ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡ ΠΈΡΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ? ΠΠ° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²Π°ΠΌ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ ΠΊ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΠΈΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΡΠ·. Π ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ Π·Π°ΠΏΡΠΎΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ – Ρ Π½Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Β«ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΒ».
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ
ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. ΠΠ½ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
, ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π΅ ΡΠΎΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ
ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» Π΅ΡΠ΅ Π² Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Ρ ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠΎΡ ΠΈΡ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π°
ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΠ½Π»Π°ΠΉΠ½?
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ https://pocketteacher.ru. ΠΠ΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π·Π° ΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Ρ. ΠΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ – ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅. Π Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π²Π°Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ, ΡΠΎ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.

Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 26 Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ β/β Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ.
Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 27 ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Π½ΠΎΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ. ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΡ
Π΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠΎ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ, Π° Π½Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 28 ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ 0*β
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ Π² ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ 1/ctg(x)=tg(x). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ x=0.
Π Π°ΡΠΊΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ β-β
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ β-β ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ, Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 29 Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ 0/0.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 30 ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° β-β, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ.
Π ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π». Π‘ΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ, 30 ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π·Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ!
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΠ°Π½Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ
Π½Π°Π²ΡΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ. Π Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π², ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ, ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²
Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ.

ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡ Π° Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΎΠΈΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠ±ΠΌΠ°Π½Π½ΡΠΉ Ρ ΠΎΠ΄, Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ. ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ
Π² ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΆΠ΅ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
Π’ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎ Π² Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ
. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°
Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Β«ΠΎΡΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΒ» ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅Π»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ Ρ
Π²Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. ΠΠΎΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ-ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± (ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π΅Π³ΠΎ
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Ρ) Β«ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΒ» ΡΠΈΡΠ»Π°:
ΠΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, ΠΌΡ Π½Π΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Ρ Π±Π°Π»Π°Π½ΡΠ° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ ΡΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ. Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ
Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² , ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π½Π°ΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°ΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ. Π ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ² ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ
Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ. Π‘ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π² ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ? ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΡΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ:
ΠΡΠ°ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡΠ» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
β ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΏΡΠΈ
ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Ρ ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅. ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Π»Π°Ρ Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ln(1+x) ~x
Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π² ΡΠΎΠ»ΠΈ Ρ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π»Π° Π²ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ° (-(1-cos(5x))).
ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ:
ΠΏΡΠΈ
Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, cos(x) β ΡΡΠΎ cos(5x) ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π±ΡΠ»Π° ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ:
ΠΏΡΠΈ
ΠΡ Π²ΠΎΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅. ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π±ΡΠ» Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ, Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π΄Π΅ΡΡΡ, Π±ΡΠ»ΠΎ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΡΒ ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ ΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉΒ ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ· Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΈ Ρ ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΄ΡΡ β ΡΡΠΎ ΠΠ§ΠΠΠ¬ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ? ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π½Π° Β«ΠΏΡΡΡΡΠΊΡΒ». ΠΠΎ Π²ΠΎΡ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΡΠΎ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ³ΠΎ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΌΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
Π Π΄Π»Ρ
ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠΊΠ° Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΡΡ
ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ:ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΒ ΠΈΒ Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅
ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ
Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅
ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ.
ΠΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ β
ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ
ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΎΡΡΠ»Π°ΠΉΠ½Π΅.
Π§Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ? ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΈ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΠΊΠ°ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ ΠΌΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ Π½Π°Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π°
ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ Ρ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ²-Π·Π°ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² 95%
ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΡΠΈΠ³ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π΄Π²Π° Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:Β ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ
Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»,ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ
Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ
ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²ΡΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Β»,
ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΡΠΈΠΌ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΡΡ, Π° Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ,
Π²Π·ΡΡΡΠΉ Ρ ΠΏΠΎΡΠΎΠ»ΠΊΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:Β Β (Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²Ρ Β«Ρ ΡΒ» Ρ Π±ΡΠ΄Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Ρ Β«Π°Π»ΡΡΠ°Β», ΡΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄Π°ΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°).
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² (ΡΠΌ. ΡΡΠ°ΡΡΡΒ ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ) ΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ (ΡΠΈΠ½ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ), Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½ΠΎΠ»Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΡΡΠ°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Β , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΠΊ ΡΡΠ°ΡΡΡΡ, ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ. Π ΠΊΡΡΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ:
Β
ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΊΡ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅Β ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°.
ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ Π² ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Β Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ-Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ:
Β β ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
!
ΠΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ! ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π°Π½ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β ,
ΡΠΎ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅,
Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ.
ΠΠ° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Β Β ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°ΡΒ , Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.Β ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΠ»Π°ΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ: ,Β ,Β ,Β
ΠΠ΄Π΅ΡΡΒ ,Β ,Β ,Β , ΠΈ Π²ΡΡ Π³ΡΠ΄ β ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ.
Π Π²ΠΎΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ β Π΅ΡΠ΅ΡΡ:
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ? ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ-ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Β Β Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΎΠ½ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΡΠ΅ΡΠΊΠ΅.
ΠΡΡΠ°ΡΠΈ, Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π½Π° Π·Π°ΡΡΠΏΠΊΡ, Π° ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β ? ΠΡΠ²Π΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΊΠ°.
ΠΠ°
ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Ρ
Π°Π»ΡΠ²Π½ΡΠΉ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
Β ΠΈ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΡΠ³ΠΊΠΈΠΉ Π·Π°ΡΠ΅Ρ. Π₯ΠΌΠΌΠΌβ¦ ΠΠΈΡΡ ΡΡΠΈ
ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Π°Ρ
ΠΌΡΡΠ»Ρ β Π²ΡΠ΅-ΡΠ°ΠΊΠΈ Β«Ρ
Π°Π»ΡΠ²Π½ΡΠ΅Β» ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΡΠΎΠ΄Π΅ Β
Β Π»ΡΡΡΠ΅
ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΈΠ·ΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ
Π½Π΅ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ Π½Π° Π·Π°ΡΠ΅ΡΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉΒ»
ΠΈ Β«ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉΒ», ΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ
Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΉ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ (Β«Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠ½ (Π°) Π²ΡΠ΅-ΡΠ°ΠΊΠΈ Π·Π½Π°Π΅Ρ
ΡΠ΅Π³ΠΎ?!Β»).
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡ, ΡΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π°Ρ ΡΡΠ°Π·Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΠΌΡΡΠ»Ρ ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°.
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ 0 Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° (Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ΅):
ΠΡΠ°ΠΊ, Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Β , Π΅Π΅Β ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΒ Π² ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½, ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΒ , Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅Β .
Π ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌ. Π₯ΠΎΠ΄ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ: Β«ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ Ρ Π½Π°ΡΒ , Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΒ Β».Β Π Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ:
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ
ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅
Π½Π° 7 ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ
Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠ»Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΠ΅
ΠΎΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ
ΠΎΡ ΡΡΠΊΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
ΠΆΠ΅Π»Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΠΎΠΌ:
Π§ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΡΠ»ΠΎ? ΠΠΎ ΡΡΡΠΈ, ΠΎΠ±Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΠ»ΠΎΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΈΡΡΠ΅Π·Π»ΠΎ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ: Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ: ΠΠΎΡΠΎΠ²ΠΎ. ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ:Β
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ Ρ ΠΎΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΠΎΠΌ, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
β ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΠΏΡΡΡ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡ. ΠΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½ΠΎΠ»Ρ:
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
Ρ Π½Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ
Β ΠΈ,
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π». ΠΠ°
ΡΡΠΎΠΊΠ΅Β ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ ΠΌΡ
ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ
Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ
,
ΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ
Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ β ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ
ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
(ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ):
ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. ΠΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Ρ Π½Π°ΡΒ , Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΒ :
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, ΠΎΠ±Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ (Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈΡ Π΄Π²Π°), ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΡΡΡΡ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅:
Π‘ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΎΠ²:
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ , Ρ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Ρ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΡΠ΄ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΡΠΉΠ½ΡΠ΅, Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅ΡΡΠ°Π΄ΠΈ β ΠΠ°ΠΌ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π½ΠΎΠ»Ρ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π°
Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ
,
ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅
Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ
ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅Β
Β (ΠΊΡΡΠ°ΡΠΈ,
Ρ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅
ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΠΌ. ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΠΎΡΡΡΠΈΠ΅
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ Π½Π°
ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Β ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅
ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ).
Β Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅:
ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΈ ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ (Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅):
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΠΠΠΠΠ’ΠΠΠΠ, ΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ, Π³ΡΡΠ±ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΡΡΠ΅Π·Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ.
