Предел в алгебре: Недопустимое название — Циклопедия - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Предел функции при стремлении х к бесконечности Сложность: лёгкое	1
2.	Предел дробной функции в данной точке Сложность: лёгкое	1
3.	Предел степенной функции Сложность: лёгкое	1
4.	Приращение тригонометрической функции Сложность: среднее	2
5.	Предел дробной функции, неопределённость (∞/∞) Сложность: среднее	3
6.	Предел дробной функции, неопределённость (0/0) Сложность: среднее	3
7.	Предел функции, содержащей квадратные корни, домножение на сопряжённое выражение Сложность: среднее	4
8.	Предел функции, содержащей квадратные корни Сложность: среднее	4
9.	Предел дробной функции, неопределённость (0/0), формула суммы кубов Сложность: сложное	3
10.	Предел тригонометрической функции Сложность: сложное	3
11.	Приращение квадратичной функции Сложность: сложное	2

Урок 8. предел функции на бесконечности – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №8. Предел функции на бесконечности.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1)понятие бесконечности;

2) определение предела функции на плюс бесконечности;

2) определение предела функции на минус бесконечности;

3) правила вычисления пределов функции на бесконечности;

4) формулы вычисления предела функции на бесконечности;

5) нахождение горизонтальные, вертикальные, наклонные асимптоты.

Глоссарий по теме

Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Дробно-рациональная функция

– это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Понятие «бесконечность» используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость, то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Теперь давайте перейдем к пределу функции на плюс и минус бесконечности.

Предел функции на плюс бесконечности.

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на минус бесконечности.

Посмотрим немного другой случай:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на бесконечности.

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями.

Основные свойства:

Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

Если и

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

А теперь давайте перейдем к дробно – рациональной функции.

Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.

Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.

Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

x=a уравнение вертикальной асимптоты

y=b уравнение горизонтальной асимптоты

y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Перейдем к практической части.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Вычислить пределы функций:

а)

б)

в)

г)

Пример 2. Построим график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

y=2 горизонтальная асимптота

x=1 вертикальная асимптота, т.к.

Точки пересечения графика с осями координат:

при x=0 y=3 , точка (0; 3)

при y=0 x=1,5 , точка (1,5; 0)

Пример 3

Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части

y=2x наклонная асимптота

X=0 вертикальная асимптота

функция ни четная, ни нечетная.

точки пересечения графика с осями координат:

Приy=0

, точка

с осью ординат график функции не пересекается, т. к. эта ось есть асимптота.

y’=0

x_кр=1

6) y(1)=3

7) Построим график

Предел функции в математике с примерами

Предел функции

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки , кроме быть может самой точки .

Определение предела функции. Число

называется пределом функции в точке при стремящимся к , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Геометрическая интерпретация определения предела функции в точке состоит в том, что для всех , достаточно близких к а значение функции как угодно мало отличаются от числа .

В более компактной форме факт существования предела функции в точке можно записать так:

Свойства пределов функций. Будем считать, что пределы функций

существуют. Тогда выполняются следующие свойства:

Предел суммы или разности двух функций равен сумме или разности их пределов:

Функция может иметь только один предел при :

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Если в окрестности точки значения первой функции меньше значений второй, то и предел первой функции не превосходит предела второй при :

то и предел сложной функции

Если функция

определена на промежутке , то число называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

В более компактной форме факт существования предела функции при можно записать так:

Число

называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при выполняется неравенство . В более компактной форме факт существования левостороннего предела функции в точке можно записать так:

Число

называется пределом функции справа в точке , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при выполняется неравенство . В более компактной форме факт существования правостороннего предела функции в точке можно записать так:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Предел функции

В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции, встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции x , и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.

Название

Обозначение

Определение

Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A

Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех , удовлетворяющих неравенству

| x – a | < δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при x → a

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A

Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A

Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к, если для любого положительного числа ε найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при x →

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен

Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →

при x →

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →

при

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен

Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →

при

Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен

Замечание. Когда говорят, что x стремится к a слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые меньше a .

Функция f (x) стремится к , при x, стремящемся к числу a слева, если для любого положительного числа С найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству

a – δ < x < a ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

f (x) →

при x → a – 0

Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен

Замечание. Когда говорят, что x стремится к a справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые больше a .

Функция f (x) стремится к , при x , стремящемся к числу a справа, если для любого положительного числа С, найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству

a < x < a + δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

f (x) →

при x → a + 0

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A

Обозначения:

или

f (x) → A при x → a

Определение:

| x – a | < δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A

Обозначения:

или

f (x) → A при

Определение:

Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A

Обозначения:

или

f (x) → A при

Определение:

Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A

Обозначения:

или

f (x) → A при x →

Определение:

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен

Обозначения:

или

f (x) → при x →

Определение:

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен

Обозначения:

или

f (x) → при

Определение:

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен

Обозначения:

или

f (x) → при

Определение:

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен

Обозначения:

или

f (x) → при x → a – 0 .

Определение:

a – δ < x < a ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

Название:

Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен

Обозначения:

или

f (x) → при x → a + 0 .

Определение:

a < x < a + δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

Свойства пределов функций

Если у функций f (x) и g (x) при x , стремящемся к a , существуют пределы

и ,

где A и B – некоторые числа, то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при x , стремящемся к a , существует предел дроби

причем

Для любой непрерывной функции F (x) справедливо равенство

Раскрытие неопределенностей типа

Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

Пример 1. Найти предел функции предел функции

Решение. Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим

Ответ.

Пример 2. Найти предел функции предел функции

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:

Далее, используя свойства пределов функций, находим

Ответ. 3 .

Раскрытие неопределенностей типа

Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны 0 , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .

В алгебраических дробях неопределенность при x → a раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя (x – a) .

Пример 3. Найти предел функции

Решение. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → – 2 , то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на (x + 2) :

Теперь предел знаменателя дроби равен – 11 , и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем

Ответ.

Пример 4. Найти предел функции

Решение. В этом примере также возникает неопределенность типа .

К сожалению, из-за большого размера формул для расчета подробные вычисления на Вашем мобильном устройстве не видны. Их можно посмотреть только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах).

Указания к решению примера. Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу 5 при x → 5 , то сначала необходимо домножить и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применить формулу сокращенного уножения «разность квадратов». Затем, разложив квадратный трехчлен 4x² – 9x – 55 на множители, сократить числитель и знаменатель на (x – 5) .

После этого, воспользовавшись свойствами пределов функций, получить ответ.

На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

Ответ.

Первый замечательный предел

В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность раскрывается с помощью первого замечательного предела

Пример 5. Найти предел функции

Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → 0 , поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки x², а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов»:

Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

Ответ.

Пример 6. Найти предел функции

Решение. Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле

Поскольку

то предел можно преобразовать к виду

Применяя формулы приведения и формулу для косинуса двойного угла, получаем

Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

Ответ.

Раскрытие неопределенности типа . Второй замечательный предел

Определение 3. Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен 1, а предел показателя степени равен , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .

Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела:

(1)

Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:

(2)

Пример 7. Найти предел функции предел функции

Решение. Рассмотрим функцию

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x →. Применяя свойства логарифмов, получаем

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,

и заметим, что

В пределе

и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, поэтому для раскрытия неопределенности вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим

Следовательно,

Таким образом,

Ответ.

Пример 8. Найти предел функции

Решение. Рассмотрим функцию

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем

Чтобы вычислить предел функции y = ln f (x) при x → – 6 , перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле

x = – 6 + z .

Поскольку

то предел (3) можно преобразовать к виду, с помощью формулы (3), получаем

Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, получаем

Следовательно,

Ответ.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

lim как решать

Вы искали lim как решать? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебра лимит, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «lim как решать».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как lim как решать,алгебра лимит,алгебра пределы,все о пределах,высшая математика для чайников пределы,высшая математика лимиты,высшая математика пределы,высшая математика пределы для чайников,вычислить пределы функций пошаговое решение,задания пределы,задачи на пределы,задачи на пределы с решениями,задачи пределы,задачи с решениями на пределы,лимит как решать,лимит математика,лимиты как решать,матанализ для тупых,матанализ для чайников пределы,матанализ пределы,матанализ пределы для чайников,математика предел,математика пределы,математика пределы для чайников,математический анализ для чайников пределы,математический анализ пределы,математический анализ пределы для чайников,математический предел,матпрофи пределы,методы решения пределов,нахождение пределов с подробным решением,предел 0,предел алгебра,предел в математике,предел в математике это,предел математика,предел математический,предел функции для чайников,предел это в математике,пределы алгебра,пределы в математике,пределы высшая математика,пределы для чайников,пределы как решать,пределы как решаются,пределы матан,пределы матанализ для чайников,пределы математика,пределы математика для чайников,пределы математический анализ,пределы математический анализ для чайников,пределы примеры решений,пределы примеры решения,пределы решений примеры,пределы решения,пределы с бесконечностью как решать,пределы теория с примерами,примеры на пределы,примеры решений пределов,примеры решения пределов,решение пределов онлайн с подробным решением для чайников,решение пределов примеры,решение пределов примеры с решением,решение пределов с подробным решением,решения пределов пример,способы нахождения пределов,способы решения пределов,теория пределов для чайников,формулы лимитов,что такое в математике предел,что такое в математике пределы,что такое предел в математике. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и lim как решать. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, алгебра пределы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же lim как решать Онлайн?

