Предел бесконечность: пределы бесконечность минус бесконечность | Математика

Бесконечность — не предел. Как Джефф Безос покорил ретейл и космос

Он основал крупнейший онлайн-ретейлер Amazon, несколько раз получил звание самого богатого человека планеты, а в июле 2021 побывал в космосе. Рассказываем о бизнесе Джеффа Безоса и его планах на будущее

Кто такой Джефф Безос и почему о нем все говорят?

Джефф Безос — американский предприниматель и создатель компании Amazon. Он одним из первых осознал перспективы онлайн-ретейла и превратил свою идею в многомиллиардный бизнес. Личное состояние Безоса к осени 2021 года достигло отметки в $198 млрд.

20 июля 2021 года Джефф Безос совершил свой первый космический полет, который продлился 10 минут и 10 секунд. Вместе с бизнесменом в путешествие отправился экипаж из трех человек: его младшего брата Марка, профессиональной летчицы 82-летней Уолли Фанк и 18-летнего Оливера Деймена. Джефф Безос должен был стать первым космическим туристом, но его опередил бизнесмен Ричард Брэнсон — его полет состоялся 11 июля.

Взлет Amazon: история создания

1994 — Джефф Безос ушел с должности старшего вице-президента инвестиционной компании DE Shaw & Co и переехал в Сиэтл, чтобы создать Amazon. Он назвал компанию в честь самой полноводной реки мира, чтобы подчеркнуть масштаб бизнеса.

1995 — запустился сайт магазина. Его слоган был — «крупнейший книжный магазин Земли». В этом же году 3 апреля была совершена первая покупка — научная книга «Fluid Concepts And Creative Analogies: Computer Models Of The Fundamental Mechanisms Of Thought».

1996 — продажи компании достигли почти $16 млн. В пересчете на рубли по курсу того периода (до деноминации) бизнесмен получил бы ₽80 млрд.

1997 — Amazon вышла на IPO, разместив свои акции на американской бирже NASDAQ по $18 за штуку. К осени 2021 года одна акция компании стоит свыше $3400.

1998 — ассортимент магазина начали расширять: появились компакт-диски, игрушки, настольные и компьютерные игры.

2000 — лопнул экономический пузырь дот-комов, из-за которого многие интернет-компании обанкротились. Котировки компании упали до $5,97, но она выжила. В этом же году «крупнейший книжный магазин Земли» начал превращаться в маркетплейс. Позже на сайте появились товары из разных сегментов: игрушки, одежда и многое другое.

Кризис доткомов — экономический пузырь, формировавшийся с 1995 по 2001 год. Он был вызван активной торговлей переоцененными акциями ИТ-компаний и стартапов. За эти шесть лет индекс NASDAQ вырос на 400%, а в 2002 году упал на 78% и потерял $5 трлн капитализации. Из-за обвала началась волна банкротств. Термин «дотком» происходит от коммерческого домена верхнего уровня — .com.

2008 — у компании появилась облачная сеть доставки контента CloudFront.

2010 — Amazon создала Amazon Studios — собственное производство сериалов и фильмов. Но официально объявила о кинопроизводстве только в 2015 году.

2016 — впервые товар был доставлен покупателю беспилотным дроном.

2017 — Amazon открыла первый в мире автоматизированный супермаркет Amazon Go — магазин без кассиров. Чтобы попасть в магазин, покупатель скачивает приложение со специальным QR-кодом, и сканирует его при входе. В супермаркете везде установлены камеры с искусственным интеллектом, а на полках расположены сенсоры, которые отслеживают оставшийся товар. Выбрав нужные продукты, посетитель может просто выйти из магазина — деньги автоматически спишутся с его банковской карты.

2019 — компания запустила благотворительную программу Fulfillment by Amazon Donations. Благодаря ей нераспроданные товары со складов Amazon отправляются в благотворительные фонды. Но в 2021 году журналисты британского телеканала ITV News провели тайное расследование и выяснили, что сотрудники складских помещений еженедельно утилизируют около 130 тыс. товаров. Они отправляются на переработку или попадают на свалки, а Amazon таким образом освобождает место под новинки.

По словам бывших сотрудников, стратегия, которая помогла компании вырасти в гигантскую корпорацию, — постоянно захватывать новые доли рынка.

Кризис нулевых помог компании выработать новаторский подход и сформировать основные принципы, которых они придерживаются и сейчас. Сегодня это одна из крупнейших платформ e-commerce и публично-облачных вычислений.

Как онлайн-ретейлер Amazon добился успеха?

1. Используют информацию о пользователях. Уже через несколько лет после основания в Amazon начали анализировать, что заказывают покупатели. Специалисты изучали цифровой след пользователей: с каких сайтов они приходят, что смотрят на Amazon и куда переходят дальше. Благодаря этому в компании научились формировать персональные рекомендации и предугадывать дальнейший выбор пользователей. Умный голосовой помощник Alexa, приставки Echo и Fire TV, электронная книга Kindle, камеры Ring — все эти приборы собирают данные о пользователях. Журналист Лео Келион решил узнать, что знает о нем Amazon, сделал запрос и получил несколько десятков тысяч записей о своих действиях. Например, компания знает, что его дочь попросила Alexa сыграть песню «Let It Go» из мультфильма «Холодное сердце» 48 раз, а значит ей и ее семье можно предлагать сопутствующие товары.
   В Amazon утверждают, что собирают данные, если считают, что смогут изобрести что-то новое и полезное для клиентов. Однако, в июне 2021 года Европейский союз обвинил онлайн-ретейлер в нарушении европейских практик в сфере защиты данных. Теперь компании грозит штраф в размере $425 млн (2% чистой прибыли Amazon за 2020 год).
2. Оптимизируют издержки. Важный принцип Amazon — снижение лишних расходов. Это помогает сформировать более привлекательную цену для потребителей. Например, в 2019 году компания ввела новые стандарты упаковки для поставщиков. Более компактные коробки помогают Amazon сэкономить время и деньги на доставку.

