Для этого примера вы получите подробное решение:
Возьмём предел :: __________ _________ / 2 / 2 lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x x->oo Устраним неопределённость oo - oo Домножим и разделим на :: _________ __________ / 2 / 2 \/ -3 + x + \/ x + 2*x тогда :: __________ _________ / 2 / 2 lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x = x->oo :: / __________ _________\ / _________ __________\ | / 2 / 2 | | / 2 / 2 | \\/ x + 2*x - \/ -3 + x /*\\/ -3 + x + \/ x + 2*x / lim ------------------------------------------------------------- = x->oo _________ __________ / 2 / 2 \/ -3 + x + \/ x + 2*x :: 2 2 __________ _________ / 2 / 2 \/ x + 2*x - \/ -3 + x lim ------------------------------ = x->oo _________ __________ / 2 / 2 \/ -3 + x + \/ x + 2*x :: 2 2 x + 2*x + 3 - x lim ---------------------------- x->oo _________ __________ = / 2 / 2 \/ -3 + x + \/ x + 2*x :: 3 + 2*x lim ---------------------------- x->oo _________ __________ / 2 / 2 \/ -3 + x + \/ x + 2*x Разделим числитель и знаменатель на x: :: 3 2 + - x lim ---------------------------- x->oo _________ __________ = / 2 / 2 \/ -3 + x \/ x + 2*x ------------ + ------------- x x :: 3 2 + - x lim ---------------------------------- x->oo _________ __________ / 2 / 2 = / -3 + x / x + 2*x / ------- + / -------- / 2 / 2 \/ x \/ x :: 3 2 + - x lim --------------------------- x->oo ________ _______ / 3 / 2 / 1 - -- + / 1 + - / 2 \/ x \/ x Сделаем замену :: 1 u = - x тогда :: 3 2 + - x lim --------------------------- x->oo ________ _______ = / 3 / 2 / 1 - -- + / 1 + - / 2 \/ x \/ x :: 2 + 3*u lim --------------------------- u->0+ __________ = / 2 _________ \/ 1 - 3*u + \/ 1 + 2*u :: 2 + 3*0 --------------------------- = 1 = __________ / 2 _________ \/ 1 - 3*0 + \/ 1 + 2*0 Получаем окончательный ответ: :: __________ _________ / 2 / 2 lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x = 1 x->oo
Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:
(sqrt(x + 1) – sqrt(2*x – 2))/(x – 3)
Не забудьте указать к чему стремится переменная x. 2
Каков ответ этого лимита? Есть две гипотезы:
$0$ и undefined.
Undefined Поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен, $0$, потому что если мы подставим $\sqrt{3}$, мы получим $0$; Я не уверен. Пожалуйста, помогите
Редактировать:
Почему мы рассчитываем этот предел?
По словам моего учителя, предел функции в sqrt(3) существует, если существуют и одинаковые предел в sqrt(3)- и предел в sqrt(3)+. Вот почему мы пытались найти его 9{2}-3}$?
$\endgroup$
2
$\begingroup$
То, что сказал ваш учитель, неверно.
Пределы вычисляются внутри домена . Для этой функции существуют как обычный, так и правый пределы, и оба равны $0$ (из-за подстановки $\sqrt3$ и из-за непрерывности функции ). Левый предел не определен, но это не имеет значения.
Ситуация была бы иной, если бы область простиралась в минусах без левого предела, например
$$\begin{cases}x<0\to\sin\dfrac1x,\\x\ge0\to\sqrt x \end{cases}$$
(без левого и обычного предела, но с правым пределом)
или область, простирающаяся в минусах и с другим левым пределом, таким как
$$\begin {cases}x<0\to-1,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$
(и левые, и правые, но без обычного предела).
92 – 3}$ определено на $D = ({-\infty}, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, {+\infty})$. Чтобы вычислить предел $f$, когда $x$ приближается к $\sqrt{3}$, вам нужно вычислить $f (x)$ для значений $x$, сколь угодно близких к $\sqrt{3}$. А чтобы вычислить $f (x)$ для любого значения $x$, вам нужно, чтобы $x$ попало в домен $f$.Таким образом, предел $\lim_{x \to \sqrt{3}} f (x)$ должен быть взят для $x > \sqrt{3}$ и, таким образом, будет равен $0$. Это пример, когда существует правый предел (приближающийся от строго более высоких значений), но не существует левого предела (приближающийся к строго более низким значениям).
$\endgroup$
$\begingroup$
Следует учитывать несколько моментов:
0 потому что если мы подключим sqrt(3), то получим 0
Это неверно. Значение функции в предельной точке не имеет значения для значения предела. Подстановка значения — это трюк, который часто работает, но он работает только в том случае, если функция непрерывна в предельной точке (в вашем случае необходима только левая непрерывная, поскольку у нас есть предел слева). Поскольку функция не определена слева от $\sqrt{3}$, она не является непрерывной слева в точке $\sqrt{3}$. 92-3}$ быть функцией действительных чисел, то предел не определен.
$\endgroup$
1
исчисление – Попытка найти предел путем рационализации числителя с квадратным корнем
Задай вопрос
спросил
Изменено 7 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 8к раз
$\begingroup$
Я новичок в исчислении, поэтому прошу извинить меня за отсутствие жаргона/форматирования.
Я делаю домашнюю работу по математике и посмотрел альфа-версию вольфрама. Он сказал мне, что ограничение составляет $\frac{1}{8}$, но я хотел сделать это самостоятельно, чтобы убедиться, что я действительно знаю, что делаю. Wolfram$\alpha$ посоветовал мне использовать правило Госпиталя, но я никогда не изучал его и не мог понять, основываясь на некоторых поисковых запросах в Google. Там также говорилось, что предел $x\rightarrow2$ равен $\frac 1 8$, но я получил ответы либо $-\frac {1} {8}$, либо $-1$. 92-6x+8)(2+\sqrt{x+2})}$$
Я просто не уверен, что делаю неправильно. Я не посещал предварительный курс со старшего года, а сейчас я второкурсник, но мы в основном занимались тригонометрией, так что производные и все такое для меня абсолютно новое. Любая помощь приветствуется.
- исчисление
- пределы
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Я предполагаю, что вы имеете в виду $$\lim_{x \to 2} \frac{2 – \sqrt{x + 2}}{x^2 – 6x + 8}$$ 92 – 6x + 8)(2 + \sqrt{x + 2})} = \lim_{x \to 2}\frac{-(x – 2)}{(x – 4)(x – 2)(2 + \sqrt{x + 2})}$$
Теперь мы можем сократить $(x – 2)$, чтобы получить $$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{(x – 4 ) (2 + \sqrt{x + 2})} = \frac{-1}{(-2)(2 + \sqrt{4})} = \frac{-1}{(-2)(4) } = \frac{1}{8}$$
Ваша лучшая стратегия, когда вы видите квадратный корень в подобном контексте, состоит в том, чтобы умножить на сопряженное и просто поиграть с выражением, упрощая то, что вы можете, пока это не перестанет быть в неопределенной форме.