Применение второй производной: 12.04. Исследование функции с помощью второй производной

12.04. Исследование функции с помощью второй производной

Исследование функции с помощью второй производной

Вторая производная функции, если она существует, может быть так же эффективно использована для исследования на экстремум, определения промежутков выпуклости и вогнутости ее графика, отыскания точек перегиба.

ТЕОРЕМА 1 (ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА). Если для функции в точке производная , А в ее окрестности непрерывна, причем , то эта точка является точкой ее максимума (минимума).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть в точке с выполняется равенство

И имеет место неравенство

Будучи непрерывной, вторая производная сохраняет свой знак при х, Близких к с. Поэтому для этих x

Но вторая производная функции есть производная от первой производной

Рис. 11.17. Возможное взаимное расположение графиков функций , И в окрестности точки Максимума.

Это условие является достаточным признаком для существования экстремума, но не является необходимым. Почему?

Следовательно, есть функция убывающая. По условию теоремы, . Это означает, что левее точки с Положительна, а правее – отрицательна. Переходя к самой функции , можно утверждать, что левее точки С она возрастает, а правее – убывает, то есть с – точка ее максимума, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается теорема в случае минимума. На рис. 11.17 приведен возможный вариант взаимного расположения графиков функций

, И в окрестности точки с.

Данная теорема может оказаться удобной, когда знак определяется легко. Однако ее недостаток в сравнении с первым достаточным условием экстремума функции очевиден: не все точки, подозрительные на экстремум, могут быть исследованы с помощью данной теоремы. Она неприменима в случаях, когда в точке с первая производная функции обращается в бесконечность или же не определена и, конечно, когда не существует.

Сформулируем без доказательства некоторое обобщение данной теоремы для случая, когда функция имеет производные порядка .

ТЕОРЕМА 2. Если функция в некоторой окрестности точки С имеет производную до (n+1)-го порядка, непрерывную в самой точке С, причем то при четном (n+1) функция имеет максимум, если и минимум, если .

Рассмотрим примеры.

Исследуем на экстремум функцию

Находим первую производную:

И приравниваем ее к нулю:

.

Получаем, что x = 0 – Точка, подозрительная на экстремум.

Следовательно, в этой точке функция имеет максимум:

Рассмотрим теперь функцию

Ее первая производная

Также обращается в нуль при .

Легко обнаружить, что , так как

Однако по теореме 2 имеем:

Следовательно, функция при Экстремума не имеет.

Отсутствие экстремума у данной функции легко установить и без применения производной. Действительно, так как функция всюду возрастает, то функция

Убывает для , то есть экстремум отсутствует. Этот пример еще раз показывает, что при исследовании функций полезно использовать разнообразные приемы.

Применим теперь вторую производную к исследованию на выпуклость и вогнутость графика функции.

Выше, в главе 3, мы определили эти понятия, связывая расположение кривой с расположением хорды, соединяющей две близкие точки этой кривой. Возможен и иной способ описания выпуклости и вогнутости кривой.

Будем называть график функции в точке вогнутым (выпуклым), если в окрестности точки М он расположен выше (ниже) касательной к кривой в этой точке (рис. 11.18).

Рис. 11.18. Расположение кривой по отношению к касательной к ней в точке : А) расположение касательной к вогнутой кривой; Б) расположение касательной к выпуклой кривой.

ТЕОРЕМА 3. Если функция в интервале имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то кривая на этом интервале вогнута (выпукла).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Возьмем произвольную точку с в интервале и покажем, что при точки графика функции, соответствующие значениям аргумента х, близлежащим к с, будут располагаться выше точек касательной к кривой , Проведенной в точке (рис. 11.18). Уравнение касательной имеет вид:

Где – Ордината ее произвольной точки.

Найдем разность ординат кривой и касательной к ней при одном и том же значении х, близком к с :

Здесь мы применили теорему Лагранжа к разности ,

К разности , рассматриваемой на отрезке , снова применим теорему Лагранжа. Получим:

Где .

Если , то поэтому

,

И при условии, что , имеем

При

И так как , то

Таким образом, любая точка кривой Лежит выше касательной, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается выпуклость графика при

Точка графика функции называется

Точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет свою выпуклость на вогнутость, или же наоборот. Последующие теоремы определяют критерии существования перегиба.

