Предел единица в степени бесконечность: Число в степени бесконечность | Математика

2

примеры нахождения, задачи и подробные решения

Формула второго замечательного предела имеет вид limx→∞1+1xx=e. Другая форма записи выглядит так:  limx→0(1+x)1x=e.

Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1∞, т.е. единицей в бесконечной степени.

Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.

Пример 1

Найдите предел limx→∞1-2×2+1×2+14.

Решение

Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

limx→∞1-2×2+1×2+14=1-2∞2+1∞2+14=1-0∞=1∞

У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

t=-x2+12⇔x2+14=-t2

Если x→∞, тогда t→-∞.

Посмотрим, что у нас получилось после замены:

limx→∞1-2×2+1×2+14=1∞=limx→∞1+1t-12t=limt→∞1+1tt-12=e-12

Ответ: limx→∞1-2×2+1×2+14=e-12.

Пример 2

Вычислите предел limx→∞x-1x+1x.

Решение 

Подставим бесконечность и получим следующее.

limx→∞x-1x+1x=limx→∞1-1×1+1xx=1-01+0∞=1∞

В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

x-1x+1=x+1-2x+1=x+1x+1-2x+1=1-2x+1

После этого предел приобретает следующий вид:

limx→∞x-1x+1x=1∞=limx→∞1-2x+1x

Заменяем переменные. Допустим, что t=-x+12⇒2t=-x-1⇒x=-2t-1; если x→∞, то t→∞.

После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

limx→∞x-1x+1x=1∞=limx→∞1-2x+1x=limx→∞1+1t-2t-1==limx→∞1+1t-2t·1+1t-1=limx→∞1+1t-2t·limx→∞1+1t-1==limx→∞1+1tt-2·1+1∞=e-2·(1+0)-1=e-2

Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

Ответ: limx→∞x-1x+1x=e-2.

Пример 3

Вычислите предел limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5.

Решение

limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5=limx→∞1+1×31+2x-1x332x-5×4==1+01+0-030-0=1∞

После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5=1∞=limx→∞x3-2×2-1-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5==limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5

Далее нам нужно домножить показатель на x3+2×2-1-2×2+2, после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5=limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5==limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5

Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-2×2+2×3+2×2-13x42x3-5==limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-62=limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-3

При замене t=x2+2×2-1-2×2+2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

limx→∞1+-2×2+2×3+2×2-1×3+2×2-1-2×2+2-3=limx→∞1+1tt-3=e-3

Ответ:limx→∞x3+1×3+2×2-13x42x3-5=e-3.

Неопределенность 1∞, т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.

Советуем также изучить материалы, посвященные пределам, основным определениям и задачам на их нахождение.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

>} $$

Недостатки этого определения:

• $n$ должно быть неотрицательным: $n\lt0\implies\left\{0,1,. ..,n-2,n-1\right\} =\emptyset$, когда это должен быть набор с той же мощностью, что и набор, подразумеваемый $-n$.
• $n$ должно быть целым числом: $n\notin\mathbb{Z}$ означает, что $\left\{0,1,…,n-2,n-1\right\}$ неоднозначно, поскольку $ \left\{0,1,2,…\right\}$ — целые числа, а $\left\{n-1,n-2,n-3,…\right\}$ — нет.

---

Мое первое переопределение 9\geq}\right\}$. Это должно быть приемлемо, поскольку период $f(k)=\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi k}{n }\right)$ по определению равно $n$ (он же $\frac{p}{q}$). Следовательно, бесконечная последовательность $z(n)$ будет периодически повторяться через каждые $p$ элементов, а это означает, что мощность результирующего множества $z(n)$ должна быть равна $p$.

Эти два метода, насколько я могу судить, функционально идентичны.

---

Второе переопределение: метод 2

$\pi$ очевидно иррационально, т. е. не существует числа $n \mid \pi\cdot n \in \mathbb{Z}$. Интересно, что это означает, что значения множества $k$ никогда не будут равны периоду функции синуса, но множество с мощностью $\aleph_0$ сможет инкапсулировать каждый отдельный $\pi$-й корень.

---

Второе переопределение: Метод 1

На всякий случай, если расширение области определения $k$ до множества всех натуральных чисел является недопустимой операцией, я попытался атаковать ее другим способом. Итак, еще раз, $\pi$ не является рациональным числом. Однако Джон Уоллис обнаружил, что $\pi$ можно представить в виде бесконечного произведения: 92-1\right)\in\mathbb{Q}\right]$, насколько я понимаю, $\pi$ можно рассматривать как отношение двух бесконечно больших целых чисел. Таким образом, я пришел к выводу, что числитель, являющийся $\infty$, означает, что существуют бесконечные $\pi$-ые корни из единицы.

---

И, наконец, вопрос

Все ли правильно я здесь рассуждал?

пределов – минус 1 в степени бесконечности

спросил 9{2n + 1}$ — подпоследовательность, сходящаяся к $-1$. Противоречие.

$\endgroup$

$\begingroup$

Не существует. Если у вас есть последовательность $\{x_n\}$, то если $x_n \rightarrow l$, для любого открытого интервала $I$ с $l\in I$, $x_n\in I$ для всех, кроме конечного числа $n $. Интуитивно понятно, что любой открытый интервал, содержащий предел, должен «в конечном итоге поглотить» последовательность.

Ваша последовательность не имеет такого поведения. Если вы возьмете интервал $(.9, 1.1)$, имеем $x_n\not\in I$, если $n$ нечетно. Аналогичным образом, выбор небольшого интервала около $-1$ приводит к тому, что $x_n$ не попадает в этот интервал, если $n$ четно. Нет точки, которую вы можете выбрать, чтобы в конечном итоге поглотить последовательность, и, следовательно, нет предела.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Предел последовательности существует, когда существует число $L$ такое, что для каждого $\epsilon>0$ существует некоторое $N\in\mathbb N$ такое, что для каждого $n>N$ имеем $| a_n-L|<\epsilon$. 9n$, который принимает два значения: $1,-1$.

Нам даже не нужно, чтобы наш контрпример $\epsilon$ был маленьким, просто положим $\epsilon=1$. Тогда для каждого числа $L$ имеем:

Если $|1-L|<1$, то $|-1-L|\ge 1$, а если $|-1-L|<1$, то $| 1-L|\ge 1$.

Следовательно, для каждого $N\in\mathbb N$ либо $a_{N+1}$, либо $a_{N+2}$ находится на расстоянии не менее $1$ от $L$, для любого заданного $ л$.

Лимит тоже не может быть бесконечным по понятным причинам.

Таким образом, нам остается только предположить, что предела не существует. 9{\infty} \ имеет\ не\ бесконечное\ значение.\\ \ overset{\ underbrace{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}{Это\ на самом деле\ ничего\ не доказывает\ \ \ предположение}\\ \\ \\ Теперь\ посмотрим\ на\ это\ по-другому\:\\ \\ ( -1) ^ {\ infty } = -1 \ раз -1 \ раз -1 \ раз -1 \ раз -1 .