю функцию в покое при дифференцировании внешней функции. Таким образом, после дифференцирования логарифма мы получаем не 1 / \ (x \), а вместо этого 1 / (внутренняя функция).

e \ (y = \ sec \ left ({1 – 5x} \ right) \) Показать решение
В этом случае внешняя функция – секущая, а внутренняя – \ (1 – 5x \).
\ [\ begin {align *} y ‘& = \ sec \ left ({1 – 5x} \ right) \ tan \ left ({1 – 5x} \ right) \ left ({- 5} \ right) \\ & = – 5 \ сек \ left ({1 – 5x} \ right) \ tan \ left ({1 – 5x} \ right) \ end {align *} \]
В этом случае производная внешней функции равна \ (\ sec \ left (x \ right) \ tan \ left (x \ right) \).4}} \ right) \) Показать решение
У этой проблемы есть два момента. Во-первых, есть два термина, и для каждого из них потребуется различное применение цепного правила. Так будет часто, поэтому не ожидайте, что при решении этих задач будет применяться только одно цепочечное правило. 4} \]
Итак, в первом члене внешняя функция – это показатель степени 4, а внутренняя функция – это косинус.{g \ left (x \ right)}} \]
c Внешняя функция – это логарифм, а внутренняя – \ (g \ left (x \ right) \).
\ [f ‘\ left (x \ right) = \ frac {1} {{g \ left (x \ right)}} g’ \ left (x \ right) = \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \]
Формулы в этом примере на самом деле являются просто частными случаями правила цепочки, но их полезно запомнить, чтобы быстро выполнить некоторые из этих производных.
А теперь давайте не будем забывать и о других правилах, которые у нас есть для работы с производными финансовыми инструментами.2}}} \) Показать решение
Прежде всего отметим, что эта проблема – это, прежде всего, проблема правил продукта. Это произведение двух функций: арктангенса и корня, поэтому первое, что нам нужно сделать при взятии производной, – это использовать правило произведения. z}} \ right] \]
В данном случае мы еще фактически не производили внутреннюю производную.2}}}} \ right] \ end {align *} \]
Как и во второй части выше, мы изначально не дифференцировали внутреннюю функцию на первом шаге, чтобы было ясно, что с этого момента она будет правилом частного.
В последнем примере было несколько точек. Во-первых, не забывайте, что у нас все еще есть другие правила для деривативов, которые иногда все еще необходимы. Тот факт, что у нас теперь есть правило цепочки, не означает, что правило продукта и частного больше не понадобится.
Кроме того, как показано в последнем примере, порядок, в котором они выполняются, также будет меняться. Некоторые проблемы будут связаны с правилом продукта или правилом частного, которые связаны с цепным правилом. Однако другие проблемы потребуют сначала использования правила цепочки, а в процессе этого нам нужно будет использовать правило продукта и / или частного.
В большинстве примеров в этом разделе не используются правила продукта или частного, чтобы сделать задачи немного короче.{- 9z}}} \ right) \]
Обратите внимание, что мы еще не сделали производную внутренней функции. Это сделано для того, чтобы мы могли заметить, что, когда мы действительно дифференцируем второй член, нам снова потребуется правило цепочки. Также обратите внимание, что нам понадобится только цепное правило для экспоненты, а не для первого члена. Во многих функциях мы будем использовать правило цепочки более одного раза, поэтому не волнуйтесь, когда это произойдет.
Давайте продолжим и закончим этот пример.{1 – t}} + 3 \ sin \ left ({6t} \ right)} \ right) \ end {align *} \]
Для выполнения этой задачи требовалось в общей сложности 4 правила цепочки.
Иногда это может быть довольно неприятно и требует многократного применения правила цепочки. Вначале в этих случаях обычно лучше быть осторожным, как мы это делали в предыдущем наборе примеров, и выписывать пару дополнительных шагов, а не пытаться сделать все за один шаг в уме. Как только вы научитесь лучше разбираться в цепном правиле, вы обнаружите, что можете довольно быстро делать это в уме.x} \ ln \ left (a \ right) \]
Итак, не так уж плохо, если вы видите трюк с переписыванием \ (a \) с использованием правила цепочки.
Правило цепочки
: общее правило мощности – концепция
Общее правило мощности – это частный случай цепного правила. Это полезно при нахождении производной функции, возведенной в n-ю степень. Общее правило мощности гласит, что эта производная равна n, умноженному на функцию, возведенную в (n-1) -ю степень, умноженную на производную функции.
Цепное правило – одна из самых сложных тем в исчислении, поэтому не расстраивайтесь, если у вас возникнут проблемы с ним. Поскольку это так сложно, я разделил правило цепочки на несколько подтем и хочу разобраться с кучей особых случаев правила цепочки, и это правило будет называться общим правилом мощности. Мы рассмотрим это через секунду, вызов с цепным правилом – это метод для дифференциации составных функций, таких как f от g от x, и я имел привычку кодировать свои составные функции цветом, чтобы внутренняя часть синий, а внешняя часть красная.В любом случае, это цепное правило, которое я хочу познакомить вас с тем, что я называю общей степенной функцией, поэтому h of x является общей степенной функцией, если бы ее можно было записать как некоторую функцию g от x, любую функцию, возведенную в n-ю степень. Итак, как вы можете отличить одно из них, мы собираемся использовать версию цепного правила, которое я называю общим правилом мощности. Таким образом, производная g от x до n равна n раз g от x до n минус 1, умноженная на производную g от x.