ТЕОРЕМА 4 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА). Если функция имеет в окрестности внутренней точки c области определения вторую непрерывную производную и точка , лежащая на графике функции, является точкой перегиба, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Может ли точка экстремума совпадать с точкой перегиба?

Предположим противное:

Можно ли утверждать, что между двумя точками экстремума функции лежит хотя бы одна точка перегиба?

В силу непрерывности найдется окрестность точки С, в которой сохраняет знак, то есть график функции будет либо выпуклым, либо вогнутым, а потому точка не может быть точкой перегиба. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы

Можно ли утверждать, что между двумя точками перегиба лежит хотя бы одна точка экстремума?

.

Графиком функции на отрезке является выпуклая кривая, причем . Может ли она иметь экстремум на этом промежутке?

Данная теорема позволяет отнести к точкам, где следует ожидать перегиб графика функции , те точки ее области определения, в которых Однако множество точек, подозрительных на перегиб, может быть расширено за счет тех, в которых обращается в бесконечность или вовсе не существует. На рис. 11.19 указаны возможные случаи перегиба графика функции.

Укажем достаточные условия перегиба графика функции.

Рис. 11.19. Возможные случаи перегиба графика Функции .

 

ТЕОРЕМА 5 (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА). Если при переходе через точку c, подозрительную на перегиб графика функции , вторая производная меняет знак, то точка графика есть точка перегиба.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из условия теоремы следует, что левее точки – кривая выпуклая (вогнутая), а правее ее – вогнутая (выпуклая). Значит, – точка перегиба.

Приведем без доказательства еще два признака перегиба графика функции.

ТЕОРЕМА 6. Если функция такова, что в точке с , а и конечна, то ее график в точке имеет перегиб.

Следующая теорема является более общей.

ТЕОРЕМА 7. Если функция в некоторой окрестности точки с имеет производную до (N+1)-го порядка, непрерывную в самой точке С, причем а , то при нечетном (n+1) График функции в точке будет иметь перегиб.

Рассмотрим примеры.

Найдем точки перегиба функции .

Выше получено:

.

Условие приводит нас к уравнению

Можно ли с помощью второй производной исследовать функцию на монотонность?

Которое имеет решения:

Какая из производных несет большую информацию о свойствах функции – первая или вторая?

Исследуем эти точки, подозрительные на перегиб. Очевидно, что

для

Есть ли функции, у которых: А) вторая производная изменяется, как и сама функция; Б) функция не совпадает с первой производной, но первая и вторая ее производные совпадают между собой?

И ;

для

,

Дана функция, являющаяся второй производной некоторой функции. Укажите функции, имеющие такую же вторую производную.

Следовательно, для и кривая вогнута; для кривая выпукла, а точки графика и являются точками перегиба.

Данная функциональная зависимость встречается часто в теории вероятностей. Она известна под названием кривой Гаусса. Ее график изображен на рис. 11.20.

Рис. 11.20. График функции .

Вернемся теперь еще раз к функции .

Ее вторая производная имеет вид:

Условие

Приводит нас к уравнению

Которое имеет корни

Являющиеся абсциссами точек графика данной функции, подозрительных на перегиб.

Теорема 7 позволяет достаточно просто их исследовать. Имеем:

Следовательно, точка является точкой перегиба графика кривой .

А потому и точка также является точкой перегиба. График данной функции схематично изображен на рис. 11.21.

Рис. 11.21. График функции .

< Предыдущая		Следующая >

ИНСТРУКЦИЯ для практической работы № 11 «Исследование функции с помощью второй производной. Применение производной к построению графика функции».

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области

«Воронежский политехнический техникум»

(ГБПОУ ВО «ВПТ»)

 

 

РАССМОТРЕНО на заседании предметно-цикловой комиссии гуманитарных, социально-экономических, математических и естественнонаучных дисциплин Протокол от «___»_______ 201___ г. № ___

УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной  работе  _________ Т.И. Агафонова   «____»____________ 20_____ г.

 

 

ИНСТРУКЦИЯ

для практической работы № 11

 

«Исследование функции с помощью второй производной.  Применение производной к построению графика функции».

 

Дисциплина:    Математика

 

для специальностей:

19.02.10 «Технология продукции общественного питания»  

 

Разработал: ____преподаватель Л. Н. Ткаченко   Председатель цикловой комиссии: _______В. В. Солманова

                                  

 

 

 

2017 г.

