Предел равен: Предел функции онлайн - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Свойства пределов

5.1Пределы и ограниченность

5.1.1Сходящаяся последовательность ограничена

Теорема 1. Пусть последовательность {an} сходится (то есть имеет предел). Тогда она ограничена.

Доказательство. Обозначим этот предел за A. Сформулируем все утверждения в кванторах.

У нас есть. limn→∞an=A, в кванторах записывается так:

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<ε.(5.1)

Мы хотим получить. Последовательность {an} ограничена, то есть

∃C ∀n∈N:|an|≤C.(5.2)

Итак, мы хотим из (5.1) прийти к (5.2).

Начнём как обычно с картинки.

Рис. 5.1: Ограниченность последовательности, имеющей предел.

Хвост последовательности. На картинке видно, что кусок последовательности, начинающийся с номера n=N(ε)+1 («хвост»), явно ограниченный: все элементы живут в коридоре вокруг числа A и не могут от него далеко уходить. Из рисунка получается, что все эти элементы ограничены по модулю числом A+ε (верхняя граница коридора), но это потому, что мы его так нарисовали — если бы A было меньше нуля, картинка оказалась симметричной (относительно горизонтальной оси) и ограничение проходило бы по нижней границе коридора. Чтобы не возиться с разбором разных случаев, мы будем пользоваться свойствами модулей. Однако, прежде, чем мы перейдём к аккуратному построению, нужно решить важный вопрос. Дело в том, что у нас сейчас нет никакого ε. Нам сказано (в (5.1)), что N найдётся для любого ε>0, то есть ε мы можем задавать сами. Но как?

На самом деле, здесь можно выбрать любое значение ε>0. Например, положим ε=1. Пусть N=N(1) — теперь это какое-то зафиксированное число. Тогда для всех n>N,

|an−A|<1.

Итак, мы имеем оценку для |an−A| для хвоста последовательности. А хотим, как следует из (5.2), оценку для |an|. Как её получить? Воспользуемся неравенством треугольника!

Величина |an| — это расстояние от an до нуля. Это расстояние не больше, чем сумма расстояний от an до A и от A до 0:

|an|=|an−0|≤|an−A|+|A−0|=|an−A|+|A|.

|an|=|an−0|≤|an−A|+|A−0|==|an−A|+|A|.

Но мы знаем, что для n>N, |an−A|<1. Следовательно, для тех же n,

|an|<|A|+1.(5.3)

Итак, для хвоста последовательности мы получили искомую оценку. Однако, это ещё не конец доказательства. Вдруг хвост ограниченный, а «голова» (элементы до N включительно) нет?

Начало последовательности. На самом деле, этого не может быть. Дело в том, что элементов от a1 до aN всего конечное число (их ровно N штук). А любое конечное множество обязательно ограниченно, потому что в нём есть максимальный элемент — такой элемент, который не меньше всех остальных. (Аккуратное доказательство этого утверждения — хорошее упражнение. Подсказка: можно сделать индукцию по числу элементов и воспользоваться тем фактом, что среди двух чисел всегда одно не меньше другого.

)

Сведём всё воедино. Итак, хвост последовательности можно ограничить числом |A|+1, а начало — максимальным из модулей чисел a1, a2, …, aN. Положим:

C:=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,|A|+1}

По построению, C искомое. Действительно, для всех натуральных n, либо n≤N, и тогда |an|≤C по определению максимума, либо n>N, и тогда |an|<|A|+1≤C по (5.3).∎

5.1.2Бесконечные пределы

Итак, мы выяснили, что все сходящиеся последовательности ограничены. Однако, оказывается полезным выделить среди неограниченных последовательностей такие, чьё поведение похоже на поведение последовательностей, которые куда-то стремятся — только не к какому-то числу, а «к бесконечности». Аккуратный смысл этого выражения даётся следующими определениями.

Определение 1. Последовательность {an} стремится к бесконечности, если для всякого числа C∈R найдётся такое натуральное N=N(C), что для всех n>N выполняется неравенство |an|>C. В кванторах:

∀C∈R ∃N=N(C) ∀n>N:|an|>C.

Пишут:

limn→∞an=∞

или

an→∞ при n→∞.

Рис. 5.2: Последовательность стремится к бесконечности.

Определение 2. Последовательность {an} стремится к плюс бесконечности, если для всякого числа C∈R найдётся такое натуральное N=N(C), что для всех n>N выполняется неравенство an>C. В кванторах:

∀C∈R ∃N=N(C) ∀n>N:an>C.

Пишут:

limn→∞an=+∞

или

an→+∞ при n→∞.

Определение 3. Последовательность {an} стремится к минус бесконечности, если для всякого числа C∈R найдётся такое натуральное N=N(C), что для всех n>N выполняется неравенство an<C. В кванторах:

∀C∈R ∃N=N(C) ∀n>N:an<C.

Пишут:

limn→∞an=−∞

или

an→−∞ при n→∞.

Упражнение 1. Докажите следующие утверждения, используя приведенные выше определения.

Последовательность {an}, an=n, стремится к бесконечности, а также к плюс бесконечности.
Последовательность {(−1)nn} стремится к бесконечности, но ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности не стремится.
Последовательность {n+(−1)nn} не стремится ни к какой бесконечности, хоть и является неограниченной.

5.2Арифметика пределов

Пусть есть две последовательности, {an} и {bn}. Над ними можно проводить арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить. Операции над последовательностями проводятся поэлементно. Например, пусть последовательность {cn} является суммой последовательностей {an} и {bn}. Можно записать:

{cn}={an}+{bn},

что будет означать

∀n∈N:cn=an+bn.

Серия утверждений, которые мы докажем в этом разделе, говорит о том, как операция перехода к пределу взаимодействует с арифметическими операциями.

5.2.1Предел суммы

Теорема 2. Пусть даны две последовательности, {an} и {bn} и существуют пределы limn→∞an=A,limn→∞bn=B.(5.4)(5.5) Тогда предел последовательности {an+bn} тоже существует и равен A+B:

limn→∞(an+bn)=A+B.

Попросту говоря, «предел суммы равен сумме пределов».

Заметим, что A и B здесь — обязательно обычные вещественные числа, поскольку требуется, чтобы пределы существовали (см. замечание 2).

Доказательство. Перепишем формально, что нам дано, и что требуется доказать.

Нам дано.

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<ε1.∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|bn−B|<ε2.(5.6)(5.7)

Мы хотим доказать.

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|(an+bn)−(A+B)|<ε.(5.8)

Утверждения (5. 6) и (5.7) можно понимать так: мы можем добиться того, чтобы an был близок к A, а bn был близок к B, накладывая подходящие условия на n. Утверждение (5.8), которое мы хотим доказать, звучит так: мы хотим научиться накладывать такие условия на n, чтобы сделать (an+bn) близким к (A+B). Выглядит логично: если an близко к A, а bn близко к B, то логично ожидать, что (an+bn) окажется близко к (A+B). Осталось доказать!

Начнём с преобразования левой части неравенства в конце (5.8):

|(an+bn)−(A+B)|=|(an−A)+(bn−B)|.

|(an+bn)−(A+B)|==|(an−A)+(bn−B)|.

Это тождественное преобразование (раскрыли скобки и перегруппировали слагаемые), но оно позволяет выделить в формуле те разности, которые мы умеем оценивать: (an−A) и (bn−B). Вернее, мы умеем оценивать их модули, поэтому нам понадобится одно из свойств модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей:

|(an−A)+(bn−B)|≤|an−A|+|bn−B|.(5.9)

|(an−A)+(bn−B)|≤≤|an−A|+|bn−B|.

(5.9)

Теперь заметим, что первое слагаемое мы можем сделать меньшим, чем ε1, а второе — меньшим, чем ε2. Но как выбрать ε1 и ε2? Мы хотим в конечном итоге прийти к неравенству, в правой части которого будет ε. Значит, можно выбрать ε1 и ε2 так, чтобы их сумма равнялась ε. Положим:

ε1=ε2,ε2=ε2.

Теперь мы можем подставить эти ε1 и ε2 в утверждения (5.6) и (5.7). Каждое из них выдаст нам в ответ своё N (вернее, N1 и N2) — номера членов, после которых выполняется соответствующая оценка для |an−A| и |bn−B|. Мы хотим, чтобы они выполнялись обе. Как обычно, это означает, что из получившихся значений нужно выбрать максимальное.

Итак, мы готовы сформулировать железобетонное доказательство. Для любого ε>0 положим ε1=ε/2 и ε2=ε/2. Из (5.6) и (5.7) получим такие N1=N1(ε1)=N1(ε/2) и N2=N2(ε2)=N2(ε/2), что для всех n>N1

|an−A|<ε1=ε2,(5.10)

и для всех n>N2

|bn−B|<ε2=ε2. (5.11)

Положим теперь:

N(ε):=max(N1(ε2),N2(ε2)).

Тогда для всех n>N(ε), будет выполнятья n>N1 и n>N2, и значит будут выполняться обе оценки (5.10) и (5.11).

Значит, согласно (5.9), для всех таких n, будет также выполняться оценка

|(an+bn)−(A+B)|≤|An−A|+|Bn−B|<ε2+ε2=ε.

|(an+bn)−(A+B)|≤≤|An−A|+|Bn−B|<<ε2+ε2=ε.

Таким образом, (5.8) доказано: мы научились по каждому положительному ε строить такое N, что для всех n>N выполнено неравенство |(an+bn)−(A+B)|<ε.

Ура!∎

5.2.2Упрощающая лемма

Давайте посмотрим ещё раз на доказательство теоремы 2. Нам пришлось довольно хитрым образом выбирать ε1 и ε2 по ε, чтобы в итоге получилось нужное неравенство. Этот момент выглядит немножко неестественным. Что было бы, если бы мы просто положили ε1=ε и ε2=ε? Тогда в конечном итоге было бы доказано такое утверждение:

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<2ε.

Это утверждение не является определением предела. Тем не менее, понятно, что оно эквивалентно определению предела: выбирать произвольное положительное значение ε и выбирать произвольное положительное значение 2ε — это одно и то же!

Следующая лемма, которой мы будем в дальнейшем пользоваться, формализует это соображение.

Лемма 1. Пусть нашлась такая константа C, что для всякого ε1>0 найдётся такое N1=N1(ε1) что для всякого n>N1 выполняется неравенство |an−A|<Cε1. Тогда limn→∞an=A.

Формально: пусть

∃C ∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<Cε1.

тогда

limn→∞an=A.(5.12)

Иными словами, если при доказательстве утверждения (5.12) получилось доказать «испорченное» определение предела, где в правой части последнего неравенства вместо ε стоит 10ε или 15ε или какое-нибудь (M+1)2ε — ничего страшного, это всё равно победа. Главное, чтобы константа, стоящая перед ε, не зависела от n.

Доказательство. Во-первых, заметим, что C обязательно больше нуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен, поэтому неравенство |an−A|<Cε1 может выполняться лишь при условии, что в правой части стоит положительное число, а ε1>0, значит C>0.

Перепишем условие (5.12) формально. Оно выглядит так:

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<ε.

Чтобы по ε найти N, возьмём ε1=εC (имеем право так написать, потому что C>0, и значит деление допустимо и не поменяет знак) и положим N=N1(ε1)=N1(ε/C). Тогда для всех n>N выполняется неравенство:

|an−A|<Cε1=CεC=ε.

Что и требовалось получить. Лемма доказана.∎

Теперь при доказательстве теорем, аналогичных теореме 2, мы не будем подбирать хитрым образом вспомогательные ε, а вместо этого просто будем считать ε1=ε2=ε и дальше воспользуемся только что доказанной леммой. Начнём с теоремы о пределе произведения.

5.2.3Предел произведения

Теорема 3. Пусть даны две последовательности, {an} и {bn} и существуют пределы limn→∞an=A,limn→∞bn=B.(5.13)(5.14) Тогда предел последовательности {anbn} тоже существует и равен AB:

limn→∞anbn=AB.

Попросту говоря, «предел произведения равен произведению пределов».

Доказательство. Как обычно, запишем, что нам известно, и что нужно доказать.

Нам дано. Равенства (5.13) и (5.14) записываются в виде:

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<ε1.∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|bn−B|<ε2.(5.15)(5.16)

Мы хотим доказать. Равенство (5.17):

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|anbn−AB|<ε.(5.17)

Преобразуем левую часть последнего неравенства в (5. 17). Для этого воспользуемся картинкой (см. рис. 5.5).

Геометрический смысл произведения — площадь прямоугольника с заданными сторонами. Построим прямоугольник со сторонами an и bn. Давайте для определенности считать, что A<an и B<bn (это предположение полезно для иллюстрации, но нас оно не будет ограничивать: простое алгебраическое доказательство нужной нам формулы его не требует). Тогда прямоугольник со сторонами A и B будет меньше первого прямоугольника и его можно разместить внутри, прижав к левому нижнему углу.

Рис. 5.5: Иллюстрация к формуле (5.18).

Выражение (anbn−AB) — разность площадей двух прямоугольников, которая выглядит как уголок. Можно разбить этот уголок на два прямоугольника, один со сторонами (an−A) и B, а другой со сторонами an и (bn−B). Имеем:

|anbn−AB|=|(an−A)B+an(bn−B)|.(5.18)

|anbn−AB|==|(an−A)B+an(bn−B)|.(5.18)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, легко проверить, что это алгебраическое тождество. (Как правило переход слева направо в этом тождестве делается с помощью приёма «добавим и вычтем anB», что выглядит как фокус — нарисовав картинку мы раскрыли секрет этого фокуса.)

Воспользуемся теперь свойствами модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей, модуль произведения равен произведению модулей. Получаем такую оценку:

|(an−A)B+an(bn−B)|≤|an−A|⋅|B|+|an|⋅|bn−B|(5.19)

|(an−A)B+an(bn−B)|≤≤|an−A|⋅|B|++|an|⋅|bn−B|(5.19)

Заметим, что сомножители |an−A| и |bn−B| мы умеем делать маленькими благодаря известным нам пределам. А именно, положим ε1=ε2=ε и пусть N=max(N1(ε),N2(ε)). Тогда для всех n>N:

|an−A|<ε,|bn−B|<ε.

Разберемся теперь с остальными сомножителями (см. рис. 5.6).

Во-первых, |B|. С ним ничего делать не надо: это просто число, которое не зависит от n.

Далее, |an|. С этой штукой не так просто: она от n зависит. Однако, мы помним, что последовательность, имеющая предел, ограничена. А последовательность {an} имеет предел по условию. Значит, найдётся такое C1, что для всех n, |an|<C1.

Рис. 5.6: Иллюстрация к формуле (5.20).

Все сомножители неотрицательны, и значит можно оценить каждый из сомножителей, оценить их произведение, а потом оценить сумму. Имеем:

|an−A|⋅|B|+|an|⋅|bn−B|<|B|ε+C1ε=(|B|+C1)ε.(5.20)

|an−A|⋅|B|++|an|⋅|bn−B|<<|B|ε+C1ε=(|B|+C1)ε.(5.20)

Соединяя (5.18), (5.19) и (5.20) в одну длинную цепочку неравенств, получаем неавенство, верное для всех n>N:

|anbn−AB|<(|B|+C1)ε.

Положим теперь C=|B|+C1 и по лемме 1 искомое утверждение доказано.∎

5.3Заключение

Мы продолжаем строить теорию пределов и в этой лекции определили новое понятие — бесконечные пределы, причём аж трёх видов (к счастью, очень похожих друг на друга). Мы также доказали ряд важных общих свойств конечных пределов. Во-первых, сходящаяся (к конечному числу) последовательность ограничена. Во-вторых, предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов (но только если все эти пределы существуют, то есть, опять же, конечны). Наконец, мы доказали очень полезную лемму, которой будем пользоваться в дальнейшем. В следующей лекции мы разберемся с пределом частного — с ним будет всё похитрее. Не переключайтесь!

← Предыдущая глава Следующая глава →

Вычисление пределов

Получите готовые материалы учителя на весь учебный год для работы в классе и удалённо! Подробнее…

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Тестовые задания для обучающихся дистанционным образом по теме “Вычисление пределов”.

Вопрос 1

Вычислите предел

Варианты ответов

Вопрос 2

Вычислите предел

Варианты ответов

5
-5
3

Вопрос 3

Чему равен предел последовательности значений функции, которая является бесконечно малой величиной?

Варианты ответов

0
1
не существует

Вопрос 4

Варианты ответов

Вопрос 5

Какое из высказываний является трактовкой теоремы о пределе сложной функции?

Варианты ответов

Предел сложной функции равен пределу произведения двух функций
Предел сложной функции равен частному от деления предела первой функции на предел второй функции
Символы предела и функции можно поменять местами

Вопрос 6

Вычислите предел функции

Варианты ответов

Вопрос 7

Найти предел функции

Варианты ответов

Вопрос 8

Какое из высказываний имеет отношение к характеристике бесконечно малых величин?

Варианты ответов

Никакое фиксированное число, кроме нуля, не может быть бесконечно малым
Понятие бесконечно малой величины является относительным
Примером бесконечно малой величины может служить минус бесконечность

Вопрос 9

Что из перечисленного не является приёмом раскрытия неопределённости?

Варианты ответов

Почленное деление числителя и знаменателя на одно и то же число
Замена в знаке предела величины, к которой стремится переменная
Домножение на сопряжённое выражение

Вопрос 10

Если выражение приведено к отношению двух первых замечательных пределов, то предел равен

Варианты ответов

1
Отношению коэффициентов при этих пределах
0

Вопрос 11

Приведение к отношению вторых замечательных пределов выполнено, когда

Варианты ответов

Выражения в числителе и знаменателе имеют одинаковую структуру
Можно поменять в знаке предела величину, к которой стремится переменная
В числителе содержится синус

Вопрос 12

Вычислите предел

Варианты ответов

Вопрос 13

Варианты ответов

-0,2
0,3
0

Пройти тест

Сохранить у себя:

Предел 1/x при x стремящ.

к 0 равен бесконеч. или не опред? : Чулан (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Andrei94

Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред?

03.01.2012, 17:51

22/11/11
380

Можно ли сказать, что он равен бесконечности ? Или все-таки не определен?

Понимаю, что

Whitaker

Re: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред?

03.01.2012, 18:02

12/01/11
1320
Москва

Он еще как определен, т.е. предел равен
когда переменная будет приближаться к нулю будет неограниченно возрастать.
Например у такой последовательности несуществует. Надеюсь Вы понимаете почему это так?

Andrei94

Re: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред?

03.01.2012, 18:07

22/11/11
380

Whitaker в сообщении #522609 писал(а):

Он еще как определен, т.е. предел равен
когда переменная будет приближаться к нулю будет неограниченно возрастать.

Спасибо! А какой знак у бесконечности? Это же зависит от того — с какой стороны будет приближаться, а этого не сказано, когда написано

Whitaker в сообщении #522609 писал(а):

несуществует. Надеюсь Вы понимаете почему это так?

Да, по теореме о единственности предела.
Если предел существует — то он один и к нему сходятся все подпоследовательности. А у нас 2 подпоследовательности и они имеют разные пределы => предела не существует.

Whitaker

Re: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред?

03.01.2012, 18:11

12/01/11
1320
Москва

Пожалуйста Andrei94

!
Если приближается к нулю справа, то величина будет “шагать” в ,а если же приближается к нулю слева, то величина будет “шагать” в
Хотя это Вы сами отлично поняли.
А так просто пишут без всяких знаков.

Andrei94 в сообщении #522612 писал(а):

Если предел существует — то он один и к нему сходятся все подпоследовательности. А у нас 2 подпоследовательности и они имеют разные пределы => предела не существует.

Всё верно

Andrei94

Re: Предел 1/x при x стремящ. к 0 равен бесконеч. или не опред?

03.01.2012, 19:13

22/11/11
380

Спасибо, понял!
С Новым Годом!

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 5 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Предельное определение и значение — Merriam-Webster

1 из 2

ограничивать · это ˈli-mət

: то, что ограничивает, сдерживает или ограничивает

возрастной ценз для юниоров в гольф

: максимальная степень

довела свое тело до предела

: географическая или политическая граница

ограничивает множественное число : Место, заключенное на границу : Границы

в пределах севера они пришли Джон Милтон

: Ограничение

определяющая черта или отличие в логике

: предписанная максимальная или минимальная сумма, количество или число: например,

: максимальное количество дичи или рыбы, которое можно законно выловить в определенный период

: максимум, установленный для азартной игры, повышения или выплаты

: число, числовое отличие которого от математической функции сколь угодно мало для всех значений независимых переменных, достаточно близких, но не равных заданным заданным числам, или достаточно больших положительно или отрицательно

: число, которое для бесконечной последовательности чисел таково, что в конечном счете каждый из оставшихся членов последовательности отличается от этого числа меньше, чем на любую заданную положительную величину

: невыносимый

У нас была плохая погода, но это предел.

Безграничный

ˈli-mət-ləs

имя прилагательное

неограниченно наречие

безграничность сущ.

предел

2 из 2

переходный глагол

: установить определенные ограничения на : установить

зарезервировано право ограничить использование земли

: для ограничения границ или пределов

специалист больше не может ограничиваться своей специальностью

: сокращение или сокращение количества или степени

мы должны ограничить силы агрессоров

ограниченный

ˈli-mə-tə-bəl

имя прилагательное

ограничитель существительное

Синонимы

Существительное

связанный
граница
крышка
потолок
ограничивает
конец
степень
ограничение
строка
окончание

Глагол

заглушка
очерчивать
ограничивать
удерживать
limited

Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе

Примеры предложений

Существительное Он достиг предела своей выносливости. На тренировках она довела свое тело до физических пределов . Он пытается быть творческим в пределах ограничивает обычной журналистики. Есть пределы тому, что я могу от него вынести! Глагол Нам нужно найти способы лимит расходов. Он пытался ограничить ущерб своей репутации, обвиняя других людей. Фактором , ограничивающим экономические показатели нашей страны, является нехватка ресурсов. Наша нехватка денег ограничивает наши возможности. Из-за нехватки денег мы должны ограничить себя меньшим количеством вариантов. Узнать больше

Последние примеры в Интернете

Идентификаторы будут проверяться во время покупки, и существует ограничение на двух алкогольных напитков за транзакцию. Бен Фланаган | [email protected], al , 16 сентября 2022 г. С ее особой добродушной харизмой — и ее победой на Открытом чемпионате США, убедительно доказавшей, что ее мастерство простирается за пределы грунтовых кортов, которые когда-то считались ее зоной комфорта — для Святек небо теперь предел . Лиам Хесс, Vogue , 13 сентября 2022 г. Будет 90 193 предел 90 194 из двух из того, что MLB называет выходами из зацепления — попытками захвата или отступления от резины — за появление тарелки, и блокировка будет объявлена для третьего или более, если нет аута. Рональд Блюм, Anchorage Daily News , 10 сентября 2022 г. Будет ограничение из двух из того, что MLB называет выходом из зацепления — попытками захвата или отступления от накладки — на появление пластины, и блокировка будет требоваться для третьего или более, если нет аута. Новости CBS , 9 сентября 2022 г. Будет 90 193 предел 90 194 из двух из того, что MLB называет выходами из зацепления — попытками захвата или отступления от резины — за появление тарелки, и блокировка будет объявлена для третьего или более, если нет аута. Рональд Блум, 9 лет0193 ajc , 9 сентября 2022 г. Небо – это предел , и Суперкубок выглядит осуществимым. Даниэль Кон, SPIN , 7 сентября 2022 г. Существует ограничение 90 193 – один голос на человека/адрес электронной почты в день. The Enquirer , 2 сентября 2022 г. Существует 90 193 предел 90 194 того, что сообщество ЛГБТК+ может сделать без большей институциональной поддержки. Дэвид Штейн, 9 лет0193 STAT , 27 августа 2022 г.

Все так беспокоятся о том, чтобы навешивать на вещи ярлыки, и ограничивают себя одним оттенком чего-то, одной чертой поведения или одним товарным знаком. Морин Ли Ленкер, 9 лет0193 EW.com , 18 сентября 2022 г. Тренер «Львов» Дэн Кэмпбелл сказал, что команда пыталась ограничить его лимитом в его первом возвращении к полноценной игре вживую. Detroit Free Press , 12 сентября 2022 г. Что касается списка людей, которые могут видеть ваши снимки, обязательно ограничьте его друзьями. Wsj Off Duty Editors, WSJ , 10 сентября 2022 г. Хантер не ограничивает себя игрой бегунов. al , 6 сентября 2022 г. Солнцу нужно будет найти какой-нибудь способ ограничить ее на обоих концах этажа. Лила Бромберг, Хартфорд, Курант , 3 сентября 2022 г. Вудс, чьи 46 лет и хирургически отремонтированное тело ограничивают его до редких выступлений на соревнованиях, прилетел в Делавэр перед предпоследним мероприятием FedEx специально для поддержки PGA. Тара Салливан, 9 лет0193 BostonGlobe.com , 1 сентября 2022 г. В настоящее время модули могут найти применение во многих приложениях вторичной эксплуатации, но Мактурк полагает, что батареи большего размера в конструкциях «ячейка-блок» и «ячейка-шасси» могут ограничить их применение в приложениях для хранения данных в сети. Марк Эндрюс, WIRED , 29 августа 2022 г. Не ограничивайте себя одной поездкой за яблоками. Меган Хьюз, 9 лет0193 Better Homes & Gardens , 25 августа 2022 г. Узнать больше

Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «лимит». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.

История слов

Этимология

Существительное и глагол

Среднеанглийский, от англо-французского limite , от латинского limit-, лаймы border

Первое известное использование

Существительное

15 век, в значении, определенном в смысле 1a

Глагол

15 век, 403 903 век значение определено в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование лимит был в 14 веке

Посмотреть другие слова из того же века известковость

ограничение

ограничитель

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись0003

«Ограничение». Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/limit. По состоянию на 25 сентября 2022 г.

Copy Citation

Kids Definition

limit 1 из 2

ограничивать · это ˈli-mət

: точка, за которую нельзя выйти

Она часто бегает, но знает свои ограничения .

: сумма или число, которое является наименьшим или наибольшим допустимым После того, как я израсходовал свои лимита , я отправился домой.

: линия границы

город лимит

лимит

2 из 2

: для управления размером или протяженностью чего-либо

Мне нужно ограничить расходы.

Еще от Merriam-Webster на

limit

Нглиш: Перевод limit для говорящих на испанском языке

Britannica English: Перевод limit для говорящих на арабском языке

Britannica.com: статья в энциклопедии о limit

Последнее обновление: 22 сентября 2022 г.

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи других определений и расширенный поиск свободно!

Merriam-Webster без сокращений

Левый и правый пределы

В некоторых случаях вы позволяете x приближаться к числу a слева или справа. правильно, а не “обе стороны сразу”, как обычно.

1. означает: вычислить предел по мере того, как x приближается к c от справа — то есть через числа больше, чем c.

2. означает: вычислить предел по мере того, как x приближается к c от до — то есть через числа меньше c.

Эти ситуации могут возникнуть, если определено только слева или справа от c. Например, функция определена только для (поскольку квадратный корень из отрицательного числа не действительное число).

Также можно рассмотреть левый и правый пределы, когда определено по обе стороны от c. В этом случае важный вопрос: равны ли левый и правый пределы?

Пример. На рисунках показаны графики некоторых функции. В каждом случае укажите, соответствуют ли левый и правый пределы в c определены. Если оба определены, скажите, равны ли они.

В (а) правый предел определен, потому что график приближается определенной высоте справа (высота точки). левый предел не определен, потому что график не приближается к определенная высота: имеется вертикальная асимптота. (Можно также сказать левый предел равен , как мы обсудим ниже.)

Аналогично, в (b) правый предел не определен, а определен левый предел. (Можно также сказать, что правый предел есть , как мы обсудим ниже.)

Наконец, в (c) определены как правый, так и левый пределы, но они не равны. (Это означает, что обычный («двусторонний») предел не определен.

Я не буду излагать много теорем о левых и правых пределах, потому что в целом результаты, справедливые для обычных («двусторонние») пределы сохраняются для односторонних пределов. Например (опуская обычные технические предположения), вот правило для сумм для правых пределов:

Вы можете видеть, что это то же самое, что правило для сумм для обычных пределы, с той лишь разницей, что теперь я пишу ” ” вместо ” “.

Один важный момент, который мы уже отметили, — это отношение между левым и правым пределами и обычным (“двусторонние”) ограничения. Чтобы дать немного больше деталей, я сначала дайте формальные определения для левого и правого пределов.

Определение. (а) ( Правосторонний пределы ) Предположим, определен на интервал для . Сказать это означает: для каждого числа существует число такое, что

(b) ( Левосторонние пределы ) Предположим, определено на интервале для . Сказать это означает: для каждого число, существует число такое, что

Обратите внимание, что в каждом случае на самом деле может быть определяется по обеим сторонам c. Мы говорим, что для правой руки предел существования, его нужно только определить справа от в; чтобы существовал левый предел, достаточно, чтобы он был равен . определено слева от c. (Как обычно, может быть определено или не определено в c.)

Вот результат, который мы неофициально использовали до того, как это относится левый и правый пределы до обычных («двухсторонних») пределы. Доказательство — это доказательство, подобное те, которые я привел в разделах об определении лимитов и предельных теоремы; если вы учитесь на обычном курсе математического анализа для первого семестра, вы можете пропустить доказательство, если хотите.

Теорема. Предположим, определено на открытом интервале, содержащем c.

Затем определяется тогда и только тогда, когда и определены и равны.

В этом случае равно общему значению и .

Доказательство. Доказательство этой теоремы сводится к следующий факт об абсолютных значениях:

Причина в том, что означает, что x находится внутри c, но не равно с.

С другой стороны, означает, что x меньше с и находится в пределах с, и означает, что х больше с и в пределах c. Таким образом, если одно из этих двух утверждений верно, то верно и предыдущее утверждение, а если предыдущее утверждение истинно, то одно из них должно быть истинным.

Таким образом, предположим. я покажу это

Позволять . Так как существует число такой, что если , то .

Во-первых, если , то . Следовательно, .

Во-вторых, если , то . Следовательно, .

Далее я докажу обратное. Предположим, что

я покажу это

Позволять . Так как , есть число такое, что если , то .

Аналогично, поскольку существует такое число, что если тогда .

Теперь пусть . Помните, что это означает, что это меньшее из и , так что это в как минимум такой же маленький, как любой.

Предполагать . Это означает, что либо

В первом случае у меня

Следовательно, .

Во втором случае у меня

Следовательно, .

Это доказывает, что .

На словах этот результат говорит о том, что обычный («двусторонний») предел определен тогда и только тогда, когда левый и правый пределы определены и равны, и в этом случае их общим значением является значение обычного предела.

Пример. Вычислить

Является определенный?

Посмотрите на первый предел более внимательно. x приближается к 0 из справа . Числа рядом с 0, но справа от него маленькие положительные числа: 0,01, например. Маленькие положительные числа дают положительные: , Например. Если положительно, то , значит

(Обратите внимание, что вы не позволяете x равняться 0, поэтому , и отмена допустима.)

Следовательно,

Вот картинка:

Так как левый и правый пределы не совпадают, неопределенный.

Пример. Предположим

Вычислить , и .

Для вычисления я использую часть определения для f, которая применяется к:

Точно так же для вычисления я использую ту часть определения f, которая относится к :

Поскольку левый и правый пределы равны, двусторонний предел определяется и .

Тот факт, что не входит в проблема.

Пример. Функция определяется

Для какого значения k определено?

Чтобы быть определенными, левый и правый пределы в 2 должны быть определены и равны. Вычислите их:

Установите левый и правый пределы равными и найдите k:

Пример. Рассмотрим функцию, график которой изображен ниже:

Вычислить .

затем

Поскольку левые и правые пределы не совпадают,

Пример. Рассмотрим функцию, график которой изображен ниже:

Вычислить

Зависят ли эти пределы от значения ?

затем

Следовательно,

Значение не влияет на существование Лимит. На самом деле, предположим, я изменил функцию следующим образом:

Сейчас не определено, но

Левый и правый пределы могут привести к бесконечные пределы , поэтому я кратко обсужу идеи, прежде чем дать Некоторые примеры. Как обычно с теорией в этом курсе, точные определения приведены здесь для полноты и для тех, кто заинтересованы. Для большинства людей достаточно иметь хороший хватка как это выглядит графически когда предел бесконечен, и как бесконечные пределы могут возникнуть в предельных вычислениях.

Определение. (а) означает: Для каждого число , есть такое число , что если , то .

Иногда я буду писать ” ” вместо ” ” для акцента, чтобы помочь отличить его от ” ” в следующей части определение.

Определения правого и левого пределов:

(i) (Правые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

(ii) (Левые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

(б) означает: для каждого числа существует число , такое что если , то .

Определения правого и левого пределов:

(i) (Правые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

(ii) (Левые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

Таким образом, чтобы сказать приближается, когда x приближается к c (слева, справа или от обе стороны) означает, что по мере увеличения и положительный, без какой-либо верхней границы, когда x приближается к c.

Точно так же, чтобы сказать приближается, когда x приближается к c (слева, справа или от обе стороны) означает, что по мере увеличения и отрицательно, без какой-либо верхней границы, когда x приближается к c.

Во всех этих случаях не будет ошибкой сказать, что предел undefined, в том смысле, что это не номер . Но если ты можно сказать это или , это лучше, так как вы даете больше информации о происходящем.

Пример. На каждом рисунке ниже показан график функция . В каждом случае найти:

В),

Поскольку левый и правый пределы не совпадают, не определено.

В (б),

Пример. Вычислить .

Подключение дает. Лимит не определено . Но я могу сказать больше.

Попробуйте подставить число близкое к 1: Когда ,

Похоже, что получается большое и отрицательное . Фактически,

Чтобы понять, почему это так, вспомним, что x приближается к 1 от право . Это означает, что он будет небольшим и положительный. С другой стороны, . Так как верх отрицателен, а низ положителен, результат должен быть отрицательный .

Что касается размера, то у меня

Так как результат должен быть большой и отрицательный , это разумно, что это .

Другой способ увидеть это — нарисовать график рядом с . По мере продвижения к 1 справа график становится вниз к .

Ранее я отметил следующий факт: предположим,

Тогда двусторонний предел равен не определено . Как пример выше показывает, что с односторонними пределами дело обстоит иначе.

Если в этой ситуации имеет тот же знак для всех значений x, достаточно близких к c и превышающих c, тогда правый предел будет или или . Конкретный знак зависит от знаков верха и низа дроби.

Точно так же, если имеет один и тот же знак для всех x достаточно близко к c и меньше c, то левый предел будет или или . Опять же, конкретный знак зависит от знаков верха и низа дробная часть.

Условие «одинакового знака» будет выполнено, например, если f и g полиномы — то есть, если является рациональной функцией. Так и будет также удовлетворяться такими функциями, как

Пример. Вычислить .

Подключение дает. Так как это рациональная функция, то правый предел либо или ; я должен определите, какой из двух. посмотрю верх и низ отдельно.

В качестве , .

Что касается дна, так как x приближается к -3 от справа , Я считаю, что x больше, чем -3. Таким образом, , поэтому — положительно.

Поскольку приближается к отрицательному числу и приближается к положительному числу, частное равно отрицательный. Следовательно,

Я также могу увидеть это, если возьму число близкое к -3, но вправо of -3 — , например — и подключите его:

у меня большая отрицательное число , которое говорит о том, что предел должно быть .

Я мог также увидеть это, построив график функции, как в предыдущем пример.

В случае одностороннего ограничения и формы вы можете спросить: «Какой из этих методов является лучшим для определения значение?» Я чувствую, что для первого курса математического анализа все три являются приемлемыми .

Однако при подстановке чисел и построении графиков поддерживают для заключения, они на самом деле не дают доказательство . Графики могут быть обманчивы. И когда вы подключаете номер, откуда вы знаете, что номер, который вы выбрали, “типичный”? Первый способ — рассуждения о знаках с использованием неравенства — намного ближе к строгому доказательству результата.

Контактная информация

Домашняя страница Брюса Икенаги

Что такое предел в исчислении? Лимит – это просто …

Помните

Обе части исчисления основаны на ограничениях!

Предел функции — это значение, к которому $$f(x)$$ приближается по мере того, как $$x$$ приближается к некоторому числу.

Примеры

Пример 1

Давайте посмотрим на график $$f(x) = \frac 4 3 x -4$$ и исследуем точки, в которых $$x$$ “близок” к $$x = 6$$. Мы начнем с точек, где $$x$$ меньше 6.

Обратите внимание, что по мере того, как значения $$x$$ приближаются к 6, значения функции приближаются к $$y = 4$$. Теперь давайте посмотрим на точки функции, где $$x$$ больше 6.

Таблица нанесенных точек

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline 7 и 5.33333\\\hлиния 6,5 и 4,66667\\\hлиния 6,25 и 4,33333\\\hлиния 6.1 и 4.13333\\\hлиния 6.01 и 4.01333\\\hлиния \конец{массив} $$

Как и раньше, чем ближе мы подходили к $$x = 6$$, тем ближе подходила функция к $$y = 4$$.

Конечно, поскольку $$f(6) = 4$$, это может показаться неудивительным. Тем не менее, это идея предела, и ее можно резюмировать следующим образом:

Когда $$x$$ приближается к определенному числу, к чему приближается функция?

Обозначение предела

У математиков есть специальные обозначения, указывающие на то, что они работают с предельными значениями. Например, ответ на Пример 1 будет записан так:

Пример 2

Предположим, что $$f(x) = \frac{\sin x}{x }$$. Что такое $$\displaystyle \lim_{x\to0} f(x)=$$?

Заманчиво просто подставить $$x$$ = 0, чтобы попытаться получить ответ, но если мы попробуем

$$f(0) = \frac{\sin 0} {\color{red}{0}} \mbox{не определено! (Деление на ноль)}$$

Несмотря на то, что функция не определена, когда $$x$$ = 0, мы все равно можем ответить на вопрос. вопрос с использованием лимита.

Следующие две таблицы помогут нам понять, что происходит вблизи $$x$$ = 0.

При приближении $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline -1 & 0,84143\\\hлиния -0,5 и 0,9588\\\hline -0,1 и 0,99808\\\hлиния -0,01 и 0,99945\\\hлиния -0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

ИЛИ

При приближении $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline 1 & 0,84143\\\hлиния 0,5 и 0,9588\\\hline 0,1 и 0,99808\\\hлиния 0,01 и 0,99945\\\hлиния 0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

В обеих таблицах чем ближе x приближается к 0, тем ближе функция приближается к 1. Теперь давайте взглянем на график функции, просто для визуальной проверки.

Как и в таблицах, график показывает, что по мере приближения к $$x$$ = 0, Значение $$y$$ приближается к 1 !

Или, если использовать математические обозначения:

$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x} x = 1$$.

Важно

$$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x} x = 1$$ НЕ говорит $$f(x) = 1$$, когда $$x=0$$ $$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x} x = 1$$ говорит, что $$f(x)$$ получает $$\textit{close}$$ до 1, если $$x$ $ приближается к 0 .

Проблема с нашей точностью

Давайте еще раз взглянем на эти таблицы из второго примера.

При приближении $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline -1 & 0,84143\\\hлиния -0,5 и 0,9588\\\hлиния -0,1 и 0,99808\\\hline -0,01 и 0,99945\\\hлиния -0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

ИЛИ

При приближении $$x$$ к 0…

$$f(x)$$ приближается к 1.

Во втором примере мы сказали, что $$f(x)$$ приближается к 1. Но разве они не приближаются к 0,9999999? Так что же верно?

$$ \displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin x} x = 1? $$

ИЛИ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x} x = 0,9999999? $$

Это проблема с использованием таблиц значений (такая же проблема с графиками). Они недостаточно точны, чтобы получить точный ответ!

Существуют способы точного определения предельных значений, но эти методы рассматриваются в последующих уроках. На данный момент важно помнить, что при использовании таблиц или графиков лучшее, что мы можем сделать, — это оценить.

Следовательно, по таблицам и графики, ответы на два приведенных выше примера должны быть

Пример 1: $$\displaystyle \lim_{x\to6} \left(\frac 4 3 x – 4\right) \приблизительно 4$$

Пример 2: $$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x} x \приблизительно 1$$

Формальное определение предела

Вы видели пределы в классе исчисления и знаете, что это как-то связано с приближением, но как бы вы использовали это в доказательстве?

Фото Тома Подмора на Unsplash

Если вы читаете эту статью, у вас, вероятно, есть хорошее интуитивное представление об ограничениях. Лимит f(x) при приближении x к a значение f(x) приближается, когда x приближается к a . В более общем смысле, когда вход приближается к значению, функция приближается к предельному значению.

Хотя эта интуиция хороша и все такое, она не поможет в доказательстве. Нам нужно точное определение того, что значит приближаться к чему-либо. После нескольких столетий размышлений Вейерштрасс пришел к такому определению: эпсилон-дельта определение предела . Я не большой визуальный ученик и не аниматор, поэтому я бы порекомендовал посмотреть видео 3blue1brown о лимитах, прежде чем двигаться дальше.

Если бы мы формализовали это определение, то у нас было бы много случаев, но пока мы сосредоточимся на двух случаях (позже мы обобщим их): конечный и бесконечный пределы. Для конечных двусторонних пределов мы имеем

, где D — область определения f(x) . Для бесконечных пределов у нас есть

. Для пределов на отрицательной бесконечности замените х > N с х < -N .

Несмотря на то, что эти определения содержат символы, которые могут быть вам незнакомы, каждый из приведенных выше символов имеет простое определение. Вам нужно будет узнать, что означает каждый символ, только один раз. В этом разделе я объясню каждый символ.

Логическая эквивалентность

Это утверждение означает, что P и Q логически эквивалентны. Точнее, P и Q являются истинными или ложными. P не может быть истинным, а Q ложным или наоборот. На простом английском это можно прочитать как «Сказать P — это то же самое, что сказать Q » или « P тогда и только тогда, когда Q ». Если вы хотите доказать P , то вы можете доказать Q или наоборот. В нашем определении предела это означает, что если мы хотим сказать

, мы можем показать

Универсальный квантификатор

Это утверждение означает, что каждый элемент S (обозначается как k ) будет удовлетворять всем последующим. Вы можете думать об этом как о вызове для того, кто не верит в то, что вы собираетесь сказать дальше. «Ты мне не веришь? Выберите любой элемент из S . Назовите это k . k удовлетворит все, что следует из этого».

Два экземпляра универсального квалификатора в определении:

Первое выражение означает, что вы можете выбрать любое положительное число, которое хотите. Второе выражение означает, что вы можете выбрать любой элемент в домене ф(х) .

Квантификатор существования

Это выражение означает, что существует по крайней мере один элемент k в S такой, что все последующее верно. Нам часто приходится доказывать, что такое k существует, в том числе при доказательстве пределов.

Единственным экземпляром квантора существования в определении является

, что в сочетании с утверждением перед ним означает, что вы можете назвать по крайней мере одно положительное число 𝛿 такое, что остальная часть утверждения верна независимо от положительного значения вы выбираете для ϵ .

Следствие

Это выражение означает, что если P истинно, то Q истинно. Классическим примером является утверждение «Если вы пойдете под дождем, то промокнете», которое выглядит как

, если написать его как импликацию. Обратите внимание, что если утверждение верно, то возможны три варианта:

Вы идете под дождем и промокаете.
Под дождем не гуляешь и не промокаешь.
Вы не идете под дождем и промокаете (например, вы падаете в бассейн или попадаете под брызги из разбрызгивателя).

Единственный случай, когда утверждение может быть ложным, это то, что вы могли ходить под дождем, но не промокли. Важно привести пример, потому что некоторые люди путают импликацию с логической эквивалентностью. Большая разница между ними состоит в том, что P может быть ложным, а Q может быть истинным подразумеваемым, но не логически эквивалентным.

Единственное значение в определении

говорит, что если x находится на расстоянии 𝛿 от a (но не равно a ), то f(x) находится на расстоянии ϵ от L .

Собираем все вместе

Сказать

то же самое, что сказать, что для любого положительного значения ϵ

мы можем найти по крайней мере одно положительное значение для 𝛿

такое, что для любого значения x в области определения D

(0 < | x - a | < 𝛿 ) подразумевает (| f(x) – L | < ϵ) .

Многие учителя или учебники остановятся на этом и не покажут вам, как использовать это определение. Мы можем преобразовать это определение в общий набор шагов, которым мы можем следовать, чтобы доказать предел.

Конечные пределы

Выберите произвольное значение ϵ > 0 . В данном случае это означает, что мы рассматриваем ϵ как переменную.
Решите неравенство | f(x) – L| < ϵ для x .
Вы должны были получить что-то вроде m(ϵ, a) < x < n ( ϵ, a) , где m(ϵ, a) и n(ϵ, a) — выражения, содержащие ϵ и a .
Ваш 𝛿 является меньшим из двух значений | m(ϵ, а) – а | и | п(е, а) – а | .
Вы говорите Q.E.D. и произвести впечатление на всех на вечеринке.

Бесконечные пределы

Выберите произвольное значение ϵ > 0 . В данном случае это означает, что мы лечим ϵ в качестве переменной.
Решите неравенство | f(x) – L| < ϵ для N .
Вы должны были получить что-то вроде N > g(ϵ, x) , где g(ϵ, x) — это выражение, содержащее ϵ и x .
Вы говорите Q.E.D. и произвести впечатление на всех на вечеринке.

Невозможно решить алгебраически

Теперь, если вы не можете найти x или N , то обычно вы можете использовать некоторые другие приемы, чтобы получить более хорошие результаты. Например, вы можете использовать неравенство треугольника или найти минимальное и максимальное значения функции.

Базовый пример

Рассмотрим классический пример

Во-первых, мы рассматриваем ϵ как произвольную переменную. Затем мы решаем следующее неравенство для x

Наши m(ϵ, 5) = 5 – ϵ / 2 и наши n(ϵ, 5) = 5 + ϵ / 2 . Обратите внимание, что x не может равняться 5 , если мы хотим исключить (x – 5) из числителя и знаменателя. К счастью, для ограничений x никогда не требуется. Теперь мы вычисляем два приведенных выше значения, которые нам нужны, чтобы определить значение 𝛿.

Два значения равны, поэтому мы можем выбрать 𝛿 = ϵ / 2 , и все готово. Конечно, если мы хотим, мы можем выбрать 𝛿 еще меньше, например, ϵ / 3 или ϵ / π . В некоторых доказательствах вам нужно выбрать 𝛿 меньше, чем максимально возможное 𝛿, так что имейте это в виду.

Интересное упражнение

Я призываю вас попытаться найти предел, используя определение предела (ϵ, 𝛿 ) , но использовать неверное значение предела. Например, в приведенном выше примере попробуйте установить L до 0 или 25. Если вы повторите приведенное выше доказательство, но предположите, что предел равен неправильному значению, то вы получите значения ϵ , такие что 𝛿 стремится к нулю, становится отрицательным или делает другие абсурдные вещи . Для последовательностей вы обнаружите, что когда ϵ приближается к ненулевому значению сверху, N приближается к бесконечности.

У нас есть несколько типов пределов:

Конечные пределы
Левосторонние пределы
Правосторонние пределы
Пределы на положительной бесконечности
Пределы на отрицательной бесконечности
Пределы последовательностей
Пределы в высших измерениях

У каждого из них есть определение, но сами определения очень похожи. Все они имеют некоторую общую идею о том, что по мере приближения к значению во входном пространстве вы должны приближаться к предельному значению в выходном пространстве. Проблема заключается в том, что каждый из пределов различается по тому, как они подходят к вещам, и они требуют разных определений.

Сети

Мне придется вывалить на вас кучу определений, но каждое из них должно быть простым. Каждое определение имеет только одну вещь за

Рефлексивность: бинарное отношение ◉ на множестве S рефлексивно, если a ◉ a для всех a в S . Например, ≤ является рефлексивным на множестве натуральных чисел, поскольку a ≤ a для всех a в натуральных числах.
Транзитивность: бинарное отношение ◉ на множестве S является транзитивным, если a ◉ b и b ◉ c подразумевают a ◉ c для всех a, b, c в S . Например, ≤ является транзитивным для натуральных чисел, поскольку a ≤ b и b ≤ c подразумевает a ≤ c для всех натуральных чисел a, b, c в натуральных числах.
Предпорядок: Бинарное отношение ◉ является предварительным порядком, если ◉ рефлексивно и транзитивно. Поскольку ≤ рефлексивно и транзитивно, это предпорядок.
Набор по предварительному заказу: Набор с предварительным заказом.
Направленный набор: предварительно заказанный набор S с предварительным заказом ◉ такой, что для любых a, b в S существует некоторое c в S такое, что a ◉ c и b . Предварительный порядок также известен как «направление» набора, и вы можете прочитать его как меру того, насколько элемент близок к определенному значению. Например, натуральные числа с ≤ являются направленным множеством, поскольку для любых двух натуральных чисел a и b , a ≤ a + b и b ≤ a + b . Мы бы сказали, что это множество направлено в бесконечность.
Сеть: Функция, областью определения которой является направленное множество.

Обратите внимание, что последовательность является сетью, поскольку ее областью определения являются натуральные числа, а ее предварительный порядок ≤.

Как нам помогают сети?

Направленные множества и сети позволяют объединить все определения предела в одном выражении. Пусть f(x) — функция с областью определения D и диапазон R , где D — направленный набор с предварительным заказом ◉, направленным на x0 , а R — направленный набор с предварительным заказом ◈, направленным на L . Тогда мы можем сказать

. Следствие можно прочитать так: «Если x ближе к x0 , чем β , то f(x) ближе к L , чем α ».

Чтобы увидеть, как это определение может вместить все определения, мы должны посмотреть на направленные наборы, которые составляют домен и диапазон. Домен и два эквивалентных определения для предварительного заказа ◉ для каждого вида ограничения перечислены ниже. Первое определение дано в терминах подмножеств ( a ⊆ b означает, что a является подмножеством b ) и согласуется с a ◉ b , что означает, что набор, основанный на a , является подмножеством набора, основанного на b . Второе определение относится к стандартным вещам, которые вы могли бы увидеть в реальном анализе, таким как абсолютные значения и неравенства.

В большинстве случаев ◈ совпадает с предварительным заказом ◉ для конечных двусторонних пределов с заменой x0 на L .

Восстановление определений стандартных пределов

Чтобы увидеть, как мы можем восстановить одно из стандартных определений предела, мы можем подставить все обратно в общее определение предела.

Например, чтобы восстановить определение предела на бесконечности, мы можем заменить D действительными числами, a ≥ b вместо a ◉ b и | Л – а | ≤ | л – б | in вместо a ◈ b для получения

Если заменить β на N немного меньше β и заменить | α – л | с ϵ немного больше, чем | α – л | , то вы получите исходное определение:

Эта статья началась как часть более крупной статьи, доказывающей теорему Мура-Осгуда. Я использовал теорему в своей предыдущей статье . Давайте выведем правило мощности с нуля! без доказательств, что противоречит части названия «с нуля». Поскольку статья Мура-Осгуда охватила слишком много вопросов, я решил разделить ее на несколько статей. Если вы хотите продолжить эту серию, следующая статья в Равномерная и поточечная сходимость . Я надеюсь увидеть вас там.

лимит в nLab

Содержимое
Эта статья о понятии «предел» в теории категорий. Об одноименном понятии в анализе и топологии см. предел последовательности .
Контекст
Теория категорий
Теория категорий
Концепции
категория
функтор
естественная трансформация
Кот
Универсальные конструкции
универсальная конструкция
представимый функтор
сопряженный функтор
лимит/колимит
взвешенный предел
конец/конец
Расширение Кан
Теоремы
Лемма Йонеды
Двойственность Исбелла
Конструкция Гротендика
Теорема о сопряженном функторе
теорема монадичности
теорема о присоединенном подъеме
Двойственность таннака
Двойственность Габриэля-Ульмера
аргумент маленького объекта
Теорема вложения Фрейда-Митчелла
связь между теорией типов и теорией категорий
Удлинители
сноп и теория топоса
теория обогащенных категорий
теория высшей категории
Приложения
приложения (высшей) теории категорий
Изменить эту боковую панель
Пределы и копределы
Пределы и копределы
1-категориальный
лимит
и колимит
пределы и копределы по примеру
коммутативность пределов и копределов
малый лимит
отфильтрованный колимит
направленный колимит
последовательный копредел
просеянный колимит
связанный предел, широкий откат
сохраненный лимит, отраженный лимит, созданный лимит
Продукт
, Волокнистый продукт, Изменение базы, Побочный продукт, Откат, Выталкивание, Изменение собазы, Уравнитель, Уравнитель, присоединиться, встретиться, Терминальный объект, Исходный объект, Прямой продукт, Прямая сумма
конечный предел
точный функтор
Расширение Кан
Удлинитель Йонеда
взвешенный предел
конец и муфта
2-категорийный
2-предельный
вкладыш
Изоинсертер
Эквайр
инвертор
PIE-лимит
2-откат, объект запятой
(∞,1)-категориальный
(∞,1)-предел
(∞,1)-откат
последовательность волокон
Модельно-категориальный
гомотопическое расширение Кана
гомотопический предел
гомотопический продукт
гомотопический эквалайзер
гомотопическое волокно
картографический конус
гомотопический обратный образ
гомотопическая тотализация
гомотопический конец
гомотопический копредел
гомотопический побочный продукт
гомотопический соэквалайзер
гомотопическое коволокно
картографический кокон
гомотопический выталкиватель
гомотопическая реализация
гомотопический коэнд
Изменить эту боковую панель
Идея
Глобальный и локальный
Терминология и обозначения
Определение
Локальное определение в терминах представимых функторов
Предел многозначного функтора
Предел функтора со значениями в произвольной категории
Обобщение до взвешенных пределов
Связь с непрерывными функторами
Определение в терминах универсальных конусов
Распаковка
Глобальное определение в терминах сопряженного функтора постоянной диаграммы
Обобщения
Примеры
Общий
Пределы в анализе
Свойства
Наличие: конструкция из изделий и выравнивателей
Взаимодействие с HomHom-функтором
В комплектеSetSet
Пределы в наборе исходные наборы
В категориях функторов
Совместимость с универсальными конструкциями
Родственные понятия
Каталожные номера
Идея
В теории категорий пределом диаграммы F:D→CF : D \to C в категории CC является объект limFlim F категории CC, снабженный морфизмами в объекты F(d)F(d) для всех d∈Dd \in D такое, что все, что видно, коммутирует. При этом предел limFlim F является универсальным объектом с этим свойством, т.е. «наиболее оптимизированным решением» задачи нахождения такого объекта.
Предельная конструкция имеет множество применений в теории категорий и математике в целом. На практике его, возможно, лучше всего рассматривать в контексте представимых функторов как классифицирующее пространство для отображений в диаграмму. Таким образом, в некотором смысле предельный объект limFlim F «включает» всю диаграмму F(D)F(D) в один объект, поскольку речь идет о морфизмах в . Соответствующий универсальный объект для морфизмов из диаграммы является копределом. 9op (или, что то же самое, если FF считается контравариантным функтором). Это то, что мы делаем ниже. В любой данной ситуации, конечно, вы используете любые интересующие вас категории и функторы.
В некоторых случаях теоретико-категориальное понятие предела действительно воспроизводит понятия предела, известные из анализа. См. {op} \to C, и поскольку функтор снабжен информацией о том, какова его область определения, можно просто написать limF\lim F для его предела. Но часто полезно указать, как функтор оценивается на объектах, и в этом случае предел записывается limd∈DF(d)\lim_{d \in D} F(d); это используется, в частности, когда FF задается формулой (как и в других обозначениях со связанными переменными).
В некоторых математических школах пределы называются проективными пределами , а копределы называются индуктивными пределами . Также видны (соответственно) обратные пределы и прямые пределы . Обе эти системы терминологии являются альтернативой использованию «со-» при различении пределов и копределов. Первая система проявляется также в про-объекте и ин-объекте.
Соответственно вместо lim\lim и colim\colim используются символы lim←\underset{\leftarrow}lim и lim→\underset{\rightarrow}\lim.
Как ни странно, многие авторы ограничивают значения этих альтернативных терминов (со)пределами, источниками которых являются направленные множества; см. направленный предел. На самом деле, это исходное значение; проективные и индуктивные пределы в этом смысле изучались в алгебре до появления общего теоретико-категорного понятия (ко) предела.
Определение
Локальное определение в терминах представимых функторов
Существует общее абстрактное определение пределов в терминах представимых функторов, которое мы сейчас опишем. Это воспроизводит более конкретное и, возможно, более знакомое описание в терминах универсальных конусов, которое описано ниже. 9{op} \ установить
пт:д↦{*} pt : d \mapsto \{*\}
— константа функтора на точке, то есть на терминальной диаграмме.
Набор limFlim F эквивалентно называется
Набор limFlim F может быть эквивалентно выражен как уравнитель произведения, явно:
limF≃{(xd)d∈D∈∏d∈DF(d)|∀( di→αdj)∈D:F(α)(xdj)=xdi} лим F \simeq \слева\lbrace (x_d)_{d \in D} \в \prod_{d \in D} Ф(г) | \forall (d_i \stackrel{\alpha}{\to} d_j) \in D : F (\ альфа) (x_ {d_j}) = x_ {d_i} \право\rbrace 9F)(c)=Hom(pt,Hom(c,F(-))). {op} \to Set на 9{op}, Set]}(W , Hom_C(c,F(-))) \,
т. е. такие, что
Hom(c,limWF)≃Hom(W,Hom(c,F(−))) Hom(c, \lim_W F) \simeq Hom(W, Hom(c,F(-))) \,
естественно в c∈Cc \in C.
Связь с непрерывными функторами
Само определение предела, приведенное выше, утверждает, что ковариантный hom-функтор Hom(c,−):C→SetHom(c,-) : C \Установить коммутирует с формированием пределов. В самом деле, это определение равносильно утверждению, что hom-функтор является непрерывным функтором.
9{op} \to C — функтор.
Обратите внимание, что для каждого объекта c∈Cc \in C элемент
*→Hom(pt,Hom(c,F(−))) * \to Hom(pt, Hom(c, F(-)))
следует отождествлять с набором морфизмов
c→F(d) с \к F(d)
для всех d∈Dd \in D, таких что все треугольники
c↙↘F(di)→F(f)F(dj) \множество{ && с \\ & \ ворона && \ ворона \\ F (d_i) && \stackrel{F(f)}{\to} && F(d_j) }
коммутируют. Такой набор морфизмов называется конусом над FF по очевидной причине.
Если существует предел limF∈C\lim F \in C FF, то он выделяет специальный конус, заданный составным морфизмом
*→*↦IdlimFHomC(limF,limF)→≃Hom(pt,Hom( limF,F(−))), * \stackrel{* \mapsto Id _{\lim F}}{\to} Hom_C(\lim F, \lim F) \stackrel{\simeq}{\to} Hom(pt, Hom(\lim F, F(-))) \,
, где первый морфизм выбирает тождественный морфизм на limF\lim F, а второй является определяющей биекцией предела, как указано выше.
Конус
limF↙↘F(di)→F(f)F(dj) \множество{ && \лим F \\ & \ ворона && \ ворона \\ F (d_i) && \stackrel{F(f)}{\to} && F(d_j) }
называется универсальным конусом над FF, потому что, опять же, в силу определяющего свойства предела, как указано выше, каждый другой конус {c→F(d)}d∈D\{c \to F(d)\}_ {d \in D}, как указано выше, биективно связан с морфизмом c→limFc \to \lim F
*→{c→F(d)}d∈DHom(pt,Hom(c,F(−))) →≃Hom(c,limF). * \stackrel{\{c \to F(d)\}_{d \in D}}{\to} Hom(pt, Hom(c, F(-))) \stackrel{\simeq}{\to} Hom(c, \lim F) \,.
При осмотре обнаруживается, что действительно морфизм c→limFc \to \lim F является морфизмом, демонстрирующим факторизацию конуса {c→F(d)}d∈D\{c \to F(d) \}_{d \in D} через универсальный предельный конус
c↙↘F(di)→F(f)F(dj)=c↓limF↙↘F(di)→F(f)F(dj ). \множество{ && с \\ & \ ворона && \ ворона \\ F (d_i) && \stackrel{F(f)}{\to} && F(d_j) } знак равно \множество{ && с \\ && \Кнопка “Стрелка вниз \\ && \лим F \\ & \ ворона && \ ворона \\ F (d_i) && \stackrel{F(f)}{\to} && F(d_j) } \,. 9{op},C]}(const_c, F) \,.
С этой точки зрения предел является частным случаем расширения Кана, как описано там, а именно расширением Кана до точки.
Обобщения
Понятие предела, фундаментальное для теории категорий, обобщается на многие другие ситуации. Примеры включают следующее.
В расширенной теории категорий есть понятие взвешенного предела. Это имеет смысл и в обычной теории категорий, но оказывается, что в этом случае все взвешенные пределы сводятся к обычным «коническим».
Взвешенные пределы далее обобщаются до понятия предела в 2-категории, снабженной прострелками, или до структуры Йонеды.
В теории 2-категорий есть понятие 2-предела.
Точно так же в теории (бесконечности, 1)-категорий есть понятие предела. Используя квазикатегории в качестве модели для (∞,1)(\infty,1)-категорий, определение является прямым расширением определения терминального конуса: это просто квазикатегориальный терминальный объект в квазикатегории конусов. См. ограничение в квазикатегориях.
Можно ожидать, что аналогичным образом всевозможные высшие категории имеют свои собственные соответствующие понятия предела и копредела.
Примеры
Центральный пункт о примерах пределов:
Категориальные пределы вездесущи .
В значительной степени теория категорий посвящена пределам и другим универсальным конструкциям: расширениям Кана, присоединенным функторам, представимым функторам, которые являются частными случаями пределов, а пределы являются их частными случаями.