ΠΠ°Π»ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅, ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, Π±Π΅Π· Π²ΡΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΈΡΡΠ΅Π·Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ:
Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ Β (ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅)
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ
. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠΈΡΠ΅ Π½Π° Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΡ! ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ-ΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ.
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π·Π° Π·Π½Π°ΡΠΎΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:
Β
ΠΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Ρ Π½Π°Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΈΡΡΠ΅Π·Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ:
ΠΠ·Π±Π°Π²ΠΈΠΌΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠΉΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅, ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
Β
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ:
ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ
ΡΠ°ΠΊΡ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅Β Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ
Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°.
Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠ°:Β Β β ΡΡΠΎ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Β Β ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°ΡΒ , Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΠ»Π°ΡΡ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ β ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
ΠΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π°, ΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β Β , ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ΅Β ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΒ Β ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈΒ , Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ βΒ , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Β :
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ
Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π· ΠΈ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ
Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ
Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° Π±Π»ΡΠ΄Π΅ΡΠΊΠ΅
Ρ Π³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΠΊΠΎΠΉ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ
ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ. Π Π°ΡΡΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅
ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΒ
,
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ
ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΒ Β
.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΒ
,
ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡ β
Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΒ
:
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΡ Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΎ, ΡΡΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΠ»Π°ΡΡ Π² ΡΠΈΠΌΠΏΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²ΡΒ :
ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠΎΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΠΎΠΌ Ρ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ, ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ΅Π½.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:
Π
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ
. ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ
ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π°Β
.
Π§ΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ? ΠΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. Π Π°ΡΡΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ: Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅
Ρ Π½Π°ΡΒ
,
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ
ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΒ
:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΡΠΎΠ΄Π΅ Π±Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π»ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡΒ , Π½ΠΎ Ρ Π½Π°Ρ Π·Π½Π°ΠΊ Β«ΠΌΠΈΠ½ΡΡΒ» Π΄Π° ΠΈ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ-ΡΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. ΠΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡ ΠΈΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Β , ΠΈ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»Π°ΡΡ Π½ΡΠΆΠ½Π°Ρ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ . ΠΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β . ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅Β . Π‘Π½ΠΎΠ²Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌ: Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²Β , ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡ β Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΒ :
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ-ΡΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠΆΠ΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅Β Β ΡΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΎ, Ρ ΡΠΈΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² Π±ΡΠΊΠ²ΡΒ :
ΠΠΎ Π½Π°
ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅
Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Β
,
ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΡ
Π½Π°ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ΅Β ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π°Β
:
ΠΠΎΡΠΎΠ²ΠΎ.
Π ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½Ρ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:Β . ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΡΡΡΡΡΒ», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° (ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ΅) ΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ (Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΒ . ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅Β . Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠ° ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡΒ :
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β Β ΡΠΎ ΡΠΏΠΎΠΊΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π² Π±ΡΠΊΠ²ΡΒ :
ΠΡΠ΅
Π½Π΅ Π²ΡΡ, Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»Π°ΡΡ
Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Β
. Π Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ
(Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ?):
ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ (Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΠΎΠΌ), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ:
Π ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅Β Β ΠΈ ΠΊ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ°Β»!
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π² ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ Π½Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π½Π΅ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΡΠ°Π·Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ².
Π 90-95% Π½Π° Π·Π°ΡΠ΅ΡΠ΅, ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΠ°ΠΌ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π». ΠΠ°ΠΊ Π±ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π»ΡΡ Β«ΡΠΊΠ·ΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉΒ» Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»? (ΡΠΎ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠΊΠ΅). ΠΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ, ΠΏΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². ΠΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ.
ΠΠ°, ΡΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Β ?
ΠΡΠ»ΠΈ
Ρ ΠΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΒ
,
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π² ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
Π½Π΅ Π²ΡΡ ΡΠ°ΠΊ Π±Π΅Π·Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎ = ). 2 = 0 $$
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΠ»Π°ΠΉΡΠ΅ Π΅Ρ ΠΊ Π½Π°ΠΌ. ΠΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Ρ Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠΏΠ½ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π·Π°ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»Ρ!
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2 |
ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» $ lim_limits frac<1-cos 4x> $ |
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ |
ΠΡΠ²Π΅Ρ |
$$ lim_limits frac<1-cos 4x> = 0 $$ |
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3 |
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ $lim_limits frac<sin (x-1)> $ |
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ |
ΠΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈ | Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈ |
ΠΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ. Π Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ°Ρ , Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
.
ΠΡΠΈ . ΠΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ Π½Π° x , ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΡ:
.
ΠΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅, :
.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈ , ΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ 0/0 . ΠΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
β, β, β, β.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ β ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² Π½Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅, ΡΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΡ
Π½Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅.
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ β Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² Π½Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅, ΡΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΡ
Π½Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅.
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ. ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° 0/0 . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.
.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ Π½Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° 0/0 .
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Ρ Π½Π°Ρ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ, ΡΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ β.
;
;
.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4
ΠΡΠΈ . ΠΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ, ΠΊ ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ . ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ, ΡΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ: . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° βββ .
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° 0/0 . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ . ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
.
Π Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅:
.
Π ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ
, ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° . Π‘ΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ . Π Π°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ.
.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ , ΡΠΎ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.
Π’ΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈ :
.
ΠΡΡΡΠ΄Π° .
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈ :
.
ΠΡΡΡΠ΄Π° .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ:
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΡ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ln (1+x) Π½Π° x, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΡ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°:
Π.Π. ΠΡΠ΄ΡΡΠ²ΡΠ΅Π², Π.Π. ΠΡΡΠ°ΡΠΎΠ², Π.Π. Π§Π΅Ρ
Π»ΠΎΠ², Π.Π. Π¨Π°Π±ΡΠ½ΠΈΠ½. Π‘Π±ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ. Π’ΠΎΠΌ 1. ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°, 2003.
ΠΠ²ΡΠΎΡ: ΠΠ»Π΅Π³ ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΠΎΠ² . ΠΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ: 10-05-2019
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ξ± ( x ) ΠΈ Ξ² ( x ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x β x 0 , Π° lim x β x 0 Ξ± ( x ) = 0 ΠΈ lim x β x 0 Ξ² ( x ) = 0 .
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ξ± ( x ) ΠΈ Ξ² ( x ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x β x 0 , Π° lim x β x 0 Ξ± ( x ) Ξ² ( x ) = 1 .
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ . ΠΡ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ξ± ( x ) ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ x β x 0 .
sin ( Ξ± ( x ) ) | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) |
t g ( Ξ± ( x ) ) | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) |
a r c sin ( Ξ± ( x ) ) | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) |
a r c t g ( Ξ± ( x ) ) | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) |
1 β cos ( Ξ± ( x ) ) | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) 2 2 |
ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) |
Ξ± Ξ± ( x ) β 1 | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) ln Ξ± |
1 + Ξ± ( x ) p β 1 | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | p Ξ± ( x ) |
1 + Ξ± ( x ) 1 p β 1 | ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° | Ξ± ( x ) p |
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π΅ lim x β x 0 Ξ± ( x ) Ξ² ( x ) = 1 .
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) ΠΈ Ξ± ( x ) .
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ lim x β x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) .
ΠΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
lim x β x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = 1 Ξ± ( x ) ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x )
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π²ΠΈΠ΄Π°
lim x β x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x )
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
lim x β x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x ) = ln lim x β x 0 1 + Ξ± ( x ) 1 a ( x )
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ t = Ξ± ( x ) . ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Ξ± ( x ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ x β x 0 , ΡΠΎΠ³Π΄Π° lim x β x 0 a ( x ) = 0 . ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ t β 0 .
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
lim x β x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) 1 Ξ± ( x ) = ln lim x β x 0 1 + Ξ± ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t β 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
ΠΡΠ²Π΅Ρ: lim x β x 0 ln ( 1 + Ξ± ( x ) ) Ξ± ( x ) = 1
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1 Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ. ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ lim x β 0 1 β cos 4 x 2 16 x 4 .
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ
lim x β 0 1 β cos 4 x 2 16 x 4 = 1 β cos ( 4 Β· 0 2 ) 16 Β· 0 4 = ” open=” 0 0
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Π°Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π΅Π΅ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ 1 β cos Ξ± ( x ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ Ξ± ( x ) 2 2 , ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ 1 β cos ( 4 x 2 ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ 4 x 2 2 2 .
