Пределы с корнями примеры: Как решать пределы с корнями, примеры решений

2)

Для этого примера вы получите подробное решение:

 


Возьмём предел

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x
    x->oo

Устраним неопределённость oo - oo

Домножим и разделим на

::

       _________      __________
      /       2      /  2
    \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

тогда

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x   =
    x->oo

::

         /   __________      _________\ /   _________      __________\
         |  /  2            /       2 | |  /       2      /  2       |
         \\/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  /*\\/  -3 + x   + \/  x  + 2*x /
     lim ------------------------------------------------------------- =
    x->oo                    _________      __________
                            /       2      /  2
                          \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

                      2               2
            __________       _________
           /  2             /       2
         \/  x  + 2*x   - \/  -3 + x
     lim ------------------------------ =
    x->oo    _________      __________
            /       2      /  2
          \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

               2              2
              x  + 2*x + 3 - x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________ =
           /       2      /  2
         \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

                   3 + 2*x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________
           /       2      /  2
         \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x



Разделим числитель и знаменатель на x:

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________ =
           /       2      /  2
         \/  -3 + x     \/  x  + 2*x
         ------------ + -------------
              x               x

::

                           3
                       2 + -
                           x
     lim ----------------------------------
    x->oo      _________         __________
              /       2         /  2        =
             /  -3 + x         /  x  + 2*x
            /   -------  +    /   --------
           /        2        /        2
         \/        x       \/        x

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ---------------------------
    x->oo     ________       _______
             /     3        /     2
            /  1 - --  +   /  1 + -
           /        2    \/       x
         \/        x

Сделаем замену

::

        1
    u = -
        x

тогда

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ---------------------------
    x->oo     ________       _______ =
             /     3        /     2
            /  1 - --  +   /  1 + -
           /        2    \/       x
         \/        x

::

                   2 + 3*u
     lim ---------------------------
    u->0+   __________               =
           /        2      _________
         \/  1 - 3*u   + \/ 1 + 2*u

::

                2 + 3*0
      --------------------------- = 1
    =    __________
        /        2      _________
      \/  1 - 3*0   + \/ 1 + 2*0



Получаем окончательный ответ:

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x   = 1
    x->oo

Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:

(sqrt(x + 1) – sqrt(2*x – 2))/(x – 3)

Не забудьте указать к чему стремится переменная x. 2

2-3}$$

Каков ответ этого лимита? Есть две гипотезы:

$0$ и undefined.

Undefined Поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен, $0$, потому что если мы подставим $\sqrt{3}$, мы получим $0$; Я не уверен. Пожалуйста, помогите

Редактировать:

Почему мы рассчитываем этот предел?

По словам моего учителя, предел функции в sqrt(3) существует, если существуют и одинаковые предел в sqrt(3)- и предел в sqrt(3)+. Вот почему мы пытались найти его 9{2}-3}$?

$\endgroup$

2

$\begingroup$

То, что сказал ваш учитель, неверно.

Пределы вычисляются внутри домена . Для этой функции существуют как обычный, так и правый пределы, и оба равны $0$ (из-за подстановки $\sqrt3$ и из-за непрерывности функции ). Левый предел не определен, но это не имеет значения.

Ситуация была бы иной, если бы область простиралась в минусах без левого предела, например

$$\begin{cases}x<0\to\sin\dfrac1x,\\x\ge0\to\sqrt x \end{cases}$$

(без левого и обычного предела, но с правым пределом)

или область, простирающаяся в минусах и с другим левым пределом, таким как

$$\begin {cases}x<0\to-1,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$

(и левые, и правые, но без обычного предела).

92 – 3}$ определено на $D = ({-\infty}, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, {+\infty})$. Чтобы вычислить предел $f$, когда $x$ приближается к $\sqrt{3}$, вам нужно вычислить $f (x)$ для значений $x$, сколь угодно близких к $\sqrt{3}$. А чтобы вычислить $f (x)$ для любого значения $x$, вам нужно, чтобы $x$ попало в домен $f$.

Таким образом, предел $\lim_{x \to \sqrt{3}} f (x)$ должен быть взят для $x > \sqrt{3}$ и, таким образом, будет равен $0$. Это пример, когда существует правый предел (приближающийся от строго более высоких значений), но не существует левого предела (приближающийся к строго более низким значениям).

$\endgroup$

$\begingroup$

Следует учитывать несколько моментов:

  • 0 потому что если мы подключим sqrt(3), то получим 0

    Это неверно. Значение функции в предельной точке не имеет значения для значения предела. Подстановка значения — это трюк, который часто работает, но он работает только в том случае, если функция непрерывна в предельной точке (в вашем случае необходима только левая непрерывная, поскольку у нас есть предел слева). Поскольку функция не определена слева от $\sqrt{3}$, она не является непрерывной слева в точке $\sqrt{3}$. 92-3}$ быть функцией действительных чисел, то предел не определен.

    $\endgroup$

    1

    исчисление – Попытка найти предел путем рационализации числителя с квадратным корнем

    Задай вопрос

    спросил

    Изменено 7 лет, 6 месяцев назад

    Просмотрено 8к раз

    $\begingroup$

    Я новичок в исчислении, поэтому прошу извинить меня за отсутствие жаргона/форматирования.

    Я делаю домашнюю работу по математике и посмотрел альфа-версию вольфрама. Он сказал мне, что ограничение составляет $\frac{1}{8}$, но я хотел сделать это самостоятельно, чтобы убедиться, что я действительно знаю, что делаю. Wolfram$\alpha$ посоветовал мне использовать правило Госпиталя, но я никогда не изучал его и не мог понять, основываясь на некоторых поисковых запросах в Google. Там также говорилось, что предел $x\rightarrow2$ равен $\frac 1 8$, но я получил ответы либо $-\frac {1} {8}$, либо $-1$. 92-6x+8)(2+\sqrt{x+2})}$$

    Я просто не уверен, что делаю неправильно. Я не посещал предварительный курс со старшего года, а сейчас я второкурсник, но мы в основном занимались тригонометрией, так что производные и все такое для меня абсолютно новое. Любая помощь приветствуется.

    • исчисление
    • пределы

    $\endgroup$

    6

    $\begingroup$

    Я предполагаю, что вы имеете в виду $$\lim_{x \to 2} \frac{2 – \sqrt{x + 2}}{x^2 – 6x + 8}$$ 92 – 6x + 8)(2 + \sqrt{x + 2})} = \lim_{x \to 2}\frac{-(x – 2)}{(x – 4)(x – 2)(2 + \sqrt{x + 2})}$$

    Теперь мы можем сократить $(x – 2)$, чтобы получить $$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{(x – 4 ) (2 + \sqrt{x + 2})} = \frac{-1}{(-2)(2 + \sqrt{4})} = \frac{-1}{(-2)(4) } = \frac{1}{8}$$

    Ваша лучшая стратегия, когда вы видите квадратный корень в подобном контексте, состоит в том, чтобы умножить на сопряженное и просто поиграть с выражением, упрощая то, что вы можете, пока это не перестанет быть в неопределенной форме.

Оставить комментарий