Глава 43. Предел функции в точке и на бесконечности
Рассмотрим функцию , определенную на некотором множестве и точку , быть может, и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что в любой –окрестности точки имеются точки множества значений аргумента , отличные от . Рассмотрим вопрос о сходимости соответствующей последовательности значений функции .
Существуют два определения Предела функции в точке.
Определение
Число называется Предельным значением функции в точке (или Пределом функции при X® A), если для любой сходящейся к А Последовательности значений аргумента , элементы которой отличны от , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: .
Отметим, что функция может иметь в точке только Одно предельное значение. Это вытекает из того, что последовательность может иметь только один предел.
Рассмотрим несколько Примеров.
1. Функция Имеет в точке предел, равный –2. Действительно, пусть – любая последовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. , тогда при в силу теорем о свойствах сходящихся последовательностей:
.
2. Функция определена для всех . В точке эта функция не имеет предела. Для доказательства возьмем две последовательности значений аргумента, сходящиеся к нулю:
и .
Соответствующие последовательности значений функций для них:
.
Таким образом, Определение 1 не удовлетворяется, так как для двух разных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.
Дадим другое определение пределу функции в точке . Пусть функция определена на некотором интервале , кроме быть может точки .
Определение
Число называется Пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех , Удовлетворяющих условиям при , выполняется неравенство .
Второе определение предела функции означает, что функция имеет предел в точке , если для любой E–окрестности точки можно найти такую d–окрестность точки , что, как только значение аргумента попадет в эту d–окрестность, соответствующее значение функции будет находиться в
Рис. 4.3.1
Первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением, «на языке последовательностей» (предел функции по Гейне). Второе определение носит название «на языке d–e» (предел функции по Коши).
Теорема
Первое и второе определения предела функций Эквивалентны.
Введем понятия Односторонних пределов функции. Дадим определение односторонних пределов функции «на языке d–e».
Пусть функция определена на полуинтервале (соответственно на полуинтервале , кроме, быть может, точки .
Определение
Число B называется Правым (левым) пределом функции в точке А, если для любого существует такое , что для всех X из правой (левой) D –Окрестности точки А, Т.
е. , выполняется неравенство .
Для правого (левого) предела функции используется символическая запись:
или
( или ).
Приведем в качестве Примера функцию
В точке эта функция имеет левый и правый пределы: , . Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности , у которой все элементы , соответствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа –1, т. е., предел слева в точке также равен этому числу. Аналогично устанавливается и предел справа.
Пример
Найти правый и левый пределы функции .
Решение
– правый предел.
– левый предел.
Таким образом видим, что левый и правый пределы Не равны!
Теорема
Функция имеет в точке А Предел тогда и только тогда, когда в этой точке Существуют пределы как Справа, так и Слева, и они Равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции в точке .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
4.
2. Предел функцииОдним из важнейших понятий математического анализа является понятие предельного перехода. С одной стороны, в некоторых случаях бывает достаточно очевидно, куда стремится значение функции , если аргумент стремится к какому-либо фиксированному значению (или – бесконечности). Например, стремится к , если , или , если .
Записывают этот факт так: , .
Но в большинстве случаев, результат такого предельного перехода не так очевиден, и для получения результата приходится использовать целый ряд теорем и свойств пределов, которые доказываются в курсе высшей математики. Их доказательство, прежде всего, основано на определении предела.
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого, существует , такое, что из неравенства следует, что .
Если решить указанные неравенства, то
получим и ,
то есть можно сказать, что как только
значение аргумента попадает в -окрестность
точки
,
то соответствующее значение функции
не выходят из -окрестности
точки
.
Кратко, факт существования предела
записывают так
.
Замечание 1. Аналогично можно дать понятие предела функции при и понятия
Замечание 2. Огромную роль в анализе играет класс бесконечно малых функций при стремящихся к a. Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если . Бесконечно малые функции обычно обозначают греческими буквами: , , и т.п.
В противоположность б.м.ф., бесконечно большой функцией при называется функция , если .
4.3. Основные теоремы о пределах
Если существует , , то существуют и пределы суммы, произведения и частного этих функций, причем они равны сумме, произведении и частному пределов каждой из функций:
1) ;
2) ;
3) .
Следствия:
1) , предел константы равен этой константе;
2) , константа выносится за знак предела.
4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
Каждый из нас имеет свое интуитивное представление о непрерывности. Как правило, мы считаем непрерывной ту функцию, график которой не имеет разрывов, т.е. представляет собой непрерывную линию. Этот факт в математике имеет строгое определение. Более того, мы дадим три эквивалентных определения непрерывности.
Определение1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке а, если она определена в некоторой окрестности этой точки и
Определение 2. Функция y=f(x) непрерывна в т. a , если бесконечно малому приращению
аргумента в т.a соответствует бесконечно малое
приращение функции, т.е. ,
где приращение функции в т.
.
Определение 3. . Функция непрерывна в т.a , если она определена в окрестности этой точки , предел слева в этой точке, равен пределу справа и равен значению. функции в этой точке : .
Функция непрерывная в каждой токе некоторого промежутка называется непрерывной на этом промежутке.
Естественно, точки в которых нарушаются условия непрерывности называются точками разрыва. Разрыв может быть конечным (первого рода), если односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой, либо равны между собой, но не равны значению функции в рассматриваемой точке. Бесконечным (второго рода), когда хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Можно показать, что все элементарные функции (функции, изучаемые еще в средней школе) непрерывны в каждой точке своего определения. Это позволяет, используя
Пример 1. .
При решении воспользовались непрерывностью функций в точке .
Пример 2. .
Здесь, воспользовались непрерывностью функций и .
Что такое предел? Объяснение математических понятий
Давайте поговорим о понятии, которое может сбить с толку, когда вы только начинаете изучать исчисление: ограничивает . Когда вы впервые знакомитесь с ограничениями, вы часто слышите, как ваш профессор говорит что-то вроде:
” Каков предел f(x) = при приближении x к 5? »
В такой формулировке ограничения кажутся не очень естественными или интуитивными, но в сегодняшней статье я собираюсь убедить вас, что ограничения — это очень естественный способ смотреть на мир. Я также приведу несколько примеров пределов, которые мы можем решить, вообще не занимаясь «математикой»!
Начнем с примера. Представьте, что вы наблюдаете, как ваша подруга едет на своем велосипеде по гладкой поверхности , и рисуете график зависимости положения ее велосипеда от времени.
График может выглядеть примерно так:
Теперь предположим, что, продолжая рисовать график, вы на мгновение отводите взгляд от своей подруги, так что вы пропустите, где она находится через 4 секунды. Итак, на вашем графике теперь есть «дыра» в тот момент, когда вы отвели взгляд.
Даже если вы не знаете точно, где была ваша подруга в 4 секунды, можете ли вы угадать, где она была? Конечно, можете — она была, вероятно, на высоте 10 футов . Откуда вы знаете? Потому что прямо на до 4 секунд она была всего на футов меньше, а прямо на через секунд она была всего на после 10 футов. Если только она не была волшебным образом перенесена в тот самый момент, когда вы отвели взгляд, она должна была пройти 10 футов, чтобы график имел смысл.
Ограничения — это просто очень очевидная идея — вы можете «угадать», какие значения функция принимает в точке, основываясь на том, какое значение она принимает в соседних точках.
Когда вы видите выражение вроде:
, вы должны подумать про себя: хм, какое значение я бы предположил, что функция f(x) должна принимать, когда x примерно равно h, основываясь ТОЛЬКО на значениях, которые функция принимает БЛИЗКО к час? (стрелка в выражении просто означает «приближается»).
Если f(x) это позиция вашего друга в момент времени x, то
Я хочу отметить, что функция не обязательно должна быть линейной, чтобы вы могли устанавливать ограничения. Давайте рассмотрим другой пример, когда ваша подруга снова едет на своем велосипеде, но теперь замедляет скорость, когда доезжает до знака «стоп».
График ее положения может выглядеть примерно так (это определенно не линейная функция!):
На этом графике ваш друг начинает движение очень быстро, но резко замедляется, начиная примерно с полминуты. второй. Опять же, хотя мы «отвели взгляд» на x=4 , поэтому функция f(x) не определена в этой точке, мы все еще можем оценить предел.
В данном случае
Итак, мы уже видели, что пределы позволяют нам «угадывать» поведение функций в тех точках, где мы по какой-либо причине не знаем точного значения функции.
Часто нам интересно знать, какое значение примет функция при бесконечности . Мы не можем изобразить функцию до бесконечности, и мы не можем «вставить» бесконечность в формулу, чтобы напрямую оценить ответ.
Оказывается, это еще один случай, когда нас могут выручить ограничения. Помните, что пределы — это наша лучшая «догадка» о том, как будет вести себя функция, основываясь на известных нам точках. Так, например, если мы снова посмотрим на этот последний график (воспроизведенный ниже) — когда ваш друг приближается к знаку остановки — мы можем спросить: «Если он продолжит свою текущую траекторию, где он окажется через бесконечное количество времени? ”
В этом случае было бы разумно сказать, что есть асимптота на высоте 10 футов . Идея здесь в том, что ваш друг замедляется, замедляется и, в конце концов, остановится прямо у знака остановки, расположенного примерно в 10 футах.
Если функция не изменится (другими словами, она снова не начнет ездить на велосипеде), то ее положение через бесконечное количество времени будет 10 футов.
На математическом языке мы запишем это как:
Пределы бесконечности немного отличаются от пределов в конечной точке — вместо того, чтобы смотреть на соседние значения, мы вместо этого смотрим на общий тренд функции, f(x) , и попытайтесь угадать, где закончится функция по мере того, как она становится все больше и больше.
Иногда предел функции на бесконечности может быть положительной или отрицательной бесконечностью! Можете ли вы выяснить, каков предел первого (самого верхнего) графа, как ?
Также бывают случаи, когда лимит не существует (или вы можете услышать, что лимит равен undefined ). Вот пример такого случая:
Что бы вы назвали пределом, когда ? Это смотря куда смотреть! Если вы посмотрите на время меньше 4 секунд, может показаться, что она будет на высоте 8 футов, но если вы посмотрите на время больше 4 секунд, покажется, что она будет на высоте 11 футов! Когда у вас есть противоречивые предположения, вы можете сказать, что предела просто не существует.
Конечно, в большинстве реальных ситуаций этого не происходит! Чтобы предела не существовало, ваш друг должен волшебным образом переместиться с 8 футов на 11 футов именно в тот момент, когда вы не смотрели! Сила пределов в том, что они точно описывают большинство реальных функций, которые являются непрерывными и гладкими.
Да, это все, что касается концепции предела. На самом деле вам обычно не будут давать графики для оценки пределов. Вместо этого вам будут даны математические функции, из которых вы должны будете определить, какие соседние значения находятся рядом с интересующей вас точкой. Будут случаи, когда соседние значения принимают противоречивые значения, а предел не определенный. В других случаях вам придется учитывать, существуют ли в задаче асимптоты, поскольку вы решаете, к каким значениям приближаются функции в положительной или отрицательной бесконечности.
Надеюсь, теперь, когда у вас есть конкретная картина, вы сможете уверенно решать эти проблемы!
Абу — один из наших замечательных преподавателей математики в Кембридже.
Если вы заинтересованы в работе с ним в Кембридже или онлайн, свяжитесь с нами сегодня!
Вы ищете больше материалов по математике? Ознакомьтесь с некоторыми из наших предыдущих сообщений в блоге ниже!
Что такое предел? – Определение из WhatIs.com
По
- Участник TechTarget
В математике предел — это значение, к которому сходится выражение, когда одна или несколько переменных приближаются к определенным значениям. Пределы важны в вычислениях и анализе.
Рассмотрим предел выражения 2 x + 3, поскольку x приближается к 0. Нетрудно видеть, что этот предел равен 3, поскольку мы можем присвоить значение 0 переменной x и выполнить расчет напрямую. Однако такая подстановка невозможна, если принять во внимание предел выражения 1/ х – 2, поскольку х неограниченно возрастает.
(Выражение для этого: « x приближается к бесконечности».) Очевидно, что 1/ x приближается к 0, поскольку 1/ x приближается к бесконечности, хотя мы не можем напрямую заменить бесконечность на x и вычислить 1/. х = 0. Предел, как x приближается к бесконечности, 1/ x – 2, следовательно, равно -2.
Эти выражения будут обозначаться в математической литературе следующим образом:
Термин «лимит» обозначается как «лим». Стрелка означает «подходы». Бесконечность символизируется перевернутой цифрой 8.
.См. также бесконечность и математические символы.
Последнее обновление: сентябрь 2005 г.
биотехнология
Биотехнология — это использование биологии для разработки новых продуктов, методов и организмов, предназначенных для улучшения здоровья человека и общества.
ПоискСеть
- беспроводная ячеистая сеть (WMN)
Беспроводная ячеистая сеть (WMN) — это ячеистая сеть, созданная путем соединения узлов беспроводной точки доступа (WAP), установленных в .
.. - Wi-Fi 7
Wi-Fi 7 — это ожидаемый стандарт 802.11be, разрабатываемый IEEE.
- сетевая безопасность
Сетевая безопасность охватывает все шаги, предпринятые для защиты целостности компьютерной сети и данных в ней.
..ПоискБезопасность
- Что такое модель безопасности с нулевым доверием?
Модель безопасности с нулевым доверием — это подход к кибербезопасности, который по умолчанию запрещает доступ к цифровым ресурсам предприятия и …
- RAT (троянец удаленного доступа)
RAT (троян удаленного доступа) — это вредоносное ПО, которое злоумышленник использует для получения полных административных привилегий и удаленного управления целью …
- атака на цепочку поставок
Атака на цепочку поставок — это тип кибератаки, нацеленной на организации путем сосредоточения внимания на более слабых звеньях в организации .
..
..ПоискCIO
- пространственные вычисления
Пространственные вычисления широко характеризуют процессы и инструменты, используемые для захвата, обработки и взаимодействия с трехмерными данными.
- Пользовательский опыт
Дизайн взаимодействия с пользователем (UX) — это процесс и практика, используемые для разработки и внедрения продукта, который обеспечит позитивное и …
- соблюдение конфиденциальности
Соблюдение конфиденциальности — это соблюдение компанией установленных правил защиты личной информации, спецификаций или …
SearchHRSoftware
- Поиск талантов
Привлечение талантов — это стратегический процесс, который работодатели используют для анализа своих долгосрочных потребностей в талантах в контексте бизнеса …
- удержание сотрудников
Удержание сотрудников — организационная цель сохранения продуктивных и талантливых работников и снижения текучести кадров за счет стимулирования .
