Пределы математика примеры с решением: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Математика. Строительство – презентация онлайн

Похожие презентации:

Высшая математика (практика)

Введение в анализ. Функции (лекция 1)

Пределы. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Функции и их свойства. Предел последовательности и функции. Производная функции и дифференциал

Интегральное исчисление функций одной переменной

Введение в математический анализ

Теория пределов

Предел и непрерывность функции

Практика. Примеры решения задач по темам: предел функции, вычисление производных, исследование функции

Предел функции в бесконечности

4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИЙ
4.1 Функция. Основные понятия и свойства
4.2 Предел функции
4.3 Непрерывность функции
4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИЙ
4.2 Предел функции
4.2.1. Предел функции в точке
4.2.2. Односторонние пределы
4.2.3. Конечный предел функции при бесконечно больших значениях
аргумента
4.

2.4. Бесконечный предел функции в точке
4.2.5. Основные теоремы о пределах
4.2.6. Бесконечно малые функции и их свойства
4.2.7. Бесконечно большие функции и их свойства
4.2.8. Теорема о единственности предела
4.2.9. Теорема о пределе сложной функции
4.2.10. Вычисление пределов
4.2.11. Эквивалентные бесконечно малые функции
4.2.6. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Функция y = f(x) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.)
при x a , если
lim f ( x) 0
x a
Замечание.
Никакое, даже очень маленькое, отличное от нуля постоянное
число не может быть б.м.ф.
Свойства бесконечно малых функций.
Функция y = f(x) имеет в точке x a конечный предел А
тогда и только тогда, когда эта функция равна сумме числа А и
б.м.ф. (x) при x a :
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
x a
4.2.6. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Далее все б.м.ф. рассматриваются при
x a.
Сумма (разность) конечного числа б.м.ф. есть снова б. м.ф.
Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию в окрестности
точки x a есть б.м.ф.
Произведение двух б.м.ф. есть снова б.м.ф.
Произведение б.м.ф. на число есть б.м.ф.
Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от
нуля предел, есть б.м.ф.
4.2.7. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Функция y = f(x) называется бесконечно большой функцией
(б.б.ф.) при x a , если
lim f ( x)
x a
Замечание.
Никакое, даже очень большое, постоянное число не может быть
б.б.ф.
Свойства бесконечно больших функций.
Далее все б.б.ф. рассматриваются при
x a.
Произведение двух б.б.ф. есть снова б.б.ф.
Произведение б.б.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля
предел, есть б.б.ф.
Сумма б.б.ф. и ограниченной функции в окрестности точки
есть б.б.ф.
x a
СВЯЗЬ МЕЖДУ Б.М.Ф. И Б.Б.Ф.
Если f(x) – б.б.ф. при
x a , тогда
Если (x) – б.м.ф. при
x a , тогда
1
f ( x)
1
( x)
– б.м.ф. при
x a .