Это просто частный случай цепного правила, поэтому давайте попробуем его на этой функции: h of x равно этой функции 2x в кубе плюс 3x-1, все в степени отрицательной 7.И поэтому, чтобы быть абсолютно ясным, я собираюсь закодировать эту функцию цветом, чтобы мы могли видеть, что внутри, а что снаружи. Обычно лучший способ отличить внутреннее от внешнего – подумать о вычислении ценностей. Например, если бы я собирался подключить 5 к этой функции, я бы возводил 5 в третью степень, умножал на 2, прибавлял 3 раза 5, я бы работал над этой частью функции. Итак, это внутренняя функция, так что equals, а внешняя функция – это возведение в минус 7, это внешняя функция, а внутри я сделаю синий 2x в кубе плюс 3x-1.Итак, в соответствии с этим правилом h простое число будет производной от этого числа, поэтому я беру это n как экспоненту, вытаскиваемую впереди, так что я получаю отрицательное 7 умноженное на это количество 2x в кубе плюс 3x-1.
И новый показатель будет старым показателем минус 1, поэтому отрицательное 7-1 будет отрицательным 8 раз, а затем производная внутренней функции, и это будет 6x в квадрате плюс 3, я помещу это здесь и ваш учитель возможно, вы захотите упростить это. Итак, давайте сделаем наблюдение, что эта величина здесь, поскольку у меня отрицательная 8 экспонента, она попадет в знаменатель.Итак, у меня есть дробь, и у меня будет 2x в кубе плюс 3x-1 в восьмой степени. И в числителе у меня будет отрицательное 7 умноженное на 6x в квадрате плюс 3. Это отрицательные 42 x квадрат, упс минус, потому что я должен распределить отрицательные 7 на эти 2 члена, поэтому отрицательные 7 умножить на 3 будут отрицательными 21, и это мой ответ. Так что не забывайте, что общее правило мощности – это просто частный случай цепного правила. Производная g от x до n равна n g от x до n-1 умноженного на g простого числа x.
Правила исчисления – многомерные
Правила исчисления – многомерные
Добавленные переменные, те же методы
В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается.Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.
Во-первых, чтобы определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные.Обычно z является зависимой переменной (например, y в функциях одной переменной), а x и y – независимые переменные (например, x в одномерных функциях):
Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:
Дифференциация этой функции по-прежнему означает одно и то же – мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.
Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются. по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.
Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.
А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно в сторону x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении определим как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.
Формально это определение: частная производная z по to x – это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:
Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет
Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.Перед мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.
Основные правила частичной дифференциации
Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференцирования. дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка относительно того, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое он имеет, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:
Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,
Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.
Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:
Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.
Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:
Снова обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», так как x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.
Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:
Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем “гора” или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2-х разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать обратно к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.
Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:
Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:
Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:
Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:
Не очень простые правила частичной дифференциации
Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.
Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.
Когда многомерная функция принимает следующий вид:
Тогда правило взятия производной:
Используйте правило мощности для следующей функции, чтобы найти две частные производные:
Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:
Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:
Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составной функции? По мере усложнения проблемы переименование частей составной функции – лучший способ отслеживать все составляющие проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.
Последний шаг такой же, замените u на функцию g:
Особые случаи в функциях многих переменных
Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.
Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:
Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:
Сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:
Правило взятия частичных от экспоненциальных функций можно записать как:
Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:
В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:
Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные
История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.
Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:
Существуют 2 прямые частные производные второго порядка, обозначенные значком следующие примеры обозначений:
Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.
Теперь история немного усложняется. Кросс-партиалы, f _xy и f _yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным. В пространственном отношении представьте, что крестовина является мерой того, как наклон (изменение in z относительно x) изменяется при изменении переменной y. Следующие примеры обозначений для кросс-партиалов:
Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где кросс-частичные непрерывны, они будут идентичны.Для следующей функции:
Возьмем первую и вторую частные производные.
Теперь, начиная с первых частных производных, найдите перекрестные частные производные:
Обратите внимание, что кросс-партиалы действительно идентичны, что будет очень пригодится нам в будущих разделах оптимизации.
[индекс]
Математическая сцена – Производные, урок 5
Математическая сцена – Производные, урок 5 – Правило цепочки
2009 Rasmus ehf & Jhann sak
Производные инструменты
Урок 5
Цепное правило
Пример 1
Дифференцировать f (x) = (x ³ +1) ².
Только так у нас есть пока это делается путем умножения скобок, а затем дифференцируя. Если мы сделаем это, мы получим
f (x) = x ⁶ + 2x ³ +1 и, следовательно, f (x) = 6x ⁵ + 6x ².
