Правило вычисления производной сложной функции: Ошибка 404 Страница не найдена

Композиты из трех или более функций

Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза. Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем сгенерировать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.

В общем, сначала сдаем

\ [k (x) = h \ Big (е \ big (g (x) \ big) \ Big).\ nonumber \]

Затем, применяя цепное правило, мы получаем

\ [k ‘(x) = \ dfrac {d} {dx} \ Big (h \ big (f \ big (g (x) \ big) \ big) \ Big) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) ⋅ \ dfrac {d} {dx} \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big). \ nonumber \]

Применяя снова цепное правило, получаем

\ [k ‘(x) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f ‘\ big (g (x) \ big) \ cdot g’ (x)) . \ nonumber \]

Правило: цепное правило для композиции из трех функций

Решение

Для всех значений \ (x \), для которых функция дифференцируема, если

\ (k (x) = h \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big), \)

, затем

\ (k ‘(x) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f ‘\ big (g (x) \ big) \ cdot g’ (x)) . 2 + 1).3) \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): использование правила цепочки в задаче скорости

Частица движется по координатной оси. Его положение в момент времени t определяется выражением \ (s (t) = \ sin (2t) + \ cos (3t) \). Какова скорость частицы в момент времени \ (t = \ dfrac {π} {6} \)?

Решение

Чтобы найти \ (v (t) \), скорость частицы в момент времени \ (t \), мы должны продифференцировать \ (s (t) \). Таким образом,

\ [v (t) = s ‘(t) = 2 \ cos (2t) −3 \ sin (3t). \ Nonumber \]

Правило доказательства цепочки

Здесь мы представляем очень неформальное доказательство цепного правила.Для простоты мы игнорируем некоторые вопросы: например, мы предполагаем, что \ (g (x) ≠ g (a) \) для \ (x ≠ a \) в некотором открытом интервале, содержащем \ (a \). Начнем с применения предельного определения производной к функции \ (h (x) \), чтобы получить \ (h ‘(a) \):

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {x − a}. \ ]

Переписывая, получаем

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a}. \]

Хотя понятно, что

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g ‘(a), \]

не очевидно, что

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = f ‘\ большой (г (а) \ большой).\]

Чтобы убедиться в этом, сначала напомним, что, поскольку \ (g \) дифференцируема в \ (a \), \ (g \) также непрерывна в \ (a. \) Таким образом,

\ [\ lim_ {x → a} g (x) = g (a). \]

Затем сделайте замену \ (y = g (x) \) и \ (b = g (a) \) и используйте замену переменных в пределе, чтобы получить

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = \ lim_ {y → b} \ dfrac {f (y) −f (b)} {y − b} = f ‘(b) = f’ \ big (g (a) \ big). \]

Наконец,

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f ‘\ big (g (a) \ big) \ cdot g’ (a).\]

□

Пример \ (\ PageIndex {10} \): использование правила цепочки с функциональными значениями

Пусть \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big). \) Если \ (g (1) = 4, g ‘(1) = 3 \) и \ (f’ (4 ) = 7 \), найти \ (h ‘(1). \)

Решение

Используйте цепное правило, затем замените.

\ [\ begin {align *} h ‘(1) & = f’ \ big (g (1) \ big) \ cdot g ‘(1) & & \ text {Применить правило цепочки.} \\
& = f ‘(4) ⋅3 & & \ text {Substitute} \; g (1) = 4 \; \ text {и} \; g ‘(1) = 3. \\
& = 7⋅3 & & \ text {Substitute} \; f ‘(4) = 7.\\
& = 21 & & \ text {Упростить.} \ End {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Дано \ (h (x) = f (g (x)) \). Если \ (g (2) = – 3, g ‘(2) = 4, \) и \ (f’ (- 3) = 7 \), найдите \ (h ‘(2) \).

Подсказка

Следуйте примеру \ (\ PageIndex {10} \).

Ответ

28

Цепное правило с использованием обозначений Лейбница

Как и в случае с другими производными, которые мы видели, мы можем выразить цепное правило, используя обозначения Лейбница.Это обозначение цепного правила широко используется в физических приложениях.

