Предел х стремится к бесконечности: Mathway | Популярные задачи

2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.

Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность – ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:

lim f(x)/l(x)=lim f”(x)/l”(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. (n-1)

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Содержание

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $
Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. 2-1}{x+1} = \infty $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: “ноль делить на ноль” или “бесконечность делить на бесконечность” и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность “ноль делить на ноль” нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”, тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять

чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!


Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.


Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

0 lim

0 lim

Вы искали 0 lim? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 0 lim, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «0 lim».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 0 lim,1 0 lim,1 lim,1 x предел,cosx x предел,lim,lim 0,lim 0 1,lim 0 x,lim 0 бесконечность,lim 1,lim 1 0,lim 1 x 1,lim 1 равен,lim a x,lim a x a lim x,lim f x бесконечность,lim n,lim n стремится к бесконечности,lim n стремится к бесконечности n,lim n стремится к бесконечности как решать,lim sin,lim sinx,lim tgx,lim x,lim x 0,lim x 0 1 x 0,lim x 0 x 1 x,lim x 0 x sinx,lim x 1,lim x 2 a 2 x a,lim x a 1 x 1,lim x n 1 x 1,lim x бесконечность,lim x стремится,lim x стремится к,lim x стремится к 0,lim x стремится к 0 sinx x,lim x стремится к 0 x tgx,lim x стремится к 0 как решать,lim x стремится к 1,lim x стремится к бесконечности,lim x стремится к бесконечности x,lim x стремится к бесконечности как решать,lim алгебра,lim в математике,lim в математике что это,lim в математике это,lim как решить,lim математика,lim пределы,lim решение,lim стремится к 0,lim стремится к бесконечности,lim формулы,lim функции,lim что значит,lim что такое,lim что это,lim что это в математике,lim что это в физике,lim это,lim это в математике,lim это что,x lim,x lim 0,алгебра lim,виды пределов,вычисление лимитов,вычисление предела,вычисление предела функции,вычисление пределов,вычисление пределов с подробным решением,вычисление пределов функции,вычисление пределов функций,вычисления пределов,вычислите предел,вычислите предел функции,вычислите пределы,вычислить предел,вычислить предел функции,вычислить предел функции lim,вычислить пределы,вычислить пределы функции,вычислить пределы функций,вычислить функции пределы,если предел равен 0,если предел стремится к бесконечности,как вычислить предел,как вычислить предел функции,как вычислить пределы,как вычислять пределы,как вычислять пределы функции,как искать пределы,как найти предел,как найти предел функции,как найти предел функции примеры решения,как найти пределы,как находить предел,как находить пределы,как находить пределы функций,как понять пределы,как посчитать предел,как решать lim,как решать предел функции,как решать пределы функции,как решить lim,как решить предел,как решить пределы,как считать предел,как считать пределы,как считать пределы функций,лим в математике,лим математика,лим что такое в математике,лимит алгебра,лимит найти,лимит функции,лимиты и пределы,лимиты математика,математика lim,математика лим,математика пределы функций объяснение с нуля,математика решение пределов,найдите предел,найдите предел функции lim,найдите пределы,найти предел,найти предел lim x стремится к бесконечности,найти предел функции,найти пределы,найти пределы как,найти пределы функции,найти пределы функций,найти указанные пределы,нахождение предела,нахождение предела функции,нахождение пределов,нахождение пределов функции,понятие предела,предел,предел 0 1,предел 1,предел 1 0 равен,предел 1 x,предел 1 x 1,предел 1 равен 0,предел x 1 x,предел в алгебре,предел как найти,предел как находить,предел как посчитать,предел как решать,предел как считать,предел посчитать,предел при x стремящемся к 0,предел при х стремящемся к бесконечности,предел равен 0 когда,предел решение,предел стремится к бесконечности,предел стремится к нулю,предел стремящийся к бесконечности,предел функции,предел функции в математике это,предел функции в точке примеры решения,предел функции вычисление предела функции,предел функции как найти,предел функции как решать,предел функции примеры,предел функции решение,предел функции формулы,предел функции это в математике,предел функций,предел х в степени х,предел х при х стремящемся к бесконечности,предел х стремится к 0,предел х стремится к бесконечности,предел х стремится к бесконечности х,предел что такое,предел что это,предел это,предел это что такое,предела,предела значение,предела решение,пределе,пределов функции решение,пределы,пределы lim,пределы и лимиты,пределы как вычислить,пределы как искать,пределы как найти,пределы как понять,пределы при х стремится к бесконечности,пределы решать,пределы решение,пределы решить,пределы стремящиеся к бесконечности,пределы функции,пределы функции как решать,пределы функции примеры,пределы функции решение,пределы функций,пределы функций примеры,пределы что такое,пределы что это,пределы это,пределы это что,придел это,примеры предел функции,примеры пределы функции,расчет пределов,решать пределы,решение lim,решение лимитов,решение предел,решение предел функции,решение предела,решение пределов,решение пределов функции,решение пределов функций,решение пределы,решение функции пределов,решение функций пределов,решения пределов,решения пределы,решить предел,решить пределы,стремится к бесконечности,стремится к нулю предел,формулы lim,функции lim,функции пределы как решать,функции пределы примеры,что такое lim,что такое lim в алгебре,что такое lim в математике,что такое в математике lim,что такое в физике lim,что такое предел. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 0 lim. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 lim).

Решить задачу 0 lim вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

08.3. Предел на бесконечности

Предел на бесконечности

Можно ли говорить о пределе функции, когда ? Имеет ли смысл выражение ? Ответы на эти вопросы позволят нам расширить понятие предела функции и глубже проникнуть в смысл абстракции бесконечности.

Рассмотрим пример. Пусть дана однородная пластина, размеры a, b, c, d которой известны (рис. 9.12). Найти координаты ее центра тяжести. При достаточно больших значениях d наличие выступа ALEF Не окажет существенного влияния на результаты расчета. Начиная с какого значения d, координаты центра тяжести пластины будут отличаться по абсолютной величине от координат центра тяжести прямоугольника менее, чем на величину E?

Рис. 9.12. Определение центра тяжести пластины.

 

Центр тяжести пластины может быть определен достаточно просто геометрически. Разбивая ее на прямоугольники AFEL и BCDL, Получим, что центр тяжести лежит на прямой M1N1, связывающей точки пересечения диагоналей этих прямоугольников. С другой стороны, разбивая эту же пластину на прямоугольники ABKF и EKCD, строим прямую M2N2, связывающую их центры тяжести. На пересечении прямых M1N1 и M2N2 получим точку P центр тяжести пластины.

