Примеры дифференциальных уравнений с решением: 44 важных примера подробных решений дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Лекции. Часть 1

Курс лекций “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, читаемый на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова на 2 курсе в соответствии с программой по специальности “Прикладная математика и информатика”

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия, примеры математических моделей.
Вступительное слово Основные понятия Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Система обыкновенных дифференциальных уравнений Геометрическая интерпретация Пример (уравнение радиоактивного распада) Пример (движение материальной точки) Пример (модель популяции) Пример (модель динамики популяции (хищник-жертва))

Лекция 2. ОДУ 1-го порядка, разрешённое относительно производной.
порядка, разрешённое относительно производной, относительно неизвестной функции y(t) Пример (произвольные постоянные) Пример (произвольные постоянные) порядка в симметричном виде (или в дифференциалах) Общий интеграл Уравнение в полных дифференциалах Примеры (уравнения в полных дифференциалах)

Лекция 3. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Единственность решения.

Постановка задачи Решение задачи Коши   Условие Липшица Лемма Гронуолла – Беллмана Теорема единственности Пример (задача Коши, нарушено условие Липшица)

Лекция 4. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование решения.
Постановка задачи Теорема существования Пример (почему существование решения рассматривается на маленьком отрезке)

Лекция 5. ОДУ первого порядка, неразрешённое относительно производной.
Дополнительные условия, при которых уравнение имеет единственное решение Определение решения уравнения Пример (исследование уравнения) Пример (с конкретными значениями) Теорема существования и единственности Особые решения уравнения первого порядка Пример (случай, когда нет особых решений)

Лекция 6. Задача Коши для нормальной системы ОДУ.
Постановка задачи Решение задачи Коши (определение) Условие Липшица Теорема единственности решения задачи Коши Теорема существования решения задачи Коши

Лекция 7. Существование и единственность решения некоторых задач Коши.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-ого порядка, разрешённого относительно старшей производной Теорема единственности решения Доказательство существования решения Задача Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-ого порядка Задача Коши для линейного обыкновенного уравнения n-ого порядка

Лекция 8.

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка Условия, при которых рассматривается уравнение Решение уравнения (определение) Теорема о решении уравнения Редукция задачи Коши Линейная зависимость и независимость системы функций Определитель Вронского Линейная зависимость и независимость линейного однородного уравнения Фундаментальная система решений однородного уравнения (определение) Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Лекция 9. Общее решение линейного дифференциального уравнения n-ого порядка.
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка Общее решение (определение) Фундаментальная система решений однородного уравнения (определение) Теорема об общем решении Следствие из теоремы Пример Линейное неоднородное дифференциальное уравнение Общее решение (определение) Теорема об общем решении Метод вариации постоянных

Лекция 10. Построение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
Постановка задачи Теорема единственности решения Теорема существования решения Задача (построить обыкновенное дифференциальное уравнение по заданным функциям)

Лекция 11. Линейные системы ОДУ.
Постановка задачи Теорема о решении системы Однородное матричное дифференциальное уравнение Теорема о решении однородной системы Теорема о решении неоднородной системы Линейная зависимость и независимость вектор-функций Примеры Определитель Вронского Теорема (о свойстве определителя Вронского) Теорема об альтернативе

Лекция 12. Общее решение линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка задачи Фундаментальная система решений линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка (определение) Теорема о существовании фундаментальной системы решений Общее решение линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка (определение) Теорема об общем решении Описание общего решения линейной неоднородной системы Задача Коши для однородной системы Метод вариации постоянных Задача Коши для неоднородной системы уравнений Пример (нахождение общего решения неоднородной системы)

Лекция 13.

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Примеры Комплексные числа, комплекснозначные функции Фундаментальное решение уравнения Лемма Теорема о решениях уравнения Теорема о построении фундаментальной системы решений Задача (построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами наименьшего порядка)

Лекция 14. Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Комплекснозначные решения системы (существует базис из собственных векторов матрицы А) (нет базиса из собственных векторов)

Лекция 15. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от исходных данных и параметра.
Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной Определение решения задачи Теорема (о непрерывной зависимости решения задачи Коши от исходных данных и параметра) Теорема сходимости Теорема сравнения Случай, когда задача Коши зависит от параметра Теорема (о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра)

Лекция 16. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру Пример (найти решением какой задачи Коши является функция) Метод малого параметра Пример (метод малого параметра)

Примеры решения дифференциальных уравнений

09. 10.2016 admin Оставить комментарий

Примеры решения дифференциальных уравнений
• Частное решение дифференциального уравнения
• Решение ДУ с разделяющимися переменными
• Решение однородного ДУ первого порядка
• Решение линейного ДУ первого порядка
• Уравнение Бернулли

Методы решения дифференциальных уравнений здесь.

Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)

Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида будет удовлетворять уравнению.

Если c₁ = 1, c₂ = 3, то

если c₁ = 0, c₂ = -2, то

Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде:

Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента:

Умножим правую и левую часть уравнения на .

Получим: .

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.

Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.

Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения значит ДУ однородное.

Принимаем: . Значит .

Наше уравнение приобретает вид:

ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда .

В итоге, получаем:

Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Принимаем: .

Получаем: ,

,

.

Определяем v из ДУ:

ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда .

Находим u из ДУ:
.

Запишем общее решение ДУ: .

Пример. Уравнение Бернулли.

Дано: ДУ .
Найти: решение ДУ.

Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.

В нашем случае

Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на .

Получаем:

Заменим:

Получим:

Принимаем:

Получаем линейное ДУ для v:
Отсюда ln|v| = x², .

Запишем уравнение для u:

Тогда

Сразу заменив , можно было решить уравнение Бернулли как линейное.

Решения дифференциальных уравнений — исчисление 1

Все ресурсы исчисления 1

10 Диагностические тесты 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 14 15 Следующая →

Исчисление 1 Помощь » Функции » Уравнения » Дифференциальные уравнения ” Решения дифференциальных уравнений

Найдите производную от (5+3x) 94

Объяснение:

Мы решим это с помощью цепного правила.

D _x [(5+3x) ⁵ ]

=5(5+3x) ⁴ * D _x [5+3x]

=5(5+3x) 4 90 (3)

=15(5+3x) ⁴

Сообщить об ошибке

Найти D _x [sin(7x)].

Возможные ответы:

7cos(7x)

-7sin(7x)

7sin(7x)cos(7x)

-7cos(7x)

7sin(7x)

Правильный ответ: 7cos(7x)

Объяснение:

Во-первых, запомните, что D _x [sin(x)]=cos(x). Теперь мы можем решить задачу с помощью цепного правила.

D _x [sin(7x)]

=cos(7x)*D _x [7x]

=cos(7x)*(7)

=7cos(7x)

Вычислить f _xxyz , если f(x,y,z)=sin(4x+yz).

Возможные ответы:

-16cos(4x+yz) +16yzsin(4x+yz)

4sin(4x+yz)

cos(4x+yz)

-16sin(4x+yz)

arctan(9×005)

Правильный ответ: -16cos(4x+yz) +16yzsin(4x+yz)

Объяснение:

Мы можем рассчитать этот ответ пошагово. Начнем с дифференцирования по самой левой переменной в «xxyz». Итак, начнем с того, что возьмем производную по х.

Во-первых, f _x = 4cos(4x+yz)

Тогда f _xx = -16sin(4x+yz)

f _xxy = -16zcos(4x+yz)

Наконец, f _xxyz = -16cos(4×1+yz) +yz) 

Сообщить об ошибке

Интегрировать 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

 таким образом:

Сообщить об ошибке

Интегрировать :

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

таким образом:

Сообщить об ошибке

Найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем использовать разделение переменных, чтобы решить эту проблему, так как все “у-термы” находятся на одной стороне, а все “х-термы” – на другой стороне. Уравнение можно записать в виде.

Интеграция обеих сторон дает нам .

Сообщить об ошибке

Рассмотреть  ; путем умножения на левую и правую части можно быстро проинтегрировать как

 

, где . Так, например,  можно переписать как: 

. Мы воспользуемся этим приемом в другом простом случае с точным интегралом.

Используйте технику, описанную выше, чтобы найти такие, которые  с  и .

Подсказка: после того, как вы использовали приведенное выше, чтобы упростить выражение до формы, вы можете решить его, переместив  в знаменатель: 

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Как описано в задаче, нам дано

.

Мы можем умножить обе части на :

Распознать шаблон цепного правила двумя разными способами:

Это дает:

Мы используем начальные условия для решения C, заметив, что в Это означает, что C должно быть больше 1, что делает правую часть идеальным квадратом:

Чтобы увидеть, какой символ использовать, мы видим, что производная начинается с положительного значения, поэтому следует использовать положительный квадратный корень. Тогда, следуя подсказке, мы можем переписать это как:

,

которые мы научились решать тригонометрической подстановкой, получая:

Ясно и тот факт, что снова дает нам так

Сообщить об ошибке

Что все функции такие, что

?

Возможные ответы:

 для произвольных констант k и C

 для произвольных констант k и C

 для произвольных констант k и C 18 Правильно ответ:

 для произвольных констант k и C

Объяснение:

Интегрируя один раз, получаем:

Интегрируя второй раз, получаем:

Мы интегрируем первый член по частям, используя , чтобы получить:

. Отменив крестики, мы получим:

. Определение дает приведенную выше форму.

 

Сообщить об ошибке

Числа Фибоначчи определяются как

и тесно связаны с золотым сечением , которые решают очень похожее уравнение

.

N-ые производные функции определяются как:

Найдите функцию Фибоначчи, определяемую:

, чьи производные в 0, следовательно, являются числами Фибоначчи.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить, мы игнорируем производные, чтобы просто получить:

Это можно решить, приняв экспоненциальную функцию, которая превращает это выражение в

,

, которое решается с помощью . Наше общее решение должно иметь вид:

Подставляя наши начальные условия и , получаем:

 

Следовательно, ответ:

4 Ошибка и

4

Найдите указанное конкретное решение .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Первое, что мы должны сделать, это переписать уравнение:

Затем мы можем найти интегралы:

Интегралы в следующем виде: решить для

Тогда конкретное решение:

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 14 15 Следующий →

Все 9004 Исчисление 1 Ресурсы

10 диагностических тестов 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)?

206 Sahar Moueen

Grokking the Behavioral Interview

Многим кандидатам отказывают в приеме на технические собеседования или понижают их уровень из-за плохой успеваемости на собеседованиях по поведенческому или культурному соответствию. Пройдите собеседование с помощью этого бесплатного курса, где вы будете практиковаться, уверенно отвечая на поведенческие вопросы интервью.

ОДУ

Дифференциальное уравнение — это любое уравнение, содержащее обыкновенные или частные производные. В прикладной математике Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это дифференциальное уравнение с функциями одной независимой переменной и ее производных. Другими словами, ОДУ представляется как отношение с одной независимой переменной и одной или несколькими действительными зависимыми переменными.

Для заданной функции FFF от x,y,x, y,x,y и производных от yyy общая форма выглядит следующим образом:

Примечание: Обыкновенные дифференциальные уравнения используются в отличие от уравнений в частных производных, которые могут относиться к более чем одной независимой переменной.

Порядок

Порядок дифференциального уравнения относится к порядку наибольшей производной в уравнении.

Пример

Рассмотрим следующее ОДУ:

Так как задействована только одна производная, то порядок равен 111. Полиномиальные уравнения с порядком 111 известны как 9{nd}2-й заказ ODE.

Степень

Степень старшей производной в указанном уравнении представляет собой степень ОДУ.

Примечание: Для определения степени ОДУ должно быть полиномиальным уравнением с производными.

Пример

Рассмотрим следующее ОДУ:

Старшая производная в этом уравнении имеет порядок 2, а показатель степени, возведенный к старшей производной, равен 2.

Классификация

ODE подразделяются на несколько типов. Некоторые из широко известных определений приведены ниже:

Автономное ОДУ

Автономное ОДУ определяется следующим образом:

Оно не зависит от xxx и разделимо, что позволяет получить решение путем интегрирования.

Линейное ОДУ

Обычные линейные дифференциальные уравнения выражаются в виде линейных комбинаций производных yyy следующим образом:

Нелинейное ОДУ

Нелинейное ОДУ — это ОДУ, в котором дифференциальные уравнения не могут быть выражены в виде линейных комбинаций производных yyy.

Пример

Уравнение Беллмана является одним из примеров нелинейного ОДУ:

Однородное ОДУ

Однородное ОДУ содержит только производную зависимой переменной и члены, включающие зависимую переменную, которая установлена ​​на 000.

Например, рассмотрим следующее уравнение:

Неоднородные ОДУ

Неоднородные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, которые не удовлетворяют требованиям для однородных уравнений. Мы обнаружили, что однородные уравнения имеют нуль в правой части уравнения, тогда как неоднородных ОДУ — это те, которые имеют функцию в правой части своего уравнения

Типы решений

Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет бесконечное число решений. Решение ОДУ представляет собой выражение зависимой переменной относительно независимой переменной, которая удовлетворяет уравнению. 9{nd}Дифференциальное уравнение 2-го порядка и т. д.

Приложения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) используются в самых разных областях математики, а также в социальных и естественных науках.