Для \ (h (x) = f (g (x)), \) пусть \ (u = g (x) \) и \ (y = h (x) = g (u). \) Таким образом,

\ [h ‘(x) = \ dfrac {dy} {dx} \ nonumber \]

\ [f ‘(g (x)) = f’ (u) = \ dfrac {dy} {du} \ nonumber \]

и

\ [g ‘(x) = \ dfrac {du} {dx}. \ Nonumber \]

Следовательно,

\ [\ dfrac {dy} {dx} = h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x) = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac { du} {dx}. \ nonumber \]

Правило: цепное правило с использованием обозначения Лейбница

Если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}.3). \)

Ключевые понятия

• Цепное правило позволяет нам различать композиции из двух или более функций. В нем говорится, что для \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big), \)

\ (h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x). \)

В обозначениях Лейбница это правило принимает форму

\ (\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx} \).

• Мы можем использовать правило цепочки с другими правилами, которые мы изучили, и мы можем вывести формулы для некоторых из них.{n − 1} \ cdot g ‘(x) \)

  Глоссарий

  линейка

  цепное правило определяет производную сложной функции как производную внешней функции, вычисленную во внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.

  Авторы и авторство

  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax лицензирован CC-BY-SA-NC 4.0 лицензия. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

  Цепное правило – проблема 1

  Напомним, что составная функция f (g (x)) – это функция, которая имеет другую функцию «внутри». Беря производную от такой функции, мы используем цепное правило. Цепное правило гласит, что вы сначала берете производную «внешней» функции, а затем умножаете ее на производную «внутренней функции». Итак, для функции h (x) = f (g (x)) ее производная будет h ‘(x) = f’ (g (x)) * g ‘(x).

  Чтобы определить, какая функция является внутренней функцией, посмотрите, какая функция «содержится» в другой функции. Например, для экспоненциальных функций посмотрите на степень возведения е. Для логарифмических функций это будет то, что находится в скобках логарифма.

  Например, пусть h (x) = e ^{-5x 2 -6} . Функция «снаружи» – e ^x , а функция «внутри» – -5x ² -6. Сначала возьмем производную внешней функции.Помните, что производная от e ^x сама по себе, e ^x . Итак, первая часть нашей производной: e ^{-5x 2 -6} . Затем найдите производную внутренней функции -5x ² -6. Из правила мощности мы знаем, что его производная равна -10x. Умножая их, получаем h ‘(x) = – 10xe ^{-5x 2 -6} .

  Давайте займемся задачей, связанной с цепным правилом.Напомним, что цепное правило – это метод дифференцирования составных функций. А чтобы подчеркнуть, что такое составная функция и как ее соединять, я закодировал внутреннюю и внешнюю части цветом.

  Помните, что составная функция подобна помещению одной функции в другую. Итак, здесь внутренняя функция – это g (x), а внешняя функция – это f (x). Когда вы различаете эти вещи, вы в первую очередь различаете внешнюю функцию. Оставьте внутреннюю функцию в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

  Одна из вещей, которые вы должны сделать при решении проблемы, – это определить внешние и внутренние функции. Здесь меня просят дифференцировать h (x), равное e, на 2x³ минус 5. Давайте определим внутреннюю и внешнюю функции.

  У нас есть экспоненциальная функция; e к x, а затем 2x³ минус 5. Одна из них – внутренняя; одна из них – внешняя функция. Я думаю, что способ определения внутренней функции – это подумать о том, вычисляли ли вы значения для этой функции.Что бы вы сделали в первую очередь? Если у вас есть значение x, например, 2, вы сначала кубите его, умножаете на 2 и вычитаете 5. Итак, ясно, что это внутренняя часть функции.

  Вы можете просто сделать внутреннюю функцию x³. Но я думаю, вы хотите сделать все это равным 2x³ минус 5, потому что тогда внешняя функция будет просто e по отношению к x, что приятно и легко отличить. Я закодирую это цветом. Внешняя функция – это e для x, я поставлю здесь круглые скобки, или e для чего-то. И тогда внутренняя функция равна 2x³ минус 5.

