Добавление и редактирование содержимого ячейки в Pages на Mac
Добавлять содержимое в ячейки таблицы можно несколькими способами. Можно ввести новое содержимое, скопировать и вставить содержимое из другого источника или применить автозаполнение в Pages. Добавленное в ячейку содержимое можно в любой момент отредактировать или удалить.
Примечание. Если добавить содержимое в таблицу не получается, убедитесь, что она не закреплена. Нажмите таблицу, затем выберите «Расстановка» > «Открепить» (меню «Расстановка» расположено у верхнего края экрана).
Добавление содержимого в ячейки
Добавление содержимого в пустую ячейку. Нажмите ячейку, затем начните вводить данные.
При вводе текста Pages отображает список вариантов автоматического заполнения. В списке предлагается текст, ранее введенный в этом столбце, кроме текста из ячеек заголовков и итогов. Нажмите клавишу Tab, чтобы пролистать список.
Когда нужный вариант выбран, нажмите клавишу Return, чтобы ввести его в ячейку. Функцию автоматического заполнения можно выключить и включить в настройках Pages.Вставка абзацев в ячейку. Скопируйте абзацы, которые хотите вставить, дважды нажмите ячейку, затем выберите «Правка» > «Вставить» (меню «Правка» расположено у верхнего края экрана).
Редактирование содержимого. Дважды нажмите ячейку для отображения точки вставки, затем введите данные. Для перемещения точки вставки нажмите место, где должна отобразиться точка вставки; затем введите содержимое.
Замена содержимого. Нажмите ячейку, затем начните вводить данные. Имеющееся содержимое будет заменено новым.
Удаление всего содержимого. Нажмите ячейку, затем нажмите клавишу Delete на клавиатуре.
Когда нужный вариант выбран, нажмите клавишу Return, чтобы ввести его в ячейку. Функцию автоматического заполнения можно выключить и включить в настройках Pages.Информацию о настройке определенных форматов данных для ячеек см. в разделе Форматирование дат, значений валют и других типов данных.
В ячейки таблицы также можно добавлять объекты, добавлять ссылки и вставлять уравнения.
Перенос текста по словам для размещения в ячейке
Если ширины ячейки недостаточно для отображения всего текста ячейки, можно расположить текст ячейки в нескольких строках, применив функцию переноса строк текста.
Перенос текста по словам в отдельной ячейке. Нажмите таблицу, нажмите ячейку, удерживая клавишу Control, затем выберите «Переносить по словам» в контекстном меню. Если перенос текста по словам включен, отображается флажок. Чтобы отменить перенос текста, снимите флажок «Переносить по словам».
Перенос или отмена переноса текста для строки, столбца или всей таблицы. Выберите строку или столбец или выберите таблицу. В боковой панели «Формат» нажмите вкладку «Таблица», затем нажмите кнопку «Стиль» у верхнего края. Установите или снимите флажок «Перенос по словам».
Удаление содержимого из диапазона ячеек.
Выберите ячейки, которые нужно удалить.
Выполните одно из описанных ниже действий.
Удаление содержимого с сохранением формата данных в ячейке, стиля текста и стиля ячейки. Нажмите клавишу Delete.
Удаление всех данных, отмена форматирования и применения стилей. Выберите «Правка» > «Очистить все» (меню «Правка» расположено у верхнего края экрана).
Автозаполнение ячеек
Можно также быстро заполнить ячейки, строку или столбец одними и теми же данными, формулой или логической последовательностью данных, например чисел, букв или дат.
Выполните одно из указанных ниже действий.
Автозаполнение одной или нескольких ячеек содержимым из соседних ячеек. Выберите ячейки, содержимое которых нужно скопировать, затем наведите указатель на границу выбранной области, пока не появится желтый манипулятор автозаполнения (точка).
Перетяните манипулятор через ячейки, в которые следует скопировать содержимое.Добавляются любые данные, формат ячейки, формула или заливка из выбранных ячеек, но не комментарии. Автозаполнение приводит к перезаписи текущих данных добавляемым Вами содержимым.
Автозаполнение ячеек последовательным содержимым или шаблонами из соседних ячеек. Введите первые два элемента серии в первые две основные ячейки (не ячейки заголовков или итогов) строки или столбца, которые нужно заполнить; например, введите A и Б. Выберите эти ячейки, поместите указатель на границу выбранной области, чтобы появился желтый манипулятор автозаполнения (точка), затем перетяните его через ячейки, которые нужно заполнить.
Вы также можете автоматически заполнить ячейки, используя шаблоны значений. Например, если две выбранные ячейки содержат 1 и 4, то при перетягивании их через две соседние ячейки в соседние ячейки добавятся значения 7 и 10 (то есть значение каждый раз увеличивается на 3).
Перетяните манипулятор через ячейки, в которые следует скопировать содержимое.
Автозаполнение не устанавливает постоянных связей между ячейками в группе. После автозаполнения Вы сможете изменить значения ячеек независимо друг от друга.
При автозаполнении ячеек все формулы, которые ссылаются на эти ячейки, автоматически обновляются с использованием нового значения.
Включение и выключение автоматического заполнения
В Pages можно настроить отображение вариантов автоматического заполнения при вводе текста в ячейке. В списке предлагается текст, ранее введенный в этом столбце, кроме текста из ячеек заголовков и итогов. По умолчанию автоматическое заполнение включено, однако его можно в любой момент выключить и включить снова.
