Предел функции теория: Предел функции в точке — урок. Алгебра, 10 класс. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

объяснение, теория, примеры решений. а. База; определение и основные примеры

Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.

а. База; определение и основные примеры

Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:

Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.

Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.

Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо

Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.

то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).

Запись будет употребляться вместо

При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать

Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.

Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру

b. Предел функции по базе

Определение 12. Пусть – функция на множестве X; В – база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности

Если А – предел функции по базе В, то пишут

Повторим определение предела по базе в логической символике:

Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:

В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).

Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.

Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:

или, что то же самое,

Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать

Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.

Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого

Определение 14. Функция называется ограниченной при базе В или финально ограниченной при базе В, если существуют число с и такой элемент базы, в любой точке которого

Определение 15. Функция называется бесконечно малой при базе В, если

После этих определений и основного наблюдения о том, что для доказательства теорем о пределах нужны только свойства базы, можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2, справедливы для пределов по любой базе.

В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при или при или при

Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории пределов и в том случае, когда функции будут определены не на числовых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К примеру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом предельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например для окружности.

В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.

Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.

Начнем с общих вещей, которые ОЧЕНЬ важны, но мало кто обращает на них внимание.

Предел функции – основные понятия.

Бесконечность обозначают символом . По сути, бесконечность это есть либо бесконечно большое положительное число , либо бесконечно большое отрицательное число .

Что это означает: когда Вы видите , то не имеет разницы это или . Но лучше не заменять на , равно как и лучше не заменять на .

Записывать предел функции f(x) принято в виде , снизу указывается аргумент x и через стрелочку к какому значению он стремится.

Если представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке .

Если или . то говорят о пределе функции на бесконечности .

Сам предел может быть равен конкретному действительному числу , в этом случае говорят, что предел конечен .

Если , или , то говорят, что предел бесконечен .

Еще говорят, что предел не существует , если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение (, или ). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.

Предел функции – основные определения.

Пришло время заняться нахождением значений пределов функций на бесконечности и в точке. В этом нам помогут несколько определений. Эти определения опираются на числовые последовательности и их сходимость или расходимость .

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А .

Обозначается .

Замечание.

Предел функции f(x) при бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается .

Пример.

Используя определение предела при доказать равенство .

Решение.

Запишем последовательность значений функции для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента .

Очевидно, что члены этой последовательности монотонно убывают к нулю.

Графическая иллюстрация.

Теперь запишем последовательность значений функции для бесконечно большой отрицательной последовательности значений аргумента .

Члены этой последовательности также монотонно убывают к нулю, что доказывает исходное равенство.

Графическая иллюстрация.

Пример.

Найти предел

Решение.

Запишем последовательность значений функции для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента. К примеру, возьмем .

Последовательность значений функции при этом будет (синие точки на графике)

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой положительной, следовательно,

А сейчас запишем последовательность значений функции для бесконечно большой отрицательной последовательности значений аргумента. К примеру, возьмем .

Последовательность значений функции при этом будет (зеленые точки на графике)

Очевидно, что эта последовательность сходится к нулю, следовательно,

Графическая иллюстрация

Ответ:

Сейчас поговорим о существовании и нахождении предела функции в точке. Все основывается на определении односторонних пределов . Без вычисления односторонних пределов не обойтись при .

Определение (нахождение предела функции слева).

Число В называется пределом функции f(x) слева при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются меньше а (), последовательность значений этой функции сходится к В .

Обозначается .

Определение (нахождение предела функции справа).

Число В называется пределом функции f(x) справа при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются больше а (), последовательность значений этой функции сходится к В .

Обозначается .

Определение (существование предела функции в точке).

Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой.

Замечание.

Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа а бесконечны.

Поясним эти определения на примере.

Пример.

Доказать существование конечного предела функции в точке . Найти его значение.

Решение.

Будем отталкиваться от определения существования предела функции в точке.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2 , поэтому .

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2 , поэтому .

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, по определению существует предел функции в точке , причем

Графическая иллюстрация.

Продолжить изучение основных определений теории пределов рекомендуем темой .

Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.

Понятие предела по Коши

Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или

$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$

Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.

Геометрический смысл

Геометрический смысл предела функции

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.

Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.

Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.

Определение предела по Гейне

Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%. n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.

Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x”_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

для которой %%\lim{x”_n} = +0%%, %%f(x”_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x”_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x””_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x””_n)\big\} = -1%%.

Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.

Теорема

Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Определение 1. ПустьЕ – бесконечное множество. Если любая окрестностьсодержит точки множестваЕ , отличные от точкиа , тоа называетсяпредельной точкой множестваЕ .

Определение 2. (Генрих Гейне (1821-1881)). Пусть функция
определена на множествеХ иА называетсяпределом функции
в точке(или при
, если для любой последовательности значений аргумента
, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функциисходится к числуА . Пишут:
.

Примеры . 1) Функция
имеет предел, равныйс , в любой точке числовой прямой.

Действительно, для любой точки и любой последовательности значений аргумента
, сходящейся ки состоящей из чисел, отличных от, соответствующая последовательность значений функции имеет вид
, а мы знаем, что эта последовательность сходится кс . Поэтому
.

2) Для функции

.

Это очевидно, так как если
, то и
.

3) Функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке.

Действительно, пусть
и
, причем все– рациональные числа. Тогда
для всехn , поэтому
. Если же
и все– иррациональные числа, то
для всехn , поэтому
. Мы видим, что условия определения 2 не выполняются, поэтому
не существует.

4)
.

Действительно, возьмем произвольную последовательность
, сходящуюся к

числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.

Определение 3. (Коши (1789-1857)). Пусть функция
определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называетсяпределом функции
в точке(или при
, если для любого
найдется
, такое, что для всех значений аргументах , удовлетворяющих неравенству

справедливо неравенство

Пишут:
.

Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а:

пусть функция
определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называется пределом функции
в точке, если для любой-окрестности точкиА
найдется проколотая- окрестность точки
,такая, что
.

Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.

Пример 5.
.

Действительно, возьмем
произвольно и найдем
, такое, что для всехх , удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
. Последнее неравенство равносильно неравенству
, поэтому видим, что достаточно взять
. Утверждение доказано.

Справедлива

Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство . 1) Пусть
по Коши. Докажем, что это же число является пределом и по Гейне.

Возьмем
произвольно. Согласно определению 3 существует
, такое, что для всех
выполняется неравенство
. Пусть
– произвольная последовательность такая, что
при
. Тогда существует номерN такой, что для всех
выполняется неравенство
, поэтому
для всех
, т.е.

по Гейне.

2) Пусть теперь
по Гейне. Докажем, что
и по Коши.

Предположим противное, т.е. что
по Коши. Тогда существует
такое, что для любого
найдется
,
и
. Рассмотрим последовательность
. Для указанного
и любогоn существует

и
. Это означает, что
, хотя
, т.е. числоА не является пределом
в точкепо Гейне. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Теорема 2 (о единственности предела). Если существует предел функции в точке, то он единственный.

Доказательство . Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.

Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим

Определение 4. Говорят, что функция
удовлетворяет условию Коши в точке, если для любого
существует

, таких, что
и
, выполняется неравенство
.

Теорема 3 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы функция
имела в точкеконечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция удовлетворяла условию Коши.

Доказательство .Необходимость

. Пусть
.

Надо доказать, что
удовлетворяет в точкеусловию Коши.

Возьмем
произвольно и положим
. По определению предела длясуществует
, такое, что для любых значений
, удовлетворяющих неравенствам
и
, выполняются неравенства
и
. Тогда

Необходимость доказана.

Достаточность . Пусть функция
удовлетворяет в точкеусловию Коши. Надо доказать, что она имеет в точкеконечный предел.

Возьмем
произвольно. По определению 4 найдется
, такое, что из неравенств
,
следует, что
– это дано.

Покажем сначала, что для всякой последовательности

, сходящейся к, последовательность
значений функции сходится. Действительно, если
, то, в силу определения предела последовательности, для заданного
найдется номерN , такой, что для любых

и
. Поскольку
в точкеудовлетворяет условию Коши, имеем
. Тогда по критерию Коши для последовательностей последовательность
сходится. Покажем, что все такие последовательности
сходятся к одному и тому же пределу.

Предположим противное, т.е. что есть последовательности
и
,
,
, такие, что. Рассмотрим последовательность. Ясно, что она сходится к, поэтому по доказанному выше последовательностьсходится, что невозможно, так как подпоследовательности
и
имеют разные пределыи. Полученное противоречие показывает, что=. Поэтому по определению Гейне функция имеет в точкеконечный предел. Достаточность, а значит и теорема, доказаны.

Предел

Предел, одно из основных понятий математики. Предел — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие Предел числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия Предел функции, Предел последовательности точек пространства, Предел интегральных сумм.

Предел последовательности. Пусть задана последовательность действительных чисел x_n, n = 1, 2,… Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа e > 0 существует такой номер n_e, что для всех номеров n ³ n_e выполняется неравенство |x_n — a| < e. В этом случае пишется

(lim — первые буквы латинского слова limes), или
x_n ® a при n ® ¥.

Если последовательность имеет Предел, то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1, 2,…, сходится и имеет своим Предел число 0. Не всякая последовательность имеет Предел, например последовательность 1, —1, 1,…, (—1) ⁿ⁺¹,… не имеет Предел Последовательность, не имеющая Предел, называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности Предел, равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.
Для Предел последовательностей имеют место формулы
(c – постоянная)

Эти формулы справедливы в предположении, что Предел, стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для Предел частного x_n/y_n надо ещё дополнительно потребовать, чтобы . Если x_n£ y_n и последовательности x_n и y_n, n = 1, 2,… сходятся, то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из x_n< y_nне вытекает , например, 1/n > 0, n = 1, 2,. .. однако ). Если и x_n£ z_n £ y_n, то последовательность z_n, n = 1, 2,…, сходится к тому же Предел:

Последовательность a_n, n = 1, 2,…, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие Предел последовательности сводится к понятию бесконечно малой). Так, например, последовательность ¹/₂, ²/₃, ³/₄,…, n/(n + 1),… имеет своим Предел единицу, поскольку разность 1 — n/(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,… является бесконечно малой последовательностью.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через a_n приближённое значение его корня (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то a_n £ a_n+1 £ , n = 1, 2, …, поэтому последовательность a_n, сходится, причём из неравенства 0 £ – a_n £ 10^-n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.

Для того чтобы сходилась произвольная последовательность x_n, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер N_e, что для всех номеров m ³ N_e и n ³ N_eвыполняется неравенство |x_n — x_m| < e.

Если последовательность x_n, n = 1, 2,…, такова, что для числа e > 0 существует такой номер n_e, что для всех номеров n ³ n_e выполняется неравенство |x_n| > e, то последовательность x_n, называется бесконечно большой и пишется

Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер n_e, что x_n> e (соответственно x_n< -e) для всех n ³ n_e, то пишется (соответственно )

Эти Предел называются бесконечными. Например, . В случае же последовательности n², n = 1, 2, …,, можно написать не только но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные Предел переносятся далеко не все свойства конечных Предел Например, последовательности x_n = n и y_n= — n бесконечно большие, а последовательность x_n+ y_n,, n = 1, 2,. .., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных Предел последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный Предел последовательности x_n, n = 1, 2,…, называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается (соответственно ). Например,

Последовательность имеет конечный или бесконечный Предел тогда и только тогда, когда её верхний Предел совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её Предел Конечный верхний Предел последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

Предел функции. Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀. Функция f имеет Предел в точке x₀, если для любой последовательности точек x_n, n = 1, 2,…, x_n¹ x₀, стремящейся к точке x₀, последовательность значений функции f (x_n) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x₀, (или при x ® x₀) при этом пишется

или
f (x) ® A при x ® x₀

В силу этого определения на Предел функций переносятся свойства Предел суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение Предел функции можно сформулировать и не прибегая к понятию Предел последовательности: число А называется пределом функции f в точке x₀, если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х ¹ x₀, удовлетворяющих условию ½х — x₀½ < d, x ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x) — A½ < e.

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х^a, показательная функция a^x, тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют Предел, совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция
,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x²), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет Предел, равный 1, ибо f (x) = 1 + x²при x ¹ 0. Этот Предел не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же
, x ¹ 0,

вовсе не имеет Предел при х ® 0, ибо уже для значений x_n= 1/(p/2 + pn) последовательность соответствующих значений функции f (x_n) = (–1) ⁿ не имеет Предел

Если Предел функции при х ® х₀ равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х₀. Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х₀ Предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = A + a(x), где a(х) является бесконечно малой при х ® х₀

Если при определении Предел функции f в точке x₀ рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x₀, то получающийся Предел называется пределом слева (справа) и обозначается (соответственно ).

Функция имеет Предел в некоторой точке, если её Предел слева в этой точке равен её Предел справа. Понятие Предел функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:
, ,
Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x) – А½ < e.

Примером функций, всегда имеющих Предел, являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный Предел как слева, так и справа; в точке в Предел справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b Предел слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к Предел может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x) = x при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования Предел функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x₀ Предел в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х” и х””, удовлетворяющих условию ½х’ – x₀ ½ < d, ½x”” — x₀½ < d, x” ¹ x₀, x”’ ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x”” ) — f (x”)½ < e.

Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных Предел вида , , и т.д.; в этих случаях функция f называется бесконечно большой при х ® х₀, При х ® х₀+ 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x) > e.

Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x₀ такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению Предел функции, заданной в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, определяется понятие предела функции по множеству Е
,

для этого следует лишь в определении Предел всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е. Предел последовательности x_n, n = 1, 2,…, является при таком определении понятия Предел частным случаем Предел функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n) = x_n, n = 1, 2,….

Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет Предел при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет Предел, равный нулю. Понятие Предел числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о Предел в данном направлении, о Предел по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие Предел и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие Предел возникает при определении интеграла. Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b]. Совокупность {x_i} таких точек x_i, что
a = x₀ < x₁<… < x_i<… < x_n-1< x_n= b,

наз. разбиением отрезка [a, b]. Пусть x_i-1£ x_I < x_i, Dx_i = x_i – x_i-1, i = 1, 2,…, n. Тогда сумма f (x₁)Dx₁+ f (x₂)Dx₂+. .. + f (x_n)Dx_n называется интегральной суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:
,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi} отрезка [a, b], для которого Dx_i < d, и каковы бы ни были точки x_i, x_i-1_{£ x_I£ x_i, i = 1, 2,…, n, выполняется неравенство
½f (x₁)Dx₁+ f (x₂)Dx₂+… + f (x_n)Dx_n– A| < e.
Понятие Предел интегральных сумм может быть введено и с помощью Предел последовательности.}

Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия Предел естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие Предел Например, можно ввести понятие Предел, обобщающее как понятие Предел функции, так и понятие Предел интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений А Ì В или B Ì A и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f (x) — а| < e. При определении Предел функции f в точке x₀ за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х₀. При определении Предел интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [а, b], следует рассмотреть множество Е, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными в них точками x_i. Подмножества E_h множества Е, отвечающие разбиениям, длины Dx_i, отрезков которых не превышают h, образуют направление. Предел интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

Понятие Предел обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения Предел решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f (x), меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х₀ сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях Предел является понятие близости объектов х и x₀, f (x) и А, которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению Предел можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

Встречаются, однако, понятия Предел др. природы, не связанные с топологией, например понятие Предел последовательности множеств. Последовательность множеств A_n, n = 1, 2,…, называется сходящейся, если существует такое множество А, называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам A_n, начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множеств A_n, не принадлежащая A, принадлежит лишь конечному числу A_n.

Историческая справка. К понятию Предел вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории Предел Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие Предел не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия Предел наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, Предел Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия Предел появляются попытки создать общую теорию Предел Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории Предел под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о Предел Понятие Предел, намечавшееся у математиков 17 в. , в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д”Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

Современная теория Предел начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. Коши понятие Предел стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования Предел последовательностей, основные теоремы о Предел и. что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как Предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие Предел последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия Предел следует отметить понятия Предел, данные в работах С. О. Шатуновского (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

Лит.: Александров Предел С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.
Л. Д. Кудрявцев.

>> >> >> >>

Статья про “Предел” в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 448 раз

Пределы

формат pdf
размер 541.29 КБ
добавлен 13 декабря 2015 г.

Л.А. Альсевич, С.Г. Красовский, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. — Минск: БГУ, 2011. — 58 с. Пособие содержит основные теоретические сведения о последовательностях и их свойствах и предлагает основные приемы нахождения пределов последовательностей. Изложение материала иллюстрируется подробно разобранными примерами. В пособие включены упражнения, снабженные ответами. Кроме того, приводятся начальные понятия о методе математической индукции и формула…

Практикум

формат pdf
размер 568,08 КБ
добавлен 15 сентября 2015 г.

Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2015. — 26 с. Предел функции при х→∞ Предел функции при х→а Односторонние пределы Бесконечно малые функции и их свойства Бесконечно большие функции и их свойства Основные теоремы о пределах функций Замечательные пределы Решение типовых задач Список использованной литературы

формат pdf
размер 10,27 МБ
добавлен 08 апреля 2011 г.

Интернет-издание, 2011. — 70 с. Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не “чайникам”, а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Так чем же эта книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не “заумный”; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет суще…

формат pdf
размер 3.6 МБ
добавлен 17 апреля 2011 г.

Интернет-издание, 2011. – 14 с. Данная книга посвящена решению контрольной работы №1 за первый семестр. В книгу включены разделы, такие как «Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного», «Дифференциальное исчисление функций и его приложение» и «Интегральное исчисление функции одного переменного». В каждой теме даны несколько базовых заданий.

Практикум

формат pdf
размер 572,38 КБ
добавлен 13 марта 2013 г.

Методические указания к выполнению типового расчета. – 3-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 30 с. Методические указания составлены в соответствии с программами курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и предназначены для студентов дневного отделения всех специальностей Ульяновского государственного технического университета. Изложена методика выполнения типового расчета по теме «Пределы» и даны об…

degree

формат doc, rtf
размер 645.02 КБ
добавлен 12 октября 2009 г.

В любом разделе курса, в том числе и в теории пределов, преподаватель математики обязан учить владению понятиями, поискам обоснованиями новых фактов, пониманию рассуждений, логике и приемам доказательств. К каждому занятию методической разработки предлагается набор задач и упражнений для закрепления теории и домашнего задания. Преподаватель по своему усмотрению может сократить их число или увеличить. Дополнительные упражнения даются в конце занят…

Практикум

формат pdf
размер 2,93 МБ
добавлен 1 апреля 2015 г.

Методические указания к выполнению типового расчета. Москва, изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. – 62 с.: ил. Содержание: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Достаточное условие сходимости последовательностей. Число Эйлера e. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Предел отношения многочленов и некоторых иррациональных выражений. Раскрытие неопределенностей с иррациональными выражени. ..

Практикум

формат pdf
размер 423,28 КБ
добавлен 18 сентября 2016 г.

Липецк : ЛГТУ(Э), 2012. — 64 с. Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по пределам. В типовом расчете 15 заданий, в которых отражены основные приемы вычисления пределов.

Практикум

формат djvu
размер 1,27 МБ
добавлен 16 января 2015 г.

Учеб. пособие. — М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2005. — 54 с. — ISBN 5-7237-0492-3 Предложен цикл практических занятий для изучения и овладения навыками вычисления одного из основных понятий математического анализа – предела. Рекомендуется студентам вузов, изучающим высшую математику. Содержание Введение Предел функции Предел последовательности Предел функции в точке Односторонние пределы Бесконечные пределы Свойства предела Некоторые приемы вычи…

формат pdf
размер 1,00 МБ
добавлен 13 августа 2013 г.