  Теперь он имеет цветовую кодировку, и должно быть действительно ясно, как различать h (x). Итак, h ‘(x) будет производной внешней функции. Производная e от x – это просто e от x. Так что я напишу e для something, а внутреннюю функцию оставим в покое. 2x³ минус 5-кратная производная внутренней функции. Вот что означает эта часть. И производная внутренней функции является производной этой. Это будет 6x².

  Вот и все, цепное правило.Сначала дифференцируйте внешнюю функцию, оставьте внутреннюю в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

  Правило цепочки

  Это наиболее важное правило, которое позволяет вычислить производную композиции двух или более функций.

  Сначала рассмотрим понятие составной функции. Пусть функция \ (g \) определена на множестве \ (X \) и может принимать значения в множестве \ (U \). В этом случае мы говорим, что функция \ (g \) отображает множество \ (X \) в \ (U \), и функция записывается как

  \ [{u = g \ left (x \ right), \; \; \ text {where} \; \; \;} \ kern-0.3pt {x \ in X, u \ in U.} \]

  Теперь представьте, что на множестве \ (U \) определена другая функция \ (f \). Эта функция отображает набор \ (U \) в \ (Y: \)

  \ [{y = f \ left (u \ right), \; \; \ text {where} \; \; \;} \ kern-0.3pt {u \ in U, y \ in Y.} \]

  Это двойное отображение, в котором диапазон первой карты является подмножеством области второй карты, называется композицией карт, а соответствующие функции образуют композицию функций.

  Если \ (g: X \ to U \) и \ (f: U \ to Y \), то композиция функций \ (g \) и \ (f \) обозначается как

  \ [{y = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right)} = {f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right)} = {f \ влево (и \ вправо)} \]

  и представляет собой «двухуровневую» составную функцию или функцию функции.

  Если \ (f \) и \ (g \) – дифференцируемые функции, то составная функция \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \) также дифференцируема в \ ( x \), а его производная равна

  \ [
  {\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right)}
  = {\ frac {d} {{dx}} f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) g ‘\ left (x \ right)}
  = {\ frac {{df}} {{ du}} \ frac {{du}} {{dx}}.}
  \]

  При более внимательном рассмотрении формулы мы замечаем, что она включает в себя умножение значения производной для внешней функции на значение производной для внутренней функции.Однако, когда мы дифференцируем составную функцию \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \) в точке \ (x \), мы умножаем значение производной внутренней функции на \ (x \), умноженное на значение производной внешней функции в точке \ (u = g \ left (x \ right) \)… не в точке \ (x! \)

  Докажем приведенную выше формулу.

  Возьмем произвольную точку \ ({x_0} \). Мы предполагаем, что функция \ (u = g \ left (x \ right) \) дифференцируема в \ ({x_0} \), а функция \ (y = f \ left (u \ right) \), соответственно, является дифференцируемо в точке \ ({u_0} = g \ left ({{x_0}} \ right) \).Это означает, что производные \ (g ‘\ left (x \ right) \) и \ (f’ \ left (u \ right) \) существуют в указанных точках, а функции \ (g \ left (x \ right) ) \) и \ (f \ left (u \ right) \) непрерывны в окрестности этих точек.

  Производная внешней функции \ (y = f \ left (u \ right) \) в точке \ ({u_0} \) записывается с использованием определения предела как

  \ [f ’\ left ({{u_0}} \ right) = \ lim \ limits _ {\ Delta u \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta u}}. \]

  Это выражение можно переписать в виде:

  \ [{\ Delta y} = {f ’\ left ({{u_0}} \ right) \ Delta u + \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ Delta u,} \]

  , где ошибка \ (\ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \)) зависит от приращения \ (\ Delta u \) и выполняется следующее условие:

  \ [{\ lim \ limits _ {\ Delta u \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right)} = {\ varepsilon \ left (0 \ right) = 0.} \]

  Разделите выражение для \ (\ Delta y \) на приращение внутренней переменной \ (\ Delta x \ ne 0: \)

  \ [{\ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}} = {f ‘\ left ({{u_0}} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x }} + \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}.} \]

  Поскольку внутренняя функция \ (u = g \ left (x \ right) \) дифференцируема в \ ({x_0}, \), то