Как и у многих компаний, большая часть расходов приходится на штат. Компания всегда стремилась снизить траты на сотрудников, и ее не раз критиковали за выбранные методы. Amazon строго следит за рабочими на своих складах: временем, потраченным на задачи и перерывы, скоростью процессов, отсутствием краж и многим другим. В 2020 году некоммерческая правозащитная организация Институт открытых рынков опубликовала результаты исследования о системе контроля Amazon.

Согласно их данным, сотрудники находятся в постоянном стрессе, а их права угнетаются. Даже минимальное нарушение правил может привести к мгновенному увольнению. Например, водители должны доставлять вовремя 999 посылок из 1000. Отсюда нарушение правил дорожного движения и высокий риск аварий на дорогах. Помимо этого, Amazon выступает против создания профсоюзов, не дает сотрудникам общаться на рабочем месте и увольняет их по результатам отслеживания их загрузки алгоритмами.

При этом уже несколько лет Джеффа Безоса критикуют за неуплату налогов. Еще в 2018 году Дональд Трамп, занимавший пост президента США, обвинил в этом бизнесмена. А также в том, что он разоряет небольшие магазины, которые не могут справиться с конкуренцией. В 2021 году налоговое управление США начало расследование после публикации материала независимым изданием ProPublica. Согласно их данным, создатель Amazon не заплатил федеральные подоходные налоги в 2007 и 2011 годах.

Космос — детская мечта

В 2000 году Джефф Безос основал аэрокосмическую компанию Blue Origin.

Его цель — создать будущее, в котором миллионы людей будут жить и работать в космосе на благо Земли. Blue Origin производит частично и полностью многоразовые ракеты-носители, которые являются безопасными, недорогими и удовлетворяют потребности всех гражданских, коммерческих и оборонных заказчиков.

Сейчас Blue Origin работает над тремя прототипами орбитальных ракет и космических кораблей: New Shepard, New Glenn и New Moon. New Shepard уже прошла много испытаний: компания провела 15 запусков, в ходе которых тестировала все нововведения. Всего один из них был неудачным — самый первый. А 20 июля 2021 года на этом космическом корабле Джефф Безос совершил первый в истории компании пилотируемый полет. Членами экипажа, помимо самого бизнесмена, стали его брат, 82-летняя летчица Уолли Фанк и 18-летний сын голландского бизнесмена Оливер Дэмен. Последние стали самыми пожилым и юным космонавтами в истории.

26 июля 2021 года миллиардер обратился к NASA с предложением возместить до $2 млрд дефицита бюджета в обмен на участие в лунной программе. То есть Blue Origin за свой счет будет работать над элементом лунного посадочного модуля. Такое предложение появилось после результатов конкурса: NASA заключили контракт с компанией Илона Маска SpaceX. Джефф Безос заявил, что выбор в пользу SpaceX — это «отказ от первоначальной стратегии по разработке двух конкурирующих лунных модулей». По мнению Безоса, контракт был заключен «из-за предполагаемых бюджетных проблем», а «его предложение о финансировании должно разрешить эту ситуацию».

Бизнесмен считает, что будущее землян предопределено: мы должны покинуть планету. Впереди — строительство космических заводов, которые будут работать круглосуточно на солнечной энергии, перенос тяжелой промышленности на Луну и многое другое.

Любовь к космосу идет из детства: будущий предприниматель обожал сериал «Звездный путь». А во время выступления на выпускном вечере в школе он поделился своей мечтой — «дать человечеству возможность колонизировать космос, чтобы превратить Землю в огромный национальный парк».

А при чем здесь Илон Маск?

Между предпринимателями уже несколько лет идет «война» за космическое пространство. Еще в 2018 году Илон Маск отправил в космос сверхтяжелую ракету-носитель Falcon Heavy, а уже в 2020 году астронавты совершили полет на его корабле Crew Dragon. Летом того же года Маск получил контракт от военных на новые ракетные двигатели, обогнав компанию Джеффа Безоса Blue Origin. Представители Blue Origin заявили, что были «разочарованы» результатами конкурса.

Чем еще занимается Безос?

1. The Washington Post (с 2013 года). За это время бизнесмен обновил газету и помог ей пережить цифровую трансформацию. Теперь издание называет себя «медийной и технологичной компанией». Уже к 2016 году количество платных подписчиков The Washington Post выросло в три раза.
2. Благотворительный фонд Bezos Day One Fund (с 2018 года). Он состоит из двух частей: The Day 1 Families Fund и Day 1 Academies Fund. Первый отвечает за поддержку семей бездомных, а Day 1 Academies Fund — за создание сети дошкольных учреждений для малоимущих. За 2020 год 42 организации по предоставлению жилья и помощи молодым семьям получили пожертвования на общую сумму $105,9 млрд.
3. Фонд по защите окружающей среды Bezos Earth Fund (с 2020 года). Безос планирует выдать гранты различным экологическим организациям на общую сумму $10 млрд — это 5% от состояния миллиардера. Первый транш финансирования в размере $791 млн был проведен 16 ноября 2020 года. Средства получили 16 организаций, включая Совет по защите природных ресурсов (NRDC), Фонд защиты окружающей среды и Всемирный фонд дикой природы.

