Пределы математика: Как решать пределы для чайников, примеры решений - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Как решать пределы? Гайд для чайников — KILLE на DTF

Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.

10 312 просмотров

Урок математики. Учительница говорит:
— Сегодня мы будем брать интегралы.
Вовочка спрашивает:
— А как это в жизни пригодится?
— Ты ебало-то завали.

Рассмотрим простейший пример:

Не знаешь, как буковки могут складываться с циферками? Тогда у меня есть для тебя решение – эвтаназия, а данный обучающий гайд тебе вряд ли поможет.

Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.

Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.

Хочешь поделить своих хейтеров на бесконечность?

Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.

Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.

А теперь глядь сюды:

Пиздец, правда? И с такой хуйней твоей учительнице по математике приходиться встречаться каждый день. Это поэтому она такая злая ходит.

Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то. Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.

Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:

Получив такое на контрольной не торопись умирать от инфаркта вперемешку с инсультом. Тут все очень просто.

Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень.

Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.

Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).

Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.

Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:

Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле:

(циферка ПЕРЕД ИКСОМ В квадрате)×(ИКС МИНУС первый корень)×(ИКС МИНУС второй корень). Эту формулу знает даже Невский.

Корни получились 5/2 и -1.

Понял, да? Я внес циферку перед иском в квадрате внутрь первой скобки.

Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.

Если из бесконечности вычесть бесконечность, то может получиться твой IQ.

Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа – бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:

В Хогвартсе такое не проходят.

Получилось вот что:

Как ты видишь, в числителе из произведении поноса на понос получился умеренный такой поносик небольших размеров. Операцию, что мы проделали называют умножением на сопряженное.

А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично. Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.

Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:

Научившись решать такое, ты станешь самым популярным в школе.

Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.

Содержание скрыто

Показать

Ты что-нибудь понял? Я нет.

В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49.

На множитель (х-1) мы сократили и числитель и знаменатель в предыдущем абзаце, если кто забыл. Теперь подставляем х=1 и получаем 98/48 или 49/24.

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.

Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится

Содержание скрыто

Показать

в конце учебника.

Пределы доказуемости

Грегори Чейтин
«В мире науки» №6, 2006

Из идей сложности и случайности, впервые высказанных Готфридом Лейбницем в его «Рассуждении о метафизике» (1686), и их подтверждения в современной теории информации следует, что невозможно создать «самую общую теорию всего» в математике.

В 1956 году журнал Scientific American опубликовал статью Эрнста Нагеля (Ernest Nagel) и Джеймса Ньюмана (James R. Newman) «Доказательство Гёделя». Через два года ее авторы выпустили одноименную книгу, которая переиздается до сих пор. В те дни я был еще ребенком, но до сих пор помню трепет, который испытал, открыв ее в Нью-йоркской публичной библиотеке.

Меня поразило то, как Курт Гёдель (Kurt Gödel) использовал математику, чтобы показать, что ее собственные возможности ограничены. Он опроверг высказанное около столетия назад Давидом Гильбертом утверждение о существовании полной теории математики, т.е. конечной совокупности принципов, из которых с помощью последовательного использования правил математической логики можно вывести все положения математики. Гёдель показал, что существуют истинные математические утверждения, которые не могут быть доказаны таким образом. Его выводы основаны на двух самоотносимых парадоксах: «данное утверждение ложно» и «данное утверждение недоказуемо». (Более подробные сведения о теореме неполноты Гёделя можно найти на сайте Scientific American.)

Всю жизнь я разбирался с доказательством Гёделя и теперь, полвека спустя, издал собственную книжку. В какой-то степени это моя версия книги Нагеля и Ньюмана, однако доказательство Гёделя — не главная ее тема. Моя работа основана на измерении информации и доказательстве того, что некоторые математические факты не удается втиснуть в теорию, потому что они слишком сложны. Согласно моему подходу, Гёдель открыл только верхушку айсберга: существует бесконечное множество верных математических теорем, которые невозможно доказать, исходя из конечной системы аксиом.

