Правило вычисления производной сложной функции: Ошибка 404 Страница не найдена

Содержание

как найти, вычислить и понять с нуля

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента.

Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Вычисление производных сложных функций


⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

 

Дифференцирования сложной функции: .

Обратим внимание на запись . Здесь две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию будем называтьвнешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения «внешняя» функция, «внутренняя» функция являются неформальны и применяются только для того, чтобы легче было понять материал.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.Под синусом находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть сумма, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя.

В данном примере функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а тригонометрическая функция синус – внешней функцией.

Первое, что необходимо сделать при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В данном простом примере понятно, что под синус вложен многочлен . В том случае, когда нет очевидности как функция внутренняя, а какая внешняя, можно использовать следующий прием.

Представим, что нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что необходимо вычислить в первую очередь?В первую очередьнужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией . Во вторую очередьнужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией .

После того, как разобралисьс внутренней и внешней функциями применяем правило дифференцирования сложной функции .

Сначаланаходим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция =9x+6 не изменилась.

Очевидно, что

Результат в чистовом оформлении выглядит так:

Далее берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2.Найти производную функции

Решение.Записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен и есть внутренняя функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция. Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз:

любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Когда находим производную от внешней функции , внутренняя функция не меняется. Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции.

Пример 3. Найти производную функции а) ; б)

Решение.

а)

б) .

Пример 4.Найти производную функции

Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция.

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: .

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:


Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

 


Рекомендуемые страницы:

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

%d0%b4%d0%b8%d1%84%d1%84%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%bd%d1%86%d0%b8%d1%80%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20%d1%84%d1%83%d0%bd%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b8 — со всех языков на все языки

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАканАлтайскийАрагонскийАрабскийАстурийскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБагобоБелорусскийБолгарскийТибетскийБурятскийКаталанскийЧеченскийШорскийЧерокиШайенскогоКриЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийВаллийскийДатскийНемецкийДолганскийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГэльскийГуараниКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийВерхнелужицкийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнупиакИнгушскийИсландскийИтальянскийЯпонскийГрузинскийКарачаевскийЧеркесскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийКомиКиргизскийЛатинскийЛюксембургскийСефардскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМаньчжурскийМикенскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийКомиМонгольскийМалайскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийНауатльОрокскийНогайскийОсетинскийОсманскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийАрумынскийРусскийСанскритСеверносаамскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиШумерскийСилезскийТофаларскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийТувинскийТвиУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВьетнамскийВепсскийВарайскийЮпийскийИдишЙорубаКитайский

 

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАлтайскийАрабскийАварскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийКаталанскийЧеченскийЧаморроШорскийЧерокиЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийДатскийНемецкийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГалисийскийКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнгушскийИсландскийИтальянскийИжорскийЯпонскийЛожбанГрузинскийКарачаевскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийЛатинскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийМонгольскийМалайскийМальтийскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПуштуПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийРусскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиТамильскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВодскийВьетнамскийВепсскийИдишЙорубаКитайский

Презентация для урока “Производная сложной функций”

Тип урока: урок изучения нового материала

Вид урока: урок-экскурсия

Методы  и приёмы: информационный, частично-поисковый, взаимообучения, метод ошибок, словесный, наглядный.

Формы работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.

Цели урока:

Образовательные:

ü    Сформировать у учащихся понятие сложной функции.

ü    Изучить алгоритм вычисления производной сложной функции;

  • Показать его применение при вычислении производных.

ü    Научить выполнять простейшие задания на применение правила дифференцирования сложной функции.

Развивающие:

ü                Продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции.

ü                Способствовать развитию умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию.

Воспитательные:

  • Воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, продолжить формирование самооценки при осуществлении дифференцированного обучения, повышать интерес к математике.

ü                Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

ü                Воспитание любви к Родине.

Ожидаемые результаты: учащиеся должны иметь представление о сложной функции и правилах ее дифференцирования, уметь выполнять простейшие задания на применение правила дифференцирования сложной функции.

Используемые учебники и учебные пособия: 

ü                Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под ред. А.Е. Абылкасымовой;

ü                Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под ред. А.Н.Колмогорова.

Используемое оборудование:  компьютер, мультимедийная установка.

Используемые ЦОР: 

Мультимедийная презентация учителя “Производная сложной функции”, тесты, подготовленные средствами MS PowerPoint,  карточки для индивидуальной работы.

План урока:

I.         Организация начала урока.

II.      Проверка выполнения домашнего задания.

III.     Актуализация опорных знаний и умений.

IV.           Усвоение новых знаний.

V.   Первичная проверка понимания учащимися учебного нового материала.

VI.           Закрепление знаний.  

VII.         Контроль и самоконтроль знаний.

VIII.     Задание на дом.

IX.           Оценка знаний.

X.   Подведение итогов урока.

Ход урока:

I.                  Организация начала урока. Формулировка темы урока и постановка целей. (2 мин)

(Слайд 1,2)

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами необычный урок. Тема урока “Производная сложной функции”. Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание

(Слайд 3)

Эпиграф:
«Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет».

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Значит, на уроке нам необходимы знания прошлых уроков.

У вас на столе лежат различные задания и лист оценивания. Внесите туда свою фамилию. Все достигнутые результаты вы будете заносить в таблицу, после чего подсчитаете баллы и оцените себя.

Сегодня на уроке мы повторим понятие производной,  правила вычисления производных, научимся находить производную сложной функции.

Открываем тетради, записываем число и тему урока. Урок у нас с вами будет необычный потому, что отправимся мы сегодня в путешествие. А куда? Узнаем, если проверим ваше домашнее задание.

II. Проверка домашнего задания. (Слайд 4)

Вы дома вычисляли производные функции.

Теперь сопоставьте свой ответ с буквой на листке тестов и составьте предложение.

Итак, получилось слово “КОКШЕТАУ”.

И сегодня на уроке мы не только изучим новую тему, но и проследим основные этапы жизни нашего города  Кокшетау.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

Проверим знание определений, формул и правил.

Устно: Вставьте пропущенные слова.

1)Производной функции в точке  называется число, к которому стремится отношение (приращения функции к приращению аргумента)

2) Нахождение производной функции f называется (дифференцированием).

3) Производная суммы равна (сумме производных).

4) Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Задание1.

Вам предлагается карточка, в которой работая в паре, для каждой формулы вы должны найти ответ, соединив их стрелкой. (слайд 7)

Задание 2.

Найдите производные функции: (слайд 8)

Группа Cтепень (основан 1824г. как военное укрепление Кокчетав)

Группа Теорема (статус города Кокчетав приобрел в 1862г)

Группа Константа

 В 1993г Постановлением Президиума Верховного Совета Республики Казахстан город Кокчетав был переименован в Кокшетау

Сейчас мы выясним, как называются функции под номерами 5, как вычисляются их производные.

