Пределы неопределенность: Основные неопределенности пределов и их раскрытие

Вокруг бесконечных пределов

На прошлой лекции мы обсуждали, как пределы взаимодействуют с арифметическими операциями, и выяснили, что взаимодействуют «хорошо». Однако, это только до тех пор, пока пределы существуют (как обычные вещественные числа). Тот факт, что предел последовательности, входящей в арифметическое выражение, может оказаться равен бесконечности (а также плюс бесконечности и минус бесконечности), сильно расширяет пространство возможностей. Иногда предел такого арифметического выражения удаётся найти однозначно, иногда же он может оказаться равен любому числу или бесконечности. Важно уметь различать эти случаи.

7.1Арифметика пределов и бесконечности

7.1.1Ошибочное и верное применение арифметики пределов

Для начала я приведу пример неверного применения арифметики пределов.

Пример 1. Пусть мы хотим вычислить предел

limn→∞n2+2n2n2+3.

Следующая цепочка равенств содержит ошибку. Попробуйте найти её, не заглядывая ниже.

limn→∞n2+2n2n2+3=limn→∞(n2+2n)limn→∞(2n2+3)=∞∞=1.

Собственно, неверны все равенства. В первом равенстве, применяя теорему о пределе частного, мы предполагаем, что пределы числителя и знаменателя существуют. Однако, как мы выясняем в дальнейшем, они оба равны бесконечности, то есть не существуют. Это означает, что первый переход сделать нельзя. Второй и третий переходы просто не имеют смысла, поскольку ∞∞ — не является нормальным арифметическим выражением, и обычные правила арифметики здесь не работают — нельзя дробь «сократить на бесконечность».

Как следовало решать этот номер? Нужно было преобразовать дробь таким образом, чтобы пределы числителя и знаменателя существовали. Это можно сделать, разделив числитель и знаменатель на n2 (значение дроби от этого не поменяется, и n2 никогда не равно нулю, так что можно смело делить). Имеем:

limn→∞n2+2n2n2+3=limn→∞n2+2nn22n2+3n2=limn→∞1+2n2+3n2.

И вот теперь можно применить к этой дроби теорему о пределе частного:

limn→∞1+2n2+3n2=limn→∞(1+2n)limn→∞(2+3n3).

К пределам в числителе и знаменателе можно применить теорему о пределе суммы: первое слагаемое является константой и сходится само к себе, второе (в обоих случаях) стремится к нулю, как мы уже доказывали на семинарах. Значит числитель сходится к 1, знаменатель — к 2.

Теперь можно проследить, что каждое из правил арифметики пределов применено обоснованно. Теорема о пределе суммы к числителю и знаменателю была применена обоснованно, потому что предел каждого из слагаемых существует. Теперь мы видим, что теорема о пределе произведения ко всей дроби тоже была применена обоснованно: мы нашли предел числителя и знаменателя, они оказались конечными числами, предел знаменателя не равен нулю. Имеем:

limn→∞n2+2n2n2+3=12.

7.1.2Неопределенности

Допустим, мы хотели бы сформулировать какую-нибудь теорему вида «если an→∞ и bn→∞, то an/bn стремится туда-то». Покажем, что никакую теорему такого типа сформулировать нельзя: предел an/bn может быть любым.

А именно:

• Он может быть любым вещественным ненулевым числом. Можно выбрать последовательности an=n и bn=An, где A — это число.
• Он может быть равен нулю. Предыдущий пример не работает (почему?), но работает такой: an=n, bn=n2.
• Он может равняться бесконечности и плюс бесконечности: положим an=n2 и bn=n.
• Минус бесконечности тоже может быть равен (придумайте пример самостоятельно).
• Может не иметь ни конечного, ни бесконечного предела (придумайте пример самостоятельно).

Краткое выражение этой мысли звучит так: «∞∞ является неопределенностью». Здесь под ∞∞ подразумевается не арифметическое выражение, а символическая запись, которая означает предел последовательности вида {an/bn}, где пределы числителя и знаменателя равны бесконечностям.

Приведём пример ещё одной неопределенности: (∞)+(∞). (Я взял каждую из бесконечностей в скобки, чтобы подчеркнуть, что это «бесконечности без знака».) Действительно, пусть мы знаем, что an→∞ и bn→∞. Что можно сказать про limn→∞(an+bn)? Он может равняться чему угодно:

• Любому вещественному числу A: возьмём an=n, bn=−n+A. (Напомним, что мы требуем, чтобы оба слагаемых стремились к бесконечности без знака, и значит {−n+A} подходит: по модулю эта последовательность становится сколь угодно большой.)
• Плюс бесконечности: возьмём an=n, bn=n.
• Минус бесконечности: возьмём an=−n, bn=−n.
• Не иметь ни конечного, ни бесконечного предела: возьмём an=n, bn=(−1)n⋅n.
• Бесконечности без знака, которая не является ни плюс, ни минус бесконечностью (придумайте пример).

Есть и другие примеры неопределенностей: 0/0, 0⋅∞, 1∞ и др.

Упражнение 1. Докажите, что 0/0 и 0⋅∞ тоже неопределенности, то есть могут принимать любые вещественные значения, а также стремиться к бесконечности.

С 1∞ мы разберёмся позже, когда обсудим логарифмы.

7.2«Арифметика бесконечностей»

Не все арифметические выражения с последовательностями, стремящимися к бесконечностям (или иначе нарушающими правила арифметики пределов), обязательно являются неопределенностями.

7.2.1Сумма плюс бесконечностей

Утверждение 1. Пусть an→+∞ и bn→+∞. Тогда (an+bn)→+∞. Неформально это утверждение можно записать так: (+∞)+(+∞)=+∞.

Доказательство. Как обычно в таких доказательствах, начнём с формализации:

Нам дано.

∀C1 ∃N=N1(C1) ∀n>N: an>C1;∀C2 ∃N=N2(C2) ∀n>N: bn>C2.(7.1)(7.2)

∀C1 ∃N=N1(C1) ∀n>N: an>C1;∀C2 ∃N=N2(C2) ∀n>N: bn>C2.(7.1)(7.2)

Хотим получить.

∀C ∃N=N(C) ∀n>N:an+bn>C.

Возьмём C1=C2=C/2. Тогда гарантированно C1+C2=C. Пусть N=max(N1(C/2),N2(C/2)). Тогда для всех n>N выполняются неравенства в конце (7.1) и (7.2). Их можно сложить и получить:

an+bn>C1+C2=C.

Что и требовалось.∎

Конечно, можно было догадаться до ответа, и не записывая всё это рассуждение. Можно было думать так: нам сказано, что an и bn с течением времени становятся о-о-очень большими, причём не по модулю большими, а на самом деле большими (положительными и большими).

Значит, их сумма тоже будет очень большой.

Заметим, что это рассуждение не работает в том случае, когда an или bn стремятся не к плюс бесконечности, а к бесконечности без знака: если два числа велики по модулю, мы не можем сказать, что их сумма большая по модулю: они могут оказаться разных знаков и «сократить» друг друга.

7.2.2Деление на ноль и на бесконечность

Рассмотрим ещё пару примеров, связанных с делением.

Утверждение 2. Пусть an→∞. Тогда 1an→0. Неформально можно записать так: 1∞=0.

Доказательство. Ну, как обычно.

Имеем.

∀C ∃N=N1(C) ∀n>N:|an|>C.

Хотим доказать.

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|1/an|<ε.

Теперь можно доказывать. Для всякого ε>0 положим C:=1/ε. Возьмём N:=N1(1/ε). Тогда для всех n>N:

|an|>C=1ε.

Умножим на ε и разделим на |an| (поскольку |an|>C>0, на него можно делить):

∣∣∣1an∣∣∣=1|an|<ε.

Что и требовалось.∎

Утверждение 3. Пусть an→0 и для всех n, an≠0. Тогда 1/an→∞. Неформально можно записать так: 1/0=∞. (Ура! Нам разрешили делить на ноль! Хоть и только неформально.)

Доказательство. Нужно повторить предыдущее доказательство «наоборот».

Имеем.

∀ε>0 ∃N=N1(ε) ∀n>N:|an|<ε.

Хотим доказать.

∀C ∃N=N(C) ∀n>N:∣∣∣1an∣∣∣>C.

Докажем. Если C≤0, то подойдёт любое N, потому что |an|≥0 всегда. Пусть теперь C>0. Положим ε=1/C (это можно сделать, потому что C>0 и тогда обязательно получится ε>0) и возмём N:=N1(1/C). Тогда для всех n>N:

|an|<ε.

Поделим всё на |an|ε (имеем право, потому что an≠0 и значит |an|ε>0). Тогда для всех n>N:

∣∣∣1an∣∣∣=1|an|>1ε=C.

Что и требовалось.∎

7.3Заключение

Мир последовательностей за пределами «арифметики пределов» выглядит непривычно: например, похожие выражения могут приводить к очень разным результатам (сравните (∞)+(∞) и (+∞)+(+∞)). Нам нужно приобрести интуицию, чтобы научиться делать выводы о последовательностях, анализируя формулы для их общего члена, не занимаясь каждый раз утомительным доказательством через определения. В каких-то случаях мы сможем свести всё к конечным пределам и воспользоваться арифметикой пределов. В каких-то нам придётся разбираться с бесконечностями. Иногда нас будет интересовать не предел, а более грубые свойства последовательности — например, ограниченность. Невозможно запастись теоремами на все случаи жизни — именно поэтому мы изучаем, как они доказываются, чтобы при необходимости уметь доказывать похожие утверждения — ровно те, которые нам нужны для конкретного случая. Как обычно, ключ к успеху — самостоятельное решение задач.

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

Пределы Неопределенности Пределы с неопределенностью Алгоритм

Пределы

Неопределенности

Пределы с неопределенностью Алгоритм решения пределов, при х ∞, и функции, представленной в виде дроби, числитель и знаменатель которой состоит из многочленов: n найти в числителе (знаменателе) х в старшей степени; n поделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.

Пределы с неопределенностью Подставим предел в функцию: Разрешим неопределенность:

Пределы с неопределенностью Метод разложения на множители Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Использование первого замечательного предела

Пределы с неопределенностью Метод разложения на множители Алгоритм решения пределов, при х, стремящемуся к конечному числу, и функции, представленной в виде дроби, числитель и знаменатель которой состоит из многочленов: n подставить конечное число, к которому стремится х, в функцию; n раскрывать неопределенность , раскладывая на множители числитель и знаменатель (как правило, решается квадратное уравнение и (или) используются формулы сокращенного умножения).

Пределы с неопределенностью Метод разложения на множители 1. Подставим конечное число, к которому стремиться х в функцию: 2. Разрешим неопределенность: Разложим числитель и знаменатель на множители. 2. 1. В числителе решим квадратное уравнение: 2. 1. 1. Найдем дискриминант

Пределы с неопределенностью Метод разложения на множители 2. 1. 2. Найдем корни: 2. 1. 3. Разложим на множители квадратный трехчлен: 2. 2. Подставим (- 1) в функцию:

Пределы с неопределенностью Умножение на сопряженное выражение Алгоритм решения пределов, при х, стремящемуся к конечному числу, и функции, представленной в виде дроби, числитель и знаменатель которой состоит из многочленов, представляющих разность корней или корень минус любое число: n подставить конечное число, к которому стремится х, в функцию; n помножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение; n раскрыть неопределенность, разложив на множители числитель и знаменатель.

Пределы с неопределенностью Умножение на сопряженное выражение 1. Подставим конечное число, к которому стремиться х в функцию: 2. Разрешим неопределенность: 2. 1. Избавимся от корней в числителе, возведя уменьшаемое и вычитаемое числителя в квадрат. Используем формулу разности квадратов. Помножим разность в числителе на сумму (это и есть сопряженное выражение). Чтобы не изменилась функция, на него же помножим знаменатель.

Пределы с неопределенностью Умножение на сопряженное выражение 2. 2. Сумму квадратов в знаменателе превратим в постоянное число. 2. 3. Разложить на множители числитель и знаменатель.