Естественно предположить, что с увеличением d центр тяжести будет смещаться по вертикали к середине отрезка BL, а по горизонтали будет неограниченно удаляться вправо. Покажем это аналитически. Введем систему координат Xoy, как показано на рис. 9.12. Считая пластину двухмассовой системой, состоящей из прямоугольников AFEL и BCDL, получим координаты xц и уц центра тяжести пластины

Где М1 (х1,у1) И N1 (x2,y2) центры тяжести соответствующих прямоугольников. Так как пластина однородна, то

Где S1 и S2 площади прямоугольников, а их плотность. Но

Отсюда

Задав численные значения a, B и c, можно показать, проведя вычислительный эксперимент на ЭВМ, что с увеличением d координата xц будет стремиться к , а координата yц будет неограниченно возрастать. Но где гарантия того, что этим предельным значением будет , а не , к примеру? Как понимать “неограниченное возрастание yц” при “неограниченном возрастании d”? Геометрические cоображения, позволяющие интуитивно предвидеть ответ, еще не являются доказательством выдвигаемой гипотезы.

Чтобы ответить на поставленные вопросы, необходимо ввести новые строгие определения.

Будем называть число A ПРЕДЕЛОМ ФУНКЦИИ при , если для любого положительного числа E Существует такое положительное число , что для окажется справедливым неравенство :

Рис. 9.13. Предел функции на бесконечности.

 

График функции, имеющей предел A на бесконечности, может выглядеть, например, так, как на рис. 9.13.

Cтрелками на оси x обозначены направления, по которым значения аргумента обеспечат выполнение неравенства . В отличие от функции, изображенной на этом рисунке, существуют и функции, которые ведут себя не одинаково, когда и когда , то есть когда x неограниченно удаляется вправо (влево) по оси абсцисс. Они могут иметь различные пределы, или только один из них и даже совсем не иметь предела. Дадим определение таких пределов (оно вытекает из уже сформулированного определения предела при ):

Примеры таких функций даны на рис. 9.14.

Теперь становится понятной задача отыскания предела координаты центра тяжести пластины при : требуется найти cтоль большие значения размера d, что . Число E на практике характеризует обычно абсолютную погрешность, которая допустима при получении результата. Определение предела дает возможность в данном случае сделать важный для практики вывод: если найдено значение d=M, начиная с которого , то уже для значений d > M можно считать , что упрощает вычисления. Возможность отыскания этого “порога” числа M позволяет обосновать теория пределов. Результат, полученный геометрически, означает возможность упрощения формы пластины до прямоугольника LBCD, если это позволяет заданная погрешность E при вычислении координат центра тяжести пластины.

Рис. 9.14. Возможные случаи предельного перехода

При , стремящемся к бесконечности:

А) предел функции при ;

Б) предел функции при .

 

Дадим теперь определение бесконечного предела функции.

Будем говорить, что функция при стремится к , если для любого положительного числа L найдется такое положительное число , что для и удовлетворяющих неравенству , в области определения функции будет справедливо неравенство :

На рис. 9.15 по заданному L указан промежуток значений x, для которых выполняется неравенство

Рис. 9.15. Бесконечный предел функции.

 

Искомая проколотая D-Окрестность Это симметричный интервал с центром в точке a, принадлежащий этому промежутку.

< Предыдущая   Следующая >

стремится к бесконечности – Translation into English – examples Russian

Premium History Favourites

Advertising

Download for Windows It’s free

Download our free app

Advertising

Advertising

No ads with Premium

Russian

Arabic German English Spanish French Hebrew Italian Japanese Dutch Polish Portuguese Romanian Russian Swedish Turkish Ukrainian Chinese

English

Synonyms Arabic German English Spanish French Hebrew Italian Japanese Dutch Polish Portuguese Romanian Russian Swedish Turkish Ukrainian Chinese Ukrainian

Suggestions: стремиться к бесконечности

These examples may contain rude words based on your search.

These examples may contain colloquial words based on your search.

tends to infinity approaches infinity

goes to infinity

tend to infinity

diverges

is infinite

Когда же количество параметров силы стремится к бесконечности, задача построения устойчивого многополярного баланса становится нерешаемой.

When the number of power parameters tends to infinity, the task of building a stable multipolar balance becomes impossible to solve.

Минимальная яркость равна 0, а контрастность стремится к бесконечности.

The minimum brightness is 0, and the contrast tends to infinity.

Это равно лимиту при котором х стремится к бесконечности.

This is equal to the limit as x approaches infinity.

Так как х стремится к бесконечности – 5 делить на бесконечность – это выражение будет равно 0.

Well, as x approaches infinity – 5 divided by infinity – this term is going to be 0.

Вероятность рекомбинации составляет около d/100 для малых значений d и достигает 50 % по мере того, как d стремится к бесконечности.

The probability of recombination is approximately d/100 for small values of d and approaches 50% as d goes to infinity.

(Приближение точно только в пределе, когда число итераций стремится к бесконечности).

The approximation is only exact in the limit where the number of iterations goes to infinity

В ней уровень операционного рычага стремится к бесконечности.

In it, the level of the operating lever tends to infinity.

А список гениальных русских поэтов стремится к бесконечности.

And the list of brilliant Russian poets tends to infinity.

Если рассматривать итерации в бесконечно делимом геометрическом пространстве, её длина стремится к бесконечности.

If understood to iterate within an infinitely subdivisible geometric space, its length tends to infinity.

Указанные критерии в задачах стохастической оптимизации связаны с изучением асимптотического поведения (в некотором вероятностном смысле) интегрального целевого функционала, когда горизонт планирования стремится к бесконечности.

In problems of stochastic optimisation, these criteria are related to the study of the asymptotic behaviour (in some probabilistic sense) of an integral cost functional as the horizon of planning tends to infinity.

Прежде всего, вы должны осознать тот факт, что существуют параллельные реальности, количество которых, возможно, стремится к бесконечности.

First of all, you should realize the fact that there are parallel reality, the number of which may tends to infinity.

Во втором варианте этот диапазон стремится к бесконечности, т.е. частота вращения выходного вала начинается от нуля.

In the second variant, this range tends to infinity, i.e. the rotation frequency of the output shaft starts from zero.

От чего коэффициент бесполезности их тел стремится к бесконечности, а тела становятся не нужными.

The coefficient of the futility of their bodies tends to infinity, and the body are not necessary.

Предел, если он существует, мгновенного параметра потока отказов, когда время стремится к бесконечности.

The limit, if this exists, of the instantaneous availability when the time tends to infinity.

Можно сказать, что это идеальный источник энергии, так как его КПД стремится к бесконечности.

We can say that this is an ideal source of energy, since its efficiency tends to infinity.

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y.

This solution approaches infinity if nx is not an integer multiple of ri for any non-zero value of y.

Теоретически объём информации, проходящей через процессинговую систему за единицу времени, стремится к бесконечности.

Theoretically, the amount of information that flows through the processing system per unit time tends to infinity.

Показано, что при увеличении количества итераций в каждом фрактале значение извилистости растёт, а его предельное значение стремится к бесконечности.

It is shown that with an increase in the number of iterations in each fractal, the value of tortuosity increases, and its limiting value tends to infinity.

Поведение случайных графов часто изучается в случае, когда n, число вершин графа, стремится к бесконечности.

The behavior of random graphs is often studied in the case where n, the number of vertices, tends to infinity.

Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный свес стремится к бесконечности с ростом N {\displaystyle N}, т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков.

Because the harmonic series diverges, the maximal overhang tends to infinity as N {\displaystyle N} increases, meaning that it is possible to achieve any arbitrarily large overhang, with sufficient blocks.

Possibly inappropriate content

Examples are used only to help you translate the word or expression searched in various contexts. They are not selected or validated by us and can contain inappropriate terms or ideas. Please report examples to be edited or not to be displayed. Rude or colloquial translations are usually marked in red or orange.

Register to see more examples It’s simple and it’s free

Register Connect

No results found for this meaning.

Results: 135. Exact: 135. Elapsed time: 137 ms.

More features with our free app

Voice and photo translation, offline features, synonyms, conjugation, learning games

Documents Corporate solutions Conjugation Synonyms Grammar Check Help & about

Word index: 1-300, 301-600, 601-900

Expression index: 1-400, 401-800, 801-1200

Phrase index: 1-400, 401-800, 801-1200

Высшая математика: предел функции (самый сложный момент)

2019. 03.26
Ссылка: курс продвинутой математики Университета Сихуа mooc

Вчера мы узнали предел последовательности чисел, сегодня обсудим предел функции
Сначала давайте обсудимНезависимая переменная стремится к бесконечности Предел функции
Очевидно, x-> infinity содержит две ситуации,x-> положительная бесконечность и x-> отрицательная бесконечность

Определение 1.x-> положительной бесконечности может фактически относиться к определению последовательности чисел (как и):

Для любого e> 0 существует X> 0
 Сделайте все x> X | f (x) -A | <e. Тогда функция имеет предел A, когда x-> положительная бесконечность

Обратите внимание, что единственное отличие от определения предела последовательности состоит в том, что X больше не обязательно должно быть положительным целым числом. Причина проста: область действия последовательности – все натуральные числа, а функция – все действительные числа.
Это определение более популярно,Если функция имеет предел на положительную бесконечность, то расстояние от функции f (x), соответствующей всем x после определенного положения X, до предела A должно быть бесконечно малым

2. x-> Определение отрицательной бесконечности (см. определение положительной бесконечности)

Для любого e> 0 существует X> 0
 Сделайте все x <-X | f (x) -A | <e. Тогда функция имеет предел A, когда x-> отрицательная бесконечность

Аналогично определению предела положительной бесконечности,Подчеркивается, что расстояние между значением функции и пределом всех x, соответствующих определенной позиции, может быть бесконечно малым!

3。 После понимания определения вышеупомянутого предела появляется определение предела для x-> бесконечности:

Для любого e> 0 существует X> 0
 Сделайте все | x |> X | f (x) -A | <e. Тогда функция имеет предел A, когда x-> бесконечность

Когда бесконечно, это эквивалентно включению положительной бесконечности и отрицательной бесконечности.
Итак, давайте продолжим закон:

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы предел был A, когда x приближается к бесконечности, является то, что предел, когда x приближается к положительной бесконечности, равен A, а предел, когда x приближается к отрицательной бесконечности, равен A

Если вы поймете определение, эта теорема пойдет по течению

Давайте посмотрим на геометрическое объяснение, когда x стремится к бесконечности, которое более интуитивно понятно:


Обсудим еще один случай ограничения функции


Предел функции, когда независимая переменная приближается к конечному значению


Вы можете посмотреть на две указанные выше функции. Мы обсудим предел функции, когда x приближается к 2.
Фактически, мы можем сами вывести определение этого, основываясь на полученных нами исключительных знаниях.

Для любого e> 0 существует X> 0
 Сделайте так, чтобы все значения функции f (x), соответствующие x в Uo (x0, X), удовлетворяли a | f (x) -A | <e

Это определение получено мной, подражая предыдущим идеям. Хотя есть небольшое отличие от книги, это разница между буквами и способом выражения. Значение точно такое же. Я думаю, что это выражение более интуитивно понятно.
Согласно предыдущей идее предела, тогда x имеет предел A в точке x0. Разве это не означает, что расстояние между f (x) и A в некоторой безрадостной окрестности x0 меньше любого меньшего? Это похоже на предыдущую мысль о пределе.

Вот геометрическое объяснение:

Вот несколько примеров вопросов:
1.Докажите, что функция y = x не существует, когда x стремится к положительной бесконечности.
Кажется, что он появится после рисования изображения. Здесь мы используем определение, чтобы строго доказать.
Докажите от противного!Предположим, что предел существует

2. Докажите, что предельное значение функции y = 1 / x равно 0, когда x-> положительна бесконечность.
Процесс аналогичен

Наконец, поговорим о концепции левого и правого пределов, связанных с приближением независимых переменных к конечным значениям.

x приближается к x0 слева, что называется левым пределом x0 и обозначается как x-> x0-
 Аналогично существует правый предел x0 +
 Теорема: необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция имела предельное значение A, когда x приближается к x0: x имеет и левый, и правый пределы в x0
 И равны А!
 Эта теорема часто используется, чтобы определить, существует ли предел функции в определенной точке. Если два предела не равны, его не существует
 Фактически, это немного похоже на предельную теорему на бесконечности, упомянутую ранее. Необходимое и достаточное условие существования предела на бесконечности
 Пределы как положительной, так и отрицательной бесконечности существуют и равны!