IV. Усвоение новых знаний

Сложная функция — это функция от функции. Если g — функция от x, то есть g=g(x),  а f — функция от g:  f=f(g), то функция h=f(g) — сложная. А  g  в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а g — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.

Если h=f(g), где g=g(x), то есть h — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: h’=f’(g(x))·g’(x), то есть производную внешней функции g надо умножить на производную внутренней функции f.

Примеры.

Итак, мы выяснили, что такое сложная функция.

 Алгоритм вычисления сложной функции h(x) = f(g(x)).

  1. определить внешнюю функцию f(g)
  2. найти производную внешней функции f'(g)
  3. определить внутреннюю функцию g(x).

4) найти производную внутренней функции g'(x)

  1. найти произведение производной внутренней на производную внешней функции f’(g(x))·g’(x).

Каждому дается памятника с алгоритмом.

Примеры.

V.Первичная проверка понимания учащимися учебного нового материала.

Задание 3.

Задайте формулами элементарные функции  f и g, из которых составлена сложная функция h(x)=f(g(x))

Ответы:

Задание 4.  Перед вами 5 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите правильный пример (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

Получаем, примеры, с номерами 1, 4, 5

Численность населения Кокшетау 154 тыс.человек

Решение записывают в тетради, номера правильных ответов записывают в оценочный лист.

VI. Закрепление знаний.

Задание 5  (Работа у доски по учебнику).

№ 154

VII. Контроль и самоконтроль знаний.

Задание 6

Тесты (индивидуально).

Вам предлагается за определённое время решить небольшой тест. Запишите ответы в оценочный лист. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово.(слайд 13)

Какое слово у вас получилось? Бурабай

VIII. Задание на дом. 

(Слайд 15)

Группы Степень и Теорема: Стр. 107 № 157

Группа Константа: стр.107 № 157, стр. 150 № 3

IX. Оценка знаний.

Заполнение оценочного листа, выставление оценок.

X. Подведение итогов урока.

С помощью слайдов, созданных в программе Power Point, мы выполнили большой объем работы, повторили теорию, решали различные задания, выполняли устные упражнения, провели самопроверку, получили возможность самостоятельной деятельности, ознакомились с достопримечательностями Кокшетау и статистическими данными. 

Вот и подошел к концу наш урок. Тест и вычисления показали, что большинство из вас поняли новый учебный материал. Я довольна вашими результатами и вашей работой в группах. (Слайд 17)

Рефлексия.

Спасибо за урок!

 

Производная сложной функции

Оценочный лист учащегося

Группа________

Фамилия____________________________________

Имя________________________________________

Этапы

Задания

Количество баллов

1

Проверка домашнего задания

(СЛОВО______________)

2

Устный опрос.

3

 Задание 1.

Формулы.

4

Задание 2.

Найдите производные функции.

5

Задание 3.

Задайте формулами.

6

Задание 4.

Определи правильный ответ.

7

Задание 5.

Работа у доски.

8

Задание 6.

Тесты.

Итоговое количество баллов

Оценка

Критерий оценок: «5» -35-40 баллов, «4» – 29-34 балла, «3» – 20-28 баллов, «2» – менее 20 баллов.

Рефлексия (подчекнуть)

На уроке я работал     активно / пассивно

Своей работой на уроке я    доволен / не доволен

Урок для меня показался     коротким / длинным

За урок я   не устал / устал

Моё настроение стало лучше / стало хуже

Материал урока мне был     понятен / не понятен

                                                полезен / бесполезен

                                                 интересен / скучен

Домашнее задание мне кажется     лёгким / трудным

         интересно / не интересно

Открытый урок по теме Производная сложной функции | Методическая разработка по математике по теме:

ОТКРЫТОЕ ЗАНЯТИЕ  ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ

ТЕМА:   ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1     ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1.1   Вступление

1.2   Готовность группы к работе

1.3   Постановка цели занятия

2     ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА

2.1   Фронтальный опрос

2.2   Индивидуальная работа по карточкам

2.3   Игра «Домино»

2.4   Устная работа

3    ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА        

3.1   Производная  сложной функции

4     ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

5 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

           5.1   Проверочная работа с выборочной системой ответов

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6.1   Подведение итогов

6.2   Домашнее задание

ТЕМА:   ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Тип занятия: комбинированный

Цели изучения темы:

образовательная:

  1. формирование понятия сложной функции;
  2. формирование умения находить по правилу производную сложной функции;
  3. отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

  1. развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
  2. развивать наглядно-действенное творческое воображение;
  3. развивать познавательный интерес.

воспитательная:

  1. воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;
  2. формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.
  3. воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Обеспечение занятия:

  1. таблица производных;
  2. таблица Правила дифференцирования;
  3. карточки для игры домино;
  4. карточки – задания для индивидуальной работы;
  5. карточки – задания для проверочной работы.

Студент должен знать:

  1. определение производной;
  2. правила и формулы дифференцирования;
  3. понятие сложной функции;
  4. правило нахождения производной сложной функции.

Студент должен уметь:

  1. вычислять производные сложных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования;
  2. применять полученные знания к решению задач.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I    ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

  1. Вступление
  2. Готовность группы к работе
  3. Постановка цели занятия

II   ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

а)   Вопросы для фронтального опроса:

  1. Что называется производной функции в точке?
  2. .Что такое дифференцирование?
  3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
  4. Что значит вычислить производную по алгоритму?
  5. Какие правила дифференцирования вы знаете?
  6. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

б)  Индивидуальный работа  по карточкам

в)  Игра «Домино»

х/

0

()/

С/

()/

()/

f /(x)

()/

()/

()/

()/

()/

 

()/

()/

 

()/

()/

()/

()/

()/

()/

1

В комплекте «Домино» 20 карточек. Пары  перемешивают свои карточки, делят пополам  и начинают раскладывать домино с карточки, в которой заполнена только правая или левая часть. Далее вы должны найти на другой карточке выражение  тождественно равное выражению на первой карточке и т. д. В результате получается цепочка.

Домино считается разложенным только тогда, когда все карточки использованы  и   крайние половинки последней и первой карточки пустые.

Если не все карточки разложены, значит, вы где – то допустили ошибку, и её нужно найти.

Студенты, работающие в паре должны оценить друг друга и выставить оценки в лист контроля. Критерии оценки написаны на конвертах.

 Критерии оценки:

  1. “5” –  без ошибок;
  2. “4” –  1-2 ошибки;
  3. “3” –  3-4 ошибки.

Решение: .

Пример 4  Постановка проблемной ситуации:  найти производную функции

 у =ln( cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция  cos x этого переменного. 

Как называются такого рода функции?

[Такого рода функции называются сложными

 функциями или функциями от функций.]

Умеем ли мы находить производные сложных функций?

[Нет.]

Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

[Производная сложной функции]

Студенты сами формулируют тему и цели урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

III     ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная  сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида

y = f ( g (x) )        

называется сложной функцией,  составленной  из функ ций f u g, или суперпозицией функций f и g. 

Пример: Функция  у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u    и    u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u),         где        u = g(x).

                                Внешняя функция         Промежуточная

                                                                           функция

При этом аргумент х называют независимой перемен ной, а  u – промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру. Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х0, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x))  дифференцируема в данной точке x0.

При этом

или

  ,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную от и по переменной х.

Правило:

  1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;
  2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;
  3. Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;
  4. Производную  находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1:  Функция  у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция читается так:  логарифмическая  функция  от  тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию:  у = ln( cos x)=ln u,  u=cos x.

.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи  и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно – дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании  дополненную таблицу производных.

.

Пример2: Найти производную функции у = (x3 – 5х + 7)9.

Решение:   Обозначив в «уме»  u = х3 – 5x +7,    получим у = u9. Найдем:

и                            

По формуле имеем

4 ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1)   ;

2)    ;

3)  ;

4)   ;

5)   ;

5 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

5.1  Проверочная работа в форме теста

Спецификация теста:

  1. Тест гомогенный;
  2. Тест закрытой формы;
  3. Количество заданий – 3;
  4. Время выполнения задания – 5мин.;
  5. За правильный ответ испытуемый получает 1 балл,

      за неправильный – 0 баллов.

Инструкция: выберите  правильный вариант ответа.

Критерии оценки:

“5” – 3 балла

“4” – 2 балла

“3”  – 1 балл

Студенты решают на листочках и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку в лист контроля (самоконтроль).

Вариант 1

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а) ;                        б) ;                        в) .

        

  1. Производная функции  равна:

а)   ;                        б)  ;                           в)   .

  1. Вычислить производную для функции :

а)   ;                         б)   ;                в)   .

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а)   ;                        б)    ;                        в)   .

                

  1. Производная функции  равна:

а)    ;                        б)    ;                        в)    .

  1. Вычислить производную для функции :

а)   ;                        б) ;                        в)    .

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а)    ;                        б)    ;                 в)     .                

 

  1. Производная функции  равна:

а)   ;                        б)    ;                в)     .

  1. Вычислить производную для функции :

а)    ;                        б)    ;                в)     .

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а)    ;                        б)    ;                в)      .        

        

  1. Производная функции  равна:

а)     ;                б)       ;                в)     .

  1. Вычислить производную для функции :

а)    ;                б)     ;                        в)    .

Ключи ответов

№ задания

1 вариант

2 вариант

3вариант

4 вариант

ответ

ответ

ответ

ответ

1

в

б

в

а

2

б

б

б

в

3

а

в

в

в

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6.1 Подведение итогов

  1. рефлексия;
  2. выставление оценок;
  3. сдача листов контроля.

Производная имеет очень большое применение в геометрии, физике, механике, экономике, в приближенных вычислениях, при исследовании функций. Вы будете использовать производную в ходе изучения дисциплины Основы алгоритмизации и программирования при составлении программ для работы с графикой.

Н.И. Лобачевский “… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”

6.2 Домашнее задание


Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Правила дифференцирования в математике | univer-nn.ru

Производная алгебраической суммы функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)’ = u’±v’ 

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)’ = u’ — v’ + w’ 

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)’ = u’v + uv’ 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)’ = cv’ (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’ 

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Очень часто в задачах по математике на производные даются сложные функции, например, y = sin(cos5x). Производная такой функции равна -5sin5x*sin(cos5x)

Смотрите пример вычисления сложной функции на следующем видео


Вывод правила цепочки

Когда у нас есть функция, которая представляет собой композицию из двух или более функций, мы могли бы использовать все методы, которые мы уже изучили, чтобы различать ее. Однако использование всех этих техник для разбиения функции на более простые части, которые мы можем различать, может оказаться громоздким. Вместо этого мы используем правило цепочки , которое гласит, что производная сложной функции – это производная внешней функции, вычисленная во внутренней функции, умноженная на производную внутренней функции.3) \).

Теперь, когда мы вывели частный случай цепного правила, мы сформулируем общий случай, а затем применим его в общей форме к другим составным функциям. Неофициальное доказательство приводится в конце раздела.

Правило

: правило цепочки

Пусть \ (f \) и \ (g \) – функции. Для всех \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g \) дифференцируема в \ (x \) и \ (f \) дифференцируема в \ (g (x) \), производная сложной функции

\ [h (x) = (f∘g) (x) = f \ big (g (x) \ big) \]

выдается

\ [h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x).\]

В качестве альтернативы, если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}. \]

Стратегия решения проблем: применение правила цепочки

  1. Чтобы различать \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big) \), начните с определения \ (f (x) \) и \ (g (x) \).
  2. Найдите \ (f ‘(x) \) и оцените его в \ (g (x) \), чтобы получить \ (f’ \ big (g (x) \ big) \).
  3. Найдите \ (g ‘(x). \)
  4. Запишите \ (h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) ⋅g ‘(x).\)

Примечание : Применяя правило цепочки к композиции двух или более функций, имейте в виду, что мы работаем извне, функция внутри. Также полезно помнить, что производная композиции двух функций может считаться состоящим из двух частей; производная от композиции трех функций состоит из трех частей; и так далее. Кроме того, помните, что мы никогда не оцениваем производный инструмент по производному инструменту.

Объединение правил цепи и мощности

Теперь мы можем применить правило цепочки к составным функциям, но обратите внимание, что нам часто нужно использовать его с другими правилами.3 \) при \ (x = −2 \).

Подсказка

Используйте предыдущий пример в качестве руководства.

Ответ

\ (у = -48x-88 \)

Объединение правила цепочки с другими правилами

Теперь, когда мы можем объединить цепное правило и правило мощности, мы исследуем, как объединить цепное правило с другими правилами, которые мы изучили. В частности, мы можем использовать его с формулами для производных тригонометрических функций или с правилом произведения.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование правила цепочки для функции общего косинуса

Найти производную от \ (h (x) = \ cos \ big (g (x) \ big). \)

Решение

Думайте о \ (h (x) = \ cos \ big (g (x) \ big) \) как о \ (f \ big (g (x) \ big) \), где \ (f (x) = \ cos Икс\). Поскольку \ (f ‘(x) = – \ sin x \). у нас есть \ (f ‘\ big (g (x) \ big) = – \ sin \ big (g (x) \ big) \). Затем делаем следующий расчет.

\ [\ begin {align *} h ‘(x) & = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x) & & \ text {Примените правило цепочки.5 + 2x). \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найти производную от \ (h (x) = \ sin (7x + 2). \)

Подсказка

Сначала примените цепное правило к \ (h (x) = \ sin \ big (g (x) \ big) \), а затем используйте \ (g (x) = 7x + 2 \).

