Примеры матрицы: определение, свойства и примеры решения задач

2.2.4. Примеры решения задач по теме «Ранг матрицы»

Задача 1.

Определить ранг матрицы

Указание

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Решение

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А явля-ется ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Найдем ΔА разложением по первой строке:

Следовательно, R(A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, R(A) > 0. Значит, R(A) = 1 или R(A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то R(A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

Ответ: R(A) = 2.

Если найден минор K-го порядка, не равный нулю, то можно утверждать, что R(A) ≥ K. Если же выбранный минор K-го порядка равен нулю, то из этого еще не следует, что R(A) < K, так как могут найтись миноры того же порядка, не равные нулю.

Задача 2.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому

R(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т. д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент А11 стал равным 1:

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме А11, окажутся равными нулю:

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

И вычеркнем нулевые строки:

.

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера , т. е.

R(A) < 2. Минор

Следовательно, R(A) = 2.

Ответ: R(A) = 2.

Задача 3.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

Отметим, что минор, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов, не равен нулю:

Поэтому ранг данной матрицы не меньше трех.

Приведем матрицу к треугольному виду:

Вычеркивание нулевых строк приводит к тому, что

Размер полученной матрицы , поэтому ее ранг не более трех. Поскольку минор 3-го порядка, не равный нулю, существует, ранг исходной матрицы равен 3.

Ответ: R(A) = 3.

Задача 4.

Найти значения L, при которых матрица

Имеет наименьший ранг.

Указание

Приведите матрицу А к треугольному виду и найдите значения L, при которых с помощью элементарных преобразований вторую строку можно сделать нулевой.

Решение

Переставим столбцы матрицы А:

И приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

Теперь видно, что при L = 0 вторая строка матрицы становится нулевой, и после ее вычеркивания получаем:

Минор его порядок равен 2, следовательно, при L = 0 R(A) = 2.

Если L ≠ 0, то минор, составленный из последних трех столбцов, имеет вид:

Значит, при L ≠ 0 R(A) = 3.

Итак, наименьший ранг, равный 2, матрица А имеет при L= 0.

Ответ: L = 0.

< Предыдущая		Следующая >

Пример матрицы – Энциклопедия по экономике

Используя приведенный на рис. 2 пример матрицы воздействий НТП для подсистемы бурения, можно назвать примеры образуемых первичных ячеек НИР  [c.37]
Типичными примерами матриц, которые могут быть применены для этих целей в нефтеснабжении являются  [c.373]

Построение цифровой модели календарного плана при параллельно-последовательном выполнении смежных операций показывается в табл. 42 на примере матрицы времени 3-го случая (табл. 39) II варианта очередности запуска деталей.  [c.169]

Последовательное преобразование матрицы А(0) применительно к данному примеру (матрицы а, б, в, г) показано ниже.  [c.95]

В табл. 31 приведен пример матрицы РАФУ, построенной по приведенной выше методике.  [c.121]

О = 1, m), на пересечении строк и столбцов проставляются количественные оценки показателей. Пример матрицы исходных данных представлен в таблице 2.51.  [c.274]

Таблица 3.6. Пример матрицы отчетности для проекта-примера

В табл. 4. 6 показан пример матрицы ответственности. Роли в примере указывают вид участия подразделения в работе О — ответственный исполнитель, И — исполнитель, П — приемка работ, К — консультации.  [c.180]
X Этап П. Определяем рациональный порядок объезда пунктов каждого маршрута. Для этого строим таблицу-матрицу (табл. 4.15), в которой по диагонали размещаем пункты, включаемые в маршрут, и начальный пункт А, а в соответствующих клетках — кратчайшие расстояния между ними. Для примера матрица принята симметричной Q = Сп, хотя приведенный ниже способ  [c.145]

Уравнение (4.4), а также упражнение 5.15.1 утверждают, что у невырожденных матриц ранг локально постоянен. Вырожденные матрицы (точнее, матрицы с рангом, меньшим полного по строкам или столбцам) этим свойством не обладают. Рассмотрим, к примеру, матрицы  [c.202]

