2 Предел функции
2.1 Понятие предела функции
Во многих практических задачах требуется определить скорость изменения функции при изменении аргумента. В этом случае используется понятие производной функции. Это понятие в свою очередь вводится с помощью понятия предела функции. Поясним смысл понятия предела на примере.
Функция не определена при значении, так как при нем знаменатель обращается в нуль. Таким образом, прифункция имеет разрыв (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 – Функция |
Однако если положить значение функции в точке равным, то получим функцию непрерывную на всей числовой оси. Математически это записывается как
В общем случае, если – точка разрыва функции, но возможно найти для нее в точкетакое значение А, при котором измененная функциястанет непрерывной, то это число А называется
Математически это записывается формулой:
Существование предела функции в точкеозначает, что функцияприближенно равнадля всех значений, близких к.
Определение. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при , если, задав произвольное как угодно малое положительное число, можно найти такое >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в – окрестности числа , т.е. дляx, удовлетворяющих неравенству , значения функцииf(x) будут лежать в – окрестности числа А, т.е. .
Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке – “.
На рисунке 2.2. проиллюстрировано определение предела функции при. Для построения этого рисунка необходимо выполнить следующие действия:
построить график функции и отметить точкииА;
построить окрестность точки А, выбрав произвольное число ;
по точкам ,и графику функции построитьокрестность точки.
Расстояния от точкидо точекидолжны быть равными, поэтому из двух
полученных отрезков следует взять
меньший и отложить его в обе стороны
от точки;взять произвольную точку , принадлежащую окрестности точки, и по графику функции найти значение, которое должно попасть в построенную окрестность точки
Рисунок 2.2 – Определение предела функции |
Если и при этом , то пишут . Если, в частности, , то вместо символа 0+0 пишут +0.
Аналогично если и при этом , то пишут .
Числа иназываются соответственнопределом справа и пределом слева функции f(x) в точке .
Для существования предела функции f(x) при
Определение.
Переменная величина (т.е. последовательность
или функция), имеющая своим пределом
ноль, называется бесконечно
малой величиной.
Определение. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.
2.2 Правила вычисления пределов
При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила:
1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:
.
2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:
.
3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
5. Предел постоянной равен самой постоянной:
.
6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:
.
Нахождение
предела функции
следует начинать с подстановки значенияв выражение для функции. При этом если
получается числовое значение 0 или,
то искомый предел найден.
Пример 2.1. Вычислить предел.
Решение.
.
Выражения вида ,,,,,называютсянеопределённостями.
Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.
Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значениих.
Пример 2.2. Вычислить предел.
Решение.
Подставляя , получим неопределенность:
.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
;
Сократим на общий множитель и получим
.
Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при. В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на
Пример 2.3.Вычислить предел.
Решение. При подстановке ∞ получается неопределенность вида, поэтому разделим все члены выражения наx3.
.
Здесь учитывается, что .
При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.
Пример 2.4. Вычислить предел
Решение.
При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1)∞часто используются первый и второй замечательные пределы:
и
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.
Рассмотрим
пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию
числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках
процентные деньги присоединяются к
основному капиталу ежегодно. Если
присоединение совершается чаще, то
капитал растет быстрее, так как в
образовании процентов участвует большая
сумма. Возьмем чисто теоретический,
весьма упрощенный пример.
Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.
Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 1,5 = 150, а еще через полгода – в 150 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 (1 +1/3) 237 (ден. ед.).
Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 (1 +1/10)10
100 (1+1/100)100 270 (ден. ед.),
100
(1+1/1000)1000
271 (ден. ед. ).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что
Пример 2.5. Вычислить предел функции
Решение.
Пример 2.6. Вычислить предел функции .
Решение.
.
Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:
В результате получаем
Здесь учитывается второй замечательный предел .
Пример 2.7. Вычислить предел функции
Решение.
.
Для
раскрытия неопределенности вида
илиможно использовать правило Лопиталя,
которое основано на следующей теореме.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных
Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.
Пример 2.8.Найти
Решение. При подстановке, имеем неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя, получим
2.1. Понятие предела и непрерывности функции в…
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про понятие предела функции, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое понятие предела функции, предел функции, непрерывность функции , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление.
предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, являющихся образами точек такой последовательности элементов области определения функции, которая сходится к точке, в которой рассматривается предел. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. Предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удаленной точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция в заданной точке сама стремится к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.
Определение непрерывности функции
Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.
Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определенным на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Определение предела функции
Пусть функция определена в окрестности числа (при функция ƒ может быть не определена) . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Число А называется пределом функции при x , стремящемся к ( ), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0 , что для всех x, удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Выражение означает, что предел функции при x, стремящемся к , равен А.
Если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется такое число δ > 0 , что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , то говорят, что функция является бесконечно большой величиной при x, стремящемся к , и записывают: .
Если при этом значения , то пишут: , а если , то пишут: . Если , то функция называетсябесконечно малой величиной при x, стремящемся к .
Рассмотрим функцию , определенную на некотором множестве {\displaystyle X}, которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать). Существуют разные определения предела функции, сформулированные Гейне, Коши.
Предел функции по Гейне
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .
Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперед взятого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов {\displaystyle x}, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .
Понятие предела и непрерывности функции в точке,
классификация точек разрыва функции одной переменной
Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про понятие предела функции Надеюсь, что теперь ты понял что такое понятие предела функции, предел функции, непрерывность функции и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление
Объяснение урока: Существование пределов
В этом объяснении мы узнаем, как определить, существует ли предел функции при определенном значении.
Предел функции в точке дает нам полезную информацию о форме функции в этой точке и
является основным инструментом в исчислении. Напомним определение предела функции в точке.
Резюме: предел функции в точке
Если значения 𝑓(𝑥) приближаются к некоторому значению, 𝐿, поскольку значения 𝑥 приближаются к 𝑎 (с обеих сторон), но не обязательно, когда 𝑥=𝑎, то мы говорим предел 𝑓(𝑥) по мере приближения 𝑥 к 𝑎 равно 𝐿, и мы обозначаем это как lim→𝑓(𝑥)=𝐿.
Используя обозначение односторонних пределов, мы можем переписать это определение в терминах левого и правого предел функции в этой точке.
Определение: предел функции в точке с точки зрения односторонних пределов
Пусть 𝐿,𝑎∈ℝ. Если lim→𝑓(𝑥)=𝐿 и lim→𝑓(𝑥)=𝐿, то lim→𝑓(𝑥)=𝐿.
Когда это определение верно для функции 𝑓(𝑥) при значении
𝑥=𝑎, это дает нам информацию о форме функции вокруг этой точки;
мы бы знали, что она сколь угодно близка к точке (𝑎,𝐿). Следовательно,
мы можем проверить предел функции в точке, оценив ее левый и правый предел в этой точке
и проверить, равны ли они.
Мы можем использовать эту идею существования пределов, чтобы написать другое определение предела функционировать в точке.
Определение: предел функции в точке
Если левый и правый пределы функции 𝑓(𝑥) в 𝑥=𝑎 оба существуют и равны некоторому значению 𝐿∈ℝ, тогда lim→𝑓(𝑥)=𝐿.
Может оказаться невозможным найти предел функции в точке. Например, рассмотрим график из 𝑦=𝑓(𝑥), показанных на диаграмме ниже.
Чтобы оценить lim→𝑓(𝑥), нам нужно оценить оба левый и правый предел при 𝑥=1 отдельно. Во-первых, как значения 𝑥 приближаясь к 1 слева, выходы функции остаются постоянными на уровне 1, поэтому lim→𝑓(𝑥)=1. Во-вторых, когда значения 𝑥 приближаются к 1 справа, выходы функции приближаются к 2, поэтому lim→𝑓(𝑥)=2. Поскольку левый и правый пределы функции при 𝑥=1 не равны, мы не можем вычислить лим→𝑓(𝑥).
Когда мы не можем оценить предел функции в точке, мы говорим, что ее предела не существует. в
выше пример, мы видели, что это может произойти, если левый и правый предел не равны; однако есть
других способов предела функции в точке не существует. Рассмотрим lim→1𝑥; один из способов исследования этого предела состоит в том, чтобы набросать функцию.
Нам нужно рассмотреть левый и правый пределы 1𝑥 как 𝑥 приближается к 0.
Из диаграммы видно, что в обоих случаях выходы функции неограниченно растут. В частности, это означает, что выходы не приближаются ни к какому конечному значению, 𝐿∈ℝ. Когда выходы функции неограниченно растут, мы часто говорим, что предел равно ∞. Однако важно помнить, что этого предела не существует. и сказать, что предел равен ∞, означает сказать, что предел не существуют, но выходы растут без ограничений.
Мы можем сказать нечто подобное для 𝑦=−1𝑥 при 𝑥=0.
Когда 𝑥 приближается к 0 с любой стороны, выходы функции неограниченно уменьшаются. Можно сказать, что lim→−1𝑥=−∞, где
еще раз, это означает, что предела не существует.
Другая аналогичная возможность — предел 1𝑥 при 𝑥=0.
Если наши значения 𝑥 приближаются к 0 справа, то выходы функции растут без ограничений. Следовательно, мы можем сказать lim→1𝑥=∞. Однако, если значения 𝑥 приближаются к 0 слева, то выходы функции уменьшаются без ограничений. Итак, мы можем сказать lim→1𝑥=−∞. В таком случае, левый и правый пределы 1𝑥 в 0 не равны, поэтому мы говорим, что lim→1𝑥 не существует; мы не приписываем ему какой-либо бесконечности значение, так как левый и правый пределы различны.
Существует еще один способ, при котором предел функции в точке не существует. Вместо значений, функция, неограниченно возрастающая или убывающая, выходы могут колебаться так, что они никогда не сойдутся на единое значение. Например, рассмотрим следующий график 𝑓(𝑥)=1𝑥sin.
На диаграмме видно, что когда 𝑥 приближается к 0, выходные сигналы сильно колеблются. Чтобы видеть более ясно
что происходит вокруг 𝑥=0 на этом графике, попробуем оценить предел этой функции из
стол. Мы выберем наши точки выборки на величину, обратную нечетному целому числу, кратному 𝜋2,
поскольку это значения, которые максимизируют размер выходных данных.
| 𝑥 | −299𝜋 | −2101𝜋 | −2103𝜋 | −2105𝜋 | → | 0 | ← | 2105𝜋 | 2103𝜋 | 2101𝜋 | 299𝜋 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin1𝑥 | 1 | −1 | 1 | −1 | → | ← | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | – 1 | 1 | – 1 | 1 | – | 1 | – | 1 | . с обеих сторон выходные значения
функции колеблются между 1 и -1 и не сходятся ни к одному значению; поэтому мы говорим, что это
предела не существует. Мы можем обобщить способы, которыми ограничения не могут существовать, следующим образом. Определение: предел функции в точке, не существующей тогда мы говорим, что предел 𝑓(𝑥) при приближении 𝑥 к 𝑎 не существует.В частности,
Другими словами, чтобы определить предел функции в точке, мы проверяем, что левый и правый пределы оба существуют и равны. Давайте посмотрим на пример применения этого определения к кусочно определенной функции. Пример 1. Обсуждение существования предела кусочно-определенной функции в точкеОбсудить существование заданного lim→𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)=13𝑥+71𝑥7,14𝑥+77≤𝑥8.ifif Ответ Поскольку это кусочно-определенная функция и 𝑥=7 находится на границе двух подобластей,
мы не можем вычислить этот предел прямой подстановкой. Начнем с lim→𝑓(𝑥), так как это левый предел; у нас есть 𝑥7 для наших входных значений, и при оценке этого ограничения значения 𝑥 будет сколь угодно близко к 7, поэтому мы можем предположить, что 1𝑥7, не влияя на величину лимита. Когда наши значения 𝑥 находятся в этом интервале, 𝑓(𝑥)=13𝑥+7, это дает нам limlim→→𝑓(𝑥)=(13𝑥+7). Мы можем оценить это прямой подстановкой: lim→(13𝑥+7)=13(7)+7=98. Мы можем сделать то же самое для правого предела; ограничивая значения 𝑥, чтобы они находились в интервале ]7,8[ не влияет на значение предела, что дает нам limlim→→𝑓(𝑥)=(14𝑥+7)=14(7)+7=105. Для существования предела 𝑓(𝑥) при 𝑥=7 оба левых
и правые пределы должны быть равными. Однако мы показали, что они не равны. Следовательно, предела не существует, потому что limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥). В наших следующих нескольких примерах мы покажем существование и найдем значение предела кусочной функции в точке на границе его подобластей. Пример 2. Обсуждение существования предела кусочно-определенной функции в точкеОбсудить существование заданного lim→𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)=|𝑥−2|+3,−2𝑥3,𝑥+6𝑥−27𝑥−3𝑥,3𝑥9. ОтветТак как это кусочно определенная функция и 𝑥=3 находится на границе из двух поддоменов, мы не можем вычислить этот предел прямой подстановкой. Вместо этого напомним, что мы можем определить предел эта функция, поскольку 𝑥 приближается к 3, проверяя, что левый и правый пределы 𝑓(𝑥) существуют и равны. Чтобы оценить предел при приближении 𝑥 к 3 слева, заметим, что когда
−2𝑥3, имеем 𝑓(𝑥)=|𝑥−2|+3. При оценке этого предела значения 𝑥 будут сколь угодно близки к 3,
поэтому мы можем предположить, что −2𝑥3, не затрагивая значение предела. Мы можем оценить предел функций абсолютного значения прямой подстановкой, что даст нам lim→(|𝑥−2|+3)=|3−2|+3=1+3=4. Далее, чтобы оценить lim→𝑓(𝑥), мы можем заметить, что когда 3𝑥9, имеем 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥−27𝑥−3𝑥; это дает нам limlim→→𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥−27𝑥−3𝑥. Поскольку это рациональная функция, мы можем попытаться вычислить ее путем прямой подстановки: 3+6(3)−27(3)−3(3)=00. Это неопределенная форма, поэтому нам нужно упростить рациональную функцию, разложив ее на множители. Напомним, что мы можем сократить общие делители 𝑥−3 в числителе и знаменателе. внутри предела, так как это влияет на значение функции только при 𝑥=3, не тогда, когда 𝑥 произвольно близко к 3 справа: limlimlim→→→𝑥+6𝑥−27𝑥−3𝑥=(𝑥+9)(𝑥−3)𝑥(𝑥−3)=𝑥+9𝑥=3+93=4. Таким образом, мы показали, что левый и правый предел 𝑓(𝑥) в
𝑥=3 существуют и оба равны 4. Следовательно, lim→𝑓(𝑥) существует и равно 4. Пример 3. Нахождение предела кусочно-определенной функции в точкеНайти lim →𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥)=−8+|𝑥+9|,𝑥≠−9,−7,𝑥=−9. ОтветПоскольку это кусочно-определенная функция и 𝑥=−9 находится на границе двух подобластей, мы не можем вычислить этот предел прямой подстановкой. Вместо этого напомним, что мы можем определить предел эта функция при приближении 𝑥 к −9проверив, что слева и справа предел 𝑓(𝑥) существуют и равны. Начнем с lim→𝑓(𝑥). Когда 𝑥>−9, мы знаем, что |𝑥+9|=𝑥+9, поэтому −8+|𝑥+9|=−8+𝑥+9=𝑥+1. Следовательно, когда 𝑥>−9, имеем 𝑓(𝑥)=𝑥+1; это означает, что их пределы при приближении 𝑥 к −9 справа должны быть равными, давая нам limlim→→→𝑓(𝑥)=(−8+|𝑥+9|)=(𝑥+1)=−9+1=−8. Аналогично, когда 𝑥−9, мы имеем −8+|𝑥+9|=−8−(𝑥+9)=−𝑥−17. Это означает
limlim→→→𝑓(𝑥)=(−8+|𝑥+9|)=(−𝑥−17)=−(−9)−17=−8. Так как левый и правый пределы 𝑓(𝑥) существуют и равны до −8, мы можем заключить, что lim→𝑓(𝑥)=−8. В предыдущем примере мы видели, что хотя 𝑓(−9)=−7, его предел как 𝑥 приближается к −9 равно −8. Это пример следующее свойство. Свойство: существование пределаСуществование или значение 𝑓(𝑎) не влияет на существование или значение лим→𝑓(𝑥) В нашем следующем примере мы построим график для определения существования предела обратной функции абсолютного значения в точке. Пример 4. Обсуждение существования предела обратной абсолютной функции в точкеОбсудите существование lim→1|𝑥−2|. Ответ Напомним, что мы можем определить предел этой функции, когда 𝑥 приближается к 2
проверяя, что левый и правый пределы 𝑓(𝑥) в
𝑥=2 существуют и равны. Чтобы определить значение этого предела, мы можем нарисовать
график 𝑦=1|𝑥−2|. Во-первых, мы можем сделать набросок
𝑦=1𝑥−2 как перевод 𝑦=1𝑥 два
единиц вправо, то мы замечаем, что 1|𝑥−2|=|||1𝑥−2|||, поэтому мы отражаем отрицательные части
кривая на оси 𝑥, что дает нам следующее. График будет иметь вертикальную асимптоту при 𝑥=2. Если мы посмотрим на выходы функции слева и справа от 𝑥=2, мы можем видеть, что как значения из 𝑥 приблизиться к 2 с любой стороны, выходы функции будут неограниченно расти. Что касается ограничений, это говорит нам лимандлим→→1|𝑥−2|=∞1|𝑥−2|=∞. Напомним, что если предел равен бесконечности, это означает, что предела не существует. Однако, поскольку левый и правый пределы совпадают, можно сказать, что lim→1|𝑥−2|=∞. Следовательно, lim→1|𝑥−2| не существует, но lim→1|𝑥−2|=∞. В нашем последнем примере мы исследуем предел функции с колебательным поведением. Пример 5. Понимание пределов и колебательного поведенияИсследуйте поведение 𝑓(𝑥)=21𝑥cos так как 𝑥 стремится к 0.
Решение Сначала построим график \(f\) вместе с таблицами значений рядом \(a = -1\) и \(a = -2\text{.
Таблица 1.2.4 Таблица значений \(f\) вблизи \(x=-1\text{.}\) Таблица 1.2.5 Таблица значений \(f\) вблизи \(x=-2\ text{.}\)Рисунок 1.2.6 График \(f(x)\) на \([-4,2]\text{.}\) 92) = 0\text{,}\) и \((x+2) \to (-2 + 2) = 0\text{,}\) так как \(x \to -2\text{,} \) числитель \(f\) стремится к 0, а знаменатель стремится к 0. Мы называем \(0/0\) неопределенной формой и вернемся к нескольким важным вопросам, связанным с такими величинами, позже в курсе. А пока мы просто наблюдаем, что это говорит нам о том, что есть еще какая-то работа. Из таблицы 1.2.5 и рисунка 1.2.6 видно, что \(f\) должен иметь предел \(4\) в точке \(x = -2\text{.}\). Чтобы понять алгебраически, почему это случае, давайте работать непосредственно с формой \(f(x)\text{.}\) Обратите внимание, что 92}{х+2}\\ = \amp \lim_{x \to -2} \frac{(2-x)(2+x)}{x+2}\text{.} \end{align*} На этом этапе важно отметить, что поскольку мы берем предел как \(x \to -2\text{,}\), мы рассматриваем значения \(x\), которые близко, но не равно \(-2\text{. \begin{уравнение*} \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} 2-x\text{.} \end{equation*} Поскольку \(2-x\) является просто линейной функцией, этот предел теперь легко определить, и его значение явно равно \(4\text{.}\) Таким образом, из нескольких точек мы видели, что \(\lim_{x \to -2} f(x) = 4\text{.}\) Далее мы обращаемся к функции \(g\text{,}\) и построить две таблицы и график.
Таблица 1.2.7 Таблица значений \(g\) рядом с \(x=3\text{.}\) Таблица 1.2.8 Таблица значений \(g\) рядом с \(x=0\text{ .}\)Рисунок 1.2.9 График \(g(x)\) на \([-4,4]\text{.}\) Во-первых, как \(x \to 3\text{,} \) из данных (и графика) видно, что функция приближается примерно к \(0,866025\text{.}\). Чтобы быть точным, мы должны использовать тот факт, что \(\frac{\pi}{x} \to \frac{\pi}{3}\text{,}\), и, таким образом, мы находим, что \(g(x) = \sin(\frac{\pi}{x}) \to \sin(\frac {\pi}{3})\) как \(x \to 3\text{. \begin{уравнение*} \lim_{x \to 3} g(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \end{equation*} Поскольку \(x \to 0\text{,}\) мы наблюдаем, что \(\frac{\pi}{x}\) не ведет себя элементарно. Когда \(x\) положителен и приближается к нулю, мы делим на все меньшие и меньшие положительные значения, и \(\frac{\pi}{x}\) неограниченно возрастает. Когда \(x\) отрицательно и приближается к нулю, \(\frac{\pi}{x}\) неограниченно уменьшается. В этом смысле, когда мы приближаемся к \(x = 0\text{,}\), входные параметры синуса быстро растут, и это приводит к диким колебаниям на графике \(g\text{.}\ ) Поучительно построить график функции \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) с помощью графической утилиты, а затем увеличить \(x = 0 \text{.}\) Это показывает, что функция никогда не достигает единственного значения вблизи начала координат, и предполагает, что \(g\) не имеет предела в \(x = 0\text{. Эта последовательность данных предполагает, что значение предела равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\) Очевидно, что функция не может иметь два разных значения для предела, и это показывает, что \(g\) не имеет предела, поскольку \(x \to 0\text{.}\) Важный урок, который можно извлечь из примера 1.2.3, заключается в том, что таблицы могут вводить в заблуждение при определении значение лимита. Хотя таблица значений полезна для исследования возможного значения предела, мы также должны использовать другие инструменты для подтверждения значения, если мы думаем, что таблица предполагает существование предела. 93 – 8}{х}\) На этом заканчивается довольно длинное введение в понятие пределов. Важно помнить, что наше основное побуждение к рассмотрению пределов функций проистекает из нашего интереса к изучению скорости изменения функции. Подраздел 1.2.2 Мгновенная скоростьПредположим, что у нас есть движущийся объект, положение которого в момент времени \(t\) задано функцией \(s\text{.}\). Мы знаем, что средняя скорость объекта на интервале времени \([a, b]\) равно \(AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Определим мгновенную скорость при \(a \) быть пределом средней скорости по мере того, как \(b\) приближается к \(a\text{.}\). Обратите внимание, что при \(b \to a\text{,}\) длина временного интервала становится короче и короче (всегда включая \(a\)). В разделе 1.3 мы введем полезное сокращенное обозначение для представления мгновенной скорости изменения. Сейчас мы будем писать \(IV_{t=a}\) для мгновенной скорости в точке \(t = a\text{,}\) и, таким образом, \begin{уравнение*}
IV_{t=a} = \lim_{b \to a} AV_{[a,b]} = \lim_{b \to a} \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text {. Эквивалентно, если мы думаем об изменении значения \(b\) как о форме \(b = a + h\text{,}\), где \(h\) – небольшое число, тогда мы можем вместо этого написать \begin{уравнение*} IV_{t=a} = \lim_{h \to 0} AV_{[a,a+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h)-s(a)}{ ч}\текст{.} \end{уравнение*} Опять же, самая важная идея здесь заключается в том, что для вычисления мгновенной скорости мы берем предел средних скоростей по мере сокращения временного интервала. Два разных вида деятельности дают возможность глубже изучить эти идеи и роль ограничений. 92\text{,}\) где \(s\) измеряется в метрах, а \(t\) измеряется в минутах.
В заключительном задании этого раздела вам будет предложено провести некоторые связи между средней скоростью, мгновенной скоростью и наклоном определенных линий. Мероприятие 1.2.4Для движущегося объекта, положение которого \(s\) в момент времени \(t\) указано на графике ниже, ответьте на каждый из следующих вопросов. Предположим, что \(s\) измеряется в футах, а \(t\) измеряется в секундах.
Рисунок 1.2.10 График функции положения \(y = s(t)\) в Упражнении 1.2.4. Подраздел 1.2.3 Резюме
Подраздел Упражнения¶1 Пределы на кусочном графе2 Численная оценка предела3 Пределы для кусочной формулы4 Оценка предела алгебраически592-4}\текст{.}\)6Пусть \(g(x) = -\frac{|x+3|}{x+3}\text{.}\)
7 Для каждого из следующих запросов нарисуйте график на предоставленных осях функции, которая имеет указанные свойства. |