Благодаря сегодняшнему исследованию я, наконец, понял концепцию ограничения функций, которую не понимал на первом курсе. Я помню, что здесь обнаружил беспорядок, и теперь я, наконец, разобрался с этим.

Предел “бесконечности” – подход к исчислению

Подход

к

C A L C U L U S

Содержание | Дом

4

Определение “становится бесконечным”

Пределы рациональных функций

Изменение переменной

БЕСКОНЕЧНОСТЬ вместе со своим символом ∞ не является числом и не местом. Когда в исчислении мы говорим, что функция становится «бесконечной», мы просто имеем в виду, что нет предела ее значениям.

Пусть f ( x ), например, будет . Затем, когда значения x становятся все меньше и меньше, значения f ( x ) становятся все больше и больше. Независимо от того, какое большое число мы назовем, можно будет назвать значение x таким образом, что значение f ( x ) будет больше, чем это число, которое мы назвали.

Тогда мы говорим, что значения f ( x ) становятся бесконечными или стремятся к бесконечности. Мы говорим, что как x приближается к 0, предел f ( x ) равен бесконечности.

Теперь предел — это число — граница. Поэтому, когда мы говорим, что предел бесконечен, мы имеем в виду, что нет числа , которое мы можем назвать.

Учащийся должен знать, что слово бесконечный в том виде, в каком оно используется в исчислении и использовалось исторически, не имеет того же значения, что и в теории бесконечных множеств. См. это из Википедии, особенно взгляды Карла Фридриха Гаусса в разделе «Прием аргументации».

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. становится бесконечным. Мы говорим, что переменная «становится бесконечной» или «стремится к бесконечности», если, начиная с определенного члена в последовательности ее значений, абсолютное значение этого члена и любого последующего термина, который мы называем, больше, чем любое положительное число, которое мы называем , однако большой.

 

Когда переменная равна x и принимает только положительные значения, тогда x становится положительно бесконечным. Мы пишем

Если x принимает только отрицательные значения, оно становится отрицательно бесконечным, и в этом случае мы пишем

В обоих случаях мы имеем в виду:  Независимо от того, какое большое число M мы назовем, мы дойдем до такой точки в последовательности значений x , что их абсолютные значения станут больше, чем M.

Когда переменная является функцией f ( x ), и она становится положительно или отрицательно бесконечной, когда x приближается к значению c , тогда пишем

Хотя мы пишем символ “lim” для обозначения предела, эти алгебраические утверждения означают:  Предел f ( x ), поскольку x приближается к c , не существует. Опять же, предел — это число. (Определение 2.1.)

Определение 4 — это определение «становится бесконечным»; это не определение предела.

Что касается символа ∞, мы используем его в алгебраических утверждениях, чтобы показать, что определение  становится бесконечным выполнено. Этот символ сам по себе не имеет значения.

В качестве примера, вот график функции   г  =   1
х
 :

Давайте посмотрим, что происходит со значениями и , когда x приближается к 0 справа:

Как последовательность значений x становятся очень маленькими числами, затем последовательность значений y , обратных величин, становится очень большими числами. Значения y станут и останутся больше, например, чем 10 100000000 . y  становится бесконечным.

Пишем:

Если x приближается к 0 слева, то значения становятся большими отрицательными числами. В этом случае мы пишем

Когда функция становится бесконечной по мере того, как x приближается к значению c , тогда функция разрывна при x = c , а прямая линия x = c является вертикальной асимптотой графика. (Тема 18 Precalculus.)  График y = , следовательно, разрывен при x  = 0, а прямая линия x = c является вертикальной асимптотой.

Далее рассмотрим случай, когда x становится бесконечным, то есть когда его значения становятся большими положительными числами справа от 0.

В этом случае становится очень маленьким числом, а именно 0. Мы пишем

Мы должны читать это как «предел, когда х становится бесконечным», а не как « х приближается к бесконечности», потому что, опять же, бесконечность не является ни числом, ни местом. С другой стороны, мы могли бы читать это как угодно (“ограничение в виде x вызывает головокружение”), если любое выражение, которое мы используем, относится к условию Определения 4.

См. Первые принципы элементов Евклида, Комментарий к определениям. В частности, обратите внимание, что определение номинальное ; он утверждает только то, как будет использоваться слово или имя; и мы должны согласиться с этим.

Наконец, когда x становится бесконечным отрицательно, то есть когда оно принимает значения крайне слева от 0 (-∞), тогда снова приближается к 0. Мы пишем

Другими словами, всякий раз, когда x становится бесконечным положительно или отрицательно, значения   y = приближаются к горизонтальной линии   y = 0. Эта линия называется горизонтальной асимптотой графика.

Задача 1.   Оценить  

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала решай задачу сам!

При   загар x не существует. (Тема 15 и Тема 18 тригонометрии.)

По мере приближения x слева, тангенс x становится больше, чем любое число, которое мы можем назвать. (Определение 4.)

Пределы рациональных функций

Рациональная функция — это частное полиномов (раздел 6 предварительного исчисления). Он будет иметь такой вид:

f ( x )
г ( x )

, где f и g — многочлены ( g 0).

Помимо постоянного члена, каждый член многочлена будет иметь множитель x n ( n ≥ 1). Поэтому исследуем следующие пределы.

c  может быть любой положительной константой. Учащийся должен заполнить каждую правую часть.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала сделай сам!

1)  =   0
 
2а)  =  
  n четный.
 
2б)  =  
  n нечетный.
2в)  =   −∞
  нечетный.
  Сравните   y 1
х
выше, где n = 1,
3)  =  
 
4)  =  
Пример. Докажите:  

  Решение . Разделите числитель и знаменатель на наибольшую степень x . В этом случае разделите их на x 2 :

Согласно приведенному выше пункту 1 предел каждого члена, содержащего x , равен 0. Следовательно, по теоремам темы 2 мы имеем требуемый ответ.

В подобных случаях первый шаг:   Разделите числитель и знаменатель на степень x , которая стоит в старшем члене любого из них.

Задача 2.   = 4

Результат следует после деления числителя и знаменателя на  x .

Задача 3.   =

Другими словами:   Когда числитель и знаменатель имеют одинаковую степень,
, тогда предел, когда x становится бесконечным, равен частному от старших коэффициентов.

Задача 4.

   = = = 0.

Далее рациональная функция обратна приведенной выше:

   = =

Эта задача иллюстрирует:

Когда степень знаменателя больше степени числителя, то есть когда преобладает знаменатель, тогда предел, когда x становится бесконечным, равен 0. Но когда преобладает числитель, — когда степень числителя больше — тогда предел, когда x становится бесконечным, составляет  .

Изменение переменной

Учитывайте это ограничение:

Вместо того, чтобы приближать переменную к 0, мы иногда предпочитаем, чтобы она стала бесконечной. В этом случае мы делаем замену переменной. Ставим x = или , это не имеет значения. Ибо x , приближающееся к 0, эквивалентно тому, что z становятся бесконечными. Затем

При замене x на , мы позволяем z стать бесконечными. Лимит остается 1.

Где это всплывет? В пределе, из которого мы вычисляем число e :

(Урок 15.)

Проблема 5.   В приведенном выше пределе измените переменную на n , и пусть он станет бесконечным.

Следующий урок: Производная

Содержание | Дом


Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.


Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


Мэтуэй | Популярные проблемы

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найдите производную – d/dx натуральное бревно х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найдите производную – d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найдите производную – d/dx грех(2x)
23 Найдите производную – d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) по x
42 Найдите производную – d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценить интеграл 9бесконечность
45 Найдите производную – d/dx х/2
46 Найдите производную – d/dx -cos(x)
47 Найдите производную – d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найдите производную – d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найдите производную – d/dx лог х
86 Найдите производную – d/dx арктан(х)
87 Найдите производную – d/dx бревно натуральное 5х92

Исчисление I.

Пределы на бесконечности, часть II

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-8: Пределы на бесконечности, часть II

В предыдущем разделе мы рассмотрели пределы бесконечности полиномов и/или рациональные выражения, включающие полиномы. { – x}}\] 9{-x}} = \infty\]

Суть этого примера заключалась в том, чтобы показать, что если показатель экспоненты стремится к бесконечности в пределе, то экспоненциальная функция также стремится к бесконечности в пределе. Точно так же, если экспонента стремится к минус бесконечности в пределе, тогда экспонента в пределе стремится к нулю.

Заметим также, что в последнем разделе значение предела не зависело от того, ушли ли мы в плюс или минус бесконечность. В приведенном выше примере мы уже видели, что изменение знака бесконечности может изменить ответ, поэтому не замыкайтесь на каких-либо предположениях, которые вы могли сделать из работы в предыдущем разделе! 9{ – 15x}}} \справа)\)

Показать все решения Скрыть все решения

Таким образом, единственная разница между этими двумя пределами заключается в том, что в первом мы берем предел, когда мы идем к плюс бесконечности, а во втором мы идем к минус бесконечности. К этому моменту мы смогли «повторно использовать» работу из первого ограничения, по крайней мере, в части второго ограничения. С экспонентами, которые часто не будут иметь место, мы собираемся рассматривать каждую из них как отдельные проблемы. 9{ – 15x}}} \right) = \infty – \infty + \infty + 0 – 0\]

Последние два термина не проблема (однако они будут в следующей части, понимаете?). Однако первые три представляют собой проблему, поскольку они представляют нам еще одну неопределенную форму.

При работе с многочленами мы выносим на множитель член с наибольшим показателем в нем. Давайте сделаем то же самое здесь. Однако теперь нам приходится иметь дело как с положительными, так и с отрицательными показателями, а также с тем, что мы подразумеваем под «самым большим» показателем. Имея дело с ними здесь, мы смотрим на термины, вызывающие проблемы, и спрашиваем: «Каков наибольший показатель степени в этих терминах?». Итак, поскольку проблемы вызывают только первые три члена ( 9{ – 25x}}} \справа)} \справа]\]

Обратите внимание, что при этом факторинге все оставшиеся экспоненты теперь имеют отрицательные показатели, и мы знаем, что для этого предела (, т. е. , уходящее в положительную бесконечность) все они будут равны нулю в пределе, и поэтому больше не будут вызывать проблем.

Теперь мы можем взять предел двух факторов. Первое — это явно бесконечность, а второе — конечное число (в данном случае — единица), поэтому раздел «Факты из бесконечных пределов» дает нам следующий предел: 9{ – 15x}}} \right)\) Показать решение

Давайте начнем так же, как и в первой части. Возьмем предел каждой из частей. На этот раз обратите внимание, что, поскольку наш предел стремится к отрицательной бесконечности, первые три экспоненты фактически устремляются к нулю (потому что их показатели степени стремятся к минус бесконечности в пределе). Последние две экспоненты в пределе уйдут в бесконечность (потому что их показатели в пределе уйдут в плюс бесконечность).

Получение пределов дает, 9{ – 15x}}} \right) = 0 – 0 + 0 + \infty – \infty \]

Таким образом, последние два термина представляют собой проблему, поскольку они снова оставляют нас с неопределенной формой. { – 15x}}\). 9{ – 15x}}} \right) = – \infty \]

Таким образом, при работе с суммами и/или разностями показательных функций мы ищем экспоненту с «наибольшей» степенью и помним здесь, что «наибольшая» означает степень, наиболее далекую от нуля. Также помните, что если мы смотрим на предел плюс бесконечность, только экспоненты с положительными показателями будут вызывать проблемы, поэтому это единственные члены, на которые мы обращаем внимание при определении наибольшего показателя. Точно так же, если мы смотрим на предел минус бесконечность, то только экспоненты с отрицательными показателями будут вызывать проблемы, и поэтому только они рассматриваются при определении наибольшего показателя.

Наконец, как вы могли догадаться из предыдущего примера, при работе с суммой и/или разностью экспонент все, что нам нужно сделать, это посмотреть на наибольшую экспоненту, чтобы определить поведение всего выражения. Опять же, помня, что если предел равен плюс бесконечности, мы рассматриваем экспоненты только с положительными показателями, а если мы смотрим на предел минус бесконечность, мы рассматриваем только экспоненты с отрицательными показателями.

Давайте теперь рассмотрим некоторые рациональные функции, включающие экспоненты. 9{ – x}}}}\) Показать решение

Основная концепция, связанная с решением этой задачи, такая же, как и с рациональными выражениями в предыдущем разделе. Мы смотрим на знаменатель и определяем экспоненциальную функцию с «наибольшей» степенью, которую мы затем выносим как из числителя, так и из знаменателя. Мы будем использовать те же рассуждения, что и в предыдущем примере, чтобы определить «наибольшую» экспоненту. В случае, когда мы рассматриваем предел плюс бесконечность, мы рассматриваем экспоненты только с положительными показателями. 9{ – x}}}}\) Показать решение

В этом случае мы собираемся минус бесконечность в пределе, и поэтому мы будем смотреть на экспоненты в знаменателе с отрицательными показателями при определении «наибольшего» показателя. Однако в этой задаче есть только один, поэтому мы будем использовать его.

Опять же, не забывайте смотреть только на знаменатель. НЕ используйте экспоненту из числителя, даже если она «больше», чем экспонента в знаменателе. Мы всегда смотрим только на знаменатель, когда определяем, какой член вынести за скобки, независимо от того, что происходит в числителе. 9+ }} \ln x = – \infty \hspace{0,5 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \ln x = \infty \]

Обратите внимание, что нам пришлось сделать правый предел для первого, так как мы не можем подставить отрицательные \(x\) в логарифм. Это означает, что нормального предела не будет, поскольку мы должны смотреть на \(x\) с обеих сторон рассматриваемой точки, а \(x\) слева от нуля отрицательны.

Из предыдущего примера видно, что если аргумент журнала (то, что мы берем из журнала) стремится к нулю справа ( , т.е. всегда положительны), то журнал стремится к отрицательной бесконечности в пределе, а если аргумент стремится к бесконечности, то журнал также стремится к бесконечности в пределе.

Заметьте также, что мы не можем смотреть на предел логарифма, когда \(x\) приближается к минус бесконечности, так как мы не можем подставлять отрицательные числа в логарифм. { – 1}}x\) Показать решение 9{ – 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {x}} \ справа) = – \ гидроразрыва {\ пи {2} \]

Чтобы увидеть точное и математическое определение этого типа предела, см. раздел «Определение предела» в конце этой главы.

Предельные на бесконечности задачи с квадратными корнями – Matheno.com

Пределы на бесконечность с квадратными корнями: проблемы и решения

проблемы бесконечности, ПЛЮС один дополнительный бит: это 92}}}{1} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty} \sqrt{5 + \dfrac{2}{x}} \\[8px] &= \sqrt{5} \quad \cmark
\end{align*} \]

Обратите внимание, что на последнем этапе мы использовали тот факт, что $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}\frac{ 2}{х} = 0}$.


Мы можем проверить результат, взглянув на график функции. Обратите внимание, что горизонтальная линия $y = \sqrt{5}$ является горизонтальной асимптотой для этого графика.

Прежде чем делать что-либо еще, давайте посмотрим на функцию и решим, ожидаем ли мы предел — 92\left( 5 + \frac{2}{x} \right)}}{x}$, числитель всегда будет положительным из-за квадратного корня. Знаменатель, с другой стороны, всегда будет отрицательным, потому что мы наблюдаем постоянно увеличивающиеся отрицательные значения для x . Следовательно, поскольку $x \to\, -\infty$, дробь всегда будет иметь отрицательное значение , и поэтому, если мы найдем число в качестве предела, мы ожидаем, что оно будет отрицательным. Это быстрое начальное рассуждение является хорошей проверкой нашего окончательного результата.

Чтобы получить этот результат, мы снова используем наш обычный «трюк» деления числителя и знаменателя на 92}}}{1} \\[8px] &= \lim_{x \to\, -\infty} -\sqrt{5 + \dfrac{2}{x}} \\[8px] &= -\sqrt{5} \quad \cmark
\end{align*} \] Обратите внимание, что на последнем шаге мы использовали тот факт, что $\displaystyle{\lim_{x \to\, -\infty}\frac{2}{x} = 0}$.

Обратите внимание, что в качестве ответа мы получили отрицательное число, что соответствует нашим быстрым первоначальным рассуждениям выше.

Мы можем проверить результат, взглянув на график функции. Обратите внимание, что горизонтальная линия $y = -\sqrt{5}$ является горизонтальной асимптотой для этого графика. 92 + х} – х \\[8px] f(10) &= \sqrt{100 + 10} – 10 \приблизительно 10,488 – 10 = 0,488 \\[8px] f(20) &= \sqrt{400 + 20} – 20 \приблизительно 20,494 – 20 = 0,494 \\[8px] f(100) &= \sqrt{10,000 + 100} – 100 \приблизительно 100,499 -100 = 0,499
\end{align*} \]


[свернуть]

Практическая задача #3

0 Эта задача по желанию студента. У него есть другой (тот же самый) классный, удивительный результат.


Найти $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + \sqrt{x}} – \sqrt{x} \right)}$.

Нажмите, чтобы просмотреть решение исчисления

По мере того, как $x$ растет и растет, как $\sqrt{x + \sqrt{x}}$, так и $\sqrt{x}$ растут и растут. Таким образом, мы не сразу знаем, в чем разница между двумя терминами. $(“\infty – \infty”$ может быть чем угодно — это «неопределенное выражение», означающее, что у нас есть еще работа. )

Чтобы продолжить, мы будем использовать тот же подход, который мы использовали ранее при оценке пределов, которые имели в них квадратные корни: мы рационализируем выражение, умножив его на сопряженное $\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}$, деленное само на себя: 92}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty} \frac{\left(x + \sqrt{x} \right) – x}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} \ \[8px] &= \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} \\[8px] \end{выравнивание*} \] Давайте теперь воспользуемся нашим обычным приемом деления числителя и знаменателя на наибольшую степень в знаменателе . Эта мощность равна $\sqrt{x}.$
\[ \begin{align*}
&= \lim_{x \to \infty}\frac{\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} }}{\dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}+ \sqrt{x}}{\sqrt{x}}} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}+ \dfrac{\sqrt{x}}{ \sqrt{x}}} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{\dfrac{x + \sqrt{x}}{x}}+ 1} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}}+ 1} \\[8px] &= \frac{1}{\sqrt{1 + \cancelto{0}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}+ 1} \\[8px] &= \frac{1}{\sqrt{1}+ 1} \\[8px] &= \dfrac{1}{2} \quad \cmark
\end{align*} \]

Обратите внимание, что ближе к концу мы использовали тот факт, что $\displaystyle{\lim_{x \to\, \infty}\frac{1}{\sqrt{x}} = 0}$.

Этот предел неожиданный, по крайней мере для нас! Но вы можете проверить несколько чисел, чтобы увидеть, как это работает:
\[ \begin{align*}
f(x) &= \sqrt{x + \sqrt{x}} – \sqrt{x} \\[8px ] f(100) &= \sqrt{100 + \sqrt{100}} – \sqrt{100} \приблизительно 10,48 – 10 = 0,48 \\[8px] f(10 000) &= \sqrt{10 000 + 100} – 100 \приблизительно 100,499 – 100 = 0,499 \\[8px] \end{выравнивание*} \] 92 + ax} \right) }$, где $a$ — константа.

Нажмите, чтобы посмотреть расчетное решение

При $x \to \, -\infty$ член $x$ становится все больше и больше в отрицательном направлении, а член квадратного корня становится все больше и больше в положительном направлении . Таким образом, мы не сразу знаем, в чем разница между двумя терминами. $(“-\infty + \infty”$ может быть чем угодно — это «неопределенное выражение», означающее, что у нас есть еще работа.)

Чтобы продолжить, мы будем использовать тот же подход, который мы использовали ранее при оценке пределов в которых были квадратные корни: мы рационализируем выражение, умножив его на сопряженное $x – \sqrt{x^2 + ax}$, деленное само на себя: 92}}}\\[8px] &= \lim_{x \to\, -\infty}\frac{-a}{1 + \sqrt{1 + \frac{a}{x}}} \\[8px] &= \frac{-a}{1 + \sqrt{1}} \\[8px] &= \frac{-a}{2} \quad \cmark
\end{align*} \]

Обратите внимание, что в предпоследней строке мы использовали тот факт, что $\displaystyle{\lim_{x \to \, -\infty} \frac{a}{x} = 0 }. $

[свернуть]

Практическая задача №7

Учащийся разместил этот вопрос в комментариях ниже.
Найти $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}\big[\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x} – \sqrt{x} \big]}.$ 93}} = \infty$ и $ \displaystyle{\lim_{x \to \infty}\sqrt{x}} = \infty,$ имеем $”\infty – \infty”$, что неопределенно: мы не Мы не знаем, каков на самом деле предел, но у нас есть еще много работы.

Как это часто бывает, разложение на множители обеспечивает путь вперед: обратите внимание, что мы можем извлечь $\sqrt{x}$ из обоих членов:

\begin{align*}
\sqrt{x}\sqrt{ x}\sqrt{x} – \sqrt{x} &= \sqrt{x} \big( \sqrt{x}\sqrt{x} – 1 \big) \\[8px] &= \sqrt{x}(x – 1)
\end{align*}
Как только мы это сделали, предел становится ясным:
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty}\big[\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x} – \ sqrt{x} \big] &= \lim_{x \to \infty}\big[\sqrt{x}(x – 1)\big] \\[8px] &= \big[\lim_{x \to \infty}\sqrt{x} \big] \cdot \big[\lim_{x \to \infty}(x – 1)\big] \\[8px] &= \infty \cdot \infty \\[8px] &= \infty \quad \cmark
\end{align*}

[свернуть]

Практическая задача №8

Учащийся разместил этот вопрос в комментариях ниже.
Найти $\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} – \sqrt{x} }$.

Нажмите, чтобы просмотреть решение исчисления

Есть два основных шага, чтобы найти этот предел.

Шаг 1 : Как и в предыдущих задачах, мы умножаем выражение на его сопряженное деление на себя:
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty}\left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} – \sqrt{x}\right) &= \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x) }}} – \sqrt{x} \right)\cdot \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{ х + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty} \frac{\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}\right)\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \right) + \cancel{\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} – \sqrt{x} \right)\left(\sqrt{x } \right)} – \cancel{\left( \sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} – \sqrt{x} \right)} + \left( -\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x} \right) }{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}} \\[8px] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\left(x + \sqrt{x + \sqrt{x}} \right) -x}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{ х}}} + \sqrt{х}} \\[8px] &= \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x} }
\end{align*}
С помощью этого переписанного выражения вы могли бы взглянуть на него и увидеть, что в числителе преобладает (первый) член $\sqrt{x}$, а в числителе в равной степени преобладают два множители $\sqrt{x}$, поэтому ограничение будет $\dfrac{1}{2}. $

Но если вы этого не видите (потому что вы еще не сделали 10 000 таких типов задач), или вам нужно это доказать, мы переходим к нашему обычному подходу Шаг 2 : Разделите числитель и знаменатель на наибольший множитель в знаменателе, который равен $\sqrt{x}.$ Итак, давайте умножим числитель и знаменатель на $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$:
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \ sqrt {x}}
& = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ frac {1} {\ sqrt {x}} \ sqrt {x + \ sqrt {x}}} {\ frac { 1}{\sqrt{x}}\left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}\right)} \\[8px] & = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sqrt {\ frac {x + \ sqrt {x}} {x}}} {\ sqrt {\ frac {x + \ sqrt {x + \ sqrt { x}}}{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}\\[8px] &= \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1 + \frac{\sqrt{x + \sqrt{ х}}}{х}}+1} \\[8px] &= \frac{\sqrt{1 + \cancelto{0}}{\left(\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}}}{\sqrt{ 1 + \cancelto{0}{\left( \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{x}\right)}}+1} \\[8px ] &= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 1} \\[8px] &= \frac{1}{2} \quad \cmark
\end{выравнивание*}
Ух ты! 🙂

[свернуть]

Хотите получить доступ к всем наших задач исчисления и решения? Купить полный доступ сейчас — это быстро и просто!



Пределы в бесконечности | Математика

Ограничения в бесконечности


Лимиты не ограничиваются реальными числами. Взять предел функции, когда она стремится к положительной бесконечности, $\infty$, или к отрицательной бесконечности, $-\infty$, тоже интересно. Стремится ли эта функция к бесконечности? Или он останавливается на одном значении?

Однако пределы на бесконечности не обязательно должны сходиться к одному значению. Осциллирующие функции, такие как синус и косинус, не сходятся к одному значению и не возрастают до бесконечности либо в сторону $\infty$, либо в сторону $-\infty$. Поскольку они просто продолжают повторяться, спрашивать, где они могут «заканчиваться», бессмысленно.

Что касается нахождения пределов на бесконечности, будут полезны два дополнительных предельных закона:

  1. Если $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$, то $\lim\limits_{ х \стрелка вправо \infty} \dfrac{1}{f(x)} = 0$. 94}} \\ = \ dfrac {\ влево (1 + 0 \ вправо) \ sqrt {1 – 0}} {1 – 0} \\ = 1 $

    Показать ответ

javascript. Как можно рассчитать предел, когда он приближается к бесконечности или 0?

Ниже мы используем loop и recur , чтобы позволить вашей функции бесконечно повторяться. И вместо использования setTimeout я повторяю как можно быстрее, но вместо этого вывожу результат для каждого интервала 1000 x

 const recur = (...values) =>
  ({ повторяются, значения })
  
константный цикл = f =>
{ пусть акк = f ()
  в то время как (acc && acc.recur === recur)
    акк = f (... акк.значения)
  возврат согласно
}

const calculatePi = (предел = бесконечность) =>
  цикл // цикл нашей функции ...
    ((всего = 0, x = 1, addSubBool = false) =>
      { if (x > limit) // условие остановки
          общая сумма возврата
          
        if (x % 1e3 === 1) // отображать прогресс по мере продвижения
          console.log(x, всего, всего - Math.PI)

        if (total === Math.PI) // найдено решение
          общая сумма возврата
        
        если (добавитьSubBool)
          return recur // повторяться с ...
            ( всего - 4 / x // следующий итог
            , х + 2 // следующий х
            , false // следующий addSubBool
            )

        еще
          return recur // повторяться с . ..
            ( всего + 4 / х // следующий итог
            , х + 2 // следующий х
            , true // следующий addSubBool
            )
     }
   )
   
console.log(вычислитьPi(1e7)) 

Как видите, этому методу требуется много времени, чтобы прийти к ответу. Даже после десяти миллионов (10M) x мы все еще вычислили только 6 пунктов точности –

 x общая разница
...
9997001 3.1415924535297624 -2.0006003076389334e-7
9998001 3,1415924535497695 -2,0004002365681117e-7
9999001 3,141592453569776 -2,0002001699381822e-7
 

Другой подход примет точность в качестве входных данных calculatePi . Вместо ограничения каким-то произвольным x , мы будем продолжать вычисления, пока не будет достигнута определенная точность. В демонстрационных целях эта функция также возвращает x , поэтому мы можем увидеть, насколько большим должно быть x , прежде чем будет достигнута желаемая точность –

 const calculatePi = (precision = 1e5) =>
  петля
    ((всего = 0, x = 1, addSubBool = false) =>
      { if (общая * точность >> 0 === Math. PI * точность >> 0)
          возврат [всего, х]
        если (добавитьSubBool)
          возврат
            (всего - 4/х
            , х + 2
            , ЛОЖЬ
            )
        еще
          возврат
            (всего + 4 / х
            , х + 2
            , истинный
            )
     }
   )
 

Как видите, x превышает 37 миллионов, чтобы достичь точности 7 знаков после запятой —

 console.log
  ( вычислить Пи (1e2)
    // [ 3.14999586659347, 239 ]
  , вычислить Пи (1e3)
    // [ 3.141000236580159, 3377 ]
  , рассчитать Пи (1e4)
    // [ 3.1415000095284658, 21589 ]
  , рассчитать Пи (1e5)
    // [ 3.141599999994786, 272243 ]
  , рассчитать Пи (1e7)
    // [ 3.1415926000000005, 37320609 ]
  )
 

Разверните приведенный ниже фрагмент, чтобы проверить результаты в браузере —

 const recur = (...значения) =>
  ({ повторяются, значения })
  
константный цикл = f =>
{ пусть акк = f ()
  в то время как (acc && acc.recur === recur)
    акк = f (. .. акк.значения)
  возврат согласно
}

const calculatePi = (точность = 1e5) =>
  петля
    ((всего = 0, x = 1, addSubBool = false) =>
      { if (общая * точность >> 0 === Math.PI * точность >> 0)
          возврат [всего, х]
        
        если (добавитьSubBool)
          возврат
            (всего - 4/х
            , х + 2
            , ЛОЖЬ
            )

        еще
          возврат
            (всего + 4 / х
            , х + 2
            , истинный
            )
     }
   )
   
консоль .лог
  ( вычислить Пи (1e2)
    // [ 3.14999586659347, 239 ]
  
  , вычислить Пи (1e3)
    // [ 3.141000236580159, 3377 ]
  
  , рассчитать Пи (1e4)
    // [ 3.1415000095284658, 21589 ]
  
  , рассчитать Пи (1e5)
    // [ 3.141599999994786, 272243 ]
  
  , рассчитать Пи (1e7)
    // [ 3.1415926000000005, 37320609 ]
  ) 

Наконец, нет особого смысла сверяться с Math.PI при вычислении числа пи; Я предполагаю, что вся цель состоит в том, чтобы вычислить число, которое мы притворяемся, что не знаем. Для этого начнем примерно с угадать , а затем измерить разницу между ним и общим числом . Если предположение находится в пределах указанного допуска, вернуть предположение –

 const calculatePi = (precision = 1e5) =>
  петля
    // предположение начинается с 1
    ((предположение = 1, общее количество = 0, x = 1, addSubBool = false) =>
      { if (Math .abs (предположим - всего) * точность < 1)
          вернуть [догадка, х]
        если (добавитьSubBool)
          return recur // повторяться с ...
            ( всего // следующее предположение
            , итого - 4 / x // следующий итог
            , х + 2 // следующий х
            , false // следующий addSubBool
            )
        еще
          return recur // повторяться с ...
            ( всего // следующее предположение
            , итог + 4 / x // следующий итог
            , х + 2 // следующий х
            , true // следующий addSubBool
            )
     }
   )
 

Мы видим, что все работает как надо. Признаться, я удивлен корреляцией между точностью ввода и необходимым для его вычисления разрешением x

 console .log
  ( вычислить Пи (1e2)
    // [ 3.136592684838816, 403 ]
  , вычислить Пи (1e3)
    // [3.1410926536210413, 4003]
  , рассчитать Пи (1e4)
    // [ 3.1415426535898248, 40003 ]
  , рассчитать Пи (1e5)
    // [ 3.1415876535897618, 400003 ]
  , рассчитать Пи (1e7)
    // [ 3.141592603589817, 40000003 ]
  )
 

Разверните приведенный ниже фрагмент, чтобы проверить результаты в браузере —

 const recur = (...значения) =>
  ({ повторяются, значения })
  
константный цикл = f =>
{ пусть акк = f ()
  в то время как (acc && acc.recur === recur)
    акк = f (... акк.значения)
  возврат согласно
}

const calculatePi = (точность = 1e5) =>
  петля
    // предположение начинается с 1
    ((предположение = 1, общее количество = 0, x = 1, addSubBool = false) =>
      { if (Math .abs (предположим - всего) * точность < 1)
          вернуть [догадка, х]
        
        если (добавитьSubBool)
          return recur // повторяться с .
            		            	
	

Оставить комментарий