Решить задачу lim как решать вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

“Предел функции на бесконечности” – математика, уроки

Тема: Предел функции на бесконечности.

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение.

А. Дистервег.

Цель:

Формирование математических компетенций обучающихся посредством возможностей информационно-коммуникационной среды.

Задачи:

Образовательная: в ходе изучения данной темы обучающийся должен:

знать:

определение бесконечности;
определение предела функции на бесконечности;
определение предела функции на плюс бесконечности;
определение предела функции на минус бесконечности;
правила вычисления пределов функции на бесконечности;
формулы вычисления предела функции на бесконечности;
свойства непрерывных функций;

уметь: вычислять несложные пределы функций на бесконечности.

Воспитательная: прививать интерес к математике на основе исторического материала, воспитание положительной мотивации учения, правильной самооценки и чувства ответственности за результат выполнения заданий.

Развивающая: развитие логического и критического мышления, самостоятельности и способности к рефлексии, обеспечение системности учения.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы и методы: словесный, наглядный, фронтальная работа, самостоятельная работа.

Оборудование: карточки для обучающихся, опорные конспекты, решение типовых примеров, компьютер.

Время: 45 мин.

Структура занятия.

Организационный момент. Постановка цели и задач урока. Мотивация.
Актуализация знаний.
Изучение нового материала.
Решение типовых задач.
Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу (эталону).
Включение нового знания в систему знаний и повторение.
Рефлексия. Итоги занятия.
Домашнее задание.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Продолжительность работы – 2 мин.

Цель: включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне.

Приветствие: оформление журнала, пожелания друг другу удачи. Предлагаю подумать, что пригодится для успешной работы, обучающиеся высказываются; девиз, эпиграф.

Объявление темы урока «Предел функции на бесконечности, свойства» Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции»

Постановка цели и задач урока:

научиться: вычислять несложны пределы функций на бесконечности.

Мотивация.

Продолжительность работы – 3 мин.

Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразно. То есть количественные изменения переходят в качественные. Это один из основных законов диалектики.

Одновременно с развитием понятия функции развивалась и понятие предела функции. Первоначально ввести понятие предела функции пытался

И. Ньютон, но только в XIX веке в работах А. Вейерштрасса, Б. Больцано,

О. Коши сложились определение и обозначения пределов функции, используемые и в настоящее время. Понятие предел функции лежит в основе производной.

II. Актуализация знаний.

Продолжительность работы – 5 мин.

Задание

1.Сформулировать определение функции и рассмотреть графики функций y=1/х, y=1/х², y=1/х^m, где m-нечетное число и m-четное число.

Что означает равенство .

Найти пределы функций и указать их асимптоты.

Существование эквивалентно наличию горизонтальной асимптоты у графика функции y=f(x).

Прямая y=b является горизонтальной асимптотой у графика функции y=f(x).

Вспомнить формулы для вычисления предела функции на бесконечности

lim (1/x)= 0, lim (1/xm) = 0 lim (k/xm) = 0

x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞

Правила вычисления пределов

Если lim f(x) = b и lim g(x) =c , то

x→∞ x→∞

1) Предел суммы равен сумме пределов:

lim (f(x)+ g(x)) = b+ c

x→∞

2) Предел произведения равен произведению пределов:

lim f(x)·g(x) = b·c

x→∞

3) Предел частного равен частному пределов:

lim f(х):g(x) = b:c

x→∞

4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim k· f(x) = k · b

x→∞

Вычислить пределы последовательностей: (работа у доски 2 человека, с последующей проверкой)

lim (2n²+3)/(n²-4) lim (3n²-2n+5)/(2n²-7)

n→∞ n→∞

III. Изучение нового материала (сопровождается демонстрацией слайдов)

Продолжительность работы – 15 мин.

3.1 Что такое бесконечность?

Сформулируем определение предела функции на бесконечности.

3.2 Сформулируем определение предела функции на плюс бесконечности.

3.3 Сформулируем определение предела функции на минус бесконечности.

3.4 Основные свойства пределов функций.

Ребята, давайте посмотрим, что такое предел функции на бесконечности?

А, что такое бесконечность?

Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Будем читать наше выражение как:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к плюс бесконечности равен b

Посмотрим немного другой случай:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Будем читать наше выражение как:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

ИЛИ

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:

1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

2) Если

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

IV. Первичное закрепление.

Пример. Найти

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x

Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:

Ребята, вспомните предел числовой последовательности

Получим:

Ответ:

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

V. Самостоятельная работа.

Продолжительность работы – 5 мин.

Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.
Найти пределы:

Найти пределы:

Правило №1

Чтобы раскрыть неопределенность вида (0/0), надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители с последующим сокращением.

Правило №2

Чтобы раскрыть неопределенность вида (∞/∞), надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень неизвестного.

VI. Включение нового знания в систему знаний и повторение.

Продолжительность работы – 5 мин.

Что означает существование предела функции на бесконечности?
Какую асимптоту имеет график функции y=1/х⁴?
Какие вы знаете правила для вычисления пределов функции на бесконечности?
С какими формулами вычисления пределов на бесконечности вы познакомились?
Как найти lim (5-3×3) / (6×3 +2)?

x→∞

VII. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог)

Продолжительность работы – 5 мин.

Цель: осознание обучающимися своей учебной деятельности, самооценка результатов своей деятельности.

Формирование УУД:

Познавательные: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, адекватное понимание причин успеха или неуспеха.

Коммуникативные: аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества.

Организация учебного процесса на этапе 7.

Что нового узнали на уроке?
Какую цель мы ставили в начале урока?
Наша цель достигнута?
Что нам помогло справиться с затруднением?
Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?
Как вы можете оценить свою работу?

Рейтинговая шкала
Этапы	Теор-ие вопросы	Фронтальная работа	Работа у доски	Сам-ая работа	Поощрит-ые баллы
Кол-во баллов	3 балла	5 баллов	3 балла	5 баллов	6 баллов
Макс-ое баллов

От 20 баллов и выше оценка – «5»

От 15 до 19 баллов оценка – «4»

От 10 до 14 баллов оценка – «3»

VIII. Домашнее задание

§31, стр.150-151 – учебник;

№669 (в), 670 (в), 671 (в), 672 (в), 673(в), 674(в), 676(в), 700 (г) – задачник.

Урок сегодня завершён,

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Нижнегридинская средняя общеобразовательная школа»

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме

«Предел функции на бесконечности»

Разработала и провела

учитель математики:

Исаева Н.Н.

2015г

Решение пределов | СпецКласс

Пределы – первая тема, с которой вам придется познакомиться в курсе высшей математики. Так что давайте рассмотрим все варианты задач, которые скорее всего попадутся вам по этой теме на контрольной или экзамене.

Что надо знать про пределы

Чтобы научиться решать примеры на пределы, надо знать две вещи:

Какой тип предела перед вами?
Каким способом решаются пределы такого типа?

Типы пределов

Тип предела часто подразумевает неопределенность, которая записана в примере.

Плохая новость – подходы к решению таких примеров различны.
Хорошая новость – эти подходы стандартные, и каждый из таких пределов вы сможете решить сами с помощью моих онлайн-уроков.

Вот 5 полезных ссылок, по которым вы найдете понятные решения пределов онлайн, и сможете самостоятельно решить свои пределы, просто повторив ход моего решения.

Предел с неопределенностью вида “бесконечность на бесконечность”

Предел с неопределенностью вида “ноль на ноль”

Предел с неопределенностью, решаемый через сопряженное

Предел с тригонометрическими функциями

Предел со степенями

Предел с логарифмом

Замечательные пределы

Отдельным пунктом любого учебника стоят так называемые замечательные пределы. Это всего две формулы, которые имеют массу вариантов примеров на замечательные пределы. Два коротких ролика помогут вам справиться с этими примерами:

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

При решении задач на замечательные пределы старайтесь “увидеть” их и свести к формулам этих пределов.

Правило Лопиталя

Еще одна группа примеров – это примеры на полезное правило, которое очень упрощает нахождение пределов – Решение пределов с помощью правила Лопиталя.

Правило Лопиталя – это нахождение производных, принцип которого объясняется здесь. Ну а как он работает в конкретных случаях, я расскажу отдельных видео, ссылки на которые также здесь выложу.

Первый ролик, который я выложил на своем канале Youtube, рассказывал о решение пределов:

Расчет пределов с помощью алгебры – AP Calculus AB

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Лимит

| Определение, пример и факты

предел , математическая концепция, основанная на идее близости, используется в основном для присвоения значений определенным функциям в точках, где значения не определены, таким образом, чтобы они соответствовали соседним значениям.Например, функция ( x ² – 1) / ( x – 1) не определена, когда x равно 1, поскольку деление на ноль не является допустимой математической операцией. Для любого другого значения x числитель можно разложить на множители и разделить на ( x – 1), получив x + 1. Таким образом, это частное равно x + 1 для всех значений . x , кроме 1, которая не имеет значения. Однако 2 можно присвоить функции ( x ² – 1) / ( x – 1) не как ее значение, когда x равно 1, а как ее предел, когда x приближается к 1. См. Анализ : Непрерывность функций.

Один из способов определения предела функции f ( x ) в точке x ₀, записанный как есть следующим образом: если существует непрерывная (непрерывная) функция g ( x ) таким образом, что g ( x ) = f ( x ) в некотором интервале около x ₀, за исключением, возможно, x ₀, затем

Следующее больше -основное определение предела, независимо от концепции непрерывности, также может быть дано: если для любой желаемой степени близости ε можно найти интервал около x ₀, так что все значения f ( x ), вычисленное здесь, отличается от L на величину меньше ε (т.е.э., если | x – x ₀ | <δ, то | f ( x ) – L | <ε). Это последнее определение можно использовать, чтобы определить, действительно ли данное число является пределом. Расчет пределов, особенно частных, обычно включает в себя манипуляции с функцией, чтобы ее можно было записать в форме, в которой предел более очевиден, как в приведенном выше примере ( x ² – 1) / ( х – 1).

Пределы – это метод, с помощью которого вычисляется производная или скорость изменения функции, и они используются на протяжении всего анализа как способ приближения к точным величинам, например, когда площадь внутри изогнутой области определяется как предел приближений прямоугольниками.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас Пределы

– Оценка

Вы должны сначала прочитать Limits (An Introduction)

Краткое описание ограничений

Иногда мы не можем что-то придумать напрямую … но мы можем видеть, что это должно быть, когда мы приближаемся все ближе и ближе!

Пример:

(х ² – 1) (х – 1)

Давайте разберемся с x = 1:

(1 ² – 1) (1–1) знак равно (1–1) (1–1) знак равно 0 0

Теперь 0/0 – это сложность! Мы действительно не знаем значение 0/0 (оно «неопределенно»), поэтому нам нужен другой способ ответить на этот вопрос.

Итак, вместо того, чтобы пытаться вычислить это для x = 1, давайте попробуем приближаться к все ближе и ближе:

Продолжение примера:

х		(х ² – 1) (х – 1)
0,5		1,50000
0,9		1.
0,99		1.99000
0,999		1.99900
0,9999		1.99990
0,99999		1,99999
…		…

Теперь мы видим, что когда x приближается к 1, то (х ² -1) (х − 1) получает близко к 2

Мы столкнулись с интересной ситуацией:

Когда x = 1, мы не знаем ответа (это неопределенный )
Но мы видим, что это будет 2

Мы хотим дать ответ «2», но не можем, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «предел»

Предел из (х ² -1) (х − 1) когда x приближается к 1, будет 2

И записывается символами как:

lim x → 1 x ² −1 x − 1 = 2

Таким образом, это особый способ сказать «», игнорируя то, что происходит, когда мы приближаемся к цели, но по мере того, как мы приближаемся, ответ становится все ближе и ближе к 2 »

В виде графика это выглядит так:

Итак, по правде говоря, мы не можем сказать, каково значение при x = 1.

Но мы можем сказать, что по мере приближения к 1, предел равен 2.

Оценка пределов

“Оценка” означает нахождение значения ( думаю, е- “ значение” -оценка )

В приведенном выше примере мы сказали, что предел равен 2, потому что выглядело так, как будто это будет . Но этого недостаточно!

На самом деле существует много способов получить точный ответ.Посмотрим на некоторые:

1. Просто введите значение

Первое, что нужно попробовать, это просто ввести значение лимита и посмотреть, работает ли оно (другими словами, подстановка).

Пример:

lim x → 10 x 2

10 2 = 5

Легко!

Пример:

lim x → 1 x ² −1 x − 1

(1-1) (1-1) = 0 0

Не повезло.Нужно попробовать что-нибудь еще.

2. Факторы

Можем попробовать факторинг.

Пример:

lim x → 1 x ² −1 x − 1

Разлагая (x ² −1) на (x − 1) (x + 1), получаем:

lim x → 1 x ² −1 x − 1 = lim x → 1 (x − 1) (x + 1) (x − 1)

= предм x → 1 (x + 1)

Теперь мы можем просто подставить x = 1, чтобы получить предел:

предм x → 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

3.Конъюгат

Для некоторых дробей может помочь умножение верха и низа на конъюгат.

Сопряжение – это то, где мы меняем
знак в середине двух членов следующим образом:

Вот пример, где это поможет нам найти предел:

lim x → 4 2 − √x 4 − x

Оценка этого при x = 4 дает 0/0, что не является хорошим ответом!

Итак, попробуем переставить:

Умножить верхнюю и нижнюю части на конъюгат верха:		2 − √x 4 − x × 2 + √x 2 + √x

Упростите верх, используя (a + b) (a − b) = a ² – b ² :		2 ² – (√x) ² (4 − x) (2 + √x)

Дальнейшее упрощение верха:		4 − x (4 − x) (2 + √x)

Отмена (4-x) сверху и снизу:		1 2 + √x

Итак, теперь у нас:

lim x → 4 2 − √x 4 − x = lim x → 4 1 2 + √x = 1 2 + √4 = 1 4

Готово!

4.Бесконечные пределы и рациональные функции

Рациональная функция – это функция, которая представляет собой отношение двух полиномов:		f (x) = P (x) Q (x)

Например, здесь P (x) = x ³ + 2x – 1 и Q (x) = 6x ² :		x ³ + 2x – 1 6x ²

Найдя общую Степень функции, мы можем узнать, является ли предел функции 0, Бесконечность, -Бесконечность или легко вычисляется из коэффициентов.

Подробнее читайте в разделе «Пределы бесконечности».

5. Правило L’Hôpital

Правило L’Hôpital может помочь нам оценить пределы, которые сначала кажутся «неопределенными», например 0 0 и ∞ ∞ .

Подробнее читайте на сайте L’Hôpital’s Rule.

6. Формальный метод

Формальный метод приступает к доказательству того, что мы можем получить настолько близко, насколько мы хотим, к ответу, сделав «x» близким к «a».

Подробнее читайте в разделе «Пределы» (формальное определение)

В поисках предела – Бесплатная справка по математике

Что такое предел?

Предел – это определенное значение, к которому приближается функция. Поиск предела обычно означает определение значения y, когда x приближается к определенному числу. Вы обычно можете сформулировать это как что-то вроде «предел функции f (x) равен 7, когда x приближается к бесконечности. Например, представьте себе такую кривую, когда x приближается к бесконечности, эта кривая все ближе и ближе к y = 0, а никогда на самом деле добираюсь туда.Итак, как нам алгебраически найти этот предел? Один из способов найти предел – использовать метод подстановки .

Например, предел следующего графика равен 0, когда x приближается к бесконечности, что ясно видно, когда график приближается к 0, вот так:

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, где мы можем найти предел реальных функций:

Пример A

Найдите предел \ (f (x) = 4x \), когда x стремится к 3.

Шагов:

1) Заменить x на 3.
2) Упростить.2-7x} {x} = \ frac {x (6x-7)} {x} = 6x-7 $$

Мы отменили множитель x в числителе и знаменателе, оставив нам простой предел:

$$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) $$

Теперь мы можем заменить x на 0, чтобы найти предел -7:

$$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) = -7 $$

Примечание. Несмотря на то, что мы смогли упростить функцию в примере C с помощью факторинга, мы не можем делать вид, что этого не произошло. Помните, что мы находили предел, когда x приближался к 0, а не пытались оценить функцию AT x = 0.Функция все еще не определена при x = 0. Однако у него есть предел. Только упрощенная версия имеет решение при x = 0. Только после факторинга, в некоторых случаях, мы можем применить замену, чтобы найти предел.

Предоставлено г-ном Feliz

% PDF-1.3 % 383 0 объект > эндобдж xref 383 76 0000000016 00000 н. 0000001871 00000 н. 0000001988 00000 н. 0000005718 00000 н. 0000006090 00000 н. 0000007024 00000 н. 0000007395 00000 н. 0000013631 00000 п. 0000014555 00000 п. 0000020705 00000 п. 0000021446 00000 н. 0000021895 00000 п. 0000022355 00000 п. 0000022802 00000 п. 0000023429 00000 п. 0000023793 00000 п. 0000032731 00000 п. 0000033649 00000 н. 0000034278 00000 п. 0000034932 00000 п. 0000035430 00000 п. 0000036352 00000 п. 0000036883 00000 п. 0000037350 00000 п. 0000048265 00000 п. 0000048757 00000 п. 0000060374 00000 п. 0000060946 00000 п. 0000061436 00000 п. 0000062100 00000 п. 0000063166 00000 п. 0000063189 00000 п. 0000064321 00000 п. 0000064343 00000 п. 0000069545 00000 п. 0000070022 00000 п. 0000070437 00000 п. 0000071332 00000 п. 0000071780 00000 п. 0000072832 00000 п. 0000072854 00000 п. 0000073802 00000 п. 0000073824 00000 п. 0000078092 00000 п. 0000078532 00000 п. 0000079090 00000 н. 0000080150 00000 п. 0000080612 00000 п. 0000089700 00000 п. 00000 00000 п. 00000

00000 п. 0000097097 00000 п. 0000097859 00000 п. 0000098235 00000 п. 0000098701 00000 п. 0000099619 00000 н. 0000100031 00000 н. 0000100585 00000 н. 0000101407 00000 н. 0000101429 00000 н. 0000109149 00000 п. 0000109836 00000 п. 0000110276 00000 н. 0000110702 00000 н. 0000111029 00000 н. 0000111914 00000 н. 0000111936 00000 н. 0000112848 00000 н. 0000112870 00000 н. 0000113722 00000 н. 0000113744 00000 н. 0000113798 00000 н. 0000113870 00000 н. 0000113923 00000 н. 0000002139 00000 п. 0000005695 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 384 0 объект > эндобдж 385 0 объект > / Шрифт> >> / DA (/ Helv 0 Tf 0 г) >> эндобдж 457 0 объект > ручей HVMl # g: ‘_ gFhh (v2J7! ބ $ M㍄ZQmUA / H Z $.R * צ 3 JXmd0SQ # Dx6j | Ϧsy561I oZ? ; SNK $ j ch) O9 & YhH (lbLT0BAəb! Er2DhPl. \ –

Алгебра пределов – MyRank

Алгебра пределов

Пусть f и g – две действительные функции с областью определения D. Мы определяем четыре новые функции f ± g, f / g, fg в области D, полагая (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) , (fg) (x) = f (x) g (x)

(f / g) (x) = f (x) / g (x), если g (x) ≠ 0 для любого x ϵ D

1. Пусть \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right) = l \) и \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, g \ left (x \ right) = m \).Если l и m существуют, то

\ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ left (f \ pm g \ right) \ left (x \ right) = \, \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right) \ pm \, \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, g \ left (x \ right) = l \ pm m \),
\ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ left (fg \ right) \ left (x \ right) = \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim }} \, f \ left (x \ right) \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, g \ left (x \ right) = lm \),
\ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ left (\ frac {f} {g} \ right) \ left (x \ right) = \ frac {\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right)} {\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, g \ left (x \ right) } = \ frac {l} {m} \) При условии.{m}} \).
5. f (x) ≤ g (x) для каждого x в удаленном nbd элемента a, тогда \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right ) \ le \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, g \ left (x \ right) \).
6. f (x) ≤ g (x) ≤ h для каждого x в удаленном nbd элемента a и \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right ) = l = \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, h \ left (x \ right) \), затем \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim} } \, g \ left (x \ right) = l \).
7. \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, fog \ left (x \ right) = f \ left (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim }} \, f \ left (x \ right) \ right) = \ log l \).{l}} \).
3. Если \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right) \) = + или – ∞, то \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {1} {f \ left (x \ right)} = 0 \).
Оценка пределов: В предыдущих разделах мы обсудили понятие предела слева (LHL), предела справа (RHL) и существования предела функции f (x) в данной точке. При оценке пределов предполагается, что \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right) \) всегда существует i.{+}}} {\ mathop {\ lim}} \, f \ left (x \ right) \).
В этом разделе мы обсудим различные методы оценки пределов. Чтобы облегчить работу по оценке лимитов, мы классифицируем проблемы по лимитам на следующие категории:
1. Алгебраические пределы
2. Тригонометрические пределы
3. Экспоненциальный и логарифмический пределы
4. Различные методы оценки алгебраических пределов:
Для оценки алгебраических пределов у нас есть следующие методы:
1. Метод прямой замены
2. Метод факторизации
3. Метод рационализации
4. Использование стандартных результатов
5. Метод оценки пределов, когда переменная стремится к ∞ или -∞
6. Метод прямой замены:
Если прямой заменой точки в данном выражении мы получим конечное число, то полученное число является пределом данного выражения.
Пример: оценить \ (\ underset {x \ to 1} {\ mathop {\ lim}} \, \) (3x² + 4x + 5)
Решение: \ (\ underset {x \ to 1} {\ mathop {\ lim}} \, \) (3x² + 4x + 5) = 3 (1) ² + 4 (1) + 5 = 12
\ (\ underset {x \ to 0} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ cos x} {1+ \ sin x} \),
\ (\ underset {x \ to 0} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ cos x} {1+ \ sin x} = \ frac {\ cos 0} {1+ \ sin 0} = 1 \). {2}} – 6x + 8} \).{2}} – 6x + 8} \),
\ (= \ underset {x \ to 2} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ left (x-1 \ right) \ left (x-2 \ right) \ left (x-3 \ right)} {\ left (x-2 \ right) \ left (x-4 \ right)} \),
\ (= \ underset {x \ to 2} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ left (x-1 \ right) \ left (x-3 \ right)} {\ left (x- 4 \ right)} \),
= ½
Метод рационализации: Этот метод обычно используется, когда один из числителя и знаменателя или оба они состоят из выражений, содержащих квадратные корни.
Вычислить: \ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ sqrt {a + 2x} – \ sqrt {3x}} {\ sqrt {3a + x} -2 \ sqrt {x}} \).
Решение: У нас,
\ (\ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ sqrt {a + 2x} – \ sqrt {3x}} {\ sqrt {3a + x} -2 \ sqrt {x}} \),
\ (= \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ left (\ frac {\ left (\ sqrt {a + 2x} – \ sqrt {3x} \ right) \ left ( \ sqrt {a + 2x} + \ sqrt {3x} \ right) \ left (\ sqrt {3a + x} +2 \ sqrt {x} \ right)} {\ left (\ sqrt {3a + x} -2 \ sqrt {x} \ right) \ left (\ sqrt {3a + x} +2 \ sqrt {x} \ right) \ left (\ sqrt {a + 2x} + \ sqrt {3x} \ right)} \ right ) \),
\ (= \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ left (ax \ right) \ sqrt {3a + x} +2 \ sqrt {x}} {3 \ left (ax \ right) \ left (\ sqrt {a + 2x} + \ sqrt {3x} \ right)} \),
\ (= \ underset {x \ to a} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ left (\ sqrt {3a + x} +2 \ sqrt {x} \ right)} {3 \ left (\ sqrt {a + 2x} + \ sqrt {3} x \ right)} \),
\ (= \ frac {4 \ sqrt {a}} {2 \ left (3 \ sqrt {3a} \ right)} = \ frac {2} {3 \ sqrt {3}} \).{m-n}} \).
2.3. Законы пределов – Исчисление, Том 1
Цели обучения
- 2.3.1. Признать основные законы пределов.
- 2.3.2 Используйте законы пределов для оценки предела функции.
- 2.3.3 Вычислить предел функции путем факторизации.
- 2.3.4 Используйте предельные законы, чтобы оценить предел полиномиальной или рациональной функции.
- 2.3.5 Оценить предел функции путем факторизации или использования конъюгатов.
- 2.3.6. Оценить предел функции с помощью теоремы сжатия.
В предыдущем разделе мы оценивали пределы, глядя на графики или создавая таблицу значений. В этом разделе мы устанавливаем законы для расчета пределов и узнаем, как применять эти законы. В Студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу для площади круга, адаптировав метод, изобретенный греческим математиком Архимедом.Начнем с повторения двух полезных результатов о предельных значениях из предыдущего раздела. Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для расчета многих пределов.
Оценка пределов с помощью законов о предельных значениях
Первые два предельных закона были изложены в «Двух важных пределах», и мы повторяем их здесь. Эти основные результаты вместе с другими предельными законами позволяют нам оценить пределы многих алгебраических функций.
Теорема 2.4
Результаты базового предела
Для любого действительного числа a и любой константы c ,
1. limx → ax = alimx → ax = a
  (2.14)
2. limx → ac = climx → ac = c
  (2,15)
Пример 2.13
Оценка базового предела
Оцените каждый из следующих пределов, используя результаты основных пределов.
1. limx → 2xlimx → 2x
2. limx → 25limx → 25
Решение
1. Предел x при приближении x к a равен a : limx → 2x = 2.limx → 2x = 2.
2. Предел константы – это константа: limx → 25 = 5.limx → 25 = 5.
Теперь посмотрим на законы пределов, индивидуальные свойства пределов. Доказательства справедливости этих законов здесь не приводятся.
Теорема 2.5
Предельные законы
Пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) определены для всех x ≠ ax ≠ a на некотором открытом интервале, содержащем a . Предположим, что L и M – действительные числа такие, что limx → af (x) = Llimx → af (x) = L и limx → ag (x) = M.limx → ag (x) = M. Пусть c будет константой. Тогда выполняется каждое из следующих утверждений:
Закон суммы для пределов: limx → a (f (x) + g (x)) = limx → af (x) + limx → ag (x) = L + Mlimx → a (f (x) + g (x) ) = limx → af (x) + limx → ag (x) = L + M
.
Разностный закон для пределов: limx → a (f (x) −g (x)) = limx → af (x) −limx → ag (x) = L − Mlimx → a (f (x) −g (x) ) = limx → af (x) −limx → ag (x) = L − M
.
Постоянный кратный закон для пределов: limx → acf (x) = c · limx → af (x) = cLlimx → acf (x) = c · limx → af (x) = cL
Закон произведения для пределов: limx → a (f (x) · g (x)) = limx → af (x) · limx → ag (x) = L · Mlimx → a (f (x) · g (x) ) = limx → af (x) · limx → ag (x) = L · M
.
Частный закон для пределов: limx → af (x) g (x) = limx → af (x) limx → ag (x) = LMlimx → af (x) g (x) = limx → af (x) limx → ag (x) = LM для M ≠ 0M ≠ 0
Степенной закон для пределов: limx → a (f (x)) n = (limx → af (x)) n = Lnlimx → a (f (x)) n = (limx → af (x)) n = Ln для каждое положительное целое число n .
Основной закон для пределов: limx → af (x) n = limx → af (x) n = Lnlimx → af (x) n = limx → af (x) n = Ln для всех L , если n нечетное и для L≥0L≥0, если n четно и f (x) ≥0f (x) ≥0.
Сейчас мы практикуем применение этих законов о лимитах для оценки лимита.
Пример 2.14
Оценка лимита с использованием законов о лимитах
Используйте предельные законы, чтобы вычислить limx → −3 (4x + 2) .limx → −3 (4x + 2).
Решение
Давайте применим законы предельных значений пошагово, чтобы убедиться, что мы понимаем, как они работают.Нам необходимо иметь в виду требование о том, что при каждом применении предельного закона должны существовать новые пределы для применения предельного закона.