Тема: Исследование функции с помощью второй производной.  Применение производной к построению графика функции

Цель: Научиться находить промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума с помощью производной. Научиться исследовать функцию с помощью второй производной на экстремумы, выпуклость, точки перегиба графика. Научиться строить график по материалам исследования функции.

Теоретическое обоснование

I.                 Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной: Если на некотором промежутке производная функции положительна, функция на этом промежутке возрастает, если же производная на каком-либо промежутке меньше нуля, функция на этом промежутке убывает.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Найдем производную данной функции: . Приравняем производную к нулю и решим уравнение . Отсюда . Вычислим значение производной справа и слева от точки :

                        . Т. е. справа от точки  производная положительна, а слева – отрицательна. Следовательно, справа от точки  функция возрастает, а слева – убывает.

Ответ: функция убывает при  и возрастает при .

Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Найдем производную данной функции: . Приравняем производную к нулю и решим уравнение . Отсюда . Точки   и  разбивают числовую прямую на три промежутка. Вычислим значение производной на каждом из них:

1) ;

2) ;

3)

                        Таким образом, на первом  и на третьем промежутке  производная положительна, а на втором – отрицательна. Следовательно, на первом и третьем промежутках функция возрастает, а на втором – убывает.

Ответ: функция возрастает при и убывает при .

Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Найдем производную данной функции: . Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки . Производная принимает отрицательные значения при всех значениях  из области определения. Следовательно, на всей области определения функция

убывает.

Ответ: функция убывает  при.

Пример 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Найдем производную данной функции: . Функция определена на интервале . Производная принимает положительные значения при всех значениях  . Следовательно, на всей области определения функция возрастает.

Ответ: функция возрастает при .

II.               Точки экстремума функции

Определение. Если слева от некоторого значения  функция возрастает, а слева убывает, то значение  называется точкой максимума данной функции. Если слева от точки  функция убывает, а справа – возрастает, то значение  называется точкой минимума данной функции.

Определение. Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

Признаки максимума и минимума функции

1.  Если при переходе через стационарную точку  функции  ее производная меняет знак с положительного на отрицательный, то точка является точкой максимума функции .

2. Если при переходе через стационарную точку  функции  ее производная меняет знак с отрицательного на положительный, то точка является точкой минимума функции .

Определение. Стационарные точки, а также такие, в которых функция не имеет производной, в совокупности называются критическими точками этой функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум с помощью первой производной.

1.     Найти производную  функции .

2.     Найти критические точки функции , т. е. точки, в которых  обращается в нуль или терпит разрыв.

3.     Исследовать знак производнойв промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Функция возрастает на промежутках, где производная принимает положительные значения, и убывает на промежутках, где производная принимает отрицательные значения. При этом критическая точка является точкой экстремума, если при переходе через нее производная меняет свой знак. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке  функция не имеет ни минимума, ни максимума.

4.     Вычислить значения функции в точках максимума и минимума.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Находим . Приравняем производную к нулю и решим уравнение . Отсюда  – критическая точка. Вычислим значение производной справа и слева от точки:

                        . Т. е. справа от точки  производная положительна, а слева – отрицательна. Следовательно, справа от точки  функция возрастает, а слева – убывает. Поэтому точка  является точкой минимума. Найдем значение функции в точке минимума: . Т. е. , , прифункция убывает, при  функция возрастает.

Пример 6. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Находим . Приравняем производную к нулю и решим уравнение . Отсюда  – критические точки. Вычислим значение производной справа и слева от точек: ;          . 

                        Т. е. справа от точки  и слева от точки  производная положительна, а между этими точками – отрицательна. Следовательно, справа от точки  и слева от точки  функция возрастает, а между ними – убывает. Поэтому точка  является точкой минимума, а точка  – точкой максимума.

 Найдем значение функции в точках экстремума: ,  . Т. е. , , , прифункция возрастает, при  функция убывает.

III.         Исследование функции с помощью второй производной.

Определение. Если – производная от функции, то производная от , если она существует, называется второй производной  или производной второго порядка. Обозначается  или .

Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

1. Найти производную .
2. Найти критические точки данной функции, в которых =0.
3. Найти вторую производную .
4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в данной точке имеет максимум, а если положительной, то минимум. Если же вторая производная равна нулю, то исследование нужно произвести с помощью первой производной.
5. Вычислить значение функции в точках максимума и минимума.

Пример 7. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию .

Решение.