Сложность и законы науки

В 1686 году было издано философское эссе Готфрида Лейбница (Gottfried W. Leibniz) «Рассуждения о метафизике» (Discours de métaphysique), в котором поставлен вопрос: как отличить факты, которые можно описать неким законом, от фактов, никаким законам не подчиняющихся? В четвертом разделе своего эссе Лейбниц высказал очень простую и глубокую мысль: теория должна быть проще данных, которые она объясняет, иначе она не объясняет ничего. Концепция научного закона становится бессмысленной, если допускает неограниченный уровень математической сложности, потому что в таком случае всегда можно сформулировать закон независимо от того, насколько случайны и беспорядочны факты. И наоборот, если единственный закон, объясняющий какие-то данные, оказывается слишком сложным, то рассматриваемые данные на самом деле не подчиняются никакому закону.

Современная математическая теория алгоритмической информации позволила дать точные количественные определения понятиям сложности и простоты. Обычная теория информации определяет объем информации числом битов, необходимых для ее кодирования. Например, для кодирования простого ответа «да/нет» нужен один бит. В отличие от этого, объем алгоритмической информации определяется длиной компьютерной программы, необходимой для генерации данных. Минимальное число битов, необходимых для хранения программы, называется количеством алгоритмической информации данных. Например, бесконечный ряд натуральных чисел 1, 2, 3,… содержит очень мало алгоритмической информации: все числа ряда можно получить с помощью коротенькой компьютерной программы. Не имеет значения, сколько времени понадобится для выполнения вычислений и какой объем памяти придется использовать, важна лишь длина программы в битах. (Разумеется, точное значение количества алгоритмической информации зависит от выбранного языка программирования, однако для рассматриваемых в данной статье вопросов это несущественно.)

В качестве другого примера возьмем число π, равное 3,14159… Количество алгоритмической информации в нем тоже невелико: для последовательного вычисления всех его знаков нужен довольно короткий алгоритм. А вот случайное число, содержащее всего миллион знаков, скажем, 1,341285…64, характеризуется гораздо бóльшим количеством алгоритмической информации. Поскольку в таком числе нет определяющей структуры, длина самой короткой программы, необходимой для его написания, будет близка к длине самого числа:

Начать
Напечатать «1,341285…64»
Конец

(В программу должны быть включены все цифры, замененные многоточием.) Никакая более короткая программа не позволит рассчитать подобную последовательность цифр: ее невозможно сжать, в ней нет избыточности. Самое лучшее, что можно сделать, — просто передать ее, как она есть. Такие последовательности называются неприводимыми или алгоритмически случайными.

Как же соотносятся вышесказанное с научными законами и фактами? Идея заключается в том, чтобы взглянуть на науку глазами программиста: научная теория подобна компьютерной программе, предсказывающей результаты наблюдений, т.е. экспериментальные данные. Такая точка зрения опирается на два фундаментальных принципа. Согласно первому («бритва Оккама»), из двух теорий, объясняющих некоторые данные, следует предпочесть более простую. Иначе говоря, наилучшей теорией является самая короткая программа, позволяющая рассчитать результаты наблюдений. Второй принцип, изложенный Лейбницем, в современных понятиях звучит так: теория, объем которой в битах равен количеству объясняемых ею данных, бесполезна, поскольку теорией такого размера можно описать совершенно случайные данные. Полезная теория обеспечивает сокращение количества информации: осмысление данных — это их сжатие в краткие алгоритмические описания. Чем проще теория, тем лучше понимание сути явления.

Достаточная причина

Лейбниц, живший за два с половиной века до появления компьютерных программ, очень близко подошел к современному понятию алгоритмической информации. Лейбниц знал, что все можно представить в виде двоичных кодов, и создал одно из первых вычислительных устройств; рассматривая понятия сложности и простоты, он осознавал огромный потенциал вычислений. Если бы Лейбниц объединил все известные ему элементы, то, скорее всего, усомнился бы в одном из устоев своей философии — принципе достаточной причины, согласно которому все происходящее имеет причину. Более того, если какое-то положение истинно, то оно истинно по какой-то причине. Бывает, что в суете и хаосе повседневной жизни в это трудно поверить. Даже если мы не всегда можем увидеть причину (возможно потому, что цепочка рассуждений слишком длинна и запутанна), ее видит Бог. Вот и всё! Здесь Лейбниц соглашался с древнегреческими авторами этой идеи.