Ответ

\ (h ‘(x) = 7 \ cos (7x + 2) \)

На этом этапе мы предоставляем список производных формул, которые могут быть получены путем применения цепного правила в сочетании с формулами для производных тригонометрических функций.Их выводы аналогичны тем, которые использовались в приведенных выше примерах. Для удобства формулы также даны в обозначениях Лейбница, которые некоторым студентам легче запомнить. (Мы обсуждаем цепное правило, используя обозначения Лейбница в конце этого раздела.) Не обязательно запоминать их как отдельные формулы, поскольку все они являются приложениями цепного правила к ранее изученным формулам.

Использование цепного правила с тригонометрическими функциями

Для всех значений \ (x \), для которых определена производная,

\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ sin (g (x)) \ Big) = \ cos (g (x)) \ cdot g ‘(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ sin u \ Big) = \ cos u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cos (g (x)) \ Big) = – \ sin (g (x)) \ cdot g ‘(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cos u \ Big) = – \ sin u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ tan (g (x)) \ Big) = \ sec ^ 2 (g (x)) \ cdot g ‘(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ tan u \ Big) = \ text {sec} ^ 2u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cot (g (x)) \ Big) = – \ text {csc} ^ 2 (g (x)) \ cdot g ‘(x) \ ) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ cot u \ Big) = – \ text {csc} ^ 2u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {sec} (g (x)) \ Big) = \ text {sec} (g (x)) \ tan (g (x)) \ cdot g ‘(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {sec} \, u \ Big) = \ text {sec} \, u \ tan u \ cdot \ dfrac {du} {dx} \)
\ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {csc} (g (x)) \ Big) = – \ text {csc} (g (x)) \ cot (g (x) ) \ cdot g ‘(x) \) \ (\ dfrac {d} {dx} \ Big (\ text {csc} \, u \ Big) = – \ text {csc} \, u \ cot u \ cdot \ dfrac {du} {dx}.4} \)

Композиты из трех или более функций

Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза. Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем сгенерировать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.

В общем, сначала сдаем

\ [k (x) = h \ Big (е \ big (g (x) \ big) \ Big).\ nonumber \]

Затем, применяя цепное правило, мы получаем

\ [k ‘(x) = \ dfrac {d} {dx} \ Big (h \ big (f \ big (g (x) \ big) \ big) \ Big) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) ⋅ \ dfrac {d} {dx} \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big). \ nonumber \]

Применяя снова цепное правило, получаем

\ [k ‘(x) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f ‘\ big (g (x) \ big) \ cdot g’ (x)) . \ nonumber \]

Правило: цепное правило для композиции из трех функций

Решение

Для всех значений \ (x \), для которых функция дифференцируема, если

\ (k (x) = h \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big), \)

, затем

\ (k ‘(x) = h’ \ Big (f \ big (g (x) \ big) \ Big) \ cdot f ‘\ big (g (x) \ big) \ cdot g’ (x)) . 2 + 1).3) \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): использование правила цепочки в задаче скорости

Частица движется по координатной оси. Его положение в момент времени t определяется выражением \ (s (t) = \ sin (2t) + \ cos (3t) \). Какова скорость частицы в момент времени \ (t = \ dfrac {π} {6} \)?

Решение

Чтобы найти \ (v (t) \), скорость частицы в момент времени \ (t \), мы должны продифференцировать \ (s (t) \). Таким образом,

\ [v (t) = s ‘(t) = 2 \ cos (2t) −3 \ sin (3t). \ Nonumber \]

Правило доказательства цепочки

Здесь мы представляем очень неформальное доказательство цепного правила.Для простоты мы игнорируем некоторые вопросы: например, мы предполагаем, что \ (g (x) ≠ g (a) \) для \ (x ≠ a \) в некотором открытом интервале, содержащем \ (a \). Начнем с применения предельного определения производной к функции \ (h (x) \), чтобы получить \ (h ‘(a) \):

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {x − a}. \ ]

Переписывая, получаем

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a}. \]

Хотя понятно, что

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g ‘(a), \]

не очевидно, что

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = f ‘\ большой (г (а) \ большой).\]

Чтобы убедиться в этом, сначала напомним, что, поскольку \ (g \) дифференцируема в \ (a \), \ (g \) также непрерывна в \ (a. \) Таким образом,

\ [\ lim_ {x → a} g (x) = g (a). \]

Затем сделайте замену \ (y = g (x) \) и \ (b = g (a) \) и используйте замену переменных в пределе, чтобы получить

\ [\ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} = \ lim_ {y → b} \ dfrac {f (y) −f (b)} {y − b} = f ‘(b) = f’ \ big (g (a) \ big). \]

Наконец,

\ [h ‘(a) = \ lim_ {x → a} \ dfrac {f \ big (g (x) \ big) −f \ big (g (a) \ big)} {g (x) −g (a)} ⋅ \ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f ‘\ big (g (a) \ big) \ cdot g’ (a).\]

Пример \ (\ PageIndex {10} \): использование правила цепочки с функциональными значениями

Пусть \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big). \) Если \ (g (1) = 4, g ‘(1) = 3 \) и \ (f’ (4 ) = 7 \), найти \ (h ‘(1). \)

Решение

Используйте цепное правило, затем замените.

\ [\ begin {align *} h ‘(1) & = f’ \ big (g (1) \ big) \ cdot g ‘(1) & & \ text {Применить правило цепочки.} \\
& = f ‘(4) ⋅3 & & \ text {Substitute} \; g (1) = 4 \; \ text {и} \; g ‘(1) = 3. \\
& = 7⋅3 & & \ text {Substitute} \; f ‘(4) = 7.\\
& = 21 & & \ text {Упростить.} \ End {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Дано \ (h (x) = f (g (x)) \). Если \ (g (2) = – 3, g ‘(2) = 4, \) и \ (f’ (- 3) = 7 \), найдите \ (h ‘(2) \).

Подсказка

Следуйте примеру \ (\ PageIndex {10} \).

Ответ

28

Цепное правило с использованием обозначений Лейбница

Как и в случае с другими производными, которые мы видели, мы можем выразить цепное правило, используя обозначения Лейбница.Это обозначение цепного правила широко используется в физических приложениях.

Для \ (h (x) = f (g (x)), \) пусть \ (u = g (x) \) и \ (y = h (x) = g (u). \) Таким образом,

\ [h ‘(x) = \ dfrac {dy} {dx} \ nonumber \]

\ [f ‘(g (x)) = f’ (u) = \ dfrac {dy} {du} \ nonumber \]

и

\ [g ‘(x) = \ dfrac {du} {dx}. \ Nonumber \]

Следовательно,

\ [\ dfrac {dy} {dx} = h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x) = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac { du} {dx}. \ nonumber \]

Правило: цепное правило с использованием обозначения Лейбница

Если \ (y \) является функцией \ (u \), а \ (u \) является функцией \ (x \), то

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx}.3). \)

Ключевые понятия

  • Цепное правило позволяет нам различать композиции из двух или более функций. В нем говорится, что для \ (h (x) = f \ big (g (x) \ big), \)

\ (h ‘(x) = f’ \ big (g (x) \ big) \ cdot g ‘(x). \)

В обозначениях Лейбница это правило принимает форму

\ (\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx} \).

