Пределы интегрирования: Определенный интеграл, Пределы интегрирования, функция Дирихле

Переменные пределы интегрирования

Хотя результат интегрирования — одно число, всегда можно использовать интеграл совместно с дискретным аргументом, чтобы получить результаты для многих значений параметра. Например, можно задать переменный предел интегрирования. На Рисунке 7 показано, как это сделать.

Рисунок 7: Переменные пределы интегрирования.

Отметим, что вычисления, подобные показанным на Рисунке 7, могут потребовать неоднократного вычисления интеграла. Это может привести к значительным затратам машинного времени, в зависимости от сложности интегралов, длины интервала интегрирования и значения встроенной переменной TOL.

Изменение точности вычисления интегралов

Численный алгоритм интегрирования Mathcad делает последовательные вычисления значения интеграла, увеличивая точность на каждом шаге, и возвращает значение, когда два последних значения отличаются меньше, чем на величину встроенной переменной TOL. На Рисунке 8 показано, как изменение значения TOL влияет на точность вычисления интеграла.

Чтобы вывести большее количество значащих цифр.

Рисунок 8: Влияние значения встроенной переменной TOL на вычисление интеграла.

При необходимости можно изменять точность вычислений, включив определения  для  значения TOL непосредственно в рабочий документ, как показано на Рисунке 8. Можно также сделать это с помощью команды Встроенные переменные из меню Математика. Чтобы увидеть эффект изменения точности вычислений, выберите команду Пересчитать все из меню Математика  для повторного вычисления всех выражений в рабочем документе. Если численный алгоритм Mathcad не достигает заданной точности, Mathcad отмечает интеграл сообщением об ошибке “

не  сходится”. Эта ошибка может быть вызвана либо функцией, которая имеет особенности, либо наличием осцилляций в интервале интегрирования, либо слишком длинным интервалом интегрирования. При изменении точности необходимо помнить о соблюдении компромисса между точностью и временем вычисления, поскольку увеличение точности требует увеличения времени вычислений.

Криволинейные и двойные интегралы

Mathcad может быть использован для вычисления криволинейных интегралов в комплексной плоскости. Для этого сначала параметризуйте контур. Затем интегрируйте по параметру. Если параметр отличен от длины дуги, необходимо также включить производную параметризации как поправочный коэффициент. Пример приведен на Рисунке 9. Обратите внимание, что мнимая единица

i, которая использована в определении пути, должна набираться как 1i.

В Mathcad можно также вычислять двойные или кратные интегралоы. Чтобы ввести знак двойного интеграла, наберите & дважды. Введите подинтегральное выражение, пределы и переменные интегрирования для каждого интеграла. На Рисунке 10 приведен пример.

Рисунок 9: Как в Mathcad вычислить криволинейный интеграл по пути в комплексной плоскости.

Имейте в виду, что двойные интегралы вычисляются дольше, чем простые интегралы. Везде, где возможно, используйте эквивалентный простой интеграл вместо двойного интеграла.

Рисунок 10: Двойные интегралы.

Булевы операторы могут возвращать значения только 0 или 1. Несмотря на это, они могут быть очень полезны. Пример на Рисунке 3 показывает использование булева оператора для установления переменного верхнего предела в операторе суммирования. На Рисунке 11 приведен пример, как булев оператор дает возможность определить значение индекса требуемого элемента массива.

Сокровищница Методов и Формул, Электронная Книга, поставляемая MathSoft, содержит большое количество подобных полезных примеров.

Условие	Как ввести	Описание
w = z	[Ctrl] =	Булево равенство возвращает 1, если операнды равны; иначе 0
x > y	>	Больше чем.
x < y	<	Меньше чем.
x y	[Ctrl]0	Больше либо равно.
x y	[Ctrl]9	Меньше либо равно.
w z	[Ctrl]3	Не равно.

Четыре оператора >, <, и не могут применяться к комплексным числам, потому что понятия “больше” и “меньше” теряют значение в комплексной плоскости.

Рисунок 11: Использование булевых операторов.

Функции и операторы имеют много общего. Функция берет аргумент и возвращает результат. Оператор, аналогично, берет операнд и возвращает результат. Нетрудно заметить, что различия между функциями и операторами чисто внешние, а именно:

• Функции имеют имена, например tan или spline; операторы — обычно символы подобно + или x.

• Аргументы функции заключены в круглые скобки, они идут после имени  функции  и разделяются запятыми. Операнды же могут появляться в любом месте. Например, часто встречается запись f (x, y) , но редко x f y. Аналогично, часто используется запись x + y, но редко +(x, y).

Итак, операторы и функции — по сути, одно и то же. Аналогично тому, как определяются пользовательские функции, могут быть определены пользовательские операторы. Это возможно в Mathcad PLUS. Первый раздел описывает определение нового оператора, следующий — его использование, в последнем разделе показывается, как функции могут отображаться на манер операторов.

Замена переменной в определенном интеграле — КиберПедия

Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров… Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре… Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации – обмен информацией между организацией и её внешней средой… Интересное: Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны… Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным. .. Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль… Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒ Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле. В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене. В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте. Пример 5 Вычислить определенный интеграл Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально. Сначала готовим наш интеграл к замене: Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: . Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал : По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап. Находим новые пределы интегрирования. Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , . Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль: Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх: Готово. И всего-то лишь… Продолжаем решение. (1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования. (2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница. (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов. Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо. А сейчас пара примеров для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно. Пример 6 Вычислить определенный интеграл Пример 7 Вычислить определенный интеграл Это примеры для самостоятельного решения. Решения и ответы в конце урока. И в заключение параграфа пара важных моментов, разбор которых появился благодаря посетителям сайта. Первый из них касается правомерности замены. В некоторых случаях её проводить нельзя! Так, Пример 6, казалось бы, разрешим с помощью универсальной тригонометрической подстановки , однако верхний предел интегрирования («пи») не входит в область определения этого тангенса и поэтому данная подстановка нелегальна! Таким образом, функция-«замена»должна быть непрерывна во всех точках отрезка интегрирования. В другом электронном письме поступил следующий вопрос: «А нужно ли менять пределы интегрирования, когда мы подводим функцию под знак дифференциала?». Сначала я хотел «отмахнуться от ерунды» и автоматически ответить «конечно, нет», но затем задумался о причине появления такого вопроса и вдруг обнаружил, что информации-тоне хватает. А ведь она, пусть и очевидна, но очень важнА: Если мы подводим функцию под знак дифференциала, то менять пределы интегрирования не нужно! Почему? Потому что в этом случае нет фактического перехода к новой переменной. Например: И здесь подведение гораздо удобнее академичной замены с последующей «росписью» новых пределов интегрирования. Таким образом, если определённый интеграл не очень сложен, то всегда старайтесь подвести функцию под знак дифференциала! Это быстрее, это компактнее, и это обыденно – в чём вы убедитесь ещё десятки раз! Большое спасибо за ваши письма!   ⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒ Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ – конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой. .. Папиллярные узоры пальцев рук – маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)… Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций… 

Пределы интегрирования – формулы, примеры

Пределы интегрирования используются в определенных интегралах. Применение пределов интегрирования к неопределенным интегралам превращает их в определенные интегралы. В выражении для интегрирования ∫ ^a _b f(x).dx для функции f(x) с пределами [a, b] a — верхний предел, b — нижний предел. Пределы интегрирования применяются в два этапа: сначала интегрирование функции дает ее первообразную, а затем к первообразной функции применяются пределы. 9a_b = F(a) – F(b) \)

Давайте узнаем больше о том, как решать пределы интегрирования, формулы пределов интегрирования, с помощью примеров, часто задаваемых вопросов.

1.	Каковы пределы интеграции?
2.	Как решить пределы интеграции?
3.	Формулы пределов интегрирования
4.	Примеры пределов интегрирования
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы об ограничениях интеграции

Каковы пределы интеграции?

Пределы интегрирования – это верхний и нижний пределы, которые применяются к интегралам. Интегрирование функции \(\int f(x)\) дает ее первообразную F(x), а пределы интегрирования [a, b] применяются к F(x), чтобы получить F(a) – F( б). Здесь в данном интервале [a, b] a называется верхним пределом, а b называется нижним пределом. 9a_b = F(a) – F(b) \)

Площадь, ограниченная функцией через граничные значения, находится путем интегрирования функции и применения пределов интегрирования. Верхний предел и нижний предел — это пределы, которые помогают вычислить площадь, ограниченную кривой. Интегрирование с пределами интегрирования называется определенным интегралом. Окончательным ответом на применение пределов интегрирования к интегральному выражению является простое числовое значение. Применение пределов интегрирования к функции f(x) не имеет константы интегрирования в окончательном ответе.

Как решить пределы интеграции?

Пределы интегрирования решаются в два этапа. Сначала решается интегрирование, а затем применяются пределы интегрирования. При применении пределов интегрирования получаются два значения функции. Разница между двумя значениями дает окончательное значение пределов интегрирования.

• Шаг – I: Основное интегрирование функции f(x) с пределами [a. a_b \) 9а_б = Ф(а) – Ф(б) \)

Таким образом, пределы интегрирования используются для нахождения простого числового значения данного интегрального выражения.

Формулы пределов интегрирования

Следующие важные формулы с пределами интегрирования используются для нахождения окончательного ответа определенных интегралов. Здесь формулы определенных интегралов помогают проинтегрировать заданную функцию и применить нижний и верхний предел для нахождения значения интеграла. 9a_{-a}f(x).dx = 0\), если f(x) — нечетная функция и f(-x) = -f(x).

☛ Похожие темы

• Антипроизводные
• Определенный интеграл
• Неопределенный интеграл
• Определенная интегральная формула
• Методы интеграции

 

Примеры пределов интегрирования

1. Пример 1: Найдите интеграл, применяя пределы интегрирования \(\int^3_{-3}x^5. dx\). 92x.dx=\frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}\)​​

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по пределам интегрирования

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о пределах интеграции 9а_b = F(a) – F(b) \). Здесь интеграл от функции f(x) берется для получения первообразной функции F(x). Далее пределы [a, b] применяются как верхняя граница и нижняя граница, а разность значений функции берется для нахождения окончательного ответа.

Что вы называете интеграцией с ограничениями интеграции?

Процесс интегрирования, включающий пределы интегрирования, называется определенным интегралом. Интегрирование без каких-либо ограничений называется неопределенными интегралами.

Для чего используются пределы интегрирования?

Пределы интегрирования помогают найти площадь, ограниченную кривой, в пределах граничных значений. Пределы интегрирования помогают найти площадь, ограниченную функцией. Интегрирование функции f(x) дает первообразную функции, и, кроме того, верхняя и нижняя границы, заданные пределами интегрирования, применяются для нахождения площади, ограниченной кривой.

Интегральные границы / пределы интегрирования

Что такое границы интеграла?

Границы интеграла , также называемые пределами интегрирования , определяют область, которую вы будете интегрировать.
Пределы интегрирования для этого графика равны (0,2).

Верхние и нижние границы

Интеграл имеет две границы : нижнюю и верхнюю границы. Если вам дан интеграл, вы будете интегрировать между этими двумя границами.

Нижняя граница — это место, где вы запуск интегрирование. Вы найдете его под интегральным символом:

Верхняя граница — это линия, на которой вы прекращаете интегрирование. Он находится над символом интеграла:

В приведенном выше примере вы бы сказали, что границы интегрирования равны 0 и 2.

Как найти пределы интегрирования

ограниченной области (которую содержат функции), самый простой способ найти пределы интегрирования – построить график функций.

Например, вас попросили найти ограниченную площадь:

• y = 5 – x
• у = х
• у = 4 – 3х

На графике функции выглядят следующим образом:
Пределы интегрирования (черные точки) легко увидеть, если построить график функций.
Вы можете использовать свой графический калькулятор (я использовал графический онлайн-калькулятор в HRW), чтобы увеличить точку пересечения линий. Обратите внимание, что в этом примере область ограничена тремя функциями, поэтому вам потребуется выполнить более одного интегрирования, чтобы найти решение. Вы можете увидеть простой пример этой концепции здесь: Площадь между двумя кривыми.

Определенные интегралы и границы

Интегральные границы применимы только к определенным интегралам.

Если у вас есть непрерывная функция (т. е. такая, которая простирается до бесконечности), вы должны наложить ограничения на функцию, чтобы интегрировать ее. Когда вы размещаете эти нижние и верхние границы, он становится определенным интегралом . Интеграл без границ называется неопределенным интегралом.

Как найти верхний предел интеграла

Когда вы находите верхний предел интеграла, вы находите определенный интеграл с верхней границей.

Интеграл с нижним пределом -1 и верхним пределом 1.

Шаги

Шаг 1: Определите рассматриваемую функцию . В интеграле это значение между символом интеграла и константой интегрирования (обычно обозначается как «dx» или, возможно, «dy»). В качестве примера мы назовем функцию чем-то простым, например, «f(x) = 4x».
Шаг 2: Определите пределы исчисления интеграла. Эти значения обычно обозначаются вверху и внизу знака интеграла. Верхняя граница — это значение вверху, а нижняя граница — это значение внизу символа. Допустим, что верхняя граница равна 2, а нижняя — 1,9.0165 Шаг 3: Выполните интегрирование функции с использованием неопределенных интегральных правил. Для f(x) = 4x увеличьте степень переменной на единицу и разделите всю функцию на новый показатель степени переменной. Например, интеграл f(x) = 4x становится 2x ² .
Шаг 4: Вставьте верхнюю границу интеграла во вновь интегрированную функцию . Мы заменяем нашу переменную ранее определенной верхней границей (которую мы оценили в 2). Тогда наша интегрированная функция принимает вид f(x) = 2(2) ² , где значение в скобках — это верхняя граница, заменившая переменную.
Шаг 5: Выполните математические вычисления. Не забывайте порядок действий — ваш ответ может привести к совершенно другому результату, если вы не выполните этот шаг!
f(x) = 2(2) ² = 2(4) = 8.