Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Онлайн-занятия по высшей математике
Вычисление пределов с примерами решения
Содержание:
- Два определения предела функции и их эквивалентность.
- Различные типы пределов.
- Контрольная.
Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что -окрестностью точки называется интервал длины с центром в точке , т. е. множество
Если из этого интервала удалить точку а, то получим множество, которое называют проколотой -окрестностью точки и обозначают , т. е.
Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.
Примеры с решением
Пример 1.
Исследуем функцию в окрестностях точки .
Функция определена при всех , кроме , причем при .
График этой функции изображен на рис. 10.1.
Из этого рисунка видно, что значения функции близки к 2, если значения близки к 1 . Придадим этому утверждению точный смысл.
Пусть задано любое число и требуется найти число такое, что для всех из проколотой -окрестности точки значения функции отличаются от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на .
Иначе говоря, нужно найти число такое, чтобы для всех соответствующие точки графика функции лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми и (см. рис. 10.1), т. е. чтобы выполнялось условие . В данном примере можно взять .
В этом случае говорят, что функция стремится к двум при , стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции
при и пишут или при
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Пример 2.
Исследуем функцию
в окрестности точки . Из графика этой функции (рис. 10.2) видно, что для любого можно найти такое, что для всех выполняется условие . В самом деле, прямые пересекают график функции в точках, абсциссы которых равны
Пусть — наименьшее из чисел и , т. е. . Тогда если и , то т. е. для всех выполняется условие . В этом случае говорят, что функция стремится к единице при , стремящемся к нулю, и пишут
В первом примере функция не определена в точке , а во втором функция определена в точке , но значение функции в точке не совпадает с ее пределом при .
| Функциональные ограничения являются обобщением концепции ограничений последовательности. Первое подразумевает ограничение на последовательность элементов домена путем ограничения функции в некоторой точке. |
Два определения предела функции и их эквивалентность.
а) Определение предела по Коши.
Число называется пределом функции в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для каждого найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство. В этом случае пишут или при .
С помощью логических символов это определение можно записать так:
или, используя понятие окрестности, в виде
Таким образом, число есть предел функции в точке , если для любой окрестности числа можно найти такую проколотую -окрестность точки , что для всех , принадлежащих этой -окрестности, соответствующие значения функции содержатся в -окрестности числа .
Замечание 1. В определении предела функции в точке предполагается, что . Это требование связано с тем, что точка может не принадлежать области определения функции. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела для определения производной, так как производная функции в точке — это предел функции
которая не определена в точке .
Отметим еще, что число , фигурирующее в определении предела, зависит, вообще говоря, от , т. е. .
б) Определение предела по Гейне. Число называется пределом функции в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т. е. , и для любой последовательности сходящейся к и такой, что для всех , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Сложение и вычитание пределов |
Пределы математика |
Свойства пределов функции |
Найти площадь фигуры ограниченной линиями |
Пример 3.
Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция не имеет предела в точке .
Достаточно показать, что существуют последовательности и с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие, что .
Возьмем тогда и для всех и поэтому , a . Следовательно, функция не имеет предела в точке .
Замечание 2. Если функция определена в проколотой -окрестности точки и существуют число и последовательность такие, что при всех и , то число называют частичным пределом функции в точке .
Так, например, для функции каждое число является ее частичным пределом. В самом деле, последовательность , где
, образованная из корней уравнения
(рис. 10.3)
такова, что для всех , и .
в) Эквивалентность двух определений предела.
Теорема 1. Определения предела функции по Коти и по Гейне эквивалентны. О В определениях предела функции по Коши и по Гейне предполагается, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т. е. существует число такое, что .
а) Пусть число есть предел функции в точке по Коши; тогда и
Рассмотрим произвольную последовательность сходящуюся к числу и такую, что для всех . Согласно определению предела последовательности для найденного в (1) числа можно указать номер такой, что , откуда в силу условия (1) следует, что .
Таким образом,
где , причем условие (2) выполняется для любой последовательности такой, что и . Следовательно, , т. е. число — предел функции в точке а по Гейне.
б) Докажем, что если число есть предел функции в точке по Гейне, то это же число является пределом функции по Коши, т. е. выполняется условие (1). Допустим, что это неверно. Тогда
Согласно (3) в качестве можно взять любое число из полуинтервала . Возьмем , где , и обозначим . Тогда в силу (3) для любого выполняются неравенства
Из (4) следует, что и при всех , а из (5) заключаем, что число не может быть пределом последовательности Следовательно, число не является пределом функции в точке по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (1).
Упражнение 1. Доказать, что если функция имеет предел в точке а, то этот предел единственный.
Замечание 3. Пусть — предельная точка числового множества т. е. такая точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка множества , отличная от .
Тогда число называют пределом по Коти функции в точке по множеству и обозначают , если
Предполагается, что для некоторого . Аналогично формулируется определение предела по Гейне по множеству . Например, функция Дирихле , равная единице для любого и равная нулю для любого , имеет предел по множеству и по множеству , причем для любой точки .
Различные типы пределов.
а) Односторонние конечные пределы. Число называют пределом слева функции в точке и обозначают или , если
Аналогично число называют пределом справа функции в точке и обозначают или, если
Числа и характеризуют поведение функции соответственно в левой и правой полуокрестности точки , поэтому пределы слева и справа называют односторонними пределами. Если , то предел слева функции обозначают или , а предел справа обозначают или .
Например, для функции , где
график которой изображен на рис. 10.4
Отметим еще, что если
,
т.
е. значения функции лежат в правой -полуокрестности числа , то пишут . В частности, если , то пишут
Аналогично
Например, для функции график которой изображен на рис. 10.5,
Аналогичный смысл имеют записи вида
Например,
Упражнение 2. Записать с помощью логических символов утверждение
Упражнение 3. Доказать, что функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют односторонние пределы функции и выполняется равенство
б) Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки , имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут , если
В этом случае функцию называют бесконечно большой при .
Согласно условию (6) график функции для всех лежит вне горизонтальной полосы . Обозначим
и назовем это множество -окрестностью бесконечности. Тогда запись означает, что для любой -окрестности бесконечности найдется такая проколотая -окрестность точки , что для всех выполняется условие .
Например, если , то так как условие (6) вы-
полняется при (рис. 10.6).
Аналогично говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки , имеет в этой точке предел, равный , и пишут , если
т. е. , где множество ) называют-окрестностью символа .
Если т. е. где , то говорят, что функция имеет в точке предел, равный , и пишут , а множество называют -окрестностью символа .
Например, если (рис. 10.7), то , а если (рис. 10.8), то
Пример 4:
Сформулировать с помощью логических символов утверждения:
а) б)
в) Предел в бесконечности. Если
то говорят, что число есть предел функции при , стремящемся к плюс бесконечности, и пишут
Например, если (см. рис. 9.4), то В самом деле, , и если , то . Поэтому , откуда следует, что неравенство для любого выполняется при любом х > 8, где т. е. при любом
Если , т. е. неравенство выполняется для всех , то говорят, что число есть предел функции при , стремящемся к минус бесконечности, и пишут .
Например, (см. рис. 9.4).
Аналогично, если
то говорят, что число есть предел функции при , стремящемся к бесконечности, и пишут . Например, если , то.
Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконечности. Например, запись означает, что
.
Аналогично определяются бесконечные пределы при и .
Контрольная:
Решите самостоятельно. Сформулировать с помощью логических символов и окрестностей (или неравенств) следующие утверждения: a) б)
√ Пределы: определение, свойства, оценка, примеры
от Sigma
Содержание
Что такое предел?Предел означает значение функции, приближающееся к другому значению.
Предел обозначается как
Читается как «предел функции x, когда x приближается к , а равно L».
Посмотрите на график,
Свойства пределовЕсли есть два предела,
Затем
Ограничение до бесконечности Ограничение до бесконечности является особым случаем.
Бесконечность означает отсутствие границы минимального и максимального значения бесконечности. Обозначается как «∞».
Помните понятие 1/∞. Результат никто не знает, потому что он не определен.
Это потому, что нет максимального и минимального значения бесконечности, поэтому нет максимального и минимального значения ответа. Может быть, это может быть -0,00… или 0,00…. Он просто приближается к значению, но никогда не совпадает со значением.
Как определить приближающееся значение?
Используется концепция лимита.
Помните, что это не означает, что ответ 1/x равен нулю.
Когда x приближается к бесконечности (максимальное или минимальное значение), ответ приближается к нулю.
Оценка пределовВажной концепцией при оценке пределов является то, что результат не может быть 0/0. Есть три концепции для оценки проблемы пределов:
1. Подстановка Это первое, что нужно сделать, чтобы оценить или решить проблему пределов.
Если есть
Затем подставьте значение на в функцию f(x), чтобы получить L.
Но если ответ 0/0, то используйте другие концепции для его решения.
2. ФакторизацияЭто вторая концепция возможности решить или оценить проблему пределов. Если проблема не может быть оценена с использованием концепции замены, используйте факторизацию. Идея этого способа заключается в факторизации функции f(x). Другими словами, придайте ему простейшую форму. Затем используйте концепцию замены, чтобы получить решение.
3. Сопряжение Метод сопряжения используется для оценки проблемы пределов в форме дроби [f(x)/g(x)] и имеет форму квадратного корня. Основная концепция сопряжения заключается в использовании знака, противоположного одному из f (x) или g (x). также можно сказать, что он использует противоположный знак (+ или -) одного из числителя или знаменателя. Если есть функция (x+2)/(x+1), то она может использовать сопряжение числителя (x-2) или знаменателя (x-1).
Но это также как форма дроби и не меняет значение.
Еще одна важная вещь в этой концепции -использование концепции A 2 -B 2 = (A+B) (A -B) .
Если есть проблема предела
4. Пределы бесконечностиЭтот метод используется для решения пределов бесконечности. Концепция обращает внимание на степень числителя и знаменателя. Числитель и знаменатель делятся на наибольшую из них. Есть самые простые способы:
- Если есть предел бесконечности
Тогда возможны три ответа.
1. Если m = n, то ответ равен a/p
2. Если m < n, то ответ равен 0
3. Если m > n, то ответ равен ∞
- Конкретная задача предела бесконечности
Используется для упрощения оценки предела.
Он использует производную концепцию. Иногда его не включают в метод оценки предела, потому что некоторые студенты еще не узнали о производной, когда изучают пределы. Этот метод используется, если результат ограничения равен 0/0 или ∞/∞.
Узнайте о производной теме, чтобы узнать больше о правиле Лопиталя (включая производную тригонометрии).
Примеры Категории ИсчислениеЭукариотические микробы, распознавание видов и географические границы видов: примеры из царства Грибы
Обзор
. 2006 29 ноября; 361 (1475): 1947-63.
doi: 10.1098/rstb.2006.1923.
Джон В Тейлор 1 , Элизабет Тернер, Джеффри П. Таунсенд, Джереми Р. Деттман, Дэвид Джейкобсон
принадлежность
- 1 Кафедра биологии растений и микробов, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния 94720-3102, США.
[email protected]
- PMID: 17062413
- DOI: 10.1098/рстб.2006.1923
Бесплатная статья ЧВК
Обзор
John W Taylor et al. Philos Trans R Soc Lond B Biol Sci. .
Бесплатная статья ЧВК
. 2006 29 ноября; 361 (1475): 1947-63.
Авторы
Джон В.
Тейлор 1 , Элизабет Тернер, Джеффри П. Таунсенд, Джереми Р. Деттман, Дэвид Джейкобсон
принадлежность
- 1 Кафедра биологии растений и микробов, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния 94720-3102, США. [email protected]
- PMID: 17062413
- PMCID: PMC1764934
- DOI: 10.1098/рстб.2006.1923
Абстрактный
Утверждение о том, что эукариотические микроорганизмы имеют глобальные географические ареалы, что представляет собой значительный отход от ситуации с макроорганизмами, было подтверждено исследованиями морфологических видов из протистанских царств.
Цифры
Рисунок 1
( a ) Филогенетические виды…
Рисунок 1
( a ) Филогенетическое распознавание видов применительно к Neurospora и графическое сравнение…
фигура 1 ( a ) Филогенетическое распознавание видов применялось к Neurospora , а графическое сравнение с биологическим распознаванием видов применялось к тем же особям.
Филограмма максимальной экономии (MP), полученная в результате комбинированного анализа последовательностей ДНК из четырех анонимных ядерных локусов (локусы TMI, DMG, TML и QMA, всего 2141 выровненный нуклеотид). Длина дерева =916 шагов; индекс согласованности =0,651. Метки справа от филограммы обозначают группы, идентифицированные филогенетическим распознаванием видов и распознаванием биологических видов. Треугольники в узлах указывают на то, что все таксоны, объединенные узлом (или удаленные от него), принадлежат к одному и тому же филогенетическому виду. На этикетках таксонов указан номер штамма и географический источник. Значения поддержки ветвей для основных ветвей со значительной поддержкой обозначены числами над или под ветвями (пропорции начальной загрузки MP / байесовские апостериорные вероятности). Рисунок и легенда адаптированы из Dettman 9.0224 и др. . (2003 b ) с разрешения авторов и издателя. ( b ) Сводка результатов филогенетического распознавания видов Neurospora .
Соседние филограммы, полученные из трех объединенных локусов (DMG, TMI и TML) с использованием образцов описанных видов и новых филогенетических видов Neurospora . Рисунок и легенда взяты из Dettman et al . (в печати) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 1
( a ) Филогенетические виды…
Рисунок 1
( a ) Филогенетическое распознавание видов применительно к Neurospora и графическое сравнение…
фигура 1 ( a ) Филогенетическое распознавание видов применялось к Neurospora , а графическое сравнение с биологическим распознаванием видов применялось к тем же особям. Филограмма максимальной экономии (MP), полученная в результате комбинированного анализа последовательностей ДНК из четырех анонимных ядерных локусов (локусы TMI, DMG, TML и QMA, всего 2141 выровненный нуклеотид).
Длина дерева =916 шагов; индекс согласованности =0,651. Метки справа от филограммы обозначают группы, идентифицированные филогенетическим распознаванием видов и распознаванием биологических видов. Треугольники в узлах указывают на то, что все таксоны, объединенные узлом (или удаленные от него), принадлежат к одному и тому же филогенетическому виду. На этикетках таксонов указан номер штамма и географический источник. Значения поддержки ветвей для основных ветвей со значительной поддержкой обозначены числами над или под ветвями (пропорции начальной загрузки MP / байесовские апостериорные вероятности). Рисунок и легенда адаптированы из Dettman 9.0224 и др. . (2003 b ) с разрешения авторов и издателя. ( b ) Сводка результатов филогенетического распознавания видов Neurospora . Соседние филограммы, полученные из трех объединенных локусов (DMG, TMI и TML) с использованием образцов описанных видов и новых филогенетических видов Neurospora . Рисунок и легенда взяты из Dettman et al .
(в печати) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 2
Филогенетическое признание видов применяется к…
Рисунок 2
Филогенетическое признание видов применяется к Saccharomyces cerevisiae . Некорневые деревья расстояний на основе…
фигура 2 Филогенетическое признание видов применяется к Saccharomyces cerevisiae . Неукорененные деревья расстояний на основе четырех объединенных локусов ( CDC 19 , FZF1 , SSU1 и PHD1 ). Поддержка внутренних ветвей в процентах начальной загрузки после 10 000 передискретизаций данных. Построение деревьев из одних и тех же данных с использованием критерия оптимальности экономии дало деревья с практически одинаковой топологией.
Рисунок и легенда взяты из Aa et al . (2006) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 3
Филогенетическое признание видов применяется к…
Рисунок 3
Филогенетическое признание видов применено к Schizophyllum commune на основе данных о последовательности IGS1 и…
Рисунок 3 Филогенетическое распознавание видов применено к Schizophyllum commune на основе данных о последовательности IGS1 и эвристического экономного анализа. Эвристический поиск найден 9700 одинаково бережливых деревьев. Показан рисунок одного из 9700 одинаково экономичных деревьев (длина дерева = 285 шагов; CI = 0,795). Клады представлены треугольниками, а большие клады, NAM, SAM и EAS, представляют филогенетические виды.
Подробные деревья с поддержкой ветвей можно найти в James et al . 2001. Рисунок и легенда изменены по сравнению с Джеймсом и др. . (2001) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 4
Филогенетическое признание видов применяется к…
Рисунок 4
Филогенетическое распознавание видов применяется к Lentinula на основе последовательностей ITS. Строгий консенсус…
Рисунок 4 Филогенетическое распознавание видов применено к Lentinula на основе последовательностей ITS. Строгий консенсус 3000+ самых экономных деревьев (длина дерева = 234 шага; ДИ = 0,861). Значения начальной загрузки более 70% показаны над ветвями. Пронумерованные группы представляют собой филогенетические виды из Лентинула .
Морфологически признанные названия видов указаны справа. PNG = Папуа-Новая Гвинея. Рисунок и легенда основаны на рисунках Hibbett (2001) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 5
Neurospora успех спаривания для симпатрических…
Рисунок 5
Neurospora Успех спаривания для симпатрических и аллопатрических гетероспецифических пар: процент гетероспецифических…
Рисунок 5 Neurospora Успех спаривания для симпатрических и аллопатрических гетероспецифических пар: процент гетероспецифических спариваний между аллопатрическими или симпатрическими особями, которые достигли последовательных категорий репродуктивного успеха. Во всех географических масштабах (региональных, субрегиональных и местных) аллопатрические спаривания значительно чаще, чем симпатрические спаривания, проходят через последовательные стадии полового цикла.
Расхождение между аллопатрическими и симпатрическими кривыми увеличивается по мере уменьшения шкалы симпатризма и наиболее выражено для локальной симпатрии, показанной здесь. Категории репродуктивного успеха: 0, нет ответа; 1 — недоразвитые перитеции; 2 — перитеции без выброса аскоспор; 3, перитеции с менее чем 1% выброшенных аскоспор, имеющих сильно меланизированные (т.е. черные) стенки; 4 — перитеции с менее чем 15% черных аскоспор; 5 — перитеции с менее чем 50% черных аскоспор; 6 — перитеции с более чем 50% черных аскоспор. Рисунок и легенда изменены из Dettman и др. . (2003 b ) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 6
Филогенетическое признание видов применяется к…
Рисунок 6
Филогенетическое признание видов применяется к Aspergillus fumigatus .
Байесовский анализ пяти локусов…
Филогенетическое признание видов применяется к Aspergillus fumigatus . Байесовский анализ пяти локусов в сочетании с отдельными моделями замещения для каждого раздела. Поддержка начальной загрузки Parsimony выше 70% выделена жирным шрифтом. Байесовская апостериорная вероятность выше 90 выделена курсивом. Филогения основана на использовании Neosartorya fischeri в качестве внешней группы. Рисунок и легенда изменены из Pringle и др. . (2005) с разрешения авторов и издателя.
Рисунок 7
Графическое изображение…
Рисунок 7
Графическое изображение правдоподобного объяснения наблюдаемых различий между исследованиями…
Рисунок 7 Графическое изображение правдоподобного объяснения различий, наблюдаемых между исследованиями микробного эндемизма с использованием PSR, BSR и MSR: морфологические признаки развиваются медленнее, чем те, которые используются для PSR или BSA, тем самым распознавая более широкие таксономические группы, чем виды, и маскируя эндемизм.
( a ) Наблюдение Финлея и Фенхеля о том, что процент космополитических морфовидов намного выше у более мелких организмов с острой точкой изгиба ca 1–10 мм. Данные по грибам предполагают, что морфологические признаки развиваются медленнее у мелких организмов, тем самым распознавая более грубые таксономические группы и скрывая эндемизм. ( b ) Связь между скоростью эволюции признаков и таксономическим разрешением. Более быстрое развитие признаков дает большее разрешение для более точных таксономических различий. Более медленные развивающиеся признаки дают большее разрешение для более грубых таксономических различий. PSR обычно проводят по признакам, которые полиморфны среди изолятов, и, таким образом, подходят для разрешения видов. BSR неявно выполняется на репродуктивных изолирующих факторах, которые обычно быстро развиваются и естественным образом подходят для разрешения биологических видов. MSR, как и PSR, идеально подходит для признаков, полиморфных среди изолятов.
Однако, если среди изолятов нет полиморфных морфологических признаков или их мало, морфовиды будут отображаться в более грубых таксономических группах, чем виды, наблюдаемые с помощью BSR и PSR.
См. это изображение и информацию об авторских правах в PMC
Похожие статьи
Поиски грибного древа жизни.
Маклафлин Д.Дж., Хиббетт Д.С., Лутцони Ф., Спатафора Дж.В., Вилгалис Р. Маклафлин Д.Дж. и др. Тенденции микробиол. 2009 ноябрь; 17 (11): 488-97. doi: 10.1016/j.tim.2009.08.001. Epub 2009 24 сентября. Тенденции микробиол. 2009. PMID: 19782570 Обзор.
Мера успеха: географическая изоляция способствует диверсификации гекконов Pachydactylus.
Хейнике М.П., Джекман Т.Р., Бауэр А.
М.
Heinicke MP, et al.
БМС Эвол Биол. 2017 11 января; 17 (1): 9. doi: 10.1186/s12862-016-0846-2.
БМС Эвол Биол. 2017.
PMID: 28077086
Бесплатная статья ЧВК.Филогеография и биогеография грибов.
Thorsten Lumbsch H, Buchanan PK, May TW, Mueller GM. Thorsten Lumbsch H, et al. Микол Рез. 2008 г., апрель; 112 (часть 4): 423-4. doi: 10.1016/j.mycres.2008.02.002. Epub 2008, 21 февраля. Микол рез. 2008. PMID: 18346884
Филогенетическое распознавание видов и представления о видах у грибов.
Taylor JW, Jacobson DJ, Kroken S, Kasuga T, Geiser DM, Hibbett DS, Fisher MC. Тейлор Дж. В. и др. Генетика грибов Биол. 2000 окт; 31 (1): 21-32. doi: 10.1006/fgbi.2000.1228. Генетика грибов Биол. 2000.
PMID: 11118132
Обзор.Филогенетическое распознавание видов выявляет специфичные для хозяина линии среди грибов ржавчины тополя.
Vialle A, Feau N, Frey P, Bernier L, Hamelin RC. Виалле А и др. Мол Филогенет Эвол. 2013 март; 66 (3): 628-44. doi: 10.1016/j.ympev.2012.10.021. Epub 2012 10 ноября. Мол Филогенет Эвол. 2013. PMID: 23147268
М.
Heinicke MP, et al.
БМС Эвол Биол. 2017 11 января; 17 (1): 9. doi: 10.1186/s12862-016-0846-2.
БМС Эвол Биол. 2017.
PMID: 28077086
Бесплатная статья ЧВК.
PMID: 11118132
Обзор.Посмотреть все похожие статьи
Цитируется
Нематоды как индикаторы почвенного стресса для полициклических ароматических углеводородов: обзор.
Бразова Т., Ковачик П., Матушкова М., Орос М. Бразова Т. и др. Гельминтология. 3 сентября 2022 г .; 59 (2): 117–126. doi: 10.2478/helm-2022-0014. электронная коллекция 2022 июнь.
Гельминтология. 2022.
PMID: 36118368
Бесплатная статья ЧВК.Alternaria alternata как эндофит и патоген.
ДеМерс М. Демерс М. Микробиология (чтение). 2022 март; 168(3):001153. doi: 10.1099/мик.0.001153. Микробиология (чтение). 2022. PMID: 35348451 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Краткий рассказ почти обо всем в Lactifluus ( Russulaceae ).
Де Кроп Э., Дельгат Л., Найтинк Дж., Холлинг Р.Е., Вербекен А. Де Кроп Э. и др. Фунгал Сист Эвол. 2021 июнь;7:133-164. doi: 10.3114/fuse.2021.07.07. Epub 2021 1 февраля. Фунгал Сист Эвол. 2021. PMID: 34124621 Бесплатная статья ЧВК.
Продолжается грибковая сексуальная революция: открытие полового развития у представителей рода Aspergillus и его последствия.
Гельминтология. 2022.
PMID: 36118368
Бесплатная статья ЧВК.