До этого Джефф Безос часто подвергался критике за то, что не поддерживает благотворительные инициативы. В отличие от других бизнесменов, входящих в список самых богатых на планете Forbes, Безос не присоединился к инициативе Билла Клинтона и Уоррена Баффетта Giving Pledge. Те, кто обладают состоянием в размере от $1 млрд, должны передать не менее 50% капитала на благотворительность. А бывшая супруга Безоса Маккензи Скотт поддержала инициативу сразу после развода.

Предел и бесконечность

Выставочный проект Элиде Кабасси “Предел и бесконечность” собрал произведения последних 25 лет: от ранних фигуративных композиций и акварелей до абстрактной живописи, нового периода в ее работе.

Это некая ретроспектива художницы, проживающей уже более 25 лет в России. Ее имя хорошо известно критикам и собирателям, но выставки с участием работ Кабасси такая же редкость, как и само существование сегодня той живописной культуры, к которой она тяготеет. Работы Элиде принадлежат одновременно Италии и России: в ее живописи можно найти отсылки к Джорджо Моранди и к “основе основ” Джотто, а также и к русской иконе, Андрею Рублеву. Прямо или в качестве посвящения эти имена появлялись в ее работах, очерчивая вместе с другими, разноудаленными во времени, систему координат.

Ее живопись может почти буквально изображать тишину: отсутствие всякого шума и волнения; а еще увидеть столь близкий Элиде лаконизм русского пейзажа, белый цвет, березовые рощи, всегда широкий отдаленный горизонт.

“Культура и глубокая духовность – вот то, чем для меня так дорога эта страна… по праву была определена Мариной Цветаевой как “страна души””, – как-то сказала Кабасси, работающая с очень тонкими слоями краски, и с тончайшими тональными переходами внутри образа: “Можно сказать, что я строю образ больше через свет, чем через цвет; именно элемент света направляет и определяет мою живопись… Погруженность в итальянское и русское природное, художественное, культурное пространства дает мне уникальную возможность создать особенную живописную пространственность”.

Элиде Кабасси родилась в 1963 году недалеко от города Брешиа. В 1986 г. защитила диплом по живописи при Академии изящных искусств Флоренции. С 1993 года живет и работает в Москве. Картины Кабасси находятся в Ярославском Художественном Музее, в Псковском Музее-заповеднике и в частных коллекциях в России, Франции, Италии, Бельгии, Болгарии, Южной Корее, Швейцарии, Англии, Германии и Японии.

Важную часть в жизни Элиде Кабасси всегда занимало преподавание, которое она начала еще в Италии. В 2011 году Элиде создала уникальную художественную мастерскую – “Итальянскую Лабораторию искусства” – в московском детском доме “Наш дом”. Поэтому вполне логичным дополнением к персональному выставочному проекту станет экспозиция учеников художницы – “Я рисую красоту”.

NB! Специально к выставке Итальянский Институт культуры совместно с Российской Академией Художеств подготовил издание с наиболее полным собранием работ художницы (ABCDesign, 2020). 

 

Выставка Элиде Кабасси «Предел и бесконечность» пройдет с 8 апреля по 29 мая 2021 года в Музее имени Николая Островского

С 8 апреля по 29 мая 2021 года в Музее имени Николая Островского пройдет выставка итальянской художницы Элиде Кабасси «Предел и бесконечность» (LUOGHI DI CONFINE). Официальное открытие состоится 8 апреля в 18:00.

Элиде Кабасси родилась в городе Брешиа (Италия). В 1986 г. защитила диплом по живописи при Академии изящных искусств Флоренции. С 1993 года живет и работает в Москве. Картины Кабасси находятся в Ярославском Художественном Музее, в Псковском Музее-заповеднике и в частных коллекциях в России, Франции, Италии, Бельгии, Болгарии, Южной Корее, Швейцарии, Англии, Германии и Японии.

На выставке будут представлены работы (живопись, акварели, рисунки) художницы последних 28 лет: от ранних фигуративных композиций и акварелей до абстрактной живописи, нового периода в ее работе. Эти 28 лет Элиде Кабасси постоянно живет в Москве, куда художница переехала через несколько лет после окончания Академии изящных искусств во Флоренции.

Работы Элиде принадлежат одновременно Италии и России. В этом смысле выставка имеет, действительно, особую ценность. Она отражает 28-летний путь работы итальянской художницы в России, показывая, насколько плодотворной может быть встреча двух культур, поскольку в основе этой встречи лежит, прежде всего, диалог. Их традиции сплелись в работах Элиде в столь крепких объятиях, что очень сложно понять, где кончается итальянская душа и начинается русский дух! В ее живописи можно найти как отсылки к Джорджо Моранди и к «основе основ», Джотто, так и к русской иконе, Андрею Рублеву.

Особую часть выставки занимают работы учеников итальянской Лаборатории искусства Элиде Кабасси при московском детском доме «Наш дом». Они выделены в отдельную экспозицию под названием «Я рисую красоту» (IO DISEGNO LA BELLEZZA).

Своеобразным эпиграфом станут фотографии Полины Шестаковой из самых разных уголков Италии. Полина родилась в Москве и много лет работала в финансовой сфере прежде чем решилась попробовать заниматься тем, что её действительно привлекает: она поступила в Новую академию изящных искусств в Милане на курс фотографии. Гости выставки смогут мысленно «проехать» с севера на юг этой гостеприимной и любимой многими страны во времена закрытых границ.

Любовь — это основополагающая эмоция, ведущая нас по выставке Элиде Кабасси «Предел и бесконечность». Есть ли границы у любви и есть ли границы в искусстве? Любовь итальянки к России, любовь россиянки к Италии, любовь объединяющая, вдохновляющая, любовь к искусству и любовь в искусстве. ..

Специально к выставке Итальянский Институт Культуры совместно с Российской Академией Художеств подготовил издание с наиболее полным собранием работ художницы (ABCDesign, 2020).

Официальное открытие состоится 8 апреля в 18:00.

Необходима предварительная регистрация.

Когда: 08.04.2021 – 29.05.2021

Где: музей имени Николая Островского (Тверская, д.14, м. Тверская, Пушкинская, Чеховская)

Вход платный, по стоимости посещения музея

Возрастной ценз: 0+

Бесконечность – не предел – МДРЕГИОН.РУ

Потеря колец – это поистине бесконечный процесс. Если меня спросят, как я представляю себе бесконечность, я сразу выдам, что это не просто восьмерка, лежащая на боку, а два потерянных кольца. Но ладно, это все лирика, перейдем к делу.

 

 

Осенью в нашей средней полосе у людей пожилого возраста есть привычка копаться в земле. И я сейчас говорю не о камрадах с металлоискателями, а об огородниках и садоводах. Причем все работы по неизвестной мне причине проводятся, не снимая украшений. Дамы за 50 и за 60 с удовольствием рыхлят землицу, вносят мульчу и удобрения руками с золотыми кольцами. Кольца же, как я уже писал выше, имеют тенденцию теряться. 

Итак, сама история. Позвонил мне давний знакомый, с которым мы не раз пересекались по работе. Друзьями нас не назвать, так, приятельствуем, разговариваем при встрече, поздравляем друг друга с Новым годом. Он знает, что у меня есть металлоискатель и то, что я им иногда пользуюсь ради поиска утерянных вещей. 

Так вот, знакомый рассказал традиционную историю в стиле: теща поехала в сад собирать яблоки, собирала-собирала, приехала домой, а кольца на пальце не обнаружилось. Украсть его, по идее, не могли – ездила на автомобиле с личным водителем (тестем), в магазины не заходила. Значит, где-то под яблонями валяется драгоценное золотое «удобрение».

Ну что, поехали искать, время не позднее, выходной на дворе.  

Обошел все яблони, знатно порылся под ними, аки кабан, но кроме прогнивших падалиц и трех гвоздей в земле ничего не обнаружил. 

В голову пришла здравая идея проверить ящики с яблоками. 

Друг резвым кабанчиком метнулся за ящиком, и не успел я даже протестующе пискнуть, как развалил желтые спелые плоды по земле. Зачем, спрашивается? Не такой уж ящик был глубокий, чтобы сигнал не пробил яблочную толщу.

И да, кольцо было как раз в ящике с яблоками. 

 

 

Потом меня еще эти яблоки заставляли забрать себе в качестве награды, но у меня никакого желания их забирать не было, так и оставил. Зато три банки соленых огурцов забрал: это я люблю больше.

Такая вот садово-огородная и плодоовощная история вышла.

П. Макаров

---

Бесконечность не предел ▷ Socratify.Net

ПОХОЖИЕ ЦИТАТЫ

ПОХОЖИЕ ЦИТАТЫ

Есть предел, за которым наступает безразличие. ..

Опасная тропа (Патриция Вентворт) (10+)

Кто не стучится — тому не открывают.
Кто не пробует — у того не получается.

Ошо (100+)

Две разный вещи: любовь и влюбленность. Одна – бесконечность, вторая – сезонность.

Неизвестный автор (1000+)

Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Азербайджанские пословицы и поговорки (100+)

В одном мгновенье видеть вечность,
Огромный мир — в зерне песка,
В единой горсти — бесконечность,
И небо — в чашечке цветка.

Уильям Блейк (30+)

Они не курят, не пьют, не употребляют наркотики, не ругаются матом – они животные!

Михаил Задорнов (100+)

Вы то, с чем вы связываетесь. Если вы устанавливаете связь с Бесконечностью — вы Бесконечность. Но если вы ограничиваете себя, тогда вы ограничены.

Йоги Бхаджан (4)

Дарить себя – не значит продавать.
И рядом спать – не значит переспать.
Не отомстить – не значит все простить.
Не рядом быть – не значит не любить!

Омар Хайям (500+)

Никогда, никогда, не позволяйте никому говорить вам, чего вы можете и не можете. Докажите, что циники ошибаются. Это их проблема, что у них нет воображения. Единственный предел — это небо. Ваше небо. Ваш предел.

Том Хиддлстон (20+)

Не будь искушения, не было бы и венца; не будь подвигов, не было бы и наград; не будь борьбы, не было бы и почестей; не будь скорби, не было бы и утешения; не будь зимы, не было бы и лета.

Святитель Иоанн Златоуст (50+)

ПГК (Поволжский государственный колледж) | Бесконечность не предел!

План мероприятий
проведенных комиссией физики и информатики празднования в честь 60- летия полета в космос Ю.А.Гагарина

1. Участие в мероприятиях, запланированных музейно-выставочным центром Самара Космическая (Соловушкин А.В.)
2. Конкурс стенгазет среди студентов 1 курса «Люди тянутся к звездам…» (Юртаев Э.Ю, Анциферова М.Б)
3. Конкурс презентаций среди студентов 1 курса «Через тернии к звездам…» (Селиверстова И.В)
4. Конференция среди студентов 1 курса «Звездный час» (Анциферова М.Б)
5. Внеклассное мероприятие КВН среди команд от отделений «Космос зовет!» (Анциферова М.Б)

1961 год открыл человеку дорогу в космос. Без преувеличения – Космос вошёл в нашу жизнь. В новой России у нас были Год Культуры, Год Литературы, Театра – это замечательно, они направлены на просвещение, на развитие личности. Год Космоса – это единое общее движение к развитию себя и страны. Это мотивация для всего общества соединиться, соединиться в работе, это воодушевление и полёт.

А 12 апреля 1961 г. Юрий Алексеевич Гагарин проложил людям дорогу в космическое пространство, совершив первый полет в истории человечества. С того дня прошли десятилетия. Сегодня космонавтика развивается стремительно, в космос отправляются даже туристы. Возможно, наступит время, когда в космосе сможет побывать любой человек, поэтому давайте представим, что сегодня нам выпала возможность совершить путешествие в космос. Приготовились? Поехали!

Такими словами началось завершающее мероприятие на неделе предмета комиссии физики и информатики. В КВН: «Космос зовет!»,которое проводилось 16.04.1921 г. принимали участие группы первого курса

 ПСО-124 и 125,ПД-115,сборная команда СА-139/140,ИСП-135.

Победителями в игре стала сборная команда КВН «ССА-1»  СА-139/140, второе место заняла команда «Байконур» ИСП-135,третье место получили игроки «Космос FM» ПД-115. Большое спасибо умным, веселым и артистичным командам за активное участие! Хочется отметить и поблагодарить группы ПД-117,ПСО-124, а также молодого преподавателя физики и астрономии Юртаева Э.Ю за помощь в проведении мероприятия, а особенно ведущую и  певицу Додонову Владу, гитариста Солуянова Александра и смелого ведущего Воронкова Дмитрия. Замечательные артисты Кичигин Алексей, Файрутдинова Яна и Карандаева Вероника сделали эту космическую игру просто незабываемой!

В конкурсе стенгазет среди студентов 1 курса места распределились следующим образом:

I место: Додонова Влада и Першкова Анастасия ПСО-124

               Деревяновы Александра и Анастасия ПСО-125

II место: Терновская Ксения  ПД-115

                Руманова Маргарита ПД115

III место: Сидорова Екатерина и Акимова Ульяна ПД-116

 

Всем победителям и участникам огромное спасибо!

 Ждем всех на следующей неделе предмета.

 

Исчисление I – Пределы в бесконечности, Часть I

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-7: Пределы в бесконечности, Часть I

В предыдущем разделе мы видели пределы, которые были бесконечными, и теперь пора взглянуть на пределы в бесконечности.Под предельными значениями на бесконечности мы понимаем один из следующих двух пределов.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} f \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim} \ limit_ {x \ to – \ infty} f \ left (x \ right) \]

Другими словами, мы собираемся посмотреть, что произойдет с функцией, если мы позволим \ (x \) стать очень большим в положительном или отрицательном смысле. r}}} = 0 \]

Если задуматься, первая часть этого факта должна иметь смысл.{r} \) определяется для отрицательного \ (x \). Это условие здесь, чтобы избежать таких случаев, как \ (r = \ frac {1} {2} \). Если бы это \ (r \) было разрешено, мы бы извлекали квадратный корень из отрицательных чисел, которые были бы комплексными, и мы хотим избежать этого на этом уровне.

Обратите внимание, что знак \ (c \) не влияет на ответ. Независимо от знака \ (c \) у нас все равно будет константа, деленная на очень большое число, что приведет к очень маленькому числу, и чем больше \ (x \), тем меньше становится дробь.Знак \ (c \) будет влиять на то, в каком направлении дробь приближается к нулю (, т.е. с положительной или отрицательной стороны), но она все равно приближается к нулю.

Если задуматься, это действительно частный случай последнего факта из фактов в предыдущем разделе. Однако, чтобы увидеть прямое доказательство этого факта, см. Раздел «Доказательство различных предельных свойств» в главе «Дополнительные возможности».

Давайте начнем с примеров, которые приведут нас к хорошей идее, которую мы будем использовать на регулярной основе, относительно пределов на бесконечности для многочленов.2} – 8x} \ right) \) Показать решение

Наша первая мысль здесь, вероятно, состоит в том, чтобы просто «вставить» бесконечность в полином и «оценить» каждый член, чтобы определить значение предела. Довольно просто увидеть, что будет делать каждый член в пределе, и поэтому это кажется очевидным шагом, особенно с учетом того, что мы делали это для других ограничений в предыдущих разделах.

Итак, посмотрим, что мы получим, если это сделаем. Когда \ (x \) приближается к бесконечности, тогда \ (x \) в степени может только увеличиваться, а коэффициент при каждом члене (первом и третьем) только сделает член еще больше.2} – 8x} \ right) = \ infty – \ infty – \ infty \]

Теперь у нас есть небольшая, но легко решаемая проблема. Мы, вероятно, испытываем искушение сказать, что ответ равен нулю (потому что у нас есть бесконечность минус бесконечность) или, возможно, \ (- \ infty \) (потому что мы вычитаем две бесконечности из одной бесконечности). Однако в обоих случаях мы ошибаемся. Это одна из тех неопределенных форм , которые мы впервые начали видеть в предыдущем разделе.

Бесконечности просто не всегда ведут себя так, как действительные числа, когда дело доходит до арифметики.5} \) в этом случае.

Теперь все, что нам нужно сделать, это взять предел в два члена. В первом случае не забывайте, что, поскольку мы идем к \ (- \ infty \) и повышаем \ (t \) до степени 5 ^th , предел будет отрицательным (отрицательное число возведено в нечетная мощность по-прежнему отрицательна). Во втором члене мы снова будем активно использовать вышеизложенный факт, чтобы увидеть, что это конечное число.

