Предел найти предел последовательности примеры – ?

Содержание

1.Предел последовательности.

Пусть аргумент
принимает все значения изнатурального
ряда

(1)

члены которого мы представляем себе
упорядоченными по возрастанию (т.е.
большее число
следует за меньшим).
Если каждомупо некоторому правилу или закону
поставлено в соответствие,
то говорят, что задана последовательность.

(2)

Например:

(3)

Определение 1.Числоназывается пределом последовательности,
если для любого сколь угодно малого
положительногонайдется такой номер,
что для всехвыполняется неравенство:

.
(4)

Тот факт, что число
является пределом последовательности,
записывается так:

.
(5)

Неравенство (4) эквивалентно неравенствам
или.
Последние неравенства означают, что
элементнаходится в-окрестности числа.-окрестностьючисланазывается интервал.
Поэтому определение предела
последовательности можно сформулировать
также и следующим образом:

Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой-окрестности числанаходятся все элементы последовательности,
начиная с некоторого номера.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1.Если последовательность
имеет предел, то он единственный.

Теорема 2.Если последовательность
имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.Предел суммы (разности)
двух последовательностей равен

сумме (разности) пределов этих
последовательностей.

.

Теорема 4.Предел произведения двух
последовательностей равен произведению
пределов этих последовательностей.

.

Теорема 5. Предел частного двух
последовательностей равен частному
пределов этих последовательностей (при
условии, что знаменатель не обращается
в нуль).

.

Теорема 6.Если для двух последовательностейии,
члены последовательностиудовлетворяют неравенству,
тогда.

Бесконечно малые и бесконечно большие
величины.

Определение 3.Последовательностьназывается бесконечно малой, если.
Последовательностьназывается бесконечно большой, если.

  • Сумма конечного числа бесконечно малых
    величин есть величина бесконечно малая.

  • Произведение конечного числа бесконечно
    малых величин есть величина бесконечно
    малая.

  • Произведение конечной величины на
    бесконечно малую величину есть величина
    бесконечно малая.

  • Сумма конечного числа бесконечно
    больших величин есть величина бесконечно
    большая.

  • Произведение конечного числа бесконечно
    больших величин есть величина бесконечно
    большая.

  • Произведение конечной величины на
    бесконечно большую величину есть
    величина бесконечно большая.

  • Если
    является бесконечно большой величиной,
    то ее обратная величинабудет бесконечно малой.

Предел последовательности
Число.

Предел данной последовательности равен

где число
-основание
натурального логарифма.

При вычислении пределов типа (6) следует
использовать следующие свойства:

1.(7)

2.(8)

3.(9)

4.(10)

Приведем несколько примеров вычисления
пределов последовательности.

Пример 1

Вычислить предел последовательности.

Решение:

В данном примере последовательность
представляет собой рациональную дробь,
для вычисления пределов такого вида
необходимо знаменатель и числитель
дроби разделить на
в наивысшей степени. В нашем примере
это.

Так как
,
если,
а-
ограниченная величина.

Ответ:

Пример 2

Вычислить предел последовательности

Решение:

Аналогичный прием во многих случаях
можно применять и для дробей, содержащих
иррациональности.

Ответ:

Пример 3

Вычислить предел последовательности
.

Решение:

Для вычисления подобных пределов с
неопределенностью
,
необходимо умножить и разделитьна его сопряженное. Это необходимо для
того, чтобы воспользоваться формулой
«разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня,
получить дробь.

Ответ:

Пример
4

Вычислить
предел последовательности
.

Решение:

Для
вычисления подобных пределов необходимо
умножить и разделить
на неполный квадрат суммы. Это необходимо
для того, чтобы воспользоваться формулой
«разность кубов»и, избавившись от кубических корней,
получить дробь. Неполным квадратом
суммы в нашем примере является:

Ответ:

Пример
5

Вычислить
предел последовательности

Решение:

Последовательность

является арифметической прогрессией
с разностью.
Суммапервых членов арифметической прогрессии
находится по формуле:

(11)

Т.е.
тогда

Ответ:

Пример
6

Вычислить
предел последовательности

Решение:

Напомним,
что

(12)

(13)

Ответ:

Пример
7

Вычислить
предел последовательности

Решение:

Для вычисления предела преобразуем
к виду (6). С этой целью выделим в числителе
выражение, стоящее в знаменателе и
почленно разделим, а затем воспользуемся
свойствами (7)-(10):

Ответ:

studfiles.net

Предел последовательности

Определение числовой последовательности

Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.