Пределы с неопределенностью Первый замечательный предел или Пример

Пределы с неопределенностями Второй замечательный предел или где е = 2, 71828…

Пределы с неопределенностями Второй замечательный предел Пример 1: 1. Возведем в степень 3 х основание, и чтобы не изменился результат, помножим показатель степени на 1/3 х. 2. Знак предела переместим в показатель степени.

Пределы с неопределенностями Второй замечательный предел Пример 2: 1. Преобразуем полученную неопределенность в

Пределы с неопределенностями Второй замечательный предел 2. Организуем второй замечательный предел:

Пределы с неопределенностями Второй замечательный предел 3. Разрешим неопределенность в показателе степени:

Пределы с неопределенностью Приведение выражения под знаком предела к общему знаменателю Умножение/деление на сопряжённое выражение Преобразованием логарифмов

Пределы с неопределенностью Приведение к общему знаменателю 1. Преобразуем неопределенность. Разложим знаменатели на множители: в первом вынесем х за скобку; во втором используем формулу разности кубов 2. Приведем выражение к одному знаменателю.

Пределы с неопределенностью Приведение к общему знаменателю 3. Используем формулу квадрата разности и раскладываем числитель на множители.

Пределы с неопределенностью Замена переменной в пределе Метод замены переменной используется не только тогда, когда получается неопределенность данного типа. Цель метода – свести решение к первому замечательному пределу.

Пределы с неопределенностью Замена переменной в пределе 1. Преобразуем неопределенность.

Пределы с неопределенностью Замена переменной в пределе 2. Произведем замену переменной так, чтобы предел стремился не к единице, а к нулю: t=1 – х. Тогда если х 1, то t 1 -1=0. Так как под знаком предела х заменится на t, выразим через t и х в знаменателе: х=1 – t.

Пределы с неопределенностью Замена переменной в пределе 3. Используем формулу

как осознание смерти меняет восприятие жизни — Моноклер

Рубрики : Переводы, Последние статьи, Психология

---

Нашли у нас полезный материал? Помогите нам оставаться свободными, независимыми и бесплатными, сделав любое пожертвование: 

Donate

---

PhD, психолог-когнитивист Скотт Барри Кауфман рассказывает о своем опыте столкновения с реальностью смерти и размышляет о том, как и почему такой опыт может стать преобразующим: помочь по-новому осознать свою жизнь и истинные цели, сконцентрироваться на том, что нас действительно волнует, освободиться от стереотипов поведения, оков прошлого и тумана будущего, а также укрепить и углубить отношения с людьми.

«Ирония [человеческого состояния] заключается в том, что наша самая глубокая потребность — свобода от тревоги смерти и уничтожения; но именно сама жизнь пробуждает ее, и поэтому нам приходится уклоняться от того, чтобы быть полностью живыми».

Эрнест Беккер «Отрицание смерти»

«Мы можем испытать единение с чем-то большим, чем мы сами, и в этом единении найти величайшее умиротворение».

Уильям Джеймс, «Разновидности религиозного опыта».

Несколько лет назад у меня был экзистенциальный кризис. Я проходил очень щадящую медицинскую процедуру, перед которой мне сказали, что вероятность смерти очень мала. Помню, как мне захотелось ответить: «То есть не нулевая? То есть существует вероятность того, что я могу умереть?». Процедура прошла по плану, но у меня осталось внезапное осознание своей смертности. По какой-то странной причине я прожил почти сорок лет своей жизни без осознанного того, что эта жизнь, по крайней мере, в этом теле, не будет длиться вечно. И, откровенно говоря, эта мысль привела меня в ужас.

Чтобы взять себя в руки, я прочитал классическую книгу «Отрицание смерти» антрополога Эрнеста Беккера. Опираясь на работы австрийского психоаналитика Отто Ранка, Беккер утверждает, что в основе всего лежит «рокот паники». По мнению Беккера, это результат «экзистенциального парадокса»:

«Это ужас: возникнуть из ничего, иметь имя, самосознание, глубокие внутренние чувства, мучительную внутреннюю жажду жизни и самовыражения — и при всем этом умереть».

Я определенно уловил «рокот паники», описанный Беккером, но предложенные им решения, включающие «прыжок веры» в «невидимую тайну» творения, замысел которого выходит за рамки человеческого понимания, не давали никаких указаний относительно того, как на самом деле прожить свою жизнь, даже если бы я совершил такой прыжок веры.

По стечению обстоятельств мне подвернулась такая возможность. Один мой друг, работавший в экспериментальной театральной компании под названием Swim Pony, создавал интерактивную игру под названием «The End». Мне предложили принять в ней участие, и я мог оценить, приведет ли игра к каким-либо улучшениям в самочувствии. Я согласился.

Вскоре после этого мне пришла посылка с дневником, колодой карт с запоминающимися образами и приглашением посетить вечеринку через двадцать восемь дней, место которой будет объявлено позже. Я также получил текстовое сообщение следующего содержания: «Привет, я — Конец. Напиши мне, когда будешь готов играть».

О-о, во что я ввязался?

Некто, представившийся «Концом», объяснил мне правила игры. Ежедневно в течение двадцати восьми дней подряд я должен был вытягивать новую карту, каждый раз направляясь на поиски. Затем мне нужно было вместе с «Концом» проанализировать уроки, которые я извлек из этого опыта — подумать обо всем, что я заметил в себе в процессе игры, и обо всех закономерностях, которые связывали новый опыт с картами, которые я уже разыграл. С этим «рокотом паники» я полностью включился в работу.

В течение двадцати восьми дней я выполнял задания все большей интенсивности и остроты, начиная с медитации о безграничности Вселенной — до написания собственного некролога, прогулки по кладбищу с наблюдением за своими ощущениями, представления идеального дня своей жизни и того, с кем бы я хотел его провести, реального переживания того, каково это — услышать, что мне осталось жить совсем недолго, исследования того, что я хочу сделать со своим телом после смерти и какие медицинские процедуры можно проводить, если я буду недееспособен. В течение двадцати восьми чрезвычайно эмоциональных дней я сталкивался лицом к лицу — без какой-либо защиты — с тем, что именно меня так пугало в смерти.

Несколько раз меня прямо просили сформулировать личную миссию относительно того, зачем я играю в эту игру. В самом начале я ответил так: «Потому что я боюсь абсолютной неизвестности, но в то же время очень любопытен». На полпути меня спросили, не хочу ли я скорректировать свое утверждение, основываясь на своем опыте, и я ответил: «Я бы хотел как-то изменить свое базовое состояние — с тревоги на любопытство. Я очень любопытный человек, но мое базовое состояние может мешать мне».

Когда игра была завершена, я встретился с остальными участниками на кладбище (конечно же, это было кладбище), чтобы поразмышлять о пережитом опыте. Все согласились, что эта «игра» была ничем иным, как изменением жизни. Мы поняли, что является самым важным в нашей жизни, и хотя мы осознали реальность смерти, как никогда раньше, мы также по-новому осознали жизнь. Когда я просмотрел данные всех игроков (включая себя), они соответствовали нашим разговорам и выводам на кладбище. Наблюдалось статистически значимое увеличение оценок (от предыгрового к послеигровому периоду) по следующим аспектам благополучия:

• Получение помощи и поддержки от других, когда это необходимо;

• Чувство направленности жизни;

• Уменьшения тревоги;

• Ощущение счастья.

Сначала эти данные вызвали недоумение. Согласно Беккеру и целому направлению исследований, основанному на его теории, называемой теорией управления страхом смерти (англ. terror management theory), осознание смерти должно усиливать чувство незащищенности и оборонительную позицию. Однако ни один из нас, участников «The End», не испытал этого. Скорее, мы испытали новое ощущение удивления и радости от жизни и больше сосредоточились на том, что нас действительно волнует. Как объяснить это несоответствие?

Когда речь заходит о страхе смерти, я думаю, что здесь включается нечто большее, чем просто страх «абсолютного уничтожения». Вопреки теории управления страхом смерти, которая, как показывают последние исследования, в любом случае не подтверждается, я не верю, что люди выработали защитные механизмы специально для того, чтобы справиться с экзистенциальной реальностью смерти. В конце концов, исследования показывают, что люди обычно больше боятся неизвестности, разлуки с близкими и вечных мук, чем того, что они перестанут существовать. На самом деле, когда перед нами встает выбор между вечной жизнью в одиночестве и преждевременной смертью в окружении близких, большинство выбирает смерть.

Вместо этого, я считаю, что «рокот паники», который описывает Эрнест Беккер, возникает не из-за страха уничтожения как такового, а потому, что идея уничтожения угрожает нашим потребностям, удовлетворением которых большинство из нас так поглощено. Вполне вероятно, что осознание смерти является побочным продуктом наших уникально развитых способностей к воображению и самосознанию, а идея смерти просто включает наши защитные механизмы. В частности, осознание смертности активизирует глубоко укоренившийся страх перед неопределенностью (ведь смерть — это предельная неопределенность), угрожает стабильности нашей принадлежности и связи с другими (смерть отделяет нас от других) и угрожает самооценке, особенно нарциссической (нет ничего более разрушительного для нашего непрекращающегося стремления стать благочестивым, чем смерть).

Неудивительно, что люди используют так много защитных механизмов, когда сталкиваются с осознанием своей смертности, и почему, когда мы чувствуем себя максимально небезопасно и неуверенно, зачастую переключаем свое внимание на более насущные, эгоистические интересы.

Но все не обязательно должно быть именно так. Как отмечает Ирвин Ялом, «хотя физическая сторона смерти разрушает нас, идея смерти может нас спасти». В состоянии полного осознания своего существования, говорит он, «человек удивляется не тому, как обстоят дела, а тому, что они есть».

Изучая людей, которые действительно сталкивались со смертью, включая свою собственную психотерапевтическую работу с неизлечимо больными раком пациентами, Ялом заметил, что этот опыт часто является в высшей степени преобразующим и приводит к переосмыслению жизненных приоритетов, чувству освобождения, усилению ощущения жизни в настоящем, яркому восприятию и принятию элементарных фактов жизни (смена времен года, опадающие листья), более глубокому общению с близкими и уменьшению страхов в межличностном взаимодействии. Вот что говорит человек, выживший после попытки самоубийства:

«Я был наполнен новой надеждой и целью быть живым. Это недоступно пониманию большинства людей. Я ценю чудеса жизни — как, например, наблюдение за полетом птицы — все становится более значимым, когда ты близок к тому, чтобы потерять это. Я испытал чувство единства со всем сущим и единения со всеми людьми. После моего психического возрождения я также сочувствую боли каждого человека. Все стало ясным и светлым».

Есть основания полагать, что подобные трансформации возможны для каждого, кто имеет возможность неоднократно столкнуться с предельной неизвестностью. Эрик Вайнер, автор книги «География блаженства», посетил Бутан, буддистское королевство, известное своими высокими показателями «валового национального счастья» — коллективного индекса, используемого для измерения счастья и благополучия широких слоев населения. В Бутане каждый день открыто сталкиваются со смертью и ее ужасающими образами, и никто, даже дети, не защищен от постоянного осознания смертности. В Бутане существует множество способов умереть, а когда кто-то умирает, проводятся сложные и длительные ритуалы. Как сказал Вайнеру один из жителей Тхимпху, столицы Бутана:

«Вам стоит думать о смерти в течение пяти минут каждый день. . . . Это излечит вас. . . . Именно эта вещь, этот страх смерти, страх умереть до того, как мы достигнем желаемого или увидим, как растут наши дети — вот что нас беспокоит».

Последние исследования показывают, что даже в психологической лаборатории, когда людям предоставляется возможность более глубоко и личностно подумать о своей смертности в течение длительного времени, участники, как правило, демонстрируют сдвиг в сторону ценностей, ориентированных на рост, — самопринятия, близости и чувства общности, — и отходят от внешних, статусно-ориентированных ценностей, таких как деньги, имидж и популярность.

Три характеристики, которые, видимо, предсказывают особенный рост после длительного периода осознания смерти, — это внимательность, открытость опыту и спокойное эго — характеристики, которые являются неотъемлемой частью бытийной сферы существования ⓘBeing-Realm of existence, B-realm — стиль самоактуализации личности, по Маслоу, в которой на первый план выступают метапотребности — Прим. ред.. Исследование своей смертности с открытостью, любопытством, глубоким размышлением, внимательностью, смирением и состраданием к себе поможет вам преодолеть защиты, порождаемые неопределенностью. 

Конечно, легче сказать, чем сделать! Наши «дефицитарные потребности» — мощная сила ⓘЕще одна отсылка к Маслоу, который разделяет потребности на Deficiency needs, D-needs — низшие, обусловленные дефицитом чего-либо (пища, безопасность, секс) и, соответственно, насыщаемые; и Growth needs, G-needs — потребности в росте и развитии, потенциал которых безграничен. — Прим. ред.. Эти новые способы существования в мире нужно постоянно практиковать, так как мы склонны снова скатываться к защите и неуверенности перед лицом угроз нашей безопасности, как это обнаружил даже сам Ялом после автомобильной аварии: «Таким образом, моя фундаментальная тревога по поводу смерти имела лишь кратковременный расцвет, прежде чем секуляризировалась до таких менее значимых проблем, как чувство собственного достоинства, страх межличностного отвержения или унижения».

В конце концов, лучший способ хорошо умереть — это хорошо прожить жизнь. Психолог развития Гэри Рекеран и экзистенциальный позитивный психолог Пол Вонг утверждают, что существуют разные глубины смысла — от чисто гедонистического удовольствия и комфорта до личностного роста, творчества и самореализации, служения другим и преданности более масштабным общественным или политическим целям, в конце концов, до жизненных ценностей, которые выходят за рамки отдельной личности и охватывают космический смысл и конечную цель. Исследователи утверждают, что личный смысл жизни возрастает пропорционально стремлению к более высоким уровням смысла.

Более поздние исследования, проведенные исследователем смысла Татьяной Шнелл и ее коллегами, нашли поразительную поддержку этой теории. Они обнаружили, что источники смысла в жизни человека, которые наиболее сильно связаны с чувством осмысленности, включают вещи, которые объединяют самоактуализацию с трансцендентностью — это генеративность, признательность, внутренняя гармония, рост, ценности, духовность, творчество, забота и любовь. Ниже в списке стоят такие вещи, как веселье, индивидуализм, достижения, традиции, порядок и комфорт.

Когда мы смещаем наши приоритеты в сторону более высоких, более интегрированных уровней смысла, мы видим удивительный сдвиг в глубине смыслов, чему способствует осознание собственной смертности, а также развитие нашей собственной полноценной человечности.

---

Читайте также

— Слова перед казнью: почему приговоренные к смерти говорят о любви?

— Страх смерти и страх жизни с точки зрения позитивной и транскультуральной психотерапии

— Экзистенциальный шок: почему нам так сложно принять неизбежность смерти

— Игорь Михайлов: «Бегство от жизни и смерти в XX веке»

---

Источник: Embracing the Ultimate Unknown / scottbarrykaufman.com

Обложка: Бартоломеус Брейн «Портрет мужчины, держащего гвоздику и перчатку» (фрагмент)

---

«Моноклер» – это независимый проект. У нас нет инвесторов, рекламы, пейволов – только идеи и знания, которыми мы хотим делиться с вами. Но без вашей поддержки нам не справиться. Сделав пожертвование, вы поможете нам остаться свободными, бесплатными и открытыми для всех.

Donate

---

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

переводыпсихология



Похожие статьи

Пределы неопределенности | Механизмы демократии: институциональный дизайн Вкратце

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicMechanisms of Democracy: Institutional Design Writ SmallКонституционное и административное правоКнигиЖурналы Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicMechanisms of Democracy: Institutional Design Writ SmallКонституционное и административное правоКнигиЖурналы Термин поиска на микросайте

Расширенный поиск

• Иконка Цитировать Цитировать

• Разрешения

• Делиться
  • Твиттер
  • Подробнее

CITE

Vermeule, Adrian,

‘Ограничения неопределенности’

,

Механизмы демократии: институциональный дизайн. Академический

, 1 января 2009 г.

), https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780195333466.003.0003,

по состоянию на 20 октября 2022 г.

Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicMechanisms of Democracy: Institutional Design Writ SmallКонституционное и административное правоКнигиЖурналы Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicMechanisms of Democracy: Institutional Design Writ SmallКонституционное и административное правоКнигиЖурналы Термин поиска на микросайте

Advanced Search

Abstract

В этой главе указываются ограничения механизма завесы путем обсуждения трех компромиссов: (1) между беспристрастностью и информацией; (2) между беспристрастностью и мотивацией; и (3) между беспристрастностью и возможностью принудительного исполнения ex post. Сильно завуалированное правительство может иметь слишком мало информации, чтобы действовать эффективно. Менее интуитивно, его должностным лицам может не хватать мотивации для внедрения множества полезных проектов, и поэтому они могут демонстрировать недостаточный уровень активности или энергии.

Ключевые слова: правила завесы, компромисс, беспристрастность, информация, мотивация, правоприменимость

Субъект

Конституционное и административное право

В настоящее время у вас нет доступа к этой главе.

Войти

Получить помощь с доступом

Получить помощь с доступом

Доступ для учреждений

Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов:

Доступ на основе IP

Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией.

Войдите через свое учреждение

Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

1. Щелкните Войти через свое учреждение.
2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
3. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

Войти с помощью читательского билета

Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

Члены общества

Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов:

Войти через сайт сообщества

Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале:

1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

Вход через личный кабинет

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. Смотри ниже.

Личный кабинет

Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

Просмотр учетных записей, вошедших в систему

Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы:

• Просмотр вашей личной учетной записи и доступ к функциям управления учетной записью.
• Просмотр институциональных учетных записей, предоставляющих доступ.

Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции. Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю.

Ведение счетов организаций

Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью. Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д.

Покупка

Наши книги можно приобрести по подписке или приобрести в библиотеках и учреждениях.

Информация о покупке

Домашняя страница AQS BW

Введение

Лаборатории, аккредитованные в соответствии с ISO/IEC 17025, должны сообщать о неопределенности, «когда неопределенность влияет на соответствие пределу спецификации.

Поэтому те, кто отвечает за надзор за жалобами, напр. правовые ограничения все больше и больше сталкиваются с сообщил о неопределенностях. Это приводит к таким вопросам, как:

“Действительно ли 51 значительно выше, чем 50?”

Аналитики спрашивают об этом или подобном. Ответ, конечно, зависит от величины неопределенности измерения. Как будет выглядеть ответ, если мы предположим, что диапазон неопределенности включает предел?

Предположим (для простоты), что результаты нормально распределены. Тогда оцененная неопределенность позволяет нам оценить вероятность превышения лимита. Тогда у нас может быть следующая ситуация:

из [1]

Если мы хотим дать научно обоснованный ответ, то приходим к следующему выводу (см. также [2]):

выборка ниже предела оценивается в 68%, вероятность того, что она выше, составляет 32%».

Это утверждение, как правило, не будет удовлетворительным. 0003

Очевидно, что этого следует требовать от тех, кто отвечает за определение предела спецификации. К сожалению часто эти люди не знакомы с проблемами неопределенности. Поэтому им рекомендуется обращаться за помощью к экспертам-аналитикам [1].

Возможные процедуры для оценки

Возможность 1:

Превышен (n верхний) предел, если результат измерения с его полным зарегистрированным диапазоном неопределенности превышает предел.

(из [1])

Данная процедура сопряжена с риском принять неверное решение, т.е. принимается значение, фактически превышающее предел. В этом случае руководитель должен взять на себя этот риск. Очевидно, что эту процедуру обычно следует использовать, если с высокой вероятностью ее необходимо доказать. что кто-то превысил лимит (например, с его продуктом или ингредиентами сточных вод и т. д.) с высокой вероятностью. Бремя доказательства находится на стороне руководителя.

Возможность 2:

Предел не превышен, если измеренное значение ниже предела более чем на заявленную неопределенность.

(из [1])

Опять мы рискуем принять неверное решение. Результат измерения, который на самом деле ниже предела, может быть расценен как несоответствующий. Теперь риск полностью на стороне контролируемого. Во многих случаях на поднадзорном лежит бремя доказывания того, что продукт находится в пределах спецификация. В этих случаях эта процедура уместна.

Возможность 3:

Но есть и средний курс. В этом случае результаты измерения указывают на несоответствие, если само значение выше предела, какой бы ни была неопределенность.

(из [1])

Риск принятия ошибочного решения является общим.

Величина неопределенности измерения

Риск принять неправильное решение неизбежен. Вопрос в том, кто должен рисковать и, конечно, насколько велик риск. Мы количественно оцениваем риск с помощью неопределенности. Поэтому особенно важно правильно оценить неопределенности. Это тогда в интересах того, кто должен взять на себя риск, ограничить риск и, следовательно, ограничить допустимую неопределенность. Но, конечно, неопределенности должны быть реалистичными. Никто не выигрывает от сообщения о нереалистичных низких неопределенностях, которые невозможно реализовать.

Также важно четко определить условия для оценки неопределенностей, особенно следующих аспектов:

• Должен быть определен уровень достоверности и сообщаться с неопределенностью. Уровень достоверности 95%, т. е. расширенная неопределенность обычно используется с коэффициентом покрытия 2. Затем ожидается «истинное» значение в пределах диапазона неопределенности с вероятность 95%.
• при оценке неопределенности точность , а также необходимо учитывать возможное смещение.

Потребители и неопределенность измерений

Разработать разумное понимание неопределенностей измерений в лаборатории сложно. Но это намного сложнее объяснить это клиентам. Таким образом, необходимо обучение клиентов

В Швеции была разработана брошюра, объясняющая это. Эта брошюра находится в свободном доступе на веб-сайте EURACHEM для всех заинтересованных лиц [3].

Очень важно, чтобы неопределенность измерения составляла , а не , интерпретируемая как критерий качества для лабораторий. Это скорее быть проверяется, что неопределенность, сообщаемая лабораторией, достаточна для предполагаемого использования результата измерения.

Соперничество лабораторий, основанное на погрешностях измерений, может привести к тому, что многие лаборатории будут сообщать о нереально низких погрешностях. При этом предполагаемое использование будет крайне опасно.

Ссылки:

[1]    Koch, M.: Messunsicherheit und Grenzwerte. Фом Вассер 103 , 7-10 (2005)

[2] Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ILAC): G8 – Руководство по оценке и отчетности о соответствии спецификации, http://www. ilac.org, 1996.

[3] Важная информация для наших клиентов о качестве измерений, http://www.eurachem.org

Оценка неопределенности измерения – д-р Джоди Муэланер

Эта страница является второй частью серии страниц, объясняющих науку о хороших измерениях. В Части 1: Ключевые принципы метрологии и анализа систем измерений (MSA) были представлены такие понятия, как неопределенность измерения, достоверность и прослеживаемость. На этой странице более подробно рассказывается о неопределенности измерения, вводятся типы неопределенности, а также некоторые основные статистические данные, используемые при оценке неопределенности. За ней следуют Часть 3: Бюджеты неопределенностей, Часть 4: MSA и Gage R&R и Часть 5: Оценка неопределенностей с использованием инструментов MSA.

Все измерения имеют погрешность, возникающую из многих источников, таких как воспроизводимость, калибровка и окружающая среда. Расчет общей неопределенности, полученной из всех источников , включает в себя сначала оценку вклада каждого источника, а затем определение того, как они будут сочетаться, чтобы получить объединенную стандартную неопределенность.

Источники неопределенности типа A и типа B

Источники неопределенности классифицируются как тип A, если они оцениваются путем статистического анализа повторных измерений, или типа B, если они оцениваются с использованием любой другой доступной информации. Например, чтобы найти повторяемость прибора, мы могли бы просто измерить одну и ту же величину 20 раз и проанализировать разные полученные результаты, это будет неопределенность типа А. Найти неопределенность в нашем эталонном эталоне калибровки с помощью этого метода было бы непрактично, для этого мы просто ищем неопределенность в его сертификате калибровки, это неопределенность типа B.

Базовые статистические данные, необходимые для оценки неопределенностей

Для определения значений неопределенностей требуется понимание основных статистических данных; стандартные отклонения, распределения вероятностей, такие как нормальное распределение и центральная предельная теорема. Это объясняется ниже.

Стандартное отклонение

Чтобы определить повторяемость инструмента, мы можем измерить одну и ту же величину 20 раз. Затем у нас будет 20 слегка различающихся результатов измерений, которые дают представление о том, насколько инструмент различается при измерении одного и того же. Нам нужно найти число, которое представляет это отклонение. Простейшее число, которое нужно найти, – это диапазон данных; наибольшее значение минус наименьшее значение, но на самом деле это не очень хорошо отражает разброс всех измерений, и чем больше измерений мы делаем, тем больше оно становится, что предполагает, что это ненадежный метод. стандартное отклонение  – это число, которое можно вычислить и которое, по сути, представляет собой среднее значение того, насколько далеко каждое отдельное измерение от среднего значения всех измерений. Это лучше всего понять на примере….

Стандартной мерой неопределенности является стандартное отклонение, поэтому один ‘ стандартная неопределенность ‘ означает одно стандартное отклонение в измерении.

Распределения вероятностей и центральная предельная теорема

Я собираюсь объяснить, что такое распределение вероятностей, попросив вас представить, что вы бросаете кости. Сначала просто бросьте один кубик. Вы можете выбросить 1, 2, 3, 4, 5 или 6, и у вас есть равные шансы выбросить любой из них. Если вы бросите кости 100 раз и построите гистограмму очков в зависимости от частоты (количество раз, когда вы получили этот результат), то вы получите 6 столбиков одинаковой высоты. Эти полосы образуют прямоугольную форму, и это известно как прямоугольное распределение; результатом может быть любое значение в некоторых пределах. Неопределенность из-за округления до ближайшего деления шкалы прибора имеет прямоугольное распределение.

Теперь попробуйте бросить 2 кубика; A и B. вы можете набрать от 2 до 12 баллов. Но теперь нет равных шансов получить любой балл. Есть только один способ получить 2 балла (A=1 и B=1), есть два способа получить 3 балла (A=1 и B=2, A=2 и B=1) и так далее. Шансы продолжают увеличиваться до тех пор, пока вы не наберете 7 очков, которые могут возникнуть в результате шести различных перестановок костей, а затем шансы уменьшаются, пока мы не достигнем 12 очков, для которых снова есть только один способ броска; обе кости должны быть шестерками. Если мы нанесем эти оценки на гистограмму, мы получим треугольное распределение. Это интересно, потому что это применимо не только к игре в кости: если мы объединим эффекты любых двух случайных событий с прямоугольным распределением или аналогичной величиной, мы получим треугольное распределение.

Если мы добавим больше кубиков, все станет еще интереснее. Вершина треугольника начинает сглаживаться, а концы начинают отходить, образуя колоколообразную форму, известную как нормальное распределение. На самом деле центральная предельная теорема утверждает, что ряд независимых распределений любой формы будут объединяться, чтобы дать нормальное распределение. Таким образом, обычно можно предположить, что комбинированная неопределенность имеет нормальное распределение, даже если многие компоненты неопределенности таковыми не являются. Это полезно, поскольку если мы знаем, что наша неопределенность нормально распределена, то мы знаем, какова вероятность того, что измерение окажется ошибочным более чем на одну стандартную неопределенность (68%), более чем на две стандартные неопределенности (95%) и т. д.

Центральная предельная теорема. Один кубик дает равные шансы на выпадение числа от 1 до 6, но сумма двух кубиков представляет собой треугольное распределение между 2 и 12. Большее количество кубиков имеет тенденцию к нормальному распределению

 

Некоторые типичные источники неопределенности

Неопределенность измерения может возникать из многих источников. Я обычно сосредотачиваюсь на размерных измерениях, но принципы оценки неопределенности и многие источники неопределенности могут быть применены к любому измерению, например, времени, температуре, массе и т. д. Некоторыми источниками неопределенности, которые обнаруживаются практически во всех прослеживаемых измерениях, являются неопределенности. эталонного стандарта, используемого для калибровки, воспроизводимости процесса калибровки и воспроизводимости фактического измерения. Неопределенности окружающей среды, такие как температура, будут значительными источниками неопределенности для многих измерений. Разрешение или округление могут не быть значительным источником неопределенности для цифровых приборов, считывающих показания с точностью до многих знаков после запятой, помимо воспроизводимости системы, но часто важны для приборов с ручным считыванием шкалы, таких как линейки, циферблатные индикаторы и т. д. Выравнивание часто является основным источник неопределенности для размерных измерений.

Ошибки совмещения

Совмещение является распространенным источником погрешностей при измерении размеров. Например, при измерении расстояния между двумя параллельными поверхностями оно должно быть перпендикулярно этим поверхностям. Любое угловое отклонение от перпендикулярного пути измерения приведет к косинусной ошибке, при которой фактическое расстояние равно измеренному расстоянию, умноженному на косинус углового отклонения.

Ошибка косинуса является распространенным источником погрешности измерения

Другой распространенной ошибкой выравнивания является ошибка параллакса. Это происходит из-за просмотра маркера, который находится на некотором расстоянии от шкалы или измеряемого объекта, под неправильным углом. Ошибка параллакса обычно наблюдается, когда пассажир в автомобиле считывает показания спидометра. Другим распространенным примером является ситуация, когда отметки на верхней поверхности линейки используются для измерения расстояния между краями поверхности. Если угол обзора не перпендикулярен линейке, это приведет к ошибке параллакса.

Ошибка параллакса обычно наблюдается, когда пассажир в автомобиле считывает показания спидометра или при использовании линейки с разметкой на верхней поверхности

Ошибка Аббе похожа на ошибку параллакса, но возникает не из-за выравнивания углов обзора, а из-за выравнивания осей машины. Расстояние между осью, вдоль которой измеряется объект, и осью измерительной шкалы приборов называется смещением Аббе. Если расстояние вдоль объекта не будет переведено в расстояние по шкале в направлении, перпендикулярном шкале, то это приведет к ошибке. Величина этой ошибки будет тангенсом угловой ошибки, умноженной на смещение Аббе. Такие инструменты, как штангенциркуль, подвержены ошибке Аббе, поскольку шкала измерения не соосна с измеряемым объектом. Микрометры не подвержены ошибке Аббе.

Прибор подвержен ошибке Аббе, если шкала измерения не соосна с осью измерения

Повторяемость и воспроизводимость

Повторяемость оценивается путем проведения серии измерений, как правило, одним и тем же лицом и в одних и тех же условиях, и затем найти стандартное отклонение этих измерений. Воспроизводимость оценивается путем проведения серии измерений разными людьми.

Одной из проблем при оценке неопределенности измерения является определение того, какие источники неопределенности способствуют наблюдаемой повторяемости. Например, может случиться так, что ошибки выравнивания изменяются случайным образом, что способствует воспроизводимости, и поэтому их не нужно оценивать как отдельный компонент неопределенности. Опыт и суждения часто играют роль в таких оценках.

Одним из методов установления как повторяемости, так и воспроизводимости в одном тесте является «Дисперсионный анализ повторяемости и воспроизводимости (Gage R&R) (ANOVA)». Используя этот метод, несколько разных частей измеряются несколькими разными людьми, но каждая часть обычно измеряется только 2 или 3 раза каждым человеком. Порядок частей произвольный. Затем используется статистический анализ ANOVA, чтобы выделить различия в результатах, обусловленные тремя источниками; изменение фактического компонента; повторяемость системы измерения; и воспроизводимость результатов между разными людьми. Gage R&R — очень хороший способ установить компоненты повторяемости и воспроизводимости неопределенности измерения, но усилия, затраченные на это, не должны рассматриваться как замена оценке других источников неопределенности, таких как калибровка и окружающая среда.

Разрешение

Неопределенность измерения из-за разрешения является результатом ошибок округления. Для многих цифровых приборов разрешение считывания во много раз меньше фактической погрешности прибора. В таких случаях ошибки округления из-за разрешающей способности прибора незначительны.

Для более традиционных инструментов разрешение часто является значительным источником неопределенности. Максимально возможная ошибка из-за округления составляет половину разрешения. Например, при измерении линейкой с разрешением 1 мм ошибка округления будет +/- 0,5 мм, которая имеет прямоугольное распределение. Преобразование допуска с прямоугольным распределением в стандартную неопределенность рассматривается позже.

Ошибки округления могут составлять до половины разрешения прибора

Температура

Изменения температуры влияют на измерения несколькими способами:-

• Тепловое расширение измеряемого объекта и прибора, используемого для его измерения
• Для интерферометрических измерений изменения показателя преломления
• Для оптических измерений, которые зависят от прохождения света по прямолинейному пути, градиенты температуры вызовут преломление, ведущее к искривлению света и, следовательно, к искажениям

Калибровка

Любые ошибки эталонного стандарта, используемого для калибровки измерительного прибора, переносятся во время калибровки. Таким образом, приборы наследуют неопределенность своего эталона калибровки. Фактический процесс калибровки также нельзя воспроизвести идеально; поэтому в процессе калибровки вносится дополнительная неопределенность.

Если калибровка была выполнена аккредитованной калибровочной лабораторией, в сертификате калибровки будет указана погрешность. Это не погрешность измерений, выполненных с помощью прибора; это просто компонент неопределенности из-за калибровки. Этот момент часто упускается из виду.

При выполнении калибровки необходимо выполнить полную оценку неопределенности процесса калибровки. Суммарная неопределенность калибровки затем становится компонентом неопределенности измерений, выполненных с помощью прибора.

Объединение отдельных источников неопределенности измерения

После идентификации и количественной оценки отдельных источников неопределенности измерения необходимо рассчитать совокупную неопределенность. Это фактическая неопределенность измерения для рассматриваемого процесса.

В качестве введения в процесс объединения неопределенностей мы сначала предположим, что все источники распределены нормально. При измерении болта предположим, что есть только два источника погрешности: тепловое расширение болта и погрешность самого измерения штангенциркуля. Таким образом, результат измерения (y) будет равен

y=X+Δx _T +Δx _C
, где x — истинная длина, Δx _T — погрешность из-за теплового расширения, а Δx _C – ошибка из-за самого измерения штангенциркуля.

Простой пример комбинирования неопределенностей для измерения болта с помощью штангенциркуля

Ошибка из-за каждого источника неизвестна; каждый источник ошибки имеет неопределенность, которая определяет диапазон значений, которые мы можем ожидать от него. Вероятность того, что обе ошибки будут максимальными или минимальными одновременно, очень мала. Поэтому простое суммирование неопределенностей было бы слишком пессимистичным. Вместо этого неопределенности компонентов объединяются статистически, чтобы получить объединенную неопределенность.

Результат измерения определяется как y=f(x), где x1, x2 и т. д. являются входными данными, такими как истинная длина и различные ошибки. С каждым входом связана неопределенность u(xi). Суммарная неопределенность определяется следующим образом:

Для простых случаев, таких как наш пример штангенциркуля, измеряющего болт, где
y = x ₁ + x ₂ 2 … x _n
Частичная все производные будут равны единице, так что

Применив это к примеру

y=X+Δx _T +Δx _C

Истинная длина ( X ) не имеет неопределенности, оставляя два источника неопределенности; неопределенность ошибки из-за теплового расширения u(Δx _T ) ; и неопределенность ошибки из-за самого измерения штангенциркуля u(Δx _C ) . Таким образом, комбинированная неопределенность равна просто

. Эту информацию можно использовать для создания простого бюджета неопределенности.