Примеры частная производная: Частные производные функций, примеры решений

Частные производные. Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? иПроизводная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на страницеМатематические формулы и таблицы

.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, я постараюсь ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные ,  называются независимыми переменными или аргументами.

Пример:  – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы  используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной  соответствует определенная линия на плоскости, например,   – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных  с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда  не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

 

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции 

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:  или  – частная производная по «икс»  или  – частная производная по «игрек»

Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная  считается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием  (сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как  считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то  мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как  константа, то  – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные  и .

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная  считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу  за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку  – уже константа.

(2) Используем таблицу производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так:  и .

Итак, частные производные первого порядка найдены

Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:

1) Когда мы находим частную производную , переменная  считается константой.

2) Когда мы находим частную производную , переменная  считается константой.

Учебные материалы по математике | Частные производные и дифференцируемость функций

Функции нескольких переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной теме рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции

, а число – зависимой переменной.

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : .

Определение

. Частной производной функции по переменной в точке называют предел

,

если он существует.

Частную производную по обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.

Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,

называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

,

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т. д.

Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

=.

Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .

Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные.

3. Дифференцируемость функции. Пусть . Составим полное приращение функции в точке :

.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и – некоторые числа, при , .

Другими словами, функция дифференцируема в точке , если ее приращение эквивалентно функции : при . Выражение в этом случае представляет собой главную часть приращения , линейно зависящую от и .

Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главную линейную часть ее приращения называют полным дифференциалом в точке и обозначают в виде

.

Для независимых переменных и полагают и . Поэтому полный дифференциал записывают также в виде

.

Формула (1) показывает, что, как и в случае функции одной переменной, верна

Теорема 5. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных. Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.

Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и .

При этом ,, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде

,

а полный дифференциал функции – в виде

.

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 7 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой ).

Обратная теорема не верна, т. е. непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции.

5. Геометрический смысл дифференцируемости функции. Напомним, что для функции одной переменной из дифференцируемости функции в точке следует существование касательной к графику функции в точке .

Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных , . График этой функции, т. е. множество точек , представляет собой поверхность в пространстве . Пусть плоскость проходит через точку поверхности ; – произвольная (текущая) точка поверхности ; – ос

нование перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости (рис. 6).

Рис. 6.

Определение. Плоскость , проходящая через точку поверхности , называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если при () величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т. е. .

Теорема 8. Если функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная плоскость к поверхности (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Вектор нормали к касательной плоскости, т. е. , называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности .

Производная в данном направлении. Градиент функции

Производная функции в точке в направлении вектора называется , где . Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле , где ,— углы, образованные вектором с осями и . Производная по направлению дает скорость изменения функции в направлении вектора . Градиентом функции в точке называется вектор, выходящий из точки и имеющий своими координатами частные производные функции : ; . Градиент функции и производная в направлении вектора связаны формулой . Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Пример 1. Вычислить производную функции в точке в направлении вектора и градиент. Решение. Найдем значение частных производных в точке . ; . Вычислим направляющие косинусы ; . Тогда: ; ; ; .

Примеры частных производных — Math Insight

Видео-введение

Примеры частных производных.

Подробнее о видео.

Как только вы поймете концепцию частной производной как скорость изменения чего-либо, вычисление частных производных обычно не составит труда. (К сожалению, есть особые случаи, когда вычисление частных производных затруднено.) Как показывают эти примеры, вычисление частных производных обычно ничем не отличается от вычисления обычной производной в исчислении с одной переменной. 3x. \конец{выравнивание*} 92)/(x_1x_2x_4)} + 5x_1x_3x_4 \конец{выравнивание*} вычислить $\displaystyle \pdiff{f}{x_3}(a,b,c,d)$.

Решение : хотя сначала это выглядит сложно, на самом деле все просто проблема. Уродливый член не зависит от $x_3$, поэтому при вычислении частная производная по $x_3$, мы рассматриваем ее как константу. Производная константы равна нулю, поэтому этот член выпадает. производная – это просто производная от последнего члена по $x_3$, то есть \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x_3}(x_1,x_2,x_3,x_4) = 5x_1x_4 \конец{выравнивание*} Подставляя значения $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,b,c,d)$, получаем окончательный ответ \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x_3}(a,b,c,d) = 5ad. \конец{выравнивание*}

Пример 5

Пусть \начать{выравнивать*} p(y_1,y_2,y_3) = 9\frac{y_1y_2y_3}{y_1+y_2+y_3} \конец{выравнивание*} и вычислить $\displaystyle \pdiff{p}{y_3}(y_1,y_2,y_3)$ в точке $(y_1,y_2,y_3)=(1,-2,4)$.

Решение : При вычислении частных производных мы можем использовать все правила для обычных производных. 2}\\ &= 92}= 2. \конец{выравнивание*}

14.3, 14.4 Частные производные и касательные плоскости

Ключевые понятия

Частные производные

Напомним, что в исчислении с одной переменной производная функции \(f(x)\) определяется как \[ \frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \] В качестве альтернативы мы часто пишем \(f'(x)\) для производной.

Теперь предположим, что \(f(x,y)\) является функцией двух переменных. Если мы рассматриваем \(y\) как константу, мы можем думать о \(f(x,y)\) как о функцию одной переменной от \(x\) и возьмем ее производную. Точно так же мы могли бы рассматривать \(x\) как константу и брать производную относительно \(y\). Это приводит к следующему определению:

Частные производные

Частная производная от \(f(x,y)\) по отношению к \(x\) равна \[ \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}. \] Точно так же частная производная \ (f (x, y) \) по \ (y \) равна \[ \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}. \]

В качестве альтернативы мы часто пишем \(f_x(x,y)\) для частной производной по \(x\) и \(f_y(x,y)\) для частной производной по \(y\).

Точно так же, если бы у нас была функция трех или более переменных, мы также можем определить частные производные по каждой из этих переменных.

Частные производные в виде наклонов

Что частные производные означают графически? Предположим, мы хотим рассмотреть частные производные функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\). Рассмотрим также функции одной переменной \(g(x) = f(x,y_0)\) и \(h(y) = h(x_0,y)\). Кривые, заданные \(C_1=(x,y_0,g(x))\) и \(C_2=(x_0,y,h(y))\) лежат на поверхности \(z=f(x,y)\) и пересекаются в точке \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\). Таким образом, частные производные равны производным \(g(x)\) и \(h(x)\): \[\ начало {выровнено} f_x(x_0,y_0) &= g'(x_0) \\ f_y(x_0,y_0) &= h'(y_0). \конец{выровнено}\] Следовательно, \(f_x(x_0,y_0)\) дает наклон кривой через поверхность в точке \(y=y_0\), а \(f_y(x_0,y_0)\) дает наклон кривой через поверхность в точке \(x=x_0)\).

Касательные векторы и касательные плоскости

Мы можем визуализировать это, представив касательные векторы к поверхности. Обратите внимание, что вектор \(\vec u=\langle 1, 0, f_x(x_0,y_0)\rangle\) касается кривой \(C_1\) в точке \((x_0,y_0)\), и вектор \(\vec v=\langle 0, 1, f_y(x_0,y_0)\rangle\) касается кривой \(C_2\) в точке \((x_0,y_0)\):

Теперь, когда у нас есть два касательных вектора к поверхности, мы можем использовать их, чтобы найти вектор нормали к касательной плоскости. Перекрестное произведение этих двух касательных векторов равно \[\vec u\times\vec v = \langle -f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0),1\rangle\] и поэтому находим как уравнение касательной плоскости \[\ -f_x(x_0,y_0) (x-x_0) – f_x(x_0,y_0) (y-y_0) + (z-f(x_0,y_0)) = 0. \] 92+с\). Чтобы две поверхности пересекались в \((1,1,1)\), нам нужно \(f(1,1)=1\), или \(а+b+с=1\).

Чтобы быть касательными, нам нужно, чтобы две поверхности имели параллельные векторы нормали в точках \((1,1,1)\). Поскольку радиус сферы перпендикулярен ее поверхности, мы имеем, что \(\langle 1, 1, 1\rangle\) сам по себе нормален к сфере. Чтобы вычислить нормаль к поверхности, мы берем частные производные: \[\ начало {выровнено} f_x(x,y) &= 2ax \\ f_y(x,y) &= 2by \конец{выровнено}\] и, следовательно, \(f_x(1,1) = 2a\) и \(f_y(1,1)=2b\). Векторы \(\langle 1, 0, 2a\rangle\) и \(\langle 0, 1, 2b\rangle\) поэтому оба касаются поверхности \(z=f(x,y)\). Их векторное произведение \(\langle -2a, -2b, 1\rangle\) поэтому нормальна к поверхности \(z=f(x,y)\).

Чтобы это было параллельно нормали к сфере \(\langle 1, 1, 1\rangle\), нам нужно \[\langle -2a, -2b, 1 \rangle = \lambda \langle 1, 1, 1 \rangle\] для некоторого постоянного кратного (\lambda\). 2=3\) в точке \((1,1,1)\). 92=1\) в \((1,1,1)\):

Мы видим, что на самом деле сфера умещается внутри обращенного вниз параболоида так что они просто касаются \((1,1,1)\) с теми же касательными векторами и вектором нормали.

Дополнительные вопросы

1. Предположим, вместо этого мы хотим найти \(a\), \(b\) и \(c\) чтобы параболоид был перпендикулярен сфере в точке \((1,1,1)\). Как изменится расчет? Есть ли уникальное решение? Найдите хотя бы одно решение.
2. Предположим, у нас есть два графика функций трех переменных, \(w=f(x,y,z)\) и \(w=g(x,y,z)\). Что должно быть верно, если эти два графика касаются в точке \((x_0,y_0,z_0)\)?
3. Предположим, что \(f(x,y,z)\) фиксировано, но \(g(x,y,z)\) зависит от три параметра. Вы ожидаете, что мы сможем найти значения параметров такой, что два графика касаются точки \((x_0,y_0,z_0)\)? Что, если бы вместо этого было четыре параметра? Пять?

Использование демонстрационной версии Mathematica

Все изображения на этой странице были сгенерированы по блокноту Mathematica 14_3_4Частичная производная и касательные плоскости.