  • Мы можем использовать правило цепочки с другими правилами, которые мы изучили, и мы можем вывести формулы для некоторых из них.{n − 1} \ cdot g ‘(x) \)

    Глоссарий

    линейка
    цепное правило определяет производную сложной функции как производную внешней функции, вычисленную во внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.

    Авторы и авторство

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax лицензирован CC-BY-SA-NC 4.0 лицензия. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    Цепное правило – проблема 1

    Напомним, что составная функция f (g (x)) – это функция, которая имеет другую функцию «внутри». Беря производную от такой функции, мы используем цепное правило. Цепное правило гласит, что вы сначала берете производную «внешней» функции, а затем умножаете ее на производную «внутренней функции». Итак, для функции h (x) = f (g (x)) ее производная будет h ‘(x) = f’ (g (x)) * g ‘(x).

    Чтобы определить, какая функция является внутренней функцией, посмотрите, какая функция «содержится» в другой функции. Например, для экспоненциальных функций посмотрите на степень возведения е. Для логарифмических функций это будет то, что находится в скобках логарифма.

    Например, пусть h (x) = e -5x 2 -6 . Функция «снаружи» – e x , а функция «внутри» – -5x 2 -6. Сначала возьмем производную внешней функции.Помните, что производная от e x сама по себе, e x . Итак, первая часть нашей производной: e -5x 2 -6 . Затем найдите производную внутренней функции -5x 2 -6. Из правила мощности мы знаем, что его производная равна -10x. Умножая их, получаем h ‘(x) = – 10xe -5x 2 -6 .

    Давайте займемся задачей, связанной с цепным правилом.Напомним, что цепное правило – это метод дифференцирования составных функций. А чтобы подчеркнуть, что такое составная функция и как ее соединять, я закодировал внутреннюю и внешнюю части цветом.

    Помните, что составная функция подобна помещению одной функции в другую. Итак, здесь внутренняя функция – это g (x), а внешняя функция – это f (x). Когда вы различаете эти вещи, вы в первую очередь различаете внешнюю функцию. Оставьте внутреннюю функцию в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

    Одна из вещей, которые вы должны сделать при решении проблемы, – это определить внешние и внутренние функции. Здесь меня просят дифференцировать h (x), равное e, на 2x³ минус 5. Давайте определим внутреннюю и внешнюю функции.

    У нас есть экспоненциальная функция; e к x, а затем 2x³ минус 5. Одна из них – внутренняя; одна из них – внешняя функция. Я думаю, что способ определения внутренней функции – это подумать о том, вычисляли ли вы значения для этой функции.Что бы вы сделали в первую очередь? Если у вас есть значение x, например, 2, вы сначала кубите его, умножаете на 2 и вычитаете 5. Итак, ясно, что это внутренняя часть функции.

    Вы можете просто сделать внутреннюю функцию x³. Но я думаю, вы хотите сделать все это равным 2x³ минус 5, потому что тогда внешняя функция будет просто e по отношению к x, что приятно и легко отличить. Я закодирую это цветом. Внешняя функция – это e для x, я поставлю здесь круглые скобки, или e для чего-то. И тогда внутренняя функция равна 2x³ минус 5.

    Теперь он имеет цветовую кодировку, и должно быть действительно ясно, как различать h (x). Итак, h ‘(x) будет производной внешней функции. Производная e от x – это просто e от x. Так что я напишу e для something, а внутреннюю функцию оставим в покое. 2x³ минус 5-кратная производная внутренней функции. Вот что означает эта часть. И производная внутренней функции является производной этой. Это будет 6x².

    Вот и все, цепное правило.Сначала дифференцируйте внешнюю функцию, оставьте внутреннюю в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

    Правило цепочки

    Это наиболее важное правило, которое позволяет вычислить производную композиции двух или более функций.

    Сначала рассмотрим понятие составной функции. Пусть функция \ (g \) определена на множестве \ (X \) и может принимать значения в множестве \ (U \). В этом случае мы говорим, что функция \ (g \) отображает множество \ (X \) в \ (U \), и функция записывается как

    \ [{u = g \ left (x \ right), \; \; \ text {where} \; \; \;} \ kern-0.3pt {x \ in X, u \ in U.} \]

    Теперь представьте, что на множестве \ (U \) определена другая функция \ (f \). Эта функция отображает набор \ (U \) в \ (Y: \)

    \ [{y = f \ left (u \ right), \; \; \ text {where} \; \; \;} \ kern-0.3pt {u \ in U, y \ in Y.} \]

    Это двойное отображение, в котором диапазон первой карты является подмножеством области второй карты, называется композицией карт, а соответствующие функции образуют композицию функций.

    Если \ (g: X \ to U \) и \ (f: U \ to Y \), то композиция функций \ (g \) и \ (f \) обозначается как

    \ [{y = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right)} = {f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right)} = {f \ влево (и \ вправо)} \]

    и представляет собой «двухуровневую» составную функцию или функцию функции.

    Если \ (f \) и \ (g \) – дифференцируемые функции, то составная функция \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \) также дифференцируема в \ ( x \), а его производная равна

    \ [
    {\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right)}
    = {\ frac {d} {{dx}} f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) g ‘\ left (x \ right)}
    = {\ frac {{df}} {{ du}} \ frac {{du}} {{dx}}.}
    \]

    При более внимательном рассмотрении формулы мы замечаем, что она включает в себя умножение значения производной для внешней функции на значение производной для внутренней функции.Однако, когда мы дифференцируем составную функцию \ (y = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \) в точке \ (x \), мы умножаем значение производной внутренней функции на \ (x \), умноженное на значение производной внешней функции в точке \ (u = g \ left (x \ right) \)… не в точке \ (x! \)

    Докажем приведенную выше формулу.

    Возьмем произвольную точку \ ({x_0} \). Мы предполагаем, что функция \ (u = g \ left (x \ right) \) дифференцируема в \ ({x_0} \), а функция \ (y = f \ left (u \ right) \), соответственно, является дифференцируемо в точке \ ({u_0} = g \ left ({{x_0}} \ right) \).Это означает, что производные \ (g ‘\ left (x \ right) \) и \ (f’ \ left (u \ right) \) существуют в указанных точках, а функции \ (g \ left (x \ right) ) \) и \ (f \ left (u \ right) \) непрерывны в окрестности этих точек.

    Производная внешней функции \ (y = f \ left (u \ right) \) в точке \ ({u_0} \) записывается с использованием определения предела как

    \ [f ’\ left ({{u_0}} \ right) = \ lim \ limits _ {\ Delta u \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta u}}. \]

    Это выражение можно переписать в виде:

    \ [{\ Delta y} = {f ’\ left ({{u_0}} \ right) \ Delta u + \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ Delta u,} \]

    , где ошибка \ (\ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \)) зависит от приращения \ (\ Delta u \) и выполняется следующее условие:

    \ [{\ lim \ limits _ {\ Delta u \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right)} = {\ varepsilon \ left (0 \ right) = 0.} \]

    Разделите выражение для \ (\ Delta y \) на приращение внутренней переменной \ (\ Delta x \ ne 0: \)

    \ [{\ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}} = {f ‘\ left ({{u_0}} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x }} + \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}.} \]

    Поскольку внутренняя функция \ (u = g \ left (x \ right) \) дифференцируема в \ ({x_0}, \), то

    \ [\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} = g ’\ left ({{x_0}} \ right).\]

    Отметим также, что \ (\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta u = 0 \) непрерывностью функции \ (u \ left (x \ right) \) и, следовательно,

    \ [
    {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) = \ varepsilon \ left ({\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Дельта u} \ right)}
    = {\ varepsilon \ left (0 \ right) = 0.}
    \]

    В результате производная сложной функции в точке \ ({x_0} \) выражается следующей формулой:

    \ [
    {y ‘\ left ({{x_0}} \ right)} = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}}
    = {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{f ‘\ left ({{u_0}} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} \ верно.} + {\ left. {\ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} \ right]}
    = {f ‘\ left ({ {u_0}} \ right) \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}} + {\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ varepsilon \ left ({\ Delta u} \ right) \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}}}
    = {f ‘\ left ({{u_0}} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right) + 0 \ cdot g’ \ left ({{x_0}} \ right)}
    = {f ‘\ left ({ {u_0}} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right)}
    = {f’ \ left ({g \ left ({{x_0}} \ right)} \ right) g ‘\ left ({{x_0}} \ right).\ prime}}
    = {f ‘\ left ({g \ left ({h \ left (x \ right)} \ right)} \ right) \ cdot g’ \ left ({h \ left (x \ right) } \ right) \ cdot h ‘\ left (x \ right).}
    \]

    Вы можете заметить, что производная составной функции представлена ​​как серийный продукт производных составляющих функций. Аргументы функций связаны (связаны), так что значение внутренней функции является аргументом для следующей внешней функции. Поэтому правило дифференцирования составной функции часто называют цепным правилом.2} + 1} \]

    Пример 23

    Найдите значение производной функции \ (y = \ sin {\ large \ frac {x} {3} \ normalsize} \) в \ (x = 2 \ pi. \)

    Пример 24

    \ [y = \ frac {1} {a} \ arctan \ frac {x} {a} \]

    Пример 25

    \ [y = \ tan \ frac {x} {2} – \ cot \ frac {x} {2} \]

    Пример 26

    \ [у = \ sqrt {\ sin 2x + 1} \]

    Пример 27

    \ [y = \ sin \ left ({\ ln \ cos x} \ right) \]

    Пример 28

    \ [у = х \ sqrt {1 + {х ^ 2}} \]

    Пример 29

    \ [y = \ frac {1} {{\ sqrt {{a ^ 2} – {x ^ 2}}}} \]

    Пример 30

    \ [y = {\ left ({\ frac {{x + 1}} {{x – 1}}} \ right) ^ 3} \]

    Пример 31

    \ [y = {\ left ({\ frac {x} {{1 + x}}} \ right) ^ 4} \]

    Пример 32

    \ [y = \ ln \ left ({\ sqrt {x + 1} – \ sqrt x} \ right) \]

    Пример 33

    \ [y = \ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {{9 {x ^ 2} – 1}} \]

    Пример 34

    \ [y = {\ left ({5x + 2} \ right) ^ {13}} – {\ left ({6x + 7} \ right) ^ {10}} \]

    Пример 35

    \ [y = {\ left ({x + \ sqrt x} \ right) ^ 3} \]

    Пример 36

    \ [y = \ ln \ left ({\ frac {{x + 1}} {{x – 1}}} \ right) \]

    Пример 37

    \ [y = \ ln \ frac {{3 – {x ^ 2}}} {{2 – {x ^ 2}}} \]

    Пример 38

    \ [у = \ грех {х ^ 3} \ соз {х ^ 2} \]

    Пример 39

    \ [y = \ sin \ left ({{{\ cos} ^ 2} x} \ right) \]

    Пример 40

    \ [y = \ arcsin \ frac {1} {x} \]

    Пример 41

    \ [у = \ sqrt {x \ sqrt x} \]

    Пример 42

    \ [y = \ sqrt \ frac {{x – 1}} {{x + 1}} \]

    Пример 43

    \ [y = {\ sin ^ 4} x + {\ cos ^ 4} x \]

    Пример 44

    \ [y = \ arccos \ frac {a} {x} \]

    Пример 45

    \ [y = \ text {arccot} \, \ frac {{{x ^ 2}}} {a} \; \ left ({a \ ne 0} \ right) \]

    Пример 46

    \ [y = \ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {{{{\ cot} ^ 8} \ frac {x} {2}}} \]

    Пример 47

    \ [y = {\ log _5} \ sin 2x \]

    Пример 48

    \ [y = x \ sin \ frac {1} {x} \]

    Пример 49

    \ [y = \ ln \ left ({x + \ sqrt {{x ^ 2} + 1}} \ right) \]

    Пример 50

    \ [y = \ ln \ frac {1} {{\ sqrt {1 – {x ^ 4}}}} \]

    Пример 51

    \ [y = \ sin \ left [{\ sin \ left ({\ sin x} \ right)} \ right] \]

    Пример 52

    \ [y = \ frac {1} {{{{\ cos} ^ n} x}} \]

    Пример 53

    \ [y = \ frac {2} {3} \ sqrt {{{\ left ({1 + \ ln x} \ right)} ^ 3}} \]

    Пример 54

    \ [y = \ ln \ frac {1} {{\ sqrt {1 – {x ^ 4}}}} \]

    Пример 55

    \ [y = \ ln \ tan \ left ({\ frac {x} {2} + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \]

    Пример 1.\ prime}}


    = {- 3 \ sin \ left ({3x + 2} \ right).}
    \]

    Правило цепочки

    : общее правило мощности – проблема 1

    Вы можете использовать цепное правило, чтобы найти производную многочлена в некоторой степени. Помните, что цепное правило используется для нахождения производных сложных функций. Во-первых, определите, какая функция находится «внутри», а какая – «снаружи». В случае полиномов, возведенных в степень, пусть внутренняя функция будет полиномом, а внешняя – степенью, в которую она возведена.Затем, следуя правилу цепочки, вы можете найти производную. Например, пусть f (x) = (x 5 + 4x 3 -5) 6 . Эту функцию было бы очень сложно расширить вручную, чтобы найти производную, поэтому цепное правило упростило бы задачу. Внутренняя функция будет иметь вид x 5 + 4x 3 -5, а внешняя функция – x 6 (возведение чего-то неизвестного в шестую степень). Производная некоторого y 6 равна 6y 5 по правилу мощности, поэтому первая часть производной равна 6 (x 5 + 4x 3 -5) 5 .Тогда производная внутренней функции равна 5x 4 + 12x 2 . Следовательно, производная этой функции будет 6 (x 5 + 4x 3 -5) 5 (5x 4 + 12x 2 ).