Это не проблема с простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если, например, у нас есть е (х) = (х ³ +1) ⁶?
В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы перемножить скобки перед дифференцируя.
Чтобы различать такие составные функции, мы используем так называемое правило цепочки. Сделаем пример 1 еще раз, чтобы увидеть, как это работает.
f (x) является примером составная функция, как было введено в функциях 2.
Его можно записать как f (u) = u ², где u = x ³ +1, u равно функция от x, то есть u (x) = x ³ +1.
Правило цепочки гласит, что мы сначала дифференцируйте f (u), рассматривая u как переменную, и получите f (u) = 2u (так же, как (x ²) = 2x)
Далее дифференцируем u и получаем и (х) = 3х ².Наконец, мы умножаем два результата вместе и получаем f (x) = 2u3x ². Возвращая значение u, получаем f (x) = 2 (x ³ +1) 3x ² = 6x ⁵ + 6x ²
^{Это дает нам правило
называется цепным правилом, которое гласит, что}
(f (u (x)) = f (u (x)) u (x)
Мы только указали здесь правило, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.
Пример 2
Дифференцируйте композицию функция f (x) = sin ² x.
Обозначение грех ² х это другой способ записи (sin x) ² так что квадрат является внешней функцией, а sin x – внутренней функцией. Начать мы разделим это на две части, но с практикой это не будет нужно.
f (x) = (грех х) ² можно записать как f (u) = u ² где u = sin x.
f (u) = 2u и u = cos x, так что умножая вместе получаем
f (x) = 2ucos x = 2 sin x cos x
Цепное правило гласит, что дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножьте на производную внутренней функции.
Пример 2 +
Продифференцируем f (x) = sin x ². Это можно записать как f (u) = sin u, где u = х ²
Итак, в этом случае синус – это внешняя функция, а квадрат внутренний функция
ф (х) = cos x ² 2x
Пример 3
Мы можем использовать правила cos x = sin (/ ₂ x) и sin x = cos (/ ₂ x), чтобы найти производную cos x.
cos x = f (x) = sin (/ ₂ x)
Производная синуса, внешняя функция – cos и производная от (/ ₂ x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем
ф (х) = cos (/ ₂ x) (1)
= грех х (1)
= грех х
Пример 4
Найти производную f (x) = sin ² x ².
Это можно записать как f (x) = (грех x ²) ² так что у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция – квадратичная, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.
Мы можем написать f = u ² , где u = sinv и v = х ². Различение каждой функции и умножение дает 2 u cos v 2x, и, возвращая значения u и v, получаем результат:
f (x) = 2 sin x ² cos x ² 2x
Первая дифференцируем квадрат, оставляя sin x ² без изменений.Затем мы дифференцируем синусоидальную функцию, чтобы получить cos и оставить х ² без изменений, наконец, мы дифференцируем х ² и получите 2х.
Пример 5
a) f (x) = e ^2x
f (x) = e ^2x 2
Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее. производная 2x равна 2.
Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная x ² + 1 равна 2x.
c) f (x) = e ^{sin
x} f (x) = e ^{^{sin
x}} cos x
Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная sin x равна cos x.
Теперь мы хотим найти правило для различения f (x) = ln x.
Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает различение обеих сторон уравнение.
Если f (x) = ln x, то e ^{f (x)} = х. Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее:
e ^{f (x)} = х
e ^{f (x)} f (x) = 1 Использование правила цепочки.
Решая для f (x), получаем
f (x) = 1 / e ^{f (x)}
= 1 / х Помните x = e ^{f (x)}.
Теперь мы можем найти производную от других логарифмические функции.
Найдите производную от f (x) = log x.
Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и отношения между бревнами с разными основаниями. Этот Правило, которое нам нужно:
Таким образом мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм ln x.
Логарифм ln 10 – константа, не влияющая на производная, остальное несложно.
Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем резюмировать следующие три правила:
Пример 6
Продифференцируем f (x) = ln (x ² + 1).
Пример 7
Продифференцируем f (x) = xln х х + 5.
f (x) = 1lnx + x1 / x 1 = ln x
Обобщение производных
Производная:
к = 0 k = константа Икс = 1
(x ⁿ) = nx ⁿ¹ n может быть любым действительным числом.
(e ^x) = e ^x
(^x) = ^x дюйм
(грех х) = cos x
(соз х) = грех х
Правила:
(УФ) = УФ + УФ
(е (г (х)) = е (г (х)) г (х)
Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 5 по производным.
шт. Запомните свой контрольный список.
.
Оставить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Поиск:
Рубрики
Вакансии
Востребованные вакансии
Обучение в Европе
Обучение за границей
Работа
Работа для всех
Советы абитуриенту
Студенту
Студенческие будни
Разное
2019 © Все права защищены. Карта сайта
Меню
Поиск:
Советы абитуриенту
Работа для всех
Востребованные вакансии
Студенческие будни
Обучение за границей