Определение 1

Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.

Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.

Определение 3

Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).

Определение 4

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).

Определение 5

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).

Определение 6

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.

Определение 7

Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}

Определение 8

Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.

Определение 9

Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.

Предел числовой последовательности

Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.

Определение 10

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|

Определение 11

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Определение 12

Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$

С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.

Определение 13

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

Свойства предела числовой последовательности

  1. Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

  2. Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.

  3. Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства

и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то

Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:

  1. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

  2. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$.

Теорема 2

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной числовой последовательности $\left(x_n\right)$ можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, которая имеет конечный предел.

Теорема 3

Теорема — Критерий Больцано-Коши

Для того чтобы числовая последовательность $(x_n)$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любых номеров $n,\ m >N$ выполняется равенство $\left|x_n-x_m\right|

Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности

Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.

Пример 1

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }=\infty \]

Пример 2

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }$

Решение:

Правило 2: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя меньше степени знаменателя, то данный предел равен $0$.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }=0\]

Пример 3

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя равна степени знаменателя, то данный предел равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

spravochnick.ru

Предел последовательности — теоремы и свойства

Последовательности

Числовой последовательностью называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
Число называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Более подробно см. страницу   Определение числовой последовательности >>>.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех действительных n.

Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′: .

Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′: .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Открытый интервал (a – ε, a + ε) называют ε — окрестностью точки a.

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью. Также говорят, что последовательность сходится к a. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n, что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε — окрестностью точки a, за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Более подробно материал изложен на странице
Определение предела последовательности >>>.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a, за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C: , то эта последовательность имеет предел, равный числу C.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Доказательства основных свойств приведены на странице
Основные свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,   если .
В случае частного предполагается, что для всех n.

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Свойства, связанные с неравенствами

Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу:   .

Если    и    и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству  , то   .

Если и, начиная с некоторого номера, , то .
В частности, если, начиная с некоторого номера, , то
если , то ;
если , то .

Если     и   , то   .

Пусть    и  . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство .

Доказательства свойств, связанных с неравенствами приведены на странице
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>>.

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если ее предел равен нулю:
.

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a, необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или     при  .
Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N, то
.
Если же , то
.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Последовательность называется строго возрастающей, если для всех n выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей последовательности выполняется неравенство:
.
Для неубывающей:
.
Для невозрастающей:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Последовательность называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу:   . Невозрастающая последовательность ограничена сверху:   .

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Доказательство теоремы Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>>.

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Предел числовой последовательности — Википедия

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности {xn}{\displaystyle \{x_{n}\}}, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует номер Nε{\displaystyle N_{\varepsilon }}, зависящий от ε{\displaystyle \varepsilon }, такой, что для любого n>Nε{\displaystyle n>N_{\varepsilon }} выполняется неравенство  |xn−a|<ε{\displaystyle \ |x_{n}-a|<\varepsilon }.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представ

ru.wikipedia.org

39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

Числовая
последовательности и ее предел.

 Функция
f(x)
называется
функцией целочисленного
аргумента,

если множество значений x,
для
которых она определена, является
множеством всех натуральных чисел1, 2,
3,… Примером функции целочисленного
аргумента может служить сумма n
первых
чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой
последовательностью
называется
бесконечное множество чисел

 (1)

следующих
одно за другим в определенном порядке
и построенных по определенному закону,
с помощью которого
задается
как функция целочисленного аргумента,т.е..

Число
А называется пределом последовательности
(1),
если
для любого
 существует
число
,
такое, что привыполняется
неравенство.
Если
число А есть предел последовательности
(1), то пишут

Числовая
последовательность не может иметь более
одного предела. Последовательность,
имеющая предел, называется сходящейся.

Для
сходящихся последовательностей имеют
место теоремы:

 если
.

40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.

Функция
y=f(x)
называется бесконечно
малой

при x→a
или при x→∞,
если
или,
т.е. бесконечно малая функция – это
функция, предел которой в данной точке
равен нулю.

Примеры.

  1. Функция
    f(x)=(x-1)2
    является бесконечно малой при x→1,
    так как
    (см.
    рис.).

  2. Функция
    f(x)
    = tgx
    – бесконечно малая при x→0.

  3. f(x)
    = ln (1+x)–
    бесконечно малая при x→0.

  4. f(x)
    = 1/x
    бесконечно малая при x→∞.

Установим
следующее важное соотношение:

Теорема.
Если функция y=f(x)
представима при x→aв
виде суммы постоянного числа b
и бесконечно малой величины α(x):
f (x)=b+ α(x)

то
.

Обратно,
если
,
тоf
(x)=b+α(x)
,
где a(x)
– бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

  1. Докажем
    первую часть утверждения. Из равенства
    f(x)=b+α(x)
    следует |f(x)
    – b|=| α|
    .
    Но так как a(x)
    – бесконечно малая, то при произвольном
    ε найдется δ – окрестность точки a,
    при всех x
    из которой, значения a(x)
    удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε.
    Тогда |f(x)
    – b|<

    ε. А это и значит, что
    .

  2. Если
    ,
    то при любом ε>0
    для всех х
    из некоторой δ – окрестность точки a
    будет |f(x)
    – b|<

    ε. Но если обозначимf(x)
    – b= α
    ,
    то |α(x)|<ε,
    а это значит, что a
    – бесконечно малая.

Рассмотрим
основные свойства бесконечно малых
функций.

Теорема
1.

Алгебраическая сумма двух, трех и вообще
любого конечного числа бесконечно малых
есть функция бесконечно малая.

Доказательство.
Приведем доказательство для двух
слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x),
где
и.
Нам нужно доказать, что при произвольном
как угодно малом ε>0
найдется δ>0,
такое, что для x,
удовлетворяющих неравенству |x
– a|<δ
,
выполняется |f(x)|<
ε.

Итак,
зафиксируем произвольное число ε>0.
Так как по условию теоремы α(x)
– бесконечно малая функция, то найдется
такое δ1>0,
что при |x
– a|<
δ1
имеем |α(x)|<
ε/2.
Аналогично, так как β(x)
– бесконечно малая, то найдется такое
δ2>0,
что при |x
– a|<
δ2
имеем |
β(x)|<

ε/2.

Возьмем
δ=min{
δ1,
δ2}.Тогда
в окрестности точки a
радиуса δбудет
выполняться каждое из неравенств |α(x)|<
ε/2
и |
β(x)|<

ε/2.
Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=|
α(x)+β(x)
|
|α(x)|
+ | β(x)| <

ε/2
+
ε/2=
ε,

т.е.
|f(x)|<ε,
что и требовалось доказать.

Теорема
2.

Произведение бесконечно малой функции
a(x)
на ограниченную функцию f(x)
при x→a
(или при x→∞)
есть бесконечно малая функция.

Доказательство.
Так как функция f(x)
ограничена, то существует число М
такое, что при всех значениях x
из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M.
Кроме того, так как a(x)
– бесконечно малая функция при x→a,
то для произвольного ε>0
найдется окрестность точки a,
в которой будет выполняться неравенство
|α(x)|<
ε/M.
Тогда в меньшей из этих окрестностей
имеем |
αf|<

ε/M=
ε. А это и значит, что af
– бесконечно малая. Для случая x→∞
доказательство проводится аналогично.

Из
доказанной теоремы вытекают:

Следствие
1.

Если
и,
то.

Следствие
2.

Если
иc=const,
то
.

Теорема
3.

Отношение бесконечно малой функции
α(x)
на функцию f(x),
предел которой отличен от нуля, есть
бесконечно малая функция.

Доказательство.
Пусть
.
Тогда 1/f(x)
есть ограниченная функция. Поэтому
дробь
есть
произведение бесконечно малой функции
на функцию ограниченную, т.е. функция
бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ
МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема
1.

Если функция f(x)
является бесконечно большой при x→a,
то функция 1/f(x)
является бесконечно малой при x→a.

Доказательство.
Возьмем произвольное число ε>0
и покажем, что при некотором δ>0
(зависящим от ε) при всех x,
для которых |x
– a|<δ
,
выполняется неравенство
,
а это и будет означать, что1/f(x)

бесконечно малая функция. Действительно,
так как f(x)
– бесконечно большая функция при x→a,
то найдется δ>0
такое, что как только |x
– a|<δ
,
так |f(x)|>1/
ε. Но тогда для тех же x.

Примеры.

  1. Ясно,
    что при x→+∞
    функция
    y=x2+1
    является бесконечно большой. Но тогда
    согласно сформулированной выше теореме
    функция

    бесконечно малая приx→+∞,
    т.е.
    .

  2. .

Можно
доказать и обратную теорему.

Теорема
2.

Если функция f(x)
— бесконечно малая при x→a
(или x→∞)
и не обращается в нуль, то y=1/f(x)
является бесконечно большой функцией.

Доказательство
теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

  1. .

  2. .

  3. ,
    так как функции
    и-
    бесконечно малые приx→+∞,
    то
    ,
    как сумма бесконечно малых функций
    есть функция бесконечно малая. Функция
    жеявляется
    суммой постоянного числа и бесконечно
    малой функции. Следовательно, по теореме
    1 для бесконечно малых функций получаем
    нужное равенство.

Таким
образом, простейшие свойства бесконечно
малых и бесконечно больших функций
можно записать с помощью следующих
условных соотношений: A
0

.

ТЕОРЕМЫ
О ПРЕДЕЛАХ

Теорема
1.

Предел алгебраической суммы двух, трех
и вообще определенного числа функций
равен алгебраической сумме пределов
этих функций, т.е.

.

Доказательство.
Проведем доказательство для двух
слагаемых, так как для любого числа
слагаемых оно проводится так же. Пусть
.Тогдаf(x)=b+α(x)
и g(x)=c+β(x),
где α
и β
– бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x)
+ g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x))
.

Так
как b
+ c
есть
постоянная величина, а α(x)
+ β(x)

– функция бесконечно малая, то

.

Пример.
.

Теорема
2.

Предел произведения двух, трех и вообще
конечного числа функций равен произведению
пределов этих функций:

.

Доказательство.
Пусть
.
Следовательно,f(x)=b+α(x)
и g(x)=c+β(x)
и

fg
= (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение
bc
есть величина постоянная. Функция
+ c α + αβ

на основании свойств бесконечно малых
функций есть величина бесконечно малая.
Поэтому
.

Следствие
1.

Постоянный множитель можно выносить
за знак предела:

.

Следствие
2.

Предел степени равен степени предела:

.

Пример..

Теорема
3.

Предел частного двух функций равен
частному пределов этих функций, если
предел знаменателя отличен от нуля,
т.е.

.

Доказательство.
Пусть
.
Следовательно,f(x)=b+α(x)
и g(x)=c+β(x),
где α,
β

– бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь
является
бесконечно малой функцией, так как
числитель есть бесконечно малая функция,
а знаменатель имеет пределc2≠0.

Примеры.

  1. .

  2. .

  3. Рассмотрим
    .
    Приx→1
    числитель дроби стремится к 1, а
    знаменатель стремится к 0. Но так как
    ,
    т.е.есть
    бесконечно малая функция приx→1,
    то
    .

Теорема
4.

Пусть даны три функции f(x),
u(x)

и v(x),
удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤
v(x)
.
Если функции u(x)
и v(x)
имеют один и тот же предел при x→a
(или x→∞),
то и функция f(x)
стремится к тому же пределу, т.е. если

,
то
.

Смысл
этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство
теоремы 4 можно найти, например, в
учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное
и интегральное исчисления, т. 1 – М.:
Наука, 1985.

Теорема
5.

Если при x→a
(или x→∞)
функция y=f(x)
принимает неотрицательные значения
y≥0
и при этом стремится к пределу b,
то этот предел не может быть отрицательным:
b≥0.

Доказательство.
Доказательство проведем методом от
противного. Предположим, что b<0,
тогда |y
– b|≥|b|

и, следовательно, модуль разности не
стремится к нулю при x→a.
Но тогда y
не стремится к пределу b
при x→a,
что противоречит условию теоремы.

Теорема
6.

Если две функции f(x)
и
g(x)
при всех значениях аргумента x
удовлетворяют неравенству f(x)≥
g(x)

и имеют пределы
,
то имеет место неравенствоb≥c.

Доказательство.
По условию теоремы f(x)-g(x)
≥0
,
следовательно, по теореме 5
,
или.

ОДНОСТОРОННИЕ
ПРЕДЕЛЫ

До
сих пор мы рассматривали определение
предела функции, когда x→a
произвольным образом, т.е. предел функции
не зависел от того, как располагалось
x
по отношению к a,
слева или справа от a.
Однако, довольно часто можно встретить
функции, которые не имеют предела при
этом условии, но они имеют предел, если
x→a,
оставаясь с одной стороны от а,
слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят
понятия односторонних пределов.

Если
f(x)
стремится
к пределу b
при x
стремящемся к некоторому числу a
так, что xпринимает
только значения, меньшие a,
то пишут
и
называютbпределом
функции f(x) в точке a слева.

Таким
образом, число b
называется пределом функции y=f(x)
при x→aслева,
если каково бы ни было положительное
число ε, найдется такое число δ (меньшее
a),
что для всех
выполняется
неравенство.

Аналогично,
если x→a
и принимает значения большие a,
то пишут
и
называютb
пределом функции в точке а
справа. Т.е. число b
называется пределом
функции y=f(x) при x→a справа
,
если каково бы ни было положительное
число ε, найдется такое число δ (большее
а),
что для всех
выполняется
неравенство.

Заметим,
что если пределы слева и справа в точке
a
для функции f(x)
не совпадают, то функция не имеет предела
(двустороннего) в точке а.

Примеры.

  1. Рассмотрим
    функцию y=f(x),
    определенную на отрезке [0,1] следующим
    образом

Найдем
пределы функции f(x)
при x→3.
Очевидно,
,
а.

  1. .

  2. .

ТИПЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

И
СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто
при вычислении пределов какой-либо
функции, непосредственное применение
теорем о пределах не приводит к желаемой
цели. Так, например, нельзя применять
теорему о пределе дроби, если ее
знаменатель стремится к нулю. Поэтому
часто прежде, чем применять эти теоремы,
необходимо тождественно преобразовать
функцию, предел которой мы ищем.

Условные
выражения

характеризуют
типы неопределенностей и применяются
для обозначения переменных величин,
при вычислении предела которых нельзя
сразу применять общие свойства пределов.

Рассмотрим
некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I.
Неопределенность
.

  1. .

  2. .

При
разложении числителя на множители
воспользовались правилом деления
многочлена на многочлен «углом». Так
как число x=1
является корнем многочлена x3
– 6x2
+ 11x
6, то при делении получим

  1. .

II.
Неопределенность
.

  1. .

При
вычислении предела числитель и знаменатель
данной дроби разделили на x
в старшей степени.

  1. .

  2. .

  3. .

При
вычислении предела воспользовались
равенством
,еслиx<0.

Следующие
виды неопределенностей с помощью
алгебраических преобразований функции,
стоящей под знаком предела, сводят к
одному из рассмотренных выше случаев
или.

III.
Неопределенность 0 ·∞.

.

IV.
Неопределенность ∞ –∞.

  1. .

studfiles.net

1.Числовая последовательности и ее предел.

 Функция f(x) называется
функцией целочисленного
аргумента,
 если
множество значений x, для
которых она определена, является
множеством всех натуральных чисел1,
2, 3,… Примером функции целочисленного
аргумента может служить сумма n первых
чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой
последовательностью
 называется
бесконечное множество чисел

  (1)

следующих одно
за другим в определенном порядке и
построенных по определенному закону,
с помощью которого  задается
как функция целочисленного
аргумента,  т.е.  .

Число А называется
пределом последовательности
 (1), если
для любого
   существует
число
  ,
такое, что при
  выполняется
неравенство
  . Если
число А есть предел последовательности
(1), то пишут

Числовая
последовательность не может иметь более
одного предела. Последовательность,
имеющая предел, называется сходящейся.

Для
сходящихся последовательностей имеют
место теоремы:

 если  .

Пример
1.
 

 Найти
общий член последовательности 1, 4, 9, 16,
25, …

Р е ш е н и
е : нетрудно видеть, что

 и
т.д.

Следовательно 

 

Пример
2.

 Найти
общий член последовательности 

Р е ш е н и
е : не трудно видеть, что

  

  и
т.д.

Следовательно:

  Пример
3.

 Доказать,
что последовательность с общим
членом  имеет
предел, равный нулю.