Выберите «Pages» > «Настройки» (меню «Pages» расположено у верхнего края экрана).
Нажмите «Основные» в верхней части окна предпочтительных параметров.
В разделе «Правка» установите или снимите флажок «Показывать предложения при редактировании ячеек в таблице».
Добавление объекта в ячейку таблицы
В ячейки таблиц можно вставлять изображения, фигуры, линии, диаграммы, уравнения и текстовые блоки. Вставленные объекты встраиваются в текст внутри ячейки.
Выберите объект в документе (или другой документ) или текст, содержащий встроенный объект, затем выберите «Правка» > «Вырезать» или «Правка» > «Скопировать» (при вырезании объект удаляется из исходного размещения).
Дважды нажмите ячейку, в которую нужно добавить объект (эта ячейка уже может содержать текст), чтобы отобразилась точка вставки.
Если в ячейке уже есть содержимое, снова нажмите в месте вставки, затем выберите «Правка» > «Вставить».
Примечание. Прежде чем вставлять текстовый блок или фигуру (включая ее содержимое) в ячейку, убедитесь, что внутри ячейки отображается точка вставки. Если вместо этого выбрана ячейки, будет вставлен только текст внутри объекта.
Если вставить в ячейку фильм, будет отображаться только изображение афиши, видео в ячейке не воспроизводится. Однако свойства фильма не меняются, поэтому после копирования и вставки в другую часть документа воспроизведение в новом местоположении происходит обычным образом.
Чтобы удалить объект из ячейки, поместите точку вставки в ячейку справа от объекта, затем нажмите Delete на клавиатуре.
Отображение строки или столбца, содержащих ячейку таблицы
Можно временно выделить строку или столбец в ячейке синим цветом при перемещении указателя по таблице. В большой таблице это поможет определить ссылки на столбец или строку для определенных ячеек.
Копирование и перемещение ячеек таблицы
При копировании ячейки таблицы или перемещении информации из ячейки в другое место таблицы также копируются или перемещаются все ее свойства, включая данные, формат, заливку, границы и комментарии.
Выберите ячейки, которые нужно скопировать или переместить.
Выполните одно из описанных ниже действий.
Перемещение данных. После выбора ячеек нажмите и не отпускайте их, пока ячейки не поднимутся из таблицы, затем перетяните их, поместив в другое место в таблице. Существующие данные будут замены новыми данными.
Вставка и перезапись существующих данных. Выберите «Правка» > «Скопировать» (меню «Правка» расположено у верхнего края экрана). Выберите верхнюю левую ячейку, в которую нужно вставить данные (или выберите область того же размера, что и ячейки, которые Вы вставляете), затем выберите «Правка» > «Вставить».
Если в диапазоне данных содержатся формулы, но Вы хотите вставить только результаты вычислений, выберите «Вставить результаты формулы».
Примечание. Перед вставкой убедитесь, что выбрана только одна ячейка или выберите область того же размера, что и область вставляемых ячеек.
Вставка стиля ячейки.
Выберите «Формат» > «Скопировать стиль» (меню «Формат» расположено у верхнего края экрана). Выберите ячейки, стиль которых требуется вставить, затем выберите «Формат» > «Вставить стиль».Вставить содержимое ячейки без стиля. Выберите «Правка» > «Скопировать», выберите ячейки для вставки, затем выберите «Правка» > «Вставить и согласовать стиль». Вставленные ячейки принимают форматирование нового местоположения.
Вставить за пределами имеющейся таблицы для создания новой таблицы. Перетяните ячейки за пределы таблицы. Будет создана новая таблица со скопированными ячейками.
Выберите «Формат» > «Скопировать стиль» (меню «Формат» расположено у верхнего края экрана). Выберите ячейки, стиль которых требуется вставить, затем выберите «Формат» > «Вставить стиль».Если скопировать диапазон ячеек, в котором есть скрытые данные (скрытые напрямую или путем фильтрации), скрытые данные также будут скопированы. Если вставить ячейки в диапазон ячеек с совпадающим расположением скрытых ячеек, скрытые данные также будут вставлены. В противном случае скрытые данные не будут вставлены.
См.
такжеФорматирование дат, значений валют и других типов данных в Pages на MacИзменение размера строк и столбцов таблицы в Pages на MacДобавление ссылкиОбъединение или разделение ячеек таблицы в Pages на MacДобавление математических уравнений в Pages на Mac
Таблица перевода pH и Тернера; АПК Импульс
Лабораторное оборудование
→ Инфо
→ Статьи
→ Таблица перевода pH и Тернера
Усредненные соотношение между величиной рН и титрируемой кислотностью молока коровьего цельного заготовляемого, пастеризованного ,топленного
Титруемая кислотность Т°С | молока цельного заготавляемого | Пастеризованное молоко | Топленное молоко | |||
Пределы рН | Среднее значение рН | Пределы рН | Среднее значение рН | ПределырН | Среднее значение рН | |
16 | 6,75-6,72 | 6,73 | 6,7-6,6 | 6,68 | 6,64-6,59 | 6,61 |
17 | 6,71-6,67 | 6,69 | 6,65-6,61 | 6,63 | 6,58-6,54 | 6,56 |
18 | 6,66-6,61 | 6,64 | 6,6-6,55 | 6,57 | 6,53-6,48 | 6,5 |
19 | 6,60-6,55 | 6,58 | 6,54-6,49 | 6,51 | 6,47-6,42 | 6,44 |
20 | 6,54-6,49 | 6,52 | 6,48-6,43 | 6,45 | 6,41-6,37 | 6,39 |
21 | 6,48-6,44 | 6,46 | 6,42-6,38 | 6,4 | 6,36-6,32 | 6,34 |
22 | 6,43-6,39 | 6,41 | 6,37-6,32 | 6,34 | 6,31-6,26 | 6,28 |
23 | 6,38-6,34 | 6,36 | 6,3-6,26 | 6,28 | 6,25-6,21 | 6,23 |
24 | 6,33-6,29 | 6,31 | 6,25-6,21 | 6,23 | 6,2-6,16 | 6,18 |
25 | 6,28-6,24 | 6,26 | 6,2-6,16 | 6,18 | 6,15-6,11 | 6,13 |
26 | 6,23-6,19 | 6,21 | 6,15-6,11 | 6,13 | 6,1-6,06 | 6,08 |
27 | 6,18-6,14 | 6,1-6,06 | 6,08 | 6,05-6,01 | 6,03 | |
Усредненные соотношение между величиной рН и титрируемой кислотностью пастеризованных сливок
Титруемая кислотность Т°С | Сливки пастеризованные ж-10% | Сливки пастеризованные ж-10% | ||
Пределы рН | Среднее значение рН | Пределы рН | Среднее значение рН | |
16 | 6,67-6,61 | 6,63 | 6,62-6,58 | 6,6 |
17 | 6,6-6,55 | 6,57 | 6,57-6,52 | 6,54 |
18 | 6,54-6,49 | 6,51 | 6,51-6,46 | 6,48 |
19 | 6,48-6,42 | 6,45 | 6,45-6,4 | 6,42 |
20 | 6,41-6,35 | 6,39 | 6,39-6,34 | 6,36 |
21 | 6,34-6,3 | 6,33 | 6,33-6,28 | 6,3 |
22 | 6,29-6,24 | 6,27 | 6,27-6,22 | 6,24 |
23 | 6,24-6,18 | 6,21 | 6,21-6,16 | 6,18 |
24 | 6,17-6,12 | 6,15 | 6,15-6,1 | 6,12 |
25 | 6,11-6,06 | 6,09 | 6,09-6,04 | 6,06 |
26 | 6,05-6,0 | 6,03 | 6,03-5,98 | 6,0 |
Усредненные соотношение между величиной рН и титируемой кислотностью кисломолочных напитков
Титруемая кислотность Т°С | Значения рН | |||
Кефир | ацедофилин | простокваша | ряженка | |
50 | 5,38 | 5,37 | 5,3 | 5,04 |
55 | 5,25 | 5,23 | 5,15 | 4,9 |
60 | 5,14 | 5,1 | 5,00 | 4,77 |
65 | 5,04 | 4,96 | 4,86 | 4,65 |
70 | 4,94 | 4,82 | 4,73 | 4,65 |
75 | 4,85 | 4,69 | 4,6 | 4,45 |
80 | 4,76 | 4,57 | 4,47 | 4,37 |
85 | 4,68 | 4,46 | 4,37 | 4,30 |
90 | 460 | 436 | 428 | 423 |
95 | 4,54 | 4,28 | 4,21 | 4,18 |
100 | 4,48 | 4,20 | 4,14 | |
105 | 4,42 | 4,14 | 4,08 | 4,09 |
110 | 4,36 | 4,08 | 4,02 | 4,05 |
115 | 4,31 | 4,02 | 3,98 |
|
120 | 4,26 | 3,97 | 3,94 |
|
125 |
| 3,92 | 3,91 |
|
130 |
| 3,88 | 3,88 |
|
135 |
| 3,84 |
|
|
140 |
| 3,82 |
|
|
145 |
| 3,80 |
|
|
150 |
| 3,78 |
|
|
Усредненные соотношение между величиной рН и титируемой кислотностью творога
Титруемая кислотность Т°С | Значения рН | |
Творог жирный ж=18-19% ,влажность64-65%
| Творог диетический ,жир11%,влажность 72% | |
150 |
| 4,54 |
155 |
| 4,48 |
160 |
| 4,42 |
165 |
| 4,38 |
170 |
| 4,33 |
175 |
| 4,27 |
180 | 4,62 | 4,22 |
185 | 4,54 | 4,17 |
190 | 4,48 | 4,12 |
195 | 4,43 | 4,08 |
200 | 4,38 | 4,04 |
205 | 4,33 |
|
210 | 4,28 |
|
215 | 4,24 |
|
220 | 4,20 |
|
225 | 4,16 |
|
230 | 4,13 |
|
235 | 4,10 |
|
240 | 4,08 |
|
245 | 4,06 |
|
250 | 4,04 |
|
Уважаемые пользователи, если вы заметили ошибки или неточности – просим вас сообщить нам об этом по e-mail: info@apkimpulse.
ru
2.2: Пределы функций — Mathematics LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 10099
Концепция предела или ограничивающего процесса, необходимая для понимания исчисления, существует уже тысячи лет. На самом деле ранние математики использовали ограничивающий процесс для получения все более и более точных приближений площадей кругов. Однако формальное определение предела — в том виде, в каком мы его знаем и понимаем сегодня — появилось только в конце XIX в.2}\),
, которые показаны на рисунке \(\PageIndex{1}\). В частности, давайте сосредоточим наше внимание на поведении каждого графа при \(x=2\) и около него.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Эти графики показывают поведение трех различных функций вокруг \(x=2\).
Каждая из трех функций не определена в точке \(x=2\), но если мы делаем это утверждение и никакое другое, мы даем очень неполную картину того, как каждая функция ведет себя вблизи точки \(x=2\). Чтобы более полно выразить поведение каждого графа вблизи 2, нам нужно ввести понятие предела. 92−4)/(x−2)\) ведет себя примерно так, как \(x=2\) на рисунке \(\PageIndex{1}\). Когда значения x приближаются к 2 по обе стороны от 2, значения \(y=f(x)\) приближаются к 4. Математически мы говорим, что предел \(f(x)\) при приближении x к 2 равен 4. Символически мы выражаем этот предел как
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)=4\).
Из этого очень краткого неформального взгляда на один предел давайте начнем разрабатывать интуитивно понятное определение предела . Мы можем думать о пределе функции при числе а как об одном действительном числе \(L\), к которому функциональные значения приближаются по мере того, как значения x приближаются к а, при условии, что такое действительное число L существует.
Сформулировав более тщательно, мы имеем следующее определение:
Определение (интуитивное): Предел
Пусть \(f(x)\) — функция, определенная для всех значений в открытом интервале, содержащем \(a\), за возможным исключением самого a, и пусть \(L \) быть действительным числом. Если все значения функции \(f(x)\) приближаются к действительному числу \(L\), а значения \(x(≠a)\) приближаются к числу a, то мы говорим, что предел \( f(x)\) при приближении \(x\) к \(a\) есть \(L\). (Более кратко, поскольку \(x\) приближается к \(a\), \(f(x)\) приближается и остается близким к \(L\).) Символически мы выражаем эту идею как
\[\lim_{x \to a} f(x)=L.\]
Мы можем оценить пределы, составив таблицы функциональных значений и просмотрев их графики. Этот процесс описан в следующей стратегии решения проблем.
Стратегия решения проблем: оценка предела с использованием таблицы функциональных значений
1. Чтобы оценить \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\), мы начнем с заполнения таблицы функциональных значений .
Мы должны выбрать два набора значений x: один набор значений, приближающихся к а и меньше а, и другой набор значений, приближающихся к а и превышающих \(а\). В таблице \(\PageIndex{1}\) показано, как могут выглядеть ваши таблицы.
| \(х\) | \(f(x)\) | \(х\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(а-0,1\) | \(ф(а-0,1)\) | \(а+0,1\) | \(f(а+0,1)\) |
| \(а-0,01\) | \(ф(а-0,01)\) | \(а+0,001\) | \(f(а+0,001)\) |
| \(а-0,001\) | \(f(а-0,001)\) | \(а+0,0001\) | \(f(а+0,001)\) |
| \(а-0,0001\) | \(ф(а-0,0001)\) | \(а+0,00001\) | \(ф(а+0,0001)\) |
При необходимости используйте дополнительные значения. | При необходимости используйте дополнительные значения. | ||
2. Далее давайте посмотрим на значения в каждом из столбцов \(f(x)\) и определим, приближаются ли значения к одному значению по мере продвижения вниз по каждому столбцу. В наших столбцах мы смотрим на последовательность \(f(a-0,1)\), \(f(a-0,01)\), \(f(a-0,001)\), \(f(a-0,0001) \) и так далее, и \(f(a+0,1),f(a+0,01),f(a+0,001),f(a+0,0001)\) и так далее. (Примечание: хотя мы выбрали значения x \(a±0,1,a±0,01,a±0,001,a±0,0001\) и т. д., и эти значения, вероятно, будут работать почти каждый раз, в очень редких случаях мы возможно, потребуется изменить наш выбор.)
3. Если оба столбца приближаются к общему значению y L, мы указываем \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L\). Мы можем использовать следующую стратегию для подтверждения результата, полученного из таблицы, или в качестве альтернативного метода оценки предела.
4.
С помощью графического калькулятора или программного обеспечения, которое позволяет нам графически отображать функции, мы можем построить график функции \(f(x)\), убедившись, что функциональные значения \(f(x)\) для значений x близки в нашем окне. Мы можем использовать функцию трассировки, чтобы перемещаться по графику функции и наблюдать за показаниями значения y по мере того, как значения x приближаются к a. Если значения y приближаются к L, когда наши значения x приближаются к a с обоих направлений, тогда \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L\). Возможно, нам придется увеличить наш график и повторить этот процесс несколько раз.
Мы применяем эту стратегию решения проблем для вычисления лимита в примерах \(\PageIndex{1A}\) и \(\PageIndex{1B}\).
Пример \(\PageIndex{1A}\): оценка предела с помощью таблицы функциональных значений
Оценка \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\) с таблица функциональных значений.
Решение
Мы рассчитали значения \(f(x)=(\sin x)/x\) для значений \(x\), перечисленных в таблице \(\PageIndex{2}\) .
| \(х\) | \(\frac{\sin x}{x}\) | \(х\) | \(\frac{\sin x}{x}\) |
|---|---|---|---|
| -0,1 | 0,998334166468 | 0,1 | 0,998334166468 |
| -0,01 | 0,999983333417 | 0,01 | 0,999983333417 |
| -0,001 | 0,999999833333 | 0,001 | 0,999999833333 |
| -0,0001 | 0,999999998333 | 0,0001 | 0,999999998333 |
Примечание.
Значения в этой таблице были получены с помощью калькулятора и с использованием всех мест, указанных в выходных данных калькулятора.
Читая каждый столбец \(\frac{(\sin x)}{x}\), мы видим, что значения в каждом столбце приближаются к единице. Таким образом, вполне разумно заключить, что \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\). График \(f(x)=\frac{(sinx)}{x}\), построенный калькулятором или компьютером, будет аналогичен графику, показанному на рисунке \(\PageIndex{2}\), и подтверждает наши оценивать.
Рисунок \(\PageIndex{2}\): График \(f(x)=(\sin x)/x\) подтверждает оценку из табл.
Пример \(\PageIndex{1B}\): Оценка предела с помощью таблицы функциональных значений
Вычислить \(\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}−2}{x −4}\) с помощью таблицы функциональных значений.
Решение
Как и прежде, мы используем таблицу — в данном случае Таблицу \(\PageIndex{3}\) — для перечисления значений функции для заданных значений \(x\).
| \(х\) | \(\frac{\sqrt{x}−2}{x−4}\) | \(х\) | \(\frac{\sqrt{x}−2}{x−4}\) |
|---|---|---|---|
| 3,9 | 0,251582341869 | 4.1 | 0,248456731317 |
| 3,99 | 0,25015644562 | 4.01 | 0,24984394501 |
| 3,999 | 0,250015627 | 4. 001 | 0,249984377 |
| 3,9999 | 0,250001563 | 4.0001 | 0,249998438 |
| 3,99999 | 0,25000016 | 4.00001 | 0,24999984 |
Изучив эту таблицу, мы видим, что функциональные значения меньше 4 уменьшаются до 0,25, тогда как функциональные значения больше 4 увеличиваются до 0,25. Мы заключаем, что \(\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}−2}{x−4}=0,25\). Мы подтверждаем эту оценку, используя график \(f(x)=\frac{\sqrt{x}−2}{x−4}\), показанный на рисунке \(\PageIndex{3}\).
Рисунок \(\PageIndex{3}\): График \(\frac{\sqrt{x}−2}{x−4}\) подтверждает оценку из таблицы
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Оцените \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}−1}{x−1}\) с помощью таблицы функционала ценности. Используйте график, чтобы подтвердить свою оценку.
- Подсказка
Используйте 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999 и 1,1, 1,01, 1,001, 1,0001, 1,00001 в качестве табличных значений.
- Ответить
\[\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}−1}{x−1}=−1\]
На данный момент из примеров \(\PageIndex{1A}\) и \(\PageIndex{1b}\) мы видим, что может быть так же просто, если не проще, оценить предел функции, исследуя его график, как он есть, для оценки предела с помощью таблицы функциональных значений. В примере \(\PageIndex{2}\) мы оцениваем ограничение исключительно по графику, а не по таблице функциональных значений.
Пример \(\PageIndex{2}\): оценка предела с помощью графика
Для \(g(x)\), показанного на рис. {х\к-1}г(х)\).
Рисунок \(\PageIndex{4}\): График \(g(x)\) включает одно значение не на гладкой кривой.
Решение :
Несмотря на то, что \(g(−1)=4\), когда значения x приближаются к −1 с любой стороны, значения \(g(x)\) приближаются к 3. Следовательно, \(\displaystyle \lim_{x\to-1}g(x)=3\). Заметим, что мы можем определить этот предел, даже не зная алгебраического выражения функции.
На основе примера \(\PageIndex{2A}\) мы делаем следующее наблюдение: возможно, что предел функции существует в точке, и функция может быть определена в этой точке, но предел функции и значение функции в точке могут быть разными.
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
Используйте график \(h(x)\) на рисунке \(\PageIndex{5}\) для оценки \(\displaystyle \lim_{x \to 2 }h(x)\), если это возможно.
Рисунок \(\PageIndex{5}\):
- Подсказка
К какому значению y приближается функция, когда значения x приближаются к 2?
- Решение
\(\displaystyle \lim_{x \to 2}h(x)=−1.
\)
\)Глядя на таблицу функциональных значений или глядя на график функции, мы получаем полезную информацию о значении предела функции в данной точке. Однако эти методы слишком полагаются на догадки. Со временем нам потребуется разработать альтернативные методы оценки пределов. Эти новые методы носят более алгебраический характер, и мы рассмотрим их в следующем разделе; однако на этом этапе мы вводим два специальных ограничения, которые лежат в основе будущих методов.
Два важных ограничения
Пусть a — действительное число, а c — константа.
- \(\displaystyle \lim_{x \to a}x=a\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to a}c=c\)
Мы можем сделать следующие замечания относительно этих двух пределов.
- Для первого предела заметим, что когда x приближается к a, то же самое происходит и с \(f(x)\), потому что \(f(x)=x\). Следовательно, \(\displaystyle \lim_{x \to a}x=a\).
- Для второго предела рассмотрим табл.
| \(х\) | \(f(x0=c\) | \(х\) | \(f(x)=c\) |
|---|---|---|---|
| \(а-0,1\) | с | \(а+0,1\) | с |
| \(а-0,01\) | с | \(а+0,01\) | с |
| \(а-0,001\) | с | \(а+0,001\) | с |
| \(а-0,0001\) | с | \(а+0,0001\) | с |
Обратите внимание, что для всех значений x (независимо от того, приближаются ли они к a), значения \(f(x)\) остаются постоянными в точке c.
У нас нет другого выбора, кроме как заключить \(\displaystyle \lim_{x \to a}c=c\).
Существование предела
Когда мы рассматриваем предел в следующем примере, имейте в виду, что для того, чтобы предел функции существовал в точке, функциональные значения должны приближаться к единственному вещественному значению в этой точке. Если функциональные значения не приближаются к единому значению, то предела не существует.
Пример \(\PageIndex{3}\): оценка несуществующего предела
Вычислить \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\sin(1/x)\) с помощью таблицы значений.
Решение
В таблице \(\PageIndex{3}\) перечислены значения функции \(\sin(1/x)\) для заданных значений \(x\).
| \(х\) | \(\sin(1/x)\) | \(х\) | \(\sin(1/x)\) |
|---|---|---|---|
| -0,1 | 0,544021110889 | 0,1 | −0,544021110889 |
| -0,01 | 0,50636564111 | 0,01 | −0,50636564111 |
| -0,001 | −0,8268795405312 | 0,001 | 0,8268795405312 |
| -0,0001 | 0,305614388888 | 0,0001 | −0,305614388888 |
| -0,00001 | −0,035748797987 | 0,00001 | 0,035748797987 |
| -0,000001 | 0,349993504187 | 0,000001 | −0,349993504187 |
Изучив таблицу функциональных значений, мы видим, что значения y не приближаются ни к одному единственному значению.
Получается, что предела не существует. Прежде чем сделать такой вывод, давайте подойдем более системно. Возьмите следующую последовательность значений x, приближающихся к 0:
\[\frac{2}{π},\frac{2}{3π},\frac{2}{5π},\frac{2}{7π},\frac{2}{9π},\ frac{2}{11π},….\]
Соответствующие значения y равны
\[1,-1,1,-1,1,-1,….\]
В этой точке мы действительно можем заключить, что \(\displaystyle \lim_{x \to 0}sin(1/x)\) не существует. (Математики часто сокращают «не существует» до DNE. Таким образом, мы будем писать \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin(1/x)\) DNE.) График \(f(x) =sin(1/x)\) показан на рисунке \(\PageIndex{6}\) и дает более четкое представление о поведении \(sin(1/x)\) при приближении x к 0. Вы можете видеть что \(sin(1/x)\) все более сильно колеблется между -1 и 1 по мере того, как \(x\) приближается к 0,92−4∣}{x−2}\) не существует.
Односторонние пределы
Иногда указание на то, что предел функции не существует в какой-либо точке, не дает нам достаточной информации о поведении функции в этой конкретной точке.
Чтобы убедиться в этом, вернемся к функции \(g(x)=|x−2|/(x−2)\), представленной в начале раздела (см. рисунок (b)). Поскольку мы выбираем значения x, близкие к 2, \(g(x)\) не приближается к одному значению, поэтому предела при приближении x к 2 не существует, то есть \(\displaystyle \lim_{x \to 2 }g(x)\) ДНУ. Однако само по себе это утверждение не дает нам полной картины поведения функции вблизи значения x 2. Для более точного описания введем понятие 9+}g(x)=1.\]
Теперь мы можем дать неформальное определение односторонних пределов.
Определение: односторонние пределы
Мы определяем два типа односторонних пределов.
Предел слева:
Пусть \(f(x)\) — функция, определенная при всех значениях в открытом интервале вида \(z\), и пусть \(L\) — вещественная количество. Если значения функции \(f(x)\) приближаются к действительному числу \(L\), как значения \(x\) (где \(x
2-4\)”> 0,004001
Рассмотрим теперь связь между пределом функции в точке и пределами справа и слева в этой точке. Кажется очевидным, что если предел справа и предел слева имеют общее значение, то это общее значение является пределом функции в этой точке. Точно так же, если предел слева и предел справа принимают разные значения, предел функции не существует. Эти выводы обобщены в примечании. 9+}f(x)\).
Ключевые понятия
2.2: Limits of Functions распространяется по лицензии CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором является LibreTexts.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Показать страницу TOC
- нет
- Включено
- да
- Теги
- расчетный график:да
Как оценить пределы с помощью таблиц
При работе с таблицами лучшее, что мы можем сделать, это оценить предельное значение.
Примеры
Пример 1: Использование таблиц для оценки пределов
Используйте приведенные ниже таблицы, чтобы оценить значение $$\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)$$.
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 4,5 и 8,32571\\\hline 4,75 и 8,95692\\\hлиния 4.9& 8.99084\\\hлиния 4,99 и 8,99987\\\hлиния 4,999 и 8,99992\\\hлиния 4,9999 и 8,99999\\\hлиния \конец{массив} $$
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
5.
5 и 9.64529\\\hлиния
5,25 и 9,26566\\\hлиния
5.1 и 9.04215\\\hлиния
5.01 и 9.00113\\\hлиния
5.001 и 9.00011\\\hлиния
5,0001 и 9,00001\\\hлиния
\конец{массив}
$$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
При приближении значений $$x$$ к 5…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
4,5 и 8,32571\\\hline
4,75 и 8,95692\\\hлиния
4,9 и 8,99084\\\hлиния
4,99 и 8,99987\\\hлиния
4,999 и 8,99992\\\hline
4,9999 и 8,99999\\\hлиния
\конец{массив}
$$
.
..$$f(x)$$ приближается к 9.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда справа приближается $$x$$.
При приближении значений $$x$$ к 5…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
5.5 и 9.64529\\\hлиния
5,25 и 9,26566\\\hлиния
5.1 и 9.04215\\\hлиния
5.01 и 9.00113\\\hлиния
5.001 и 9.00011\\\hлиния
5,0001 и 9,00001\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…$$f(x)$$ приближается к 9.
Шаг 3
Если кажется, что функция приближается к одному и тому же значению в обоих направлениях, то это оценка предельного значения.
Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) \приблизительно 9$$.
Пример 2. Использование таблиц для оценки пределов
Используя приведенные ниже таблицы, оцените $$\displaystyle \lim_{x\to-8} f(x)$$.
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline -8,5 и 13,1365\\\hлиния -8,1 и -2,4336\\\hлиния -8,01 и -2,91313\\\hлиния -8,001 и -2,99131\\\hлиния -8,0001 и -2,99913\\\hлиния -8,00001 и -2,99991\\\hline \конец{массив} $$
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
-7,5 и -6\\\hлиния
-7,9 и -5,5\\\hлиния
-7,99 и -5,15\\\hлиния
-7,999 и -5,015\\\hлиния
-7,9999 и -5.
0015\\\hлиния
-7,99999 и -5,00015\\\hлиния
\конец{массив}
$$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
По мере приближения значений $$x$$ к -8…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
-8,5 и 13,1365\\\hлиния
-8,1 и -2,4336\\\hлиния
-8,01 и -2,91313\\\hline
-8,001 и -2,99131\\\hлиния
-8,0001 и -2,99913\\\hлиния
-8,00001 и -2,99991\\\hлиния
\конец{массив}
$$
.
..$$f(x)$$ приближается к -3.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда справа приближается $$x$$.
По мере приближения значений $$x$$ к -8…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
-7,5 и -4\\\hлиния
-7,9 и -3,5\\\hлиния
-7,99 и -3,15\\\hлиния
-7,999 и -3,015\\\hлиния
-7,9999 и -3,0015\\\hлиния
-7,99999 и -3.00015\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…$$f(x)$$ приближается к -3.
Шаг 3
Если кажется, что функция приближается к разным значениям, то предела не существует.
Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to-8} f(x)$$ не существует.
Практические задачи
Задача 1
Оцените $$\lim\limits_{x\to12} f(x)$$, используя приведенные ниже таблицы.
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 11,5 и 7\\\hлиния 11,9 и 7,5\\\hлиния 11,99 и 7,9\\\hлайн 11,999 и 7,99\\\hline 11,9999 и 7,999\\\hлиния 11,99999 и 7,9999\\\hлиния \конец{массив} $$
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и е(х)\\
\hline
12,5 и 8,5\\\hлиния
12.
1 и 8.1\\\hлиния
12.01 и 8.01\\\хлайн
12.001 и 8.001\\\hлиния
12.0001 и 8.0001\\\hлиния
12.00001 и 8.00001\\\hлиния
\конец{массив}
$$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 12 слева…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
11,5 и 7\\\hлиния
11,9 и 7,5\\\hлиния
11,99 и 7,9\\\hлиния
11,999 и 7,99\\\hлиния
11,9999 и 7,999\\\hлиния
11,99999 и 7,9999\\\hлиния
\конец{массив}
$$
.
..$$f(x)$$ приближается к 8.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда справа приближается $$x$$.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 12 справа
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х))}\\
\hline
12,5 и 8,5\\\hлиния
12.1 и 8.1\\\hлиния
12.01 и 8.01\\\хлайн
12.001 и 8.001\\\hлиния
12.0001 и 8.0001\\\hлиния
12.00001 и 8.00001\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…f(x), похоже, приближается к 8.
Шаг 3
Если кажется, что функция приближается к одному и тому же значению в обоих направлениях, то это оценка предельного значения.
$$\displaystyle \lim_{x\to 12} f(x) \приблизительно 8$$.
Проблема 2
Что можно определить относительно $$\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}} f(x)$$ на основе приведенных ниже таблиц?/
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 0 и 1,7\\\hлиния 0,2 и 1,75\\\hлиния 0,4 и 1,795\\\hлиния 0,45 и 1,7995\\\hлиния 0,49 и 1,79995\\\hлиния 0,499 и 1,79999\\\hлиния \конец{массив} $$
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 1 и -2,44445\\\hлиния 0,8 и -2,55556\\\hлиния 0,6 и -2,66667\\\hлиния 0,55 и -2,77778\\\hлиния 0,51 и -2,88889\\\hлиния 0,501 и -2,99999\\\hline \конец{массив} $$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к $$\frac{1}{2}$$ слева…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
0 и 1,7\\\hлиния
0,2 и 1,75\\\hлиния
0,4 и 1,795\\\hлиния
0,45 и 1,7995\\\hлиния
0,49 и 1,79995\\\hлиния
0,499 и 1,79999\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…$$f(x)$$ приближается к 1,8.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда справа приближается $$x$$.
При приближении значений $$x$$ к $$\frac{1}{2}$$ справа
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
1 и -2,44445\\\hлиния
0,8 и -2,55556\\\hлиния
0,6 и -2,66667\\\hлиния
0,55 и -2,77778\\\hлиния
0,51 и -2,88889\\\hline
0,501 и -2,99999\\\hлиния
\конец{массив}
$$
$$f(x)$$ приближается к -3.
Шаг 3
Если кажется, что функция приближается к разным значениям, то предела не существует.
$$\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}} f(x)$$ не существует.
Проблема 3
Оцените значение $$\lim\limits_{x\to0,75} f(x)$$, используя приведенные ниже таблицы.
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 0,7 и 0,1\\\hлиния 0,72 и -0,01\\\hлиния 0,74 и 0,001\\\hлиния 0,749& -0.0001\\\hлиния 0,7499 и 0,00001\\\hлиния 0,74999 и -0,000001\\\hлиния \конец{массив} $$
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 0,8 и 0,3\\\hлиния 0,78 и -0,06\\\hлиния 0,76 и 0,0012\\\hлиния 0,751 и -0,0006\\\hлиния 0,7501 и 0,00003\\\hлиния 0,75001 и -0,000006\\\hлиния \конец{массив} $$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 0,75 слева…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
0,7 и 0,1\\\hлиния
0,72 и -0,01\\\hлиния
0,74 и 0,001\\\hлиния
0,749& -0.0001\\\hлиния
0,7499 и 0,00001\\\hлиния
0,74999 и -0,000001\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…$$f(x)$$ приближается к 0.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда справа приближается $$x$$.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 0,75 справа.
..
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
0,8 и 0,3\\\hлиния
0,78 и -0,06\\\hлиния
0,76 и 0,0012\\\hлиния
0,751 и -0,0006\\\hлиния
0,7501 и 0,00003\\\hлиния
0,75001 и -0,000006\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…$$f(x)$$ приближается к 0.
Шаг 3
$$\lim\limits_{t\to0.75} f(x) \приблизительно 0$$
Задача 4
Используйте таблицы ниже, чтобы оценить значение $$\lim\limits_{x\to 10} f(x)$$.
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
9.
5 и 2.3\\\hлиния
9,9 и 1,8\\\hline
9,99 и 8,3\\\hлиния
9,999 и 0,8\\\hлиния
9,9999 и 9,8\\\hлиния
9,99999 и 2,6\\\hлиния
\конец{массив}
$$
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline 10,5 и 1,1\\\hлиния 10,1 и 5,8\\\hлиния 10.01 и 3.6\\\hлиния 10.001 и 2.9\\\hline 10,0001 и 5,4\\\hлиния 10,00001 и 12,5\\\hлиния \конец{массив} $$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 10 слева…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
9.5 и 2.3\\\hлиния
9,9 и 1,8\\\hline
9,99 и 8,3\\\hлиния
9,999 и 0,8\\\hлиния
9,9999 и 9,8\\\hлиния
9,99999 и 2,6\\\hлиния
\конец{массив};
$$
…$$f(x)$$ ни к чему не подходит.
Шаг 2
Проверить, что происходит, когда справа приближается $$x$$
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 10 справа…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
10,5 и 1,1\\\hлиния
10,1 и 5,8\\\hлиния
10.
01 и 3.6\\\hлиния
10,001 и 2,9\\\hлиния
10,0001 и 5,4\\\hлиния
10,00001 и 12,5\\\hлиния
\конец{массив};
$$
…$$f(x)$$ ни к чему не подходит.
Шаг 3
Функция не приближается к определенному значению, поэтому предела не существует.
$$\lim\limits_{x\to10} f(x)$$ не существует.
Проблема 5
Используйте таблицы ниже, чтобы определить $$\lim\limits_{x\to -3} f(x)$$.
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
-4 и 6\\\hлиния
-3,5 и 61\\\hline
-3.
1 и 611\\\hлиния
-3.01 и 6111\\\hлиния
-3,001 и 61,111\\\ч линии
-3,0001 и 611,111\\\hлиния
\конец{массив}
$$
$$ \начать{массив}{л|с} {х} и {е(х)}\\ \hline -2 и 7\\\hлиния -2,5 и 72\\\hline -2,9 и 788\\\hline -2,99 и 7656\\\hлиния -2,999 и 77 701\\\ч линии -2,9999 и 711 000\\\ч линии \конец{массив} $$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$x$$ приближается слева.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к -3 слева.
..
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
-4 и 6\\\hлиния
-3,5 и 61\\\hline
-3.1 и 611\\\hлиния
-3.01 и 6111\\\hлиния
-3,001 и 61,111\\\ч линии
-3,0001 и 611,111\\\hлиния
\конец{массив}
$$
…$$f(x)$$ продолжает расти.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда справа приближается $$x$$.
Поскольку значения $$x$$ приближаются к 3 справа…
$$
\начать{массив}{л|с}
{х} и {е(х)}\\
\hline
-2 и 7\\\hлиния
-2,5 и 72\\\hline
-2,9& 788\\\hline
-2,99 и 7656\\\hлиния
-2,999 и 77 701\\\ч линии
-2,9999 и 711,000\\ч линии
\конец{массив}
$$
.