Пределы как искать: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Содержание

«Надо научиться искать выход за пределы человеческих возможностей, невзирая на страх».

Серийный предприниматель и инвестор, управляющий партнер венчурного фонда LETA Capital Александр Чачава – частый герой деловых изданий, но есть у него и другая, параллельная и очень стремительная жизнь. Александр – профессиональный гонщик. Сейчас он выступает на Российской серии кольцевых гонок и, побывав на этапе в Нижнем Новгороде, успел рассказать нам о скорости, страхе и навыках, которые одинаково нужны гонщикам и успешным бизнесменам.

Гонка – это мгновенные решения, а инвестиции предполагают совершенно иной подход. Как вы стыкуете в себе эти два образа мышления?

Инвестиции я называю шахматами по переписке, которые были очень популярны в советское время: человек делает ход, записывает, кладет в конверт, потом три месяца ждет ответа, и партии длятся годами. Гонки для меня — это способ выйти из зоны комфорта, забыть о бизнесе и переключиться.

Переход от успешного предпринимателя к начинающему гонщику – это встряска для самооценки?

Возможно, это и есть основная причина заниматься гонками. Как предприниматель, я согласен с точкой зрения Ицхака Адизеса, что самое главное качество предпринимателя – это commitment. На русский язык commitment немножко тяжело переводится, но я перевожу это слово так: звериная уверенность в успехе и готовность выйти из зоны комфорта, сжечь за собой мосты. Наш фонд инвестирует в русскоязычных технологических предпринимателей, которые делают глобальный бизнес. В Нижнем Новгороде таких, кстати, достаточное количество, например, центр разработки Intel, много замечательных инициатив с «Технопарком». Мы следим за несколькими очень классными IT-командами. Вот собственно этим командам, чтобы встать на одну ступень с теми, кто построил глобальный бизнес, надо выйти из зоны комфорта. Они могут сидеть у себя в небольшом офисе, продавать в Нижегородской области, по всей России и зарабатывать миллион долларов, им этого, наверное, хватит для комфортной жизни.

Но если они хотят изменить мир, если хотят, чтоб их продуктами пользовались повсеместно, то нужна совершенно другая самоотверженность, самоотдача, тот самый commitment. И это отчасти навык. Человек, который ничего не боится, – это безумец, а человек, который преодолевает свой страх, – смельчак. Навык выхода из зоны комфорта не стоит терять, и, чтобы этого добиться, люди, успешные предприниматели занимаются экстремальным спортом.

Одно дело – в свободное время гонять на мотоцикле, машине, прыгать с парашютом, а профессиональный спорт – совсем другая история. Зачем вам именно профессиональный уровень гонок?

В любительских гонках у меня есть небольшой опыт. Это другое. В любительских автогонках практически нет контактов, есть только таймер: кто быстрее проедет, тот и молодец. Здесь вокруг меня более 30 машин, много столкновений.

Автогонки – это энергозатратный вид спорта, к концу заезда я худею на три килограмма. В гоночном автомобиле нет никаких помощников: ни усилителя руля, ни усилителя тормоза, ни АБС, ничего – все приходится делать руками.

После заезда если посмотреть на руки, то они предательски подрагивают. Не из-за того, что я волнуюсь, а из-за перенапряжения. И кроме всего прочего, там кондиционера тоже нет, приходится ехать примерно в температуре хамама.

Мой класс – самый боевой, самый контактный. Это интересно, это, наверное, лучший класс для таких автогонок. Мне предстоит еще много заниматься, чтоб хотя бы в десятку лучших войти.

Напоминает историю со стартапами: много компаний, все, по сути дела, толкаются локтями. Вы такой класс по этой аналогии выбрали?

Да, этот контактный вид гонок похож на американский рынок. Можно создать классный продукт и продавать его только в своем городе, где, скорее всего, другого продукта нет, так как конкурентов нет. Будет ли это бизнесом? Конечно, будет. Есть замечательная Пермская компания Miro. Сейчас она стоит миллиарды долларов, суперуспешная. По сути, сейчас это самый популярный в мире сервис для совместной работы сотрудников: как взлетел Zoom, так же сейчас взлетел и Miro. Спросите у создателя Miro Андрея Хусида: «Чего тебе в своей Перми не сиделось? Зачем тебе пришлось переехать в Долину на 2 года, поднимать инвестиции?». Не знаю, что он ответит, но это такой же вопрос: зачем идти в профессиональный спорт, когда можно просто покататься на своей быстрой машине? Зачем идти на американский рынок, когда можно в Перми продавать свой продукт? Зная Андрея, он на этот вопрос ответил бы примерно так: «Это самая интересная игра, которую я мог себе представить. Я даже продавать эту компанию не хочу. Потому что ну будет у меня много денег, а в игру-то интереснее играть». Наверное, все мы в какой-то степени играем. Для меня гонка – еще одна игра, и мне она нравится.

В гонках, как в бизнесе, главное – стать первым, стать успешным, стать лучшим из лучших?

В моем случае это соревнование с самим собой. С одной стороны, я прогрессирую, каждую сессию проезжаю лучше, чем предыдущую, а с другой, мне еще далеко до вершины. Моя задача на данный этап – найти еще секунду. Я от чемпиона Европы отстаю на полторы секунды, и вот я сейчас ищу ту самую секунду, чтобы нагнать хоть чуть-чуть. А складывается она из пятидесяти вещей, действий и навыков, которые нужно чуть-чуть улучшить.

Что важно в гонках? Со стороны дилетанта, есть ощущение, что все дело в качестве машины и быстроте реакции. Это так?

Прелесть Российских автогонок в том, что все машины уравнивают. Более того, каждый этап тем, кто чуть более успешен, добавляют вес. Есть регламентный вес: гонку нужно заканчивать, с учетом топлива и веса пилота, не легче тонны и шестидесяти килограммов. Если легче – дисквалификация. Если чемпион Европы выигрывает гонку, ему довешивают буквально 15 килограммов, казалось бы, совсем немного, а едет на доли секунды медленнее. Это помогает тем, кто дышит ему в спину, с ним соревноваться.

Насколько это честно по отношению к чемпиону?

Это честно по отношению к зрителям. Потому что, например, на этапе в Смоленске чемпион проехал лучше всех квалификацию, во время старта уехал, и его больше никто не мог догнать.

За первое место борьбы не получилось. Была борьба за второе-третье место. А зрителям нужна «кровь».

Все-таки в чем залог успеха? Что вам лично нужно делать, чтобы стать лучшим?

В любом ремесле первое, что нужно сделать, – отработать те самые пресловутые 10 тысяч часов. Это аксиома, которая проходит по всем родам деятельности. Когда человек отработал это время с должным усердием, с вниманием к деталям, тогда он поднимается на ступеньку, с которой нужно делать следующий шаг. Я говорю сейчас про людей, у которых есть предрасположенность к тому или иному виду деятельности, а гонки — не для всех. Быстро ехать – достаточно страшно. Когда, понимаешь, что вот-вот влетишь в стену, надо пролетать этот поворот так, чтобы казалось, что ты не справишься. И если ты не вылетел, то запомни, как ты это сделал, и делай так всегда. Надо научиться искать выход за пределы человеческих возможностей, невзирая на страх. Это хорошее качество и для предпринимателя.

Вам тоже страшно участвовать в гонках?

Это очень страшно, но мне нравится. В гонках придется забыть то, чему учили в автошколе, потому что нужно делать много иррациональных вещей: тормозом ускоряться, газом поворачивать, рулем замедляться. Есть такие ситуации, когда ты теряешь машину, и, чтобы ее «поймать» и поехать туда, куда тебе надо, нужно повернуть руль в стену и нажать на газ. Мозг отказывается, я кричу себе: «Поворачивай, так надо», мне страшно, и другая рука начинает выкручивать руль от стены. Таких моментов, когда нужно действовать интуитивно, много, и когда это получатся, начинаешь испытывать кайф. Прикольно же научиться чему-то иррациональному!

Изменился ли ваш стиль вождения после того, как вы начали заниматься гонками?

Если будете ехать с автогонщиком по городу, то вы увидите, насколько он аккуратно, медленно едет. Потому что даже когда ты въезжаешь в отбойник, который для этого предусмотрен, а сам сидишь в железной клетке, у тебя специальное крепкое кресло, шеститочечный ремень безопасности, шлем, защита шеи, негорючий комбинезон, даже носки специальные, это неприятно.

После этого на городской машине ты уже думаешь, как это легко – потерять управление. Поэтому все мои знакомые автогонщики – аккуратные водители. Раньше я периодически гонял, сейчас, врезавшись несколько раз на трассе, желания лихачить стало как-то поменьше. Плюс адреналина хватает и на автодроме.

Вам важно держать в голове конечную цель, например, «я стану чемпионом», или вы из тех людей, кто ставит себе цели промежуточные?

Я пока не понимаю конечную цель. Поэтому, да, пока цели этапные. Сейчас моя задача – прогрессировать и учить какие-то приемы, например, торможение. Некоторые учатся правильно тормозить по три года, но я сказал тренеру: «Я должен научиться за год!»

Возвращаясь к первому вопросу, вы по складу ума больше шахматист или гонщик? Вам важно долгоиграющее выстраивание стратегии или быстрое ориентирование?

Сложно выбрать. Перед принятием решений предприниматель должен быть осознанным и вдумчивым, а после – быстрым. Это две фазы одной личности. Когда мы анализируем стартапы, анализируем стратегию, бизнес-модель – все, что люди учли, придумывая эту компанию, мы смотрим на долгосрочную стратегию. При этом не менее важно увидеть процессы в динамике, понять, насколько компания быстро реализует стратегию, как реагирует на преграды, возможности. Компания, которая бежит медленно, шансов стать глобальной не имеет.

Текст: Анастасия Базилева
Фото: из личного архива героя

Следите за нашими новостями в Telegram

Автор:

Дарья Колосова, 3 июля, 2021

Apple начинает искать сотрудников за пределами Кремниевой долины

www.adv.rbc.ru

Инвестиции

Телеканал

Газета

Pro

Инвестиции

РБК+

Новая экономика

Тренды

Недвижимость

Спорт

Стиль

Национальные проекты

Город

Крипто

Дискуссионный клуб

Исследования

Кредитные рейтинги

Франшизы

Конференции

Спецпроекты СПб

Конференции СПб

Спецпроекты

Проверка контрагентов

РБК Библиотека

Подкасты

ESG-индекс

Политика

Экономика

Бизнес

Технологии и медиа

Финансы

РБК КомпанииРБК Life

www. adv.rbc.ru

Прямой эфир

Ошибка воспроизведения видео. Пожалуйста, обновите ваш браузер.

www.adv.rbc.ru

Фото: Shutterstock

Apple расширит географию найма работников вне Кремниевой долины в Калифорнии, где расположена ее штаб-квартира. Об этом сообщает Bloomberg.

Нежелание перспективных сотрудников сталкиваться с трудностями при переезде и высокой стоимостью проживания в Калифорнии вынуждают Apple предлагать более гибкие форматы работы. Компания уже выделила $2 млрд на строительство рабочих кампусов в Техасе и Северной Каролине.

Кроме того, Apple запустит пилотный формат гибридной офисной и удаленной работы. В начале июня компания заявила, что в сентябре большая часть работников вернется в офис вопреки глобальному тренду среди крупных компаний по переводу сотрудников на удаленку.

Больше новостей об инвестициях вы найдете в нашем телеграм-канале «Сам ты инвестор!»

Автор

Анна Васильцова

Смотри на нашем YouTube-канале

Лидеры роста

Лидеры падения

Валюты

Товары

Индексы

Курсы валют ЦБ РФ

+15,78% ₽113,7 Купить СПБ Биржа SPBE

+8,96% ₽8 760 Купить Лензолото LNZL

+6,18% ₽378,2 Купить ЦИАН CIAN

+5,56% ₽1 330 Купить Лензолото LNZLP

+4,1% ₽106,7 Купить Softline SFTL

-17,17% ₽161,65 Купить «Газпром» GAZP

-10,99% $34,74 Купить Roblox Corporation RBLX

-8,6% $219,38 Купить Microstrategy MSTR

-7,71% $5,39 Купить Bed Bath & Beyond BBBY

-7,56% $3,3 Купить Nikola NKLA

+2,07% ₽62,265 Купить USD/RUB

+1,47% ₽8,622 Купить CNY/RUB

+1,4% ₽60,740 Купить EUR/RUB

-0,85% $0,975 Купить EUR/USD

— — Купить CHF/RUB

— — Купить GBP/RUB

-0,06% $97,56 BRENT -1,26% $1 681,9 GOLD -2,36% $20,26 Silver -2,7% $933 Platinum

-0,03% 801,77 IFX-Cbonds -0,12% 639,6 Индекс SPB100 -3,27% 1 881,21 IMOEX -5,01% 954,65 RTSI

+2,98% ₽59,976 EUR

+1,65% ₽61,248 USD

+0,03% ₽8,594 CNY

Каталог

Выберите свою инвестиционную стратегию Подробнее

www. adv.rbc.ru

ФИА продолжает искать способ, как заставить гонщиков соблюдать пределы трассы – Авто

ФИА планирует провести новое исследование, чтобы найти решения, которые помогут обеспечить соблюдение пилотами границ трека – идея заключается в совместном использовании новых поребриков и электронных средств.

Директор ФИА по безопасности Лоран Мекьес рассказал об этом пилотам на специальной презентации.

«Пределы трассы легко ограничить со спортивной точки зрения – если сделать поребрики выше, никто не будет за них заезжать. Однако, это отрицательно сказывается на безопасности, когда болид попадает в бордюр, поэтому преграды становятся ниже и тоньше – появляется проблема соблюдения границы трека.

Мы пытаемся использовать широкий подход в этом вопросе, и посмотреть – как бы мы могли объединить новые бордюры и электронные средства контроля, если сочетание этих мер сможет помочь», – цитирует Мекьеса сайт Джеймса Аллена.

Материалы по теме

Главные новости

13:39Жак Вильнев: «Ошибался ли бы Леклер без просчетов «Феррари», которые увеличили давление на Шарля?» 1
12:56Маттиа Бинотто: «В слухах о нарушении потолка расходов есть доля истины – отчет должны были опубликовать несколько дней назад» 12
12:15Второй титул Ферстаппена, хаос с начислением очков и трактором, «Альпин» подписала Гасли, Риккардо без места в «Ф-1» и другие события Гран-при Японии
11:46Кристиан Хорнер: «Ферстаппен вырос после первого титула и выступает на другом уровне» 11
10:51Фернандо Алонсо: «Просил провести оба пит-стопа раньше – должно быть, микрофон отключился. Не знаю, что делала «Альпин» 10
10:09Николас Латифи: «Крайне рад первым очкам в 2022 году» 7
09:29Андреас Зайдль о полных баллах за Гран-при Японии: «ФИА и команды просмотрели лазейку и несут ответственность» 18
09:12«Ред Булл» выиграл 14 Гран-при и сделал 5 дублей в 2022 году. Это лучший результат в истории команды 21
09:10700-й гол Роналду за клубы, Ферстаппен – чемпион «Ф-1», победы «Спартака», «Арсенала» и «Барсы», группы отбора Евро-2024, 90-й титул Джоковича, Касильяс назвал себя геем и удалил твит и другие новости 24
23:30Формула-1. Положение в личном зачете и Кубке конструкторов после Гран-при Японии-2022 32

Новости моей команды

Выберите любимую команду

Выберите вид спортаФутболХоккейБаскетболБиатлонБокс/ммаФормула-1Теннис

Поиск пределов в исчислении — выполните следующие действия

Если учитель попросил вас найти предел, вы можете использовать ряд различных методов. Это намного проще, чем кажется, и в конце этого руководства у нас есть отличная стратегия, которой вы можете следовать, чтобы всегда знать, какой метод использовать и когда.

Найти ограничения непросто, и многие люди борются с этим. Если это вы, не волнуйтесь, к концу этого руководства вы сможете найти ограничения максимум за несколько минут. Внимательно читайте и старайтесь следовать, но не бойтесь начинать с самого начала, чтобы усовершенствовать свою технику и правильно запомнить каждую из стратегий.

Почему вы хотите найти пределы?

Пределы невероятно важны, и без них мы не смогли бы выполнять более сложные формы исчисления. Предел — это предел функции f(x), когда x приближается к c, но никогда не достигает его. Помните, что x может приблизиться к c с любой стороны. Представьте график; он может исходить с любой стороны оси.

Ограничения позволяют узнать, как будет вести себя функция, даже если она не существует при определенном значении x. В результате нахождение ограничений позволит вам получить угол наклона в заданной точке, даже если у вас нет конкретного значения x для каждой точки вдоль линии. Не зная, как найти пределы, у нас было бы мало информации о градиенте между точками.

Если мы возьмем функцию f(x) = x – 1 / x – 1 и представим, что x может быть любым числом.

Мы знаем, что если x = 1, функция будет выглядеть так:

f(1) = 1 – 1 / 1 – 1, что будет равно 0 / 0.

результатом является то, что когда x = 1, сама функция не определена, потому что дробь 0/0 не определена. На графике это будет выглядеть как прямая линия, параллельная оси x, но будет пробел, где x = 1, потому что он просто не определен. Но что, если бы мы захотели узнать, какой будет функция, когда x = 1?

Ну, мы не можем этого сделать. Но что мы можем сделать, так это максимально приблизиться к x = 1, чтобы мы могли примерно знать, каково значение функции в этой точке. Эта идея обязательно является пределом. Идея состоит в том, чтобы подобраться как можно ближе к неопределенной точке, чтобы мы могли аппроксимировать ее с высоким уровнем точности.

Нахождение предела путем подстановки X

Первый метод, который мы рассмотрим, — это подстановка x в функцию, чтобы увидеть предел. В идеальном мире это работало бы постоянно. Поэтому мы всегда начинаем с этой методики, потому что она самая простая и позволяет нам получить больше информации о том, что делать дальше. Идея состоит в том, что вы делаете x равным числу, к которому он приближается.

Итак, если мы пытаемся найти предел по мере приближения к 2, мы делаем x = 2 и затем запускаем функцию.

Когда вы сделаете это, вы получите один из трех результатов:

В первом случае вы, вероятно, нашли асимптоту. Асимптота — это когда линия постоянно приближается к заданному значению, но никогда не достигнет его ни в какой конечной точке.

Во второй ситуации вы, вероятно, нашли правильный предел методом подстановки.

Наконец, в самых сложных вопросах вы столкнетесь с ситуацией, когда функция не определена, и поэтому вам нужно будет попробовать другие методы. Если это так, нам нужно будет перестроить функцию, чтобы мы могли рассматривать предел в идентичной, но по-разному устроенной форме, используя один из следующих трех приемов.

Факторинговый метод

Факторинг — отличный метод, который можно попробовать, и часто его легче всего освоить, поскольку он опирается на уже отработанные навыки. Если вы уже пытались подставить число, в итоге получилось 0 / 0, вам нужно начать факторинг.

Часто вы увидите, что либо числитель, либо знаменатель более «дружелюбны» к факторингу. Обычно лучше всего начать с x с наибольшей степенью. Рассмотрим следующее уравнение: 92, который может фактор. В этом случае мы можем разложить на:

(x – 4)(x – 2) / (x – 4)

нижний. Довольно просто, правда? Это также будет не так просто, но если вы продолжите учитывать факторы, вы часто можете найти места для упрощения выражения.

Это упрощение оставляет нам:

f(x) = x – 2, где x приближается к 4.

Если мы сейчас попытаемся подставить 4 в уравнение, вы обнаружите, что f(x) = 2. См. , с помощью факторизации вы показали, что эквивалентная функция имеет определенное значение, и это значение равно 2, когда x приближается к 4.

Если бы вы построили график этой функции, вы все равно увидели бы пробел, где x = 4, потому что исходное уравнение все еще не определено. Однако вы знаете, что при приближении к 4 функция равняется 2.

После факторизации вы можете обнаружить, что у вас нет возможности отменить и упростить. В этом случае вам следует попробовать другой метод, чтобы убедиться, что нет предела функции при определенном значении x.

Рационализация числителя

Третий метод требует, чтобы вы рационализировали числитель, чтобы вы могли попробовать подстановку еще раз. Вы поймете, следует ли рационализировать числитель, потому что увидите квадратный корень вверху и полиномиальное выражение внизу. Давайте посмотрим на следующий пример:

f(x) = sqr(x-4) – 3 / x – 13, когда функция приближается к 13.

Мы знаем, что подстановка невозможна, когда вы получаете 0 в знаменателе, поэтому подстановка в этом примере не удастся. Факторинг также потерпит неудачу, потому что в этом примере нет многочлена для факторинга.

Однако если умножить числитель и знаменатель на сопряженную вершину (числитель), то получится сократить и найти предел.

Сопряжение числителя: sqr(x – 4) + 3, поэтому мы можем умножить, чтобы получить:

(sqr(x – 4) – 3)(sqr(x – 4) + 3) / (x – 13)(sqr(x – 4) + 3)

Затем мы можем ПОЛУЧИТЬ числитель, чтобы получить следующее :

(x – 4) + 3sqr(x – 4) – 3sqr(x – 4) – 9

При упрощении приведенное выше выражение станет равным x – 13, потому что средние члены сокращаются, и тогда вы можете комбинировать подобные члены.

Если мы вернемся к полному уравнению, то увидим, что имеем:

(x – 13) / (x – 13)(sqr(x – 4) + 3)

Условия отменяются, и мы имеем :

1 / (x – 13)(sqr(x – 4) + 3)

Отсюда мы можем подставить 13 в функцию, потому что у нас есть все неизвестные на одной стороне дроби. 2(a) 92(a)

Эти уравнения могут показаться запутанными, но на самом деле они очень просты. Каждый из них используется для разных целей, но при нахождении пределов нам нужно знать их только для переписывания уравнений.

Давайте рассмотрим следующий пример:

Sin (x) / Sin (2x), когда x приближается к 0

Мы можем использовать формулу тождеств двойного угла для упрощения до:

Sin (x) / 2Sin(x) Cos(x)

Отсюда Sin(x) можно отменить, и у нас останется:

1 / 2Cos(x)

Если мы подставим 0 вместо x, мы получим ½, потому что cos(0) = 1, и поэтому у вас есть 1/2*1, что равно ½.

Стратегия нахождения пределов в исчислении

Теперь, когда мы рассмотрели все тактики, которые можно использовать для нахождения пределов, давайте обсудим, какие из них следует использовать и когда. Есть прямое правило. Вы всегда должны сначала делать прямую замену.

Если вы получаете f(a) = b / 0, то у вас есть асимптота.

Если вы получаете f(a) = b, то у вас есть предел.

Если вы получаете f(a) = 0 / 0, тогда вы должны попробовать разложить на множители, рационализировать числитель или триггерные тождества в зависимости от того, что кажется наиболее вероятным.

Пределы и непрерывность – Пределы: поиск пределов на графиках

Перейти к содержимому
В статье «Введение в пределы и определение пределов» мы познакомились с идеей пределов и способами нахождения пределов графически и численно. В этом разделе мы более подробно рассмотрим, как найти пределы функций по графикам, рассмотрев различные сценарии.
Существуют три основных разрыва, с которыми вы столкнетесь при графическом анализе пределов функций.
Устранимые разрывы
Если на кривой графика в точке x = c есть устранимый разрыв (также известный как «дыра»), то предел на графике функции существует. Ниже приведен пример этого:
Обратите внимание, что хотя предел F(x) при приближении x к 1 составляет y = ⅓, значение f(1) не существует. Устранимый разрыв означает, что в этой конкретной точке нет значения.
Бесконечный разрыв
Если данный график имеет вертикальную асимптоту в точке x = c, а кривая либо слева, либо справа неограниченно возрастает или убывает по мере того, как x приближается к значению c, то предела НЕ существует. Ниже приведен пример этого.
Когда x приближается к нулю слева и справа, кривая неограниченно возрастает (+), поэтому график не приближается к определенному значению.
Разрывы перехода
Если график приближается к двум различным значениям y с двух разных направлений, когда x приближается к c, то предела не существует. Не может быть двух разных чисел. Ниже приведен пример этого:
Предел F(x) слева при приближении x к нулю равен -1, а справа 1. Поскольку предел F(x) при приближении x к и левая, и правая стороны различны, предел F (x) при приближении x к нулю НЕ существует.
Как анализировать пределы графически
Чтобы функция имела предел при x = c,
Другими словами, предел функции как с левой, так и с правой стороны должен быть одинаковым.
Задайте себе вопрос: одинаков ли предел функции при приближении F(x) к x = c слева и справа?
Если да, то функция имеет предел при приближении F(x) к c.
Если нет, то функция не имеет предела, поскольку F(x) приближается к c.
Пример 1: Предположим, у нас есть функция F(x) = x+2. Каков предел функции, когда x приближается к 3?
Решение:
Построим график функции.
Мы должны следовать по пути кривой как с левой, так и с правой стороны. Если есть сходимость, то есть предел.
Предел слева и справа одинаков: y = 5. Следовательно, предел функции при приближении x к 3 равен y = 5. F(3) также равен 5,
Пример 2: Ниже приведен график h(x):
Найдите разумную оценку предела h(x) при значении x = 3.
Решение:
In На этом графике всякий раз, когда мы приближаемся к значению x=3 как с левой, так и с правой стороны кривой, значение функции также будет приближаться к 2, поэтому разумная оценка предела h равна 2 Обратите внимание, однако, что это устранимый разрыв (отверстие), поэтому, хотя существует предел в точке x = c, значение функции в точке x = c не существует.
Пример 3: Ниже приведен график g(x):
Найдите разумную оценку предела g(x) при значении x = 1.
Решение:
Давайте проследим путь кривой как с левой, так и с правой стороны, когда x приближается к 1:

Предел находится где-то между y = -2 и y = -1. Любое значение между этим диапазоном будет хорошей оценкой (например, y = -1,5).
Пример 4: Вам дан график с функцией h(x)
Выберите правильный ответ из предложенных вариантов.
Решение:
Давайте рассмотрим вариант A, в котором запрашивается предел F(x) при приближении x к -2. Мы видим, что и с левой, и с правой стороны функция приближается к значению y, равному 1, а не 2. Следовательно, вариант А неверен.
Давайте рассмотрим вариант B, который запрашивает предел F(x), когда x приближается к 3 с правой стороны. Следуя по пути кривой с правой стороны, мы видим, что функция приблизилась к значению y, равному 1. Следовательно, вариант B верен.
Давайте рассмотрим вариант C, который запрашивает предел F(x), когда x приближается к 2 слева. Следуя по пути кривой с левой стороны, функция приближается к значению y, равному 1. Следовательно, существует предел, и вариант C неверен.
Резюме раздела
A Неоднородность Область на графике, где F(x) испытывает отчетливый разрыв или прерывание.
Существует 3 распространенных типа разрывов:
Съемный (отверстие): предел функции при x = c существует, но значение функции при x = c не существует.
Прыжок: функция F(x) приближается к двум различным значениям y слева и справа.
Бесконечно: вертикальная асимптота существует при x = c, и график либо увеличивается, либо уменьшается неограниченно, когда F(x) приближается к x = c.
Определить, существует ли предел функции
Предел F(x) при приближении x к c как слева, так и справа должен быть одинаковым:
Ссылки:
https://www.dummies.com/education/math/calculus/how-to-find-the-limit-of-a-function-graphically/
https://www.khanacademy. org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-3/a/approimating-limit-values-from-a-graph
https://sciencing.com/limit-exists-graph- of-function-4937923.html
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-3/e/connecting-limits-and-graphical-behavior
Перейти к началу
Свойства пределов · Предварительное исчисление
Нахождение пределов: свойства пределов · Предварительное исчисление
В этом разделе вы:
Найдите предел суммы, разности и произведения.
Найдите предел многочлена.
Найдите предел силы или корня.
Найдите предел частного.
Рассмотрим рациональную функцию
f(x)=x2−6x−7x−7
Функция может быть представлена следующим образом:
f(x)=(x−7)(x+1)x−7, что дает нам f(x)=x+1,x≠7.
Означает ли это, что функция f
совпадает с функцией g(x)=x+1?
Нет. Функция f
не имеет x=7
в своем домене, но g
делает. Графически мы видим, что в графике f(x)
есть дыра.
при х=7,
, как показано на [ссылке], и нет такой дыры в графике g(x),
, как показано в [ссылка].
Итак, эти две разные функции также имеют разные пределы как x
приближается к 7?
Не обязательно. Помните, что при определении 90 342 предела 90 168 функции as x
подхода а,
имеет значение то, приближается ли результат к действительному числу, когда мы приближаемся к x=a.
Существование предела не зависит от того, что происходит, когда x
равно a.
Посмотрите еще раз на [ссылка] и [ссылка]. Обратите внимание, что на обоих графиках as x
приближается к 7, выходные значения приближаются к 8. Это означает
limx→7f(x)=limx→7g(x).
Помните, что при определении предела важно, что происходит вблизи x=a,
не в x=a.
В этом разделе мы будем использовать различные методы, такие как переписывание функций путем факторизации, для оценки предела. Эти методы дадут нам формальное подтверждение того, что мы раньше совершали с помощью интуиции.
Нахождение предела суммы, разности и произведения
Построение графика функции или изучение таблицы значений для определения предела может быть громоздким и занимать много времени. Когда это возможно, более эффективно использовать свойства пределов , которые представляют собой набор теорем для нахождения пределов.
Знание свойств пределов позволяет нам напрямую вычислять пределы. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить пределы функций, как если бы мы выполняли операции над самими функциями, чтобы найти предел результата. Точно так же мы можем найти предел функции, возведенной в степень, возведя предел в эту степень. Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела. Используя эти операции над пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых составляющих функций.
свойства ограничений
Let A, K, A,
и B
представляют реальные числа, а F
и G
– это функции, такие, что LIMX → AF (x) =
и Limx → AG (х)=В.
Для пределов, которые существуют и являются конечными, свойства пределов приведены в [ссылка] limx→ak=k Постоянное время функции limx→a[k⋅f(x)]=klimx→af(x)=kA Сумма функций limx→a[f(x)+g(x)]=limx→af(x)+limx→ag(x)=A+B Различие функций limx→a[f(x)−g(x)]=limx→af(x)−limx→ag(x)=A−B Произведение функций limx→a[f(x)⋅g(x)]=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B Частное функций limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB,B≠0 Функция возведена в степень limx→a[f(x)]n=[limx→∞f(x)]n=An, где n – натуральное число n -й корень функции, где n — натуральное число limx→af(x)n=limx→a[f(x)]n=An Полиномиальная функция limx→ap(x)=p(a)
Алгебраическое вычисление предела функции
Вычислить limx→3(2x+5).
limx→3(2x+5)=limx→3(2x)+limx→3(5)Свойство суммы функций                     = 2limx→3(x)+limx→3(5) Постоянные умножения на свойство функции                     =2( 3)+5 Оценить                     =11
Оцените следующий предел: limx→−12(−2x+2).
26
Нахождение предела многочлена
Не все функции или их пределы связаны с простым сложением, вычитанием или умножением. Некоторые могут включать полиномы. Напомним, что многочлен — это выражение, состоящее из суммы двух или более слагаемых, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе. Кроме того, предел полиномиальной функции as x
подхода a
эквивалентно простому вычислению функции для a
.
Для заданной функции, содержащей многочлен, найти ее предел.
Используйте свойства пределов, чтобы разбить многочлен на отдельные члены.
Найдите пределы отдельных терминов.
Сложите ограничения вместе.
В качестве альтернативы оцените функцию для
.
Алгебраическое вычисление предела функции
Вычислить limx→3(5×2).
limx→3(5×2)=5limx→3(x2)Константа, умноженная на свойство функции                 =5(32)Функция, возведенная в степень свойства                =45
Вычислить limx→4(x3−5).
59
Алгебраическое вычисление предела многочлена
Вычислить limx→5(2×3−3x+1).
limx→5(2×3−3x+1)=limx→5(2×3)−limx→5(3x)+limx→5(1)Сумма функций                              =2limx→5(x3)−3limx→5(x) +limx→5(1)Константа, умноженная на функцию                               =2(53)−3(5)+1 Функция, возведенная в степень                                =236Вычислить
Оцените следующий предел: limx→−1(x4−4×3+5).
10
Нахождение предела степени или корня
Когда предел включает степень или корень, нам нужно другое свойство, чтобы помочь нам оценить его. Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое относится и к высшим силам. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу квадратного корня функции; то же верно и для высших корней.
Оценка предела мощности
Вычислить limx→2(3x+1)5.
Мы возьмем предел функции, когда x
приближается к 2, и возведем результат в степень 5 .
limx→2(3x+1)5=(limx→2(3x+1))5                    = (3(2)+1)5                       =75                      =16 807 900 900
Оцените следующий предел: limx→−4(10x+36)3.
−64
**Если мы не можем напрямую применить свойства предела, например, в limx→2(x2+6x+8x−2)
, можем ли мы определить предел функции, когда x
приближается к
?**
Да. Некоторые функции можно алгебраически переставить, чтобы можно было оценить предел упрощенной эквивалентной формы функции.
Нахождение предела частного
Нахождение предела функции, выраженной в виде частного, может оказаться более сложной задачей. Нам часто нужно переписать функцию алгебраически, прежде чем применять свойства предела. Если знаменатель равен 0, когда мы применяем свойства предела напрямую, мы должны переписать частное в другой форме. Один из подходов состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить.
Учитывая предел функции в форме частного, используйте факторинг для его оценки.
Полностью разложите числитель и знаменатель на множители.
Упростите, разделив любые множители, общие для числителя и знаменателя.
Оцените полученное ограничение, не забывая использовать правильный домен.
Оценка предела частного путем разложения на множители
Вычислить limx→2(x2−6x+8x−2).
Умножьте, где это возможно, и упростите.
limx→2(x2−6x+8x−2)=limx→2((x−2)(x−4)x−2) Разложите числитель на множители. =limx→2((x−2)(x−4)x−2) Отменить общие множители. =limx→2(x−4)Вычислить. =2−4=−2
Анализ
Когда предел рациональной функции не может быть оценен напрямую, факторизованные формы числителя и знаменателя могут упроститься до результата, который можно вычислить.
Обратите внимание, функция
f(x)=x2−6x+8x−2
эквивалентно функции
f(x)=x−4,x≠2.
Обратите внимание, что ограничение существует, даже если функция не определена при x = 2.
Оцените следующий предел: limx→7(x2−11x+287−x).
−3
Оценка предела частного с помощью ЖК-дисплея
Вычислить limx→5(1x−15x−5).
Найдите ЛП для знаменателей двух слагаемых в числителе и преобразуйте обе дроби так, чтобы ДП было их знаменателем.
Анализ
При определении предела рациональной функции, в которой члены добавлены или вычтены либо в числителе, либо в знаменателе, первым шагом является нахождение общего знаменателя добавляемых или вычитаемых членов; затем преобразуйте оба члена так, чтобы они имели этот знаменатель, или упростите рациональную функцию, умножив числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель. Затем проверьте, имеют ли результирующие числитель и знаменатель какие-либо общие делители.
Вычислить limx→−5(15+1×10+2x).
−150
Учитывая предел функции, содержащей корень, используйте сопряжение для оценки.
Если приведенное частное не является неопределенным (00) форма
, оценить напрямую.
В противном случае перепишите сумму (или разность) двух частных как одно частное, используя наименьший общий знаменатель (ОНД) .
Если в числителе есть корень, рационализируйте числитель; умножьте числитель и знаменатель на сопряжено с числителя. Напомним, что a±b
— конъюгаты.
Упростить.
Оцените полученный лимит.
Вычисление предела, содержащего корень, с помощью сопряжения
Вычислить limx→0(25−x−5x).
limx→0(25−x−5x)=limx→0((25−x−5)x⋅(25−x+5)(25−x+5)) Умножить числитель и знаменатель на сопряженное. =limx→0((25−x)−25x(25−x+5)) Умножить: (25−x−5)⋅(25−x+5)=(25−x)−25. =limx→0(−xx(25−x+5)) Объедините похожие термины. =limx→0(−xx(25−x+5))Упростить −xx=−1. =−125−0+5Оценить. =−15+5=−110
Анализ
При определении предела функции с корнем в качестве одного из двух членов, где мы не можем вычислить непосредственно, подумайте об умножении числителя и знаменателя на сопряжение членов.
Оцените следующий предел: limh→0(16−h−4h).
−18
Оценка предела частного функции с помощью факторизации
Вычислить limx→4(4−xx−2).
limx→4(4−xx−2) = limx→4((2+x)(2−x)x−2)Коэффициент. =limx→4((2+x)(2−x)−(2−x)) Вынесите −1 из знаменателя. Упрощать. =limx→4−(2+x)Вычислить. =−(2+4)                      =−4
Анализ
Умножение на сопряженное расширит числитель; вместо этого ищите факторы в числителе. Четыре — это полный квадрат, поэтому числитель имеет вид
a2−b2
и может быть разложен на множители как
(a+b)(a−b).
Оцените следующий предел: limx→3(x−3x−3).
23
Учитывая частное с абсолютными значениями, оцените его предел.
Попробуйте разложить или найти ЖК-дисплей.
Если предел не может быть найден, выберите несколько значений рядом и по обе стороны от входа, где функция не определена.
Используйте числовые данные для оценки пределов с обеих сторон.
Оценка предела частного с абсолютными значениями
Вычислить limx→7\|x−7\|x−7.
Функция не определена при x=7,
, поэтому мы попробуем значения, близкие к 7 слева и справа.
Левый предел: \|6.9−7\|6,9−7=\|6,99−7\|6,99−7=\|6,999−7\|6,999−7=−1
Правый предел: \|7,1−7\|7,1−7= \|7.01−7\|7.01−7=\|7.001−7\|7.001−7=1
Поскольку левый и правый пределы не равны, предела нет.
Вычислить limx→6+6−x\|x−6\|.
−1
Получите доступ к следующему онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики со свойствами пределов.
Определение предела аналитически
Ключевые понятия
Свойства пределов можно использовать для выполнения операций над пределами функций, а не над самими функциями. См. [ссылка].
Предел полиномиальной функции можно найти, найдя сумму пределов отдельных членов. См. [ссылка] и [ссылка].
Предел функции, возведенной в степень, равен той же степени предела функции. Другой метод — прямая замена. См. [ссылка].
Предел корня функции равен соответствующему корню предела функции.
Один из способов найти предел функции, выраженной в виде частного, состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить. См. [ссылка].
Еще один метод нахождения предела сложной дроби — найти ЖК. См. [ссылка].
Предел, содержащий функцию, содержащую корень, может быть оценен с использованием сопряжения. См. [ссылка].
Пределы некоторых функций, выраженных в виде частных, можно найти с помощью факторизации. См. [ссылка].
Одним из способов оценки предела частного, содержащего абсолютные значения, является использование числовых свидетельств. Настройка его по частям также может быть полезной. См. [ссылка].
Секционные упражнения
Вербальный
Приведите пример функции f
, предел которой при приближении x
к a,
равен f(a).
Если f
является полиномиальной функцией, предел полиномиальной функции при приближении x
к a
всегда будет f(a).
Когда используется прямая подстановка для оценки предела рациональной функции, когда x
приближается к a
, и результат равен f(a)=00,
означает ли это, что предел f
не существует?
Что значит сказать, что предел f(x),
при приближении x
к c,
не определен?
Это может означать либо (1) значения функции неограниченно увеличиваются или уменьшаются по мере того, как x
приближается к c,
, либо (2) левый и правый пределы не равны.
Алгебраический
Для следующих упражнений оцените пределы алгебраически.
предел→0(3)
limx→2(−5xx2−1)
−103
limx→2(x2−5x+6x+2)
limx→3(x2−9x−3)
6
limx→−1(x2−2x−3x+1)
limx→32(6×2−17x+122x−3)
12
limx→−72(8×2+18x−352x+7)
limx→3(x2−9x−5x+6)
6
limx→−3(−7×4−21×3−12×4+108×2)
limx→3(x2+2x−3x−3)
не существует
limh→0((3+h)3−27h)
limh→0((2−h)3−8h)
−12
limh→0((h+3)2−9h)
limh→0(5−h−5h)
−510
limx→0(3−x−3x)
limx→9(x2−813−x)
−108
limx→1(x−x21−x)
limx→0(x1+2x−1)
1
limx→12(x2−142x−1)
limx→4(x3−64×2−16)
6
limx→2−(\|x−2\|x−2)
limx→2+(\|x−2\|x−2)
1
limx→2(\|x−2\|x−2)
limx→4−(\|x−4\|4−x)
1
limx→4+(\|x−4\|4−x)
limx→4(\|x−4\|4−x)
не существует
limx→2(−8+6x−x2x−2)
В следующем упражнении используйте данную информацию для оценки пределов: limx→cf(x)=3,
limx→cg(x)=5
limx→c [ 2f(x)+g(x) ]
6+5
limx→c [ 3f(x)+g(x) ]
limx→cf(x)g(x)
35
Для следующих упражнений оцените следующие пределы.
limx→2cos(πx)
limx→2sin(πx)
0
limx→2sin(πx)
f(x)={2×2+2x+1,x≤0x−3, x>0; limx→0+f(x)
−3
f(x)={2×2+2x+1,x≤0x−3, x>0; limx→0−f(x)
f(x)={2×2+2x+1,x≤0x−3, x>0; limx→0f(x)
не существует; правый предел не совпадает с левым пределом.
лимкс→4х+5-3х-4
limx→2+(2x−〚x〛)
2
limx→2x+7−3×2−x−2
limx→3+x2x2−9
Предел не существует; предел приближается к бесконечности.
Для следующих упражнений найдите среднюю скорость изменения f(x+h)−f(x)h.
ф(х)=х+1
f(x)=2×2−1
4x+2h
f(x)=x2+3x+4
f(x)=x2+4x−100
2x+h+4
f(x)=3×2+1
f(x)=cos(x)
cos(x+h)−cos(x)h
f(x)=2×3−4x
f(x)=1x
−1x(x+h)
f(x)=1×2
f(x)=x
−1x+h+x
Графический
Найдите уравнение, которое можно представить с помощью [ссылка].
Найдите уравнение, которое можно представить с помощью [ссылка].
f(x)=x2+5x+6x+3
Для следующих упражнений см. [ссылка].
Каков правый предел функции, когда x
приближается к 0?
Каков левый предел функции, когда x
приближается к 0?
не существует
Реальные приложения
Функция положения s(t)=−16t2+144t
дает положение снаряда как функцию времени. Найти среднюю скорость (среднюю скорость изменения) на интервале [1,2]
.
Высота снаряда равна s(t)=−64t2+192t
Найдите среднюю скорость изменения высоты от t=1
секунд до t=1,5
секунд.
52
Сумма денег на счете после t
лет, непрерывно начисляемая по ставке 4,25%, определяется по формуле A=A0e0,0425t,
, где A0
— первоначальная сумма инвестиций. Найти среднюю скорость изменения баланса счета от t=1
года до t=2
года, если первоначальная сумма инвестиций составляет 1000,00 долларов США.