Найдем производную: . Из уравнения  найдем критическую точку . Найдем вторую производную: . Т. к. вторая производная в критической точке положительна, то при функция имеет минимум: .

Пример 8. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию .

Решение.

Найдем производную: . Из уравнения  найдем критические точки . Найдем вторую производную: . Вычислим значение второй производной в критических точках: , т. е. . , т. е. . Т. к. вторая производная в критической точке  отрицательна, то при функция имеет максимум; в точке  вторая производная положительна, следовательно,  при   функция имеет минимум. Таким образом,   и .

IV.            Направление выпуклости графика.

Определение. Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной к кривой, проведенной в любой точке этого промежутка.

Определение. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной к кривой, проведенной в любой точке этого промежутка.

Определение. Промежутки, в которых график обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками  выпуклости графика.

Определение. Если в некотором промежутке вторая производная положительна, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же вторая производная отрицательна, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Пример 9. Исследовать не выпуклость кривую  в точках  и .

Решение.

Найдем первую и вторую производные функции: . Подставим значения  и  во вторую производную, получим  и , т. е.  и . Следовательно, в точке  кривая выпукла вверх, а в точке  – выпукла вниз.

Пример 10. Найти промежутки выпуклости кривой .

Решение.

Найдем первую и вторую производные функции: , . Вычислим корни второй производной из уравнения . Отсюда . Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки:  и . Определим знак второй производной на каждом промежутке.  В промежутках  и  выполняется неравенство , следовательно, в этих промежутках кривая выпукла вниз, а в промежутке  выполняется неравенство , т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.

V.               Точки перегиба.

Определение. Точка графика функции, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Правило нахождения точек перегиба графика функции .

1.     Найти вторую производную .

2.     Найти критические точки функции , в которых обращается в нуль или терпит разрыв.

3.     Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то она является абсциссой точки перегиба функции.

4.     Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 11. Найти точку перегиба кривой .

 

Решение.

Найдем первую и вторую производные: . Из уравнения  получим критическую точку .

В промежутке  имеем , а в промежутке  имеем . Следовательно, при кривая имеет точку перегиба. Найдем ординату этой точки: . Таким образом, точка перегиба имеет координаты .

 

VI.            Применение производной к построению графика функции.

1.     Найти область определения функции.

2.     Проверить свойство четности и нечетности функции.

3.     Найти точку пересечения графика функции осью Оу и с осью Ох (по возможности).

4.     Найти производную функции и критические точки из уравнения . Определить знак производной на каждом получившемся промежутке области определения. Выписать промежутки возрастания и убывания функции по знакам производной: промежутки, на которых производная принимает положительные значения, являются промежутками возрастания функции, а на которых производная принимает отрицательные значения, – промежутками убывания. Выписать точки экстремума, как пограничные точки промежутков монотонности и найти  экстремумы функции.

5.     Найти вторую производную и с ее помощью определить промежутки выпуклости графика.

6.     Найти координаты точек перегиба графика.

7.     Отметить все полученные точки на координатной плоскости и построить по ним приближенный график.

Пример 12. Построить график функции .

Решение.

1.     .

2.     , т. е. функция не является ни четной, ни нечетной и не является периодической.

3.     Найдем точку пересечения графика с осью Оу: , т. е. точка пересечения имеет координаты .

4.     Найдем производную: .

     Решим уравнение . Отсюда . Эти точки делят область определения на три промежутка: ; и .

    Определим знак производной в каждом промежутке: , т. е. в промежутке  производная принимает положительные значения: ; , т. е. в промежутке  производная принимает отрицательные значения. И, наконец, , т. е. в промежутке  производная принимает положительные значения.

    Следовательно, в промежутках  функция  возрастает, а в промежутке  – убывает.

     При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку  с минуса на плюс. Следовательно, , а .

      Найдем экстремумы функции:  и . Т. е. для построения графика мы нашли еще две точки: (1;1) и (3;-3).

5.     Найдем вторую производную: .

     Из уравнения  найдем критические точки, в которых вторая производная обращается в нуль: . Эта точка делит область определения на два промежутка:  и . На первом из них вторая производная принимает отрицательные значения: , а на втором – положительные: .

    Следовательно, в первом промежутке кривая выпукла вверх, а во втором – вниз. Тогда точка  является точкой перегиба графика.       Найдем вторую координату этой точки: . Точка  – точка перегиба графика функции.

Итого, мы имеем четыре точки: (0; -3), (1; 1), (3; -3), (2; -1).

6.  Построим график по полученным точкам.

Практическая часть

Часть А

Вариант  1 1.     Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции       а) ;       б) .	Вариант  2 1.     Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции      а) ;      б) .
Вариант  3 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а) ,           б) .	Вариант  4 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а) ,           б) .
Вариант  5 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а) ,           б) .	Вариант  6 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а) ,           б) .
Вариант  7 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а) , б) .	Вариант  8 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а), б) .
Вариант  9 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а),           б) .	Вариант  10 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а) , б) .

 

Часть Б

Вариант 1.                                                                     Вариант 2.

1. Исследовать на экстремум,                                 1. Исследовать на экстремум,

выпуклость и точки перегиба                                 выпуклость и точки перегиба

кривую   и                                       кривую  и

постройте график этой функции.                       постройте график этой функции.

 

Вариант 3.                                                                     Вариант 4.

1. Исследовать на экстремум,                                 1. Исследовать на экстремум,

выпуклость и точки перегиба                                 выпуклость и точки перегиба

кривую   и                                      кривую  и

постройте график этой функции.                          постройте график этой функции.

 

Вариант 5.                                                                     Вариант 6.

1. Исследовать на экстремум,                                 1. Исследовать на экстремум,

выпуклость и точки перегиба                                 выпуклость и точки перегиба

кривую   и                                         кривую  и

постройте график этой функции                          .постройте график этой функции.

  

Вариант 7.                                                                     Вариант 8.

1. Исследовать на экстремум,                                 1. Исследовать на экстремум,

выпуклость и точки перегиба                                 выпуклость и точки перегиба

кривую   и                                     кривую  и

постройте график этой функции.                           постройте график этой функции.

 

Вариант 9.                                                                     Вариант 10.

1. Исследовать на экстремум,                                 1. Исследовать на экстремум,

выпуклость и точки перегиба                                 выпуклость и точки перегиба

кривую   и                                кривую  и

постройте график этой функции                           .постройте график этой функции.

 

Контрольные вопросы

 

1        Какая производная называется производной второго порядка?

2        Как исследуется функция на максимум и минимум с помощью второй производной?

3        Как определяется выпуклость кривой вверх и вниз?

4        Что понимается под промежутком выпуклости графика функции?

5        Как исследуется функция на направление выпуклости с помощью второй производной?

6        Какие точки графика называются точками перегиба?

7        Как исследуется функция на точки перегиба  с помощью второй производной?

8        Сформулируйте правила исследования функции на точки перегиба.

9       Определение функции, возрастающей и убывающей на некотором интервале.

10  Как применяется производная для нахождения промежутков возрастания и убывания.

11  Какие точки называются стационарными?

12  Сформулируйте определение точек экстремума.

13  Какие точки называются критическими?

14  Алгоритм нахождения точек экстремума.

 

 

Литература

 

1        Н. В. Богомолов. Математика, задачи с решениями, – М: Дрофа, 2010.

          2   Н. В. Богомолов. Сборник дидактических заданий по математике, -М: Дрофа, 2010.

         3    Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. Математика, – М: Дрофа, 2010.

 

 

 

 

 

4.2 Применение 2-й производной – методы исчисления 1

Вторая производная и вогнутость

Вторая производная функции предоставляет информацию о том, как изменяется первая производная, и приводит к выводам относительно вогнутости графика.

Графически функция вогнута вверх , если ее график искривлен отверстием вверх (a на рисунке). Точно так же функция является вогнутой вниз , если ее график открывается вниз (б) на рис. 4.10).

Рисунок 4.10

Подробное описание: Левый график обозначен как (a) и показан вогнутой вверх кривой. Правый график обозначен как (b) и показывает вогнутую кривую вниз.

На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, возрастает она или убывает. Важно понимать разницу между возрастающими/убывающими характеристиками и вогнутостью графика.

В качестве примера этой разницы обратите внимание на левую часть рисунка 3.4, которая помечена как «вогнутая вверх»:  эта часть графика сначала уменьшается, а затем увеличивается, несмотря на то, что этот участок графика вогнут вверх.

Рисунок 4.11

Подробное описание: левая сторона графика помечена как вогнутая вверх, центральная часть графика помечена как вогнутая вниз, а правая часть графика помечена как вогнутая вверх.