Следовательно, используя модификацию Фактов из предыдущего раздела, значение лимита равно

. 2}) + 8} \ right) = – \ infty \]

Хорошо, теперь, когда мы увидели, как работает пара многочленов, мы можем привести простой факт о многочленах в целом.n} \]

Этот факт на самом деле говорит о том, что когда мы берем предел на бесконечность для многочлена, все, что нам действительно нужно сделать, это посмотреть на член с наибольшей степенью и спросить, что этот член делает в пределе, поскольку многочлен будет иметь такое же поведение.

Вы можете увидеть доказательство в разделе «Доказательство различных предельных свойств» в главе «Дополнительно».

Давайте теперь перейдем к более сложным ограничениям.

Пример 2 Оцените оба следующих предела.4} + 7}} \] Показать решение

Во-первых, единственное различие между этими двумя состоит в том, что один стремится к положительной бесконечности, а другой – к отрицательной бесконечности. Иногда эта небольшая разница влияет на значение лимита, а иногда – нет.

Давайте начнем с первого предела, и, как и в случае с нашим первым набором примеров, может возникнуть соблазн просто «подключить» бесконечность. Поскольку числитель и знаменатель являются многочленами, мы можем использовать вышеуказанный факт для определения поведения каждого из них.4} + 7}} = \ frac {\ infty} {{- \ infty}} \]

Это еще одна неопределенная форма . В этом случае у нас может возникнуть соблазн сказать, что предел равен бесконечности (из-за бесконечности в числителе), нулю (из-за бесконечности в знаменателе) или -1 (потому что что-то, что делится само по себе, равно единице). Здесь работают три отдельных арифметических «правила», и без работы невозможно узнать, какое «правило» будет правильным, и, что еще хуже, возможно, что ни одно из них не может сработать, и мы можем получить совершенно другой ответ, скажем, \ (- \ frac {2} {5} \), чтобы выбрать число наугад.4}}}}} \\ & = \ frac {{2 + 0 + 0}} {{- 5 + 0}} \\ & = – \ frac {2} {5} \ end {align *} \]

В этом случае неопределенная форма не была ни одним из «очевидных» вариантов бесконечности, нуля или -1, поэтому будьте осторожны с такими предположениями с такими неопределенными формами. 2}}}}}} {{\ frac {5} {x} – 2}} = \ frac {{\ sqrt {3 + 0}}} {{0 – 2}} = – \ frac { {\ sqrt 3}} {2} \ end {align *} \]

Давайте теперь посмотрим на второй предел (с отрицательной бесконечностью).2}}}}}} {{\ frac {5} {x} – 2}} \\ & = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \ end {align *} \]

Итак, как мы видели в последних двух примерах, иногда бесконечность в пределе влияет на ответ, а иногда – нет. Также обратите внимание, что он не всегда просто меняет знак числа. Иногда это может полностью изменить значение. Мы увидим один или два примера в следующем разделе.

Прежде чем перейти к еще парочкам примеров, давайте вернемся к идее асимптот, которую мы впервые увидели в предыдущем разделе.Точно так же, как мы можем иметь вертикальные асимптоты, определенные в терминах пределов, мы также можем иметь горизонтальные асимптоты, определенные в терминах пределов.

Определение

Функция \ (f (x) \) будет иметь горизонтальную асимптоту в точке \ (y = L \), если выполняется одно из следующих условий.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} f \ left (x \ right) = L \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limits_ {x \ to – \ infty} f \ left (x \ right) = L \]

Мы не собираемся здесь много делать с асимптотами, но это несложный факт, и мы можем использовать предыдущий пример, чтобы проиллюстрировать все идеи асимптот, которые мы видели как в этом, так и в предыдущем разделах.4}}}}} {{2 + \ frac {3} {t}}} \\ & = \ frac {0} {2} \\ & = 0 \ end {align *} \]

В этом случае, используя Факт 1, мы можем видеть, что числитель равен нулю, и, поскольку знаменатель также не равен нулю, дробь и, следовательно, предел будут равны нулю.

В этом разделе мы сосредоточились на пределах на бесконечности с функциями, которые включают только многочлены и / или рациональные выражения, содержащие многочлены. Есть еще много типов функций, которые мы могли бы использовать здесь.Это тема следующего раздела.

Чтобы увидеть точное и математическое определение этого вида предела, см. Раздел «Определение предела» в конце этой главы.

Пределы – Пределы Бесконечности

Пределы Бесконечности

Что самое важное, что вы когда-либо видели? Самый большой в мире мяч из резиновой ленты? Может, океан? На самом деле, солнце довольно большое (мягко говоря), и мы видим это каждый день. Но тогда мы могли бы сказать, что небо покрывает почти всю вселенную.

Кажется, это сложно превзойти. Однако даже это ничтожно по сравнению с некоторыми пределами, потому что они могут доходить до бесконечности. Мы говорим о x , поскольку он становится действительно очень большим или очень, очень маленьким. Эта идея известна как конечное поведение функции, и это то, что эти ограничения на бесконечности помогут нам описать.

По большей части эти ограничения делятся на три категории. Вместо того, чтобы тратить зря ваше и наше время, мы просто покажем вам каждую задачу в виде образца. После этого мы расскажем о нескольких сложностях и о том, как их исправить, чтобы вы могли по-настоящему удивить своих друзей на вечеринках.

Пример задачи

Оценить.

И снова здравствуйте. Давно не виделись. Но посмотрите на этот предел; x не приближается к какой-то цифре, это будет продолжаться и продолжаться бесконечно. Есть несколько способов взглянуть на это. Давайте еще раз посмотрим на его график:

Обратите внимание, что происходит, когда x становится все больше и больше.Значения и становятся все ближе и ближе к нулю. Это означает:

Другой способ подумать об этом – подумать о том, что происходит, когда мы подставляем действительно большие значения вместо x . Что, если бы мы использовали 1000, например? В итоге мы получаем долю. Это действительно мало, то есть близкое к нулю. И оттуда он станет только меньше. Следовательно:

Наши ответы совпадают. Ура. Мы ненавидим, когда наши ответы противоречат друг другу.

Есть третий способ найти пределы на бесконечности, и он даже более полезен.Всякий раз, когда нас просят оценить предел дроби, мы должны смотреть и сравнивать степень числителя и знаменателя. Как и судьи на соревнованиях по помпадурам, мы хотим знать, кто из них больше.

Для, больший член стоит в знаменателе. Это означает, что чем больше и больше чисел вводятся для x , знаменатель растет быстрее, чем числитель. Хорошо, это плохой пример, потому что числитель постоянный, но идею вы поняли. Функция имеет тяжелое дно, что заставляет ее опускаться до нуля на бесконечности.

Пример задачи

Оценить.

На этот раз мы сразу перейдем к проверке степени (хотя ввод чисел тоже всегда будет работать). Если числитель больше (например, x ³ в этом случае больше, чем x ), функция перейдет в бесконечность, поскольку x станет большим. Это означает, что:

Функция будет перемещаться вверх и вправо, всегда достигая звезд. Вы идете, маленькая функция.Большая мечта.

Этот результат имеет смысл, потому что числитель станет совершенно огромным, в то время как знаменатель станет немного большим, но не до смешного. Мы знаем, что очень точно.

Пример задачи

Оценить.

Теперь этот предел немного отличается от того, что мы видели в предыдущих разделах. У вас может возникнуть соблазн упростить, разделить и делать подобные сумасшедшие вещи. Боритесь с искушением, не поддавайтесь. Подумайте о другом, например, о животных, играющих музыку.Вместо этого мы будем умножать вещи, но совсем немного.

Да, вы все правильно прочитали; «Кого это волнует» и «не имеет значения» теперь стало официальным лингвистическим языком Шмоопа. Все, что нам нужно, чтобы оценить этот предел, – это члены с наибольшим показателем.

На этот раз степень та же, 2. Теперь у нас есть шея и шея. Это будет фото финиш – ну, финиш – и все сводится к ведущему коэффициенту.

У нас есть 2 в числителе (от 2 x ² ) и 1 внизу (от x ² ). Переменные по существу компенсируют друг друга. Не буквально, а только с точки зрения приближения функции к бесконечности. Итак, наш лимит будет:

Не верите? Посмотрите график здесь. Прямо при y = 2 есть горизонтальная асимптота, которая идеально согласуется с тем, что мы только что нашли.

Пример задачи

Оценить.

Степень числителя больше, чем степень знаменателя. Ответ: ∞, да? Проблема: сделано, правда? Не так быстро.

У нас есть предел, так как x на этот раз приближается к отрицательной бесконечности. Мы не можем просто бросить эту сумасшедшую восьмерку и двинуться дальше. Вместо этого мы вынуждены учитывать знак нашего окончательного ответа.

Квадрат чего угодно будет положительным, даже сверхотрицательным, как -∞, поэтому числитель будет положительным. Однако знаменатель будет отрицательным, если вы введете отрицательные числа для x .

Мы должны следить за знаками наших ответов. Один знак минус может повернуть наш ответ от отрицательной бесконечности к положительной бесконечности. Это должен быть самый отвратительный случай хлыстовой травмы.

Пример задачи

Оценить.

Беглый взгляд может предположить, что эта функция имеет x по сравнению с x ² , и поэтому предел будет равен нулю. Извините, но проблема еще более странная, потому что с нашим самым большим сроком творится странные вещи. Здесь самый большой член в знаменателе имеет квадратный корень.Это означает, что наибольший порядок больше нельзя рассматривать как 2, это на самом деле:

( x ² ) ^1/2 = x ^2/2 = x

Внезапно числитель и знаменатель имеют тот же порядок, что заставляет нас смотреть на коэффициенты. Только будьте осторожны с квадратным корнем. Края острые.

Да, нам тоже нужно извлечь квадратный корень из 9. Это дает нам предел 1, поскольку x приближается к бесконечной пустоте в правой части графика.

Пример задачи

Оценить.

Хорошо, последний раз проблема, а это проблема триггера. Мы не можем смотреть на степень функции, поэтому наш предыдущий метод не сработает. Вместо этого попробуйте изобразить синусоидальный график.

Может быть, вы спрашиваете себя: «Как будет работать этот предел? Когда x уходит в бесконечность, синус делает это (вы двигаете рукой перед собой волнообразным движением) навсегда и во веки веков».

Это движение руки описывает поведение синуса, поскольку x становится бесконечно большим.Он возвращается и четвертый между 1 и -1 снова, и снова, и снова. Так что на самом деле это не имеет значения.

Иногда просто нет предела. Функция не приближается к единственному значению, но и не становится без конца ни больше, ни меньше. Почему ты просто не можешь принять решение, синус?

Сводка

• Если верхний градус дроби меньше нижнего градуса, он приближается к нулю.
• Если же градус выше наверху, то функция приближается к бесконечности.
• Когда степени равны, мы сравниваем ведущие коэффициенты. Их отношение – это горизонтальная асимптота, к которой приближается функция.

• Обратите внимание на знак своего ответа, особенно когда задействовано -∞.
• Превратите любые радикалы в дробные показатели, упростите и только потом сравнивайте степени.
• Некоторые функции, например, триггерные, не приближаются ни к чему на бесконечности.

Примечания к исчислению I, раздел 2-5

Примечания к исчислению I, раздел 2-5 Примечания, Урок 2.5
Пределы бесконечности

Полином ведет себя как его термин высшей степени в качестве . Этот можно увидеть в следующем примере:

подавляет все остальное в этом выражении как x приближается к бесконечности. Следовательно, предел этого выражения должен быть бесконечность.

При взятии лимита рациональное выражение и наибольшая степень числителя равна наибольшей степени числа знаменатель, затем предел выражения как x подходы бесконечность – это отношение коэффициентов членов высшей степени в числителе и знаменателе.

В этой задаче о пределе член наивысшей мощности в числитель и член наивысшей степени в знаменатель.С это члены наивысшей степени, они доминируют в задаче о пределе, и мы можем игнорировать другие термины при определении предела. Мы видим, что limit – это частное из коэффициентов членов наивысшей степени.

При взятии лимита рациональное выражение и наибольшая степень числителя или знаменателя больше, чем высшая сила другого, тогда следуйте этому совету:

	Поскольку наибольшая степень числителя больше, чем знаменатель наибольшая мощность, член наивысшей мощности числителя принимает это выражение более чем x приближается к бесконечности. Поэтому предел этого типа выражения должно быть положительной бесконечностью.
	Поскольку наибольшая степень знаменателя больше, чем наибольшая степень числителя, наибольшая степень знаменателя принимает это выражение по мере приближения x бесконечность. Знаменатель становится больше гораздо быстрее, чем знаменатель, поэтому предел этого выражения должен быть равен нулю. Поскольку ноль является константой, это означает, что существует горизонтальных асимптота в .

Проверить концепции

# 1: Верно или неверно: A функция, имеющая постоянный предел и горизонтальную асимптоту.	Выберите одну истину ложь
# 2: Верно или неверно: Если предел равен бесконечности, тогда действительно нет предела.	Выберите одну истину ложь
# 3: Верно или неверно: Если предел равен бесконечности, поскольку x стремится к 2, тогда в 2 функция должна иметь вертикальную асимптоту.	Выберите одну истину ложь
# 4: В рациональном функция, если наивысшая степень числитель и знаменатель равны, то предел функции равно ______________________.	Выберите один старший коэффициент числителя старший коэффициент знаменателя Отношение двух коэффициентов Там в данном случае нет предела
# 5 Верно или неверно: если предел равен нулю, это означает, что нет предела.	Выберите одну истину ложь

Пример предела на отрицательной бесконечности

В этом руководстве мы обсудим пример, связанный с пределом функции на отрицательной бесконечности, т. е.2} – 8}}} = \ frac {{- 5 – 0}} {{\ sqrt {4 – 0}}} = – \ frac {5} {2} \]

пределов на бесконечности

пределов на бесконечности

В этом разделе я рассмотрю доказательства ограничений формы. Они похожи на доказательства, хотя постановка и алгебра немного отличается.

Напомним, это означает что для каждого существует такое, что если

Определение. означает, что для каждого существует M такое, что если

Другими словами, я могу приблизиться к L, насколько я пожалуйста, сделав x достаточно большим.

Примечания. Пределы на бесконечности часто встречаются как пределов последовательностей , например

В этом случае, . Я не буду делать различия между лимитом на бесконечность последовательности и предел функции на бесконечности; в Доказательства, которые вы делаете, по сути, одинаковы в обоих случаях.

Имеется аналогичное определение для, и доказательства также аналогичны. Больной придерживаться здесь.

---

Пример. Докажите это.

Как и в случае с доказательствами, я немного поработал, работаю в обратном направлении от того, что хочу. Затем я пишу “настоящие” пруф “в прямом направлении.

Скретч-работа. Хочу

Я хочу отбросить абсолютные значения, поэтому предполагаю. Переставляя неравенство, я получаю.

Вот настоящее доказательство. Позволять . Установленный . Так как у меня есть. Предполагать . Тогда и

Это доказывает.

---

Пример. Докажите это.

Скретч-работа. Хочу

Чтобы отбросить абсолютные значения, мне нужно предположить.

Переставьте неравенство:

Вот настоящее доказательство. Позволять . Установленный . Если, то и. Так

Следовательно,

Обратите внимание, что выражение будет отрицательным, если. Поэтому я принял M как максимальное значение 0 и чтобы гарантировать, что если, то x будет положительным.Теперь вам действительно нужно быть позитивным, чтобы надеть абсолютные значения, а если. Это несложно доказать, так что на самом деле я не нужно брать максимум с 0 — при условии, что я готов доказывают это . Я решил пойти по легкому пути!

---

Пример. Докажите, что не определено.

Я буду использовать доказательство от противного. Предположим, что

Принимая во внимание определение, Я могу найти M такое, что если, то.

Выберите p, чтобы оно было четным числом больше M. Затем

Это говорит о том, что расстояние от L до 1 меньше, поэтому

Выберите q как нечетное число больше M. Тогда

Это говорит о том, что расстояние от L до -1 меньше, поэтому

Это противоречие, так как L не может быть in и in одновременно. время.

Следовательно, неопределенный.

---

Контактная информация

Домашняя страница Брюса Икенаги

Авторские права 2019 Брюс Икенага

Нахождение пределов при приближении X к бесконечности

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т.