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π΅Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
lim x β 0 1 β cos 4 x 2 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x β 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x β 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2
ΠΠ΅Π· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π±Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
lim x β 0 1 β cos 4 x 2 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x β 0 1 β cos ( 4 x 2 ) β 16 x 4 β = lim x β 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x β 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = ” open=” 0 0 = lim x β 0 sin 4 x 2 β 8 x 2 β = lim x β 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x β 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
lim x β 0 1 β cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x β 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x β 0 1 2 Β· sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 Β· sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x β 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 Β· lim x β 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = ΠΏ Ρ Ρ Ρ Ρ t = 2 x 2 , t β 0 ΠΏ Ρ ΠΈ x β 0 = 1 2 lim t β 0 sin ( t ) t Β· lim t β 0 sin ( t ) t = 1 2 Β· 1 Β· 1 = 1 2
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π». Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π») ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΄ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²: {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\tg x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arctg x}}{x} = 1.}
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{7x}}{{\sin 5x}}\normalsize .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
L = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{7x}}{{\sin 5x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{5 \cdot 7x}}{{5\sin 5x}} } = {\frac{7}{5}\lim\limits_{x \to 0} \frac{{5x}}{{\sin 5x}} } = {\frac{7}{5}\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}} } = {\frac{7}{5}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} 1}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}}.2}}} } = {- 2\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{x} } = {- 2 \cdot 1 \cdot \lim\limits_{2x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}} } = {- 2 \cdot 4\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{4x}} = β 8.}
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin7x β \sin 5x}}{{\sin x}}\normalsize .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ: \sin x β \sin y = 2\sin \frac{{x β y}}{2}\cos \frac{{x + y}}{2}. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin7x β \sin 5x}}{{\sin x}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \large\frac{{7x β 5x}}{2}\normalsize\cos \large\frac{{7x + 5x}}{2}\normalsize}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin x\cos 6x}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 6x} \right).} ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ \cos{6x} ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈ x = 0 , ΡΠΎ \lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 6x} \right) = {2\lim\limits_{x \to 0} \cos 6x } = {2 \cdot \cos \left( {4 \cdot 0} \right) = 2 \cdot 1 = 2.2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.} ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π° x \to 0 Π½Π° \large\frac {x}{2}\normalsize \to 0 .
Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π° ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b.
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ .
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ.
ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ΅
ΠΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ:
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌΠΈ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
;
.
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ x>0, xβ 1, y>0.
ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ. ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° β ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β«10Β», ΠΈ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Β«Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΒ». ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β«Π΅Β». ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎ Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
- lg x β Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ;
- ln x β Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ln e = 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ lg 10=1.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΡΡ ΡΠΌΡΡΠ» Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Β«Π²ΡΡΡΠ½ΡΡΒ», ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: y = ln x. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ:
ΠΠΎΡΡΠ½ΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Ρ . ΠΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅: . ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ:
;
;
.
;
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² β Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π½ΡΡΠΈΠ΅, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Ρ ΠΈΡ Π² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ:
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (Ρ.Π΅. Π²ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π₯) β Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! Π ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°! Π ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Ρ =0. ΠΡΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° .
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ.Π΅. Π²ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x) β Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ .
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ logΠΠ·ΡΡΠ°Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ β ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π±Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ y
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡ Ρ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΈ Ρ
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ log ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Π³Π΄Π΅ Ρ β Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°).
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ z:
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ (ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Β«ΡΒ» Ρ Π½Π°Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅):
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
.
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ z=e, ΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°:
.
ΠΠ°ΠΌ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π² Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ , ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 1 . ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ln x = 3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2 . Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5 + 3 * ln (x β 3)) = 3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
.
ΠΡΠ΅ ΡΠ°Π· ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 3. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ: t = ln x. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
.
ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ:
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
.
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
.
ΠΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ t = ln x, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ. ΠΡΠΎ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ β Π·Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏ ΡΠΎΡΡΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½.
Π ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π² ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ N ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ Π±ΠΈΡΠΎΠ².
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ.
Π ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ. ΠΠ°ΡΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π¦ΠΈΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΅ β ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π Ρ ΠΈΠΌΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΡΠ°, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ².
ΠΠΎΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΌΡΠ·ΡΠΊΠ΅, Ρ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=ln x Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (a>0, a Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ, ΡΡΠΎ a c = b: log a b = c β a c = b (a > 0, a β 1, b > 0)       
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ -2 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 4, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ -2 ΠΎΡ 4 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ a log a b = b (a > 0, a β 1) (2)ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ b>0, a>0 ΠΈ a β 1. ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ b, Π° ΠΎΡ a Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ “ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°” ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΠ.
ΠΠ²Π° ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° log a a = 1 (a > 0, a β 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a β 1) (4)
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° a Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0) (5)Log
a
b
c
=
log
a
b β
log
a
c
(a > 0, a β 1, b > 0, c > 0)
(6)
Π₯ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΡ Π±Π΅Π·Π΄ΡΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². ΠΡΠΈ ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ “ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ” ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ, Π° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ – ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log a (f (x) g (x)) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ : ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x) ΠΈ g(x) ΠΎΠ±Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠΌΠΌΡ log a f (x) + log a g (x) , ΠΌΡ Π²ΡΠ½ΡΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x)>0 ΠΈ g(x)>0. ΠΠ°Π»ΠΈΡΠΎ ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎ, Ρ. ΠΊ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6).
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° log a b p = p log a b (a > 0, a β 1, b > 0) (7)Π Π²Π½ΠΎΠ²Ρ Ρ ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠΈΠ·Π²Π°ΡΡ ΠΊ Π°ΠΊΠΊΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ f(Ρ ), ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ – ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ f(x)>0! ΠΡΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΌΡ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΡΡΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΠΠ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ log a b = log c b log c a (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0, c β 1) (8)Π’ΠΎΡ ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΠΠ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1), ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a β 1, b > 0, b β 1) (9)
ΠΠ΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: lg2 + lg50.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ΠΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (5) ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: lg125/lg5.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (8).
a log a b = b (a > 0, a β 1) |
log a a = 1 (a > 0, a β 1) |
log a 1 = 0 (a > 0, a β 1) |
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0) |
log a b c = log a b β log a c (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0) |
log a b p = p log a b (a > 0, a β 1, b > 0) |
log a b = log c b log c a (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0, c β 1) |
log a b = 1 log b a (a > 0, a β 1, b > 0, b β 1) |
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ x ΠΈ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 0 (Β«ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΒ» ΠΈ Β«Π±ΡΡΡΡΠΎΒ» ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ x ).
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ – ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ , Π³Π΄Π΅ e – ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 2,718281 828 . ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln(x ), log e (x ) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ log(x ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ e ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x (Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln(x) ) – ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ e , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ x . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ln(7,389…) ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ e 2 =7,389… . ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° e (ln(e) ) ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ e 1 = e , Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 1 (ln(1) ) ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ e 0 = 1.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1/x ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ a . ΠΡΠΎΡΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»Π° ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉΒ». ΠΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° , ΠΎ ΡΡΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌ:
ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ :
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ 1, Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ e , Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ . ΠΠ½ΠΈ ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π» ΠΠΈΠΊΠΎΠ»Π°Ρ ΠΠ΅ΡΠΊΠ°ΡΠΎΡ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Logarithmotechnia , ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1668 Π³ΠΎΠ΄Ρ , Ρ ΠΎΡΡ ΡΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΠΆΠΎΠ½ Π‘ΠΏΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π»Π» Π΅ΡΡ Π² 1619 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². Π Π°Π½Π΅Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ°, Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π° Π±ΡΠ» Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠ½Π²Π΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Β«ln(x )Β», Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 – ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Β«lg(x )Β», Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π΅ Β«logΒ».
ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΈΠ±Π΅ΡΠ½Π΅ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π°Π²ΡΠΎΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β«log(x )Β» Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 2, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ (ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ°) ΡΠ½ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.
Π‘ΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ) ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΡΡ, Π° ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: ln 2 ln 3 4x 5 = [ ln( 3 )] 2 .
ΠΠ½Π³Π»ΠΎ-Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°Π½ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Β«log(x )Β», Π»ΠΈΠ±ΠΎ Β«ln(x )Β» , Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 – Β«log 10 (x )Β».
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΡ, Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠΈΡΡΡ Β«ln(x )Β» (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΡΠ΅Π΄ΠΊΠ° Β«log e (x )Β»), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Β«log(x )Β» Ρ Π½ΠΈΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ log 10 (x ).
log e ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΒ» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ e , ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ 1/x , Π° ΠΏΡΠΈ x = 1 ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 1. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ e Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΄Π° Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° , ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ .
ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΎ ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ΅ΡΡΠΎ ΠΠ΅Π½Π³ΠΎΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΠΈΠΊΠΎΠ»Π°ΠΉ ΠΠ΅ΡΠΊΠ°ΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΠ»Π΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½ ΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π€ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ln(a ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° 1/x ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ a , Ρ. Π΅. ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» :
ΠΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ y = (x β1)/(x +1) ΠΈ x > 0.ΠΠ»Ρ ln(x ), Π³Π΄Π΅ x > 1, ΡΠ΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΊ 1, ΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. Π’ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»ΠΈ:
ΠΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ Π΅ΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠ², Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ.
ΠΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ
ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ. ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠ΄ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅.
ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°:
Π³Π΄Π΅ M ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ 1 ΠΈ 4/s, ΠΈ
m Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ p Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ. (Π Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 8 Π΄Π»Ρ m Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ.) Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. (ΠΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ln 2 ΠΈ ΠΏΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ Π΄ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ².)
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ) ΡΠ°Π²Π½Π° O(M (n ) ln n ). ΠΠ΄Π΅ΡΡ n – ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½, Π° M (n ) – Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ n -Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ
Π₯ΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ , Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΡΠ½Π½ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅:
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ
ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π° Π΄ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° e x Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° x , ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΄ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ x . ΠΡΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΡΡΡ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ: Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ x , Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ e x = 0, ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ e 2Οi = 1 = e 0 . ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ e z = e z +2nΟi Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ z ΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΡ n .
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ , ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌ – Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ Π½Π° Β«ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΉΒ» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ 2Οi . ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° ΡΡΠ΅Π·Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ln i = 1/2 Οi ΠΈΠ»ΠΈ 5/2 Οi ΠΈΠ»ΠΈ β3/2 Οi , ΠΈ Ρ.Π΄., ΠΈ Ρ ΠΎΡΡ i 4 = 1, 4 log i ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2Οi , ΠΈΠ»ΠΈ 10Οi ΠΈΠ»ΠΈ β6 Οi , ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅
- ΠΠΆΠΎΠ½ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ – ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
- Mathematics for physical chemistry . – 3rd. – Academic Press, 2005. – P. 9. – ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
- J J O”Connor and E F Robertson The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (ΡΠ΅Π½ΡΡΠ±ΡΡ 2001). ΠΡΡ ΠΈΠ²ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ
- Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . – AMS Bookstore, 1991. – P. 152. – ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . ΠΡΡ ΠΈΠ²ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° 12 ΡΠ΅Π²ΡΠ°Π»Ρ 2012.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ?
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅!
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π² ΠΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 555.
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅Ρ
, ΠΊΡΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ “Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ…”
Π Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Ρ
, ΠΊΡΠΎ “ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π°ΠΆΠ΅…”)
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ? ΠΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ? ΠΡΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π²ΡΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΡΡΠΏΠΎΡ. Π’ΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ – ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ! ΠΠ΅ Π²Π΅ΡΠΈΡΠ΅? Π₯ΠΎΡΠΎΡΠΎ. Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ, Π·Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-ΡΠΎ 10 – 20 ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π²Ρ:
1. ΠΠΎΠΉΠΌΠ΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ .
2. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎ Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π»ΠΈ.
3. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΡΠΈΡΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ…
Π§ΡΠ²ΡΡΠ²ΡΡ, ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π²Π°Π΅ΡΠ΅ΡΡ Π²Ρ… ΠΡ Π»Π°Π΄Π½ΠΎ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΊΠ°ΠΉΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ! ΠΠΎΠ΅Ρ Π°Π»ΠΈ!
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ Π² ΡΠΌΠ΅ Π²ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΉΡ…ΠΡΡΠ°ΡΠΈ, Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΅ΡΡΡ Π΅ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΠΉΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΠΠ°Ρ.)
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ. Π’Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ. Π£ΡΠΈΠΌΡΡ – Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΠΌ!)
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ (a b *a c = a b+c). ΠΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π±ΡΠ» Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠΌ, Π° ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π² VIII Π²Π΅ΠΊΠ΅, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π» ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»ΡΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²Π΅Π·Π΄Π΅, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ 10 Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ, ΠΌΡ Π²Π°ΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ. ΠΡΠΎΡΡΡΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΡΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: log a b=c, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) “b” ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ “a” ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ “c”, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ “a”, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ “b”. Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ , Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log 2 8. ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ? ΠΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ· 2 Π² ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 8. ΠΡΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π² Π² ΡΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3! Π Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ 2 Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 3 Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 8.
Π Π°Π·Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ°ΡΠ½Ρ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ – ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΈΡ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
- ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ln a, Π³Π΄Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° (e = 2,7).
- ΠΠ΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ a, Π³Π΄Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 10.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a>1.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΌ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»-ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° Π½ΠΎΠ»Ρ, Π° Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΡΡΡΡ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ Π΅ΠΌΠΊΠΈΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
- ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ “a” Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ 1, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», Π²Π΅Π΄Ρ “1” ΠΈ “0” Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ;
- Π΅ΡΠ»ΠΈ Π° > 0, ΡΠΎ ΠΈ Π° b >0, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ “Ρ” Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ?
Π ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π΄Π°Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 10 Ρ = 100. ΠΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΡ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ 100. ΠΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΆΠ΅, 10 2 =100.
Π ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ log 10 100 = 2. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ»Ρ Π±Π΅Π·ΠΎΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. ΠΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ ΡΠΌΠ° ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. ΠΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ΅, ΠΊΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΌΡΡΠ»ΠΈΡ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ . Π Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ a), Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΄ ΡΠΈΡΠ΅Π» – ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ c, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a. ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠ°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ (a c =b). ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ, ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΡ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ 10 ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 100, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΅ΠΊ. ΠΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ Π³ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΉ!
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ – ΡΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 3 4 =81 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° 81 ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 3, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ΠΌ (log 3 81 = 4). ΠΠ»Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅: 2 -5 = 1/32 Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ log 2 (1/32) = -5. ΠΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ° “Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ”. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². Π ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: log 2 (x-1) > 3 – ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ “Ρ ” Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π²Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΈ.
Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ – Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 2 x = β9) ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°ΡΡ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅, Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π° Π° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΉ ΡΡΠ΄ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅ΡΡ Π·Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°Ρ , Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². Π‘ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ.
- ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: Π° logaB =B. ΠΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 0, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈ B Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ: d, s 1 ΠΈ s 2 > 0; Π°β 1. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΡΡΡ log a s 1 = f 1 ΠΈ log a s 2 = f 2 , ΡΠΎΠ³Π΄Π° a f1 = s 1 , a f2 = s 2. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ), Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 – log a s 2.
- Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄: log a q b n = n/q log a b.
ΠΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° “ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°”. ΠΠ½Π° Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ, ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ Π²ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ Π½Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠ»Π°ΡΠ°Ρ . ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΡΡΡΡ log a b = t, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ a t =b. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ m: a tn = b n ;
Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ a tn = (a q) nt/q = b n , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ log a q b n = (n*t)/t, ΡΠΎΠ³Π΄Π° log a q b n = n/q log a b. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²
Π‘Π°ΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠΏΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² – ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². ΠΠ½ΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΄Π°ΡΠΈ Π²ΡΡΡΠΏΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΡΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ.
Π ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°. ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ. Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΆΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΈΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ln100, ln1026. ΠΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 10 Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 100 ΠΈ 1026 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°.
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²: Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ .
- Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ , Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° b Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. ΠΡΠ²Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΠΠ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° Π²ΡΡΡΠΏΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ , ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π² ΠΠΠ (Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΊΠΎΠ»). ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ Π (ΡΠ°ΠΌΠ°Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°), Π½ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ Π‘ (ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ). ΠΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ “ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ”.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²Π·ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΡΠΈΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΠΠ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π½ΠΎ log 2 (2x-1) = 4. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠ² log 2 (2x-1) = 2 2 , ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ 2x-1 = 2 4 , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 2x = 17; x = 8,5.
- ΠΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΏΡΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ.
- ΠΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΡΠΎΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I – ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΡΡΡ II
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ Π‘ΠΊΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈΠΡΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅, Π½ΠΎ Ρ Ρ ΠΎΡΠ΅Π» ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ»ΡΠΆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 17 ΠΈ 18 ΠΌΠ°Ρ Ρ 8:00 AM CST Π΄ΠΎ 14:00 PM CST.ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π΄Π΅ΡΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ / ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π·Π°Π³ΡΡΠ·ΠΈΠ² ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ. Π ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ»ΡΠΆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠΊΡΠ΅ΡΡΠΈΠ² ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Β«Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌΒ» Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ .
ΠΠΎΠ»
6 ΠΌΠ°Ρ 2021 Π³.
ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅, Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Ρ “ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ” ΡΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° (, Ρ.Π΅. , Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½). ΠΠ·-Π·Π° ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅.ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΡΠ΅ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π°Π»ΡΠ±ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ±ΠΎΠΊΡ ΠΎΡ Π²Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²Π° (Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈΡ ), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π·Π°Π½Ρ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 2-8: ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π§Π°ΡΡΡ II
Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ.{- x}} = \ infty \]
Π‘ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π»Π°ΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠΌΠΈΡΠ° Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ. Π ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π΅ Π·Π°ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ -Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅!
ΠΠΎΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ.{- 15x}}} \ right) \) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π‘ΠΊΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΠ»ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ – ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Β«ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΒ» ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. Π‘ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ, ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ.{- 15x}}} \ right) = \ infty – \ infty + \ infty + 0 – 0 \]
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ (ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ; Π²Ρ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅?). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ.
ΠΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π½ Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΌ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ Β«Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌΒ» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ.{- 25x}}} \ right)} \ right] \]
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ, ΠΈ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° (, Ρ. {- 15x}}} \ right) = 0 – 0 + 0 + \ infty – \ infty \] ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ.{- 15x}}} \ right) = – \ infty \] ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΌΡ ΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ Β«Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌΒ» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ Π·Π΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Β«Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉΒ» ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π° ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°, ΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ, Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΠΌΠ½Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ.{- x}}}} \) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. ΠΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ Β«Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌΒ» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Β«Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎΒ» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π° ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ.{- x}}}} \) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Β«Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎΒ» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ. ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° Β«Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Β», ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅. ΠΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅.+}} \ ln x = – \ infty \ hspace {0,5 Π΄ΡΠΉΠΌΠ°} \ hspace {0,25 Π΄ΡΠΉΠΌΠ°} \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} \ ln x = \ infty \] ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΎΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ \ (x \) Π² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° \ (x \) βΡ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ
ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π° \ (x \)β ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π° (ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΡΡΠ½Π°Π») ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ( i.Π΅. {- 1}} x \) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π»ΠΎΡΡ Π²ΡΡΠ΅, Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°.{- 1}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = – \ frac {\ pi} {2} \] Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°, ΡΠΌ. Π Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Β» Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \ (e, \), Π³Π΄Π΅ \ (e \) – ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ \ (2.718281828 \ ldots, \), Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ \ (x \) ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ \ (\ ln x. \) ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΈΠΊΠ΅.y} = \ ln x, \; \;} \ Rightarrow ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° \ (x \) Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \ (a \) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² \ (x = e, \), ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \ [{\ log _a} e = \ frac {1} {{\ ln a}} \ ln e = \ frac {1} {{\ ln a}}. \] ΠΡΠ»ΠΈ \ (a = 10, \), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: \ [{{\ log _ {10}} x = \ lg x = M \, {\ ln x}, \; \; \;} \ kern-0.3pt ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ: \ [{\ ln x = \ frac {1} {M} \ lg x, \; \; \;} \ kern-0.3pt ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ \ (y = \ ln x \) ΠΈ \ (y = \ lg x \) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ \ (1. \) Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ
{y \ ln a = \ ln x, \; \;} \ Rightarrow
{y = \ frac {1} {{\ ln a}} \ ln x, \; \;} \ Rightarrow
{{\ log _a} x = \ frac {{\ ln x}} {{\ ln a}}.}
\]
{\ text {where} \; \; M = \ frac {1} {{\ ln a}} = \ lg e} \ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ {0,43429 \ ldots}
\]
{\ text {where} \; \; \ frac {1} {M }} = {\ ln 10} \ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ {2.30258 \ ldots}
\] Π Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ \ (\ ln {\ large \ frac {1} {{\ sqrt e}} \ normalsize}.\) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ: \ ({\ large \ frac {1} {3} \ normalsize} \ ln \ left ({x – 1} \ right) – {{\ large \ frac {1} {2} \ normalsize} \ ln \ left ({x + 1} \ right)} + {2 \ ln x}. \)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \ (y = \ ln \ left ({x + 1} \ right) – 1. \)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4
ΠΠ°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \ (y = \ left | {\ ln x} \ right |. \)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5
ΠΠ°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \ (y = \ left | {\ ln \ left | x \ right |} \ right |.2} \ sqrt [3] {{x – 1}}}} {{\ sqrt {x + 1}}}.}\]
1.5 ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ – ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ΠΎΠΌ 1
Π¦Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
- ΠΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ.
- ΠΡΠΎΠ·Π½Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
- ΠΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.
- ΠΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
- Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. (ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ Β«ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΉΒ» ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ .)
ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² – ΡΠΎΡΡ Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Ρ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ, Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 1 Π³ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ
. .ΠΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 2 Π³ΠΎΠ΄Π° –
.Π ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π»Π΅Ρ
. ,, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π°, Π³Π΄Π΅, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠΉ .ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ – ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ. ΠΠ° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ. Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ², ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ. Π ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ. ΠΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ.
ΠΠ° (ΡΠΈΡ.) ΠΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ (Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 1. ΠΡΠ»ΠΈ – ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ, Π³Π΄Π΅ ΠΈ – ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, . ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ? ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄? ΠΡΠΎ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.ΠΠ° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ. ΠΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ.
1,4 | 1,41 | 1,414 | 1,4142 | 1,41421 | 1.414213 | |
2,639 | 2.65737 | 2,66475 | 2,665119 | 2,665138 | 2,665143 |
Π ΠΎΡΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 6 ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 10 ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 24 ΡΠ°ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΠΌΠΈ.
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
.
ΠΡΠΎΠ±ΡΠΉ ΡΠΈΠΏ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ . Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΈΠ·-Π·Π° Π½Π°ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠ±Π΅ΡΠ΅Π³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΡ Π½Π° ΡΠ±Π΅ΡΠ΅Π³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ Ρ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΎΠΉ, Π½Π°ΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 1 Π³ΠΎΠ΄
.Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π½Π΅Π³ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 2 Π³ΠΎΠ΄Π°
.Π Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π»Π΅Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ
.ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π½ΡΠ³ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ 2 ΡΠ°Π·Π° Π² Π³ΠΎΠ΄, ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π½Π΅Π³ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΄Π° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ
.Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π½Π΅Π³ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 1 Π³ΠΎΠ΄
.ΠΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π»Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΡ
.Π Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π½ΡΠ³ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π· Π² Π³ΠΎΠ΄, ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π½Π΅Π³ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π»Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ
.Π§ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ? ΠΠ»Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ° Π½Π° ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ
,ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ as, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ((ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)).
10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | |
2,5937 | 2,7048 | 2,71692 | 2,71815 | 2,718268 | 2,718280 |
ΠΠ»ΡΠ΄Ρ Π½Π° ΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΠΎΡ 2,7 Π΄ΠΎ 2,8 as. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΊ.ΠΡ Π·Π²ΠΎΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡ. Π‘ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ,
.ΠΡΠΊΠ²Π° Π±ΡΠ»Π° Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ²Π΅ΠΉΡΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠΎΠΌ Π² 1720-Ρ Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ . Π₯ΠΎΡΡ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ Π½Π΅ ΠΎΡΠΊΡΡΠ» ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΡ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠΎΠΉ Π½ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ΄Π°ΡΡ Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ²Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎ ΡΠ±Π΅ΡΠ΅Π³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΊΠ»Π°Π΄Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΡ Π½Π° ΡΡΠ΅Ρ Ρ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π½Π°ΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π°.ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²Π°ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ°. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π² ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ . ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ. ΠΠ° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ at. ΠΡ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅; Π½ΠΎ Π½Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ at – ΡΡΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Β«Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Β», ΡΡΠΎ ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ 1. ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅, Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ .
Π ΠΈΡ. 3. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ 1 ΠΏΡΠΈ.ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π½Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠ΄ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ½ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²Π°ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ pH Π² Ρ ΠΈΠΌΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΡΠΈΠ±Π΅Π»Ρ Π² ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡ Π·Π²ΡΠΊΠ°.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Π°, Ρ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ . ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ
Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ .ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ,
.ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ – ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ .ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
.ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ,
,ΠΈ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)).
Π ΠΈΡ. 4. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΡΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°Π»Ρ.
Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 5: ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π΄Π»Ρ.ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΡΠ»ΠΈ, ΠΈ – Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°, Π²Ρ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ log, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ , ΠΈΠ»ΠΈ ln, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π±Π°Π·ΠΎΠΉ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±Π°Π·Ρ.ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΎΠ±Π°
ΠΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π±Π°Π·Π΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
.ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
.ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
.ΠΡΡΡΡ, ΠΈ. ΠΡ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ. ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ. ΠΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Ρ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ.
β‘
ΠΠ΅Π»Π΅Π½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΈ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π±Π°Π·Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Π΅Π΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΈ:
.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±Π°Π·Ρ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ.
ΠΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π΅: Π¨ΠΊΠ°Π»Π° Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 6: (ΠΊΡΠ΅Π΄ΠΈΡ: ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π ΠΎΠ±Π±Π° Π₯Π°Π½Π½Π°Π²Π°ΠΊΠ΅ΡΠ°, NPS)Π 1935 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π§Π°ΡΠ»ΡΠ· Π ΠΈΡ ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π» ΡΠΊΠ°Π»Ρ (Π½ΡΠ½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»Π° Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ° ) Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π¨ΠΊΠ°Π»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΊΠ°Π»Ρ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10, ΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅ Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ° ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅ Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄Ρ ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅, Π½ΠΎ Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅? ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΉΡΠΌΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ ΡΠ΅ΠΉΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΠΎΠ»Π½.ΠΡΠ»ΠΈ – Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ – ΡΡΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΡ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
.Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ 8 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅ Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ° ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ 7 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅ Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ
.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
,, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ ΠΈΠ»ΠΈ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΎ Π² 10 ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 10 ΡΠ°Π· ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ.Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ 8 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅ Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ – 6 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ², ΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 100 ΡΠ°Π· ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 9 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ Π² 2011 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 7,3 Π½Π° ΠΠ°ΠΈΡΠΈ Π² 2010 Π³ΠΎΠ΄Ρ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π° ΠΠ°ΠΈΡΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π½Π΅Π΅:
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π² 50 ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ, ΡΠ΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΠ°ΠΈΡΠΈ.
Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 8,4 ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 7,4.
ΠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 8,4 ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π² 10 ΡΠ°Π· ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 7,4.
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½ Π½Π° Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΌΠ±ΡΠ°Π½.ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ – ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΏΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΠ°, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ((ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½ΠΈΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ΅ΠΏΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Π»Π° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ -ΠΎΡΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²ΡΡΠΎΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠΈ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π ΠΈΡ. 7. Π€ΠΎΡΠΌΡ ΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡΠΈ Π² ΠΏΠ°ΡΡΠΈΠ½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° ΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π½Π° Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΡΠΎΠΌ.(ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ: Β«MtpaleyΒ», Wikimedia Commons)ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡ
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Π½Ρ
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ΅ΠΊΠ°Π½Ρ
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ
ΠΠΌΡ cosh ΡΠΈΡΠΌΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Β«goshΒ», ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΡ sinh ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«cinchΒ». Tanh , sech , csch ΠΈ coth ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ tanch, seech, coseech ΠΈ cotanch ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΏΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Π°Ρ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ ΠΈ.
ΠΠΎ ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ? Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
.ΠΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°. ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π΅ ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 8 – ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Ρ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Ρ, ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ°ΠΌΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°,. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
.Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
.ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
.Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
.ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
.
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π°. 125 Π³. 2.24 Ρ. 9,74
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π°. 0,01 Π±. 10000 Ρ. 46,42
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΡ.
11.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ: Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, ΠΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ° Π½Π°
12.
13.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ: Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, ΠΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ° Π½Π°
14.
15.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ: Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, ΠΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ° Π½Π°
16.
17.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ: Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½:, ΠΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ° Π½Π°
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
18.
19.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
20.
21.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
22.
23.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
24.
25.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
26.
27.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
28.
29.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
30.
31.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
32.
33.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
34.
35.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΡ.
36.
38.
40.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
42.
43.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
44.
45.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
46.
47.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
48.
49.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
50.
51.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
52.
53.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
54.
55.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.
56.
57.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
58.
59.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
60.
61.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
62.
63.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 10 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Ρ ΠΎΠΊΡΡΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ.
64.
65.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
66.
67.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
68.
69.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
70. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°Ρ ΠΈ ββΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅.
Π°.
Π³.
Π³.
Π³.
71. [T] Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π² ΠΊΡΠ»ΡΡΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 15 Π΄Π½Π΅ΠΉ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
72. [T] Π‘ΠΏΡΠΎΡ (Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ Π±Π°ΡΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ) Π½Π° Π½Π΅ΡΡΡ Π² Π±ΠΎΠ³Π°ΡΠΎΠΉ Π½Π΅ΡΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ – ΡΠ΅Π½Π° (Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ°Ρ ) Π±Π°ΡΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ΡΡΠΈ (Ρ ΠΎΠΊΡΡΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π° Π±Π°ΡΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ) ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅Π½Π΅ ΠΎΡ 15 Π΄ΠΎ 20 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ².
73. [T] ΠΠ°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΈΠΉ Π² ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅ 100 000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² Π‘Π¨Π, ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π»Π΅Ρ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 131 653 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½ΠΎ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ.
74. [T] ΠΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΅ΠΆΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ½ΠΎ, Π΅ΠΆΠ΅ΠΊΠ²Π°ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ – ΡΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΈΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, – ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ» ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½, – ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°, ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π· Π² Π³ΠΎΠ΄ Π½Π°ΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΡ.ΠΡΠΈ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ΅ 3,5% ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅ Π² 100 000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ²: a. Π΅ΠΆΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ, Π±., Π΅ΠΆΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ½ΠΎ, Π². Π΅ΠΆΠ΅ΠΊΠ²Π°ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈ d. Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΈ. Π°. pH = 8 Π±. ΠΠ°Π·Π° ii. Π°. pH = 3 Π±. ΠΠΈΡΠ»ΠΎΡΠ° iii. Π°. pH = 4 Π±. ΠΠΈΡΠ»ΠΎΡΠ°
76. [T] ΠΠΎΠ΄-131 – ΡΡΠΎ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ – Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ±Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π² Π΄Π½ΡΡ .ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅, Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π½Ρ) ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡΡ 95% ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π°.
78. [T] Π‘ΡΠΌΠΌΠ°, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ 1000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π»Π΅Ρ Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΎΠΉ 4%, ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ.
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π° 5 Π»Π΅Ρ ΠΈ 10 Π»Π΅Ρ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈΡΡ.
79. [T] ΠΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΈΡ, Π²ΡΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π² Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠΈΠΈ, ΡΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π° 12 ΡΠ°ΡΠΎΠ².ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 1000 Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ.
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠ° Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ. ΠΠΊΡΡΠ³Π»ΠΈΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΡΠ° 200 000 Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π°. Π±. ΡΠ°ΡΡ
80. [T] ΠΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΊΡΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Π·Π°ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠ΅ 6 ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ΅Π². ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ 120 ΠΊΡΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΎΠ².
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°.ΠΠΊΡΡΠ³Π»ΠΈΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ.
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ a. ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΡΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π»ΠΎ 3500.
81. [T] ΠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1906 Π³ΠΎΠ΄Π° Π² Π‘Π°Π½-Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΠΊΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄Ρ 8,3 Π±Π°Π»Π»Π° ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅ Π ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°. Π ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ 4,9 Π½Π°Π½Π΅ΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Π½Π΅Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ±. ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π‘Π°Π½-Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΠΊΠΎ, ΡΠ΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π‘Π°Π½-Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΠΊΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ, ΡΠ΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΡΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π―ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΈ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅– ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π°
ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ – ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π° – ΠΠ±ΠΌΠ΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅Π‘Π΅ΡΡ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° ΡΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌ
Π‘Π΅ΡΡ Stack Exchange ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· 176 ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ² Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠ², Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Stack Overflow, ΠΊΡΡΠΏΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π³Π΄Π΅ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΡΠΈΡΡΡΡ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΡ ΠΊΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ.
ΠΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Stack Exchange- 0
- +0
- ΠΠ²ΡΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ
Mathematics Stack Exchange – ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΉΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ, ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅, ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΎΠ² Π² ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ .Π Π΅Π³ΠΈΡΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΡΡΡ.
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ
ΠΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ
ΠΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΡΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ Π½Π°Π²Π΅ΡΡ
Π‘ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»
ΠΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΎ 1ΠΊ ΡΠ°Π·
$ \ begingroup $ ΠΠ°ΠΊΡΡΡΠΎ. ΠΡΠΎ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅. Π Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ.Π₯ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ? ΠΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π» ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΌΠ° Mathematics Stack Exchange.
ΠΠ°ΠΊΡΡΡ 4 Π³ΠΎΠ΄Π° Π½Π°Π·Π°Π΄.
ΠΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ.
$$ \ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ frac {\ log \ left (1 + 7x \ right)} {5x} $$
Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·ΠΊΠ° : $ Q = \ dfrac {7} {5} \ cdot \ dfrac {\ log (1 + 7x)} {7x} $
Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $$ \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ log (1 + 7x)} {5x} = \ frac {0} {0}.$
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ L’Hospitals. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π²Π΅ΡΡ Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
$ \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ log (1 + 7x)} {5x} = \ frac {0} {0} \; \; \; \ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° \;\;\; \ lim_ {x \ to 0} {\ frac {\ frac {1} {1 + 7x} \ cdot 7} {5}} = \ frac {7} {5}
Π΄ΠΎΠ»Π». Π‘Π¨ΠΠ‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $$$ \ lim _ {x \ to 0} \ frac {\ log \ left (1 + 7x \ right)} {5x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {7} {5} \ frac { 1} {7x} \ log {(1 + 7x)} = $$ $$ = \ frac {7} {5} \ log {\ left (\ lim_ {x \ to 0} (1 + 7x) ^ {\ frac {1} {7x}} \ right)} = \ frac {7 } {5} \ log e = \ frac {7} {5} $$
Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
ΠΠ΄ΠΈ ΠΠ°Π½ΠΈΠΠ΄ΠΈ ΠΠ°Π½ΠΈ16.2k44 Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ°2525 ΡΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²4848 Π±ΡΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $ΠΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·ΠΊΠ°
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ $ y << 1 $, ΡΠΎ $ \ log (1 + y) \ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ y $. ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ $ y $ Π½Π° $ 7x $, ΠΈ Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
ΠΠ»ΠΎΠ΄ ΠΠ΅ΠΉΠ±ΠΎΠ²ΠΈΡΠΈΠΠ»ΠΎΠ΄ ΠΠ΅ΠΉΠ±ΠΎΠ²ΠΈΡΠΈ189k5151 Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ8080 ΡΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²172172 Π±ΡΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ°
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π° ΠΈ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ $ 7x = t $: $$ \ frac {7} {5} \ lim_ {t \ to 0} \ lim_ {v \ to 1} \ frac {\ log (v + t) – \ log v} {t} = \ frac {7} {5 } \ lim_ {v \ to 1} \ lim_ {t \ to 0} \ frac {\ log (v + t) – \ log v} {t} = \ frac {7} {5} \ lim_ {v \ to 1} \ frac {1} {v} = \ frac {7} {5}
$Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
AlexAlex18.5k44 Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ°2323 ΡΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ°3838 Π±ΡΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $ Π― Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
$$ \ lim _ {x \ to 0} \ frac {\ log (1 + x)} {x} = 1 $$
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ Π½Π° 7 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ², Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊ 7 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² / 5 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ²
ΡΠ³ΡΠ΅Π³217k1717 Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²117117 ΡΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²280280 Π±ΡΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²
Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 16 ΠΌΠ°Ρ.
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ $ \ log (1 + x) $ Π΄Π»Ρ $ | x | \ lt1 $ ΠΊΠ°ΠΊ:
$$ \ log (1 + x) = x- \ frac {x ^ 2} 2+ \ frac {x ^ 3} 3- \ dots $$
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
$$ \ lim_ \ limits {x \ to0} \ frac {\ log (1 + 7x)} {5x} $$ $$ = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ frac {7x- \ frac {49x ^ 2} 2+ \ dots} {5x} $$ $$ = \ frac75 $$
Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 08 Π½ΠΎΡ.
JMPJMP16.4k5050 Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²2929 ΡΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²4646 Π±ΡΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²
$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Ρ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ JavaScriptΠΠ°ΡΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ
ΠΠ°ΠΆΠΈΠΌΠ°Ρ Β«ΠΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΉΠ»Ρ cookieΒ», Π²Ρ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ°Π΅ΡΠ΅ΡΡ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Stack Exchange ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΉΠ»Ρ cookie Π½Π° Π²Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠΈΠΊΠΎΠΉ Π² ββΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΉΠ»ΠΎΠ² cookie.
ΠΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΉΠ»Ρ cookie ΠΠ°ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ L’HΓ΄pital Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ
ΠΡΠ°ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ
- ΠΠ΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ: $$ 0 ^ 0 $$, $$ 1 ^ \ infty $$ ΠΈ $$ \ infty ^ 0 $$. {\ sin x} $$, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅, ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².+}
\ sin x \ cdot \ ln x
}
&& \ text {ΠΠ΅ΡΠ΅Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ.}
\ end {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ *}
$$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅), ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Β«$$ x \ to $$Β» Π² ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ±ΠΎΠΊΡ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Β«$$Β». \ lim $$ “.
$$ \ textstyle \ lim_ {Ρ \ ΠΊ Π°} Π΅ (Ρ ) = \ Displaystyle \ lim_ {Ρ \ ΠΊ Π°} Π΅ (Ρ ) $$
Π¨Π°Π³ 3Π‘ΡΠ·ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΊΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».+} \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ {\ sin x} \ cdot \ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ{% \ ln x } % = \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ 0 \, \ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ{% (- \ infty) } $$
ΠΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΊΠ΅. +} 1 \ cdot 0 \\ [6pt] % & = 0 \ end {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ *} $$
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ $$ \ lim \ limits_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} Ρ = 1 $$ ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ L’HΓ΄pital Π΄Π»Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ.
Π¨ΠΠ 6ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΡΠ°Π³Π΅ 2 ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡΠ°Π³Π΅ 3 ΠΌΡ ΡΡΠ·ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΊΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ.
$$ \ begin {align *} \ lim_ {Ρ \ to0 ^ +} \ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»(% \ Π³ΡΠ΅Ρ Ρ \ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°) ^ Ρ % & = e ^ {% \ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ{% \ lim_ {x \ to 0 ^ +} ΠΠΊΡ\, \ ln (\ Π³ΡΠ΅Ρ Ρ ) } } && \ text { ΠΈΠ· ΡΠ°Π³Π° 2 } \\ [6pt] % & = e ^ {\ blue 0} && \ text { ΠΈΠ· ΡΠ°Π³Π° 3 } \\ [6pt] % & = 1 \ end {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ *} $$
ΠΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ$$ \ Displaystyle \ lim_ {Ρ \ to0 ^ +} \ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»(% \ Π³ΡΠ΅Ρ Ρ \ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°) ^ x = 1 $$
ΠΠ»Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠΈ, Π²ΠΎΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. {% \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ x } % & = \ lim_ {x \ to \ infty} \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ Ρ \, \ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ{% \ ln \ left (% 1 + \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° 1 Ρ \Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ) } && \ text {Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²} \\ [6pt] % & = \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ \ infty \ cdot \ red {% \ ln 1 } && \ text {ΠΡΠ΅Π½ΠΊΠ°} \\ [6pt] % & = \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ \ infty \ cdot \ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ 0 \ end {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ *} $$
Π¨Π°Π³ 4ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π» ΡΠΎΡΠΌΡ $$ \ frac 0 0 $$.
$$ \ Displaystyle \ lim_ {Ρ \ ΠΊ \ infty} \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ Ρ \, \ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ{% \ ln \ left (% 1 + \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° 1 Ρ \Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ) } % = \ Displaystyle \ lim_ {Ρ \ ΠΊ \ infty} \ frac {% \ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ{% \ ln \ left (% 1 + \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° 1 Ρ \Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ) } } {% \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ {1 / x} } = \ frac {% \ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ{% \ ln 1 } } {% \ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ{% 1 / \ infty } } % = \ frac {% \ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ 0 } {% \ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ 0 } $$
Π¨Π°Π³ 5ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ L’HΓ΄pital ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ Π»ΠΈΠΌΠΈΡ. {- 1} } \\ [6pt] % & = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac 1 {% 1 + \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° 1 Ρ } \\ [6pt] % & = \ frac 1 {1 + 0} \\ [6pt] % & = 1 \ end {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ *} $$
Π¨ΠΠ 6ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».ΠΠΊΡ = e $$.
ΠΠ ΠΠΠΠΠ’ Π ΠΠΠΠ¦ΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ Π ΠΠΠΠ!
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°, Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4
ΠΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ $$ \ Displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»(% Π΅ ^ Ρ \ right) ^ {% 1 / Ρ ^ 2 } $$. 2 } = 1 $$.\ infty $$ . ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» , Π° Π½Π΅ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ .
Π¨Π°Π³ 1ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ Π½ΠΈΡ , – ΡΡΠΎ ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ:
$$ \ begin {align *} \ text {ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ} u (x) \ text {ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ} \ lim_ {x \ to a} & u = 0 \\ [6pt] % \ text {ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ} v (x) \ text {ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ} \ lim_ {x \ to a} & v = \ infty \\ [6pt] % \ end {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΡΡ *} $$
Π³Π΄Π΅ $$ a $$ – Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΠΠ $$ \ infty $$.{% \ lim_ {x \ to a} v \ cdot \ ln u } $$
Π¨Π°Π³ 3Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅. \ infty $$, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ $$ 0 $$.{- \ infty} $$ Π΄Π°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ (Ρ ΠΎΡΡ ΠΈ ΠΠ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ). Π Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ.
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈΠΡΠΈΠ±ΠΊΠ°: ΠΠ°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Β«ΠΠ΅ ΡΠΎΠ±ΠΎΡΒ», Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΡ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΈ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π½Π°ΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ x = 2 y Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ y , ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ».ΠΡΠ»ΠΈ x = 2 y , ΡΠΎΠ³Π΄Π° y = (ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ 2), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ x . Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΆΡΡΠ½Π°Π», Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΠΈ.
y = (ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ 2) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ x
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = log 2 x .
ΠΡΠΎ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β« y ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ x , ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 2Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β« y ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 2, x .β
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°
, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β« y ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ x , ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ b Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β« y ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ b , x Β».
Π ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ x > 0 ΠΈ b > 0, b β 1. ΠΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ y .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅.
5 2 = 25
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅.
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 6 36 = 2
Π±ΡΠ΅Π²Π½ΠΎ a ΠΌ = p
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 7 49 = y
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» y 8 = 3
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 4 y = β2
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 3 (β9) = y
ΠΡΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 3 y Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ.ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, β9 Π½Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
Π§Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10 ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ e . (ΠΡΠΊΠ²Π° e ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ . ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ e ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 2,718281828β¦) ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10, log 10 , ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΡΡΠ½Π°Π», ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π±Π°Π·Π° Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, Π½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ 10.ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ e , log e , ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 100
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 10,000
ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 0,1
ln e
ΠΏΠ΅Ρ. Ρ 2
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ – ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ – Π΄Π²Π΅ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ – ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ f (x) = b y , Π³Π΄Π΅ b> 0
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, , 32 = 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 = 2 2 .
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ 2 2 ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β« Π΄Π²Π° Π² Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΡΠΈ Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β« Π΄Π²Π° Π² Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡΡΠ΅ΡΠΊΡ Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β« Π΄Π²Π° Π² ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. β
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) = b y , Π³Π΄Π΅ b> 0
y = log b x
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ;
f (x) = log b x = y, Π³Π΄Π΅ b – ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, y – ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π° x – Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) = log b x ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«log base b of xΒ». ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ?
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ln ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ e . ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ, Ρ.Π΅.
ln (e x ) = x
e ln x = x
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ (Π°ΠΌΠΈ), Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ – ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² Π½Π΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
βΉ log a (p q) = log a p + log a q.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
βΉ log a (p / q) = log a p – log a q
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ.
βΉ log a (p q ) = q log a p
log a p = log x p β log a x
βΉ log q p = log x ΠΏ / Π»ΠΎΠ³ x q
βΉ Π»ΠΎΠ³ ΠΏ 1 = 0.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ:
- ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ 1.
log a a = 1
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ 1 Π΄ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ 0.
log a 1 = 0
- Log a 0 Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ.
- ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ 1.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ. ΠΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 10 ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π‘ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π²Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΡΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ .ΠΠ±Π΅ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡ.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ. Π ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ±Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π‘ΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 8 2 = 64 Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 8 64328 10 3 = 1000 log 1000 = 3 log Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10 ΠΈΠ· 1000 10 0 = 1 log 1 = 0 log Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 10 ΠΈΠ· 1 25 2 = 625 log 25 625 = 2 log base 25 ΠΈΠ· 625 9352 ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.12 2 = 144 log 12 144 = 2 log base 12 ΠΈΠ· 144 ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ 7 2 = 49 Π² Π΅Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°Π½ΠΎ 7 2 = 64.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ = 7, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ = 2 ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ = 49. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, 7 2 = 64 Π² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ;
βΉ log 7 49 = 2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ 5 3 = 125.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°Π·Π° = 5;
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ = 3;
ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ = 125
5 3 = 125 βΉ log 5 125 = 3
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ x Π² ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π΅ 3 x = 2
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
25
log 3 x = 2
3 2 = x
βΉ x = 9ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4
ΠΡΠ»ΠΈ 2 log x = 4 log 3, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ‘x’.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
2 log x = 4 log 3
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° 2.
log x = (4 log 3) / 2
log x = 2 log 3
log x = log 3 2
log x = log 9
x = 9
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 1024 ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
1024 = 2 10
log 2 1024 = 10
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π΅ 2 ( x ) = 4
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ log 08 x ) = 4 Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
2 4 = x
16 = x
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ x Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ 2 (x – 1) = 5.
43
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ;log 2 (x – 1) = 5 βΉ x – 1 = 2 5
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ x Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ.
βΉ x – 1 = 32
x = 33ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ x 900 = 2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ;
x 2 = 900
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ;
x = -30 ΠΈ 30
ΠΠΎ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ 1, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 30.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9
Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ x, log x = log 2 + log 5
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° Log b (mn) = log b m + log b n ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ;
βΉ ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 2 + ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 5 = ΠΆΡΡΠ½Π°Π» (2 * 5) = ΠΆΡΡΠ½Π°Π» (10).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, x = 10.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 10
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x (4x – 3) = 2
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ;
x 2 = 4x – 3
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
x 2 = 4x – 3
x 2 – 4x + 3 = 0
(x -1) (x – 3) = 0x = 1 ΠΈΠ»ΠΈ 3
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ 1, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – 3.
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ1. ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
Π°. 1ΠΎΠ³ 2 6
Π±. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 9 3
c. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 4 1
Π΄. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 6 6
e. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 8 25
Ρ. log 3 (-9)
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ x Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
a. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 3 (x + 1) = 2
b. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 5 (3x – 8) = 2
c.ΠΆΡΡΠ½Π°Π» (x + 2) + ΠΆΡΡΠ½Π°Π» (x – 1) = 1
d. log x 4 – log 3 = log (3x 2 )
3. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
Π°. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 2 8 = y
b. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 5 1 = y
c. ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 4 1/8 = y
d. log y = 100000
4. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ xif log x (9/25) = 2.
5. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ log 2 3 – log 2 24
6. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ log 5 (125x) = 4
7.