Математики, несомненно, безоговорочно принимают принцип достаточной причины Лейбница, потому что всегда стремятся всё доказать. Даже если истинность теоремы очевидна, и миллионы примеров подтверждают ее, математики все равно требуют обобщенного доказательства, на меньшее они не согласны. И здесь концепция алгоритмической информации может внести удивительный вклад в философские рассуждения об источниках и пределах познания. Она показывает, что некоторые математические факты истинны безо всяких причин, и бросает вызов принципу достаточной причины. Как будет показано ниже, существует бесконечное число неприводимых математических фактов, истинность которых нельзя объяснить никакой теорией. Они неприводимы не только вычислительно, но и логически. «Доказать» эти факты можно только одним способом: признать их аксиомами без всяких рассуждений.

Понятие «аксиома» тесно связано с логической неприводимостью. Аксиомы — это математические положения, которые мы считаем самоочевидными и не пытаемся доказать, исходя из более простых принципов. Все математические теории основаны на аксиомах, из которых выводятся следствия, называемые теоремами. Именно так поступал Евклид два тысячелетия назад: его труды по геометрии стали классическим примером математического изложения.

В древней Греции, чтобы убедить сограждан проголосовать именно так, а не иначе, вы должны были бы привести им свои доводы. Вероятно, именно поэтому греки пришли к мысли, что математические положения нужно доказывать, а не выводить опытным путем. (В отличие от греков, древнейшие цивилизации Месопотамии и Египта, похоже, полагались на эксперимент.) Метод логических рассуждений оказался чрезвычайно плодотворным: с его помощью были созданы современная математика, математическая физика и все точные науки, включая технологию создания компьютеров — в высшей степени математичных и логичных машин. Утверждаю ли я, что подход, на котором математика и вся наука строились в течение двух тысячелетий, терпит крах? В каком-то смысле да. Моим контрпримером, иллюстрирующим ограниченность возможностей логики и рассуждений, моим источником бесконечного потока недоказуемых математических положений является число, которое я назвал «омега» (Ω).

Число

Первый шаг к открытию числа Ω был сделан в знаменитой статье, опубликованной ровно через 250 лет после издания эссе Лейбница. В 1936 году на страницах «Трудов Лондонского математического общества» (

Proceedings of the London Mathematical Society) Алан Тьюринг впервые представил математическую модель простой универсальной вычислительной машины. Кроме того, он задался вопросом: можно ли определить, остановится когда-нибудь компьютерная программа или нет? Так была сформулирована знаменитая проблема останова.

Разумеется, запустив программу, вы можете со временем обнаружить, что она остановилась. Фундаментальная проблема заключается в том, чтобы решить, когда вы сдадитесь и престанете ждать, если программа не останавливается. Для множества частных случаев она может быть решена, но Тьюринг показал, что общего решения не существует. Никакой алгоритм и никакая математическая теория не позволят определить, какая программа остановится, а какая нет.

(Современное доказательство данного положения Тьюринга можно найти на сайте Scientific American.) Кстати, употребляя слово «программа» в современном смысле, я имею в виду совокупность самой компьютерной программы и данных, которые она обрабатывает.

Следующим шагом на пути к числу Ω становится рассмотрение множества всех возможных программ. Остановится ли когда-нибудь выбранная случайным образом программа? Вероятность останова и есть Ω. Определим сначала, как осуществить случайный выбор программы. Программа представляет собой последовательность битов, поэтому для выбора значения каждого последующего бита будем просто бросать монету. Сколько битов должна содержать программа? Будем бросать монету до тех пор, пока компьютер не перестанет запрашивать следующий бит. Число

Ω есть вероятность того, что при введении такой случайной последовательности битов машина когда-нибудь остановится. (Численное значение Ω зависит от выбора языка программирования, но удивительные свойства этого числа с ним не связаны.

Когда же язык выбран, Ω приобретает определенную величину, так же, как число π или число 5.)

Поскольку число Ω выражает вероятность, оно должно быть больше нуля, но меньше единицы, т.к. некоторые программы останавливаются, а некоторые – нет. Число Ω, записанное в двоичном коде, будет иметь вид вроде 0,1110100… Последовательность битов после запятой неприводима, а сами они оказываются неприводимыми математическими фактами (каждый факт состоит в том, является ли данный бит нулем или единицей).

Число Ω можно определить как бесконечную сумму, и каждая программа длиной N битов вносит в нее свой вклад, равный ½^N. Иными словами, каждая N-битовая программа, которая останавливается, добавляет единицу к N-ному биту двоичного представления числа Ω. Сложив все биты, соответствующие остановившимся программам, мы можем получить точное значение Ω. Создается впечатление, что Ω можно вычислить точно, как √2 или π. Однако это не так: число Ω строго определено и имеет вполне конкретное значение, но рассчитать его невозможно, поскольку это позволило бы решить проблему останова, у которой действительно нет решения. Если говорить конкретнее, знание первых N битов числа Ω позволяет определить, остановится ли когда-нибудь любая программа длиной до N битов, из чего следует, что для нахождения N битов числа Ω требуется программа длиной не менее N битов. Заметьте, я не утверждаю, что нельзя определить некоторое число битов числа Ω. Например, зная, что компьютерные программы 0, 10 и 110 останавливаются, мы можем говорить, что с точностью до первых трех битов Ω имеет вид 0,111. Дело в том, что первые N битов Ω нельзя вычислить с помощью программы, которая была бы существенно короче N битов.

Самое главное, что Ω дает нам бесконечное число неприводимых битов. Любая программа конечной длины, сколько миллиардов битов она бы ни содержала, не поможет нам определить оставшиеся биты, которых бесконечно много. Иными словами, при любом конечном наборе аксиом мы имеем бесконечное число истин, которые не могут быть доказаны с помощью этого набора.

Из неприводимости числа Ω следует, что всеобъемлющей математической теории существовать не может. Бесконечное множество битов Ω составляет бесконечное множество математических фактов (является ли каждый выбранный бит единицей или нулем), которые не могут быть выведены из каких бы то ни было принципов, более простых, чем сама последовательность битов. Значит, сложность математики бесконечна, тогда как любая отдельная теория «всего на свете» характеризуется конечной сложностью и, следовательно, не может охватить все богатство мира математических истин. Из сказанного отнюдь не следует, что от доказательств нет никакого толка, и я ни в коем случае не против логических рассуждений. На самом деле, неприводимые принципы (аксиомы) всегда составляли часть математики. Просто число Ω показывает, что их гораздо больше, чем предполагалось ранее.

Возможно, математикам не нужно пытаться все доказать. Иногда им следует просто добавлять новые аксиомы, когда дело доходит до неприводимых фактов. Проблема в том, чтобы понять, что они неприводимы, и признать, что их невозможно доказать. Однако математики никогда не сдадутся, в отличие от физиков, которые всегда готовы обойтись правдоподобными рассуждениями вместо строгих доказательств, и охотно выводят новые законы, чтобы осмыслить свежие экспериментальные данные. Возникает интересный вопрос: похожа ли математика на физику?

Математика и физика

Принято считать, что математика и физика совершенно не похожи друг на друга. Физики описывают мир, исходя из результатов экспериментов и наблюдений. Законы, управляющие Вселенной, будь то законы Ньютона или Стандартная модель физики элементарных частиц, должны устанавливаться эмпирически и затем приниматься за аксиомы, которые невозможно доказать логическим путем, а можно лишь проверить экспериментально. Математики же в некотором смысле независимы от мира. Их выводы и теоремы, например, свойства целых или вещественных чисел, никак не зависят от окружающей нас реальности. Математические истины должны быть верны в любом мире. И все же определенное сходство есть. В физике, и вообще в естественных науках, ученые формулируют законы, сублимируя результаты наблюдений. Затем они показывают, как результаты наблюдений могут быть выведены из получившихся законов. В математике происходит нечто подобное: математики сжимают результаты вычислительных экспериментов в аксиомы, а затем выводят из них теоремы.

Если бы Гильберт оказался прав, то математика была бы замкнутой системой, в которой нет места новым идеям. Существовала бы статичная замкнутая теория, объясняющая в математике все, и это было бы похоже на диктатуру. Чтобы математика развивалась, нужны новые идеи и простор для творчества. Недостаточно усердно работать, выводя все возможные следствия из фиксированного числа базовых принципов. Лично мне больше нравятся открытые системы, я не люблю жестких, авторитарных способов мышления.

Имре Лакатош (Imre Lakatos), бежавший в 1956 году из Венгрии и впоследствии занимавшийся философией науки в Англии, тоже считал, что математика похожа на физику. Он ввел понятие квазиэмпиричности, чтобы показать, что и математике не чужды эксперименты. Например, еще в 1742 году Кристиан Гольдбах опытным путем пришел к предположению, что любое четное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел. Предположение Гольдбаха успешно проверено для чисел до 10¹⁴, но строго не доказано. Мне кажется, что математика квазиэмпирична. Иными словами, она отличается от физики (которая истинно эмпирична), но, вероятно, не так сильно, как полагает большинство людей.

Новые аксиомы

Идея добавления новых аксиом не чужда математикам. Возьмем для примера пятый постулат Евклида: через выбранную точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Столетиями геометры ломали голову, пытаясь доказать это, исходя из остальных постулатов Евклида. Не удалось. Наконец, математики поняли, что пятую аксиому можно заменить и получить неевклидову геометрию криволинейных пространств, в частности сферического и седлообразного. Другим примером может служить закон исключенного среднего в логике и аксиома выбора в теории множеств, которыми охотно пользуется в своих доказательствах большинство математиков. Но ведь есть ученые, которые их не признают и исследуют так называемую интуиционистскую логику и конструктивистскую математику. Оказывается, математика пока не стала монолитной системой абсолютных истин!

Другой очень интересной аксиомой может стать утверждение «P не равно NP», где P и NP – названия классов задач. К классу NP относятся задачи, для которых предлагаемое решение можно проверить очень быстро. Например, для задачи «найти множители числа 8 633» предлагаемое решение «97 и 89» быстро проверяется простым перемножением. (Существует строгое определение понятия «быстро», но подробности здесь не имеют значения. ) Класс P составляют задачи, которые можно быстро решить, не имея предварительного предположения. Вопрос, ответа на который не знает никто, состоит в том, можно ли быстро решить любую задачу класса NP. (Есть ли способ быстро найти множители числа 8 633?) Иначе говоря, тождественны ли классы P и NP? Это один из пунктов списка «Проблем тысячелетия» Математического института Клэя (Clay Millennium Prize Problem), за решение каждой из которых назначена награда в $1 млн.

Большинство специалистов по вычислительной технике убеждено, что P не равно NP, но строгое доказательство пока не найдено. Истинность такого предположения подтверждается множеством эмпирических свидетельств, но можно ли на этом основании принять его в качестве аксиомы? Специалисты по вычислительной технике именно так и поступили. Правда, остается вопрос о надежности некоторых широко применяемых криптографических систем: считается, что взломать их невозможно, но никто не может этого доказать.

Экспериментальная математика

На стыке физики и математики возникла экспериментальная математика: открытие новых математических закономерностей путем компьютерной обработки большого числа примеров. Такой подход не столь убедителен, как короткое доказательство, но может быть убедительнее длинного, сложного доказательства и в некоторых случаях вполне приемлем. В прошлом данную концепцию отстаивали и Дьердь Пойа (George Pólya), и Лакатош, убежденные сторонники эвристических методов и квазиэмпирической природы математики. Он применяется и обосновывается в книге «Новый вид науки» (A New Kind of Science) Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram), вышедшей в 2002 году.

Масштабные компьютерные вычисления могут быть очень убедительными, но избавляют ли они от необходимости доказательств? И да, и нет. Вычисления и доказательства дают свидетельства разного рода. В особо важных случаях я считаю необходимыми и те, и другие, поскольку доказательства могут содержать ошибки, а компьютерные вычисления могут, по несчастью, быть остановлены как раз перед обнаружением контрпримера, который опроверг бы предполагаемый вывод.

Рассмотренные вопросы чрезвычайно интересны, но далеки от решения. Со времени публикации статьи о доказательстве Гёделя прошло 50 лет, а сейчас, в 2006 году, мы все еще не знаем, насколько серьезна неполнота, и не следует ли из-за нее пересмотреть математические методы. Возможно, через 50 лет ответ будет найден.

Дополнительная литература:

Главу о Лейбнице см. в книге: Men of Mathematics. E.T. Bell. Reissue. Touchstone, 1986.
Более полные сведения о квазиэмпирическом взгляде на математику см.: New Directions in the Philosophy of Mathematics. Edited by Thomas Tymoczko. Princeton University Press, 1998.
Gödel’s Proof. Revised edition. E. Nagel, J.R. Newman and D.R. Hofstadter. New York University Press, 2002.
Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. J. Borwein and D. Bailey. A.K. Peters, 2004.
О философии Гёделя и связи его работ с трудами Лейбница см.: Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. Rebecca Goldstein. W.W. Norton 2005.
Meta Math!: The Quest for Omega. Gregory Chaitin. Pantheon Books, 2005.
Краткие биографии математиков доступны на сайте Школы математики и статистики Университета Св. Эндрю (Шотландия).
Домашняя станица Грегори Чейтина.

Свойства пределов – Математика

Свойства пределов

В этом разделе описаны свойства пределов, предполагая, что c является константой и существуют следующие пределы:

Свойство	Описание
	Лимит суммы эквивалентен сумме лимитов
	Предел разницы эквивалентен разнице пределов
	Предел константы, умноженной на функцию, эквивалентен константе, умноженной на предел функции
	Предел произведения эквивалентен произведению пределов
	Предел частного эквивалентен частному пределов Если предел знаменателя равен , а не нулю
	Предел функции в степени n эквивалентен нахождению предела функции и применению степени n к результату Где n больше нуля
	Предел функции к корню n эквивалентен нахождению предела функции и применению корня n к результату Где предел функции больше нуля и n является положительным целым числом или Где т предел функции на меньше или равен нулю и n является нечетным положительным целым числом

Таблица 1: Свойства пределов

Примеры

Пример 1: Предел сумм

Предел сумм используется при наличии комбинации функций с использованием сложения. Две отдельные части функции могут быть решены для предела, и эти пределы могут быть суммированы отдельно.

Для приведенной ниже функции две части функции можно разделить и решить по отдельности, прежде чем объединять результаты. Пример 2. Предел разностей Две отдельные части функции могут быть решены для предела, и эти пределы могут быть вычтены отдельно.

Для приведенной ниже функции две части функции можно разделить и решить по отдельности перед вычитанием результатов.

Пример 3: Предел константы, умноженной на функцию

Как описано выше, если функция состоит из константы в качестве множителя, константу можно удалить, а предел функции можно решить с помощью множителя, примененного впоследствии .

Пример 4: Лимит продуктов

Лимит продуктов используется, когда есть комбинация функций с использованием умножения. Две отдельные части функции могут быть решены для предела, и эти пределы могут быть умножены отдельно.

Пример 5: Предел частных

Предел частных используется, когда есть комбинация функций, использующих деление. Две отдельные части функции могут быть решены для предела, и эти пределы могут быть разделены отдельно, если предел знаменателя не равен нулю.

Пределы — математические тайны

Определение

Когда я проходил вводные курсы по математическому анализу, одной из первых тем, которые мы рассмотрели, был раздел, посвященный пределам и скорости изменения. Для студента-математика «скорость изменения» имеет некоторый смысл. Звучит как математическая концепция, объясняющая, как быстро что-то меняется. Это довольно интуитивная концепция, и со временем мы увидим, что это также очень важная концепция! С другой стороны, на первый взгляд, понятие « limit » звучит немного более абстрактно. Мы все знаем об ограничениях, таких как, например, ограничение скорости для автомобиля или другие определенные меры. Но как эта конструкция вписывается в исчисление, или «предел» означает в этом контексте что-то совершенно другое?

Понятие ограничения по существу такое же, как когда мы говорим об ограничении скорости. Допустим, есть объявленное ограничение скорости 50 миль в час. Ваша машина не может двигаться быстрее, чем это. Итак, представьте себе, как будет выглядеть график изменения скорости вашего автомобиля во времени. В момент времени = 0 вы начинаете неподвижно. Затем вы ускоряетесь и начинаете ехать немного быстрее, пока не достигнете предела скорости, после чего вы уже не едете быстрее (потому что мы подчиняемся законам!), а затем приближаетесь к знаку «Стоп» и замедляетесь, чтобы добраться до остановка. Когда вы посмотрите на график того, что только что произошло, вы увидите, что ограничение скорости — это, по сути, значение скорости, к которому приближается ваша машина. ¹

Кто

Пределы необходимы для определения непрерывности функции, производной функции, определенного интеграла (на самом деле это можно сделать лучше без ограничений с помощью интегрирования Дарбу, но это редко используется в курсах вычислений) и последовательностей /series/power series — т. е. основные элементы остальной части Calc I и II.

ИМХО, понятия, связанные с ограничениями, прискорбно недооцениваются в учебной программе по математическому анализу, что (наряду с непониманием учащимися функций или ошибками в алгебре, которые связаны только с предварительным материалом) является основной причиной значительной путаницы учащихся в математическом анализе. Приведенные ниже видеоролики помогают заполнить эти пробелы, обеспечивая более прочную основу для всех математических вычислений: ²

Обучающие видеоролики о почти-числах – YouTube

Серия обучающих видеороликов «Около-числа » знакомит с основными почти-числами: конечными, бесконечными и постоянными. Эти объекты позволят нам более точно обсудить и изучить основные концепции исчисления.

Пределы являются одним из основных понятий исчисления, поскольку их можно использовать для определения наклона в точке, что является одним из ключевых предметов исчисления. Их также можно использовать для различения производных, которые, в свою очередь, используются во всех вычислениях. ³

Пределы позволяют нам изучать число издалека. То есть мы можем изучить точки вокруг него, чтобы лучше понять заданное значение, которое мы хотим знать.

Особенно в деривативах, где изменение положения является чисто относительным, точки вокруг заданного значения имеют решающее значение.

Например, я хочу узнать наклон точки (0,0) функции y=sin(x). Просто глядя на эту точку и ничего вокруг нее, невозможно определить наклон. Однако, если мы посмотрим на точки непосредственно слева и справа от (0,0), мы увидим (с довольно строгими вычислениями), что на самом деле наклон равен 1,9.0227 4

Пределы используются для проверки поведения функции вокруг точек. Но конкретно одно ограничение (определение) является фундаментальным для исчисления: разностный коэффициент.

Это определение производной. Без ограничений было бы очень трудно по-настоящему говорить о скорости изменений. Поэтому я говорю вам: исчисление невозможно без знания пределов. ⁵

Предел часто изучается в исчислении. Предел чрезвычайно важен в исчислении, поскольку он буквально присутствует в производных, правиле Лопиталя, рядах и многом другом!

Я учусь в 10-м классе средней школы, в этом семестре изучаю математический анализ Британской Колумбии. Лимит проявляется везде! Например, когда мы проводили сходимость и расхождение ряда, ПРЕДЕЛ возникает для многих, многих и многих наших тестов. Например, n-й член, интегральный тест, знакопеременный ряд и т. д. Все тесты должны иметь предел, при котором n стремится к бесконечности.

Возвращаясь назад, когда у нас была неподходящая интегральная единица, нам пришлось использовать старый добрый предел!

Например, когда у нас был интеграл от 1 до бесконечности, нам пришлось переписать этот интеграл как предел буквы B до этой верхней границы. Пределы — это то, что помогает нам решить неправильный интеграл!

Возвращаясь немного назад, предел является важной частью исчисления AB, так как это 1-я вещь, которую изучают. У нас есть пределы и их частные случаи, и что делать, если всплывает неопределенная форма.

Наконец, в AB Calc мы знакомимся с формальной и альтернативной формой производной, которая является пределом, где h достигает 0.

, исчисление не исчисление! ⁶

Что

Пределы важны в вычислениях и математическом анализе и используются для определения интегралов, производных и непрерывности. Он используется в процессе анализа и всегда касается поведения функции в конкретной точке. Предел последовательности далее обобщается в понятии предела топологической сети и связан с пределом и прямым пределом в категории теории. Обычно интегралы делятся на два типа, а именно: определенные и неопределенные интегралы. Для определенных интегралов верхний и нижний пределы определены правильно. Тогда как в индефините интегралы выражаются без ограничений, и он будет иметь произвольную константу при интегрировании функции. В этой статье мы подробно обсудим определение и представление пределов со свойствами и примерами. ⁷

Какова цель ограничения в исчислении?

Предел позволяет нам исследовать тенденцию функции вокруг заданной точки, даже если функция не определена в этой точке. Давайте посмотрим на функцию ниже.

Поскольку его знаменатель равен нулю, когда x=1 , f(1) не определено; однако его предел в x=1 существует и указывает, что значение функции приближается к 2 .

Этот инструмент очень полезен в исчислении, когда наклон касательной аппроксимируется наклоном секущей с близкими точками пересечения, что мотивирует определение производной. ⁸

Почему

См. Теоретические знания и практическое применение.

Как

Многие из Справок и Дополнительное чтение Веб-сайты и Видео помогут вам оценить пределы.

Как говорят некоторые профессора: «Это интуитивно очевидно даже для самого случайного наблюдателя».

Ссылки

¹ «Что такое пределы в вычислениях?» 2012. sk19math.blogspot.com . https://sk19math.blogspot.com/2012/05/what-are-limits-in-calculus.html.

² Свентон, Фрэнк. «Какова важность пределов в исчислении?» 2021. Quora . https://www.quora.com/What-is-the-importance-of-limits-in-calculus.

³ Эсриг, Эли. «Какова важность пределов в исчислении?» 2021. Quora . https://www.quora.com/What-is-the-importance-of-limits-in-calculus.

⁴ Велчек, Райан. «Какова важность пределов в исчислении?» 2021. Quora . https://www.quora.com/What-is-the-importance-of-limits-in-calculus.

⁵ Коггинс, Энтони. «Какова важность пределов в исчислении?» 2021. Quora . https://www.quora.com/What-is-the-importance-of-limits-in-calculus.

⁶ Хуэй, Энтони. «Какова важность пределов в исчислении?» 2021. Quora . https://www. quora.com/What-is-the-importance-of-limits-in-calculus.

⁷ «Пределы в вычислениях (определение, свойства и примеры)». 2021. BYJUS . https://byjus.com/maths/limits/.

⁸ «Какова цель предела в исчислении? | Сократ». 2021. socratic.org . https://socratic.org/questions/what-is-the-purpose-of-a-limit-in-calculus.

Дополнительные материалы для чтения

«Интуитивное введение в пределы — BetterExplained». 2021. betterexplained.com . https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-introduction-to-limits/.

«Исчисление I — определение предела». 2022. tutorial.math.lamar.edu . https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfLimit.aspx.

«Исчисление I – Пределы». 2021. tutorial.math.lamar.edu . https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/limitsIntro.aspx.

«Введение в пределы — исчисление | Сократ». 2022. socratic.org . https://socratic.org/calculus/limits/introduction-to-limits.

«Введение в пределы исчисления». 2021. analysismath.com . https://www.analyzemath.com/calculus/limits/introduction.html.

«Ограничения (Введение)». 2021. Математика — это весело . http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html.

«Список общих лимитов». 2022. planetmath.org . https://www.planetmath.org/ListOfCommonLimits.

Райан, Марк. Исчисление для чайников . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley Publishing, Inc., 2003.

«НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ПРЕДЕЛЫ – Математические формулы – Математические формулы – Основные математические формулы». 2022. Pioneermathematics.com . https://www.pioneermathematics.com/some-important-limits-formula.html.

Строгац, Стивен. Бесконечные силы: как исчисление раскрывает секреты вселенной . Boston: Houghton Mifflin Harcourt: 2019.

Видео

Пределы введение

Предел сообщает нам значение, к которому приближается функция по мере того, как входные данные этой функции становятся все ближе и ближе к некоторому числу. Идея предела лежит в основе всех исчислений.

«Ограничения Введение (Видео) | Пределы и непрерывность | Академия Хана». 2021. Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/v/introduction-to-limits-hd.

Определения пределов, правила Лопиталя и эпсилон-дельта | Глава 7, Сущность исчисления Что такое исчисление – Урок 2 | Ограничения

В исчислении чрезвычайно важно понимать концепцию пределов.