Р е ш е н и
е : запишем ряд членов последовательности

и
положим  .
Для всех членов данной последовательности,
начиная с четвертого, выполняется
равенство

Действительно

 и т.д.

В
данном случае N (см.
определение предела последовательности)
можно принять равным трем (или любому
числу, больше трех), так как, если
порядковый номер члена
последовательности n больше
трех, то выполняется неравенство

 .

Положим
теперь  .
Ясно, что для
всех членов последовательности начиная
с седьмого,

 .

Теперь
за N можно
принять шесть (или любое число, большее
шести). Если  ,
то  и
т.д.

В
данном случае можно найти общее выражение
для числа N в
зависимости от  . Общий член
данной последовательности  .
Задавшись произвольным положительным
числом  ,
мы должны в соответствии с определением
предела, потребовать, чтобы
при n > N выполнялось
неравенство ,
если  .

Решая
неравенство относительно n,
получаем  .
Итак, за N можно
принять число  (или
любое большее число). Таким образом, мы
показали, что для любого  существует
такое  ,
чтопри  ,
выполняется неравенство  ,
а это и доказывает, что пределом
последовательности является нуль.

Отметим,
что в этой задаче члены последовательности
приближались к своему пределу, оставаясь
больше этого предела, как говорят,
справа.

2.Способы задания функции.

1. Аналитический способ

      Чтобы
задать функцию, нужно указать способ,
с помощью которого для каждого значения
аргумента можно найти соответствующее
значение функции. Наиболее употребительным
является способ задания функции с
помощью формулы у = f (х), 
где
f (х) — некоторое выражение с переменной
х. В таком случае говорят, что функция
задана формулой или что функция задана
аналитически.

      Для
аналитически заданной функции иногда
не указывают явно область определения
функции. В таком случае подразумевают,
что область определения функции у = f
(х) совпадает с областью определения
выражения f (х), т. е. с множеством тех
значений х, при которых выражение f (х)
имеет смысл.

studfiles.net

Правила вычисления пределов числовой последовательности

Задачи на нахождение пределов числовых последовательностей при движении номера их общего члена до бесконечности занимают важное место в высшей математике и могут многое рассказать об их сходимости.

Основная суть в нахождении таких границ заключается в выделении из числителя и знаменателя крупнейшего слагаемого или множителя. После этого числитель и знаменатель делят на это значение и получают конечный результат.

Рассмотрим задачи из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

————————————

Пример 1.

Найти пределы.

1) (4. 285)

2) (4. 291)

3) (4. 293)

4) (4. 295)

5) (4. 298)

6) (4. 301)

7) (4. 302)

8) (4. 304)

9) (4. 307)

Решение.

1) Из числителя и знаменателя выделяем множитель который вносит наибольший вклад и сокращаем на него

2) Выделяем множители содержащие третью степень и сокращаем на них

3) Разбиваем данный пример на сумму двух границ

4) В такого типа примерах нужно вынести в знаменателе из-под корня множитель в наибольшей степени

5) В этом примере и подобных нужно найти слагаемое с максимальным степенью

В числителе переменная находится в степенях и . Переменная в знаменателе находится в степенях и . Поскольку наибольший степень знаменателя является большим от степени числителя то знаменатель растет быстрее за числитель. В таком случае граница

Если бы было наоборот, то предел был бы равен бесконечности (). В случае одинаковых показателей переменной, числитель и знаменатель сокращаем на нее и получаем константу.

6) Границы с факториалами занимают особое место среди числовых последовательностей. При их нахождении числитель и знаменатель раскладывают до наибольшего общего факториала

Граница равна нулю, так как степень знаменателя больше от числителя .

7) Как и в предыдущем примере раскладываем до наибольшего общего факториала

8) К примерам в которых переменная выступает в качестве показателя надо относиться с особым вниманием. Незнание закономерностей поведения степенных функций часто приводит к ошибкам в решении. В данном примере растет значительно быстрее поэтому его выделяем как самый множитель

9) Величины и стремятся к нулю при . На основе этого вычисляем предел

Подобных примеров можно найти немало и решения большинства из них заключается в нахождении доминирующего множителя. Если он в числителе то граница направляется к бесконечности, в знаменателе — к нулю. И только когда и там и там можно сократить на этот множитель дробь и получить предел в виде константы.

————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о