Предел 1 в степени бесконечность как решать: один в степени бесконечность | Математика

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

  • Через предел:

 (второй замечательный предел).

  • Как сумма ряда:

 или  .

Свойства

  • Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения   является функция  , где c — произвольная константа.

  • Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

  • Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.

  • , см. формула Эйлера, в частности

  • Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т.

     н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет вид:   или в другой записи   В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность  . Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу с подробным оприсанием решенияПример. Вычислить предел Решение. Подставляем бесконечность: Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела. Сделаем замену переменных. Пусть Если  , то  Исходный предел после замены примет вид:

Ответ: Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем бесконечность: Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции: Тогда предел запишется в виде: Сделаем замену переменных. Пусть Если  , то  Исходный предел после замены примет вид:   В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов. Ответ: 

10)

Предел функции по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .[1]

Окрестностное определение по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой окрестности   точки   существует выколотая окрестность   точки   такая, что образ этой окрестности   лежит в  . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

Геометрическая интерпретация предела функции.

   Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции   .

  Рис. 1. Секущая  AB  образует угол  β  с положительным направлением оси  0x. Касательная к графику функции проведена в точке  A.

      Угловой коэффициент секущей  AB  равен средней скорости изменения функции     на промежутке  [xx + ∆x]:

 

 (5)

 

Предельным положением секущей  AB  при перемещении точки  B  к точке  A  по дуге кривой     является касательная к графику в точке  A. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при  ∆x → 0:

 

 (6)

 

  Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей  

AB  при перемещении точки  B  к точке  A.

      Таким образом, производная     в точке  x  равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции     в этой точке с положительным направлением оси  0x.

11)

      Пусть переменная  x  стремится к  a, оставаясь больше  a, и при этом   . Тогда число  A  называют правосторонним пределом (или пределом справа

) функции     и обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае     при  x → a  со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции     в точке  a  необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

 

Например, в точке  x = 3  односторонние пределы функции

отличаются друг от друга:

 

Поэтому в рассматриваемой точке предел функции     не существует.

12) Первым замечательным пределом именуют  . Известны также и следствия из первого замечательного предела:

       Все приведенные выше формулы получаются из основной:  . Примечательность последней формулы состоит в том, что вместо х можно подставлять любое выражение, лишь бы это выражение стремилось к нулю. Например, так как при  , то  . Собственно говоря, на этом и основаны примеры на первый замечательный предел. Суть решения таких заданий проста: формально подогнать условие под вид первого замечательного предела, после чего использовать формулу  . Допустим, нужно найти  . Простой подстановкой   проблему не решить, потому как  , т.е. тут мы имеем дело с неопределенностью вида  . Если такая неопределенность встречается вкупе с тригонометрическими выражениями, то для стандартных типовых расчетов это почти стопроцентная гарантия первого замечательного предела. Подгоним данную задачу под вид упомянутого предела, учитывая  :

       Осуществим следующее преобразование: в числителе домножим на 7х и разделим на 7х.

этим мы не изменяем значение числителя. Аналогичную операцию проделаем в знаменателе:

       Что нам это даст? Так как при   имеем  , то можно применить первый замечательный предел:  . Учитывая это, получим:

       Сокращая х и вспомнив, что  , получим:  . Приведем ещё несколько примеров решения задач на первый замечательный предел:

 

13) Классификация бесконечно малых функций

Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые (x) и (x) при xx0 и предположим, что (x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при xx0.

Дадим следующие определения.

Если  , то говорят, что (x) и (x) бесконечно малые одного порядка при xx0.

Если  , то говорят, что (x) бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с (x) при xx0, и пишут  , xx0.

Если (x) и k(x) – бесконечно малые одного порядка (k>0), то говорят, что (x) величина k-го порядка относительно бесконечно малой (x) при xx0 и пишут  , xx0.

Если  , то говорят, что (x) и (x) эквивалентные бесконечно малые при xx0 и пишут  , xx0.