limx → −3 (4x + 2) = limx → −34x + limx → −32 Примените закон суммы. = 4 · limx → −3x + limx → −32 Примените постоянный кратный закон. = 4 · (−3) +2 = −10. Примените основные предельные результаты и выполните упрощение .limx → −3 (4x + 2) = limx → −34x + limx → −32 Примените закон суммы. = 4 · limx → −3x + limx → −32 Примените постоянный кратный закон. = 4 · (−3) + 2 = −10. Примените основные предельные результаты и упростите.
Пример 2.15
Многократное использование предельных законов
Используйте предельные законы для вычисления limx → 22×2−3x + 1×3 + 4.limx → 22×2−3x + 1×3 + 4.
Решение
Чтобы найти этот предел, нам нужно применить законы пределов несколько раз. Опять же, нам нужно иметь в виду, что, когда мы переписываем предел с точки зрения других ограничений, каждый новый предел должен существовать для применения закона предела.
limx → 22×2−3x + 1×3 + 4 = limx → 2 (2×2−3x + 1) limx → 2 (x3 + 4) Примените закон частных, убедившись, что. (2) 3 + 4 ≠ 0 = 2 · limx → 2×2−3 · limx → 2x + limx → 21limx → 2×3 + limx → 24 Примените закон суммы и постоянный кратный закон.= 2 · (limx → 2x) 2−3 · limx → 2x + limx → 21 (limx → 2x) 3 + limx → 24 Примените степенной закон. = 2 (4) −3 (2) +1 (2) 3+ 4 = 14. Примените основные предельные законы и выполните упрощение .limx → 22×2−3x + 1×3 + 4 = limx → 2 (2×2−3x + 1) limx → 2 (x3 + 4) Примените закон частного, убедившись, что. ( 2) 3 + 4 ≠ 0 = 2 · limx → 2×2−3 · limx → 2x + limx → 21limx → 2×3 + limx → 24 Примените закон суммы и постоянный кратный закон. = 2 · (limx → 2x) 2−3 · limx → 2x + limx → 21 (limx → 2x) 3 + limx → 24 Примените степенной закон. = 2 (4) −3 (2) +1 (2) 3 + 4 = 14. Примените основные предельные законы и упростите.
КПП 2.11
Используйте предельные законы для вычисления limx → 6 (2x − 1) x + 4.limx → 6 (2x − 1) x + 4. На каждом этапе указывайте применяемый предельный закон.
Пределы полиномиальных и рациональных функций
К настоящему времени вы, вероятно, заметили, что в каждом из предыдущих примеров было так, что limx → af (x) = f (a) .limx → af (x) = f (a). Это не всегда верно, но это верно для всех многочленов при любом выборе a и для всех рациональных функций при всех значениях a , для которых определена рациональная функция.
Теорема 2.6
Пределы полиномиальных и рациональных функций
Пусть p (x) p (x) и q (x) q (x) – полиномиальные функции.Пусть a будет действительным числом. Затем
limx → ap (x) = p (a) limx → ap (x) = p (а) limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a), когда q (a) ≠ 0. limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a), когда q (a) ≠ 0.
Чтобы убедиться, что эта теорема верна, рассмотрим многочлен p (x) = cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0.p (x) = cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0. Применяя законы суммы, постоянного кратного и степенного, мы получаем
limx → ap (x) = limx → a (cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0) = cn (limx → ax) n + cn − 1 (limx → ax) n − 1 + ⋯ + c1 ( limx → ax) + limx → ac0 = cnan + cn − 1an − 1 + ⋯ + c1a + c0 = p (a) .limx → ap (x) = limx → a (cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0) = cn (limx → ax) n + cn − 1 (limx → ax) n − 1 + ⋯ + c1 (limx → ax) + limx → ac0 = cnan + cn − 1an − 1 + ⋯ + c1a + c0 = р (а).
Теперь из закона частного следует, что если p (x) p (x) и q (x) q (x) – многочлены, для которых q (a) ≠ 0, q (a) ≠ 0, то
limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a) .limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a).
Пример 2.16 применяет этот результат.
Пример 2.16
Оценка предела рациональной функции
Вычислить limx → 32×2−3x + 15x + 4.limx → 32×2−3x + 15x + 4.
Решение
Поскольку 3 находится в области определения рациональной функции f (x) = 2×2−3x + 15x + 4, f (x) = 2×2−3x + 15x + 4, мы можем вычислить предел, подставив 3 вместо x в функция.Таким образом,
limx → 32×2−3x + 15x + 4 = 1019.limx → 32×2−3x + 15x + 4 = 1019.
КПП 2.12
Вычислить limx → −2 (3×3−2x + 7) .limx → −2 (3×3−2x + 7).
Дополнительные методы оценки пределов
Как мы видели, мы можем легко вычислить пределы многочленов и пределы некоторых (но не всех) рациональных функций с помощью прямой подстановки. Однако, как мы видели во вводном разделе о пределах, определенно возможно существование limx → af (x) limx → af (x), когда f (a) f (a) не определено.Следующее наблюдение позволяет нам оценить многие ограничения этого типа:
Если для всех x ≠ a, f (x) = g (x) x ≠ a, f (x) = g (x) на некотором открытом интервале, содержащем a , то limx → af (x) = limx → ag (x) .limx → af (x) = limx → ag (x).
Чтобы лучше понять эту идею, рассмотрим предел limx → 1×2−1x − 1.limx → 1×2−1x − 1.
Функция
f (x) = x2−1x − 1 = (x − 1) (x + 1) x − 1 f (x) = x2−1x − 1 = (x − 1) (x + 1) x − 1
и функция g (x) = x + 1g (x) = x + 1 идентичны для всех значений x ≠ 1.x ≠ 1. Графики этих двух функций показаны на рисунке 2.24.
Рис. 2.24. Графики f (x) f (x) и g (x) g (x) идентичны для всех x ≠ 1.x ≠ 1. Их пределы на 1 равны.
Мы видим, что
limx → 1×2−1x − 1 = limx → 1 (x − 1) (x + 1) x − 1 = limx → 1 (x + 1) = 2.limx → 1×2−1x − 1 = limx → 1 (x− 1) (x + 1) x − 1 = limx → 1 (x + 1) = 2.
Предел имеет вид limx → af (x) g (x), limx → af (x) g (x), где limx → af (x) = 0limx → af (x) = 0 и limx → ag (x ) = 0.limx → ag (x) = 0. (В этом случае мы говорим, что f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет неопределенную форму 0/0.) 0/0.) Следующая стратегия решения проблем дает общую схему для оценки пределов этого типа.
Стратегия решения проблем
Стратегия решения проблем: вычисление предела, когда f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет неопределенную форму 0/0
1. Во-первых, нам нужно сделать убедитесь, что наша функция имеет соответствующую форму и не может быть оценена сразу с помощью предельных законов.
2. Затем нам нужно найти функцию, которая равна h (x) = f (x) / g (x) h (x) = f (x) / g (x) для всех x ≠ ax ≠ a на некотором интервале содержащий и . Для этого нам может потребоваться выполнить один или несколько из следующих шагов:
  1. Если f (x) f (x) и g (x) g (x) являются полиномами, мы должны разложить каждую функцию на множители и исключить любые общие множители.
  2. Если числитель или знаменатель содержит разность, включающую квадратный корень, мы должны попытаться умножить числитель и знаменатель на сопряжение выражения, содержащего квадратный корень.
  3. Если f (x) / g (x) f (x) / g (x) – сложная дробь, мы начнем с ее упрощения.
3. Наконец, мы применяем предельные законы.
Следующие примеры демонстрируют использование этой стратегии решения проблем. Пример 2.17 иллюстрирует технику множителя и отмены; Пример 2.18 показывает умножение на конъюгат. В примере 2.19 мы рассмотрим упрощение сложной дроби.
Пример 2.17
Оценка лимита путем факторинга и отмены
Вычислить limx → 3×2−3x2x2−5x − 3.limx → 3×2−3x2x2−5x − 3.
Решение
Шаг 1. Функция f (x) = x2−3x2x2−5x − 3f (x) = x2−3x2x2−5x − 3 не определена для x = 3.x = 3. Фактически, если мы подставим 3 в функцию, мы получим 0 / 0,0 / 0, что не определено. Факторинг и отмена – хорошая стратегия:
limx → 3×2−3x2x2−5x − 3 = limx → 3x (x − 3) (x − 3) (2x + 1) limx → 3×2−3x2x2−5x − 3 = limx → 3x (x − 3) (x − 3 ) (2x + 1)
Шаг 2. Для всех x ≠ 3, x2−3x2x2−5x − 3 = x2x + 1.x ≠ 3, x2−3x2x2−5x − 3 = x2x + 1. Следовательно,
limx → 3x (x − 3) (x − 3) (2x + 1) = limx → 3x2x + 1.limx → 3x (x − 3) (x − 3) (2x + 1) = limx → 3x2x + 1.
Шаг 3. Оцените, используя законы пределов:
limx → 3x2x + 1 = 37.limx → 3x2x + 1 = 37.
КПП 2.13
Вычислить limx → −3×2 + 4x + 3×2−9.limx → −3×2 + 4x + 3×2−9.
Пример 2.18
Вычисление предела умножением на конъюгат
Вычислить limx → −1x + 2−1x + 1.limx → −1x + 2−1x + 1.
Решение
Шаг 1. x + 2−1x + 1x + 2−1x + 1 имеет вид 0/00/0 при −1. Давайте начнем с умножения на x + 2 + 1, x + 2 + 1, сопряжение x + 2−1, x + 2−1, на числитель и знаменатель:
limx → −1x + 2−1x + 1 = limx → −1x + 2−1x + 1 · x + 2 + 1x + 2 + 1.limx → −1x + 2−1x + 1 = limx → −1x + 2− 1x + 1 · x + 2 + 1x + 2 + 1.
Шаг 2. Затем мы умножаем числитель. Мы не умножаем знаменатель, потому что мы надеемся, что (x + 1) (x + 1) в знаменателе в итоге уравняется:
= limx → −1x + 1 (x + 1) (x + 2 + 1). = limx → −1x + 1 (x + 1) (x + 2 + 1).
Шаг 3. Тогда отменяем:
= limx → −11x + 2 + 1. = limx → −11x + 2 + 1.
Шаг 4. Наконец, мы применяем предельные законы:
limx → −11x + 2 + 1 = 12.limx → −11x + 2 + 1 = 12.
КПП 2.14
Вычислить limx → 5x − 1−2x − 5.limx → 5x − 1−2x − 5.
Пример 2.19
Вычисление предела путем упрощения сложной дроби
Вычислить limx → 11x + 1−12x − 1.limx → 11x + 1−12x − 1.
Решение
Шаг 1. 1x + 1−12x − 11x + 1−12x − 1 имеет вид 0/00/0 в 1.Мы упростим алгебраическую дробь, умножив на 2 (x + 1) / 2 (x + 1): 2 (x + 1) / 2 (x + 1):
limx → 11x + 1−12x − 1 = limx → 11x + 1−12x − 1 · 2 (x + 1) 2 (x + 1) .limx → 11x + 1−12x − 1 = limx → 11x + 1−12x −1 · 2 (x + 1) 2 (x + 1).
Шаг 2. Далее перемножаем числители. Не умножайте знаменатели, потому что мы хотим отменить множитель (x − 1) 🙁 x − 1):
