Вся элементарная математика – Средняя математическая интернет-школа
Предел функции. Некоторые замечательные пределы.
Бесконечно малая и бесконечно большая величины.
Конечный предел. Бесконечный предел.
Понятие бесконечности.
Предел функции. Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x , стремящемся к a :
если для любого > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от , что из условия | x

Это определение означает, что L есть предел функции y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к
L , когда значение аргумента x приближается к a . Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число , что если
к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при
вычислении предела любой функции в точке её разрыва
,
где функция не существует.
П р и м е р . Найти
Р е ш е н и е . Подставляя
x = 3
в выражение
получим не
имеющее
смысла
выражение
(
см. пункт
“О выражениях, не имеющих смысла”
на стр.
“Степени и корни” в главе “Алгебра”). Поэтому решим по-другому:
Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 3 ,
он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем:
поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6 .
Некоторые замечательные пределы.
Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если
предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно
малой .
П р и м е р . Функция y = является бесконечно малой при x ,
cтремящемся к 4, так как
Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой .
Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так
называемый бесконечный предел, что записывается как:
Символ ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x , стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при

Наоборот, функция y = – x – 2 всегда отрицательна, поэтому
В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:
Назад
прямой предел , (алгебра) : Высшая алгебра
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Таня Тайс |
| ||
19/03/07 |
| ||
| |||
Профессор Снэйп |
| |||
18/12/07 |
| |||
| ||||
Таня Тайс |
| ||
19/03/07 |
| ||
| |||
Профессор Снэйп |
| |||
18/12/07 |
| |||
| ||||
lofar |
| |||
28/09/05 |
| |||
| ||||
Таня Тайс |
| ||
19/03/07 |
| ||
| |||
lofar |
| |||
28/09/05 |
| |||
| ||||
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 7 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
“Алгебра пределов” означает: свойства находить предел функций, заданных как алгебраические операции над несколькими функциями.
Давайте посмотрим на это подробнее.
Основные математические операции:
• сложение и вычитание
•
умножение и деление
• степени, корни и логарифмы.
Две или более функции g(x) h(x) могут образовывать другую функцию f(x).
f(x)=g(x)⋆h(x) где ⋆ — одна из математических операций.
Будет ли связь между пределами функций limg(x) ; limh(x) и предел функции limf(x)?
Алгебра пределов анализирует это и предоставляет необходимые знания.
предостережение перед использованием точки разрыва кусочных функций.
Применяя алгебру пределов к элементам функции, обратите внимание на следующие случаи.
• Выражения, вычисляющие значение 10 или 00, или ∞×0, или ∞∞
например: 1x-1, x2-1x-1, tanxcotx, tanxsecx
•
Выражения, вычисляемые до ∞-∞ или ∞+(-∞)
например: x2-4xx-1x
•
точки разрыва кусочных функций
например: {1 if x>00 if x≤0
Алгебра предела применяется только тогда, когда указанные выше значения не встречаются.
Пример:
limx→1×2-1x-1
≠limx→1(x2-1)limx→1(x-1)
Вышеупомянутое число неприменимо , поскольку оно оценивается как 00.
Алгебра пределов помогает упростить нахождение предела, применяя предел к подвыражениям функции.
Алгебра пределов может быть неприменима к подвыражениям, оценивающим 0 или ∞, или к разрывам.
сводка
Алгебра пределов: Если функция f(x) состоит из математических операций подвыражений f1(x), f2(x) и т. д., то предел функции может быть применен к подвыражению. -выражения.
Если какое-либо из подвыражений или их комбинация оцениваются как 0 или ∞, то алгебра предела не может применяться к этим подвыражениям.
результаты
лимит суммы (или разности) есть сумма (или разность) лимитов.
Предел суммы или разницы: При условии, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a(f(x)±g(x))
=limx→af(x)±limx→ag(x)
предел произведения есть произведение пределов.
Предел продукта: При условии, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a(f(x)⋅g(x))
=limx→af(x)⋅limx→ag(x)
предел частного есть частное пределов.
Предел частного: Учитывая, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a(f(x)g(x))
=limx→af(x)limx→ag(x)
предел показателя степени равен показателю предела.
Предел степени: При условии, что limx→af(x) существует. Затем
limx→a[f(x)n]
=[limx→af(x)]n
предел корня — это корень предела.
Предел корня: Учитывая, что limx→af(x) и limx→ag(x) существуют. Тогда
limx→a[f(x)1n]
=[limx→af(x)]1n
Переменная в пределе может быть изменена.
Дано
limx→0sinxx=1 ;
limx→0sin(x2)x
=limx→0xsin(x2)x2
=limx→0x×limy→0sinyy
где y=x2
по этому определению limx→0 меняется на limy→0 . =0×1
=0
Примечание. Если в другом случае y=cosx, то limx→0 изменится на limy→1, так как y=cos0=1.
Изменение переменной в пределе: Учитывая, что y=g(x) существует при x=a. Тогда
limx→af(x)
=limy→g(a)f(g-1(y))
сводка
Алгебра пределов
→ Если подвыражения не оцениваются до 0 или ∞, то к подвыражениям можно применить ограничение.
→ Если подвыражения вычисляются до 0 или ∞, ищите формы 00.
Предел суммы или разницы
» Ограничение распределения при сложении и вычитании
, когда значение не равно ∞-∞
→ limx→a[f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)
Лимит продукта
» Ограничение распределения по умножению
, когда значение не равно ∞×0
→ limx→a[f(x)×g(x)]=limx→af(x)×limx→ag(x)
Limit коэффициента
» Предел распределяется по разделу
, когда значение не равно 0÷0 или ∞÷∞
→ limx→a[f(x)÷g(x)]=limx→af(x)÷limx→ag(x)
Предел степени
» Предел распределения по показателю степени
, когда значение не равно ∞0 или 00
→ limx→a[f(x)]n=[limx→af(x)]n
Предел корня
» Предел распределяется по корню
, когда значение не равно ∞0 или 00
→ limx→a[f(x)]1n=[limx→af(x)]1n
Изменение переменной в пределе
» переменная может быть заменена
, когда значение не является ни одной из форм 00
→ limx→af(x) =limy→g(a)f(g-1(y))
Outline
Схема материала для изучения «пределов (исчисления)» выглядит следующим образом.
Примечание: нажмите здесь для подробного ознакомления с ограничениями (исчисление).
→ Неопределенный и неопределенный
→ Неопределенное значение в функциях
→ Ожидаемое значение
→ Непрерывность
→ Определение пределов
→ Геометрическое объяснение пределов
→ Предел с числителем и знаменателем
→ Пределы соотношений — примеры
→ Правила больницы
→ Проверка функции
→ Алгебра пределов
→ Предел многочлена
→ Предел соотношения нулей
→ Предел соотношения бесконечностей
→ предел биномиала
→ Предел неалгебраических функций
Краткое введение в алгебру пределов примеры
Теорема об алгебре пределов используется для вычисления предела любого алгебраического выражения. Он широко используется в математике. Предел любого алгебраического выражения f(x) для конкретного значения a приравнивается к, что x→a демонстрируется как
Lim x→a f(x) = l
Это утверждение надежно только тогда, когда функции, лежащие в левой части выражения, являются левым пределом всего выражения. Левый предел демонстрируется как a, x→a− f(x). Правый предел демонстрируется как x→a+ f(x). В теореме об алгебре пределов вычислите эти два предела, чтобы получить значение алгебраического выражения.
Алгебра пределов
Алгебра пределов — это систематический процесс определения значений переменных в алгебраических выражениях с помощью пределов. Если правый предел равен левому пределу, то говорят, что функция определена, и значение, на котором определяется функция, является значением выражения. Это означает, что значение, которое мы получаем после вычисления предела, является нулем алгебраического выражения. Если мы подставим это значение в уравнение, либо мы получим ноль, либо та же самая величина будет записана в уравнение равным.
