ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ: ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π’Ρ‹ искали ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ – Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, Β«ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΒ».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ).

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Онлайн?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ – это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ логарифмирования раскрытия нСопрСдСлСнностСй.

2) →1 когда x→0, то прСдСл равСн 7/3.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 26 Богласно Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ∞/∞ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Лопиталя.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 27 ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ нСопрСдСлСнности Π²ΠΈΠ΄Π° ноль ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊ нСопрСдСлСнности Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ раскрываСм ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Лопиталя Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ числитСля ΠΈ знамСнатСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ посмотритС схСму ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ нСопрСдСлСнности ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ пСрСносим послСднюю, Π° Π½Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 28 ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ подстановка Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ноль ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 0*∞

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ свСсти ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Лопиталя Π² искусствСнный способ котангСнс пСрСносим Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ замСняСм 1/ctg(x)=tg(x). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, раскрываСм Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ Π›ΠΎΠΏΠΈΡ‚Π°Π»ΡŽ ΠΈ подстановкой x=0.

РаскрытиС нСопрСдСлСнностСй ∞-∞

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ∞-∞ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ раскрываСм ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Лопиталя, Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарныС дСйствия Π½Π°Π΄ слагаСмыми, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ разности бСсконСчно Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 29 Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ примСняли Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ числитСля ΠΈ знамСнатСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ нСопрСдСлСнности 0/0.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 30 ИмССм Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° ∞-∞, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ раскрываСм ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ свСдСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Лопиталя вычисляСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ числитСля ΠΈ знамСнатСля, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹.

И Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° избавляСмся нСопрСдСлСнности выполняСм подстановку Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π». Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Лопиталя, 30 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ достаточно. Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с расчСтными ΠΈΠ»ΠΈ модулями, Ρ‚ΠΎ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π·Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ!

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ собраны Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсныС ΠΈ слоТныС случаи ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ случаСв, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π²

Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ курсС Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, просты ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ-Π΄Π²Π° дСйствия. Однако ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° приходится ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ со слоТными ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ
Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ хитростныС способы. Рассмотрим ΠΆΠ΅ ΠΈΡ…!

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ знания ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ эквивалСнтныС бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Ну Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ, Π½Π°ΠΌ прСдстоит ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ прСобразования Π² числитСлС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΌΠ°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ…ΠΎΠ΄, Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎ всСм ΠΏΠΎ порядку. НачнСм с числитСля, прСдставим

Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ записи ΠΈ запишСм Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

Π’ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, позволяСт Π½Π°ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойства эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°
Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, стоящий Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Если Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Β«ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ» ΠΈ привСсти ΠΊ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ смСло ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для получСния эквивалСнтных
Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. Π’ΠΎΡ‚ здСсь-Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ способ (ΠΊΠ°ΠΊ я Π΅Π³ΠΎ
Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽ) «искусствСнного добавлСния» числа:

ВсС довольно просто, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Ρ баланса выраТСния, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ ΡƒΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊ косинусу. Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ всСх Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² , ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… дСйствий, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° эквивалСнтныС Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹. Π’ числитСлС вынСсли Π·Π½Π°ΠΊ минус Π·Π° скобки, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² Ρ‚Π΅ΠΌ самым

Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ. Π‘ Π½ΠΈΠΌΠΈ всС понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π² синусом? ВсС просто, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ. ВычисляСм:

ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ пояснСния ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ эквивалСнтныС Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π» использован ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΏΡ€ΠΈ

ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ строкой Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅. Как извСстно, эквивалСнтная малая для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ln(1+x) ~x

Π’ нашСм случаС, Π² Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ Ρ… выступала вся скобка (-(1-cos(5x))).

Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ для случая с косинусом:

ΠΏΡ€ΠΈ

Π’ нашСм случаС, cos(x) β€” это cos(5x) ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π±Ρ‹Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ:

ΠΏΡ€ΠΈ

Ну Π²ΠΎΡ‚ ΠΈ всС. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π±Ρ‹Π» нСпростым, Π½ΠΎ интСрСсным, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, надСюсь, Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Π°ΠΌ понятным.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ наш Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒΒ ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ способы ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ страницы Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ со ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉΒ ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Из Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Π’Ρ‹ смоТСтС ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΈ с Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Сдят – это ΠžΠ§Π•ΠΠ¬ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? МоТно Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° «пятёрку». Но Π²ΠΎΡ‚ Ссли Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Ρ‚ΠΎ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ практичСских Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ придСтся Ρ‚ΡƒΠ³ΠΎ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ лишним Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Π°ΠΌΠΈ оформлСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΌΠΎΠΈΠΌΠΈ рСкомСндациями ΠΏΠΎ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ. Вся информация ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² простой ΠΈ доступной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

А для Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мСтодичСскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹:Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прСдСлы и ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π° ΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ справочныС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ – это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ часто придСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΎΡ„Ρ„Π»Π°ΠΉΠ½Π΅.

Π§Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹? Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΠΌΠΈ ΡƒΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΈ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΠΊΠ°ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ с Π½Π°Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², стСпСнСй. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ тСорСтичСски.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² сущСствуСт нСсколько, Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρƒ студСнтов-Π·Π°ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² 95% случаСв Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:Β ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»,Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π». Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это историчСски слоТившиСся названия, ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, говорят ΠΎ Β«ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Β», Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ этим Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ‰ΡŒ, Π° Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ случайный, взятый с ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π».

НачнСм.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:Β  Β (вмСсто Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ «хэ» я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π΅Ρ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ Β«Π°Π»ΡŒΡ„Π°Β», это ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°).

Богласно Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ нахоТдСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² (см. ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽΒ ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ) ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ноль Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ: Π² числитСлС Ρƒ нас получаСтся ноль (синус нуля Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ), Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ноль. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ сталкиваСмся с Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π°Β  , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ, ΠΊ ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ. Π’ курсС матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, доказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Β 

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ матСматичСский Ρ„Π°ΠΊΡ‚ носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅Β ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°.

НСрСдко Π² практичСских  заданиях Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ располоТСны ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ, это Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ мСняСт:

 – Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ самый ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π».

! Но ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ нСльзя! Если Π΄Π°Π½ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β , Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ пСрСставляя.

На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² качСствС ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Β  Β ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ пСрСмСнная  , Π½ΠΎ ΠΈ элСмСнтарная функция, слоТная функция.Β Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ лишь, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: ,Β  ,Β  ,Β 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒΒ  ,Β  ,Β  ,Β  , ΠΈ всё Π³ΡƒΠ΄ – ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ.

А Π²ΠΎΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ запись – Π΅Ρ€Π΅ΡΡŒ:

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ-Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Β  Β Π½Π΅ стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΎΠ½ стрСмится ΠΊ пятСркС.

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, вопрос Π½Π° засыпку, Π° Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β  ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ всС Ρ‚Π°ΠΊ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎ, ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° студСнту Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ халявный ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β  Β ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΈΠΉ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚. Π₯ммм… ΠŸΠΈΡˆΡƒ эти строки ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»Π° Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρƒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ваТная ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ – всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ «халявныС» матСматичСскиС опрСдСлСния ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Β  Β Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ·ΡƒΡΡ‚ΡŒ, это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π½Π° Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° вопрос Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉΒ» ΠΈ Β«Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉΒ», ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ студСнту ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ простой вопрос ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ (Β«Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ½ (Π°) всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ?!Β»).

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ практичСских ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

Если ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ синус, Ρ‚ΠΎ это нас сразу Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ ΠΎ возмоТности примСнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°.

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 0 Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° (Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это мыслСнно ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ΅):

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π°Β  , Π΅Π΅Β ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΒ Π² ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Ρƒ нас ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Π½ΠΎ это Π½Π΅ совсСм ΠΎΠ½, ΠΏΠΎΠ΄ синусом находится  , Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Β  .

Π’ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… случаях ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ искусствСнный ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ. Π₯ΠΎΠ΄ рассуТдСний ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ: Β«ΠΏΠΎΠ΄ синусом Ρƒ нас  , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΒ  Β».Β  А дСлаСтся это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто:

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ искусствСнно умноТаСтся Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π½Π° 7 ΠΈ дСлится Π½Π° Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ сСмСрку. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ запись Ρƒ нас приняла Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Π΅ очСртания. Когда Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ оформляСтся ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ простым ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ? По сути, ΠΎΠ±Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ нас ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ исчСзло Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ: Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ трСхэтаТности Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ: Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ. ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β 

Если Π½Π΅ хочСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

β€œ Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β  β€œ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΈ синус. ΠŸΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ноль:

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρƒ нас Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  Β ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π». На ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅Β ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ ΠΌΡ‹ рассматривали ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  , Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ – Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, стСпСни ΠΌΡ‹ прСдставим Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния (ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ):

Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ схСмС ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. Под синусами Ρƒ нас  , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² числитСлС Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΒ  :

Аналогично ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, ΠΎΠ±Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ (здСсь ΠΈΡ… Π΄Π²Π°), ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ стрСмятся ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅:

БобствСнно, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²:

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…, я Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Ρƒ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ худоТСствами Π² ΠŸΡΠΉΠ½Ρ‚Π΅, Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈ – Π’Π°ΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ понятно.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ноль Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ. Если Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ тангСнс, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всСгда Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Π² синус ΠΈ косинус ΠΏΠΎ извСстной тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅Β  Β (кстати, с котангСнсом Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, см. мСтодичСский матСриалГорячиС тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹Β Π½Π° ΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅Β ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ справочныС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹).

Β Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС:

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ нуля Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ (Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ стрСмится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅):

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ косинус являСтся ΠœΠΠžΠ–Π˜Π’Π•Π›Π•Πœ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ, Π³Ρ€ΡƒΠ±ΠΎ говоря, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, которая исчСзаСт Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π½Π½ΠΎΠΉ схСмС, ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ всС Π²Ρ‹ΡˆΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Π±Π΅Π· всяких Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ прСвращаСтся Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ исчСзаСт Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ:

Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ноль Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  Β (косинус нуля, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅)

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡƒΒ  . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΡƒ! ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ-Ρ‚ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ вынСсСм Π·Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:

Β 

ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρƒ нас Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСвращаСтся Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ исчСзаСт Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ:

Избавимся ΠΎΡ‚ трСхэтаТности:

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» фактичСски Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ синус стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ слоТнСС, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

Β 

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»

Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅Β Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°.

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ°:  – это ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π’ качСствС ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Β  Β ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ пСрСмСнная  , Π½ΠΎ ΠΈ слоТная функция.Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ лишь, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΠΊ бСсконСчности.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

Когда Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° находится Π² стСпСни – это ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π».

Но сначала, ΠΊΠ°ΠΊ всСгда, ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ бСсконСчно большоС число Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β Β  , ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡƒ это дСлаСтся, Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅Β ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

НСтрудно Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΒ   основаниС стСпСни  , Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ – , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ имССтся, Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π°Β  :

Данная Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ раскрываСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. Но, ΠΊΠ°ΠΊ часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Ρ‡ΠΊΠ΅ с Π³ΠΎΠ»ΡƒΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Π΅ΠΌΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ искусствСнно ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π Π°ΡΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Β  , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ Β  . Для этого Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ основаниС Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΒ  , ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ измСнилось – Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΒ  :

Когда Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ оформляСтся ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ всё Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ, ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Π°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² ΡΠΈΠΌΠΏΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²ΡƒΒ  :

ΠŸΡ€ΠΈ этом сам Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ я Π½Π΅ дСлаю, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ оформлСния, Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, понятСн.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° встрСчаСтся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто, поТалуйста, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ бСсконСчно большоС число Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  . Но Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ нСопрСдСлСнности Π²ΠΈΠ΄Π°Β  . Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? НуТно ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ основаниС стСпСни. РассуТдаСм Ρ‚Π°ΠΊ: Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Ρƒ нас  , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² числитСлС Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ  :

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ:

Π’Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π±Ρ‹ основаниС стало Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒΒ  , Π½ΠΎ Ρƒ нас Π·Π½Π°ΠΊ «минус» Π΄Π° ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° какая-Ρ‚ΠΎ вмСсто Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. ΠŸΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ…ΠΈΡ‰Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ трСхэтаТной:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, основаниС приняло Π²ΠΈΠ΄Β  , ΠΈ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, появилась нуТная Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  . ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β  . Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅Β  . Π‘Π½ΠΎΠ²Π° исполняСм наш искусствСнный ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ: Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ основаниС стСпСни Π²Β  , ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ измСнилось – Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΒ  :

НаконСц-Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠΆΠ΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅Β   устроСно, с чистой ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² Π±ΡƒΠΊΠ²ΡƒΒ  :

Но Π½Π° этом мучСния Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π΅Π½Ρ‹, Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Ρƒ нас появилась Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π°Β  , Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅Β ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π”Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π°Β  :

Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ.

А сСйчас ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. Напомню, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:Β  . Однако Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ врСмя ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Β«ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚Ρ‹ΡˆΒ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8

Найти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β 

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° (мыслСнно ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ΅) ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ноль (бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ число) Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° знакомая Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ  . ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅Β  . Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ искусствСнного ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ° ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ стСпСни ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽΒ  :

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β   со спокойной Π΄ΡƒΡˆΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π² Π±ΡƒΠΊΠ²ΡƒΒ  :

Π•Ρ‰Π΅ Π½Π΅ всё, Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Ρƒ нас появилась Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π°Β  . РаскладываСм тангСнс Π½Π° синус ΠΈ косинус (Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚?):

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ нуля стрСмится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ (Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ), поэтому ΠΎΠ½ просто ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ:

А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅Β  Β ΠΈ ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΎ стрСмится, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ°Β»!

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Π² практичСских заданиях Π½Π° вычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ трСбуСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ сразу нСсколько ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ².

Π’ 90-95% Π½Π° Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Π΅, экзамСнС Π’Π°ΠΌ встрСтится ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π». Как Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Ссли попался «экзотичСский» Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»? (со списком всСх Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡ΠΊΠ΅). НичСго ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, практичСски всС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° справСдливы ΠΈ для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². НуТно Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ.

Π”Π°, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Β  ?

Если Ρƒ Вас получился ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Β  , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π΅ всё Ρ‚Π°ΠΊ Π±Π΅Π·Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎ = ). 2 = 0 $$

Если Π½Π΅ получаСтся Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ свою Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Ρ‚ΠΎ присылайтС Π΅Ρ‘ ΠΊ Π½Π°ΠΌ. ΠœΡ‹ прСдоставим ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹ смоТСтС ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ вычислСния ΠΈ ΠΏΠΎΡ‡Π΅Ρ€ΠΏΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ своСврСмСнно ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Ρ‡Ρ‘Ρ‚ Ρƒ прСподаватСля!

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚$$ lim_limits frac <arcsin x>= 0 $$

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ноль Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ноль $[frac<0><0>]$. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ эквивалСнтности ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x=0$.

$$ 1- cos (4 cdot 0) = 1-cos 0 = 1 – 1 = 0 $$

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ $x=0$, Π° это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ допустима Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π½Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ВозвращаСмся ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ, подставляя Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для числитСля.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2
ЗамСняя эквивалСнтными бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» $ lim_limits frac<1-cos 4x> $
РСшСниС
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
$$ lim_limits frac<1-cos 4x> = 0 $$

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² $x=1$ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ $[ frac<0> <0>] $. 2 = (a-b)(a+b)$ для знамСнатСля ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ позволяСт ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ вычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². Если Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ эквивалСнтными функциями ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простого выраТСния. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎ мноТитСлях Π² дробях ΠΈ произвСдСниях. Π—Π°ΠΌΠ΅Π½Π° эквивалСнтными функциями Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… выраТСниях, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² суммах, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ. Однако, ошибки Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы эквивалСнтной Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ (см. ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ⇓).

ВсС связанныС с этим опрСдСлСния ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ приводятся Π½Π° страницС «О большоС ΠΈ ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅. Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉΒ». Напомним Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ опрСдСлСния ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈ g Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ эквивалСнтными (асимптотичСски Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ) ΠΏΡ€ΠΈ :
ΠΏΡ€ΠΈ ,
Ссли Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ,
ΠΏΡ€ΠΈ , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ
.

Если ΠΏΡ€ΠΈ , Ρ‚ΠΎ ;
Ссли , Ρ‚ΠΎ .
ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ . Π‘ΠΌ. Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ связи эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ΠΎ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ эквивалСнтными Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ частного
Если, ΠΏΡ€ΠΈ , ΠΈ ΠΈ сущСствуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»
, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»
.
Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ часто примСняСмоС слСдствиС этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ частноС, составлСнноС ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°, эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° эквивалСнтныС:
,
Π³Π΄Π΅ . Π—Π½Π°ΠΊ равСнства ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли сущСствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· этих ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ. Если Π½Π΅ сущСствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ сущСствуСт ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ. РазумССтся, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ всС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π”Π°Π»Π΅Π΅ приводится Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, эквивалСнтных ΠΏΡ€ΠΈ . Π—Π΄Π΅ΡΡŒ t ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ : ; .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3
Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ эквивалСнтно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ $lim_limits frac<sin (x-1)> $
РСшСниС
Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ приРавСнство ΠΏΡ€ΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π΅Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Как ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² самом Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ эквивалСнтными ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² мноТитСлях Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ. Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… выраТСниях, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² суммах, Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ нСльзя.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:
.
ΠŸΡ€ΠΈ . Но Ссли Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² числитСлС Π½Π° x , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ:
.
Ошибки Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ синус Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅, :
.
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈ , Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ снова ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 0/0 . Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для вычислСния этого ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эквивалСнтной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ достаточно. НуТно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², упрощая вычислСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ⇑ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ исходная функция являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ ΠΈ каТдая ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π½Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ мноТитСля Π² числитСлС ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° эквивалСнтныС.
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ эквивалСнтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ⇑ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.
ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:
.
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ исходная функция являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ ΠΈ каТдая ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π½Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ мноТитСля Π² числитСлС ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° эквивалСнтныС.
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π² стСпСни Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π΅ ΠΊ нСопрСдСлСнности Π²ΠΈΠ΄Π° 0/0 . Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ экспонСнта ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями.
.
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ экспонСнты Ρƒ нас Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° 0/0 .

ВычисляСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:
.
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ нас Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ эквивалСнтными функциями, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ⇑.
;
;

.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ экспонСнта Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

ΠŸΡ€ΠΈ . Выясним, ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ здСсь Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ эквивалСнтной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ: . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° βˆžβ€“βˆž .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΊ нСопрСдСлСнности Π²ΠΈΠ΄Π° 0/0 . Для этого ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ воспользовались Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ . ПослС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, наш ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
.

Π’ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ сразу ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ эквивалСнтной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ это сдСлали Π²Ρ‹ΡˆΠ΅:
.

Π’ числитСлС имССтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эквивалСнтной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ вычислСния. Π’ качСствС эквивалСнтных, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стСпСнныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° . Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . РаскрываСм Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Лопиталя.
.
Если ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ , Ρ‚ΠΎ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.
Π’ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, примСняя Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ :
.
ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° .

НайдСм ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ :
.
ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ эквивалСнтными функциями:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° эквивалСнтныС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли функция, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ищСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эквивалСнтными функциями. Π’Π°ΠΊ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ с самого Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ln (1+x) Π½Π° x, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ.

Использованная Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°:
Π›.Π”. ΠšΡƒΠ΄Ρ€ΡΠ²Ρ†Π΅Π², А.Π”. ΠšΡƒΡ‚Π°ΡΠΎΠ², Π’.И. Π§Π΅Ρ…Π»ΠΎΠ², М.И. Π¨Π°Π±ΡƒΠ½ΠΈΠ½. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ матСматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ. Π’ΠΎΠΌ 1. Москва, 2003.

Автор: ОлСг ΠžΠ΄ΠΈΠ½Ρ†ΠΎΠ² . ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ: 10-05-2019

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ξ± ( x ) ΠΈ Ξ² ( x ) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x β†’ x 0 , Π° lim x β†’ x 0 Ξ± ( x ) = 0 ΠΈ lim x β†’ x 0 Ξ² ( x ) = 0 .

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ξ± ( x ) ΠΈ Ξ² ( x ) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ эквивалСнтно бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x β†’ x 0 , Π° lim x β†’ x 0 Ξ± ( x ) Ξ² ( x ) = 1 .

Для нахоТдСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…. Π˜Ρ… проводят, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…

Когда ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ξ± ( x ) ΠΊΠ°ΠΊ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ x β†’ x 0 .

sin ( Ξ± ( x ) )эквивалСнтнаα ( x )
t g ( Ξ± ( x ) )эквивалСнтнаα ( x )
a r c sin ( Ξ± ( x ) )эквивалСнтнаα ( x )
a r c t g ( Ξ± ( x ) )эквивалСнтнаα ( x )
1 – cos ( Ξ± ( x ) )эквивалСнтнаα ( x ) 2 2
ln ( 1 + Ξ± ( x ) )эквивалСнтнаα ( x )
Ξ± Ξ± ( x ) – 1эквивалСнтнаα ( x ) ln Ξ±
1 + Ξ± ( x ) p – 1эквивалСнтнаp Ξ± ( x )
1 + Ξ± ( x ) 1 p – 1эквивалСнтнаα ( x ) p

Для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° эквивалСнтности ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° равСнствС lim x β†’ x 0 Ξ± ( x ) Ξ² ( x ) = 1 .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) ΠΈ Ξ± ( x ) .

НСобходимо Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ lim x β†’ x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) .

ΠŸΡ€ΠΈ использовании ΠΎΠ΄Π½ΠΎ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

lim x β†’ x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = 1 Ξ± ( x ) ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x )

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π²ΠΈΠ΄Π°

lim x β†’ x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x )

ЛогарифмичСская функция считаСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° своСй области опрСдСлСния, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ свойство ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

lim x β†’ x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x ) = ln lim x β†’ x 0 1 + Ξ± ( x ) 1 a ( x )

НСобходимо произвСсти Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… t = Ξ± ( x ) . ИмССм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ± ( x ) являСтся бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с x β†’ x 0 , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° lim x β†’ x 0 a ( x ) = 0 . ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ t β†’ 0 .

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

lim x β†’ x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x ) = ln lim x β†’ x 0 1 + Ξ± ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t β†’ 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: lim x β†’ x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = 1

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1 Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ эквивалСнтны. ΠŸΡ€ΠΈ послСднСм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ примСняли Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π».

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° для ускорСния процСсса вычислСния.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ lim x β†’ 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ подстановка Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

lim x β†’ 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = 1 – cos ( 4 Β· 0 2 ) 16 Β· 0 4 = ” open=” 0 0

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция бСсконСчно малая ΠΈ для Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция 1 – cos Ξ± ( x ) являСтся эквивалСнтной Ξ± ( x ) 2 2 , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 – cos ( 4 x 2 ) являСтся эквивалСнтной 4 x 2 2 2 .

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΅Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

lim x β†’ 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x β†’ 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x β†’ 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2

Π‘Π΅Π· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ эквивалСнтных бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Лопиталя. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

lim x β†’ 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x β†’ 0 1 – cos ( 4 x 2 ) β€˜ 16 x 4 β€˜ = lim x β†’ 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x β†’ 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = ” open=” 0 0 = lim x β†’ 0 sin 4 x 2 β€˜ 8 x 2 β€˜ = lim x β†’ 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x β†’ 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2

МоТно Π±Ρ‹Π»ΠΎ произвСсти ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

lim x β†’ 0 1 – cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x β†’ 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x β†’ 0 1 2 Β· sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 Β· sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x β†’ 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 Β· lim x β†’ 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = ΠΏ Ρƒ с Ρ‚ ь t = 2 x 2 , t β†’ 0 ΠΏ Ρ€ ΠΈ x β†’ 0 = 1 2 lim t β†’ 0 sin ( t ) t Β· lim t β†’ 0 sin ( t ) t = 1 2 Β· 1 Β· 1 = 1 2

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π». РСшСниС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» (основной тригономСтричСский ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π») ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ряд Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²: {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\tg x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arctg x}}{x} = 1.}

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{7x}}{{\sin 5x}}\normalsize .

РСшСниС.
L = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{7x}}{{\sin 5x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{5 \cdot 7x}}{{5\sin 5x}} } = {\frac{7}{5}\lim\limits_{x \to 0} \frac{{5x}}{{\sin 5x}} } = {\frac{7}{5}\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}} } = {\frac{7}{5}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} 1}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}}.2}}} } = {- 2\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{x} } = {- 2 \cdot 1 \cdot \lim\limits_{2x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}} } = {- 2 \cdot 4\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{4x}} = β€” 8.}

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin7x β€” \sin 5x}}{{\sin x}}\normalsize .

РСшСниС.
Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ тригономСтричСскоС тоТдСство: \sin x β€” \sin y = 2\sin \frac{{x β€” y}}{2}\cos \frac{{x + y}}{2}. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin7x β€” \sin 5x}}{{\sin x}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \large\frac{{7x β€” 5x}}{2}\normalsize\cos \large\frac{{7x + 5x}}{2}\normalsize}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin x\cos 6x}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 6x} \right).} ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ \cos{6x} являСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0 , Ρ‚ΠΎ \lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 6x} \right) = {2\lim\limits_{x \to 0} \cos 6x } = {2 \cdot \cos \left( {4 \cdot 0} \right) = 2 \cdot 1 = 2.2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.} Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΡ‡Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° x \to 0 Π½Π° \large\frac {x}{2}\normalsize \to 0 .

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, основаниС, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ числа b ΠΏΠΎ основанию Π° называСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти число Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число b.

Если , Ρ‚ΠΎ .

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ ваТная матСматичСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ логарифмичСскоС исчислСниС позволяСт Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с показатСлями, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ расчСту.

Π’ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π΅

ВсС свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² связаны Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ со свойствами ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. НапримСр, Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ со стСпСнями.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ тоТдСства:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ основныС алгСбраичСскиС выраТСния:

;

.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ x>0, xβ‰ 1, y>0.

ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°Π΅ΠΌΡΡ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с вопросом, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ интСрСс Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² основании число Β«10Β», ΠΈ носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ «дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΒ». Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ называСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ОснованиС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° β€” число Β«Π΅Β». ИмСнно ΠΎ Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ:

  • lg x β€” дСсятичный;
  • ln x β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ тоТдСство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ln e = 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ lg 10=1.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° стандартным классичСским способом ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ строим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Однако, Π΅ΡΡ‚ΡŒ смысл научится ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Β«Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

Ѐункция: y = ln x. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

Поясним, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ…. Всё Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² тоТдСствС: . Для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° это тоТдСство Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Для удобства ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ:

;

;

.

;

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, подсчСт Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² β€” довольно нСслоТноС занятиС, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ подсчСты ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ со стСпСнями, прСвращая ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ² ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (Ρ‚.Π΅. всС допустимыС значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π₯) β€” всС числа большС нуля.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! Π’ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° входят Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа! Π’ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ…=0. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ исходя ΠΈΠ· условий сущСствования Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° .

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ‚.Π΅. всС допустимыС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = ln x) β€” всС числа Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ .

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ log

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ вопрос β€” ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя функция ΠΏΡ€ΠΈ y

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ стрСмится ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡ΡŒ ось Ρƒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ смоТСт этого ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ log ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π˜ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ основаниС. ИмСнно поэтому ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ любой Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ основанию Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹.

НачнСм с логарифмичСского тоТдСства:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° любоС число, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Π³Π΄Π΅ Ρ… β€” любоС число (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ согласно свойствам Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°).

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ это ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания z:

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ свойством (Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ вмСсто «с» Ρƒ нас Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅):

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

.

Π’ частности, Ссли z=e, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

.

Нам ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ основанию Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

РСшаСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°Ρ…, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1 . НСобходимо Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ln x = 3.

РСшСниС: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: Ссли , Ρ‚ΠΎ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2 . Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5 + 3 * ln (x β€” 3)) = 3.

РСшСниС: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: Ссли , Ρ‚ΠΎ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

.

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

.

МоТно ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ подстановку: t = ln x. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. НайдСм Π΅Π³ΠΎ дискриминант:

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния:

.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния:

.

Вспоминая ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ подстановку t = ln x, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π’ статистикС ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятности логарифмичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вСдь число Π΅ β€” Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏ роста ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

Π’ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… машин, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ довольно часто, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² памяти N понадобится Π±ΠΈΡ‚ΠΎΠ².

Π’ тСориях Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈ размСрностях Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ постоянно, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ размСрности Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ.

Π’ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ использовались Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. БаромСтричСскоС распрСдСлСниС, всС ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡ‹ статистичСской Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Циолковского ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅Π΅ β€” процСссы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ матСматичСски ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ логарифмирования.

Π’ Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π² уравнСниях НСрнста, описаниях ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… процСссов.

ΠŸΠΎΡ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅, с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ количСство частСй ΠΎΠΊΡ‚Π°Π²Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹.

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Ѐункция y=ln x Π΅Π΅ свойства

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ основного свойства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа b ΠΏΠΎ основанию a (a>0, a Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число с, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a β‰  1, b > 0) &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² основании Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1. НапримСр, Ссли ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ -2 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ число 4, Π½ΠΎ это Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию -2 ΠΎΡ‚ 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2.

ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство a log a b = b (a > 0, a β‰  1) (2)

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ области опрСдСлСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ частСй этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ b>0, a>0 ΠΈ a β‰  1. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом b, Π° ΠΎΡ‚ a Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½Π΅ зависит. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ основного логарифмичСского “тоТдСства” ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ измСнСнию ΠžΠ”Π—.

Π”Π²Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слСдствия опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° log a a = 1 (a > 0, a β‰  1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a β‰  1) (4)

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ числа a Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС число, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a β‰  1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b βˆ’ log a c (a > 0, a β‰  1, b > 0, c > 0) (6)

Π₯ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π΅Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ школьников ΠΎΡ‚ Π±Π΅Π·Π΄ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ примСнСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΡ… использовании “слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ” происходит суТСниС ΠžΠ”Π—, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ произвСдСния ΠΈΠ»ΠΈ частного – Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠžΠ”Π—.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log a (f (x) g (x)) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… случаях: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ строго ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x) ΠΈ g(x) ΠΎΠ±Π΅ мСньшС нуля.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² сумму log a f (x) + log a g (x) , ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ случаСм, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x)>0 ΠΈ g(x)>0. Налицо суТСниС области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° это катСгоричСски нСдопустимо, Ρ‚. ΠΊ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Аналогичная ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° сущСствуСт ΠΈ для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (6).

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° log a b p = p log a b (a > 0, a β‰  1, b > 0) (7)

И вновь Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ аккуратности. Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях f(Ρ…), ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ – Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ f(x)>0! Вынося ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΌΡ‹ вновь суТаСм ΠžΠ”Π—. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ВсС эти замСчания относятся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ стСпСни 2, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊ любой Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию log a b = log c b log c a (a > 0, a β‰  1, b > 0, c > 0, c β‰  1) (8)

Π’ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΈΠΉ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠžΠ”Π— Π½Π΅ измСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. Если Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ основаниС с (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1), Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ бСзопасной.

Если Π² качСствС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ основания с Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ число b, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a β‰  1, b > 0, b β‰  1) (9)

НСсколько простых ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ВычислитС: lg2 + lg50.
РСшСниС. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ΠœΡ‹ воспользовались Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ суммы Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² (5) ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ВычислитС: lg125/lg5.
РСшСниС. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. ΠœΡ‹ использовали Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию (8).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», связанных с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ
a log a b = b (a > 0, a β‰  1)
log a a = 1 (a > 0, a β‰  1)
log a 1 = 0 (a > 0, a β‰  1)
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a β‰  1, b > 0, c > 0)
log a b c = log a b βˆ’ log a c (a > 0, a β‰  1, b > 0, c > 0)
log a b p = p log a b (a > 0, a β‰  1, b > 0)
log a b = log c b log c a (a > 0, a β‰  1, b > 0, c > 0, c β‰  1)
log a b = 1 log b a (a > 0, a β‰  1, b > 0, b β‰  1)

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Ѐункция ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ приблиТаСтся ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ x ΠΈ быстро приблиТаСтся ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x стрСмится ΠΊ 0 (Β«ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΒ» ΠΈ «быстро» ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с любой стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ x ).

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ – это Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию , Π³Π΄Π΅ e – ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ константа, равная ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 2,718281 828 . ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ln(x ), log e (x ) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° просто log(x ), Ссли основаниС e подразумСваСтся.

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа x (записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ ln(x) ) – это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти число e , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ x . НапримСр, ln(7,389…) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ e 2 =7,389… . ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ самого числа e (ln(e) ) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ e 1 = e , Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 1 (ln(1) ) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ e 0 = 1.

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ для любого ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вСщСствСнного числа a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1/x ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ a . ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ‚Π° этого опрСдСлСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ согласуСтся со ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… примСняСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»Π° ΠΊ появлСнию названия Β«Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΒ». Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° комплСксныС числа , ΠΎ Ρ‡Ρ‘ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сказано Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ тоТдСствам:

Подобно всСм Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌ, Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² слоТСниС:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, логарифмичСская функция прСдставляСт собой ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ умноТСния Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ вСщСствСнных чисСл ΠΏΠΎ слоТСнию, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ для любого ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ 1, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для e , Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… оснований ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ постоянным ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… нСизвСстныС ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² качСствС показатСля стСпСни. НапримСр, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для нахоТдСния постоянной распада для извСстного ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° полураспада, ΠΈΠ»ΠΈ для нахоТдСния Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ распада Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ радиоактивности . Они ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… областях ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² сфСрС финансов для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ слоТных ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° сдСлал Николас ΠœΠ΅Ρ€ΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Logarithmotechnia , ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1668 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ , хотя ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π”ΠΆΠΎΠ½ Π‘ΠΏΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π»Π» Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² 1619 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ составил Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π Π°Π½Π΅Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ гипСрболичСским Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ соотвСтствуСт ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. Иногда Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ НСпСра, хотя ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ смысл этого Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° Π±Ρ‹Π» нСсколько Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

ΠšΠΎΠ½Π²Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ± обозначСниях

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ принято ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Β«ln(x )Β», Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10 – Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Β«lg(x )Β», Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ основания принято ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ явно ΠΏΡ€ΠΈ символС Β«logΒ».

Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… ΠΏΠΎ дискрСтной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«log(x )Β» для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎ основанию 2, Π½ΠΎ это соглашСниС Π½Π΅ являСтся общСпринятым ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΡŠΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² спискС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ (ΠΏΡ€ΠΈ отсутствии Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ списка) сноской ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ использовании.

Π‘ΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² (Ссли это Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹) ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ нСпосрСдствСнно ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΡƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: ln 2 ln 3 4x 5 = [ ln( 3 )] 2 .

Англо-амСриканская систСма

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, статистики ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ для обозначСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Β«log(x )Β», Π»ΠΈΠ±ΠΎ Β«ln(x )Β» , Π° для обозначСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию 10 – Β«log 10 (x )Β».

НСкоторыС ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Ρ‹, Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ спСциалисты всСгда ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ Β«ln(x )Β» (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠ° Β«log e (x )Β»), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π° запись Β«log(x )Β» Ρƒ Π½ΠΈΡ… ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ log 10 (x ).

log e являСтся Β«Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΒ» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ автоматичСски ΠΈ появляСтся Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто. НапримСр, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Если основаниС b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ e , Ρ‚ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° просто 1/x , Π° ΠΏΡ€ΠΈ x = 1 эта производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ обоснованиСм, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ основаниС e Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ довольно просто ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… простого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ ряда Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° , Ρ‡Π΅Π³ΠΎ нСльзя ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°Ρ….

Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ обоснования Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅ связаны со счислСниСм. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько простых рядов с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠŸΡŒΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎ МСнголи ΠΈ Николай ΠœΠ΅Ρ€ΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ… логарифмус натуралис нСсколько дСсятилСтий Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ ΠΈ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ln(a ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° 1/x ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ a , Ρ‚. Π΅. ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» :

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ удовлСтворяСт Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ свойству Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, допуская ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ЧислСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Для расчСта числСнного значСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ сходимости, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ тоТдСством:

ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y = (x βˆ’1)/(x +1) ΠΈ x > 0.

Для ln(x ), Π³Π΄Π΅ x > 1, Ρ‡Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΊ 1, Ρ‚Π΅ΠΌ быстрСС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ сходимости. ВоТдСства, связанныС с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для достиТСния Ρ†Π΅Π»ΠΈ:

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΄ΠΎ появлСния ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ использовались числовыС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ манипуляции, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

Высокая Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Для вычислСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° с большим количСством Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ точности ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ являСтся эффСктивным, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ мСдлСнная. ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΉ являСтся использованиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ряд ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ сходится быстрСС.

ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΉ для ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ высокой точности расчёта являСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

Π³Π΄Π΅ M ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-гСомСтричСскоС срСднСС 1 ΠΈ 4/s, ΠΈ

m Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ p Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² точности достигаСтся. (Π’ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ случаСв Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8 для m Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ достаточно.) Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ссли ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° инвСрсия ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° для эффСктивного вычислСния ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. (ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρ‹ ln 2 ΠΈ ΠΏΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ вычислСны Π΄ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ точности, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ любой ΠΈΠ· извСстных быстро сходящихся рядов.)

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² (с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-гСомСтричСского срСднСго) Ρ€Π°Π²Π½Π° O(M (n ) ln n ). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ n – число Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ точности, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½Π΅Π½, Π° M (n ) – Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… n -Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл.

НСпрСрывныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

Π₯отя для прСдставлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ простыС Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ , Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС:

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π° Π΄ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ комплСксноС число Π²ΠΈΠ΄Π° e x для любого ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа x , ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ бСсконСчный ряд с комплСксным x . Π­Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π° с ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ комплСксного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ большСй Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ свойств ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π•ΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΄Π²Π΅ трудности: Π½Π΅ сущСствуСт x , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ e x = 0, ΠΈ оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ e 2Ο€i = 1 = e 0 . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ свойство ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для комплСксной ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ e z = e z +2nΟ€i для всСх комплСксных z ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… n .

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ Π½Π° всСй комплСксной плоскости , ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ½ являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ – любой комплСксный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‘Π½ Π½Π° «эквивалСнтный» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ 2Ο€i . ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° срСзС комплСксной плоскости. НапримСр, ln i = 1/2 Ο€i ΠΈΠ»ΠΈ 5/2 Ο€i ΠΈΠ»ΠΈ βˆ’3/2 Ο€i , ΠΈ Ρ‚.Π΄., ΠΈ хотя i 4 = 1, 4 log i ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2Ο€i , ΠΈΠ»ΠΈ 10Ο€i ΠΈΠ»ΠΈ βˆ’6 Ο€i , ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

  • Π”ΠΆΠΎΠ½ НСпСр – ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ

  1. Mathematics for physical chemistry . – 3rd. – Academic Press, 2005. – P. 9. – ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
  2. J J O”Connor and E F Robertson The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (ΡΠ΅Π½Ρ‚ΡΠ±Ρ€ΡŒ 2001). Архивировано
  3. Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . – AMS Bookstore, 1991. – P. 152. – ISBN 0821821024
  4. Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . Архивировано ΠΈΠ· пСрвоисточника 12 фСвраля 2012.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ?

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅!
К этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅
ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π² Особом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 555.
Для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ сильно “Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ…”
И для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ “ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅…”)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ? Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹? Π­Ρ‚ΠΈ вопросы ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… выпускников вводят Π² ступор. Π’Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² считаСтся слоТной, нСпонятной ΠΈ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠΉ. ОсобСнно – уравнСния с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ! НС Π²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅? Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ. БСйчас, Π·Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ 10 – 20 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹:

1. ΠŸΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ .

2. ΠΠ°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ класс ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π”Π°ΠΆΠ΅ Ссли Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎ Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Π»ΠΈ.

3. ΠΠ°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ простыС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ для этого Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ умноТСния, Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ возводится число Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ…

Π§ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽ, ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹… Ну Π»Π°Π΄Π½ΠΎ, засСкайтС врСмя! ΠŸΠΎΠ΅Ρ…Π°Π»ΠΈ!

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² ΡƒΠΌΠ΅ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Если Π’Π°ΠΌ нравится этот сайт…

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, Ρƒ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ‡ΠΊΠ° интСрСсных сайтов для Вас.)

МоТно ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ свой ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. ВСстированиС с ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ. Учимся – с интСрСсом!)

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с функциями ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Как извСстно, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ со стСпСнями ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ всСгда ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ (a b *a c = a b+c). Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ матСматичСский Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ АрхимСдом, Π° ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π² VIII Π²Π΅ΠΊΠ΅, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ВирасСн создал Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. ИмСнно ΠΎΠ½ΠΈ послуТили для дальнСйшСго открытия Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ практичСски Π²Π΅Π·Π΄Π΅, Π³Π΄Π΅ трСбуСтся ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простоС слоТСниС. Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ 10 Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ, ΠΌΡ‹ Π²Π°ΠΌ объясним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ с Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΈ доступным языком.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ называСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: log a b=c, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ любого Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ любого ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) “b” ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ основанию “a” считаСтся ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ “c”, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ возвСсти основаниС “a”, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ “b”. Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…, допустим, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log 2 8. Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚? ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ· 2 Π² искомой стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 8. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π² Π² ΡƒΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ расчСты, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ число 3! И Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, вСдь 2 Π² стСпСни 3 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ число 8.

Разновидности Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ студСнтов эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° каТСтся слоТной ΠΈ нСпонятной, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Ρ‹, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ – ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΈΡ… смысл ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… свойста ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°. БущСствуСт Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄Π° логарифмичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

  1. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ln a, Π³Π΄Π΅ основаниСм являСтся число Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° (e = 2,7).
  2. ДСсятичный a, Π³Π΄Π΅ основаниСм слуТит число 10.
  3. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ любого числа b ΠΏΠΎ основанию a>1.

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ стандартным способом, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² сСбя ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, сокращСниС ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ логарифмичСских Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ. Для получСния Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… свойства ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ дСйствий ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ….

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ограничСния

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ сущСствуСт нСсколько ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»-ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ аксиома, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ истиной. НапримСр, нСльзя числа Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ноль, Π° Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ свои ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, слСдуя ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π΅ΠΌΠΊΠΈΠΌΠΈ логарифмичСскими выраТСниями:

  • основаниС “a” всСгда Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС нуля, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 1, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ потСряСт свой смысл, вСдь “1” ΠΈ “0” Π² любой стСпСни всСгда Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ своим значСниям;
  • Ссли Π° > 0, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π° b >0, получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ “с” Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС нуля.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹?

К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Π΄Π°Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ уравнСния 10 Ρ… = 100. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, возвСдя Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ число Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 100. Π­Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, 10 2 =100.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ прСдставим Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ логарифмичСского. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ log 10 100 = 2. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² всС дСйствия практичСски сходятся ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ввСсти основаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число.

Для Π±Π΅Π·ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлСния значСнияя нСизвСстной стСпСни Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ стСпСнСй. Выглядит ΠΎΠ½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ, Ссли имССтся тСхничСский склад ΡƒΠΌΠ° ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния. Однако для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ потрСбуСтся Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° стСпСнСй. Π•ΡŽ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅, ΠΊΡ‚ΠΎ совсСм Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ смыслит Π² слоТных матСматичСских Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ…. Π’ Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ столбцС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ числа (основаниС a), Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ ряд чисСл – это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни c, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ возводится число a. На пСрСсСчСнии Π² ячСйках ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ значСния чисСл, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ (a c =b). Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ячСйку с числом 10 ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 100, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° пСрСсСчСнии Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ячССк. ВсС Ρ‚Π°ΠΊ просто ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ Π΄Π°ΠΆΠ΅ самый настоящий Π³ΡƒΠΌΠ°Π½ΠΈΡ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ!

УравнСния ΠΈ нСравСнства

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… условиях ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни – это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ матСматичСскиС числСнныС выраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ логарифмичСского равСнства. НапримСр, 3 4 =81 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° числа 81 ΠΏΠΎ основанию 3, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ (log 3 81 = 4). Для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅: 2 -5 = 1/32 запишСм Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ log 2 (1/32) = -5. Одной ΠΈΠ· самых ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ являСтся Ρ‚Π΅ΠΌΠ° “Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹”. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ рассмотрим Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ΅, сразу ΠΆΠ΅ послС изучСния ΠΈΡ… свойств. А сСйчас Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ выглядят нСравСнства ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π”Π°Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: log 2 (x-1) > 3 – ΠΎΠ½ΠΎ являСтся логарифмичСским нСравСнством, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ нСизвСстноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ “Ρ…” находится ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹: Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ искомого числа ΠΏΠΎ основанию Π΄Π²Π° большС, Ρ‡Π΅ΠΌ число Ρ‚Ρ€ΠΈ.

Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ логарифмичСскими уравнСниями ΠΈ нСравСнствами Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ уравнСния с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ – Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 2 x = √9) ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… числовых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ нСравСнства ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Как слСдствиС, Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ получаСтся Π½Π΅ простоС мноТСство ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ уравнСния, Π° Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΉ ряд ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ чисСл.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°Ρ…

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Π΅Π³ΠΎ свойства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ. Однако ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ Π·Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎ логарифмичСских уравнСниях ΠΈΠ»ΠΈ нСравСнствах, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ всС основныС свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π‘ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ познакомимся ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сначала Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ свойство Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ.

  1. ОсновноС тоТдСство выглядит Ρ‚Π°ΠΊ: Π° logaB =B. Оно примСняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ условии, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π° большС 0, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ ΠΈ B большС нуля.
  2. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ условиСм являСтся: d, s 1 ΠΈ s 2 > 0; Π°β‰ 1. МоТно привСсти Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ для этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ log a s 1 = f 1 ΠΈ log a s 2 = f 2 , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° a f1 = s 1 , a f2 = s 2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства стСпСнСй), Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.
  3. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ частного выглядит Ρ‚Π°ΠΊ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 – log a s 2.
  4. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄: log a q b n = n/q log a b.

НазываСтся эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° “свойством стСпСни Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°”. Она Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ собой свойства ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй, ΠΈ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вСдь вся ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° дСрТится Π½Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… постулатах. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ log a b = t, получаСтся a t =b. Если возвСсти ΠΎΠ±Π΅ части Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ m: a tn = b n ;

Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ a tn = (a q) nt/q = b n , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ log a q b n = (n*t)/t, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° log a q b n = n/q log a b. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ нСравСнств

Π‘Π°ΠΌΡ‹Π΅ распространСнныС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств. Они Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ практичСски Π²ΠΎ всСх Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ входят Π² ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ экзамСнов ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Для поступлСния Π² унивСрситСт ΠΈΠ»ΠΈ сдачи Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… испытаний ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ задания.

К соТалСнию, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ схСмы ΠΏΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ нСизвСстного значСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π΅ сущСствуСт, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ матСматичСскому нСравСнству ΠΈΠ»ΠΈ логарифмичСскому ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго слСдуСт Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ привСсти ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅ логарифмичСскиС выраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ссли ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… свойства. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ скорСС с Π½ΠΈΠΌΠΈ познакомимся.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΆΠ΅ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, слСдуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΈΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ выраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ дСсятичный.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ln100, ln1026. Π˜Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сводится ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ основаниС 10 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 100 ΠΈ 1026 соотвСтствСнно. Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ логарифмичСскиС тоТдСства ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΈΡ… свойства. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… рассмотрим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ логарифмичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

Как ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²: с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования основных Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°Ρ….

  1. Бвойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° произвСдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π² заданиях, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа b Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простыС сомноТитСли. НапримСр, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, примСняя Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ свойство стСпСни Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд слоТноС ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НСобходимо всСго лишь Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ основаниС Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вынСсти значСния стСпСни ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Задания ΠΈΠ· Π•Π“Π­

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экзамСнах, особСнно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ логарифмичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² Π•Π“Π­ (государствСнный экзамСн для всСх выпускников школ). ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ эти задания ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² части А (самая лСгкая тСстовая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ экзамСна), Π½ΠΎ ΠΈ Π² части Π‘ (самыС слоТныС ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ задания). Π­ΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ идСальноС Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ “ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹”.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ взяты ΠΈΠ· ΠΎΡ„ΠΈΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π•Π“Π­. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ задания.

Π”Π°Π½ΠΎ log 2 (2x-1) = 4. РСшСниС:
ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2x-1 = 2 4 , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 2x = 17; x = 8,5.

  • ВсС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ.
  • ВсС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, стоящиС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, поэтому ΠΏΡ€ΠΈ вынСсСнии ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ показатСля стСпСни выраТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ стоит ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Π² качСствС Π΅Π³ΠΎ основания, ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I – ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ бСсконСчности, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ II

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ мобильноС ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ

Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, Π½ΠΎ я Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π» ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ всСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΈ сСрвСры Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ тСхничСскоС обслуТиваниС 17 ΠΈ 18 мая с 8:00 AM CST Π΄ΠΎ 14:00 PM CST.Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π΄Π΅ΡΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнноС нСудобство Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² пСриодичСской ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€Π΅ / Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π΅ соСдинСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ слСдуСт ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΠ² страницу. Π’ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ обслуТиваниС (скрСстив ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Ρ‹) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Β«Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΒ» для всСх.

Пол
6 мая 2021 г.

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ устройство с “ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉ” ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ экрана (, Ρ‚.Π΅. , вСроятно, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½). Из-Π·Π° особСнностСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° этом сайтС Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅.Если вашС устройство Π½Π΅ находится Π² альбомном Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ уравнСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ сбоку ΠΎΡ‚ вашСго устройства (Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ элСмСнты мСню Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ экрана.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 2-8: ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Π½Π° бСсконСчности, Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ II

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрСли ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ бСсконСчности ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.{- x}} = \ infty \]

Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ этого ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ экспонСнты стрСмится ΠΊ бСсконСчности Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅, Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ стрСмится ΠΊ бСсконСчности Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, Ссли ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни стрСмится ΠΊ минус бСсконСчности Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° экспонСнта стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² послСднСм Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π° Π½Π΅ зависСло ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΠ»ΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π° плюс ΠΈΠ»ΠΈ минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° бСсконСчности ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, поэтому Π½Π΅ Π·Π°Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ прСдполоТСниях, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅!

Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… эти ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ.{- 15x}}} \ right) \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, СдинствСнноС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими двумя ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ плюсовой бСсконСчности, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ – ΠΊ минус бСсконСчности. К этому ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΌΡ‹ смогли Β«ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ» Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π² части Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. Π‘ экспонСнтами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ часто Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· этих Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹.{- 15x}}} \ right) = \ infty – \ infty + \ infty + 0 – 0 \]

ПослСдниС Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ (ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ части; Π²Ρ‹ это ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅?). Однако ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ с наибольшим ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΌ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сдСлаСм Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС здСсь. Однако Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ «наибольшим» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.{- 25x}}} \ right)} \ right] \]

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ всС ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ экспонСнты Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для этого ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° (, Ρ‚. {- 15x}}} \ right) = 0 – 0 + 0 + \ infty – \ infty \]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, послСдниС Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ снова ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.{- 15x}}} \ right) = – \ infty \]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, имСя Π΄Π΅Π»ΠΎ с суммами ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ разностями ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ экспонСнту с «наибольшим» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ здСсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «наибольший» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ нуля. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π° плюс Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ экспонСнты с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹, поэтому это СдинствСнныС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ наибольшСго показатСля. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, Ссли ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π° минус бСсконСчности, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ экспонСнты с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹, ΠΈ поэтому Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ наибольшСго показатСля.

НаконСц, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, имСя Π΄Π΅Π»ΠΎ с суммой ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ экспонСнт, всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ экспонСнту, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСго выраТСния. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, помня, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ плюс бСсконСчности, ΠΌΡ‹ смотрим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ экспонСнты с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями, Π° Ссли ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» минус бСсконСчности, ΠΌΡ‹ смотрим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ экспонСнты с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ экспонСнты.{- x}}}} \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Основная концСпция, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, такая ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² случаС с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ выраТСниями Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. ΠœΡ‹ смотрим Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ опрСдСляСм ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с «наибольшим» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числитСля ΠΈ знамСнатСля. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ рассуТдСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, для опрСдСлСния «наибольшСго» показатСля. Π’ этом случаС, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π° плюс Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ смотрим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° экспонСнты с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.{- x}}}} \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ собираСмся Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ поэтому ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° экспонСнты Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ «наибольшСго» показатСля. Однако Π² этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, поэтому ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. НЕ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ экспонСнту Π² числитСлС, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΎΠ½Π° «большС», Ρ‡Π΅ΠΌ экспонСнта Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. ΠœΡ‹ всСгда смотрим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° опрСдСляСм, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½Π΅ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит Π² числитСлС.+}} \ ln x = – \ infty \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} \ ln x = \ infty \]

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ правостороннСС ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ \ (x \) Π² Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° \ (x \) ’с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон рассматриваСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° \ (x \)’ слСва ΠΎΡ‚ нуля ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Из ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π° (Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π») стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ справа ( i.Π΅. {- 1}} x \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Как ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ тангСнса.{- 1}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = – \ frac {\ pi} {2} \]

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ матСматичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°, см. Π Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Β» Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹.

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с основаниСм \ (e, \), Π³Π΄Π΅ \ (e \) – ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \ (2.718281828 \ ldots, \), Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ \ (x \) обозначаСтся \ (\ ln x. \) ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅.y} = \ ln x, \; \;} \ Rightarrow
{y \ ln a = \ ln x, \; \;} \ Rightarrow
{y = \ frac {1} {{\ ln a}} \ ln x, \; \;} \ Rightarrow
{{\ log _a} x = \ frac {{\ ln x}} {{\ ln a}}.}
\]

ПослСдняя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа \ (x \) с основаниСм \ (a \) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ этого числа. ПолоТив \ (x = e, \), ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

\ [{\ log _a} e = \ frac {1} {{\ ln a}} \ ln e = \ frac {1} {{\ ln a}}. \]

Если \ (a = 10, \), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\ [{{\ log _ {10}} x = \ lg x = M \, {\ ln x}, \; \; \;} \ kern-0.3pt
{\ text {where} \; \; M = \ frac {1} {{\ ln a}} = \ lg e} \ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ {0,43429 \ ldots}
\]

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ связь:

\ [{\ ln x = \ frac {1} {M} \ lg x, \; \; \;} \ kern-0.3pt
{\ text {where} \; \; \ frac {1} {M }} = {\ ln 10} \ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ {2.30258 \ ldots}
\]

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ \ (y = \ ln x \) ΠΈ \ (y = \ lg x \) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π° рисункС \ (1. \)

Рисунок 1.

Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹

Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

ВычислитС \ (\ ln {\ large \ frac {1} {{\ sqrt e}} \ normalsize}.\)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ: \ ({\ large \ frac {1} {3} \ normalsize} \ ln \ left ({x – 1} \ right) – {{\ large \ frac {1} {2} \ normalsize} \ ln \ left ({x + 1} \ right)} + {2 \ ln x}. \)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (y = \ ln \ left ({x + 1} \ right) – 1. \)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (y = \ left | {\ ln x} \ right |. \)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (y = \ left | {\ ln \ left | x \ right |} \ right |.2} \ sqrt [3] {{x – 1}}}} {{\ sqrt {x + 1}}}.}
\]

1.5 Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ΠΎΠΌ 1

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ.
  • ΠžΡΠΎΠ·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа.
  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ логарифмичСскими функциями.
  • ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм.
  • Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ основныС тоТдСства.

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ исслСдуСм ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ свойства этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ логарифмичСскиС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ числа. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ опрСдСляСм гипСрболичСскиС ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. (ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ прСдставляСм Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ опрСдСлСния ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ Β«ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉΒ» ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ свойства Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… опрСдСлСниях.)

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… прилоТСниях. Один ΠΈΠ· распространСнных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² – рост насСлСния.

НапримСр, Ссли популяция начинаСтся с особСй, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ растСт с Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π΅Π΅ популяция Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 Π³ΠΎΠ΄ составляСт

. .

НасСлСниС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 2 Π³ΠΎΠ΄Π° –

.

Π’ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ насСлСниС ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠΈ Π»Π΅Ρ‚

. ,

, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС, любая функция Π²ΠΈΠ΄Π°, Π³Π΄Π΅, являСтся ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с основаниСм ΠΈ экспонСнтой .ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ постоянныС основания ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ константы – это Π½Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Π° стСпСнная функция.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ сравниваСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ. На (Рисунок) ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ бСсконСчности ΠΊΠ°ΠΊ. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, становится большС Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈ растСт быстрСС, Ρ‡Π΅ΠΌ. Π’ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ. Линия прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту для.

На (рис.) ΠœΡ‹ построили Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ.

ВычислСниС ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Напомним свойства показатСля стСпСни: Ссли это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ опрСдСляСм (с ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ). Если это ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ ΠΌΡ‹ опрСдСляСм. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ 1. Если – Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ, Π³Π΄Π΅ ΠΈ – Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈ. НапримСр, . Однако ΠΊΠ°ΠΊ опрСдСляСтся, Ссли это ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число? НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄? Π­Ρ‚ΠΎ слишком слоТный вопрос, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ прямо сСйчас; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.На (Рисунок) ΠΌΡ‹ пСрСчисляСм Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ подходящиС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдставлСны значСния для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠœΡ‹ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ становятся всС Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ, значСния становятся всС Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ числу. ΠœΡ‹ опрСдСляСм это число ΠΊΠ°ΠΊ.

ЗначСния для списка Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…
1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 1.414213
2,639 2.65737 2,66475 2,665119 2,665138 2,665143

Рост Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ

РСшСниС

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 6 часов опрСдСляСтся бактСриями. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 10 часов опрСдСляСтся бактСриями. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 24 часа опрСдСляСтся бактСриями.

Учитывая ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ.

РСшСниС

.

ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ часто появляСтся Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прилоТСниях. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это, рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ роста, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·-Π·Π° начислСния слоТных ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° ΡΠ±Π΅Ρ€Π΅Π³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ счСт. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Ρ‹ Π½Π° ΡΠ±Π΅Ρ€Π΅Π³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ счСт с Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ставкой, начисляСмой Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 Π³ΠΎΠ΄

.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 2 Π³ΠΎΠ΄Π°

.

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ сумма ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠΈ Π»Π΅Ρ‚ составляСт

.

Если дСньги Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ 2 Ρ€Π°Π·Π° Π² Π³ΠΎΠ΄, сумма Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΄Π° составляСт

.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 Π³ΠΎΠ΄

.

По ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠΈ Π»Π΅Ρ‚ количСство Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Π½Π° счСту

.

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС, Ссли дСньги Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π· Π² Π³ΠΎΠ΄, сумма Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Π½Π° счСтС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· нСсколько Π»Π΅Ρ‚ опрСдСляСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ

.

Π§Ρ‚ΠΎ происходит ΠΊΠ°ΠΊ? Для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° этот вопрос допустим ΠΈ пишСм

,

ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ as, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ((рисунок)).

ЗначСния as
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
2,5937 2,7048 2,71692 2,71815 2,718268 2,718280

Глядя Π½Π° эту Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число приблиТаСтся ΠΊ числу ΠΎΡ‚ 2,7 Π΄ΠΎ 2,8 as. На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ приблиТаСтся ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ числу ΠΊΠ°ΠΊ.ΠœΡ‹ Π·Π²ΠΎΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ этому Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ. Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой,

.

Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ использована для обозначСния этого числа ΡˆΠ²Π΅ΠΉΡ†Π°Ρ€ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π›Π΅ΠΎΠ½Π°Ρ€Π΄ΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ Π² 1720-Ρ… Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ…. Π₯отя Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π» число, ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… связСй ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ логарифмичСскими функциями. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ этой Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π°Ρ‚ΡŒ дань уваТСния Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½Π° встрСчаСтся Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… областях ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… практичСских прилоТСниях.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ со ΡΠ±Π΅Ρ€Π΅Π³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ счСтом, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΊΠ»Π°Π΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Ρ‹ Π½Π° счСт с Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ставкой, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ начисляСмой, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°.Π­Ρ‚Π° функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ°. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² прилоТСниях часто Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ основаниС, ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ СстСствСнной ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ . Π­Ρ‚Π° функция интСрСсна Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° опрСдСлСния числа, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ обсуТдаСтся Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, увСличиваСтся. На (Рисунок) ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ вмСстС с ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ at. ΠœΡ‹ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅; Π½ΠΎ Π½Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ at – это линия, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Β«Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.Ѐункция являСтся СдинствСнной ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ 1. Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ Π² тСкстС, Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ этого свойства Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π΅ΡΡ‚Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ для использования Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… случаях.

Рис. 3. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ 1 ΠΏΡ€ΠΈ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ нашС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Они пригодятся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ любоС явлСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Π°Ρ€ΡŒΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ pH Π² Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Ρ†ΠΈΠ±Π΅Π»Ρ‹ Π² уровнях Π·Π²ΡƒΠΊΠ°.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°, с Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ обратная функция, называСмая логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с основаниСм . Для любого логарифмичСская функция с основаниСм, обозначСнная, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ удовлСтворяСт

Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли .

НапримСр,

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями,

.

НаиболСС часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ логарифмичСская функция – это функция. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² основС этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΠ½Π° называСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ .Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ обозначСния ΠΈΠ»ΠΈ для обозначСния. НапримСр,

.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ,

,

ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ((Рисунок)).

Рис. 4. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, поэтому ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

На этом сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ дСсятичной логарифмичСской ΡˆΠΊΠ°Π»Ρ‹.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, для любого основания функция симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΌΡ‹ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ((Рисунок)).

Рисунок 5: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ для.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ уравнСния, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим основныС свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Если, ΠΈ – любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ

РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

РСшСниС

РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с логарифмичСскими функциями

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

РСшСниС

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнными ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ log, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ дСсятичным Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ , ΠΈΠ»ΠΈ ln, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ. Однако ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ любого ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ основания. Если Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для вычислСния выраТСния с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π±Π°Π·ΠΎΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ сначала ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Π±Π°Π·Ρ‹.Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ основания, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ записываСм Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… СстСствСнных ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π°

Для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ основания ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с использования стСпСнного свойства логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ это ΠΏΠΎ любой Π±Π°Π·Π΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

.

ОбъСдиняя эти Π΄Π²Π° послСдних равСнства, ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ свойство, ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ. ΠœΡ‹ это ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ. Из ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

β–‘

ΠŸΠ΅Π»Π΅Π½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ столики

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡ‚Ρƒ для вычислСния с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ измСнСния Π±Π°Π·Ρ‹, прСдставлСнной Ρ€Π°Π½Π΅Π΅.

РСшСниС

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΈ:

.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Π±Π°Π·Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡ‚Ρƒ для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ.

ВступлСниС ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π΅: Π¨ΠΊΠ°Π»Π° Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π° для зСмлСтрясСний

Рисунок 6: (ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚: модификация Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π ΠΎΠ±Π±Π° Π₯Π°Π½Π½Π°Π²Π°ΠΊΠ΅Ρ€Π°, NPS)

Π’ 1935 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π§Π°Ρ€Π»ΡŒΠ· Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» ΡˆΠΊΠ°Π»Ρƒ (Π½Ρ‹Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ шкала Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π° ) для измСрСния силы зСмлСтрясСния. Π¨ΠΊΠ°Π»Π° прСдставляСт собой Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡˆΠΊΠ°Π»Ρƒ с основаниСм 10, ΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Рассмотрим ΠΎΠ΄Π½ΠΎ зСмлСтрясСниС с ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ шкалС Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π° ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ зСмлСтрясСниС с ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ шкалС Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π°. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ зСмлСтрясСниС ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ сильнСС, Π½ΠΎ насколько ΠΎΠ½ΠΎ сильнСС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ зСмлСтрясСниС? Одним ΠΈΠ· способов измСрСния интСнсивности зСмлСтрясСния являСтся использованиС сСйсмографа для измСрСния Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ сСйсмичСских Π²ΠΎΠ»Π½.Если – Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°, измСрСнная для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ зСмлСтрясСния, ΠΈ – это Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°, измСрСнная для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ зСмлСтрясСния, Ρ‚ΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… зСмлСтрясСний ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ:

.

Рассмотрим зСмлСтрясСниС силой 8 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ шкалС Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π° ΠΈ зСмлСтрясСниС силой 7 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ шкалС Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

,

, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это Π² 10 Ρ€Π°Π· большС, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ зСмлСтрясСниС Π² 10 Ρ€Π°Π· сильнСС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ зСмлСтрясСния.Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Ссли ΠΎΠ΄Π½ΠΎ зСмлСтрясСниС силой 8 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ шкалС Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π°, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ – 6 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… зСмлСтрясСний удовлСтворяСт ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ зСмлСтрясСниС Π² 100 Ρ€Π°Π· сильнСС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ.

Как ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для сравнСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ силы зСмлСтрясСния ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 9 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ Π² 2011 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈ зСмлСтрясСния ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 7,3 Π½Π° Π“Π°ΠΈΡ‚ΠΈ Π² 2010 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ?

РСшСниС

Для сравнСния зСмлСтрясСний Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π° Π“Π°ΠΈΡ‚ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, прСдставлСнноС Ρ€Π°Π½Π΅Π΅:

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ зСмлСтрясСниС Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π² 50 Ρ€Π°Π· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСнсивным, Ρ‡Π΅ΠΌ зСмлСтрясСниС Π½Π° Π“Π°ΠΈΡ‚ΠΈ.

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ силу зСмлСтрясСния ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 8,4 ΠΈ зСмлСтрясСния ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 7,4.

ЗСмлСтрясСниС ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 8,4 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π² 10 Ρ€Π°Π· сильнСС зСмлСтрясСния ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 7,4.

ГипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ физичСских прилоТСниях, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½ Π½Π° Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠ΅ΠΌΠ±Ρ€Π°Π½.Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ распространСнноС использованиС гипСрболичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – это прСдставлСниС висящСй Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ троса, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстного ΠΊΠ°ΠΊ цСпная связь ((рисунок)). Если ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ниТняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ†Π΅ΠΏΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Π»Π° вдоль оси -оси, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ высоту Ρ†Π΅ΠΏΠΈ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… гипСрболичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ опрСдСляСм гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рис. 7. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒ шСлковой Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π² ΠΏΠ°ΡƒΡ‚ΠΈΠ½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ гипСрболичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Вакая ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° ΠΊ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ тросу, ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠΏΠΎΡ€Π°Ρ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ собствСнным вСсом.(Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: Β«MtpaleyΒ», Wikimedia Commons)

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ГипСрболичСский косинус

ГипСрболичСский синус

ГипСрболичСский тангСнс

ГипСрболичСский косСканс

ГипСрболичСский сСканс

ГипСрболичСский котангСнс

Имя cosh рифмуСтся со словом Β«goshΒ», Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ имя sinh произносится ΠΊΠ°ΠΊ Β«cinchΒ». Tanh , sech , csch ΠΈ coth произносятся ΠΊΠ°ΠΊ tanch, seech, coseech ΠΈ cotanch соотвСтствСнно.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡ‹ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ высота подвСсной Ρ†Π΅ΠΏΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ показанная Π½Π° (Рисунок), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ описана Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… констант ΠΈ.

Но ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ гипСрболичСскими функциями ? Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° этот вопрос, ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ количСствС. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

Π­Ρ‚ΠΎ тоТдСство являСтся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ тригономСтричСского тоТдСства. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅ ((Рисунок)).

Рисунок 8 – Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Из Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΈ. Если ΠΌΡ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠΌ области опрСдСлСния этих Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° всС гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹, ΠΈ ΠΌΡ‹ смоТСм ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сами гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ вывСсти ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ гипСрболичСского синуса,. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

.

УмноТая это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – это Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ частям уравнСния, ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

ВычислСниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

РСшСниС

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ.

РСшСниС

.

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΡ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ послС запятой.

РСшСниС

а. 125 г. 2.24 с. 9,74

РСшСниС

а. 0,01 б. 10000 с. 46,42

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту.

11.

РСшСниС

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ: всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π½Π°

12.

13.

РСшСниС

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ: всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π½Π°

14.

15.

РСшСниС

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ: всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π½Π°

16.

17.

РСшСниС

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ: всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π½Π°

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² эквивалСнтной ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

18.

19.

РСшСниС

20.

21.

РСшСниС

22.

23.

РСшСниС

24.

25.

РСшСниС

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² эквивалСнтной логарифмичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

26.

27.

РСшСниС

28.

29.

РСшСниС

30.

31.

РСшСниС

32.

33.

РСшСниС

34.

35.

РСшСниС

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту.

36.

38.

40.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… упраТнСниях ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ выраТСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы, разности ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ произвСдСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

42.

43.

РСшСниС

44.

45.

РСшСниС

46.

47.

РСшСниС

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

48.

49.

РСшСниС

50.

51.

РСшСниС

52.

53.

РСшСниС

54.

55.

РСшСниС

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ логарифмичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

56.

57.

РСшСниС

58.

59.

РСшСниС

60.

61.

РСшСниС

62.

63.

РСшСниС

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… упраТнСниях ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ основы ΠΈ основаниС 10 ΠΈΠ»ΠΈ основаниС для вычислСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

64.

65.

РСшСниС

66.

67.

РСшСниС

68.

69.

РСшСниС

70. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ выраТСния Π² экспонСнтах ΠΈ ​​упроститС.

Π°.

Π³.

Π³.

Π³.

71. [T] Число Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Π² ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· нСсколько Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ количСство ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 15 Π΄Π½Π΅ΠΉ.

РСшСниС

72. [T] Бпрос (Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ… Π±Π°Ρ€Ρ€Π΅Π»Π΅ΠΉ) Π½Π° Π½Π΅Ρ„Ρ‚ΡŒ Π² Π±ΠΎΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ„Ρ‚ΡŒΡŽ странС задаСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ – Ρ†Π΅Π½Π° (Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°Ρ…) баррСля Π½Π΅Ρ„Ρ‚ΠΈ. НайдитС Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ количСство Π½Π΅Ρ„Ρ‚ΠΈ (с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π° Π±Π°Ρ€Ρ€Π΅Π»Π΅ΠΉ) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Π΅ ΠΎΡ‚ 15 Π΄ΠΎ 20 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ².

73. [T] НакоплСнная сумма инвСстиций Π² Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 100 000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² БША, ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π»Π΅Ρ‚, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ. НайдитС сумму, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ‚.

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 131 653 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½ΠΎ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ‚.

74. [T] Π˜Π½Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ СТСмСсячно, Π΅ΠΆΠ΅ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ – ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ инвСстиции Π²ΠΎ врСмя, – это ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±Ρ‹Π» инвСстирован, – это годовая процСнтная ставка, ΠΈ количСство Ρ€Π°Π· Π² Π³ΠΎΠ΄ Π½Π°Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹.ΠŸΡ€ΠΈ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ставкС 3,5% ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ Π² 100 000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ сумму, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ‚ для начисляСмых ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²: a. Π΅ΠΆΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ, Π±., СТСмСсячно, Π². Π΅ΠΆΠ΅ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ d. Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ.

РСшСниС

ΠΈ. Π°. pH = 8 Π±. Π‘Π°Π·Π° ii. Π°. pH = 3 Π±. ΠšΠΈΡΠ»ΠΎΡ‚Π° iii. Π°. pH = 4 Π±. ΠšΠΈΡΠ»ΠΎΡ‚Π°

76. [T] Π™ΠΎΠ΄-131 – это Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ вСщСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ распадаСтся Π² соотвСтствии с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ – Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ количСство ΠΏΡ€ΠΎΠ±Ρ‹ вСщСства Π² днях.ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Π·Π° сколько Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ блиТайшСго дня) разлоТится 95% количСства.

78. [T] Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°, накоплСнная послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ 1000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² инвСстируСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π»Π΅Ρ‚ с ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ставкой 4%, модСлируСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

  1. НайдитС сумму, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ‚ ΠΈ 10 Π»Π΅Ρ‚.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, сколько Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ потрСбуСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ влоТСния ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ.

79. [T] Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ колония, выращСнная Π² Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, удваиваСтся Π·Π° 12 часов.ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ присутствуСт 1000 Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ.

  1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ прСдставляСт собой ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, сколько Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ для роста 200 000 Π±Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ.
РСшСниС

Π°. Π±. часы

80. [T] ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ†ΠΈΡ ΠΊΡ€ΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Π·Π°ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π½ΠΈΠΊΠ΅ удваиваСтся ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 6 мСсяцСв. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ 120 ΠΊΡ€ΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΎΠ².

  1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ константу скорости роста.ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.
  2. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² части a. Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ поголовьС ΠΊΡ€ΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΎΠ² достигло 3500.

81. [T] ЗСмлСтрясСниС 1906 Π³ΠΎΠ΄Π° Π² Π‘Π°Π½-Ѐранциско ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ 8,3 Π±Π°Π»Π»Π° ΠΏΠΎ шкалС Π ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Ρ€Π°. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ зСмлСтрясСниС ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 4,9 нанСсло лишь Π½Π΅Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ‰Π΅Ρ€Π±. Насколько ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ большС энСргии Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ зСмлСтрясСниСм Π² Π‘Π°Π½-Ѐранциско, Ρ‡Π΅ΠΌ зСмлСтрясСниСм Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ?

РСшСниС

ЗСмлСтрясСниС Π² Π‘Π°Π½-Ѐранциско ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π² нСсколько Ρ€Π°Π· большС энСргии, Ρ‡Π΅ΠΌ зСмлСтрясСниС Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ.

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅

– ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°

исчислСниС – ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π° – ОбмСн стСками ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
Π‘Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° стСком

Π‘Π΅Ρ‚ΡŒ Stack Exchange состоит ΠΈΠ· 176 сообщСств вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Stack Overflow, ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ наибольшим Π΄ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-сообщСство, Π³Π΄Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ своими знаниями ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ свою ΠΊΠ°Ρ€ΡŒΠ΅Ρ€Ρƒ.

ΠŸΠΎΡΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. ΠΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² для людСй, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π½Π° любом ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅, ΠΈ профСссионалов Π² смСТных областях.РСгистрация Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ всСго ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ.

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ этому сообщСству

ΠšΡ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ вопрос

ΠšΡ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°Π²Π΅Ρ€Ρ…

Бпросил

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 1ΠΊ Ρ€Π°Π·

$ \ begingroup $ Π—Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ вопрос Π½Π΅ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅. Π’ настоящСС врСмя ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹.

Π₯ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ этот вопрос? ΠžΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ вопрос, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ соотвСтствовал Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΡƒΠΌΠ° Mathematics Stack Exchange.

Π—Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ 4 Π³ΠΎΠ΄Π° Π½Π°Π·Π°Π΄.

МнС Π½ΡƒΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹.

$$ \ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ frac {\ log \ left (1 + 7x \ right)} {5x} $$

Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ€.

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

подсказка : $ Q = \ dfrac {7} {5} \ cdot \ dfrac {\ log (1 + 7x)} {7x} $