= limx → 12− (x + 1) 2 (x − 1) (x + 1). = limx → 12− (x + 1) 2 (x − 1) (x + 1).
Шаг 3. Затем упростим числитель:
= limx → 1 − x + 12 (x − 1) (x + 1).= limx → 1 − x + 12 (x − 1) (x + 1).
Шаг 4. Теперь вычитаем −1 из числителя:
= limx → 1− (x − 1) 2 (x − 1) (x + 1). = limx → 1− (x − 1) 2 (x − 1) (x + 1).
Шаг 5. Затем мы сокращаем общие множители (x − 1) 🙁 x − 1):
= limx → 1−12 (x + 1). = limx → 1−12 (x + 1).
Шаг 6. Наконец, мы оцениваем, используя предельные законы:
limx → 1−12 (x + 1) = – 14.limx → 1−12 (x + 1) = – 14.
КПП 2.15
Вычислить limx → −31x + 2 + 1x + 3.limx → −31x + 2 + 1x + 3.
Пример 2.20 точно не вписывается ни в одну из схем, установленных в предыдущих примерах. Однако, проявив немного творчества, мы все еще можем использовать те же самые техники.
Пример 2.20
Оценка лимита, когда законы о лимитах не применяются
Вычислить limx → 0 (1x + 5x (x − 5)). Limx → 0 (1x + 5x (x − 5)).
Решение
И 1 / x1 / x, и 5 / x (x − 5) 5 / x (x − 5) не могут иметь нулевого предела. Поскольку ни одна из двух функций не имеет нулевого предела, мы не можем применить закон суммы для пределов; мы должны использовать другую стратегию.В этом случае мы находим предел, выполняя сложение, а затем применяя одну из наших предыдущих стратегий. Обратите внимание, что
1x + 5x (x − 5) = x − 5 + 5x (x − 5) = xx (x − 5). 1x + 5x (x − 5) = x − 5 + 5x (x − 5) = xx (x −5).
Таким образом,
limx → 0 (1x + 5x (x − 5)) = limx → 0xx (x − 5) = limx → 01x − 5 = −15.limx → 0 (1x + 5x (x − 5)) = limx → 0xx ( x − 5) = limx → 01x − 5 = −15.
Контрольно-пропускной пункт 2.16
Вычислить limx → 3 (1x − 3−4×2−2x − 3) .limx → 3 (1x − 3−4×2−2x − 3).
Давайте вернемся к односторонним ограничениям. Простые модификации предельных законов позволяют применять их к односторонним пределам.Например, чтобы применить предельные законы к пределу вида limx → a − h (x), limx → a − h (x), мы требуем, чтобы функция h (x) h (x) была определена над открытым интервал вида (б, а); (б, а); для предела вида limx → a + h (x), limx → a + h (x) мы требуем, чтобы функция h (x) h (x) была определена на открытом интервале вида (a, c ). (а, в). Пример 2.21 иллюстрирует это.
Пример 2.21
Оценка одностороннего лимита с использованием предельных законов
По возможности оцените каждый из следующих пределов.
1. limx → 3 − x − 3limx → 3 − x − 3
2. limx → 3 + x − 3limx → 3 + x − 3
Решение
Рисунок 2.25 иллюстрирует функцию f (x) = x − 3f (x) = x − 3 и помогает нам понять эти пределы.
Рисунок 2.25 На графике показана функция f (x) = x − 3.f (x) = x − 3.
1. Функция f (x) = x − 3f (x) = x − 3 определена на интервале [3, + ∞). [3, + ∞). Поскольку эта функция не определена слева от 3, мы не можем применить предельные законы для вычисления limx → 3 − x − 3.limx → 3 − x − 3. Фактически, поскольку f (x) = x − 3f (x) = x − 3 не определено слева от 3, limx → 3 − x − 3limx → 3 − x − 3 не существует.
2. Поскольку f (x) = x − 3f (x) = x − 3 определено справа от 3, предельные законы действительно применяются к limx → 3 + x − 3.limx → 3 + x − 3. Применяя эти предельные законы, получаем limx → 3 + x − 3 = 0.limx → 3 + x − 3 = 0.
В примере 2.22 мы смотрим на односторонние пределы кусочно определенной функции и используем эти пределы, чтобы сделать вывод о двустороннем пределе той же функции.
Пример 2.22
Оценка двустороннего предела с использованием предельных законов
Для f (x) = {4x − 3ifx <2 (x − 3) 2ifx≥2, f (x) = {4x − 3ifx <2 (x − 3) 2ifx≥2, оцените каждый из следующих пределов:
1. limx → 2 − f (x) limx → 2 − f (x)
2. limx → 2 + f (x) limx → 2 + f (x)
3. limx → 2f (x) limx → 2f (x)
Решение
Рисунок 2.26 иллюстрирует функцию f (x) f (x) и помогает нам понять эти пределы.
Рисунок 2.26 На этом графике показана функция f (x).f (x).
1. Поскольку f (x) = 4x − 3f (x) = 4x − 3 для всех x в (−∞, 2), (- ∞, 2), заменим f (x) f (x) в пределе с 4x − 34x − 3 и применить предельные законы:
  limx → 2 − f (x) = limx → 2− (4x − 3) = 5. limx → 2 − f (x) = limx → 2− (4x − 3) = 5.
2. Поскольку f (x) = (x − 3) 2f (x) = (x − 3) 2 для всех x в (2, + ∞), (2, + ∞), заменим f (x) f ( x) в пределе с (x − 3) 2 (x − 3) 2 и применить предельные законы:
  limx → 2 + f (x) = limx → 2 + (x − 3) 2 = 1.limx → 2 + f (x) = limx → 2 + (x − 3) 2 = 1.
3. Поскольку limx → 2 − f (x) = 5limx → 2 − f (x) = 5 и limx → 2 + f (x) = 1, limx → 2 + f (x) = 1, мы заключаем, что limx → 2f (x) limx → 2f (x) не существует.
КПП 2.17
График f (x) = {- x − 2ifx <−12ifx = −1x3ifx> −1f (x) = {- x − 2ifx <−12ifx = −1x3ifx> −1 и вычислить limx → −1 − f (x) .limx → −1 − f (x).
Обратимся теперь к вычислению предела вида limx → af (x) g (x), limx → af (x) g (x), где limx → af (x) = K, limx → af (x ) = K, где K ≠ 0K ≠ 0 и limx → ag (x) = 0. limx → ag (x) = 0. То есть f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет вид K / 0, K ≠ 0K / 0, K ≠ 0 при a .
Пример 2.23
Оценка предела формы K / 0, K ≠ 0K / 0, K ≠ 0 с использованием предельных законов
Вычислить limx → 2 − x − 3×2−2x.limx → 2 − x − 3×2−2x.
Решение
Шаг 1. Подставив в x = 2, x = 2, мы видим, что этот предел имеет вид −1 / 0. −1 / 0. То есть, когда x приближается к 2 слева, числитель приближается к -1; а знаменатель приближается к 0. Следовательно, величина x − 3x (x − 2) x − 3x (x − 2) становится бесконечной. Чтобы лучше понять, каков предел, нам нужно разложить знаменатель на множители:
limx → 2 − x − 3×2−2x = limx → 2 − x − 3x (x − 2) .limx → 2 − x − 3×2−2x = limx → 2 − x − 3x (x − 2).
Шаг 2. Поскольку x − 2x − 2 – единственная часть знаменателя, которая равна нулю при замене 2, мы затем отделяем 1 / (x − 2) 1 / (x − 2) от остальной части функции. :
= limx → 2 − x − 3x · 1x − 2. = limx → 2 − x − 3x · 1x − 2.
Шаг 3. limx → 2 − x − 3x = −12limx → 2 − x − 3x = −12 и limx → 2−1x − 2 = −∞.limx → 2−1x − 2 = −∞. Следовательно, произведение (x − 3) / x (x − 3) / x и 1 / (x − 2) 1 / (x − 2) имеет предел + ∞: + ∞:
limx → 2 − x − 3×2−2x = + ∞.limx → 2 − x − 3×2−2x = + ∞.
КПП 2.18
Вычислить limx → 1x + 2 (x − 1) 2.limx → 1x + 2 (x − 1) 2.
Теорема сжатия
Техника, которую мы разработали до сих пор, очень хорошо работает для алгебраических функций, но мы все еще не можем оценить пределы самых основных тригонометрических функций. Следующая теорема, называемая теоремой сжатия, оказывается очень полезной для установления основных тригонометрических пределов. Эта теорема позволяет нам вычислить пределы, «сжав» функцию с пределом в точке a , который неизвестен, между двумя функциями, имеющими общий известный предел в a .Рисунок 2.27 иллюстрирует эту идею.
Рисунок 2.27. Теорема сжатия применяется, когда f (x) ≤g (x) ≤h (x) f (x) ≤g (x) ≤h (x) и limx → af (x) = limx → ah (x). limx → af (x) = limx → ah (x).
Теорема 2.7
Теорема сжатия
Пусть f (x), g (x), f (x), g (x) и h (x) h (x) определены для всех x ≠ ax ≠ a над открытый интервал, содержащий и . Если
f (x) ≤g (x) ≤h (x) f (x) ≤g (x) ≤h (x)
для всех x ≠ ax ≠ a в открытом интервале, содержащем a, и
. limx → af (x) = L = limx → ah (x) limx → af (x) = L = limx → ah (x)
, где L – действительное число, тогда limx → ag (x) = L.limx → ag (x) = L.
Пример 2.24
Применение теоремы о сжатии
Примените теорему сжатия, чтобы вычислить limx → 0xcosx.limx → 0xcosx.
Решение
Поскольку −1≤cosx≤1−1≤cosx≤1 для всех x , мы имеем – | x | ≤xcosx≤ | x | – | x | ≤xcosx≤ | x |. Поскольку limx → 0 (- | x |) = 0 = limx → 0 | x |, limx → 0 (- | x |) = 0 = limx → 0 | x |, из теоремы сжатия получаем limx → 0xcosx = 0.limx → 0xcosx = 0. Графики f (x) = – | x |, g (x) = xcosx, f (x) = – | x |, g (x) = xcosx и h (x) = | x | h (x) = | x | показаны на рисунке 2.28.
Рисунок 2.28 Графики f (x), g (x), f (x), g (x) и h (x) h (x) показаны вокруг точки x = 0.x = 0.
Контрольно-пропускной пункт 2.19
Используйте теорему сжатия, чтобы вычислить limx → 0x2sin1x.limx → 0x2sin1x.
Теперь мы используем теорему сжатия, чтобы найти несколько очень важных ограничений. Хотя это обсуждение довольно продолжительное, эти ограничения оказываются неоценимыми для развития материала как в следующем разделе, так и в следующей главе. Первый из этих ограничений – это limθ → 0sinθ.limθ → 0sinθ. Рассмотрим единичный круг, показанный на рис. 2.29. На рисунке мы видим, что sinθsinθ – это координата y на единичной окружности, и она соответствует отрезку линии, показанному синим цветом. Радианная мера угла θ – это длина дуги, которую он проходит на единичной окружности. Следовательно, мы видим, что при 0 <θ <π2,0
Рис. 2.29. Синусоидальная функция показана в виде линии на единичной окружности.
Поскольку limθ → 0 + 0 = 0limθ → 0 + 0 = 0 и limθ → 0 + θ = 0, limθ → 0 + θ = 0, используя теорему сжатия, мы заключаем, что
limθ → 0 + sinθ = 0.limθ → 0 + sinθ = 0.
Чтобы увидеть, что limθ → 0 − sinθ = 0limθ → 0 − sinθ = 0, заметим, что для −π2 <θ <0,0 <−θ <π2 − π2 <θ <0,0 <−θ <π2 и следовательно, 0 sinθ> θ.0> sinθ> θ. Применение теоремы сжатия дает желаемый предел. Таким образом, поскольку limθ → 0 + sinθ = 0limθ → 0 + sinθ = 0 и limθ → 0 − sinθ = 0, limθ → 0 − sinθ = 0,
limθ → 0sinθ = 0.limθ → 0sinθ = 0.
(2.16)
Далее, используя тождество cosθ = 1 − sin2θcosθ = 1 − sin2θ для −π2 <θ <π2, −π2 <θ <π2, мы видим, что