Примеры алгебры пределов
Некоторые примеры алгебры пределов;
Алгебра пределов Пример предела полиномиальной функции A
Решите: x→alim (x3 – x2 + 1)
Решение:
Подставьте значение x = 1 в данное уравнение.
x→alim (x3 – x2 + 1) = x→1lim (13 – 12 + 1)
x→alim (x3 – x2 + 1) = 1 – 1 + 1
x→alim (x3 – x2 + 1) = 1
Пример алгебры пределов рациональной функции путем прямой подстановки.
Решите: x→1lim = (x2 + 1)/(x + 100)
Решение:
Подставьте значение x = 1 в данное уравнение.
x→1lim = x2 + 1/ x + 100 = 12 + 1/ 1 + 100
= 1 + 1 / 1 + 100 + 100 = 2/101
Теорема пределов алгебры
Теорема пределов алгебры показывает, что если0287 Тогда
x→alim f(x). g(x) = l . m
Алгебра доказательства предельной теоремы
Давайте разберемся в алгебре доказательства предельной теоремы:
Дано,
x→alim f(x) = l
Или доказательство x→alim g(x) = m 7 К : x→alim f(x).g(x) = l .m
Доказательство:
Шаг 1: x→alim |f(x).g(x) – lm | = |f(x).g(x) – f(x).m + f(x).m – lm|
Шаг 2: x→alim |f(x).g(x) – lm | = |f(x).(g(x) – m) + m (f(x) – l)|
Шаг 3: x→alim |f(x).g(x) – lm | ≤ |f(x)||(g(x) – m)|+ |m| |(f(x) – l| …Уравнение (1)
Поскольку x→alim f(x) = l, где l→ 0, то f(x) → 0 в 0 < |x-a|< δ
Для некоторого δ > 0
Следовательно, f(x) ограничено в a.
Следовательно, существует k > 0 таким образом, что |f(x)|< k,…….. Уравнение (2)
Всякий раз, когда 0 < |x – a|<δ
Для некоторого δ2 < 0
Пусть задано E > 0,
Поскольку,
x→alim f(x) = l и,
x→alim g(x) = m,
Таким образом, что δ2 > 0.
|f(x) – l| = E/ 2(1 + |m|) …. Уравнение (3).
(Это для 0 < |x – a| < δ2)
И,
|g(x) – m| = E/ 2k …… Уравнение (4).
(Это для 0 < |x – a| < §3)
Если мы выберем § = min{δ1, δ2, δ3},
Тогда,
Алгебраические свойства пределов
Итак, уравнение (1 ), уравнение (2) и уравнение (3) остаются в силе.
Для 0 < |x – a| < δ
Следовательно, из уравнения (1)
|f(x).g(x) – lm | < к. Е/ 2к + |т|. E/ 2(1 + |m|)
(Это для, 0 < |x – a| < §)
Теперь , E/2 + E/2= E
Следовательно, согласно определению,
x→alim f(x).g(x) = l.m = x→alimf(x). x→alim g(x)
Алгебраические свойства пределов
Давайте узнаем об алгебраических свойствах пределов.
Предел любой константы в алгебраических выражениях остается постоянным.
limx→a cx + d = ca + d
lim x→a x = a
Lim x→a xn = an, в этом уравнении n является положительным целым числом
50 x→0+ 1/xr= +∞, здесь значение r четно.
Lim x→0− 1/xr = −∞, здесь значение r нечетное.
Важные тождества
Некоторые важные тождества:
Методы вычисления алгебры пределов:
Некоторые важные методы:
Заключение
Теорема пределов алгебры часто используется для вычисления значений x в алгебраических выражениях с использованием метода пределов. Есть также много различных способов оценить значение алгебраического выражения по пределу, но этот метод используется широко. Метод теоремы алгебры пределов используется после метода, в котором находятся левый и правый пределы.