Учебно-методическое пособие. — М.: МФТИ, 2011. — 66 с. В методическом пособии изложены практические приемы представления функций формулой Тейлора, а также приемы вычисления пределов функций с использованием формулы Тейлора. Рассмотрено большое количество примеров. Кратко приведены необходимые теоретические сведения, в том числе в компактной форме представлены таблицы представлений формулой Маклорена основных элементарных функций для представления. ..

формат pdf
размер 377,99 КБ
добавлен 02 декабря 2010 г.

Московский физико-технический институт. Москва 2006. Учебно-методическое пособие. Пособие содержит множество примеров вычисления пределов функций с помощью формулы Тейлора. Будет полезно студентам первого курса технических университетов.

формат djvu
размер 1.31 МБ
добавлен 24 февраля 2016 г.

М.: Наука, 1968. — 88 с. Настоящий выпуск серии «Библиотечка физико-математической школы» посвящен понятию предела, которое справедливо считается самым трудным в школьной программе. Тем более трудно освоиться с этим понятием самостоятельно, по книжке. Однако, как показывает опыт Заочной математической школы при МГУ, большинство школьников могут справиться с этой задачей. Книжка написана в форме задачника, но она может одновременно служить и уче…

формат pdf
размер 1,08 МБ
добавлен 1 апреля 2015 г.

Методические указания. — Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 41 с. — ISBN: 978-5-7038-4040-5 Методические указания к выполнению домашнего задания по математическому анализу. Изложены краткие теоретические сведения, примеры с подробными объяснениями, задачи для самостоятельного решения. Представлены основы математического анализа. Задачи рассмотрены с позиций анализа элементарных функций. Указания носят справочный характер, они по…

формат pdf
размер 604,83 КБ
добавлен 04 августа 2013 г.

Сборник задач. – Хабаровск: ДВГУПС, 2011. – 80 с. Данное пособие соответствует государственному образователвному стандарту курса математического анализа по разделам: предел и непрерывность функции одного переменного. Большая часть задач в пособии сопровождается решениями, поэтому оно может быть полезно при самостоятельном изучении предмета. Предназначено для студентов специальности “Информационные системы и технологии” дневной формы обучения. Вве…

формат pdf
размер 3,29 МБ
добавлен 02 ноября 2009 г.

Издательство Московского университета 2002 Издание осуществлено в авторской редакции 62 страницы Предел в R Обсуждение основного определения Исчезающие последовательности Бесконечный предел Арифметические теоремы Свойства предела, связанные с неравенствами Частичные пределы. Верхний и нижний пределы Критерий Коши Предел комплексной последовательности Аппроксимативный смысл предела

формат pdf
размер 944,74 КБ
добавлен 1 апреля 2015 г.

Методические указания. — Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 25 с. — ISBN: 978-5-7038-4038-2. Методические указания к выполнению домашнего задания по математическому анализу. Изложены краткие теоретические сведения и представлены основы математического анализа бесконечно малых и бесконечно больших. Приведены примеры с подробными объяснениями и задачи для самостоятельного решения. Примеры и задачи рас-смотрены с позиций раскрытия…

формат doc
размер 91,88 КБ
добавлен 29 марта 2011 г.

Краткое руководство по типам решения пределов. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел

Презентация

формат ppt
размер 890,09 КБ
добавлен 04 марта 2016 г.

Национальный исследовательский Томский политехнический университет. Презентация к докладу. Горшков Д.А. 11 слайдов. 2016г. Исторические замечания Определение Теоремы о пределах Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Контрольная работа

формат doc
размер 242,94 КБ
добавлен 15 марта 2010 г.

Решено 20 примеров. Тема: пределы. Пределы числовых последовательностей. Пределы функций. Непрерывность в точке.

Статья

формат doc
размер 56,01 КБ
добавлен 03 апреля 2011 г.

9 с. Вводятся понятия: Предел числовой последовательности. Предел функции. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие. Непрерывность функций. Точки разрыва. Приводятся основные теоремы (без доказательств) о пределах и непрерывности. Даются примеры использования теорем для вычислений пределов.

Контрольная работа

формат doc
размер 116,25 КБ
добавлен 23 декабря 2012 г.

Выходные данные неизвестны. – 14 с. Дисциплина: Высшая математика. Содержание: Предел числовой последовательности. Предел функции. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых величин. Литература.

формат pdf
размер 8,26 МБ
добавлен 28 июля 2015 г.

Учебное пособие. – М.: МГУПС (МИИТ), 2014. – 30с. Настоящий курс лекций предназначен для студентов – бакалавров ИТТСУ. Он содержит в себе три темы: «Теория пределов. Непрерывные функции», «Дифференцирование функции одной переменной», «Исследование функции с помощью производной». Кроме того в нём содержатся примеры тестовых заданий, предлагавшиеся студентам прошлых лет при проверке остаточных знаний (тестирование ФИПИ), относящиеся к рассматриваем…

формат pdf
размер 16,93 МБ
добавлен 11 августа 2015 г.

Учебное пособие. – М.: МГУПС (МИИТ), 2014. – 76с. Настоящий курс лекций предназначен для студентов-бакалавров ИТТСУ. Он содержит в себе три темы: «Теория пределов. Непрерывные функции», «Дифференцирование функции одной переменной», «Исследование функции с помощью производной». Кроме того в нём содержатся примеры тестовых заданий, предлагавшиеся студентам прошлых лет при проверке остаточных знаний (тестирование ФИПИ), относящиеся к рассматриваемой…

Практикум

формат pdf
размер 5,75 МБ
добавлен 19 октября 2016 г.

Вучэбна—метадычны дапаможнік. — Мінск: БДПУ, 2000. — 43 с. Вучэбна—метадычны дапаможнік прызначаны для арганізацыі самастойнай працы студэнтаў і падрыхтоўкі іх да лабарторных і практычных заняткаў. Адрасаваны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў. Лікавая паслядоўнасць і яе ўласцівасці. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Вылічэнне лімітаў лікавых паслядоўнасцей. Збежнасць манатоннай паслядоўнас…

формат image
размер 25,10 МБ
добавлен 28 февраля 2012 г.

Москва: ОЛ ВЗМШ, 2003. – 104 с. Понятие предела – основное понятие математического анализа. В этом учебном пособии дано систематическое изложение теории пределов на уровне, доступном широкому кругу читателей. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров и задач для самостоятельного решения. Пособие предназначено для школьников (при изучении раздела “Алгебра и начала анализа” из школьного курса) и для студентов нематематическ…

формат pdf
размер 569,04 КБ
добавлен 20 февраля 2015 г.

Учебно-методическое пособие. — Новосибирск.: Изд. НГПУ, 2012. — 98 с. — ISBN 978-5-85921-904-9, (Интерактивное меню). В книгу вошли материалы лекций по основам математического анализа, читавшихся автором на математическом факультете НГПУ, в I-ом семестре (17 лекций). Содержание охватывает темы “Множество вещественных чисел”, “Предел числовой последовательности”, “Предел и непрерывность функций”. Пособие адресовано студентам математического факул…

формат doc
размер 867,21 КБ
добавлен 07 августа 2012 г.

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Национальный исследовательский университет, Нижний Новгород, 2012. Введение Переменные величины и функции Теория пределов Непрерывные функции (продолжение)

формат pdf
размер 29,06 МБ
добавлен 1 апреля 2015 г.

Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 181 с. — ISBN 978-5-7038-3694-1. В учебном пособии приведены теоретические сведения из введения в математический анализ, даны решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения. Для студентов 1-го курса. Содержание. Функции одной переменной. Основные определения и простейшие свойства. Понятие функции. Обратные и сложные функции. Элементарные функции. Пределы. Предел числовой…

Практикум

формат pdf
размер 308,19 КБ
добавлен 19 октября 2012 г.

Кемерово: КГТУ, 2009. -32с. Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей. Помимо теории в пособии рассмотрено достаточное количество примеров.

формат video
размер 73,27 МБ
добавлен 12 октября 2011 г.

1 часть видео-лекции по разделам математического анализа – функция, предел функции. Подготовлена Северо-Западным государственным заочным техническим униветситетом (СЗТУ). Лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Александр Алексеевич. Видео в формате .flv можно открыть с помощью KMPlayer или любым другим медиа-плеером

формат video
размер 69,15 МБ
добавлен 08 ноября 2011 г.

2 часть видео-лекции по разделам математического анализа – функция, предел функции. Подготовлена Северо-Западным государственным заочным техническим униветситетом (СЗТУ). Лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Александр Алексеевич. Видео в формате .flv можно открыть с помощью KMPlayer или любым другим медиа-плеером

формат doc
размер 357,67 КБ
добавлен 09 июня 2013 г.

Вучэбна-метадычны дапаможнік. – Мінск, БДПУ ім. М. Танка, 2004, 41 с. Лікавая паслядоўнасць і яе ўласцівасці. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежнасць манатонай паслядоўнасці. Канечны ліміт функцыі ў канечным пункце. Канечныя ліміты функцыі на бясконцасці. Ліміт функцыі на мностве. Аднабаковыя ліміты.

Шпаргалка

формат doc
размер 147,80 КБ
добавлен 28 декабря 2011 г.

Шпаргалка на контрольную по вышмату.Теория.Основные теоремы о пределах.Признаки существования пределов.Первый и второй замечательный пределы.Непрерывные функции.Точки разрыва.Свойства функций,непрерывных на отрезке.

Практикум

формат doc
размер 368,15 КБ
добавлен 23 октября 2013 г.

Ульяновск: УлГУ, 2007. — 23 с. Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления. Подробно рассмотрены все основные примеры заданий по теме: “Пределы”

Кадлаг Функции | Теория стохастических пределов: введение для эконометриков

Фильтр поиска панели навигации Oxford Academic Теория стохастических пределов: введение для эконометриков (2-е изд.)Econometrics and Mathematical EconomicsBooksJournals Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Расширенный поиск

Иконка Цитировать Цитировать
Разрешения
Делиться
- Твиттер
- Подробнее

Cite

Davidson, James,

‘Càdlàg Functions’

Stochastic Limit Theory: An Introduction for Econometricians

, 2nd edn

(

Oxford,

2021;

online edn,

Oxford Academic

, 18 ноября 2021 г.

), https://doi.org/10.1093/oso/9780192844507.003.0030,

, по состоянию на 8 октября 2022 г.

Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

Закрыть

Advanced Search

Abstract

В этой главе рассматривается пространство D функций на единичном интервале, непрерывных справа и с левыми пределами, известных как функции Кадлага. D содержит и расширяет пространство C , но является неразделимым в единой метрике, поэтому для работы с ним требуются новые методы. Задав новую топологию для D (топологию Скорохода), можно построить семейства мер на D и указать достаточные условия слабой сходимости процессов частичных сумм.

Ключевые слова: метрика Биллингсли, càdlàg, метрика Прохорова, топология Скорохода, пространство D, теснота, слабая сходимость в D

Предмет

Эконометрика и математическая экономика

В настоящее время у вас нет доступа к этой главе.

Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов:

Доступ на основе IP

Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией.

Войдите через свое учреждение

Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

Нажмите Войти через свое учреждение.
Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
При посещении сайта учреждения используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

Войти с помощью читательского билета

Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

Члены общества

Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов:

Войти через сайт сообщества

Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале:

Щелкните Войти через сайт сообщества.
При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

Вход через личный кабинет

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. Смотри ниже.

Личный кабинет

Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

Просмотр учетных записей, вошедших в систему

Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы:

Просмотр вашей личной учетной записи и доступ к функциям управления учетной записью.
Просмотр институциональных учетных записей, предоставляющих доступ.

Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции. Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю.

Ведение счетов организаций

Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью. Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д.

Покупка

Наши книги можно приобрести по подписке или приобрести в библиотеках и учреждениях.

Информация о покупке

функций и непрерывность.

Предпосылки для исчисления | Автор Каспер Мюллер Олег Александров / Wikimedia Commons

Это первая статья из серии небольших статей, предназначенных для того, чтобы преподавать математический анализ с нуля в дружеской форме, начиная с самых основ.

Исчисление может показаться пугающим для некоторых, потому что оно означает скачок в математической зрелости от базовой алгебры и арифметики к теории функций, однако на самом деле это красивый, полезный и не такой уж сложный предмет, если вы потратите время на понимание самых основ. об этом в первую очередь.

Когда я впервые изучал ее, я помню, что был взволнован, потому что до этого я чувствовал, что весь предмет математики был довольно скучным (очевидно, я не имел первого представления о том, что такое математика на самом деле). Но мне было достаточно простых уравнений и сокращений. Потом я узнал о деривативах, и мне сразу стало интересно.

Исчисление очень полезно и может решить проблемы, которые мы просто не можем решить без него. Вы получаете почти волшебное чувство, когда решаете задачи с исчислением. Если вы зададите правильные вопросы, вы будете руководствоваться аргументами, пока не придете к решению. Но как всегда ты do нужно знать, что на самом деле происходит под капотом, так сказать.

В математике наборы — это специальные объекты, имеющие фундаментальное значение для всей математики. Чем на самом деле является множество, это долгая история, поэтому нам достаточно думать о множествах (наивно) как о наборах элементов. Примеры наборов включают числовые наборы, такие как целые числа, действительные числа и конечные наборы, такие как набор {1, 2, 3}, содержащий числа 1, 2 и 3. Мы также можем иметь наборы векторов, функций, точек, и т. д.

Набор A содержит элемент a записывается как a ∈ A.

Подмножество A множества B записывается как A ⊂ B, и это просто означает, что для всех x мы имеем x ∈ A => x ∈ B. Другими словами: если x является элементом A, то x является элементом B.

Например, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3}.

В исчислении мы обычно изучаем функции действительных или комплексных чисел. В этой серии, если не указано иное, я буду считать, что функций 9.0075 реальное, то есть от подмножества действительных чисел к действительным числам.

Комплексное исчисление (называемое комплексным анализом) — совершенно другое дело.

Однако мы не будем полностью свободны от комплексных чисел, потому что они будут играть важную роль позже, но я познакомлю вас с ними, когда мы доберемся до этого.

Исчисление касается функций. Поэтому имеет смысл убедиться, что мы правильно понимаем функции, прежде чем двигаться дальше.

Мы не будем вдаваться в теоретико-множественное определение функций, вместо этого мы будем думать о них с более высокого и более интуитивного уровня.

С функцией f связаны два важных набора. Домен и кодовый домен. Вы должны думать о f как о правиле, которое берет элемент из домена и выводит один и только один элемент из кодового домена.

Если мы обозначим область определения функции f через A и кодовую область f через B , то мы обычно обозначаем это более кратко через f: A → B.

Иногда мы пишем правило, что функция применяется явно, например. f : ℝ→ℝ определяется как f(x)=2x, , где ℝ — множество действительных чисел.

Функции могут иметь множество различных свойств. В исчислении мы обычно предполагаем, что функции, с которыми мы работаем, являются непрерывными .

Расплывчато и неформально написанная функция называется непрерывной, если на ее графике нет резкого скачка, а график связен.

Функция называется разрывной при значении a , если на графике имеется скачок в точке и .

Mktyscn / Wikimedia Commons

Выше приведен классический пример разрывной функции.

Другим примером является хорошо известная функция f(x) = 1/x , которая имеет разрыв в точке x=0 . Обратите внимание, что на этот раз между «концами» графа нет конечного расстояния. Поэтому нам нужно понятие непрерывности, чтобы понять и эти сценарии.

Qualc1 / Wikimedia Commons

Я дал вам интуитивное представление о том, что такое преемственность, и этого достаточно для того, что будет дальше. По крайней мере на данный момент.

Если вы действительно хотите знать, что такое непрерывность, я предлагаю вам прочитать об определениях дельта-эпсилон .

Рассмотрим функцию f: A → B . Непрерывность f означает: для всех a ∈ A:

Для тех из вас, кто не прошел курс математической логики, позвольте мне объяснить эти иероглифы!

Это говорит о том, что для любого значения a в области A, независимо от того, насколько малое число ε я вам дам, вы можете дать мне такое число δ, что если я выберу любое значение x меньше, чем δ от до , тогда расстояние между отображаемыми значениями f(a) и f(x) меньше, чем ε, которое я дал вам для начала.

Это довольно многословно, и я не ожидаю, что вы вообще это поймете. Это просто в этой статье для полноты картины. Вы изучите исчисление, даже не понимая вышеизложенного. Без проблем!

Есть еще одно определение непрерывности, которое полезно иметь в виду. А именно, что предел значения функции при приближении аргумента функции к некоторому числу, скажем, a слева, равен тому же значению, когда аргумент приближается к a справа, т. е.

На самом деле, мы можем указать это как

, потому что это обозначение имеет смысл, только если этот предел существует, а предел существует, только если мы приближаемся к одному и тому же значению с обоих направлений.

В этой простой и небольшой вводной статье мы подготовили вас к следующей, которая будет посвящена ограничениям.

Вы можете найти его здесь.

Увидимся.

Доказательства теоремы о плотности и радиальной предельной теоремы Фату с использованием интеграла Пуассона

Журнал библиотеки открытого доступа Vol. 03 No.06(2016), ID статьи:69408,8 страниц
10.4236/oalib.1102732

Доказательства теоремы плотности и радиальной предельной теоремы Фату с использованием интеграла Пуассона

John Marafino

Департамент математики и статистики , Университет Джеймса Мэдисона, Харрисонбург, Вирджиния, США

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Поступила в редакцию 29 мая 2016 г.; принято 20 июня 2016 г.; опубликовано 23 июня 2016 г.

АННОТАЦИЯ

Используя только интеграл Пуассона и элементарные теоремы о сходимости, мы доказываем известную теорему плотности и радиальную предельную теорему Фату.

Ключевые слова:

Интеграл Пуассона, плотность, радиальные пределы, гармонические функции

Предметные области: Теория функций

1. Введение

В большинстве текстов, [1] (стр. 261), [2] (стр. 187), [3] (стр. 129), чтобы назвать некоторые, теорема плотности доказано с помощью того факта, что если f интегрируема по Лебегу и если σ = òf, то σ¢ = f п.в. Этот результат, в свою очередь, доказывается с помощью теоремы Витали о накрытии. Та же процедура используется и при доказательстве радиальной предельной теоремы Фату (см. [4], стр. 129, и [5], т. II, стр. 362—364). Мы обходим это рассуждение, пытаясь сделать теоремы Плотности и Фату более доступными для читателя. Нашим основным справочником будет книга Ройдена «Реальный анализ», и мы ограничимся ее первыми четырьмя главами. К ним относятся общее введение в теорию множеств, вещественную систему счисления, измеримые по Лебегу функции и интеграл Лебега. Нашим основным аналитическим инструментом будет интеграл Пуассона, и мы будем использовать некоторые из его хорошо известных фундаментальных свойств.

Сначала мы представляем справочный материал, который будет использоваться в ходе этой заметки. Наша установка — это единичный круг D и его граница C. Мы будем говорить, что последовательность {I _k } дуг в C сходится к и писать I _k ® e ^iθ , , если для каждого k и. Пусть A — любое подмножество C, и пусть m ^* и m обозначают соответственно внешнюю меру Лебега и меру Лебега на C. Для любого измеримого множества E в C определим. Будем говорить, что производная от σ _A at e ^iθ существует, если существует такое число, что для любой последовательности {I _k } дуг, сходящихся к e ^iθ ,

Если e ^iθ называется точкой плотности

Теорема о плотности утверждает, что если A — любое множество (измеримое или нет) в C, то e ^iθ — точка плотности для A для почти всех e ^iθ в A. Мы докажем, что этот результат в случае A измерим.

Пусть u(z), , определяется интегралом Пуассона,

(1)

где – характеристическая функция на измеримом множестве,

– ядро Пуассона. Когда A — конечное объединение открытых дуг, то χ _A — ограниченная кусочно-непрерывная функция на C. Итак, если ξ — точка непрерывности χ _A , то прямое рассмотрение интеграла в ( 1) показывает, что предел u(z) при приближении z к ξ существует и равен χ _A (ξ) (см. [6], т. II, с. 156; [7], с. 206; и [4], с. 130). Ядро имеет два замечательных свойства:

i) и

ii) (см. [8], стр. 165—167, и [9], стр. 305—307).

Отсюда следует, что для всех. Мы будем использовать эти элементарные результаты в разделах 2 и 3.

2. Теорема о плотности

Теорема: Пусть A измеримо. Тогда почти каждая точка A является точкой плотности A.

Доказательство. Пусть B — те точки A, которые не являются точками плотности A; то есть

где I _δ , δ > 0, обозначает дугу, содержащую e ^iθ и имеющую длину δ. Пусть для каждого. Сначала мы покажем, что B можно переписать как

, где дуга с центром в точке e ^iθ с длиной 2ξ _k такая, что ξ _k → 0 при k → ∞. Эта переформулировка B имеет решающее значение для нашего доказательства. Ясно, что любая точка этого множества лежит в B. Предположим теперь. Тогда существуют положительное число ε и последовательность {δ _n } такое, что δ _n ® 0 при n ® ¥ и

Для каждого n обозначим через s _n длину наибольшего компонента и выберем k _n так, чтобы. Тогда

Поскольку последнее выражение приближается к 1 − ε/2 при k _n ® ¥, отсюда следует, что

. следовательно, измеримо, теорема 20 в [10] (стр. 56), и из того, что A — измеримое множество, легко следует, что B — измеримое множество. Следовательно, это объединение множества F-σ и множества N нулевой меры; то есть

, где каждое F _n является замкнутым подмножеством B. Если мы покажем, что каждое F _n имеет нулевую меру, то теорема доказана. Мы выбираем F _n и обозначаем его F, чтобы избежать многослойной записи индекса. Теперь, где O _k — попарно

непересекающихся открытых дуг. Для каждого пусть χ _n будет характеристической функцией D _n , и положим для . Обратите внимание, что для всех n, , и. Мы знаем из наших вступительных замечаний, что за исключением конечного числа e ^iθ на С,. Пусть S _n обозначает это исключительное множество. Если мы положим, то для всех и для всех n

(2)

Также для всех e ^iθ Î C,

(3)

Теперь покажем, что m(F) = 0, используя косвенный аргумент. Прежде чем мы формально продолжим, мы укажем, в каком направлении пойдет наше доказательство: мы определяем интеграл Пуассона характеристической функции на F и, используя уравнения (2) и (3), наряду с предположением, что F имеет положительную меру, находим подмножество F где радиальный предел этой функции равен 1. Затем мы используем переформулировку B, чтобы показать, что этого не может быть.

Итак, предположим, что m(F) > 0. Зафиксируем на мгновение θ. Для каждого определите. Тогда r _k ® 1 как k ® ¥. Так как для каждого k есть неотрицательная и суммируемая функция j, мы имеем ([10], с. 73), что для каждого ξ _k существует δ _k > 0 такое, что если E — любое множество с m( E) < δ _k , тогда

(4)

Для каждого пусть. Используя теорему Егорова ([10], с. 59), мы имеем для каждого k открытое множество M _k такое, что

и равномерно на M _к . (5)

Обратите внимание, что, поскольку S не более чем счетно, имеет положительную меру. Установлен.

Теперь мы утверждаем, что если e ^iθ находится внутри, то. Пусть ε — произвольное положительное число, и выберем K так, чтобы при k > K ξ _k < ε/4. Теперь для k > K

Поскольку χ _n сходится равномерно к χ _F на M _k, мы выбираем N = N(ε) таким образом, что на M _k . Таким образом,

Используя (4) с учетом того, что также имеется

Следовательно, для всех k > K. Поскольку выполняется уравнение (2). Кроме того, для всех n имеем χ _n = χ _F на F. Следовательно, для достаточно больших k

и поскольку ε произвольно, наше утверждение доказано.

Однако, используя переформулировку B, мы знаем, что поскольку и, то существует положительное число η и подпоследовательность дуг со свойством

0002 Поскольку последнее выражение приближается к η/2π как или как, мы имеем, что

, а это противоречит нашему предыдущему утверждению. Таким образом, мера F не может быть положительной, поэтому m(F) = 0,

3. Плотность и радиальная

В этом разделе мы устанавливаем соотношения между плотностью A в точке C и радиальным пределом Интеграл Пуассона характеристической функции на A в этой точке. Доказательства первых двух теорем используют известные процедуры и неравенства. Теорема 3 подчеркивает последний результат доказательства теоремы о плотности. Затем мы используем эти соотношения и доказываем в следствии 5 радиальную предельную теорему Фату.

Теорема 1. Если e ^iθ является точкой плотности A и u(z) представляет собой интеграл Пуассона, то радиальный предел u(z) в точке e ^iθ равен 1.

Доказательство: без в силу потери общности можно принять e ⁱ ^q = e ⁱ ⁰ = 1 и выразить интеграл Пуассона от χ _A на интервале [−π, π] вместо [0, 2π] . Мы должны показать это.

Так как 1 является точкой плотности измеримого множества A, то 1 является точкой рассеяния A ^C , дополнение A относительно C. Пусть, где I _δ (1) обозначает дугу на C с центром в 1 и длиной 2δ, мы знаем, что ε(δ) ® 0 при δ ® 0. Пусть z = р. Тогда

(6)

Есть две возможности, которые могут произойти с функцией ε(δ), δ > 0. Либо существует δ ₀ такое, что ε(δ ₀ ) = 0; или для всех δ ε(δ) ≠ 0,

В первом случае следует, что для всех. Теперь перепишем (6) как

В первом интеграле мы это знаем; и для,. Следовательно, интеграл равен нулю. Для второго интеграла имеем то и другое. Сейчас

На [0, π/2] мы имеем sin(x) ≥ (2/π)x. Итак, если r > 1/2, мы получаем, и, следовательно,

Третий интеграл обрабатывается так же, как и второй, и поэтому наша теорема следует.

Во втором случае следует, что если δ достаточно мало, является непрерывно возрастающей функцией δ. Таким образом, существует δ ₀ такое, что выражение является непрерывным и возрастает

на (0, δ ₀ ). Следовательно, выражение есть непрерывная возрастающая функция δ на (0, δ ₀ ) со свойством

, что при δ→0. Используя этот результат, мы знаем, что при r ® 1, 1 − r ® 0 и поэтому

могут быть представлены для некоторого δ _r . Кроме того, 1 – r ® 0 тогда и только тогда, когда δ _r ® 0. На интервале [−δ _r , δ _r ] мы используем неравенство, чтобы получить

Теперь перепишем (6), как это было сделано в первый случай, но с использованием δ _r вместо δ ₀ . Первый интеграл рассмотрен выше. Второй интеграл обрабатывается точно так же, как и раньше. мы получаем

Третий интеграл обрабатывается, как описано выше. Отсюда следует наша теорема. Используя аналогичные рассуждения, мы можем получить второй результат этого параграфа.

Теорема 2. Если e ^iθ — точка рассеяния A, то радиальный предел u(z) в точке e ^iθ равен 0.

Теорема 3. плотности А и точки рассеивания А, то радиальный предел, если он существует, не может быть равен 1 или 0.

Доказательство: Из известной нам гипотезы существует ε > 0 и две последовательности дуг, где δ _n и ρ _n обозначают длину и соответственно такие, что для всех n, для всех n,

для всех n,

и δ _n ® 0 и ρ _n ® 0 как n ® ¥. Поскольку дуги не центрированы в точке e ^iθ, мы определяем ξ _n как максимальную из длин компонентов и определяем дугу с центром в точке e ^iθ и длиной 2ξ _n . С помощью аналогично определим τ _n. Пусть и. Затем

Поскольку последнее выражение приближается к ε/4π как ξ _n ® 0 или как r _n ® 1, мы имеем, что

(7)

Аналогичное рассуждение с использованием показывает, что . Отсюда следует, что если существует радиальный предел u(z) в точке e ^iθ, то он не может быть ни 1, ни 0. IC,.

Доказательство. Используя теорему о плотности для A и теорему 1, мы имеем почти для каждого e ^iθ в А,. Поскольку A ^C также измеримо, мы имеем, что почти каждая точка A ^C является точкой плотности A ^C . Следовательно, почти каждая точка A ^C является точкой рассеяния A. По теореме 2 мы имеем, что почти для каждого e ^iθ в A ^C ,.

Следствие 2: Пусть f — простая функция, определенная на C. Пусть Тогда для почти каждого e ^iθ Î C,

Доказательство: Если f простая, то где A _iпопарно не пересекаются и измеримы, а a _i различны и отличны от нуля. Используя следствие 1, получаем следующий результат.

Следствие 3. Пусть f — ограниченная измеримая функция, определенная на C. Пусть Тогда для почти каждого e ^iθ Î C,

Доказательство: Поскольку f ограничена и измерима, существуют простые функции ψ _n , ψ _n £ f, такое, что равномерно на C. Добавляя и вычитая соответствующие члены и используя неравенство треугольника, можно показать, что

Проанализируем каждое слагаемое в правой части этого неравенства. Поскольку ядро P(z, j) неотрицательно и его определенный интеграл равен 2π (см. раздел 1), а ψ _n сходится к f на C равномерно, первый член можно сделать сколь угодно малым, когда n достаточно большой. Из следствия 2 получаем, что второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым при стремлении r к 1. Последнее слагаемое стремится к 0 при достаточно больших n, поскольку ψ _n сходится равномерно к f на C. Следовательно, вытекает наш результат.

Следствие 4. Пусть f — неотрицательная интегрируемая функция, определенная на C. Пусть Тогда для почти всех

Доказательство. Пусть. Поскольку f интегрируема, мы знаем, что m(S) = 2π. Для каждого определите. Каждое f _n ограничено, неотрицательно и измеримо на S. Функции также удовлетворяют следующим условиям на S: и Поскольку P(z, j) неотрицательна, мы имеем это и, следовательно, на S. По теореме о монотонной сходимости ( [10] , стр. 72) мы знаем, что

Еще раз, добавляя и вычитая соответствующие члены и используя неравенство треугольника, можно показать, что

Из наших замечаний выше первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым при достаточно большом n. Используя следствие 3, второй член можно сделать сколь угодно малым по мере того, как r приближается к 1. Последний член стремится к 0 на S, когда n становится большим. Следовательно, следует наш результат.

Следствие 5: (Фатоу) Пусть f интегрируема на C. Пусть Тогда для почти каждого e ^iθ ÎC,

Доказательство: Мы знаем, что где и. Так как f интегрируема, то оба и должны быть интегрируемы. Теперь мы можем использовать следствие 4 для и, чтобы получить наш результат.

Процитировать эту статью

John Marafino, (2016) Доказательства теоремы плотности и радиальной предельной теоремы Фату с использованием интеграла Пуассона. Журнал библиотеки открытого доступа , 03 , 1–8. doi: 10.4236/oalib.1102732

Литература

1. Натансон, И.П. (1961) Теория функций действительной переменной, Том I. Издательство Фредерика Ангара, Нью-Йорк.

2. Манро М.Е. (1971) Измерение и интегрирование. 2-е издание, Аддисон Уэсли, Массачусетс.

3. Сакс С. (1964) Теория интеграла. 2-е исправленное издание, Dover Publications Inc., Нью-Йорк.

4. Цудзи М. (1975) Теория потенциала в современной теории функций. 2-е издание, Chelsea Publishing Co., Нью-Йорк.

5. Хилле, Э. (1976) Аналитическая теория функций, том II.

Предел функции теория: Предел функции в точке — урок. Алгебра, 10 класс.

объяснение, теория, примеры решений. а. База; определение и основные примеры

а. База; определение и основные примеры

b. Предел функции по базе

Предел функции – основные понятия.

Предел функции – основные определения.

Понятие предела по Коши

Геометрический смысл

Определение предела по Гейне

Теорема

Понятие предела в математике

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Правило Лопиталя в пределах

Предел

Пределы

Кадлаг Функции | Теория стохастических пределов: введение для эконометриков

Cite

Abstract

Войти

Получить помощь с доступом

Доступ для учреждений

Доступ на основе IP

Войдите через свое учреждение

Войти с помощью читательского билета

Члены общества

Войти через сайт сообщества

Вход через личный кабинет

Личный кабинет

Просмотр учетных записей, вошедших в систему

Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

Ведение счетов организаций

Покупка

функций и непрерывность.

Доказательства теоремы о плотности и радиальной предельной теоремы Фату с использованием интеграла Пуассона

Оставить комментарий Отменить ответ