Пример решения определенного интеграла: Примеры решения определённых интегралов с ответами

Примеры решения определённых интегралов с ответами

Простое объяснение принципов решения определённых интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения определенных интегралов

Теорема

Определённым интегралом функции на отрезке называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

   

Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.

– постоянная величина

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Примеры решений

определенных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

=

Ответ

   

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

   

Ответ

   

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

   

   

   

Ответ

   

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Вычислим по частям неопределённый интеграл

   

Обозначим:

   

   

   

   

   

Ответ

   

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

   

Т. к. и , то:

Ответ

   

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

   

Ответ

   

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

   

Ответ

   

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

   

Ответ

   

Средняя оценка 2.8 / 5. Количество оценок: 29

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

26336

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

Определенный интеграл.

Примеры решений

И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.

 Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока

Неопределенный интеграл. Примеры решений.

В общем виде определенный интеграл записывается так: Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Отрезок  называется отрезком интегрирования.

Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу.

Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию  (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа  в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение   является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ?  Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Готово.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла  не существует, поскольку отрезок интегрирования  не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках ,  отрезка  не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.  

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так: ???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Изначальная невнимательность.

Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен  несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?

Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

 –  интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла

Результаты обучения

• Использование геометрии и свойств определенных интегралов для их оценки

Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

92 f(x) dx[/латекс].

Показать решение

Иногда изображение может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция [latex]f(x)[/latex] находится выше другой функции [latex]g(x)[/latex], то площадь между [latex]f(x)[/latex] ] и ось [latex]x[/latex] больше площади между [latex]g(x)[/latex] и осью [latex]x[/latex]. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, [латекс]а

b[/латекс]. Однако следующие свойства относятся только к случаю [латекс]а \le b[/латекс] и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}[/latex] и [latex]g(x)=\sqrt{1+x}[/latex] на интервале [latex][0,1][/latex].

Показать решение

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение примера: сравнение двух функций за заданный интервал.

Скрытые субтитры и расшифровка информации для видео

Определенный интеграл по частям, правило LIATE, примеры решений, свойства

0

 Сохранить

Скачать публикацию в формате PDF

Определенный интеграл по частям является частным случаем определенного интеграла. Правило LIATE играет важную роль при решении интегрирования по частям в определенном интегрировании. В этой статье мы узнаем об определенном интеграле по частям, о том, как решать с помощью правила LIATE, решенных примерах, свойствах и приложениях определенных интегралов по частям.

Интеграция — это метод объединения частей в единое целое. Находим функцию, дифференциал которой известен, и переходим к нахождению ее интегралов.

Определенное интегрирование по частям

Метод определения интегралов называется интегрированием. По частям применяются определенные интегралы, где определены пределы, и неопределенные интегралы, когда границы подынтегральной функции не определены. Определенное интегрирование по частям аналогично интегрированию по частям неопределенных интегралов. Определенное интегрирование по частям используется, когда функция является произведением двух членов независимой переменной. Один термин называется u, а другой термин называется v. Термины u и v определяются правилом LIATE.

Функция, которую мы должны интегрировать, должна быть непрерывной между диапазоном, то есть не должно быть пробелов, провалов или вертикальных асимптот, где функция стремится вверх/вниз к бесконечности.

Обозначение интеграла, как показано ниже:

Как решить определенное интегрирование по частям

Следующие шаги используются в определенном интегрировании по частям

1. Выберите u и v по правилу LIATE, описанному ниже Дифференциал u: u’
2. Найдите интеграл от v: ∫v dx.
3. Поместите u, u’ и ∫v dx в: u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx.
4. Упрости и реши.

Правило LIATE

Правило LIATE выглядит следующим образом

Было предложено эмпирическое правило, состоящее в выборе в качестве u функции, которая идет первой в следующем списке:

• L – логарифмические функции: \({ln (x),log _{b}(x) }\) и т. д.
• I – обратные тригонометрические функции (включая гиперболические аналоги): arctg(x), arcsec(x), arsinh(x) и т. д. 9{b}u’vdx\)

  Все, что нам нужно сделать, это оценить член uv для предела b (верхний предел) и вычесть оценку для предела a (нижний предел).

  Аналогично выполните оставшуюся половину и завершите процесс заменой пределов и получением разницы значений верхнего и нижнего пределов.

  Свойства определенного интеграла по частям

  Все свойства определенного интеграла применимы к определенному интегралу по частям.

  • Значение определенного интеграла не меняется при изменении переменной интегрирования, когда пределы интегрирования остаются теми же. bf\left (т\право)дт\) 9af\left(x\right)dx=0,\ if\ f\ is\ an\ нечетная\ функция\ i.e\ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{matrix }\)

  Узнайте о двойном интеграле

  Применение определенных интегралов по частям

  Определенные интегралы по частям применяются следующим образом

  • Интегрирование по частям часто используется в гармоническом анализе, особенно в анализе Фурье. Он используется для представления тех быстро осциллирующих интегралов с достаточно гладкими подынтегральными выражениями, которые быстро затухают. Наиболее распространенным примером этого является его использование для демонстрации того, что затухание преобразования Фурье функции зависит от гладкости этой функции.
  • Одно из применений интегрирования по частям в теории операторов состоит в том, что оно показывает, что −∆ (где ∆ — оператор Лапласа) является положительным оператором в L. Если функция f гладкая и имеет компактный носитель, мы используем интегрирование по частям.
  •  Определенные интегралы по частям используется для вывода уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении.

  Решенные примеры определенного интеграла по частям

  Теперь давайте посмотрим на некоторые решенные примеры определенного интегрирования по частям.

  2+1}{4}=2.097\end{matrix}\)

  Надеюсь, что эта статья об определении интеграла по частям была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

  Определенный интеграл по частям Часто задаваемые вопросы

  В.1 Как найти определенный интеграл по частям?

  Ответ 1 Следующие шаги используются в Определенном интегрировании по частям
  Выберите u и v по правилу LIATE, описанному ниже
  Найдите дифференциал u: u’ \)v дх.
  Поместите u, u’ и ∫v dx в: u\(\int\)v dx −\(\int\)u’ (\(\int\)v dx) dx.
  Упрости и реши.

  Q.2 Является ли интегрирование по частям таким же, как замена U?

  Ответ 2 Нет, интегрирование по частям и подстановка u – это два разных способа решения интегралов без необходимости.