  \ [\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} = g ’\ left ({{x_0}} \ right).\]

  Отметим также, что \ (\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta u = 0 \) непрерывностью функции \ (u \ left (x \ right) \) и, следовательно,

  \ [
  {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) = \ varepsilon \ left ({\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Дельта u} \ right)}
  = {\ varepsilon \ left (0 \ right) = 0.}
  \]

  В результате производная сложной функции в точке \ ({x_0} \) выражается следующей формулой:

  \ [
  {y ‘\ left ({{x_0}} \ right)} = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}}
  = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{f ‘\ left ({{u_0}} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} \ верно.} + {\ left. {\ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} \ right]}
  = {f ‘\ left ({ {u_0}} \ right) \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} + {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}}
  = {f ‘\ left ({{u_0}} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right) + 0 \ cdot g’ \ left ({{x_0}} \ right)}
  = {f ‘\ left ({ {u_0}} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right)}
  = {f’ \ left ({g \ left ({{x_0}} \ right)} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right).\ prime}}
  = {f ‘\ left ({g \ left ({h \ left (x \ right)} \ right)} \ right) \ cdot g’ \ left ({h \ left (x \ right) } \ right) \ cdot h ‘\ left (x \ right).}
  \]

  Вы можете заметить, что производная составной функции представлена ​​как серийный продукт производных составляющих функций. Аргументы функций связаны (связаны), так что значение внутренней функции является аргументом для следующей внешней функции. Поэтому правило дифференцирования составной функции часто называют цепным правилом.2} + 1} \]

  Пример 23

  Найдите значение производной функции \ (y = \ sin {\ large \ frac {x} {3} \ normalsize} \) в \ (x = 2 \ pi. \)

  Пример 24

  \ [y = \ frac {1} {a} \ arctan \ frac {x} {a} \]

  Пример 25

  \ [y = \ tan \ frac {x} {2} – \ cot \ frac {x} {2} \]

  Пример 26

  \ [у = \ sqrt {\ sin 2x + 1} \]

  Пример 27

  \ [y = \ sin \ left ({\ ln \ cos x} \ right) \]

  Пример 28

  \ [у = х \ sqrt {1 + {х ^ 2}} \]

  Пример 29

  \ [y = \ frac {1} {{\ sqrt {{a ^ 2} – {x ^ 2}}}} \]

  Пример 30

  \ [y = {\ left ({\ frac {{x + 1}} {{x – 1}}} \ right) ^ 3} \]

  Пример 31

  \ [y = {\ left ({\ frac {x} {{1 + x}}} \ right) ^ 4} \]

  Пример 32

  \ [y = \ ln \ left ({\ sqrt {x + 1} – \ sqrt x} \ right) \]

  Пример 33

  \ [y = \ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {{9 {x ^ 2} – 1}} \]

  Пример 34

  \ [y = {\ left ({5x + 2} \ right) ^ {13}} – {\ left ({6x + 7} \ right) ^ {10}} \]

  Пример 35

  \ [y = {\ left ({x + \ sqrt x} \ right) ^ 3} \]

  Пример 36

  \ [y = \ ln \ left ({\ frac {{x + 1}} {{x – 1}}} \ right) \]

  Пример 37

  \ [y = \ ln \ frac {{3 – {x ^ 2}}} {{2 – {x ^ 2}}} \]

  Пример 38

  \ [у = \ грех {х ^ 3} \ соз {х ^ 2} \]

  Пример 39

  \ [y = \ sin \ left ({{{\ cos} ^ 2} x} \ right) \]

  Пример 40

  \ [y = \ arcsin \ frac {1} {x} \]

  Пример 41

  \ [у = \ sqrt {x \ sqrt x} \]

  Пример 42

  \ [y = \ sqrt \ frac {{x – 1}} {{x + 1}} \]

  Пример 43

  \ [y = {\ sin ^ 4} x + {\ cos ^ 4} x \]

  Пример 44

  \ [y = \ arccos \ frac {a} {x} \]

  Пример 45

  \ [y = \ text {arccot} \, \ frac {{{x ^ 2}}} {a} \; \ left ({a \ ne 0} \ right) \]

  Пример 46

  \ [y = \ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {{{{\ cot} ^ 8} \ frac {x} {2}}} \]

  Пример 47

  \ [y = {\ log _5} \ sin 2x \]

  Пример 48

  \ [y = x \ sin \ frac {1} {x} \]

  Пример 49

  \ [y = \ ln \ left ({x + \ sqrt {{x ^ 2} + 1}} \ right) \]

  Пример 50

  \ [y = \ ln \ frac {1} {{\ sqrt {1 – {x ^ 4}}}} \]

  Пример 51

  \ [y = \ sin \ left [{\ sin \ left ({\ sin x} \ right)} \ right] \]

  Пример 52

  \ [y = \ frac {1} {{{{\ cos} ^ n} x}} \]

  Пример 53

  \ [y = \ frac {2} {3} \ sqrt {{{\ left ({1 + \ ln x} \ right)} ^ 3}} \]

  Пример 54

  \ [y = \ ln \ frac {1} {{\ sqrt {1 – {x ^ 4}}}} \]

  Пример 55

  \ [y = \ ln \ tan \ left ({\ frac {x} {2} + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \]

  Пример 1.\ prime}}

  
  = {- 3 \ sin \ left ({3x + 2} \ right).}
  \]
  Правило цепочки

  : общее правило мощности – проблема 1

  Вы можете использовать цепное правило, чтобы найти производную многочлена в некоторой степени. Помните, что цепное правило используется для нахождения производных сложных функций. Во-первых, определите, какая функция находится «внутри», а какая – «снаружи». В случае полиномов, возведенных в степень, пусть внутренняя функция будет полиномом, а внешняя – степенью, в которую она возведена.Затем, следуя правилу цепочки, вы можете найти производную. Например, пусть f (x) = (x ⁵ + 4x ³ -5) ⁶ . Эту функцию было бы очень сложно расширить вручную, чтобы найти производную, поэтому цепное правило упростило бы задачу. Внутренняя функция будет иметь вид x ⁵ + 4x ³ -5, а внешняя функция – x ⁶ (возведение чего-то неизвестного в шестую степень). Производная некоторого y ⁶ равна 6y ⁵ по правилу мощности, поэтому первая часть производной равна 6 (x ⁵ + 4x ³ -5) ⁵ .Тогда производная внутренней функции равна 5x ⁴ + 12x ² . Следовательно, производная этой функции будет 6 (x ⁵ + 4x ³ -5) ⁵ (5x ⁴ + 12x ² ).

  Давайте рассмотрим более сложный пример цепного правила. Теперь у нас есть частный случай цепного правила. Правило общей власти; который говорит, что если ваша функция – это g (x) в некоторой степени, способ дифференцировать – это взять мощность, потянуть ее вперед, и у вас будет g (x) до n минус 1, умноженное на g ‘(x) .Итак, я хочу применить это к тому, что h (x) равно x минус 1 по x плюс 1, все в 3-й степени.

  Прежде всего, отметим, что внутренняя функция равна x минус 1 по сравнению с x плюс 1. Итак, если бы я кодировал это цветом, я бы поднял это до третьей степени, это была бы внешняя функция. Поместите это красным. Внутренняя функция будет этой рациональной функцией. Теперь, думая о будущем, что мне делать с внутренней функцией? Я должен различить это в конце здесь. Поэтому в какой-то момент мне придется использовать правило частного, чтобы дифференцировать эту функцию.

  Позвольте мне начать. H ‘(x) будет, теперь сначала дифференцируя внешнюю функцию, что-то до третьей степени в функции. И производная от этого равна 3 умножению на 3 минус 1,3 умноженному на квадрат. Я не трогаю внутреннюю часть, просто оставляю как есть; х минус 1 больше х плюс 1. Затем умножьте, и я хочу получить производную внутренней функции. Здесь я использую правило частного. Правило частного говорит, что минимум d высокий, x плюс 1 умноженная на производную вершины минус максимум d low, (x минус 1) умноженная на производную основания по квадрату того, что ниже.x плюс 1 находится внизу, поэтому я возведу его в квадрат.

  Это сильно упростит. Позвольте мне поднять это здесь. Итак, у меня h ‘(x) равно: что у меня есть на данный момент? Я просто сделаю это черным и сделаю еще цветовую кодировку. 3 ((x минус 1) над x плюс 1) ². Позвольте мне вернуться очень быстро.

  Этот числитель упростит. У меня x плюс 1 и x минус 1. Я вычитаю x минус 1. Значит, x отменится. X минус x, это отменит, и у меня 1 минус -1, поэтому 1 плюс 1. Это дает мне 2 в числителе.Затем в знаменателе возведен квадрат x плюс 1. Итак, позвольте мне записать это: 2.

  Теперь, глядя на этот термин, обратите внимание, я могу распределить квадрат по числителю и знаменателю. У меня было бы (x минус 1) ² сверху и (x плюс 1) ² снизу. Я умножаю это на 3 и на 2 (x плюс 1) ². Сейчас я просто упрощаю. Вверху у меня будет 3 раза по 2, 6 раз (x минус 1) ², а внизу у меня (x плюс 1) в 4-й степени. Это моя производная h ’(x).

  Математическая сцена – Производные, урок 5

  Математическая сцена – Производные, урок 5 – Цепное правило

  2009 Расмус Эф и Джанн Сак

  Производные инструменты

  Урок 5

  Цепное правило

  ---

  Пример 1

  Дифференцировать f (x) = (x ³ +1) ² .

  Только так у нас есть пока это делается путем умножения скобок, а затем дифференцируя. Если мы сделаем это, мы получим

  f (x) = x ⁶ + 2x ³ +1 и, следовательно, f (x) = 6x ⁵ + 6x ² .

  Это не проблема с простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если, например, у нас есть f (x) = (x ³ +1) ⁶ ?
  В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы перемножить скобки перед дифференцируя.

  Чтобы различать такие составные функции, мы используем так называемое правило цепочки. Сделаем пример 1 еще раз, чтобы увидеть, как это работает.
  

  f (x) является примером составная функция, как было введено в функциях 2.
  Его можно записать как f (u) = u ² , где u = x ³ +1, u равно функция от x, то есть u (x) = x ³ +1.

  Правило цепочки гласит, что мы сначала дифференцируйте f (u), рассматривая u как переменную, и получите f (u) = 2u (так же, как (x ² ) = 2x)
  Далее дифференцируем u и получаем и (х) = 3х ² .Наконец, мы умножаем два результата вместе и получаем
  f (x) = 2u3x ² . Возвращая значение u, получаем f (x) = 2 (x ³ +1) 3x ² = 6x ⁵ + 6x ²

  ^{Это дает нам правило называется цепным правилом, которое гласит, что}

  (f (u (x)) = f (u (x)) u (x)

  Мы только указали здесь правило, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.

  Пример 2

  Дифференцируйте композицию функция f (x) = sin ² x.

  Обозначение грех ² х это другой способ записи (sin x) ² так что квадрат является внешней функцией, а sin x – внутренней функцией. Начать мы разделим это на две части, но с практикой это не будет нужно.

  f (x) = (грех х) ² можно записать как f (u) = u ² где u = sin x.

  f (u) = 2u и u = cos x, так что умножая вместе получаем

  f (x) = 2ucos x = 2 sin x cos x

  Цепное правило гласит, что дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножьте на производную внутренней функции.

  Пример 2 +

  Продифференцируем f (x) = sin x ² . Это можно записать как f (u) = sin u, где u = х ²

  Итак, в этом случае синус – это внешняя функция, а квадрат внутренний функция

  ф (х) = cos x ² 2x

  Пример 3

  Мы можем использовать правила cos x = sin (/ ₂ x) и sin x = cos (/ ₂ x), чтобы найти производную cos x.

  cos x = f (x) = sin (/ ₂ x)

  Производная синуса, внешняя функция – cos и производная от (/ ₂ x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем

  ф (х) = cos (/ ₂ x) (1)

  = грех х (1)

  = грех х

  Пример 4

  Найдите производную f (x) = sin ² x ² .

  Это можно записать как f (x) = (грех x ² ) ² так что у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция – квадратичная, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.

  Мы можем написать f = u ² , где u = sinv и v = х ² . Различение каждой функции и умножение дает нам 2 u cos v 2x, и, возвращая значения u и v, получаем результат:

  f (x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x

  Первая дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений.Затем мы дифференцируем синусоидальную функцию, чтобы получить cos и оставить x 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получите 2х.

  Пример 5

  a) f (x) = e 2x f (x) = e 2x 2

  Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее. производная 2x равна 2.

  Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная x 2 + 1 равна 2x.

  c) f (x) = e sin x f (x) = e sin x cos x

  Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная sin x равна cos x.

  Теперь мы хотим найти правило для различения f (x) = ln x.

  Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает различение обеих сторон уравнение.

  Если f (x) = ln x, то e ^{f (x)} = х. Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее:

  e ^{f (x)} = х

  e ^{f (x)} f (x) = 1 Использование правила цепочки.

  Решая для f (x), получаем

  f (x) = 1 / e ^{f (x)}

  = 1 / х Помните, что x = e ^{f (x)} .

  Теперь мы можем найти производную от других логарифмические функции.

  Найдите производную от f (x) = log x.

  Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и отношения между бревнами с разными основаниями. Этот Правило, которое нам нужно:

  Таким образом мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм ln x.

  Логарифм ln 10 – константа, не влияющая на производная, остальное несложно.

  Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем резюмировать следующие три правила:

  Пример 6

  Продифференцируем f (x) = ln (x ² + 1).

  Пример 7

  Продифференцируем f (x) = xln х х + 5.

  f (x) = 1lnx + x1 / x 1 = ln x

  Обобщение производных

  ---

  Производная:

  к = 0 k = постоянная Икс = 1

  (x ⁿ ) = nx ⁿ¹ n может быть любым действительным числом.

  (e ^x ) = e ^x

  ( ^x ) = ^x дюймов

  (грех х) = cos x

  (соз х) = грех х

  Правила:

  (УФ) = УФ + УФ

  (е (г (х)) = е (г (х)) г (х)

  ---

  Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 5 по производным.

  шт. Запомните свой контрольный список.

  Правила исчисления – многомерные

  Правила исчисления – многомерные

  ---

  Добавленные переменные, те же методы

  В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается.Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.

  Во-первых, чтобы определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные.Обычно z является зависимой переменной (например, y в функциях одной переменной), а x и y – независимые переменные (например, x в одномерных функциях):

  Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:

  Дифференциация этой функции по-прежнему означает одно и то же – мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.

  Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются. по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.

  Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.

  А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно в сторону x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении определим как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.

  Формально это определение: частная производная z по to x – это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:

  Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет

  Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.Перед мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.

  Основные правила частичной дифференциации

  Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференцирования. дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка относительно того, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое он имеет, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:

  Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,

  Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.

  Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:

  Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.

  Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:

  Снова обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», так как x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.

  Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:

  Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем “гора” или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2-х разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать обратно к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.

  Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:

  Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:

  Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:

  Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:

  Не очень простые правила частичной дифференциации

  Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.

  Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.

  Когда многомерная функция принимает следующий вид:

  Тогда правило взятия производной:

  Используйте правило мощности для следующей функции, чтобы найти две частные производные:

  Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:

  Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:

  Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составной функции? По мере усложнения проблемы переименование частей составной функции – лучший способ отслеживать все составляющие проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.

  Последний шаг такой же, замените u на функцию g:

  Особые случаи в функциях многих переменных

  Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.

  Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:

  Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

  Сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:

  Правило взятия частичных от экспоненциальных функций можно записать как:

  Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

  В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:

  Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные

  История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.

  Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:

  Существуют 2 прямые частные производные второго порядка, обозначенные значком следующие примеры обозначений:

  Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.

  Теперь история немного усложняется. Кросс-партиалы, f _xy и f _yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным. В пространственном отношении представьте, что крестовина является мерой того, как наклон (изменение in z относительно x) изменяется при изменении переменной y. Следующие примеры обозначений для кросс-партиалов:

  Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где кросс-частичные непрерывны, они будут идентичны.Для следующей функции:

  Возьмем первую и вторую частные производные.

  Теперь, начиная с первых частных производных, найдите перекрестные частные производные:

  Обратите внимание, что кросс-партиалы действительно идентичны, что будет очень пригодится нам в будущих разделах оптимизации.

  [индекс]

  ---

  Правило экспоненты для производной: теория и приложения

  Когда дело доходит до вычисления производных, существует практическое правило, которое выглядит примерно так: либо функция базовая , и в этом случае мы можем обратиться к таблица производных , или функция , составная , и в этом случае мы можем дифференцировать ее рекурсивно – разбив ее на производные составляющих с помощью серии правил для производных .{r-1} $ для всех $ x \ ne 0 $.

  Если функция $ f + g $ корректно определена на интервале $ I $, где $ f $ и $ g $ равны , обе дифференцируемы на $ I $, то $ \ displaystyle (f + g) ‘= f ‘+ g’ $ на $ I $.

  Если функция $ fg $ корректно определена на интервале $ I $, где $ f $ и $ g $ равны , обе дифференцируемы на $ I $, то $ \ displaystyle (fg) ‘= f’ – g $ на $ I $.

  Если функция $ fg $ корректно определена на интервале $ I $, где $ f $ и $ g $ равны , обе дифференцируемы на $ I $, то $ \ displaystyle (fg) ‘= f’g + fg ‘$ на $ I $.{-1} (x)]} \ qquad (x \ in I) \ end {align *}

  (более подробную информацию см. В руководстве по теореме об обратной функции )

  По большей части эти правила более чем достаточно для обработки подавляющего большинства функций, с которыми можно столкнуться. Однако, когда мы смотрим на наш репертуар функций , мы видим, что чего-то еще не хватает, а именно:

  А как насчет функций, построенных с помощью возведения в степень ?

  Здесь, побуждаемые необычным чувством безотлагательности, мы продолжаем играть с идеей , производной от степени , в конечном итоге разрабатывая правило именно для этой цели. g (A + B) $, где:

  • $ A $ получается как производная от экспоненты , умноженная на логарифм основания .
  • $ B $ получается путем взятия производной от с основанием , умноженной на отношение с показателем наверху.

  На самом деле, с небольшой практикой можно освоить правило экспоненты так же хорошо, как мы делаем с правилом частного – и это не говоря уже о целом новом мире, который он открывает для нашего фанатики исчисления в уме !

  Традиционно, чтобы оценить производную функции мощности , нужно было бы прибегнуть либо к логарифмическому дифференцированию , либо к стандартизации по основанию , прежде чем дифференцировать ее.С появлением правила экспоненты оба этих подхода в основном устарели – не потому, что они неактуальны сами по себе, а потому, что они уже были выполнены во время вывода правила экспоненты .

  Далее мы приводим 7 примеров, иллюстрирующих, как правило экспоненты может быть использовано для оптимизации процесса дифференциации для степенных функций , тем самым высвобождая часть наших умственных способностей и ресурсов для других потенциально более сложных задач, которые могут быть решены. {\, \ ln x} $ корректно определено на $ I $, причем как $ \ cos x $, так и $ \ ln x $ также дифференцируемы на $ I $.{\, ​​\ ln x}} $ и его производная. Довольно круто. Верно?

  Да. Это было немного проблемно с символами, но, надеюсь, это иллюстрирует, почему правило экспоненты может быть ценным активом в нашем арсенале производных правил . Хотя для простой степенной функции этот подход может показаться излишним , для многократно возведенных в степень степенных функций с одним вложенным внутри другого становится совершенно очевидно, что правило экспоненты – это абсолютно правильный путь.

  В дополнение к , автоматизирующему процесс дифференциации для степенных функций, правило экспоненты – особенно когда объединяет с другими традиционными производными правилами – действительно может удивлять с точки зрения доступа к функциям, которые ранее были слишком устрашающими / утомительно, чтобы взяться за – например, те, которые нам трудно найти в типичном учебнике по математическому анализу.

  Оставить комментарий Отменить ответ

  Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

  Меню

  Поиск: