Пределы вида 0делить на 0 Примеры решения задач
Вычисление пределов функций y = f(x), значение которых в точке при х = х0 определено f(x) = А не вызывает затруднений:
Затруднения возникают, когда в точке х = х0 при вычислении значения функции получаем неопределенности вида В этом случае для вычисления пределов нужно преобразовать исходную функцию, чтобы неопределенность исчезла, либо в результате преобразования привести исходную функцию к первому или второму замечательному пределу.
Пример 1.
Вычислить при
Решение. Так как определена в точке , то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.
;
Пример 2.
Вычислить при
Решение. В точке функция также определена. Тогда получим:
.
Пример 3.
Вычислить
при .
Решение. При получили неопределенность . Для решения разложим числитель и знаменатель на множители, сократим дробь:
; ; ;
.
; ; ;
;
После сокращения дроби опять в предел подставляем и вычисляем предел.
Пример 4.
Найти предел:
Решение. .
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив и разделив дробь на выражение , сопряженное знаменателю, и применим формулу
.
Выделим множитель и сократим на него дробь.
Примечание.
Аналогично избавляются от иррациональности в числителе.
Пример 5.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подставке х = –1 получаем неопределенность . Для ее исключения проведем преобразование функции:
При х = –1 знаменатель обращаться в
ноль за счет сомножителя х + 1.
разделим
числитель на этот сомножитель:
В результате предел преобразуется к виду:
Пример 6.
Решение. При непосредственной подставке х = –2 получаем неопределенность . Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель на сомножители. Так как и числитель, и знаменатель при х = 2 обращаются в ноль, то они содержат общий сомножитель х – 2. найдем вторые сомножители числителя и знаменателя:
В результате разложения на сомножители числителя и знаменателя предел преобразуется к виду:
При подстановке х = 2 опять получаем
неопределенность
.
Еще раз разделим числитель и знаменатель
на х – 2 и в результате получим:
Пример 7.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подстановке х = 0 получаем неопределенность . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, на
В результате мы избавимся от иррациональности в числителе:
«Деление на ноль. Бесконечность или запрещённое действие?» — Яндекс Кью
Математика и математики
Популярное
Сообщества
Совершенно запутался.
В школе учили что на ноль делить нельзя. Потому как ответа не существует.
Когда перешли к пределам, оказывается решение деления конечного числа на ноль существует, это будет бесконечно большая величина.
Доказывалось(решалось) это методом приближения к нулю.
Так все таки, разделить число на ноль можно или нельзя?
МатематикаДелениеНоль
Крехта Виталий
Математика и математики·
75,1 K
ОтветитьУточнитьЛучший
Maxim Vyalkov
Математика
1,5 K
Интересующие темы: история математики, история христианства, библеистика. · 4 дек 2021
Вы делаете логическую ошибку.
У функции может быть “выколот” ноль, но могут существовать пределы 0+ и 0- (то есть, существует предел 0, т.к. есть и 0+ и 0- и они совпадают).
Видите, предел стремления к 0 , 0+ и 0- — абсолютно не то же самое, что и, собственно 0. На 0 как число делить _нельзя_ — конец истории. И арифметически нельзя и алгебраически нельзя.
При этом, следует различать арифметическую и алгебраическую природу запрета. Арифметически нельзя делить потому, что это делает абсурдным операцию деления в её арифметическом смысле: невозможно разделить число на 0 частей.
Алгебраически же деления как самостоятельной операции не существует — это обратная операция относительно умножение и операция взятия обратного элемента относительно умножения. Взаимно обратными являются 2 и 1/2, 3 и 1/3 . При умножении они дают нейтральный элемент относительно умножения — 1. С нулём такое в принципе невозможно.
Запись 1/0 наравне с 0/1 встречается в дереве Штерна-Броко при конструктивном определении рациональных чисел, но это не значит, что производится операция деления 1 на 0 или что дробь 1/0 реально существует (и что такая формальная запись вообще указывает на дробь и/или рациональное число).
В некоторой интуиции Вы всё же правы. Как появилась теория пределов? В частности, из такого мысленного рассуждения:
- На ноль делить нельзя.
- А что, всё-таки, можно?