– б.б.ф. при
x a .
Примеры
1
0;
x x
1) lim x lim
x
1
2) lim x 0 lim .
x 0
x 0 x
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
0
0
0
1
0
0
0
4.2.8. ТЕОРЕМА О ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРЕДЕЛА
Если предел функции y = f(x) при
единственный.
x a существует, то он
Доказательство:
Самостоятельно, от противного, используйте теорему о
связи функции, её предела и б.м.ф.
4.2.9. ПРЕДЕЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
lim f ( x) b
Если
x a
и если
lim g ( y) c
y b
, причём
f ( x) b
,
(b и c – конечные),
lim g ( f ( x)) c .
тогда
x a
Замечание.
Это свойство позволяет использовать замену переменной при
вычислении пределов сложных функций.
Пример
0
1
1
2x
y
x
y
2
1
y
y
2
lim
lim
0
lim
lim 3
x
2
x
y y y 3 1 y y y y
1
x
8
3
y
8
0
x
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Вычисление предела:
lim f ( x) A
x x0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
Пример
3 x 1 3 1 1
lim 2
2
2
x 1
x
1
Способы раскрытия неопределённостей
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Правило 1.
Pn x
lim
x Q x
m
Разделить числитель и знаменатель дроби на х в наивысшей
степени.
Примеры
3x 2 1
1) lim
;
x 13 2 x x 2
3×3 x 1
2) lim 2
;
x x 4 x 3
2 x2 7
3) lim
;
x 4 2 x 4 x 2
n 3 ! 2n 1 !
4) lim
.
n 2n ! n 1 !
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
1 0
3x 2 1
3 2
2
2
3
3x 2 1
x
x
x
lim
lim
3
1) lim
2
x
x
13
2
x 13 2 x x 2
13 2 x x
1
1
x2 x
x2 x2 x2
0 0
3×3 x 1
2) lim 2
x x 4 x 3
3×3 x 1
1 0 1 0
3 3
3 2 3
3
3
x
x
x
x
x
lim
lim 2
x
x
1
4
3
x 4x 3
0
x x 2 x3
x3 x3 x3
0 0 0
2 0 7 0
2×2 7
4
4
2
4
0
2×2 7
x
x
x
x
lim
lim
0
3) lim
4
2
4
2
x
x
4
1
x 4 2 x x
4 2x
x
2
2
4 4
4
x4
x2
x
x
x
0
0
4. 2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
4)
n 3 ! 2n 1 !
n 3 ! 2n ! 2n 1
lim
lim
n 2n ! n 1 !
n 2n ! n 3 ! n 2 n 1
2n 1
2n 1
lim
lim 2
n n 2 n 1
n n 3n 2
2n 1
2 01 0
2
2
2
0
n
lim 2 n
lim n n 0
n n
n
3 2 1
3n 2
1
2
2 2
2
n 0n 0
n n n
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Правило 2.
Pn x
0
lim
x a Q x
0
m
1 способ: разделить числитель и знаменатель дроби на ( х – ).
2 способ: разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
Примеры
3x 2 5 x 2
1) lim1
;
3x 1
x
3
x3 4 x 5
2) lim 3
.
2
x 1 x 2 x x 2
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
3x 2 5 x 2
0
1) lim1
3x 1
0
x
3
3 x 1 x 2
lim
x
1
3
3x 1
lim1 x 2
x
3
1
1
2 2
3
3
3x 2 5 x 2 0
D 52 4 3 2 49
x1
5 49 2 1
2 3
6 3
5 49 12
2
2 3
6
1
3 x 2 5 x 2 3 x x 2 3 x 1 x 2
3
x2
4. 2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
x3 0 x 2 4 x 5
x3 x 2
x3 4 x 5
0
2) lim 3
x 1 x 2 x 2 x 2
0
x x 5 x 1
lim
x 2x x 2
2
3
x 1
x
lim
x 1
x 5 x 1
2
x 1
x 1 x 1 x 2
x2 x
5x 5
5x 5
2
2
x 1
x2 4x 5
0
x x 5 x 1
lim
x x 2 x 2
x 1 x 2
x x 5 x 1
x x 5
1
lim
lim
2
x2 x 5
2
2
2
x 1
x 1 x 2
1 5
7
1 1 1 2 6
2
x 1
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Правило 3.
f x
0
lim
x a g x
0
или
lim f x g x
x
(функции f(x) и g(x) содержат корни)
Умножить числитель и знаменатель дроби на сопряжённое
выражение и использовать формулы:
2
2
a
b
a
b
a
b
;
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
.
Примеры
x 1 1
1) lim
;
x 0
3x
2) lim
x
x3 4 x3 2 .
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
x 1 1
1) lim
x 0
3x
lim
x 0
x 0
3
x 1 1
1
x 1 1
3x
x 1 1
x 1 1
2
x 1 12
3x
lim
0
lim
x 0
0
x 1 1
x 1 1
lim
x 0
3
3x
1
x 1 1
0 1 1
1
6
lim
x 0
3x
x
x 1 1
4. 2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
2) lim
x
lim
x
lim
x
x3 4 x3 2
x3 4 x3 2
x3 4 x3 2
x3 4 x3 2
x3 4 x3 2
x3 4 x3 2
lim
x
lim x 4 x 2
3
x
6
x3 4 x3 2
3
x3 4 x3 2
6
0
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
sin x
lim
1
x 0
x
Следствия:
x
lim
1
x 0 sin x
lim
x a
sin x
x
sin kx
lim
1
x 0
kx
1, где x б.м.ф. при x a
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
x
1
lim 1 e
x
x
1
x
lim 1 x e
x 0
Следствия:
1
lim 1
x a
f x
lim 1 x
x a
f x
1
x
e, где f x б.б.ф. при x a
e, где x б.м.ф. при x a
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Правило 4.
f x
0
lim
x a g x
0
(функции f(x) и g(x) содержат
тригонометрические функции)
Применить первый замечательный предел.
Примеры
sin 3 x
1) lim
;
x 0 sin 2 x
tg x 5
2) lim 2
.