Замечание. Та же терминология применяется и при сравнении функций, не являющихся бесконечно малыми при xx0. В этом случае добавляется ещё одно определение.

Если существует число C > 0 такое, что в некоторой проколотой окрестности точки x0 справедливо неравенство  , то говорят, что функция (x) ограничена относительно функции (x) при xx0, и пишут  , xx0.

Примеры. 1. Привести примеры на каждое из определений.

2. Доказать, что   при x0.

3. Вычислить:  .

4. Доказать, что   при x0.

Логарифм по основанию e (e – трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828.

..) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

14) Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги».

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

Рефераты по математике.Второй замечательный предел.

?

Previous Entry | Next Entry

Реферат по математике
студента 1 курса факультета управления:”Менеджмент”
Кулагина Максима.

Второй замечательный предел.

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что  для вещественного Х.

Следствия

  1.  для , 

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу способным описанием решения.
Примеры:
Вычислить предел 
Решение.
Подставляем бесконечность:
Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность.Сделаем замену переменных. ПустьЕсли , то Исходный предел после замены примет вид:
Ответ:
Пример.
Вычислить предел 
Решение.
Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:

Тогда предел запишется в виде:

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то 
Исходный предел после замены примет вид:
В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.
Ответ:

Пример.
Вычислить предел 
Решение.

Преобразуем функцию, чтобы применить второй замечательный предел:

Сейчас домножим показатель на  и разделим на это же выражение, затем используем свойства степени:

Так как показатели степени числителя и знаменателя дроби одинаковые (они равны 6), то предел этой дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях :

Если произвести замену , то получим второй замечательный предел в чистом виде, следовательно,

Ответ:

Ссылки:http://ru. wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EC%E5%F7%E0%F2%E5%EB%FC%ED%FB%E5_%EF%F0%E5%E4%E5%EB%FB
http://www.mathprofi.ru/zamechatelnye_predely.html
http://www.cleverstudents.ru/the_second_remarkable_limit.html

November 2013
S M T W T F S
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

  • Андрей Чуприна : (no subject) [+0]

Powered by LiveJournal.com

Единица в степени бесконечности

 

Единица в степени бесконечности

Единица в степени бесконечности может быть одним из следующих.

-NFINITY Отрицательная бесконечность
+Infinity Положительная бесконечность

. Единица в степени бесконечности неизвестна, потому что сама бесконечность равна бесконечный. Взгляните на некоторые примеры неопределенных форм.

 

Когда мы столкнемся с такой ситуацией? Допустим, вы хотите найти предел следующей функции по мере приближения к бесконечности:

Когда мы подставляем бесконечность в эту функцию, мы видим, что она принимает неопределенную форму единицы в степени бесконечности. Чтобы решить эту проблему, давайте рассмотрим пример.

 

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Пример

Возьмем следующее уравнение .

Возьмем предел следующей функции, когда он приближается к нулю.

Чтобы взять предел , мы сначала заменим все значения x нашим нулевым значением a.

Результат дает единицу в степени 1 на 0 .

1 больше нуля не определено. Когда мы берем предел, приближаясь к нулю от справа и слева сбоку, посмотрим что получится.

 

x y
0.1 10
0.001 1000
0.00001 100000
-0,0001 -10000
-0,001 -1000
-0.1 -10

 

A +infinity
B -infinity

 

This gives us an indeterminate form, just как в предыдущем разделе. Чтобы решить эту проблему, мы должны просмотреть ограничения.

 

Сводка пределов

Когда вы берете предел функции, вы хотите знать, к какому значению он приближается, когда x достигает конкретное значение. Давайте рассмотрим обозначения.

LIM Символ для предела
X -> AS x приближается функции мы находим предел для

 

Когда вы берете предел функции, вы можете приблизиться к значению справа или слева.

A B
Определение Подход от правого . значение a справа Приближение к значению a слева

 

Неопределенные формы

Существует три общих метода нахождения предела функции. Возьмите это, например:

Метод 1 Подключите значение A в для x Заместитель 4 в для X
Метод 2 ПЛИГИКИ. in a for x Умножьте верхнюю функцию, чтобы получить , затем подставьте 4 в
Метод 3 Правило Лопиталя При наличии неопределенной формы взять производную функций

 

Неопределенная форма – это когда значение неизвестно или неопределенно. Взгляните на обычные, неопределенные формы.

0015 , ,
Фракция ,
Стандарт ,
Power
7000
7
9000

 

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется, когда у нас есть неопределенная форма, такая как 1 в степени бесконечности, и утверждает следующее:

предел любой рациональной функции равен пределу деления производной каждой функции друг на друга.

 

Решение единицы для увеличения бесконечности

Возьмем , следующий за примером :

Как мы увидим, это ограничение приведёт к неопределенной форме. Здесь мы можем использовать правило Лопиталя для решения предела .

 

Шаг 1

Первым шагом в нахождении предела является попытка подставить значение a в функцию .

Как видите, мы получаем 1 в степени 1 больше нуля. Единица над нулем на самом деле является неопределенной формой сама по себе. Взгляните на таблицу ниже, чтобы узнать почему.

 

x y
0.5 2
0.1 10
0.001 1000
0.0001 10000
0,00001 100000

 

Один больше нуля неизвестен, поскольку по мере того, как знаменатель приближается к 0, значение y приближается к бесконечности. Поскольку единица над нулем равна бесконечности, результат нашей функции, когда мы подставляем ноль, равен единице до бесконечности:

 

Шаг 2

Поскольку подстановка предела в функцию приводит к неопределенной форме, нам нужно использовать правило Лопиталя. Второй шаг в этом процессе — положить предел равным y.

Теперь, чтобы получить более упрощенную версию предела, возьмем натуральный логарифм с обеих сторон.

Напомним, логарифмические правила позволяют нам переместить показатель перед журналом.

 

На данный момент у нас есть функция perfect для использования правила Лопиталя. Если в этот момент мы подставим ноль, мы все равно получим неопределенную форму: ноль над нулем. Однако правило Лопиталя гласит, что мы можем взять производную любой рациональной функции.

 

Шаг 2

Возьмем производную от числителя и знаменателя независимо друг от друга. Мы можем делать каждую из них независимо благодаря правилу Лопиталя.

 

Мы получили этот результат, используя производные правила для натурального логарифма. Теперь попробуем подставить ноль в функцию.

Теперь вы можете видеть, что мы получаем натуральный логарифм y равным , равным 3.

 

Шаг 4

быть у. Это означает, что нам нужно получить y само по себе. Для этого мы можем привести e к ln(y). Это заставит e и ln отмениться.

Теперь у нас есть предел нашей исходной функции , которая равна e в степени 3.

 

вычисление – 1 в степени бесконечности формула

спросил

Изменено 6 месяцев назад

Просмотрено 76 тысяч раз 9{\ lim_ {х \ к} г (е-1)} \end{align}

Где первый предел является формой определения предела $e$. Я поставил пометку (*) рядом с одним шагом, который меня беспокоит. Я не уверен, почему мы можем отдельно оценивать пределы здесь. Возможно, кто-то еще может прокомментировать это.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Помните, что $f$ и $g$ являются функциями от $x$, поэтому, чтобы быть более точным, мы должны писать $f(x)$ и $g(x)$ вместо $f$ и $g$. Это относится к ответу ниже и к другим ответам, которые также приняли стенографию, используемую в вопросе $f$ для $f(x)$ и $g$ для $g(x)$. 9п &= \infty \\ \end{align}

Ограничения полностью связаны с тем, как осуществляется подход. Я мог бы призвать сюда Роберта Фроста (две тропы расходятся в лесу…), достаточно сказать, взять любое число (хоть на $\varepsilon$) больше 1, возвести его до сколь угодно большого числа, и путешествие завершится до $\infty$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вообще неправильно.

Оставить комментарий