limθ → 0cosθ = limθ → 01 − sin2θ = 1.limθ → 0cosθ = limθ → 01 − sin2θ = 1.
(2.17)
Теперь посмотрим на предел, который играет важную роль в последующих главах, а именно на limθ → 0sinθθ.limθ → 0sinθθ. Чтобы оценить этот предел, мы используем единичный круг на рис. 2.30. Обратите внимание, что на этом рисунке к рисунку 2.30 добавлен еще один треугольник. Мы видим, что длина стороны, противоположной углу θ в этом новом треугольнике, равна tanθ.tanθ. Таким образом, мы видим, что для 0 <θ <π2, sinθ <θ
Рисунок 2.30 Функции синуса и тангенса показаны линиями на единичной окружности.
Разделив на sinθsinθ во всех частях неравенства, получим
1 <θsinθ <1cosθ.1 <θsinθ <1cosθ.
Эквивалентно
1> sinθθ> cosθ.1> sinθθ> cosθ.
Поскольку limθ → 0 + 1 = 1 = limθ → 0 + cosθ, limθ → 0 + 1 = 1 = limθ → 0 + cosθ, мы заключаем, что limθ → 0 + sinθθ = 1.limθ → 0 + sinθθ = 1. Применяя манипуляции, подобные тем, которые использовались при демонстрации того, что limθ → 0 − sinθ = 0, limθ → 0 − sinθ = 0, мы можем показать, что limθ → 0 − sinθθ = 1.limθ → 0 − sinθθ = 1. Таким образом,
limθ → 0sinθθ = 1.limθ → 0sinθθ = 1.
(2,18)
В примере 2.25 мы используем этот предел, чтобы установить limθ → 01 − cosθθ = 0.limθ → 01 − cosθθ = 0. Этот предел также окажется полезным в следующих главах.
Пример 2.25
Оценка важного тригонометрического предела
Вычислить limθ → 01 − cosθθ.limθ → 01 − cosθθ.
Решение
На первом этапе мы умножаем на сопряжение, чтобы мы могли использовать тригонометрическую идентичность для преобразования косинуса в числителе в синус:
limθ → 01 − cosθθ = limθ → 01 − cosθθ · 1 + cosθ1 + cosθ = limθ → 01 − cos2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sin2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sinθθ · sinθ1 + cosθ = 1 · 02 = 0.limθ → 01 − cosθθ = limθ → 01 − cosθθ · 1 + cosθ1 + cosθ = limθ → 01 − cos2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sin2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sinθθ · sinθ1 + cosθ = 1 · 02 = 0.
Следовательно,
limθ → 01 − cosθθ = 0. limθ → 01 − cosθθ = 0.
(2,19)
КПП 2.20
Вычислить limθ → 01 − cosθsinθ.limθ → 01 − cosθsinθ.
Студенческий проект
Получение формулы для площади круга
Некоторые из геометрических формул, которые мы считаем само собой разумеющимся сегодня, были впервые получены методами, которые предвосхищают некоторые методы исчисления.Греческий математик Архимед (ок. 287–212; до н. Э.) Проявил особую изобретательность, используя многоугольники, вписанные в круги, чтобы приблизить площадь круга по мере увеличения числа сторон многоугольника. Он никогда не приходил в голову с идеей предела, но мы можем использовать эту идею, чтобы увидеть, что его геометрические конструкции могли предсказывать о пределе.
Мы можем оценить площадь круга, вычислив площадь вписанного правильного многоугольника. Представьте себе правильный многоугольник, состоящий из n треугольников.Взяв предел, когда угол при вершине этих треугольников стремится к нулю, вы можете получить площадь круга. Чтобы в этом убедиться, выполните следующие действия:
1. Выразите высоту h и основание b равнобедренного треугольника на рисунке 2.31 через θθ и r .
  Рисунок 2.31
2. Используя выражения, полученные на шаге 1, выразите площадь равнобедренного треугольника через θ и r .
  (Замените (1/2) sinθ (1/2) sinθ на sin (θ / 2) cos (θ / 2) sin (θ / 2) cos (θ / 2) в своем выражении.)
3. Если правильный многоугольник со сторонами n вписан в круг радиуса r , найдите связь между θ и n . Решите это для n . Имейте в виду, что в круге 2 π радиан. (Используйте радианы, а не градусы.)
4. Найдите выражение для площади многоугольника со сторонами n через r и θ .
5. Чтобы найти формулу для площади круга, найдите предел выражения на шаге 4, когда θ стремится к нулю. ( Подсказка: limθ → 0 (sinθ) θ = 1) .limθ → 0 (sinθ) θ = 1).
Техника оценки площадей регионов с помощью полигонов пересматривается во введении в интеграцию.
Раздел 2.3. Упражнения
В следующих упражнениях используйте законы пределов для оценки каждого предела. Обоснуйте каждый шаг, указав соответствующий предельный закон (законы).
83.
limx → 0 (4×2−2x + 3) limx → 0 (4×2−2x + 3)
84.
limx → 1×3 + 3×2 + 54−7xlimx → 1×3 + 3×2 + 54−7x
85.
limx → −2×2−6x + 3limx → −2×2−6x + 3
86.
limx → −1 (9x + 1) 2limx → −1 (9x + 1) 2
В следующих упражнениях используйте прямую замену для оценки каждого предела.
88.
limx → −2 (4×2−1) limx → −2 (4×2−1)
89.
limx → 011 + sinxlimx → 011 + sinx
90.
limx → 2e2x − x2limx → 2e2x − x2
91.
limx → 12−7xx + 6limx → 12−7xx + 6
92.
limx → 3lne3xlimx → 3lne3x
В следующих упражнениях используйте прямую замену, чтобы показать, что каждый предел приводит к неопределенной форме 0 / 0,0 / 0. Затем оцените предел.
93.
limx → 4×2−16x − 4limx → 4×2−16x − 4
94.
limx → 2x − 2×2−2xlimx → 2x − 2×2−2x
95.
limx → 63x − 182x − 12limx → 63x − 182x − 12
96.
limh → 0 (1 + h) 2−1hlimh → 0 (1 + h) 2−1h
97.
предм → 9т − 9т − 3лим → 9т − 9т − 3
98.
limh → 01a + h − 1ah, limh → 01a + h − 1ah, где a – ненулевая действительная константа
99.
limθ → πsinθtanθlimθ → πsinθtanθ
100.
limx → 1×3−1×2−1limx → 1×3−1×2−1
101.
limx → 1 / 22×2 + 3x − 22x − 1limx → 1 / 22×2 + 3x − 22x − 1
102.
limx → −3x + 4−1x + 3limx → −3x + 4−1x + 3
В следующих упражнениях используйте прямую подстановку, чтобы получить неопределенное выражение. Затем используйте метод из примера 2.23, чтобы упростить функцию и определить предел.
103.
limx → −2−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → −2−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
104.
limx → −2 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → −2 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
105.
limx → 1−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → 1−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
106.
limx → 1 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → 1 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
В следующих упражнениях предположим, что limx → 6f (x) = 4, limx → 6g (x) = 9, limx → 6f (x) = 4, limx → 6g (x) = 9 и limx → 6h (x ) = 6.limx → 6h (x) = 6. Используйте эти три факта и законы пределов для оценки каждого предела.
107.
limx → 62f (x) g (x) limx → 62f (x) g (x)
108.
limx → 6g (x) −1f (x) limx → 6g (x) −1f (x)
109.
limx → 6 (f (x) + 13g (x)) limx → 6 (f (x) + 13g (x))
110.
limx → 6 (h (x)) 32limx → 6 (h (x)) 32
111.
limx → 6g (x) −f (x) limx → 6g (x) −f (x)
112.
limx → 6x · h (x) limx → 6x · h (x)
113.
limx → 6 [(x + 1) · f (x)] limx → 6 [(x + 1) · f (x)]
114.
limx → 6 (f (x) · g (x) −h (x)) limx → 6 (f (x) · g (x) −h (x))
.
[T] В следующих упражнениях используйте калькулятор, чтобы построить график каждой кусочно определенной функции, и изучите график, чтобы оценить заданные пределы.
115.
f (x) = {x2, x≤3x + 4, x> 3f (x) = {x2, x≤3x + 4, x> 3
1. limx → 3 − f (x) limx → 3 − f (x)
2. limx → 3 + f (x) limx → 3 + f (x)
116.
g (x) = {x3−1, x≤01, x> 0g (x) = {x3−1, x≤01, x> 0
1. limx → 0 − g (x) limx → 0 − g (x)
2. limx → 0 + g (x) limx → 0 + g (x)
117.
h (x) = {x2−2x + 1, x <23 − x, x≥2h (x) = {x2−2x + 1, x <23 − x, x≥2
1. limx → 2 − h (x) limx → 2 − h (x)
2. limx → 2 + h (x) limx → 2 + h (x)
В следующих упражнениях используйте следующие графики и законы пределов для оценки каждого предела.
118.
limx → −3 + (f (x) + g (x)) limx → −3 + (f (x) + g (x))
. 119.
limx → −3− (f (x) −3g (x)) limx → −3− (f (x) −3g (x))
. 120.
limx → 0f (x) g (x) 3limx → 0f (x) g (x) 3
121.
limx → −52 + g (x) f (x) limx → −52 + g (x) f (x)
. 122.
limx → 1 (f (x)) 2limx → 1 (f (x)) 2
123.
limx → 1f (x) −g (x) 3limx → 1f (x) −g (x) 3
124.
limx → −7 (x · g (x)) limx → −7 (x · g (x))
125.
limx → −9 [x · f (x) + 2 · g (x)] limx → −9 [x · f (x) + 2 · g (x)]
Для следующих задач оцените предел с помощью теоремы сжатия. По возможности используйте калькулятор для построения графиков функций f (x), g (x), f (x), g (x) и h (x) h (x).
126.
[T] Верно или нет? Если 2x − 1≤g (x) ≤x2−2x + 3,2x − 1≤g (x) ≤x2−2x + 3, то limx → 2g (x) = 0.limx → 2g (x) = 0.
127.
[T] limθ → 0θ2cos (1θ) limθ → 0θ2cos (1θ)
128.
limx → 0f (x), limx → 0f (x), где f (x) = {0, xrationalx2, xirrrationalf (x) = {0, xrationalx2, xirrrational
129.
[T] В физике величина электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии r в вакууме, определяется законом Кулона: E (r) = q4πε0r2, E (r) = q4πε0r2, где E представляет величину электрического поля, q – заряд частицы, r – расстояние между частицей и местом, где измеряется напряженность поля, и 14πε014πε0 – постоянная Кулона: 8.988 × 109 Н · м2 / C2,8.988 × 109 Н · м2 / C2.
1. Воспользуйтесь графическим калькулятором для построения графика E (r) E (r), учитывая, что заряд частицы q = 10−10.q = 10−10.
2. Вычислить limr → 0 + E (r) .limr → 0 + E (r). В чем физический смысл этой величины? Это физически актуально? Почему вы оцениваете справа?
130.
[T] Плотность объекта определяется его массой, деленной на его объем: ρ = m / V ρ = m / V.
1. Используйте калькулятор для построения графика зависимости объема от плотности (V = m / ρ), (V = m / ρ), предполагая, что вы исследуете что-то массой 8 кг (m = 8).m = 8).
2. Оцените limρ → 0 + V (ρ) limρ → 0 + V (ρ) и объясните физический смысл.
.

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

Урок 8. предел функции на бесконечности – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Предел функции в математике с примерами

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Предел функции

Свойства пределов функций

Раскрытие неопределенностей типа

Раскрытие неопределенностей типа

Первый замечательный предел

Раскрытие неопределенности типа . Второй замечательный предел

lim как решать

Где можно решить любую задачу по математике, а так же lim как решать Онлайн?

“Предел функции на бесконечности” – математика, уроки

Решение пределов | СпецКласс

Что надо знать про пределы

Типы пределов

Замечательные пределы

Правило Лопиталя

Расчет пределов с помощью алгебры – AP Calculus AB

| Определение, пример и факты

– Оценка

Краткое описание ограничений

Пример:

Продолжение примера:

Оценка пределов

1. Просто введите значение

Пример:

Пример:

2. Факторы

Пример:

3.Конъюгат

4.Бесконечные пределы и рациональные функции

5. Правило L’Hôpital

6. Формальный метод

В поисках предела – Бесплатная справка по математике

Что такое предел?

Пример A

Алгебра пределов – MyRank

2.3. Законы пределов – Исчисление, Том 1

Цели обучения

Оценка пределов с помощью законов о предельных значениях

Результаты базового предела

Пример 2.13

Оценка базового предела

Решение

Предельные законы

Пример 2.14

Оценка лимита с использованием законов о лимитах

Решение

Пример 2.15

Многократное использование предельных законов

Решение

Пределы полиномиальных и рациональных функций

Пределы полиномиальных и рациональных функций

Пример 2.16

Оценка предела рациональной функции

Решение

Дополнительные методы оценки пределов

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: вычисление предела, когда f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет неопределенную форму 0/0

Пример 2.17

Оценка лимита путем факторинга и отмены

Решение

Пример 2.18

Вычисление предела умножением на конъюгат

Решение

Пример 2.19

Вычисление предела путем упрощения сложной дроби

Решение

Пример 2.20

Оценка лимита, когда законы о лимитах не применяются

Решение

Пример 2.21

Оценка одностороннего лимита с использованием предельных законов

Решение

Пример 2.22

Оценка двустороннего предела с использованием предельных законов

Решение

Пример 2.23

Оценка предела формы K / 0, K ≠ 0K / 0, K ≠ 0 с использованием предельных законов