Например, Эпидемия: Предположим, началась эпидемия, и вы, как член конгресса, должны решить, эффективно ли текущие методы борются с распространением болезни или нужны более решительные меры и больше денег. На приведенном ниже рисунке f(x) — это количество людей, больных этим заболеванием в момент времени x, и показаны две разные ситуации. Как в (а), так и в (б) количество людей с болезнью f (сейчас) и скорость, с которой заболевают новые люди, f’ (сейчас), одинаковы. Разница в этих двух ситуациях заключается в вогнутости f, и эта разница вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.

Рисунок 4.12

Подробное описание: Левая часть графика обозначена как (a) и показывает вогнутый вниз график с соответствующей касательной линией. Правая часть графика помечена как (b) и показывает вогнутый график с соответствующей касательной линией.

На (а) f вогнута вниз в «сейчас», наклоны уменьшаются, и кажется, что она сходит на нет. Мы можем сказать, что «f увеличивается с убывающей скоростью». Похоже, что нынешние методы начинают брать эпидемию под контроль.
В (b) f вогнута вверх, наклоны увеличиваются, и похоже, что она будет увеличиваться все быстрее и быстрее. Похоже, эпидемия все еще вышла из-под контроля.

Различия между графиками связаны с тем, увеличивается или уменьшается производная. Производная функции f — это функция, которая дает информацию о наклоне f. Производная говорит нам, увеличивается или уменьшается исходная функция. Поскольку [latex]f ‘[/latex] — это функция, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции f. Вторая производная дает нам математический способ сказать, как изогнут график функции. Вторая производная говорит нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз. 92}.[/latex] Читается вслух как «вторая производная от f».

Если [latex]f ‘ ‘(x)[/latex] положителен на интервале, график [latex]y = f (x)[/latex] равен вогнутой вверх на этом интервале. Мы можем сказать, что f увеличивается (или уменьшается) на с возрастающей скоростью.

Если [latex]f ‘ ‘(x)[/latex] отрицательно на интервале, график [latex]y = f (x)[/latex] будет вогнутым вверх по на этом интервале.
Можно сказать, что f увеличивается (или уменьшается) с убывающей скоростью.

Точки перегиба

Определение

Точка перегиба – это точка на графике функции, в которой изменяется вогнутость функции: от вогнутой вверх вниз или от вогнутой вниз к верхней.

 

Пример 1

Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?

Рисунок 4.13

Подробное описание: Вогнутость меняется в точках b и g. В точках a и h график вогнут вверх с обеих сторон. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e граф вогнут вниз с обеих сторон.
Вогнутость меняется в точках b и g. В точках a и h график вогнут с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.

Точки перегиба возникают при изменении вогнутости. Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для нахождения точек перегиба.

 

Рабочее определение

Точка перегиба — это точка на графике, где вторая производная меняет знак.

Чтобы вторая производная менял знак, она должна быть либо равна нулю, либо быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, в которых [latex]f ”(x)[/latex] равен 0 или не определен.

Обратите внимание, что недостаточно, чтобы вторая производная была равна нулю или была неопределенной. Нам еще нужно проверить, что знак [latex]f’’[/latex] меняет знак. Функции в следующем примере иллюстрируют, что может произойти. 9{–\frac53}[/латекс] . [latex]h”[/latex] не определен, если [latex]x = 0,[/latex], но [latex]h ”(\;отрицательное \;число) > 0[/latex] и [latex] ч ”(\;положительное \;число)

 

Пример 3

Нарисуйте график функции с [латекс]f(2) = 3, f ‘(2) = 1,[/латекс] и точкой перегиба в [латекс](2,3) . [/latex]
Здесь показаны два возможных решения.

Рисунок 4.15

Подробное описание: На каждом графике показана касательная, пересекающая график в точке (2, 3). Крайний левый график вогнут вниз, затем переключается на вогнутость вверх в точке (2, 3). Крайний правый график вогнут вверх, затем переключается на вогнутость вниз в точке (2, 3).

License

Techniques of Calculus 1 Ларри Мусолино находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License, если не указано иное.

Поделиться этой книгой

Поделиться в Твиттере

Применение второй производной – Применение дифференциального исчисления

Вторая производная функции используется для определения вогнутости, выпуклости, точек перегиба и локальных экстремумов функций.

Приложения второго Производная

Вторая производная функции используется для определения вогнутости, выпуклости, точки перегиба и локальные экстремумы функций.

