Пределы последовательности как решать: Как вычислить предел последовательности: определение, свойства, примеры решений

Числовые последовательности: определение, формулы, пределы последовательностей

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. 

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность? 

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

• для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N. 

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

Различают:

• постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1.
  .. 
• возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
• убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его

d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел. 

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

1. Последовательность может иметь только один предел.
2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.  
9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором. 

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Математический анализ. Предел последовательности

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному

числу n поставлено в соответствие действительное число  .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена

т.е.  для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} > x

n  ,  например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют убывающей последовательностью, 

если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена

т.е. для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_n +1 < x_n , например, последовательность   заданная формулой   

 является убывающей последовательностью.

Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ,       n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

• Возрастающие и убывающие числовые последовательности  называют монотонными  последовательностями.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n < M

• Числовую последовательность   x₁ ,  x₂ , … x_n , … называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m: для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x
  n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n² , … заданная формулой x_n = n²,       n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0.   Однако эта последовательность неограничена сверху.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство m < x

n < M

Например, последовательность    заданная формулой   является ограниченной последовательностью,

поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство   

•  Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.      

 

 

• Число   a   называют пределом числовой последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , …  если для любого

положительного числа   ε>0   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовлй последовательности    a₁ ,  a₂ , … a_n , … , записывают с помощью обозначения

(читается как: «Предел   a_n   при   n,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».) То же самое соотношение можно записать

следующим образом: a_n → a   при  (читается как: «a_n   стремится к   a   при   n,   стремящемся к бесконечности»).

Замечание. Если для последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , … найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при ,

то эта последовательность ограничена

Свойства пределов различных последовательностей

Последовательность  a₁ ,  a₂ , … a_n , … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C  

найдется такое натуральное число   N,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … , стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения         или с помощью

обозначения  при 

1.  Для любого числа   k > 0   справедливо равенство  

2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство   

3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство         

4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство             

5 . Последовательность – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена  a_n = (– 1)ⁿ , предела не имеет.

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при    существуют такие числа   a   и   b ,  что

   и   

 существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

 

 Если, кроме того, выполнено условие      то при  существует предел дроби     причем

 

Нахождение пределов числовых последовательностей

Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремится к 

то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 

Часто неопределенность типа  удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки

«самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены,

«самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби,

а также, используя свойства пределов последовательностей    при |а|<1,  получаем

 

      Ответ. 

Math Tutor – Последовательности – Обзор методов

Math Tutor – Последовательности – Обзор методов – Ограничения

Замена редко решает проблемы сама по себе, но она используется для упрощения их и переносить проблемы с одного места на другое. На самом деле это общий метод. За последовательности, основная идея заключается в том, следующим образом: у нас есть последовательность { a _n }, в которой n всегда находится внутри определенного выражения, назовите его f ( n ). Мы хотим найти предел этой последовательности. Если выражение f ( n ) удовлетворяет определенные допущения (разумные и естественные), мы можем заменить это выражение с новой буквой (скажем, m ) и получить более легкую задачу.

Начнем с очень простого примера: найти

Поскольку выражение 2 n ² появляется каждый раз, когда мы имеем n , мы можем дать этому выражению новое имя, скажем, m . Мы получаем новый лимит:

Хотя это не очень помогло, проблема по сути та же (так что методы ее решения также будут по существу такими же), этот новый предел выглядит намного проще и расчеты, скорее всего, будут проще.

Обратите внимание , что замена 2 n ² на m была не так просто, как кажется, за этим стоит больше, чем кажется на первый взгляд. В частности, обратите внимание, что новый предел м →∞ пишется под «lim». Это имеет смысл, в новом выражении нет n , поэтому обозначение должно подойти. Но мы не можем просто изменить буквы, это изменение должно следовать из подстановочного равенства м  = 2 n ² . Чтобы быть точным, мы должны проверить, что если н →∞, тогда действительно м  = 2 n ² →∞.

Теперь мы готовы официально сформулировать требования, необходимые для замена m  =  f ( n ) на работу. Во-первых, числа f ( n ) должны быть целыми числами для n целых. Второй, последовательность { f ( n )} должна идти в бесконечность, поскольку n уходит в бесконечность. Если это выполняется, мы можем изменить предел с с по м . Заменяем все вхождения f ( n ) на m , мы также необходимо изменить n на m в символе ограничения.

Однако замену можно использовать и в более общих ситуациях, т. выбранное равенство замены m  =  f ( n ) может быть используется для замены также других формул, содержащих n , тогда просто ф ( п ). Замена в целом (для пределов последовательностей) работает как это:

Замена:
Шаг 1. Решите, какое выражение f ( n ) должно быть заменяется, устанавливается основное равенство подстановки м  =  f ( n ).
Шаг 2. Проверить, что если n — натуральное число, то также m  =  f ( n ) является целым числом, и что м →∞ если n →∞.
Шаг 3. Используйте равенство м  =  f ( n ) найти соответствующую формулу для n и/или другие выражения появляются в заданной последовательности. Все эти расчеты традиционно делается между вертикальными полосами (см. пример ниже).
Шаг 4. Преобразование данного лимита в новый язык м . Все появления n должны быть заменены в заданной последовательности мы заменяем его, используя равенство м  =  f ( n ) и формулы, выведенные из него, на картинке “lim” мы просто пишем м для n .

И это все.

Мы отметили, что новая предельная задача в основном того же типа, что и оригинальный, замена просто облегчает запись (что само по себе часто стоит это делать). Однако есть проблемы, когда замена может помочь еще больше, как в следующем примере.

Пример: В следующем примере мы используем замену для перемещения прибавление от знаменателя (где мы ничего не можем с этим поделать) к числитель, где он может быть обработан алгеброй. Обратите внимание, как мы пишем замена. Помещение формул между вертикальными чертами не является стандартным, но он используется достаточно широко. Мы также поместим комментарии между двойными углами брекеты как обычно.

Обратите внимание, что мы вытащили e ³ за предел, так как это мультипликативной постоянной, и как таковая она может быть вынесена за скобки, что делает ограничить проще.

---

Примечание: Этот метод также используется при нахождении пределов функций. В Дело в том, что при оценке пределов последовательностей часто обращаются к методам из теория функций (см. Последовательности и функции в Теории – Пределы). Тогда точно не надо требуют, чтобы выражение f ( n ) дает целое число и переходит к бесконечность. Но тогда после подстановки получается предел проблема для функций, а не для последовательностей. Однако ответ также будет работать для заданную последовательность. Покажем это на простом примере:

На самом деле мы должны быть в состоянии найти предел напрямую, но мы хотели показать как работает замена. Обратите внимание, что если бы нам это было нужно, мы могли бы вычислить n  = 1/(3 −  x ) и используйте его. Заметим также, что на самом деле мы имеем х →3 ^– ( x стремится к 3 слева; иногда нам нужно это знать).

---

Следующая коробка: 1/0
Назад к обзору методов – Лимиты

Математический анализ (с отличием) — Раздел 8: Пределы и ряды

Блок 8: Пределы и ряды

В этом разделе учащиеся расширяют понимание функций для изучения последовательностей и рядов. Сначала учащиеся определяют, сходится последовательность или расходится. Они находят частичную сумму арифметической или геометрической прогрессии, а также сумму сходящейся геометрической прогрессии. Учащиеся развивают понимание того, что бесконечный ряд можно найти, взяв предел частичных сумм.

​Учащиеся применяют свое понимание функций и используют подход к решению задач, чтобы вычислять пределы алгебраически, а также набрасывать функции без использования графического калькулятора и определять ключевые элементы функции, включая точки пересечения, конечное поведение, точки поворота, и интервалы, для которых функция увеличивается/убывает/или остается постоянной с использованием пределов. Они используют пределы для описания непрерывности функций и могут обсуждать односторонние пределы и определять, не существует ли предел при значении. Учащиеся вычисляют среднюю скорость изменения функции и используют пределы, чтобы найти мгновенную скорость изменения функции в точке и мгновенные скорости изменения, определенные пределами, и обсуждают использование пределов для разработки концепции производной функции. . Учащиеся используют функции для моделирования реальных ситуаций и прогнозирования будущего поведения.

Учащиеся:

Анализировать пределы функций.
MA.LS.A.1
Расчет пределов алгебраическим способом и оценка пределов по графикам и таблицам значений.

• Проверка на понимание:  Численный поиск пределов | Лимит из графика
• Обзор/перемотка назад: : Введение в лимиты | Пределы интуиции | Численная оценка пределов | Предел из графика

MA.LS.A.2
Используйте и применяйте свойства пределов, чтобы найти предел различных функций.

• Проверка на понимание:  Алгебраическое нахождение пределов | Пределы с помощью Advanced Algebra
• Просмотр/перемотка назад:  Алгебраический поиск пределов | Свойства пределов | Нахождение пределов с помощью продвинутой алгебры

MA. LS.A.3
Определение предела функции при приближении области определения к бесконечности.

• Проверка на понимание:  Пределы в бесконечности
• Обзор/перемотка назад:  Пределы и бесконечность | Пределы в положительной и отрицательной бесконечности | Больше лимитов в Infinity

Анализ и применение ограничений функций для описания поведения функций.
PC.AF.C.8
Используйте односторонние пределы для описания непрерывности функций.

• Обзор/перемотка назад:  Пределы и непрерывность 

PC.AF.C.9
Определение непрерывности функции в точке или на интервале.

PC.AF.C.10
Примените ограничения, используя определение производной относительно касательных функций.

• Проверка на понимание:  Непрерывность
• Просмотр/перемотка назад:  Ограничение и функция при разрыве | Создание непрерывной функции 

Используйте соответствующие обозначения при работе с сериями.
MA.LS.B.4
Правильно используйте факториал и суммирование.

• Проверка на понимание:  Сигма-нотация 
• Обзор/перемотка назад:  Сигма-нотация | Факториалы

Анализируйте и применяйте ряды для решения реальных и математических задач.
PC.S.A.1
Определить, сходится или расходится последовательность.

• Проверка на понимание:  Бесконечная серия
• Обзор/перемотка назад:  Бесконечная геометрическая серия | Сходящийся или расходящийся ряд

PC.S.A.2
Найдите частичную сумму арифметического или геометрического ряда.

• Справочная информация.
  
• Проверка на понимание:  ​Арифметический ряд | Конечный геометрический ряд
• Обзор/перемотка назад: Арифметический ряд | Геометрическая серия | Геометрический ряд в сигма-нотации

PC. S.A.3
Определить бесконечный ряд как предел частичных сумм. ​

• Обзор/перемотка назад:  Бесконечный геометрический ряд как предел

PC.S.A.4
Найдите сумму сходящегося бесконечного геометрического ряда.

• Проверка на понимание:  ​Вычисление бесконечного ряда | Словесная задача: прыгающий мяч
  
• Обзор/перемотка назад:  Бесконечная геометрическая серия | Конвергентная или дивергентная серия

Какие некоторые признаки студенческого мастерства? Знает, как связать характеристики функций с пределами. Может оценивать пределы, используя их свойства, и оценивать пределы, используя таблицы и графики. Знает, как производная относится к пределам. Может применять суммирование и факториал. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: