Прибавление числа к матрице: Сложение матриц: примеры, свойства, смысл

Операции (действия) над матрицами – Vmatematika.ru

Сами по себе матрицы, как таблицы чисел, не представляли бы никакого интереса, если бы с ними не возможно было производить действия. В этой статье мы познакомимся с основными действиями (операциями) над матрицами: сложением и вычитанием матриц, умножением матрицы на число, умножением матриц, транспонированием матриц.

Содержание

Сложение матриц
   Сумма матриц
   Пример нахождения суммы матриц
Вычитание матриц
   Разность матриц
   Пример нахождения разности матриц
Умножение матрицы на число (скаляр)
   Произведение матрицы на число
   Пример нахождения произведения матрицы на число (скаляр)
Противоположная матрица
   Теорема о единственности противоположной матрицы
Свойства операций сложения, вычитания и умножения матриц на число
Умножение матриц
   Произведение матриц
   Пример нахождения произведения матриц
   Перестановочные матрицы
Свойства операции умножения матриц
Транспонирование матриц
   Пример транспонирования матрицы
Элементарные преобразования над матрицами
   Каноническая форма матрицы

На множестве матриц одного и того же размера можно ввести внутреннюю бинарную операцию сложение матриц, при такой операции двум матрицам и одинакового размера ставится в соответствие матрица того же размера, матрицу-результат будем называть суммой матриц и обозначать

Определение 1. Суммой матриц и называется матрица где каждый элемент т.е.

Таким образом, для нахождения суммы матриц надо сложить их соответствующие элементы.

Например,

Аналогичным образом на множестве матриц одного и того же размера вводится внутренняя бинарная операция

вычитание матриц, при такой операции двум матрицам и одинакового размера ставится в соответствие матрица того же размера, матрицу-результат будем называть разностью матриц и и для обозначения использовать запись

Определение 2. Разностью матриц и называется матрица где т.е.

Таким образом, для нахождения разности двух матриц надо от элементов первой матрицы вычесть соответствующие элементы второй матрицы.

Например,

На множестве матриц введем внешнюю бинарную операцию умножение матрицы на число, при такой операции матрице и числу ставится в соответствие матрица того же размера, что и матрица Матрицу-результат будем называть

произведением матрицы на число и обозначать

Определение 3. Произведением матрицы на число называется матрица где т.е.

Таким образом, для нахождения произведения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на число

Например,

Противоположная матрица

Определение 4. Противоположной матрицей к матрице называется матрица, обозначаемая такая, что где — нулевая матрица того же размера, что и матрица

Теорема 1. Каждая матрица имеет единственную противоположную матрицу, причем

Доказательство. Пусть произвольная матрица. Тогда из задания операций сложения матриц и умножения матрицы на число, следует, что для матрицы существует противоположная матрица

Докажем единственность противоположной матрицы. Предположим, что матрица имеет противоположную матрицу отличную от матрицы Тогда

Мы получили, что каждый элемент матрицы равен соответствующему элементу матрицы а значит, матрицы и равны.

Полученное противоречие (по предположению матрицы и не равны) доказывает то, что у матрицы не существует противоположной матрицы отличной от

Разность матриц и можно определить через сумму матрицы и противоположной матрицы

Пусть и произвольные матрицы размера а и любые действительные числа, тогда справедливы следующие утверждения.

На множестве матриц вводится операция (действие) умножение матриц. При умножении матрицы размера и матрицы размера им ставится в соответствие матрица размера называемая

произведением матрицы на матрицу Для обозначения матрицы произведения используется запись или

Определение 5. Произведением матрицы на матрицу называется матрица где

Таким образом, для того чтобы найти матрицу-произведение надо вычислить все ее элементы. При этом, для элемента находящегося в -ой строке и -ом столбце матрицы-произведения (матрицы ), надо взять элементы -ой строки первой матрицы (матрицы ) и умножить их на соответствующие элементы -го столбца второй матрицы (матрицы ), полученные произведения следует сложить (рис.

1). Произведение можно найти лишь в том случае, когда количество столбцов матрицы совпадает с количеством строк матрицы У матрицы-произведения количество строк совпадает с количеством строк первой матрицы (матрицы ), а количество столбцов совпадает с количеством столбцов второй матрицы (матрицы ).

Рис. 1

Заметим, что произведение в общем случае не совпадает с произведением более того, иногда одно из этих произведений может и не существовать.

Например, для матриц

произведение

В этом примере произведение не определено, так как у матрицы число столбцов — 3, а у матрицы две строки.

Определение 6. Если то матрицы и называются

перестановочными матрицами.

Свойства операции умножения матриц

Каждой матрице размера можно поставить в соответствие транспонированную матрицу размера у которой каждая строка с номером будет состоять из элементов (в порядке их следования) столбца с номером матрицы Такая операция называется транспонированием матрицы.

Например,

Выделим преобразования матрицы, которые принято называть элементарными:

1. Перестановка местами строк (столбцов) матрицы;
2. Умножение или деление на ненулевое число всех элементов строки (столбца) матрицы;
3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженных на один и тот же скаляр (число).

Определение 7. Если матрица получается из матрицы с помощью элементарных преобразований, то матрицы и называются эквивалентными матрицами.

Если матрицы и эквивалентны, то это будем записывать следующим образом:

Элементарные преобразования над матрицами обычно применяются для перехода от матрицы к эквивалентной ей матрице в канонической форме (матрице у которой в начале главной диагонали находятся подряд несколько единиц), что позволяет определить ранг матрицы. Так же проведение таких преобразований над строками матриц позволяет перейти от матрицы к эквивалентной ей ступенчатой матрице, что широко применяется в методе Гаусса решения систем линейных уравнений.

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII. (n) = f(x) § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости § 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи § 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7. Дифференцирование изображения § 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал § 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому § 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ

матриц. Можете ли вы добавить скаляр к матрице?

спросил 7 лет, 6 месяцев назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 50 тысяч раз

$\begingroup$

Если я добавлю скаляр к каждому элементу матрицы, например. для матрицы $2\times2$

$$ \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} + b \overset{?}{=} \begin{pmatrix}a_ {11}+b & a_{12}+b \\ a_{21}+b & a_{22}+b\end{pmatrix},$$

, где $b$ – скаляр, тогда какое обозначение правильное ? Сложение и вычитание матриц определены только для матриц одинакового размера. Однако кажется утомительным сначала умножать $b$ на матрицу из единиц, чтобы сложить две матрицы одинакового размера:

$$ J_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} .$$

Таким образом, записать:

$$ \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} + bJ_2 = \begin{pmatrix}a_{ 11}+b & a_{12}+b \\ a_{21}+b & a_{22}+b\end{pmatrix}.$$

Вы всегда пишете $A+bJ_d$ (с $d$ размеры $A$)? Другим обозначением будет $A+\mathbf{b}$ (жирный шрифт $b$), подразумевающий матрицу размера $A$. Однако это обозначение также используется для умножения $b$ на единичную матрицу $bI_d$, которая отличается и, следовательно, сбивает с толку.

Почему прибавление скаляра к матрице не определяется просто как скалярное умножение, то есть операция над каждым элементом матрицы? Примером, где это разрешено , является язык MATLAB, где вы можете добавить скаляр к матрице $A$ просто путем добавления: например. А+3 . Мне кажется, это логичный выбор. Добавление скаляра к матрице может быть определено как $A+b = A+bJ_d$, где $d$ размерность $A$. Это коммутативно и ассоциативно, как обычное сложение матриц. Тогда $A+\mathbf{b}$ будет сложением $A$ и $bI_d$, а $A+B$ — сложением матриц в известном нам виде, действительным только для матриц одинаковой размерности. Почему это не определения?

• матрицы
• обозначения
• арифметика

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вероятно, это потому, что это не имеет геометрического смысла; линейное преобразование, матрица которого в одном базисе равна всем единицам, имеет другую матрицу в другом базисе.

Всякий раз, когда я встречал обозначение $A+b$ в математике, оно означало $A+bI$ (где $A$ — квадратичная матрица, а $I$ — единичная матрица того же размера). Например, некоторые пишут $\det(A-\lambda)$ для характеристического многочлена.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Пояснение:

$I$ Обычно относится к идентификационной матрице https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_matrix

$I=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}$

$J$ встречается реже и обычно относится к матрице всех единиц https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_of_ones

$J=\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\\1&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&\cdots&1\end{bmatrix}$

Имеет ли это смысл?

Да, это так. Одним из примеров является алгоритм PageRank https://epubs. T}}$$

Правильно?

Точно не знаю. В любом случае я бы не стал использовать в документе $A+\lambda$, где A — матрица, а $\lambda$ — скаляр, потому что мне лично кажется, что это выглядит странно и труднее увидеть, как уравнение работает с измерениями.

Тем не менее, он отлично работает в Matlab, например:

 magic(3) + 1
ответ =
       9 2 7
       4 6 8
       5 10 3
 

Рекомендация:

9 таджикских доллара

$A+\лямбда J$

В обоих случаях вам, вероятно, потребуется объяснить, что $e$ — это вектор-столбец всех единиц или что $J$ — это матрица всех единиц. Подразумевая, что $I$ или $J$ имеют правильную размерность, это нормально, лично мне не нравятся ни $I_\text{dim}$, ни $J_\text{dim}.$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

матричное скалярное сложение математически неверно. выглядит не так, как вы написали.

в numpy или matlab:

$a[2×2] + b = a[2×2] + b\cdot I[2×2]$

$ \begin{pmatrix} а_{11} и а_{12}\\ а_{21} и а_{22} \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} а_{11} + 1 и а_{12}\\ а_{21} и а_{22} +1 \end{pматрица} $

В [1]: a = np.matrix('1 , 2; 3, 4') + 1

В [2]: a

matrix([[2, 3], [4, 5]])

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я не думаю, что добавление скаляра к матрице имеет большой смысл. Однако было бы разумно добавить вектор-столбец: поскольку матрицы представляют собой линейные преобразования, такое выражение будет представлять собой аффинное преобразование.

$\endgroup$

Объяснение урока: Матричное представление комплексных чисел

В этом объяснении мы узнаем, как представить комплексное число в виде матрицы линейного преобразования и использовать это для определения произведения двух комплексных чисел.

Когда мы впервые начинаем изучать матрицы, мы часто связываем их с операциями в более знакомые действительные числа, чтобы помочь понять новые концепции. Вскоре мы обнаруживаем, что существуют множество свойств матриц, не имеющих аналогов в действительных числах. Например, умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно. То есть для двух матриц 𝐴 и 𝐵, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 в целом. Тем не менее, есть полезные аналоги с реальными числами, которые дают нам проницательную информацию. интуиция о матрицах. Одним из самых стойких аналогов с вещественными числами является соответствие между единичной матрицей 𝐼 и мультипликативной тождество в действительных числах: 1.

Многие знакомые свойства мультипликативного тождества переносятся непосредственно на матрицу алгебра; например, 𝐼𝐴=𝐴𝐼=𝐴, 𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐼 и 𝐼=𝐼. На самом деле существует прямое соответствие между множеством всех матриц вида 𝑐𝐼 для константа 𝑐∈ℝ и действительные числа настолько, что математически мы можем считать их эквивалентными или, точнее, изоморфными. Однако, даже когда дело доходит до аналога между единичной матрицей и мультипликативной идентичностью в реалы, есть отличия. В этом объяснении мы рассмотрим последствия одного такая разница в случае матриц 2 на 2.

Начнем с рассмотрения квадрата матрицы 𝑀=0−110.

Используя матричное умножение, мы имеем )(1)(0)+(0)(1)(1)(−1)+(0)(0)=−100−1.

Интересно, что это равно отрицательной единичной матрице . Следовательно, 𝑀=−𝐼. Мы показали, что существует матрица, квадрат которой отрицателен. личность. Это явно то место, где соответствие реальным цифрам не соответствует действительности. так как не существует действительного числа 𝑎 такого, что 𝑎=−1. Однако есть комплексное число 𝑖, обладающее этим свойством. Это приводит нас к вопросу о можем ли мы найти некоторое соответствие между комплексными числами и матрицами 2 на 2. С тех пор, как мы можно считать, что матрица 𝑀 соответствует 𝑖, это делает в том смысле, что мнимые числа будут соответствовать постоянным кратным 𝑀. Кроме того, поскольку существует прямое соответствие между реальным числа и постоянные кратные тождества, естественное предположение о соответствии между матрицами и комплексными числами есть множество всех матриц вида 𝑎𝐼+𝑏𝑀, где 𝑎,𝑏∈ℝ.

Вместо того, чтобы использовать представление 𝑎𝐼+𝑏𝑀, мы можем переписать это как следующим образом: номер 𝑎+𝑏𝑖.

Матричное представление комплексных чисел

Мы можем представить комплексное число 𝑎+𝑏𝑖 как матрицу 𝑎−𝑏𝑏𝑎.

В нашем первом примере мы исследуем это соответствие в связи с добавлением сложных числа.

Пример 1: Сложение комплексных чисел, представленных в виде матриц

Предположим, мы возьмем матрицу 𝑀=5−775 к представляют собой комплексное число 𝑧=5+7𝑖 и матрицу 𝑁=18−81 к представлять комплексное число 𝑧=1−8𝑖.

1. Чему равна сумма 𝑀+𝑁?
2. Что это представляет с точки зрения комплексных чисел 𝑧 и 𝑧?

Ответ

Часть 1

Мы можем использовать определение сложения матриц, чтобы найти, что 𝑀+𝑁=5−775+18−81=5+1−7+87−85+1=61−16.

Часть 2

Поскольку 𝑧+𝑧=6−𝑖, мы видим, что 𝑀+𝑁 матричное представление 𝑧+𝑧.

Пример 2. Умножение комплексных чисел, представленных в виде матриц

Предположим, мы возьмем матрицу 𝑁=34−43 к представляют собой комплексное число 3−4𝑖 и матрицу 𝑀=2−552 к представлять комплексное число 2+5𝑖.

1. Что такое продукт 𝑀𝑁?
2. Что это означает?

Ответ

Часть 1

Мы можем использовать определение умножения матриц, чтобы найти, что 𝑀𝑁=2−55234−43=(2)(3)+(−5)(−4)(2)(4)+(−5)(3)(5)(3)+ (2)(−4)(5)(4)+(2)(3)=26−7726.

Часть 2

Сначала рассмотрим произведение двух комплексных чисел (3−4𝑖)(2+5𝑖)=6+15𝑖−8𝑖−20𝑖=26+7𝑖.

Таким образом, мы видим, что 𝑀𝑁 является матричным представлением произведения (3−4𝑖)(2+5𝑖).

Предыдущий пример показывает, что соответствие между комплексными числами и эти типы матриц включают умножение. Однако, поскольку мы в общем случае знаем, что матрица умножение некоммутативно, мы должны проверить, что умножение матриц этого типа является коммутативным.

Пусть 𝑀 будет матричным представлением комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑀 представление 𝑧=𝑐+𝑑𝑖.

Теперь мы можем рассмотреть произведение 𝑀𝑀 матричных представлений следующее: 𝑀𝑀=𝑎−𝑏𝑏𝑎𝑐−𝑑𝑑𝑐=𝑎𝑐−𝑏𝑑−𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑎𝑑+𝑏𝑐𝑎𝑐−𝑏𝑐−𝑏.0005

Аналогично рассмотрим произведение 𝑀𝑀: .

Отсюда видно, что умножение матриц этого вида коммутативно. Более того, мы можем видеть, что умножение матричных представлений комплексных чисел непосредственно соответствует умножение самих комплексных чисел.

В этот момент мы могли бы задаться вопросом, как другие операции над комплексными числами, такие как сопряжение можно понять с точки зрения их матричного представления. В качестве альтернативы мы можем спросить наоборот: что представляет определитель матрицы с точки зрения комплексные числа? В следующем примере мы рассмотрим этот вопрос.

Пример 3: Интерпретация комплексного сопряжения в терминах матриц

Пусть 𝑀 будет матричным представлением комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖.

1. Выразите матричное представление 𝑧∗ через 𝑀.
2. Чему соответствует det𝑀 по отношению к 𝑧?
3. Чему соответствует 𝑀 с точки зрения 𝑧?