Перечислять примеры пределов в теории категорий очень похоже на перечисление примеров интегралов в анализе: ими можно заполнить книги, и они заполняют их. (На самом деле, в этой аналогии есть нечто большее, чем может показаться на первый взгляд: подробнее см. в статье).
Помня об этом, мы перечисляем некоторые особые случаи и специальные классы примеров, которые полезно знать. Но любой список обязательно будет крайне неполным.
Общий
Педагогический список примеров см. в разделе «Ограничения и копределы на примерах».
Вот несколько важных примеров пределов, классифицированных по форме диаграммы:
Предел пустой диаграммы является конечным объектом.
Предел диаграммы, состоящей из двух (или более) объектов и не имеющих нетривиальных морфизмов, является их произведением.
Пределом коспана является откат.
Предел пары (или более) параллельных морфизмов является эквалайзером.
Предел над конечной категорией является конечным пределом.
Другая важная «форма» ограничений — это те, которые порождают цели.
Пределы в анализе
Понятие предела последовательности в топологических пространствах является частным случаем теоретико-категориальных пределов, см. там.
Свойства
Существование: построение из продуктов и выравнивателей
Часто одни пределы могут быть вычислены через другие пределы. Это упрощает задачу, поскольку нам нужно только предположить, что категории имеют или функторы сохраняют некоторый более простой для проверки класс пределов, чтобы получить результаты о более широком классе. 9{op} \to C и произведения ∏d∈Obj(D)F(d)\prod_{d\in Obj(D)} F(d) и ∏f∈MordF(s(f))\prod_{f \in Mor{d}} F(s(f)) все существуют, то limFlim F является подобъектом ∏d∈Obj(D)F(d)\prod_{d\in Obj(D)} F(d) , а именно эквалайзер
∏d∈Obj(D)F(d)→∏f∈Mor(d)(F(f)∘pt(f))∏f∈Mor(D)F(s(f) ) \prod_{d \in Obj(D)} Ф(г) \ stackrel{\ prod_ {f \ in Mor (d)} (F (f) \ circ p_ {t (f)})} {\ to} \prod_{f \в Мор(D)} Ф (с (ф))
и
∏d∈Obj(D)F(d)→∏f∈Mor(d)(ps(f))∏f∈Mor(D)F(s(f)). \prod_{d \in Obj(D)} Ф(г) \ stackrel{\ prod_ {f \ in Mor (d)} (p_ {s (f)})} {\ to} \prod_{f \в Мор(D)} Ф (с (ф)) \,.
И наоборот, если существуют оба этих продукта, а также эквалайзер этой пары карт, то этот эквалайзер является пределом FF. В частности, поэтому категория имеет все пределы, как только она имеет все произведения и уравниватели, и функтор, определенный на такой категории, сохраняет все пределы, как только он сохраняет произведения и уравниватели.
Другим примером является то, что все конечные пределы могут быть вычислены в терминах откатов и конечного объекта.
Взаимодействие с HomHom-функтором 9{op}, Set](const_{*}, F)
в категории функторов, т.е. множество естественных преобразований из константного функтора в FF.
В категориях функторов
Предложение
(пределы в категориях функторов вычисляются поточечно)
Пусть DD — малая категория, а D′D’ — любая категория. Пусть CC — категория, допускающая пределы формы DD. Напишите [D′,C][D’,C] для категории функторов. Тогда
[D′,C][D’,C] допускает DD-образные пределы; 9{op} \to [D’,C] функтор, который мы имеем для всех d′∈D′d’ \in D’, что (limF)(d′)≃lim(F(−)(d′))(lim F)(d’) \simeq lim (F(-)(d’)). Здесь предел справа в CC.
Совместимость с универсальными конструкциями
Предложение
(правые сопряженные сохраняют пределы)
Пусть R:C→C′R \;\двоеточие\; C \to C’ — функтор, сопряжённый справа с некоторым функтором L:C′→CL : C’ \to C. Пусть DD — малая категория такая, что CC допускает пределы формы DD. Тогда RR коммутирует с DD-образными пределами в CC в этом 9{op} \to C некоторой диаграммы имеем
R(limF)≃lim(R∘F). R(lim F) \simeq lim (R \circ F) \,.
Доказательство
Используя изоморфизм присоединения и приведенный выше факт, что hom-функтор сохраняет пределы, получаем для каждого c′∈C′c’ \in C’
C′(c′,R(limF))≃C (L(c′),limF)≃limC(L(c′),F)≃limC′(c′,R∘F)≃C′(c′,lim(R∘F)). . \begin{выровнено} C'(c’, R (lim F)) & \simeq C(L(c’), lim F) \\ & \simeq lim C(L(c’), F) \\ & \simeq lim C'(c’, R\circ F) \\ & \simeq C'(c’, lim (R \circ F)) \,. \end{выровнено} \,. 9{op},C], то канонический морфизм сравнения
(1)limF≃limD(limD′FD)≃limD′(limDFD′) lim F \simeq lim_{D} (lim_{D’} F_D ) \simeq lim_{D’} (lim_{D} F_{D’} )
— изоморфизм.
Доказательство
Поскольку предельная конструкция является правым присоединенным функтором к константному диаграммному функтору, это частный случай правых сопряженных функций, сохраняющих пределы (предложение ).
См. пределы и копределы на примере того, что формула (1) говорит, например, для особого случая C=C =Set. 91 и последовательности Милнора
Ссылки
Пределы и копределы были определены Дэниелом М. Каном в главе II статьи, в которой также определены присоединенные функторы и расширения Кана: : 2 (1958), 294–294 (doi: 10. 1090 / s0002-9947-1958-0131451-0)
В этом документе пределы называются обратными пределами .
Последняя редакция: 11 июня 2022 г., 06:36:54. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.
Предел Y
Предел Y
ДА ПРЕДЕЛ
ДА ПРЕДЕЛ :
Те из вас, кто изучает дифференциальное исчисление, уже встречались с пределами , и вы, вероятно, нацарапали пару бороздок на голове, пытаясь понять, что же означает предел. Ну, в названии все сказано.
Когда мы оцениваем предел, такой как предел, поскольку x приближается к a для f ( x ), мы ищем y значение . И, конечно, с F ( x ) – это всего лишь псевдоним для Y , когда мы найдем предел AS Y , когда мы найдем предел AS 9284 Y , мы найдем предел AS 777 2 9284 Y , AS LITTE Y . для , мы расследуем что происходит с y – значение на кривой в точке, где x приближается к 2. Рабочее слово здесь приближается к !!
Поскольку деление на 0 в нашей системе счисления не определено, и
когда x = -2 , значение 2 не является элементом в наборе домена из f .
Вот почему мы берем ограничение — слева и справа — изучение y значений связанных
со значениями x закройте на 2. Для текущей функции нам пришлось бы разделить лимит на два отдельных лимита.
Мы бы нашли и
В таком случае левый предел становится равным , а правый предел становится равным , поэтому предела нет , так как предел слева должен быть равен пределу справа, чтобы предел существовал, а бесконечность не накладывает никаких ограничений на кривую — не так ли? Если вы получите, нет предела. (См. изображений в конце статьи.)
Давайте рассмотрим более интересную функцию.
Рассмотрим: .
Мы можем переписать функцию как
Очевидно, что x = 3 не является элементом области определения этой функции, поэтому найдем предел в 3.
Как вы, вероятно, узнали из своего первого урока об ограничениях, обычно с такой дробью мы множим, отменяем и заменяем — но у нас есть значение x , которое дает и числитель, и знаменатель. равен нулю здесь. Это известно как неопределенная форма , так как может соответствовать 3 различным ситуациям в нашей системе счисления. Это дробь с числителем = 0, поэтому она должна = 0. Это также дробь со знаменателем 0, поэтому она должна = . Мы также могли бы присвоить этой дроби значение 1, заявив, что у нее числитель = знаменателю. Теперь вы понимаете, почему мы называем это неопределенный ? Из-за природы нуля нам приходится находить хитрые способы вычисления такой дроби. Другой проблемный ребенок из этой семьи, с которым вы встретитесь, — это неопределенной формы от , которую также можно объяснить как 1, 0 или . Француз по имени л’Опиталь позаботится об обеих неопределенных формах позже в этом курсе или в начале следующего. До тех пор используйте алгебраические методы, чтобы найти их пределы.
Когда х = 3, только знаменатель = 0 здесь и так х = 3 является вертикальной асимптотой этой функции. А как насчет х = 3?? Это делает и числитель, и знаменатель равными 0, таким образом, он создает дыру в графе . Мы знаем, что x -значение отверстия равно 3, но что такое y -значение ? Его можно найти, взяв предел f ( x ) как x приближается к 3.
Когда мы факторизуем, отменяем и заменяем 3 на x , мы получаем 1/6, таким образом, отверстие на этой кривой встречается в точке (3, 1/6) . Кстати, если вас попросят построить график этой функции, вы можете построить график функции , а затем вставить отверстие в точке (3, 1/6).
Это отверстие известно как съемная несплошность или съемный прыжок , так как не хватает только одной точки. Таким образом, мы могли бы сделать эту функцию непрерывной при x = 3 , определив, что f (3) = 1/6 . Разрыв, который возникает в x = 3 , однако, является бесконечным разрывом , иначе известным как вертикальная асимптота . Нет никакого способа заполнить созданный здесь пробел.
Когда мы исследуем пределы в бесконечности , мы смотрим на поведение y -значений на крайних значениях x — другими словами, как, — 9 ведет ли себя график, когда x приближается | бесконечность |. Обычно, если у нас есть рациональная функция (дроль), чтобы найти предел, когда x приближается к бесконечности, мы делим каждый член дроби на наивысшую степень числа 9. 2267 x в дроби, а затем установите x равным бесконечности. Конечно, что-либо, деленное на бесконечность = 0 , поэтому члены, имеющие в любой степени x в знаменателе, будут = 0 и не повлияют на результирующий предел.
Например: если , делим все на х ² .
Как видите, результат, как только мы делаем x = , равно 3/ 5 . Таким образом, когда мы начертим эту функцию, она будет иметь горизонтальных асимптот на y = 3/5. y -значение будет приближаться к 3/5 AS x Получите чрезвычайно большие (подходы) или чрезвычайно маленькие (подходы) и с x . г никогда не будет равно 3/5 . (См. изображений в конце статьи.)
Как только вы начнете изучать производные, вы столкнетесь со специальным пределом, известным как Коэффициент Ньютона (который на самом деле должен быть известен как Коэффициент Декарта ), который позволит вам оценить наклон касательной в любой точке заданная кривая.