Предел в математике: Недопустимое название — Циклопедия - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Предел функции 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Пример функции

Пусть задана функция и значение , значение аргумента. Что происходит с функцией, если ?

Рассмотрим функцию , за примем число 2, оно принадлежит области определения, т. е. , также известно, что .

Пусть , нам необходимо выяснить, что происходит с функцией и какова роль числа (рис. 1).

Рис. 1. График функции ,

Понятие предела функции, выделение

Начнем с выделения ε-окрестности в точке , – это произвольное малое число, например , тогда , , имеем -окрестность для . Имеем горизонтальную полосу шириной , получаем точки и .

Рис. 2. График функции , , ,

Значение достигается, когда , Значение достигается, когда .

меньше, чем , однако точка ближе к 2, значит, за мы выберем .

, так мы получили -окрестность для , получили точку (рис. 2).

– окрестность точки 2 выделяет такой кусок графика, который целиком расположен в горизонтальной полосе шириной .

Рис. 3. График функции ,

Кривая находится внутри горизонтальной полосы – это означает, что как только попадет в δ-окрестность точки 2, попадет в -окрестность точки .

То есть y и точность приближения зависит от . может быть сколько угодно малым числом, главное, чтобы положительным, но при заданном можно найти такое , что как только попадет в δ-окрестность точки 2, попадет в -окрестность точки , именно этим обстоятельством нам важна .

при . Для любой узкой горизонтальной полосы вокруг точки найдется подходящая вертикальная полоса вокруг точки такая, что выделяет такой кусок графика, который целиком находится в горизонтальной полосе (рис. 3).

Число называется пределом функции при , если сказанное справедливо для любого положительного .

Записывается это следующим образом:

Если находится вблизи точки 2, то находится вблизи своего предела, вблизи точки .

Предел функции в точке

Была функция , мы умножим числитель на , и разделим числитель на , ясно, что в точке 2 функция не существует, распишем эту функцию:

Наша новая функция совпадает со старой функцией везде, кроме одной точки, нарисуем новый чертеж (рис. 4):

Рис. 4. График

Важные отличия функций и

Важные отличия:

– предел равен .
Непрерывна в точке .

– предел .
Главное различие – это наличие разрыва в ОДЗ.
Не является непрерывной в точке (рисунок 4).

Определения функции

Если первая функция существовала в точке 2, то вторая функция не существует в точке 2, а предел у них один и тот же. непрерывна потому, что предел этой функции при равен , т. е. значению функции в точке 2, чего нельзя сказать про функцию номер 2.

можно заменить на .

можно заменить другим числом из ОДЗ и получить важные определения:

Функцию называют непрерывной в точке , если выполняется соотношение
Функцию называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Утверждение непрерывности функции

Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение , т. е.

Это утверждение позволяет определять, где данная функция непрерывна.

Теорема для вычисления пределов

Но каким образом вычислять пределы? Для этого существует теорема:

Если , , то:

– предел суммы и при равен сумме пределов, т. е. .
– предел произведения и g при равен произведению пределов, т. е..
– предел частного при , есть частное от пределов, т. е. при .
– предел произведения коэффициента на функцию равен умноженному на предел этой функции, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример 1, найти

Найти .

Во-первых, нужно взять предел от и отнять предел , во-вторых, в точке 1 функция непрерывна, значит, предел функции в этой точке равен значению функции при , т. е. единицу подставляем, получаем:

Ответ: -1.

Пример 2, найти

Найти .

0 входит в область определения функции, значит, предел функции при равен значению функции в точке 0, функция непрерывна в точке 0, т. е. подставляем 0 и получаем:

Ответ: 0.

Вывод
Мы познакомились с важными понятиями предела функции в точке, непрерывности функции в точке, привели примеры.

Список литературы

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10 –11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10 –11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Найти .
Вычислить .
Вычислить .

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал 5klass. net (Источник).
Интернет-портал Mathematics-repetition.com (Источник).
Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).

Всему свой предел. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Хранил в себе один секрет и был в семье примерный муж.
Всё было, вроде, как всегда: жена готовила обед…
Но приключилась вдруг беда: он взял и вспомнил про секрет.
Под шум и кислый запах щей, ворчанье суженой с утра,
Он вспомнил всё до мелочей, как будто было то вчера…
…Она сидела у окна, и мягкий чудный лунный свет
Окрасил в бледные тона её прекрасный силуэт…
Струились пряди по плечам, скользили змейками на грудь…
И он подумал сгоряча: «Женюсь на ней когда – нибудь!»
Он вспомнил всё до мелочей: изгибы линий, мягкость губ…
И жар её простых речей, и за окном огромный дуб.
Сплетенье рук… Слиянье тел… Каскад каштановых волос…
И то, как он её хотел до исступления, до слёз!
Признаний трепетных поток, как он на ушко их шептал!
Смешной над ухом завиток, что от дыханья трепетал…
Она смотрела на него глазами влажными, как ночь.

Слова пьянили, как вино: «Люблю тебя… Роди мне дочь…»
С утра он потерял покой: то суетился, то скучал…
Потом, закрыв лицо рукой, сидел на стуле и молчал.
Жена ворчала, как всегда. Ругала убежавший суп…
И он отметил, что года ей, постаревшей, не к лицу.
Как не идёт ей белый цвет и пряди крашеных волос.
И целых двадцать восемь лет всё как – то было не всерьёз…
Вдруг он вскочил, схватил пальто, забыл про шапку и носки.
Все двадцать восемь лет – не то… Все двадцать восемь зим – тоски.
Нашёл тот дом. У дома – дуб. Взбежал по лестнице стрелой…

Унять бы дрожь с холодных губ, и трусость гадкую – долой!
Наверное, она сейчас пьет чай и кутается в шаль…
И из её прекрасных глаз струится тихая печаль…
А может, принялась вязать? А может кружево плести?
Так много надо ей сказать! А главное сказать – прости…
Открыла дверь… В глазах – вопрос. Ей было снова двадцать лет…
Каскад каштановых волос… Знакомый сердцу силуэт…
Над ухом – лёгкий завиток… Как много лет назад – точь в точь…
” Вы не ошиблись?» – Нет, не мог… Вы Аня? ” Вера.

Её дочь…»
” А Аня?”- ” Мамы больше нет… Кто Вы?» Он повернулся вспять:
«Я шёл к ней двадцать восемь лет…» – Она ждала Вас… Двадцать пять…
Как закружилась голова… Как сердце ухнуло в груди!
И вспомнил он её слова с мольбою: «Ты не уходи!»
Он сгорбился. Поплёлся прочь. Сплетенье рук… Слиянье тел…
Люблю тебя… Роди мне дочь… А он ведь вправду дочь хотел.
Как странно. Ани больше нет… Заплакал… Бросил в тишину:«Я буду много – много лет любить тебя… Тебя одну…»

P.S. БЕРЕГИТЕ ЛЮБОВЬ – она фундамент вашего счастья…

Знай, у каждого разное «больно»,
Знай, у каждого разное «страшно».
Не суди со своей колокольни
Неизвестносколькоэтажной.

Не очерчивай взглядом границы,
Не придумывай мозгом пределы.

Что тебе в страшном сне не приснится,
Для кого-то – обычное дело.

Знай, у каждого разное «надо»,
Знай, у каждого разное «сложно».
Впрочем, и представление ада
Обобщить и сравнить невозможно.

Знай, что правда бывает другая,
А не та, что приносят на блюде.
Присмотрись к тем, чьи судьбы пугают,
Это – самые сильные люди.

Не говори, что я тебя не помню —
Я помню всё, и много раз на дню
Я повторяю номер телефонный,
Но никогда тебе не позвоню.
Вот-вот, казалось, сердце разорвется
И на пределе одиноких дней

За горизонт зашли в душе моей.
Была любовь, была любовь, была!
И к этой фразе нечего прибавить.

Сгорел волшебный замок наш дотла
И пепла не оставил нам на память.
Я помню всё, и сад цветущий помню,
И сквозь листву — лучи со всех сторон,
Как будто с белой-белой колокольни
В душе — ты слышишь — льётся тихий звон.
Любовь ушла и больше не вернётся,
И чтоб не вечно тосковать о ней,
Твои глаза, как два печальных солнца,
За горизонт зашли в душе моей.

За счастьем погоня опять неудачна…
И вечер дождливый, на улице мрачно…
А в детстве…намазала булку вареньем
И точно счастливая, до одуренья…

Гламур, этикет, бриллианты, джакузи…
Теперь, кроме счастья, в судьбе «All inclusive»,
А в детстве с подсолнуха семечки ела,
И счастью, казалось, не будет предела…

Мы стали похожи на клоунов очень…
У каждого грим, что снаружи хохочет…
А в детстве… лишь солнце с небес пробивалось
И сердце счастливое так улыбалось…

Людей отбираем, как в «Золушке» гречку…
Всех нужных – в контакты… Невыгодных в печку…
А в детстве в нас верило чистое небо…
Где радость от запаха свежего хлеба?

И дружба теперь покупается тоже…
Дожились… Живём в мире меха и кожи…
А в детстве дворнягу от ливня спасали…
И счастье давая, его получали.

Мы искренность, чуткость теряли с годами…
Границы и рамки придумали сами…
Есть булка и банка с вишнёвым вареньем?
Так будьте счастливыми, до одуренья!

Я смотрю на тебя и понимаю, что по-прежнему люблю тебя. Эта любовь – хроническая болезнь последних лет. Она приносит настолько нестерпимую боль, что я кидаюсь на совершенно посторонних людей, пытаясь обмануться ими, с ними вдруг в этих объятиях найду то самое обезболивающее, которое, по словам обладателей морщинистых сердец, вообще не существует. Я понимаю, что обманываюсь, но все равно продолжаю обниматься-убиваться не могу иначе, болит ведь, изводит, по ночам спать не дает, вот сижу на подоконнике и, еще минута, истошно закричу от пыток иллюзий. Обратиться к тебе за помощью? Бесполезно. Ты знаешь о моей любви, но тебе она ни к чему, «своих невысказанных чувств полный рот». Мы в одной паутине безответности, но не можем помочь друг другу. Ты обхватываешь руками тонкие белые нити-прутья и смотришь куда-то за пределы реальности, надеясь черт знает на чью помощь.

И разница между нами одна: моя любовь к тебе почти сбила меня с ног, а твоя любовь к кому-то – подпитывает, оживляет тебя ожиданием, пусть и обманчивым. Я больше не хочу смотреть на тебя, я прогоняю возможность тебя из сердца, но от этого еще больнее. Вот и проходится шепотом страдать, тоже надеясь черт знает на чью помощь. Времени?..

Ваша жизнь – сплошное вранье, порнуха, бытовуха, интернет-зависимость и сотово-мобильное рабство. Ну разве я не прав? Вот скажите мне, вы когда-нибудь совершали что-нибудь по настоящему из ряда вон? Никогда. И не сможете. Знаете почему? Потому что все это находится за пределами вашей зоны комфорта. Вы упакованы в нее. Как в полипропиленовый мешок. Вы куски мяса, зажатые рамками быта и работы. Или я не прав? Может, я ошибаюсь? Поправьте меня.
Например, можете подарить свой мобильник первому встречному? А? Вопрос на засыпку. Можете прямо сейчас отформатировать винт на вашем компьютере? Стремно? Обосрались? А знаете, почему вы этого не сделаете? Потому что это равноценно самоубийству. Вы без этого не существуете.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

2: Пределы – Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 2482

Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
OpenStax

Идея предела является центральной для всего исчисления. Мы начнем эту главу с изучения того, почему ограничения так важны. Затем мы переходим к описанию того, как найти предел функции в заданной точке. Не все функции имеют пределы во всех точках, и мы обсудим, что это означает и как мы можем определить, имеет ли функция предел при определенном значении. Эта глава написана в неформальной, интуитивной манере, но этого не всегда достаточно, если нам нужно доказать математическое утверждение, включающее пределы. В последнем разделе этой главы представлено более точное определение предела и показано, как доказать, что функция имеет предел.

2.0: Прелюдия к ограничениям
Мы начинаем эту главу с изучения того, почему ограничения так важны. Затем мы переходим к описанию того, как найти предел функции в заданной точке. Не все функции имеют пределы во всех точках, и мы обсудим, что это означает и как мы можем определить, имеет ли функция предел при определенном значении. В последнем разделе этой главы представлено более точное определение предела и показано, как доказать, что функция имеет предел.
2.1: Предварительный обзор математического анализа
Приступая к изучению математического анализа, мы увидим, как его развитие возникло из общих решений практических задач в таких областях, как инженерная физика — например, проблема космических путешествий, поставленная в открытие главы. Две ключевые проблемы привели к первоначальной формулировке исчисления: (1) проблема касательной, или как определить наклон линии, касательной к кривой в точке; и (2) проблема площади, или как определить площадь под кривой.
- 2.1E: Упражнения к разделу 2.1
2.2: Предел функции
Для оценки предела можно использовать таблицу значений или график. Если предел функции в точке не существует, все же возможно, что пределы слева и справа в этой точке могут существовать. Если пределы функции слева и справа существуют и равны, то пределом функции является это общее значение. Мы можем использовать пределы для описания бесконечного поведения функции в точке.
- 2.2E: Упражнения к Разделу 2.2
2.3: Законы пределов
В этом разделе мы установим законы для расчета пределов и узнаем, как применять эти законы. В студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу площади круга, адаптировав метод, разработанный греческим математиком Архимедом. Начнем с переформулировки двух полезных предельных результатов из предыдущего раздела. Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для вычисления многих пределов.
- 2.3E: Упражнения к разделу 2.3
2.4: Непрерывность
Чтобы функция была непрерывной в точке, она должна быть определена в этой точке, ее предел должен существовать в этой точке и значение функции в этой точке должно равняться значению предела в этой точке. Разрывы могут быть классифицированы как устранимые, скачкообразные или бесконечные. Функция непрерывна на открытом отрезке, если она непрерывна в каждой точке отрезка. Он непрерывен на отрезке, если он непрерывен в каждой его внутренней точке и непрерывен в своих концах.
- 2.4E: Упражнения к разделу 2.4
2.5: Точное определение предела
В этом разделе мы преобразуем эту интуитивную идею точного предела в формальное определение, используя математический язык. Формальное определение предела, возможно, является одним из самых сложных определений, с которыми вы столкнетесь в начале изучения исчисления; тем не менее, это стоит любых усилий, которые вы приложите, чтобы примирить его с вашим интуитивным представлением о пределе. Понимание этого определения является ключом к лучшему пониманию исчисления. 9n\) имеет бесконечные пределы в точке \(a\). (CC BY; OpenStax)
Эта страница под названием 2: Ограничения распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
1. Наверх
- Была ли эта статья полезной?
1. Тип изделия
  Глава
  Автор
  ОпенСтакс
  Лицензия
  CC BY-NC-SA
  Версия лицензии
  4,0
  Программа OER или Publisher
  ОпенСтакс
  Показать страницу TOC
  нет
2. Теги
  автор @ Эдвин «Джед» Герман
  автор@Гилберт Странг
  источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
Математика | Пределы, непрерывность и дифференцируемость
1. Пределы –
Для функции пределом функции в точке является значение, которого функция достигает в точке, очень близкой к .
Формально
Позвольте быть функцией, определенной на некотором интервале, содержащем , за исключением того, что она не может быть определена в этой точке.
Мы говорим, что если для каждого числа существует такое число, что
всякий раз, когда
Понятие предела поясняется графически на следующем изображении –

Как видно из приведенного выше рисунка, к пределу можно подойти с любой стороны числовая линия, т. е. предел может быть определен в терминах числа меньше, чем или в терминах числа больше, чем . Используя этот критерий, есть два типа ограничений –
Левостороннее ограничение — Если предел определяется с помощью числа, которое меньше, то считается, что это левостороннее ограничение. Обозначается как, что эквивалентно где и .
Правый предел – Если предел определяется в виде числа, которое больше, чем предел, то говорят, что он является правым пределом. Обозначается как, что эквивалентно где и .
Существование предела — Предел функции at существует только тогда, когда ее левый и правый пределы существуют, равны и имеют конечное значение, т. е.
Некоторые общие пределы –

Правило больницы –
Правило больницы .
Если предел имеет вид, описанный выше, то правило Лопиталя гласит, что –

где и получено дифференцированием и .
Если после дифференцирования форма все еще существует, то правило может применяться непрерывно, пока форма не будет изменена.
- Пример 1 – Оценка
- Решение – .
- Решение – При умножении, делении и перезаписи предела получаем –

Предел в математике: Недопустимое название — Циклопедия