Но такие “интуитивные рассуждения” не отменяют того факта, что на ноль, по-прежнему, делить нельзя: этого нельзя было делать 100, 200, 300, 400, 500, 1000 лет назад и нельзя этого делать и сейчас.
И нет, теория колец и теория колёс (wheel algebra) не дадут Вам возможности “делить на ноль” в обычном и бытовом, т.с., смысле, что бы Вам не рассказывали в хайповых роликах (хоть и содержащих полезную информацию).
Виктор Семенов
29 октября 2022
Действительно интересует вопрос: существует ли число сопряжённое нолю?
Комментировать ответ…Комментировать…
Достоверно
Вадим Романский
Физика
7,0 K
младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе · 4 дек 2021 ·
astropolytech
Вот это – “Когда перешли к пределам, оказывается решение деления конечного числа на ноль существует, это будет бесконечно большая величина.
Доказывалось(решалось) это методом приближения к нулю.” – абсолютная неправда.
Делить на ноль – нельзя. Вычисление предела при стремлении знаменателя к нулю – это совершенно другая операция, а не деление на ноль
астрофизическое образование
Перейти на vk.com/astropolytech2 эксперта согласны
32,2 K
Andrei Novikov
7 августа 2022
Ну, как нельзя…. см. Алгебраическую структуру “колесо” https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Сергей Перовский
Образование
5,3 K
Специалист по автоматизации. От станка, до государства. Научные заметки о жизни: https:/… · 6 дек 2021
Все упирается в множество, на котором мы работаем.
На множестве положительных чисел нельзя вычесть из меньшего большее.
1 эксперт согласен
Александр
11 декабря 2021
Первая часть ответа правильна: Операция деления ноль (существование обратного элемента по умножению, для нуля) на… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Дмитрий Иванов
Астрономия
1,2 K
По образованию физик и математик (МФТИ). Любитель астрономии .Кроме родного русского… · 3 дек 2021
Проблема в делении на ноль не в бесконечности , а в неопределённости. Если разрешить такое деление, то можно доказать, любое число равно чему угодно. Вот смотрите , очевидное тождество x *0= y *0, где x, y -любые числа.
Сокращаем на 0 и получаем x=y.
А Вы путаете 0 c бесконечно малыми числами. Они хоть и бесконечно малы, но вовсе не равны нулю.
Сергей Леонтьев
13 декабря 2022
> Если разрешить такое деление, то можно доказать, то можно доказать, любое число равно чему угодно По-легче… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Анонимный ответ
Математика и математики12 декабря 2022
Математика нужна не просто так по фану, а чтобы ее использовать в прикладных задачах. А в прикладных задачах нуля не бывает, как не бывает и бесконечности. Бывает только “очень маленькое число, которое можно считать почти нулем” или “очень большое число, которое можно считать бесконечностью”. Так, например, в инженерных задачах, если считают массу вагона поезда, то… Читать далее
1 эксперт не согласен
Maxim Vyalkov
возражает
13 декабря 2022
Катющиковщина
Комментировать ответ…Комментировать…
Достоверно
Леонид Коганов
214
Член ММО – Московского математического Общества.
Кстати, старейшего в мире.
Л.М. Коганов. · 25 окт 2022
Деление на нуль есть решение двучленного уравнения, первоначально с неопределённой искомой буквой – значением х, когда у нас: ах = b, (*) причём в нашем случае в простейшем уравнении (*) именно а = 0 по условию (на букву а, точнее на её числовое значение мы пытаемся поделить с сохранением всех свойств, допустим рационального поля = поля действительных рациональных… Читать далее
2 эксперта согласны
Комментировать ответ…Комментировать…
Дмитрий Кравченко
2,9 K
По образованию физик, работаю программистом · 6 дек 2021
Разделить на ноль так и осталось нельзя. Предел — это способ, которым можно приблизиться к делению на ноль, но не реализовать его. Бывают случаи, когда пределы различаются при стремлении к нулю справа или слева, так же, когда они не существуют. Предел функции 1/x при x стремящемся к 0 равен бесконечности.
1 эксперт согласен
Andrei Novikov
7 августа 2022
См. Алгебраическую структуру “колесо”. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%81%D0%BE_(%D0%B0… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Борис Зубов
1,4 K
Лучший ИТ-журналист РФ по версии Минцифры. Окончил физфак. Linux admin/coder. Китайский… · 3 дек 2021
В обычной арифметике (с вещественными числами) a/0 не имеет смысла, так как: при а ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт а, поэтому ни одно число не может быть принято за частное а⁄0; при а = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0⁄0. Исторически одна из первых ссылок на м… Читать далее
1 эксперт согласен
Комментировать ответ…Комментировать…
Эрик Снарский
236
программист · 13 дек 2022
Зависит от конкретной задачи.
Если надо поделить ровно на ноль – то поделить нельзя. Вот вам дали кусок хлеба и сказали – придут люди завтра – поделите поровну между ними. Завтра никто не пришел – поделить невозможно. То есть, задача дискретная.
Если задача не дискретная, например посчитать что-то из физики – по закону Ома силу тока в случае короткого замыкания… Читать далее
Крехта Виталий
18 января
Последним авторам ответов. Подытожить стоит словами героя какой-то книги: “Любая случайность, это пока не понятая з… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Олег Шефов
-14
Рабочий,увлекаюсь словом · 28 окт 2022
Правильно говорили, тут площадь круга квадратными радиусами считают и атом разрывают, а атом автономный организм. После смерти, один остаётся в могиле , а ноль ( начало людей =(ь)рождением) отходит и находится без сознания у нечистого, пока богородица не заберёт.
Мы ещё до собственного жизненного рождения не дошли, а делить атом не боимся. Один – образом длится начало… Читать далее
Комментировать ответ…Комментировать…
О сообществе
Математика и математики
Сообщество практикующих математиков разного уровня. Оригинальные решения, нетворкинг и общение. Не отвечаем на школьные задачки!
0 Разделить на 0: Решение задач на предельные значения в исчислении, часть 1 найти «0 разделить на 0». В этом посте мы покажем вам методы, которые вы должны
знать для решения подобных задач.Обновление: По состоянию на сентябрь 2022 года у нас есть гораздо дополнительных интерактивных способа узнать об основополагающей концепции пределов, активно используя графические калькуляторы Desmos. Пожалуйста, посетите нашу Главу Ограничений до действительно запишите этот материал для себя. Это все бесплатно и ждет вас!
I. Идея пределов и
Замена (очень просто, когда работает)Вам, наверное, уже говорили что-то вроде
, функция f приближается к L (даже если она никогда не равна L ).
Вы уже на пути к пониманию пределов, если это утверждение имеет для вас смысл, и вы можете посмотреть на рисунок, подобный приведенному ниже, и сразу увидеть, что
$$\lim_{x \to 2}f(x) = 4 $$
потому что независимо от того, движемся ли мы к $x=2$ слева или справа, мы приближаемся к высоте $y = 4$.
В этом случае пределом является просто значение функции при x = 2: $\displaystyle{\lim_{x \to 2}f(x)} = f(2) = 4$.
А в некоторых домашних заданиях и тестовых вопросах (если ваш учитель чувствует себя хорошо), чтобы найти предел, вы просто подставляете значение x в функцию и находите значение в этом месте. Мы назовем этот подход Тактика №1: Замена .
Пример 1 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 2}x+2}$.
Решение .
Давайте попробуем просто подставить $x=2$ в выражение:
$$\lim_{x \to 2}x+2 = 2 + 2 = 4 \quad \cmark$$
Это тот же предел, что показан на графике выше: на графике изображена функция $f(x) = x+2$, поэтому, приближаясь к $x =2$ слева или справа, мы приближаемся к фактическому значению функции по адресу $x=2$, то есть $y = f(2) = 4$.
В этом случае простая подстановка значения x = 2 в функцию работает: вы получаете число ($f(2) =4$), и все готово. Достаточно было простой техники «Подстановки».
[Конец примера 1.]
Пример 2 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to \pi/2}\sin x}$.
Решение .
Давайте снова попробуем Подстановку и установим $x = \dfrac{\pi}{2}$:
$$\lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\sin x = \sin \dfrac{ \pi}{2} = 1 \quad \cmark$$
График показывает $y = \sin x$. Когда вы приближаетесь к $x = \dfrac{\pi}{2}$ слева или справа, вы приближаетесь к высоте y = 1, которая является значением функции на $x = \dfrac {\pi}{2}$. Следовательно, предел как $x \to \dfrac{\pi}{2}$ sin x равен 1.
В этом случае снова работает подстановка: вы подставляете значение $x = \dfrac{\pi} {2}$, и вы получите число $\left(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =1 \right)$. Вы закончили; легкий. 92-4}{x-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$$
Это проблема. Давайте на мгновение остановим этот пример. . .
Почти во всех ваших домашних заданиях и тестовых вопросах, когда вы пытаетесь заменить, вы получите 0, деленное на 0. Затем вам понадобится другая тактика, чтобы найти предел.
Морщина : Нам не понадобилось бы понятие предела, если бы вы всегда могли просто подставить число и найти там значение функции. Вместо этого, правда в том, что когда вы попробуете заменить почти все свои домашние задания и контрольные вопросы, вы получите $\dfrac{0}{0}$, «ноль, деленный на ноль». Этот результат известен как неопределенный предел , что является причудливым способом сказать «еще не известно». Он говорит вам, что на самом деле ответ может быть любым — вы просто еще не знаете — и поэтому у вас есть еще над чем поработать.
В частности, результат $\dfrac{0}{0}$ указывает на необходимость использования другого метода для нахождения предела.
К счастью, три простые тактики позволят вам решить большинство проблем. Давайте посмотрим на каждый.
II. Когда вы получите 0, деленное на 0, сначала попробуйте
разложить на множители. Если вы попытаетесь заменить и получите $\dfrac{0}{0}$, вашим следующим шагом будет попытка 92-4}{x-2}} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$.
[Конец примера 3.]
Если вы изучаете математический анализ, мы гарантируем, что вы столкнетесь со многими задачами, требующими факторизации функции для нахождения предела. Действительно, на каждом экзамене по математическому анализу, который мы видели, была по крайней мере одна проблема, когда вы изначально получаете $\dfrac{0}{0}$ и должны учитывать, чтобы получить окончательный ответ. Откройте следующее поле, чтобы увидеть больше примеров.
Откройте, чтобы увидеть больше примеров факторинга для нахождения предела. 92 -3x+2} &&= \lim_{x \to 1}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)} &&= \lim_{x \to 1}\frac{x+2}{x-2} &&= \frac{1+2}{1-2} = -3 \quad \cmark
\end{align*}
[collapse]
Эти Проблемы становятся простыми, как только вы научитесь их распознавать и умеете учитывать.
Если можете, помножьте.
Результат : Если подстановка дает результат в виде $\dfrac{0}{0}$, первое, что вы должны попробовать, – это факторинг. Если вы можете факторизовать числитель и/или знаменатель, проблемный член в знаменателе отменяется. Гарантировано.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
- Наша глава о пределах (все, что вам нужно знать, с интерактивными компонентами, которые помогут вам почувствовать пределы)
- Оценка пределов: проблемы и полные решения 90 (материал 1184)
III. Прием № 3: Используйте
сопряженных Если функция имеет квадратный корень и Подстановка дает $\dfrac{0}{0}$, 0 делится на 0, затем умножьте числитель и знаменатель на
$$1 = \frac{\text{сопряжение члена (числитель или знаменатель) с корнем}}{\text{сопряжение члена (числитель или знаменатель) с корнем}}$$
Как и факторинг, это подход, вероятно, приведет к возможности отмены термина.
Пример 4 иллюстрирует.
Пример 4 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x}}$.
Решение .
Сначала попробуем замену:
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{0+5}-\ sqrt{5}}{0} = \frac{0}{0}$$
Поскольку предел представлен в виде $\dfrac{0}{0}$ , он не определен — мы еще не знаем, что это такое. Нам нужно проделать некоторую работу, чтобы привести его в форму, в которой мы сможем определить предел.
Итак, давайте избавимся от квадратных корней, используя сопряжение, как вы тренировались в алгебре: умножьте и числитель, и знаменатель на сопряжение числителя, $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$.
\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\ sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5}\sqrt{x+5} + \sqrt{x+5}\sqrt{5} – \sqrt{5}\sqrt{ x+5} -\sqrt{5}\sqrt{5}}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\ dfrac{(x+5) – 5}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{x [\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}[\sqrt{ x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\ \ \
&=\dfrac{1}{\sqrt{0+5} + \sqrt{5}} = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} \quad \cmark
\end{align*}
Функция, с которой мы начали, $\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x}$, , и та, с которой мы закончили (после умножения на сопряженное ), $\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}$, одинаковы, за исключением того, что первая функция не определена при x = 0 (поскольку ее знаменатель там равен нулю) , а второго нет.
Мы показали это на параллельных графиках ниже. Следовательно, их пределы такие же, как $x \to 0$, поэтому $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} = \ lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} }$.
[Конец примера 4.]
Как показано в примере 4, если подстановка дает вам $\dfrac{0}{0}$ и функция имеет квадратные корни, тактика умножения числителя и знаменателя на сопряженное части квадратного корня даст вам новую функцию, в которой работает подстановка. Всегда.
Откройте, чтобы увидеть еще один пример с квадратными корнями.
Пример 5 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 9}\dfrac{9-x}{3-\sqrt{x}}}$.
Решение .
Сначала попробуем замену:
$$\lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}} = \frac{9-9}{3-\sqrt{9}} = \frac{0}{0} $$
Поскольку предел представлен в виде $\dfrac{0}{0}$ , он не определен – мы пока не знаем, что это такое.
Итак, давайте умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, $3+\sqrt{x}$:
\begin{align*}
\lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\ sqrt{x}} &= \lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}} \cdot \frac{3+\sqrt{x}}{3+\sqrt{ х}} \\[8px]
&= \lim_{х \до 9}\frac{(9-x)\left(3+\sqrt{x} \right)}{9 +3 \sqrt{x} -3 \sqrt{x} -x} \\[8px]
&= \lim_{x \to 9}\frac{(9-x)\left(3+\sqrt{x} \right)}{9 -x} \\[8px]
&= \lim_{x \to 9}\frac{\cancel{(9-x)}\left(3+\sqrt{x} \right)}{\cancel{9-x}} \\[8px]
&= \lim_{x \to 9}3+\sqrt{x} \\[8px]
&= 3+ \sqrt{9} = 3+3 = 6 \quad \cmark
\end{align*}
[свернуть]
Результат: Если у вас есть квадратные корни, умножьте числитель и знаменатель сопряженной частью квадратного корня.
Мы рассмотрим более важные тактики работы с 0, деленным на 0, в нашей следующей статье «Как решать задачи с ограничениями в исчислении — часть 2». Мы познакомим вас с некоторыми другими ограничениями, которые вы должны просто научиться распознавать.
Конечно вам нужно потренироваться.
Конечно, недостаточно прочитать наше обсуждение. Вместо этого вам нужно попрактиковаться и сделать несколько ошибок для себя, чтобы все это стало для вас рутиной, когда вы будете сдавать экзамен. У нас есть много задач, которые вы можете попробовать, все с полными решениями одним щелчком мыши, чтобы вы могли быстро проверить свою работу или избавиться от зависаний без хлопот.
А пока посетите наш форум и сообщите нам:
- Какие у вас есть вопросы?
- Чем вам помог этот пост? Сбивает с толку или менее полезен?
- Как у вас дела с исчислением?
Вы можете поддержать нашу работу чашечкой кофе
Мы — небольшая самофинансируемая команда, задача которой — предоставить высококачественные полезные материалы всем, кто хочет хорошо изучить исчисление. Мы предоставляем этот сайт без рекламы (!), и мы никому не продаем ваши данные .
Мы потратили тысячи часов на создание всего, что здесь есть, и с вашей помощью мы можем продолжать расти и предлагать больше!
Если мы сэкономили вам время или вы нашли наши материалы полезными, рассмотрите возможность предоставления любой суммы, которую вы считаете подходящей. Это может занять менее 60 секунд, и все, что вы дадите, поможет . . . и если вы можете внести немного больше, это позволит нам продолжать обеспечивать тех, у кого меньше.
Мы заранее благодарим вас за все, что вы решите дать.
“Да отдам!”
: )
Платежная информация полностью защищена и никогда не касается наших серверов.
Спасибо! ❤️
Ноль за нулем | Superprof
Ноль над нулем
Давайте посмотрим, как выглядит ноль над нулем :
Эта форма известна как неопределенная, потому что она неизвестна. На самом деле любое число, деленное на ноль, равно 9.0005 неизвестно.
Взгляните на несколько примеров.
Когда мы столкнемся с такой ситуацией? Допустим, вы хотите найти предел следующей функции по мере того, как она приближается к нулю:
Когда мы подставляем ноль в эту функцию, мы видим, что она принимает неопределенный вид нуля над нулем. Чтобы решить эту проблему, давайте рассмотрим пример .
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Пример
Возьмем следующее уравнение .
Возьмем предел следующей функции по мере приближения к 2. результат дает нам нулей над нулем .
Как мы обсуждали в предыдущем разделе, ноль над нулем — это undefined. Когда мы берем предел, приближаясь к 2 справа и слева, мы видим, что происходит.
| x | y |
| 2.1 | -0. 47619 |
| 2.01 | -0.49751 |
| 2.001 | -0.49975 |
| 2.0001 | – 0,49998 |
Мы начинаем приближаться к пределу, -0,5, по мере того, как x приближается к 2. Однако каким еще способом мы можем сделать это, не подставляя к множеству различных значений x? Чтобы решить эту проблему, мы должны рассмотреть, что такое ограничения.
Сводка пределов
Когда вы берете предел функции, вы хотите знать, к какому значению он приближается, когда x достигает определенного значения. Давайте рассмотрим нотацию .
| A | lim | Symbol for the limit | lim (5x+3) |
| B | x -> a | As x approaches a specified значение а | |
| C | F (x) | Функция Мы находим предел для |
, когда вы принимаете предел.
вставьте значение a в функцию. Возьмите этот пример.
| Шаг 1 | Определите значение a | a = 3 |
| Replace the x values with a | 5(3) + 3 = 15 + 3 | |
| Step 3 | Solve for the limit | 18 |
Keep in mind, there есть два способа приблизиться к пределу.
| Подход с правой стороны | Подход с левой стороны |
13013013019
9039 9039
139
19
0302
Неопределенные формы, как упоминалось ранее, представляют собой выражения, значения которых неизвестны. Давайте рассмотрим наиболее распространенные примеры.
| A | Fraction |
| B | Standard |
| C | Power |
You can’t find the limit for indeterminate forms because their true value неизвестно.
Часто вы будете сталкиваться с функциями, которые приводят к неопределенным формам. Взгляните на примеры ниже.
В этих случаях вы можете либо попытаться разложить функцию на множители, чтобы она не приводила к неопределенной форме , либо воспользоваться правилом Лопиталя.
Правило Лопиталя
Возьмем наш предыдущий пример , , который привел к неопределенной форме нуля над нулем.
Правило Лопиталя гласит, что когда у нас есть две функции, разделенные друг на друга, результат будет таким же, если мы возьмем производную каждой функции и разделить на им.
Это правило позволяет нам различать первую и вторую функции почти так же, как если бы мы различали две отдельные функции. Вот условий для использования этого правила:
| Предел должен существовать | Предел должен существовать в новой дифференцированной функции. |
| Дифференцируемость при a | Функции должны быть дифференцируемы при приближении к a справа или слева |
Решение нуля над нулем
Чтобы найти предел неопределенной формы, мы возьмем следующий пример.
Когда мы подставляем ноль в функцию, мы получаем неопределенный вид ноль над нулем.
Здесь мы можем применить правило Лопиталя для нахождения предела.
Шаг 1
Первым шагом в использовании правила Лопиталя для нахождения предела функции является нахождение производной числителя и знаменатель независимо друг от друга.
Это означает, что вместо того, чтобы брать производную всей рациональной функции, мы можем начать просто с производной числителя .
Вы можете найти производную функции, следуя правилам для производных.
Шаг 2
Следующим шагом является получение производной от знаменателя. Опять же, мы используем правил для деривативов, чтобы помочь нам.
Как видите, теперь у нас есть производная от функции верхнее и производная от функции нижнее .
Шаг 3
Теперь, когда мы взяли производную от числителя независимо от знаменателя, мы можем снова попытаться подставить наше значение a в уравнение, чтобы найти предел для функции.
Как видите, мы снова получаем неопределенную форму нуля над нулем. Давайте посмотрим на общий метод использования правила Лопиталя, чтобы выяснить, что делать дальше.
| Step 1 | You have an indeterminate form |
| Step 2 | Take the derivative of the numerator and denominator independently of one another |
| Step 3 | Вставьте значение обратно, чтобы получить предел функции. |