Ответ

Часть 1

Матричное представление 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 задается формулой 𝑀=𝑎−𝑏𝑏𝑎. Комплексное сопряжение 𝑧 задается 𝑧=𝑎−𝑏𝑖∗. Мы можем представить это в виде матрицы: 𝑎𝑏−𝑏𝑎.

Представляет транспонирование матрицы 𝑀. Следовательно, матрица представление 𝑧∗ есть 𝑀T.

Часть 2

Напомним, что определитель матрицы 2 на 2 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 определяется как det𝐴=𝑎𝑑−𝑏𝑐. Следовательно, det𝑀=𝑎−−𝑏=𝑎+𝑏.

Это соответствует сумме квадратов действительной и мнимой частей 𝑧. Напомним, что модуль 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равен определяется как |𝑧|=√𝑎+𝑏.

Следовательно, det𝑀 соответствует |𝑧|.

Часть 3

Начнем с вычисления обратной величины 𝑀. Напомним, что инверсия матрица два на два 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 определяется выражением 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑏−𝑐𝑎.

Следовательно, 𝑀=1𝑎+𝑏𝑎𝑏−𝑏𝑎.

Это соответствует комплексному числу 𝑎𝑎+𝑏−𝑏𝑎+𝑏𝑖, что 1𝑧. Следовательно, 𝑀 соответствует комплекс №1𝑧.

Пример 4. Интерпретация обратной матрицы в терминах комплексных чисел

Пусть 𝑀 будет матричным представлением комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. Каково соответствующее комплексное числовое тождество для матричная идентичность 𝑀=1𝑀𝐶,detT где 𝐶 – матрица кофакторов 𝑀?

Ответ

Начнем с того, что вспомним некоторые соответствия между комплексными числами и их матричное представление:

• Определитель матричного представления комплексного числа соответствует квадрат его модуля.
• Транспонирование матричного представления комплексного числа соответствует сложное сопряжение.
• Обратное матричное представление комплексного числа соответствует обратное комплексному числу.

Этих фактов, однако, недостаточно, чтобы переписать выражение в виде комплексного числа личность. Нам нужно рассмотреть, чему соответствует матрица кофакторов. Напомним, что матрица кофактора матрицы два на два 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 определяется выражением 𝐶=𝑑−𝑐−𝑏𝑎.

Поскольку 𝑀 представляет 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, мы имеем, что 𝑀=𝑎−𝑏𝑏𝑎. Следовательно, его матрица кофакторов определяется выражением 𝐶=𝑎−𝑏𝑏𝑎.

Следовательно, матрица кофакторов 𝑀 такая же, как 𝑀; то есть 𝐶=𝑀. Теперь мы можем использовать все эти результаты, чтобы получить соответствующее комплексное числовое выражение для 𝑀=1𝑀𝐶.detT

Поскольку инверсия матрицы соответствует обратному обращению комплексного числа, левая часть сторона соответствует 1𝑧. Что касается правой стороны, то определитель соответствует квадрату модуля 𝑧, |𝑧|, и, поскольку матрица кофакторов такая же, как 𝑀, это соответствует 𝑧 и его транспонирование соответствует к сопряжению. Следовательно, соответствующее комплексное числовое тождество для 𝑀=1𝑀𝐶detT равно 1𝑧=𝑧|𝑧|.∗

Теперь мы знаем, что обратная величина комплексного числа соответствует обратной его матрице представления, мы можем видеть, что комплексное деление может быть представлено как умножение матрицы представление числителя обратной матрицей знаменателя.

Пример 5: Деление комплексных чисел, представленных в виде матриц

Пусть 𝑀=711−117 — матричное представление комплексного числа 𝑧 и 𝑀=4−114 матричное представление 𝑧. Определите матричное представление из 𝑧𝑧.

Ответ

Есть два способа вычислить это. Мы можем либо использовать матричные представления утверждая, что эквивалентное матричное выражение для 𝑧𝑧 равно 𝑀𝑀, или мы можем преобразовать матрицы в их эквивалент комплексные числа, а затем выполнить комплексное деление и преобразовать наш ответ обратно в его матричное представление в конце. Мы продемонстрируем первый из этих методов и затем используйте второй, чтобы проверить наш ответ.

Начнем с вычисления обратной матрицы 𝑀. Напомним, что обратная матрица два на два 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 дано на 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑏−𝑐𝑎.

Следовательно, 𝑀=14+141−14=11741−14. 9000 𝑀. Напомним, что нам не нужно беспокоиться о том, делаем ли мы левое или правое умножение, поскольку матрицы, с которыми мы имеем дело с проездом. Следовательно, 𝑀𝑀=117711−11741−14=1177×4+11×(−1)7×1+11×4(−11)×4+7×(−1)(−11) ×1+4×7=1171751−5117=13−31.

Проверим наш ответ комплексным делением. Комплексное число 𝑧 какая матрица 𝑀=711−117 представляет собой 𝑧=7−11𝑖; по аналогии, 𝑀=4−114 равно представляющий 𝑧=4+𝑖. Теперь мы можем вычислить частное 𝑧𝑧=7−11𝑖4+𝑖.

Умножение числителя и знаменателя на комплексное сопряжение знаменателя дает 𝑧𝑧=(7−11𝑖)(4−𝑖)(4+𝑖)(4−𝑖)=28−7𝑖−44𝑖+11𝑖4+1=17−51𝑖17=1−3𝑖. 

Это представлен матрицей 13−31, как и ожидалось.

Альтернативным способом получения соответствия между комплексными числами и матрицами является с учетом преобразований.

Существует прямое соответствие между линейными картами и матрицами: все линейные карты могут быть представлены в виде матриц, и все матрицы можно интерпретировать как представляющие некоторую линейную карту. Аналогичным образом мы можем рассматривать умножение комплексных чисел как линейное преобразование сложная плоскость. Для демонстрации соответствия рассмотрим множество матриц представляющие вращения вокруг начала координат. Рассмотрим вращение против часовой стрелки вокруг начало через угол 𝜃.

Рассмотрим влияние преобразования на два базисных вектора (1,0) и (0,1). В качестве мы можем видеть на диаграмме, (1,0) отображается в (𝜃,𝜃) косинус, тогда как (0,1) отображается в (−𝜃,𝜃) sincos. Поэтому мы можем выразить матрицу этого преобразования как 𝑅=𝜃1001+𝜃0−110. cossin

Это имеет поразительное сходство с формулой Эйлера: 𝑒=𝜃+𝑖𝜃.косинус

В частности, мы знаем, что умножение на 𝑒 представляет собой поворот на угол 𝜃 вокруг начала координат, как и матрица 𝑅. Следовательно, мы можем считать 𝑅 матрица, представляющая это преобразование. Мы можем дополнительно обобщить это, включив умножение на общее комплексное число в форме 𝑟𝑒 на найти матричное представление, которое мы можем записать как 𝑟𝜃−𝑟𝜃𝑟𝜃𝑟𝜃cossinsincos, что эквивалентно к матричному представлению, которое мы уже рассмотрели: 𝑎−𝑏𝑏𝑎.

Таким образом, мы можем видеть, что все матрицы вида 𝑎−𝑏𝑏𝑎 представляют преобразования, состоящие из поворота на некоторый угол 𝜃 и расширение в 𝑟 раз.

Пример 6. Преобразование комплексных числовых выражений в матричные выражения

Пусть комплексные числа 𝑧, 𝑧 и 𝑧 представлена ​​матрицами 𝑀, 𝑀 и 𝑀. Перепишите следующий комплекс расчет как матричный расчет: (𝑧+𝑧)𝑧.∗

Ответ

Взятие комплексных сопряжений соответствует транспонированию матричного представления. Добавление комплексных чисел соответствует сложению их матричных представлений. С умножение комплексных чисел соответствует умножению их матрицы представлений, возведение в степень будет соответствовать возведению в эквивалентную степень. Наконец, деление соответствует умножению на обратную матрицу. Следовательно сложный расчет (𝑧+𝑧)𝑧∗ можно представить в виде матричного расчета следующим образом: 𝑀+𝑀𝑀.T

Ключевые точки

• Мы можем представить комплексное число 𝑎+𝑏𝑖 в виде матрицы 𝑎−𝑏𝑏𝑎.
• Сложение и умножение комплексных чисел соответствует сложению или умножению их матрицы представления.
• Определитель матричного представления комплексного числа соответствует квадрату его модуль.