x 5 x 25
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
1)
0
sin 3 x
sin 3 x 3 x
sin 3 x
3x
lim
lim
lim
lim
x 0 sin 2 x
x
0
x
0
x
0
0
sin 2 x 3 x
3x
sin 2 x
3x
2 3x
2x
3
3
1 lim
lim
lim
lim 1 1,5
x 0 sin 2 x
x 0 2 sin 2 x
x 0 sin 2 x x 0 2
2
sin x 5
tg x 5
0
lim
2) lim 2
x
5
x 5 x 25
cos x 5 x 5 x 5
0
sin x 5
1
lim
lim
x 5
x
5
cos x 5 x 5
x 5
1
1
1
1
cos 5 5 5 5 cos 0 10 10
4.2.11. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
(x) и (x) называются эквивалентными бесконечно малыми
функциями при
x a , если
Обозначение:
x x при x a
( x)
lim
1
x a ( x)
Таблица основных эквивалентностей (при
1) sin x
x
2) tg x
x
3) arcsin x
4) arctg x
x2
2
5) 1 cos x
x
x
6) e 1
x
7) a 1
x
x
x ln a
x 0)
8) ln 1 x
x
9) log a 1 x
10)
1 x
k
1
x
ln a
kx
4. 2.11. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
Свойства эквивалентных б.м.ф.
Если (x) ~ (x) и (x) ~ (x) при
то (x) ~ (x) при
x a,
x a.
Предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если одну из них
(или обе сразу) заменить эквивалентными б.м.ф., т.е.
если (x) ~ (x) и (x) ~ (x) при
x a , то
( x)
( x)
lim
lim
.
x a ( x )
x a ( x )
Примеры
tg11x
1) lim 7 x ;
x 0 e
1
2) lim
x 0
ln 1 sin 4 x
arcsin x 8 x
2
.
4.2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Примеры
tg11x 11x 11x 0
tg11x
0
1) lim 7 x
7x
x 0 e
1
0
e 1 7 x 7 x 0
11x
11 11
lim
lim
x 0 7 x
x 0 7
7
ln 1 sin 4 x
0
2) lim
2
x 0 arcsin x 8 x
0
ln 1 sin 4 x sin 4 x 4 x 4 x 0
2
2
2
arcsin
x
8
x
x
8
x
x
8x 0
4x
4
4
lim
lim
0,5
x 0 x x 8
x 0 x 8
0 8
0
4x
lim
x 0 x 2 8 x
0
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ. ..

English     Русский Правила

Примеры оценки пределов с решениями

Об “Оценке примеров пределов с решениями”

Примеры оценки пределов с решениями :

Здесь мы увидим некоторые практические задачи с решениями.

Основные правила оценки пределов функции


(i)  Пределом постоянной функции является эта константа.

(ii) lim x->x0 cf(x) = c lim  x->x0 f(x)

(iii)     lim  x->x0 [f(x) ± g(x)]  = lim  x->x0  f(x) ± lim  x->x0  g(x)

(iv )  lim  x->x0  [f(x) ⋅ g(x)]  =   lim  x->x0  f(x) ⋅ lim  x->x0  g(x)

(v)   lim x->x0  [f(x) / g(x)]  =  lim  x->x0  f(x) / lim  x->x0  g(x)

Примечание. Эти результаты можно распространить на любое конечное число функций.

Практика оценки пределов функции — вопросы


Вопрос 1:

Оценка

LIM x-> 2 (x 4 – 16) / (x – 2)

Решение:

Lim x-> 2 (

х 4 – 16) / (х – 2)

   =  lim х->2  (х 4  – 2 4 ) / (х – 2)

lim  x->a  (x n  – a n ) / (x – a)  =  na N-1

Мы получаем,

= 4 (2) 4-1

= 4 (2) 3

= 32

Следовательно, значение LIM X-> 2 ( x 4 – 16) / (x- 2)- 32.

Вопрос 2:

Оценка

Lim x-> 1 (x M – 1) / (x N – 1), m и n — целые числа

Решение:

lim x->1  (x m  – 1) / (x n – 1)

= lim x->1  (x m  – 1) / lim x->1  (x n  – 1)

4 Множитель -1)/(x-1)

  =  [lim  x->1  (x m -1)⋅(x-1)/(x-1)] / [lim  x->1 (x n -1)⋅(x-1)/(x-1)]

  =  (x-1) [lim  x->1  (x m -1)/(x-1 )] / (x-1)[lim  x->1  (x n -1)/(x-1)]

  =  m(1) м-1 /n(1) n-1

  =  m/n

Отсюда значение lim x->1  (x m  – 1) / (x 1 n 900 1 ) это м/н.

Вопрос 3:

Оценка

LIM X-> 1 (x 2 – 81) / (√x- 3)

Решение:

LIM

:

Lim

:

x->1  (x 2  – 81) / (√x – 3)

  =  lim  x->1  (x 2  – 9 2 ) / (√x – 3)

Пусть √x = t, тогда x = t 2

если √90x -> 8 1, то 0 0 0 4 = LIM T -> 1 ((T 2 ) 2 – (3 2 ) 2 ) / (T – 3)

= LIM T -> 1 ( t 4  – 3 4 ) / (t – 3)

Применяя формулу, получаем

  =  4(3) 4-1

  =  4(3) 3

= 4 (27)

= 108

Следовательно, значение LIM x-> 1 (x 2 – 81) / (√- 3)- 108.

Вопрос 4:

Оценка

LIM H -> 0 (√ (x+h) -√x) / H

Решение:

Lim H -> 0 ( √(x+h) – √x) / h

  =  lim  h ->0  [(√(x+h) – √x) / h]⋅[(√(x+h) + √ х)/(√(х+ч) + √х)]

  =  lim  ч ->0  [(√(x+h) 2 – (√x) 2 ) / ч]/(√ =(x+h) + √x)

 lim h ->0  (x+h-x)/(h(√(x+h) + √x))

  =  lim  h -> 0  (h/h(√(x+ h) + √x))

  =  lim  h ->0  1/(√(x+h) + √x)

Применяя h = 0, мы получаем

  =  1/(√x + √x)

  =  1/2√x

Отсюда значение lim ч -> 0  (√(x+h) – √x) / h равно 1/2√x.

Вопрос 5:

Оценка

LIM x -> 5 (√ (x+4) – 3) / (x – 5)

Решение:

Lim x . ->5  (√(x+4) – 3) / (x – 5)

√(x+4)  ​​=  t

x + 4  =  t 2

x =  t 2 – 4

Если x = 5, t 2 = 9 ==> t = 3

= lim t ->3  (t – 3) / (t – 4 – 5)

= lim t ->3  (t – 3) / (t – 8 =

4) lim

t ->3  (t – 3) / (t + 3)(t – 3)

= lim t ->3  1/(t + 3)

Путем применения значения t, получаем

= 1/(3+3)

= 1/6

Отсюда значение lim x ->5  (√(x+4) – 3) / (x – 5) составляет 1/6.

Мы надеемся, что после изучения вышеизложенного материала учащиеся поняли, «Оценка предельных примеров с решениями»

Помимо материала, приведенного в разделе “Оценка примеров пределов с решениями”, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Упрощенное исчисление: как решить задачи предельных вычислений

Что такое предельные задачи исчисления?

Решать или вычислять функции в математике можно с помощью прямой и синтетической замены. Студенты должны иметь опыт оценки функций, которые:

1. постоянные функции, такие как:

f(x) = c, где c — любое действительное число

f(x) = 7 или y = 7

2. полиномиальные функции, такие как:

f(x) = 3×5 – x2 + 6x – 2

Иногда вычисление функции может привести к неопределенной форме, такой как 1/0 или ∞/∞. Концепция пределов заключается в оценке функции 90 444, когда x приближается к значению 90 445, но никогда не принимает это значение.

Чтобы решить предел, см. 4 примера предельных задач с прямой подстановкой.

При построении графика решения уравнения в исчислении, такого как пример 1, график будет проходить через значение y 4/3, когда x равно значению 1. Линия будет прямой линией, и говорят, что график непрерывный при x = 1.

Пределы, требующие упрощения

Некоторые пределы потребуют упрощения, прежде чем их можно будет решить:

Если прямая подстановка дает 0/0, undefined , вы должны факторизовать и уменьшать.

Лим x2 – 4

x →2 x – 2

Предел существует, хотя функция не определена. Предел для этого примера равен 4.

Чтобы решить неопределенный предел, см. примеры 5 и 6 пределов, которые нуждаются в упрощении.

Если прямая замена дает ∞/∞, undefined , то разделите на наибольшую степень.

lim 3x + 1

x→∞ 5x + 6

Предел существует, хотя функция не определена. Предел для этого примера составляет 3/5.

Чтобы решить неопределенный предел, см. примеры 7 и 8 пределов, которые нуждаются в упрощении.

Несуществующие лимиты

Некоторые лимиты имеют форму, называемую несуществующим лимитом . Это означает, что функция f(x) не стремится ни к одному значению a при x → a, и мы говорим, что предел f(x) при x → a не существует. На графике будет разрыв или разрыв в точке, где x = a. Функция является разрывной в точке x = a. Следующий предел не существует, когда x приближается к 2.

Lim x2 + 4

x→2 x – 2

Задачи такого типа имеют форму, результатом которой будет 0/0, и обычно в числителе и знаменателе есть множитель, использующий значение a, к которому x приближается.

Чтобы решить предел, который имеет форму 0/0, см. пример 9 ограничений, которые не существуют.

Есть также частных случая пределов , которые нужно решить, включая разность радикалов в числителе и знаменателе.

Оставить комментарий