 

Вогнутость, Выпуклость и точки перегиба

График называется вогнутой вниз (выпуклой вверх) в точке, если касательная лежит над графиком в окрестности точки. Говорят, что он вогнут вверх (выпуклый вниз) в точке, если касательная к графику в этой точке лежит ниже график в окрестности точки. Это можно легко наблюдать из примыкающий граф.

Определение 7.8

Пусть f ( x ) будет функцией, вторая производная которой существует в открытом интервале I = ( a , б ). Затем функция f ( x ) считается равным

(i) Если f ′( x ) строго возрастает на I , то функция вогнута на открытом интервале I

(ii) Если f ‘( x ) строго убывает на I , то функция вогнута вниз на открытом интервале I .

Аналитически, задана дифференцируемая функция, график которой y знак равно f ( x ), то вогнутость определяется следующим результатом.

Теорема 7.11 (Тест вогнутость)

(i) Если f ′′( x ) > 0 на открытом интервале I , затем f ( x ) вогнуто на I .

(ii) Если f ”( x ) < 0 на открытом интервале I , то f ( x ) вогнуто вниз на I .

Примечание

(1) Любой локальный максимум выпуклой вверх функции, заданной на интервале [ a , b ] также является его абсолютным максимумом на этом интервале.

(2) Любой локальный минимум выпуклой вниз функции, заданной на отрезке [ а , б ] также является ее абсолютным минимумом на этом интервале.

(3) Есть только один абсолютный максимум (и один абсолютный минимум), но их может быть больше чем один локальный максимум или минимум.

 

Очки Перегиба

Определение 7.9

точки, где график функции изменяется от «вогнутая вверх к вогнутой вниз» или «вогнутая вниз» вогнутый» называются точкой перегиб ф ( х ) .

Теорема 7.12 (Тест на точки перегиба)

(i) Если f ”( c ) существует и f ”( c ) меняет знак, когда пройдя через х = c , затем точка ( c , ф ( с )) является точкой перегиба графика f .

(ii) Если f ”( c ) существует в точке перегиба, то f ′′( c ) = 0 .

Примечание

Кому определить положение точек перегиба на кривой y = f ( x ) необходимо найти точки где ф “( x ) меняет знак. Для «гладких» кривых (без острых углов), это может произойти, когда либо

(i) f ”( x ) = 0 или

(ii) f ”( x ) не существует в этой точке.

Примечание

(1) Это также возможно, что f “( c ) может не существовать, но ( c , f ( c )) может быть точкой перегиба. Например, ф ( х ) = х ^1/3 в с = 0 .

(2) Это возможно, что f ”( c ) = 0 в точке, но ( c , f ( c )) не обязательно должна быть точкой перегиба. Например, f ( x ) = x ⁴ в с = 0 .

(3) А точка перегиба не обязательно должна быть неподвижной точкой. Например, если f ( x ) знак равно грех x тогда, f   ‘ (x) = cos x и f   ” (x) = – sin x и, следовательно, (π, 0) является точкой перегиба стационарная точка для ф (х) .

 

Пример 7.57

Определить интервалы вогнутости кривой f ( x ) = ( x -1) ³ ⋅ ( x – 5), x ∈ ℝ и точки перегиба, если они есть.

Раствор

данная функция является многочленом степени 4. Теперь

f ′( x ) = (x − 1) ³ + 3 (x − 1) ^{− 5 ⋅} ⋅ )

= 4(х – 1) ² ⋅ (x – 4)

f ” ( x )= 4((x – 1) ² + 2 (х – 1) ⋅ (х – 4))

 = 12(x − 1) ⋅ (x − 3)

Сейчас,

f ”( х) = 0 ⇒ х = 1, х = 3 .

интервалы вогнутости приведены в таблице 7.7.

кривая вогнута вверх на (−∞,1) и (3, ∞) .

кривая вогнута вниз на (1, 3) .

Как ф ” ( х ) меняет свой знак, когда проходит через x = 1 и x = 3, (1, f (1)) = (1, 0) и (3, f (3)) = (3, −16) — точки перегиба график г = ф ( х ) . Смену знака можно наблюдать на соседнем рисунке кривая f “( х ).

 

Пример 7.58

Определить интервалы вогнутости кривой y знак равно 3 + грех х .

Раствор

данная функция является периодической функцией с периодом 2 π и, следовательно, в каждом из них будут стационарные точки и точки перегиба. интервал периода. У нас есть,

Мы сейчас рассмотрим интервал, (− π , π ) путем разбиения на два подинтервала (−π, 0) и (0, π) .

В интервал (−π , 0) , d ² y/dx ² > 0 и, следовательно, функция вогнутой вверх.

В интервал (0,π ), d ² y/dx ² < 0 и, следовательно, функция вогнутая вниз. Поэтому (0, 3) — точка перегиба (см. рис. 7.25). общие интервалы необходимо учитывать, чтобы обсудить вогнутость кривой есть ( п № , ( n +1) π ) , где n — любое целое число, которое может следует обсудить, как и прежде, чтобы заключить, что ( n π , 3) ​​также являются точками перегиба.

 

Экстремумы с использованием Тест второй производной

Тест второй производной: Тест второй производной относится концепции критических точек, экстремальных значения и вогнутость, чтобы дать очень полезный инструмент для определения того, является ли критическая точка на графике функции является относительным минимумом или максимумом.

Теорема 7.13 (The Второй производный тест)

Предположим что c является критической точкой, в которой f ′( c ) знак равно 0 , что f ′( x ) существует по соседству с c , и что f ′′(c) существует. Тогда f имеет относительное максимальное значение в точке с, если f ” (c) < 0 и относительное минимальное значение в точке c, если f ” (c ) > 0 . Если f ″ (c) = 0 , тест не информативный.

 

Пример 7.59

Найдите локальный экстремум функции f ( x ) = x ⁴ + 32 х .

Решение

У нас есть,

ф ′( x ) = 4 x ³ + 32 = 0 дает x ³ = -8

x = −2

и f ”( x ) = 12x ² .

Как ф ” (−2) > 0, функция имеет локальный минимум при x = −2 . Локальное минимальное значение равно 90 165 f 90 166 (− 2) = −48 . Следовательно, крайняя точка равна (−2, −48).

 

Пример 7.60

Найдите локальные экстремумы функции f ( х ) = 4 х ⁶ -6 х ⁴ .

Решение

Дифференциация with respect to x, we get

  f ′( x ) ₌ 24 x ⁵ -24 x ³

 = 24 x ³ ( х ² −1)

 = 24 х ³ ( х +1)( х −1)

 f   ‘( x ) = 0 ⇒ x = −1, 0, 1. Следовательно, критические числа равны x . = −1, 0,1.

Сейчас, ф “( х ) знак равно 120 х ⁴ −72 х ² = 24 x ² (5 х ² -3).

⇒ f ”(−1) = 48 , f ”( 0) = 0 , f ”(1) = 48 .

Поскольку f ”(−1) и f ”(1) положительны по второму проверка производной, функция f ( x ) имеет локальный минимум. Но при x = 0, f (0) знак равно 0 . То есть тест второй производной не дает никакой информации о локальные экстремумы на х = 0 . Поэтому нам нужно вернуться к первому производному тесту. Интервалы монотонности приведены в табл. 7.8.

тест первой производной f ( x ) имеет локальный минимум при x = -1, его локальное минимальное значение равно -2 . При x = 0 функция f ( x ) имеет локальный максимум в точке x = 0 , а его локальное максимальное значение равно 0. При x = 1 функция f ( x ) имеет локальный минимум на x = 1, а его локальное минимальное значение равно −2.

Примечание

Когда вторая производная равна нулю, у нас нет информации об экстремумах. мы использовали первый тест производной, чтобы узнать экстремумы функции!

 

Пример 7.61

Найдите локальный максимум и минимум функции х ² у ² на линия х + у знак равно 10 .

Решение

Пусть данная функция может быть записана как f ( x ) = x ² (10 – x ) ² . Теперь

f (x) = х ² (100 − 20 х + х ² ) = х ⁴ − 20 х ³ +100 х ²

Следовательно, f ‘(x) = 4 х ³ – 60 х ² + 200 х = 4 х ( х ² -15х + 50)

ф'(х) = 4 х ( х ² – 15 х + 50) = 0 ⇒ х = 0, 5, 10

и f ” (х) = 12 х ² − 120 х + 200

стационарные номера f ( x ) равны x = 0, 5, 10 при этих указывает значения f ” ( x ) равны соответственно 200, −100 и 200. При x = 0 он имеет локальный минимум и его значение равно f (0) = 0 .