Пределы примеры решения функции: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Объяснение урока: ограничения прямой подстановки

В этом объяснении мы узнаем, как использовать метод прямой подстановки оценить лимиты.

Предел функции в точке представляет поведение функции вблизи этой точки, а не значение функции в точка. Начнем с того, что напомним формальное определение предела функция.

Определение: предел функции

Если значения 𝑓(𝑥) приближаются к некоторому значению 𝐿 как значения 𝑥 приближаться 𝑎 (с обеих сторон), но не обязательно, когда 𝑥=𝑎, то мы произнести предел 𝑓(𝑥) как 𝑥 приближается к 𝑎 равно 𝐿 и мы обозначать это как lim→𝑓(𝑥)=𝐿.

Из этого определения предела мы можем сразу понять предел постоянной функции.

Определение: предел постоянных функций

Пусть 𝐶 — константа. Тогда для любого действительного числа 𝑎, у нас есть lim→𝐶=𝐶.

Это потому, что постоянная функция 𝐶 всегда принимает значение 𝐶, независимо от ввода 𝑥. В на самом деле, мы можем заметить, что постоянная функция не имеет «𝑥», чтобы заменить входное значение. Поскольку значение постоянной функции всегда 𝐶, мы можем сказать что функция приближается к 𝐶 как 𝑥 приближается к 𝑎 независимо от значения 𝑎.

В нашем первом примере мы найдем предел постоянной функции.

Пример 1. Нахождение предела постоянной функции

Найти lim→(30).

Ответ

В этом примере нам нужно найти предел постоянной функции. Напомним, что для любой постоянной 𝐶 и предельной точки 𝑎, lim→𝐶=𝐶.

Другими словами, предел постоянной функции всегда равен постоянное значение, независимо от положения предельной точки. В этом Например, постоянное значение равно 30. Следовательно, lim→(30)=30.

В предыдущем примере мы нашли предел постоянной функции. Давайте обратите внимание на более интересные функции.

Один из способов найти предел функции — использовать таблицу содержащие значение функции вблизи точки. Например, скажите, что значение функции 𝑓(𝑥) вблизи 𝑥=0 указано в таблице ниже.

𝑥	−1	−0,5	−0,1	−0,01	0.01	0.1	0.5	1
𝑓(𝑥)	0	0.5	0.9	0.99	0.99	0.9	0.4	0

From the таблице выше, мы можем заметить, что значение 𝑓(𝑥) приближается к 1 как 𝑥 приближается к 0 с любой стороны. Это приводит к тому, что предел 𝑓(𝑥) при приближении 𝑥 к 0 равно равно 1 или эквивалентно lim→𝑓(𝑥)=1.

Однако в таблице нет значения 𝑓(𝑥) при 𝑥=0. Основываясь на этом предел, разумно предположить, что 𝑓(0)=1, так как шаблон поведение этой функции, по-видимому, приводит к такому выводу. С одной стороны, важно иметь в виду, что предельное значение не должно равно значению функции. Просто потому, что функция ведет себя таким образом рядом с точкой, он не должен производить это значение в этой точке.

Это возможно, что эта функция 𝑓(𝑥) имеет другой значение при 𝑥=0, например 𝑓(0)=10.

С другой стороны, большинство знакомых нам функций ведут себя иначе. способ. Грубо говоря, если эта функция 𝑓(𝑥) является «типичной» функцией, то мы ожидаем, что она удовлетворяет 𝑓(0)=1. Это означает, что для большого семейства функций мы можно найти предел функции, вычислив значение функции в точке эта точка. Этот метод оценки предела функции называется метод прямого замещения.

В этом объяснителе мы сгенерируем список функций, от которых мы ожидаем это поведение. Мы должны иметь в виду, что этот метод не подходит для все функции, а только для «типичных», которые являются слабо определенными срок. Поэтому полезно точно знать, какие типы функций подходят для метода прямой замены.

Правило: Предел полиномиальных функций прямой подстановкой

Пусть 𝑓(𝑥) — многочлен. Тогда для любого 𝑎∈ℝ, lim→𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

Стоит отметить, что постоянная функция является частным случаем полиномиальной функций, а это значит, что мы также можем применить метод прямой подстановки для постоянных функций. Так как применение прямой замены к константе функция всегда выдает одно и то же постоянное значение, мы можем сказать, что лим→𝐶=𝐶, для любых действительных чисел 𝑎 и 𝐶. Этот восстанавливает свойство, о котором мы говорили ранее.

Мы можем лучше понять правило прямой подстановки, если рассмотрим график полиномиальной функции. График полиномиальной функции всегда гладкая и связная кривая. Например, рассмотрим график конкретный многочлен ниже.

Из графика этого полинома мы можем видеть предел этой функции при 𝑥=2, следуя графику по мере того, как 𝑥-значение приближается к 2 от в обе стороны, как показано синими стрелками. Это говорит нам о том, что предел этой функции при приближении 𝑥 к 2 является 𝑦-координата красной точки на графике.

С другой стороны, поскольку красная точка находится на графике функции, мы знаем, что 𝑦-координата этой точки есть функция значение при 𝑥=2. Следовательно, обозначая эту полиномиальную функцию как 𝑓(𝑥), мы можем написать lim→𝑓(𝑥)=𝑓(2).

Это основная идея вычисления предела прямой подстановкой. Хотя мы обычно не видим график функции в этих задачах, мы предполагают, что мы придем к точке на графике функции, если мы следить за графиком функции. Как упоминалось ранее, это

обычно правда. В частности, в приведенном выше утверждении говорится, что это всегда верно для полиномиальной функции.

В нашем следующем примере мы найдем предел полиномиальной функции с помощью прямая замена.

Пример 2. Нахождение предела полиномиальной функции

Определить lim→−9𝑥−6𝑥−9.

Ответ

В этом примере нам нужно определить предел многочлена функция. Напомним, что мы можем использовать прямую замену, чтобы найти предел полиномиальной функции. Использование метода прямой замены означает, что мы вычисляем предел функции, находя функцию ценить. Используя предельные обозначения, прямая замена говорит нам, что для подходящей функции 𝑓(𝑥), lim→𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

В этом примере 𝑓(𝑥)=−9𝑥−6𝑥−9 и 𝑎=−5. Мы можем вычислить значение функции следующим образом: 𝑓(−5)=−9(−5)−6(−5)−9=−204.

Эта функция является многочленом, поэтому она подходит для прямого метод замещения. Следовательно, lim→−9𝑥−6𝑥−9=−204.

В предыдущем примере мы вычислили предел полиномиальной функции с помощью метод прямого замещения. Напомним, что область определения многочлена функция представляет собой множество всех действительных чисел. Другими словами, полином функция определена для любых входных значений. Это удобная функция для метод прямой подстановки, потому что мы можем вычислить значение функции в любой предельной точке, если наша функция является многочленом.

Это неверно для многих известных нам функций. Когда предельная точка 𝑎 не входит в область определения функции 𝑓(𝑥), мы не можем вычислить 𝑓(𝑎), что означает, что мы не можем использовать прямую замену метод нахождения предела функции. Прежде чем применить прямое методом подстановки, нам нужно проверить, что предельная точка принадлежит домен функции.

К счастью, многие функции по-прежнему подходят для прямой замены метод, несмотря на ограничения их домена. В этих случаях нам просто нужно быть осторожнее с ограничениями домена.

Правило: предел рациональных функций прямой подстановкой

Пусть 𝑓(𝑥) — рациональная функция. То есть 𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) для некоторых многочленов 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥). Тогда для любого 𝑎∈ℝ такое, что 𝑞(𝑎)≠0, lim→𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

В заявлении выше мы отмечаем, что пока 𝑞(𝑎)≠0, 𝑎 принадлежит области определения рациональная функция 𝑓(𝑥). Это означает, что рациональная функция подходит для метода прямой подстановки, если предельная точка принадлежит его области определения.

В следующем примере мы найдем значение неизвестного в пределе утверждение, включающее рациональную функцию.

Пример 3. Нахождение неизвестного в рациональной функции с учетом ее предела в точке

Учитывая, что lim→𝑎𝑥−1=6, что 𝑎?

Ответ

Нам дано предельное утверждение, включающее рациональную функцию. Отзывать что мы можем найти предел рациональной функции, используя прямую метод подстановки, если предельная точка принадлежит области определения функция. Использование метода прямой подстановки означает, что мы вычисляем предел функции путем нахождения значения функции. Использование лимита обозначения, прямая замена говорит нам, что для подходящей функции 𝑓(𝑥), lim→𝑓(𝑥)=𝑓(𝑏).

В этом примере предельной точкой является 𝑥=−5, а рациональная функция 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1. Мы помним, что область определения рациональной функции — это множество действительных чисел, где знаменатель не равен нулю. Это означает 𝑥−1≠0, что приводит к 𝑥≠1. С −5≠1, мы знаем, что −5 принадлежит области эта функция.

Мы умеем вычислять 𝑓(−5)=𝑎−5−1=−𝑎6.

Таким образом, методом прямой подстановки можно записать lim→𝑎𝑥−1=−𝑎6.

Поскольку нам уже известно, что этот предел равен 6, мы можем установить правая часть уравнения выше до 6: −𝑎6=6.

Это приводит к 𝑎=−36.

Если у нас есть функции, которые подходят для метода прямой подстановки, то сумма, разность, произведение и частное этих функций равны подходит для этого метода, если знаменатель частного не равен нулю в предельной точке.

Свойство: предел суммы, разности, произведения и частного функций прямой подстановкой

Пусть 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) — функции, удовлетворяющие limlim→→𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎),𝑔(𝑥)=𝑔(𝑎).

Затем, limlimlimlimif→→→→(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))=𝑓(𝑎)+𝑔(𝑎),(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))=𝑓(𝑎 )−𝑔(𝑎),(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑎)𝑔(𝑎),𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑎)𝑔(𝑎)𝑔(𝑎)≠0 .

В нашем следующем примере мы будем использовать это свойство, чтобы найти предел функция прямого замещения.

Пример 4. Нахождение предела комбинации рациональных функций в точке с помощью Прямая замена

Определить lim→−𝑥.

Ответ

В этом примере нам нужно найти предел данного выражения. Самый простой способ найти предел — прямая подстановка, что означает, что мы подставляем предельную точку 𝑥=−5 в заданное выражение для получения предельного значения. Но мы знаем, что не все функции подходят для метода прямой замены, поэтому давайте рассмотрим данная функция, чтобы определить, является ли этот метод допустимым.

В числителе этой функции мы видим разницу в две дроби. Первая дробь 1𝑥+7 является рациональной функция. Напомним, что рациональная функция допускает прямое метод подстановки, если предельная точка принадлежит его области определения. областью определения этой рациональной функции является множество значений, где 𝑥≠−7. Поскольку −5≠−7, оно находится в домен, и, следовательно, 1𝑥+7 подходит для прямая замена. Вторая дробь 17 постоянная, которую можно рассматривать как многочлен, который всегда возможность прямой замены.

Напоминаем также, что разница двух функций, подходящих для прямая замена также имеет право на прямую замену. Это говорит нам, что числитель 1𝑥+7−17 равен возможность прямой замены.

Наконец, нам нужно рассмотреть знаменатель 𝑥. Мы Напомним, что частное двух функций, допускающих прямое замена также имеет право на прямую замену, если знаменатель частного не равен нулю в предельной точке. Мы видно, что знаменатель 𝑥 не равен нулю при 𝑥=−5; следовательно, мы можем применить прямую замену метод до этого предела.

Подставляя −5 в заданную функцию, lim→−𝑥=−−5=−−5=−−5=−5=514 ×1−5=−114.

Следовательно, предел равен −114.

До сих пор мы находили пределы полиномиальных и рациональных функций, используя прямая замена. Мы можем применить этот метод к гораздо более широкому семейству функции, если предельная точка принадлежит области определения функции.

Свойство: нахождение предела функции прямой подстановкой

Метод прямой замены работает для любого состава следующие функции, если предельная точка принадлежит области определения результирующая функция:

• полиномиальные или постоянные функции,
• рациональные функции,
• степенные или корневые функции: 𝑥 для некоторой постоянной 𝑝,
• тригонометрические функции: sin𝑥, cos𝑥, tan𝑥,
• экспоненциальные и логарифмические функции: 𝑏 или log𝑥 для некоторого 𝑏>0 и 𝑏≠1,
• Функция абсолютного значения: |𝑥|.

Рассмотрим пример, в котором мы находим предел квадратного корня из многочлен в точке.

Пример 5. Нахождение предела функций корней в точке прямой подстановкой

Определить lim→√4𝑥−9𝑥+1.

Ответ

В этом примере нам нужно найти предел функции. Мы можем видеть что данная функция является композицией квадратного корня и многочлена функция. Напомним, что мы можем найти предел композиции полиномиальные и корневые функции прямой подстановкой, если предельная точка принадлежит области определения функции.

Домен данной корневой функции представляет собой набор 𝑥-значения, для которых многочлен под корнем дает неотрицательное значение. Чтобы определить, принадлежит ли предельная точка 9 область определения заданной функции, нам нужно проверить, является ли многочлен под корнем неотрицательно, когда 𝑥=9. Мы можем вычислить 4(9)−9×9+1=244.

Поскольку 244 неотрицательно, мы можем видеть, что 9 принадлежит области определения заданная корневая функция. Применяя метод прямой замены, лим→√4𝑥−9𝑥+1=4(9)−9×9+1=√244=2√61.

Следовательно, данный предел равен 2√61.

Рассмотрим еще один пример с функциями абсолютного значения.

Пример 6. Нахождение предела функции, содержащей абсолютное значение

Учитывая 𝑓(𝑥)=|𝑥+11|−|𝑥−18|, найти лим→𝑓(𝑥).

Ответ

В этом примере нам нужно найти предел функции. Мы можем видеть что данная функция является разностью функций по модулю. Напомним, что мы можем найти предел каждой функции абсолютного значения с помощью прямая замена. Мы также знаем, что если две функции подходят для метода прямой подстановки их различие также приемлемо для прямого замещения. Таким образом, мы можем найти заданный предел прямым замена, значит lim→𝑓(𝑥)=𝑓(4).

Подставив 𝑥=4 в функцию, |4+11|−|4−18|=15−14=1.

Следовательно, данный предел равен 1.

В нашем последнем примере мы вычислим предел функции, включающей рациональные и тригонометрические функции.

Пример 7. Нахождение пределов с использованием комбинации тригонометрического и квадратичного Функции

Поиск лимков→𝑥(2−4𝑥)𝑥+𝑥.

Ответ

В этом примере нам нужно найти предел функции. данный функция состоит из многочленов и тригонометрической функции, которая составляются вместе с использованием композиции, произведения и частного. Мы знаем что композиция, произведение и частное этих полиномов и тригонометрические функции подходят для метода прямой подстановки, поскольку пока предельная точка принадлежит области определения функции. Следовательно, нам нужно сначала проверить, принадлежит ли предельная точка 12 в область определения заданной функции.

Мы знаем, что функция косинуса и полиномиальная функция не имеют доменные ограничения, поэтому предельная точка 12 будет в область определения данной функции, если знаменатель частного равен не равно нулю в этой точке. Вычислим знаменатель 𝑥+𝑥 при 𝑥=12, 12+12=14+12=34.

Поскольку знаменатель в этой точке не равен нулю, 12 находится в области определения данной функции. Мы затем можно применить метод прямой подстановки для вычисления limcoscoscos→𝑥(2−4𝑥)𝑥+𝑥=2−4×+=(0).

Используя cos0=1, это равно =12×43=23.

Таким образом, данный предел равен 23.

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые моменты

• Когда мы находим предел функции прямой подстановкой, мы подставляя предельную точку в заданную функцию, чтобы найти предел. Этот означает, что для подходящих функций , lim→𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).
• Для любой постоянной 𝐶 и предельной точки 𝑎, lim→𝐶=𝐶.
• Мы можем найти предел любой суммы, разности, произведения, частного, и композиция любой из функций, перечисленных ниже, с использованием прямого замены, пока предельная точка находится в области заданного функция:
  • полиномиальная или постоянная функция,
  • рациональная функция,
  • степень или функция корня,
  • экспоненциальная или логарифмическая функция,
  • тригонометрическая функция,
  • функция абсолютного значения.