    Давайте рассмотрим более сложный пример цепного правила. Теперь у нас есть частный случай цепного правила. Правило общей власти; который говорит, что если ваша функция – это g (x) в некоторой степени, способ дифференцировать – это взять мощность, потянуть ее вперед, и у вас будет g (x) до n минус 1, умноженное на g ‘(x) .Итак, я хочу применить это к тому, что h (x) равно x минус 1 по x плюс 1, все в 3-й степени.

    Прежде всего, отметим, что внутренняя функция равна x минус 1 по сравнению с x плюс 1. Итак, если бы я кодировал это цветом, я бы поднял это до третьей степени, это была бы внешняя функция. Поместите это красным. Внутренняя функция будет этой рациональной функцией. Теперь, думая о будущем, что мне делать с внутренней функцией? Я должен различить это в конце здесь. Поэтому в какой-то момент мне придется использовать правило частного, чтобы дифференцировать эту функцию.

    Позвольте мне начать. H ‘(x) будет, теперь сначала дифференцируя внешнюю функцию, что-то до третьей степени в функции. И производная от этого равна 3 умножению на 3 минус 1,3 умноженному на квадрат. Я не трогаю внутреннюю часть, просто оставляю как есть; х минус 1 больше х плюс 1. Затем умножьте, и я хочу получить производную внутренней функции. Здесь я использую правило частного. Правило частного говорит, что минимум d высокий, x плюс 1 умноженная на производную вершины минус максимум d low, (x минус 1) умноженная на производную основания по квадрату того, что ниже.x плюс 1 находится внизу, поэтому я возведу его в квадрат.

    Это сильно упростит. Позвольте мне поднять это здесь. Итак, у меня h ‘(x) равно: что у меня есть на данный момент? Я просто сделаю это черным и сделаю еще цветовую кодировку. 3 ((x минус 1) над x плюс 1) ². Позвольте мне вернуться очень быстро.

    Этот числитель упростит. У меня x плюс 1 и x минус 1. Я вычитаю x минус 1. Значит, x отменится. X минус x, это отменит, и у меня 1 минус -1, поэтому 1 плюс 1. Это дает мне 2 в числителе.Затем в знаменателе возведен квадрат x плюс 1. Итак, позвольте мне записать это: 2.

    Теперь, глядя на этот термин, обратите внимание, я могу распределить квадрат по числителю и знаменателю. У меня было бы (x минус 1) ² сверху и (x плюс 1) ² снизу. Я умножаю это на 3 и на 2 (x плюс 1) ². Сейчас я просто упрощаю. Вверху у меня будет 3 раза по 2, 6 раз (x минус 1) ², а внизу у меня (x плюс 1) в 4-й степени. Это моя производная h ’(x).

    Математическая сцена – Производные, урок 5

    Математическая сцена – Производные, урок 5 – Цепное правило

    2009 Расмус Эф и Джанн Сак

    Производные инструменты

    Урок 5

    Цепное правило


    Пример 1

    Дифференцировать f (x) = (x 3 +1) 2 .

    Только так у нас есть пока это делается путем умножения скобок, а затем дифференцируя. Если мы сделаем это, мы получим

    f (x) = x 6 + 2x 3 +1 и, следовательно, f (x) = 6x 5 + 6x 2 .

    Это не проблема с простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если, например, у нас есть f (x) = (x 3 +1) 6 ?
    В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы перемножить скобки перед дифференцируя.

    Чтобы различать такие составные функции, мы используем так называемое правило цепочки. Сделаем пример 1 еще раз, чтобы увидеть, как это работает.

    f (x) является примером составная функция, как было введено в функциях 2.
    Его можно записать как f (u) = u 2 , где u = x 3 +1, u равно функция от x, то есть u (x) = x 3 +1.

    Правило цепочки гласит, что мы сначала дифференцируйте f (u), рассматривая u как переменную, и получите f (u) = 2u (так же, как (x 2 ) = 2x)
    Далее дифференцируем u и получаем и (х) = 3х 2 .Наконец, мы умножаем два результата вместе и получаем
    f (x) = 2u3x 2 . Возвращая значение u, получаем f (x) = 2 (x 3 +1) 3x 2 = 6x 5 + 6x 2

    Это дает нам правило называется цепным правилом, которое гласит, что

    (f (u (x)) = f (u (x)) u (x)

    Мы только указали здесь правило, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.

    Пример 2

    Дифференцируйте композицию функция f (x) = sin 2 x.

    Обозначение грех 2 х это другой способ записи (sin x) 2 так что квадрат является внешней функцией, а sin x – внутренней функцией. Начать мы разделим это на две части, но с практикой это не будет нужно.

    f (x) = (грех х) 2 можно записать как f (u) = u 2 где u = sin x.

    f (u) = 2u и u = cos x, так что умножая вместе получаем

    f (x) = 2ucos x = 2 sin x cos x

    Цепное правило гласит, что дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножьте на производную внутренней функции.

    Пример 2 +

    Продифференцируем f (x) = sin x 2 . Это можно записать как f (u) = sin u, где u = х 2

    Итак, в этом случае синус – это внешняя функция, а квадрат внутренний функция

    ф (х) = cos x 2 2x

    Пример 3

    Мы можем использовать правила cos x = sin (/ 2 x) и sin x = cos (/ 2 x), чтобы найти производную cos x.

    cos x = f (x) = sin (/ 2 x)

    Производная синуса, внешняя функция – cos и производная от (/ 2 x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем

    ф (х) = cos (/ 2 x) (1)

    = грех х (1)

    = грех х

    Пример 4

    Найдите производную f (x) = sin 2 x 2 .

    Это можно записать как f (x) = (грех x 2 ) 2 так что у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция – квадратичная, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.

    Мы можем написать f = u 2 , где u = sinv и v = х 2 . Различение каждой функции и умножение дает нам 2 u cos v 2x, и, возвращая значения u и v, получаем результат:

    f (x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x

    Первая дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений.Затем мы дифференцируем синусоидальную функцию, чтобы получить cos и оставить x 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получите 2х.

    Пример 5

    a) f (x) = e 2x
    f (x) = e 2x 2

    Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее. производная 2x равна 2.

    Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная x 2 + 1 равна 2x.

    c) f (x) = e sin x
    f (x) = e sin x cos x

    Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная sin x равна cos x.

    Теперь мы хотим найти правило для различения f (x) = ln x.

    Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает различение обеих сторон уравнение.

    Если f (x) = ln x, то e f (x) = х. Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее:

    e f (x) = х

    e f (x) f (x) = 1 Использование правила цепочки.

    Решая для f (x), получаем

    f (x) = 1 / e f (x)

    = 1 / х Помните, что x = e f (x) .

    Теперь мы можем найти производную от других логарифмические функции.

    Найдите производную от f (x) = log x.

    Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и отношения между бревнами с разными основаниями. Этот Правило, которое нам нужно:

    Таким образом мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм ln x.

    Логарифм ln 10 – константа, не влияющая на производная, остальное несложно.

    Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем резюмировать следующие три правила:

    Пример 6

    Продифференцируем f (x) = ln (x 2 + 1).

    Пример 7

    Продифференцируем f (x) = xln х х + 5.

    f (x) = 1lnx + x1 / x 1 = ln x

    Обобщение производных


    Производная:

    к = 0 k = постоянная Икс = 1

    (x n ) = nx n1 n может быть любым действительным числом.

    (e x ) = e x

    ( x ) = x дюймов

    (грех х) = cos x

    (соз х) = грех х

    Правила:

    (УФ) = УФ + УФ

    (е (г (х)) = е (г (х)) г (х)


    Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 5 по производным.

    шт. Запомните свой контрольный список.

    Правила исчисления – многомерные

    Правила исчисления – многомерные

    Добавленные переменные, те же методы

    В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается.Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.

    Во-первых, чтобы определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные.Обычно z является зависимой переменной (например, y в функциях одной переменной), а x и y – независимые переменные (например, x в одномерных функциях):

    Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:

    Дифференциация этой функции по-прежнему означает одно и то же – мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.

    Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются. по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.

    Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.

    А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно в сторону x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении определим как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.

    Формально это определение: частная производная z по to x – это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:

    Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет

    Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.Перед мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.

    Основные правила частичной дифференциации

    Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференцирования. дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка относительно того, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое он имеет, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:

    Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,

    Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.

    Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:

    Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.

    Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:

    Снова обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», так как x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.

    Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:

    Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем “гора” или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2-х разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать обратно к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.

    Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:

    Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:

    Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:

    Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:

    Не очень простые правила частичной дифференциации

    Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.

    Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.

    Когда многомерная функция принимает следующий вид:

    Тогда правило взятия производной:

    Используйте правило мощности для следующей функции, чтобы найти две частные производные:

    Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:

    Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:

    Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составной функции? По мере усложнения проблемы переименование частей составной функции – лучший способ отслеживать все составляющие проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.

    Последний шаг такой же, замените u на функцию g:

    Особые случаи в функциях многих переменных

    Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.

    Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:

    Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

    Сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:

    Правило взятия частичных от экспоненциальных функций можно записать как:

    Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

    В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:

    Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные

    История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.

    Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:

    Существуют 2 прямые частные производные второго порядка, обозначенные значком следующие примеры обозначений:

    Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.

    Теперь история немного усложняется. Кросс-партиалы, f xy и f yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным. В пространственном отношении представьте, что крестовина является мерой того, как наклон (изменение in z относительно x) изменяется при изменении переменной y. Следующие примеры обозначений для кросс-партиалов:

    Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где кросс-частичные непрерывны, они будут идентичны.Для следующей функции:

    Возьмем первую и вторую частные производные.

    Теперь, начиная с первых частных производных, найдите перекрестные частные производные:

    Обратите внимание, что кросс-партиалы действительно идентичны, что будет очень пригодится нам в будущих разделах оптимизации.

    [индекс]


    Правило экспоненты для производной: теория и приложения

    Когда дело доходит до вычисления производных, существует практическое правило, которое выглядит примерно так: либо функция базовая , и в этом случае мы можем обратиться к таблица производных , или функция , составная , и в этом случае мы можем дифференцировать ее рекурсивно – разбив ее на производные составляющих с помощью серии правил для производных .{r-1} $ для всех $ x \ ne 0 $.

    Если функция $ f + g $ корректно определена на интервале $ I $, где $ f $ и $ g $ равны , обе дифференцируемы на $ I $, то $ \ displaystyle (f + g) ‘= f ‘+ g’ $ на $ I $.

    Если функция $ fg $ корректно определена на интервале $ I $, где $ f $ и $ g $ равны , обе дифференцируемы на $ I $, то $ \ displaystyle (fg) ‘= f’ – g $ на $ I $.

    Если функция $ fg $ корректно определена на интервале $ I $, где $ f $ и $ g $ равны , обе дифференцируемы на $ I $, то $ \ displaystyle (fg) ‘= f’g + fg ‘$ на $ I $.{-1} (x)]} \ qquad (x \ in I) \ end {align *}

    (более подробную информацию см. В руководстве по теореме об обратной функции )

    По большей части эти правила более чем достаточно для обработки подавляющего большинства функций, с которыми можно столкнуться. Однако, когда мы смотрим на наш репертуар функций , мы видим, что чего-то еще не хватает, а именно:

    А как насчет функций, построенных с помощью возведения в степень ?

    Здесь, побуждаемые необычным чувством безотлагательности, мы продолжаем играть с идеей , производной от степени , в конечном итоге разрабатывая правило именно для этой цели. g (A + B) $, где:

    • $ A $ получается как производная от экспоненты , умноженная на логарифм основания .
    • $ B $ получается путем взятия производной от с основанием , умноженной на отношение с показателем наверху.

    На самом деле, с небольшой практикой можно освоить правило экспоненты так же хорошо, как мы делаем с правилом частного – и это не говоря уже о целом новом мире, который он открывает для нашего фанатики исчисления в уме !

    Традиционно, чтобы оценить производную функции мощности , нужно было бы прибегнуть либо к логарифмическому дифференцированию , либо к стандартизации по основанию , прежде чем дифференцировать ее.С появлением правила экспоненты оба этих подхода в основном устарели – не потому, что они неактуальны сами по себе, а потому, что они уже были выполнены во время вывода правила экспоненты .

    Далее мы приводим 7 примеров, иллюстрирующих, как правило экспоненты может быть использовано для оптимизации процесса дифференциации для степенных функций , тем самым высвобождая часть наших умственных способностей и ресурсов для других потенциально более сложных задач, которые могут быть решены. {\, \ ln x} $ корректно определено на $ I $, причем как $ \ cos x $, так и $ \ ln x $ также дифференцируемы на $ I $.{\, ​​\ ln x}} $ и его производная. Довольно круто. Верно?

    Да. Это было немного проблемно с символами, но, надеюсь, это иллюстрирует, почему правило экспоненты может быть ценным активом в нашем арсенале производных правил . Хотя для простой степенной функции этот подход может показаться излишним , для многократно возведенных в степень степенных функций с одним вложенным внутри другого становится совершенно очевидно, что правило экспоненты – это абсолютно правильный путь.

    В дополнение к , автоматизирующему процесс дифференциации для степенных функций, правило экспоненты – особенно когда объединяет с другими традиционными производными правилами – действительно может удивлять с точки зрения доступа к функциям, которые ранее были слишком устрашающими / утомительно, чтобы взяться за – например, те, которые нам трудно найти в типичном учебнике по математическому анализу.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *