Для этого примера вы получите подробное решение:
Возьмём предел
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x
x->oo
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
::
_________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
тогда
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x =
x->oo
::
/ __________ _________\ / _________ __________\
| / 2 / 2 | | / 2 / 2 |
\\/ x + 2*x - \/ -3 + x /*\\/ -3 + x + \/ x + 2*x /
lim ------------------------------------------------------------- =
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
2 2
__________ _________
/ 2 / 2
\/ x + 2*x - \/ -3 + x
lim ------------------------------ =
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
2 2
x + 2*x + 3 - x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________ =
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
3 + 2*x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
Разделим числитель и знаменатель на x:
::
3
2 + -
x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________ =
/ 2 / 2
\/ -3 + x \/ x + 2*x
------------ + -------------
x x
::
3
2 + -
x
lim ----------------------------------
x->oo _________ __________
/ 2 / 2 =
/ -3 + x / x + 2*x
/ ------- + / --------
/ 2 / 2
\/ x \/ x
::
3
2 + -
x
lim ---------------------------
x->oo ________ _______
/ 3 / 2
/ 1 - -- + / 1 + -
/ 2 \/ x
\/ x
Сделаем замену
::
1
u = -
x
тогда
::
3
2 + -
x
lim ---------------------------
x->oo ________ _______ =
/ 3 / 2
/ 1 - -- + / 1 + -
/ 2 \/ x
\/ x
::
2 + 3*u
lim ---------------------------
u->0+ __________ =
/ 2 _________
\/ 1 - 3*u + \/ 1 + 2*u
::
2 + 3*0
--------------------------- = 1
= __________
/ 2 _________
\/ 1 - 3*0 + \/ 1 + 2*0
Получаем окончательный ответ:
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x = 1
x->oo
Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:
(sqrt(x + 1) – sqrt(2*x – 2))/(x – 3)
Не забудьте указать к чему стремится переменная x.
2
Каков ответ этого лимита? Есть две гипотезы:
$0$ и undefined.
Undefined Поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен, $0$, потому что если мы подставим $\sqrt{3}$, мы получим $0$; Я не уверен. Пожалуйста, помогите
Редактировать:
Почему мы рассчитываем этот предел?
По словам моего учителя, предел функции в sqrt(3) существует, если существуют и одинаковые предел в sqrt(3)- и предел в sqrt(3)+. Вот почему мы пытались найти его 9{2}-3}$?
$\endgroup$
2
$\begingroup$
То, что сказал ваш учитель, неверно.
Пределы вычисляются внутри домена . Для этой функции существуют как обычный, так и правый пределы, и оба равны $0$ (из-за подстановки $\sqrt3$ и из-за непрерывности функции ).
Левый предел не определен, но это не имеет значения.
Ситуация была бы иной, если бы область простиралась в минусах без левого предела, например
$$\begin{cases}x<0\to\sin\dfrac1x,\\x\ge0\to\sqrt x \end{cases}$$
(без левого и обычного предела, но с правым пределом)
или область, простирающаяся в минусах и с другим левым пределом, таким как
$$\begin {cases}x<0\to-1,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$
(и левые, и правые, но без обычного предела).
92 – 3}$ определено на $D = ({-\infty}, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, {+\infty})$. Чтобы вычислить предел $f$, когда $x$ приближается к $\sqrt{3}$, вам нужно вычислить $f (x)$ для значений $x$, сколь угодно близких к $\sqrt{3}$. А чтобы вычислить $f (x)$ для любого значения $x$, вам нужно, чтобы $x$ попало в домен $f$. Таким образом, предел $\lim_{x \to \sqrt{3}} f (x)$ должен быть взят для $x > \sqrt{3}$ и, таким образом, будет равен $0$. Это пример, когда существует правый предел (приближающийся от строго более высоких значений), но не существует левого предела (приближающийся к строго более низким значениям).
$\endgroup$
$\begingroup$
Следует учитывать несколько моментов:
0 потому что если мы подключим sqrt(3), то получим 0
Это неверно. Значение функции в предельной точке не имеет значения для значения предела. Подстановка значения — это трюк, который часто работает, но он работает только в том случае, если функция непрерывна в предельной точке (в вашем случае необходима только левая непрерывная, поскольку у нас есть предел слева). Поскольку функция не определена слева от $\sqrt{3}$, она не является непрерывной слева в точке $\sqrt{3}$. 92-3}$ быть функцией действительных чисел, то предел не определен.
$\endgroup$
1
исчисление – Попытка найти предел путем рационализации числителя с квадратным корнем
Задай вопрос
спросил
Изменено 7 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 8к раз
$\begingroup$
Я новичок в исчислении, поэтому прошу извинить меня за отсутствие жаргона/форматирования.
Я делаю домашнюю работу по математике и посмотрел альфа-версию вольфрама. Он сказал мне, что ограничение составляет $\frac{1}{8}$, но я хотел сделать это самостоятельно, чтобы убедиться, что я действительно знаю, что делаю. Wolfram$\alpha$ посоветовал мне использовать правило Госпиталя, но я никогда не изучал его и не мог понять, основываясь на некоторых поисковых запросах в Google. Там также говорилось, что предел $x\rightarrow2$ равен $\frac 1 8$, но я получил ответы либо $-\frac {1} {8}$, либо $-1$. 92-6x+8)(2+\sqrt{x+2})}$$
Я просто не уверен, что делаю неправильно. Я не посещал предварительный курс со старшего года, а сейчас я второкурсник, но мы в основном занимались тригонометрией, так что производные и все такое для меня абсолютно новое. Любая помощь приветствуется.
- исчисление
- пределы
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Я предполагаю, что вы имеете в виду $$\lim_{x \to 2} \frac{2 – \sqrt{x + 2}}{x^2 – 6x + 8}$$ 92 – 6x + 8)(2 + \sqrt{x + 2})} = \lim_{x \to 2}\frac{-(x – 2)}{(x – 4)(x – 2)(2 + \sqrt{x + 2})}$$
Теперь мы можем сократить $(x – 2)$, чтобы получить $$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{(x – 4 ) (2 + \sqrt{x + 2})} = \frac{-1}{(-2)(2 + \sqrt{4})} = \frac{-1}{(-2)(4) } = \frac{1}{8}$$
Ваша лучшая стратегия, когда вы видите квадратный корень в подобном контексте, состоит в том, чтобы умножить на сопряженное и просто поиграть с выражением, упрощая то, что вы можете, пока это не перестанет быть в неопределенной форме.