Особенности выбора наилучшей стратегии лучше всего уяснить на примере матрицы (25)  [c.108]

Рис. 39 ПРИМЕР МАТРИЦЫ БАЛЛОВ

Пример. Матрица полезного результата имеет вид, представленный в табл. 2.4. Найдем значения В, – тахе.-.-  [c.79]

Рассмотрим пример матрицы ортогонального планирования 2-го порядка для случая k = 3  [c.275]

Построим матрицу загрузок для различных значений числа наладчиков / и количества швейных машину. Элементы такой матрицы обозначим By. Пример матрицы представлен в виде табл. 8.6. Как было показано выше, в оценочном и не совсем верном расчете, поиск оптимальных значений / и у можно начать со значений / = 3 и у = 3, пропустив меньшие значения (/ – число наладчиков, / = 3, 4, 5 у – число арендуемых швейных машин, у = 3,4, 5).  [c.307]

Отметим, что в нашем примере матрица входящего сальдо AS(t – 1) является нулевой, т. е. она имеет следующий вид  [c.17]

Примеры матриц (и векторов) этого вида приводятся ниже.  [c.373]

Таблица 4. Пример матрицы ключевых результатов

Проиллюстрируем применение метода Мака на ранее рассмотренном примере. Матрица цен имеет тот же вид, но мы ее повторили на рис. 2.5, а.  [c.166]

Рис, 4-10. Пример матрицы распределения ответственности по проекту конверсии программного  [c.127]

Пример. Матрица А А неотрицательно определена для любой матрицы А. В самом деле, для любого вектора х  [c.500]

В этом примере матрица А имеет размерность 4 х 4, а элементы матрицы вычисляются по определенной формуле. Показан вывод всей матрицы, а также некоторых ее элементов.  [c.168]

Рассмотрим пример. Матрица парных коэффициентов корреляции признаков (выше главной диагонали) представлена в следующей таблице  [c.42]

Каждый эксперт получает неполную матрицу, на осях абсцисс и ординат которой расположены сравниваемые параметры (рис. 2 – пример матрицы для случая пяти параметров). Заполняются только те клетки, которые находятся справа от нисходящей диагностики.  [c.37]

Пример матрицы для определения групп продукта  [c.62]

Рисунок 17. Пример матрицы 2×2

Таблица 12. Пример матрицы ответственности

Суммирование величин по отрокам или столбцам матрицы дает общую величину прямых перекрестных связей. Матрица одиночных перекрестных связей отроился следующим образом (табл.1.5 ), В приведенном примере теоретическое число перекрестных одиночных связей равно  [c.14]

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения — центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии — это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 — 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 — 3000 долл., то ожидаемое значение составит  [c.237]

Продемонстрируем матричный способ построения модели на примере формирования матрицы для технологического комплекса с постоянными параметрами (табл. 24.1), включающего два производства (рис. 24.2). Практическая трудность здесь может состоять Е том, что эти производства не только выпускают готовые продукты, но и обмениваются между собой материальными потоками. Матричная развертка технологии в данном случае весьма наглядна п помогает не запутаться в нумерации многочисленных возвратных материальных потоков.  [c.415]

Первое из указанных требований означает, что предназначенная к использованию в практике планирования модель (далее для краткости эти модели называются плановыми) должна быть ориентирована на решение конкретной планово-экономической задачи, предусмотренной существующей или проектируемой методологией планирования. Это диктует необходимость трансформации многих известных экономико-математических моделей. Так, например, классическая модель межотраслевого баланса позволяет рассчитывать сбалансированные объемы выпусков продукции при заданной матрице коэффициентов прямых затрат и известном конечном продукте. Однако на практике такая задача может возникнуть лишь на завершающем этапе работы над планом, когда уже -рассмотрены вопросы технической политики в отраслях и приняты соответствующие решения (а значит, известна матрица плановых коэффициентов прямых затрат), изучены и обоснованы объем и структура капитальных вложений, товарооборота, экспорта и импорта (а значит, известен конечный продукт). Между тем очевидно, что межотраслевые модели наибольшую пользу могут принести как раз на начальных стадиях работы над планом при проработке вариантов структурной политики. Поэтому на основе стандартного межотраслевого баланса необходимо разрабатывать различные постановки межотраслевых моделей, нацеленные на решение конкретных практических задач в данном режиме функционирования АСПР и на данной стадии разработки плана. Примерами таких постановок являются, в частности, оптимизационная межотраслевая модель корректировки заданий пятилетнего плана на очередной год для стадии формирования проекта  [c.118]

Приведем пример. Значительная часть матрицы технологических коэффициентов планового межотраслевого баланса может формироваться (и в результате внедрения первой очереди АСПР в определенной мере уже формируется) по данным централизованных расчетов потребности в материальных ресурсах, выполняемых на ЭВМ. Это существенно снижает затраты труда плановых работников на выполнение наиболее трудоемкой процедуры построения межотраслевых моделей —процедуры формирования исходной информации. При этом входные данные для межотраслевого баланса являются лишь побочным , но очень важным продуктом автоматизации указанных прямых плановых расчетов. Однако если результаты расчетов по межотраслевой модели ограничить только вектором ее решения (для статической модели, например, это — вектор отраслевых объемов производства), то возможности анализа на основе этой модели будут чрезвычайно обеднены. Поэтому на практике межотраслевая модель дополняется задачей прямой обработки данных, на вход которой подается вектор решения модели, используемая в ней исходная информация, данные за предплановый период и некоторые другие данные (например, коэффициенты перехода от чистых отраслей к хозяйственным, от цен конечного потребления к оптовым ценам предприятий и др.), а на выходе формируется набор аналитических таблиц, всесторонне и в удобной для плановика форме характеризующий получаемый из решения модели вариант плана.  [c.128]

Рассмотрим морфологический ящик на примере матрицы для часов, приведенной в работе немецких маркетологов Е. Дихтля и X. Хершгена (рис. 2.6).  [c.90]

Для экспериментальной проверки указанных методов по достигаемым результатам и затратам времени на выполнение расчетов были взяты 15 примеров матриц операционных затрат времени на обработку партий деталей с однонаправленными технологическими маршрутами 1. В числе этих примеров одиннадцать матриц размером i X / = 6 X 12 и четыре матрицы 7 X 12. По технологическому процессу при обработке отдельных деталей занято от 7 до 11 станков. Характер матриц аналогичен приведенному в табл. 36 2.  [c.185]

В табл. 4.6показан пример матрицы ответственности. Роли в примере указывают на вид участия подразделения в работе О — Ответственный исполнитель, И — Исполнитель, П — Приемка работ, К — Консультации.  [c.297]

Теория жизненного цикла товара (ЖЦТ) получила широкое распространение в учебной литературе по маркетингу. В каждом учебнике ей посвящена как минимум отдельная глава, а число научных статей, описывающих жизнь товаров, не поддается учету. Она оказала влияние и на используемые маркетологами популярные методы планирования (к примеру, матрица БКГ или портфельный метод M Kinsey).  [c.178]

Приведем два примера матриц Гессе для матричных функций. Во-первых, рассмотрим матричную функцию от п х 1 вектора х  [c.251]

Применительно к рассматриваемому примеру матрица смежностей для прадерева (рис. 4.6) представлена на стр. 146—147.  [c.145]

Второй пример матрицы создан под влиянием работ Л. Хольбе-ка-Ханссена. Матрица состоит из более детальных 6 х 6 ячеек. Она устанавливает следующие сектора собственную организационную структуру фирмы, ее потребителей, сбытовиков, конкурентов, поставщиков и, наконец, социальную среду. Эта матрица определяет также 6 уровней, а именно экономический, технический, социологический, психологический, биологический и геофизический. Как мы видим, обе матрицы имеют много общего. Основное различие состоит в том, что матрица 6×6 может дать возможность для более детального анализа участников рынка и их характеристик.  [c.162]

Это неполный пример матрицы оценки риска, использованной а проекте Информационные Системы , занимающемся переходом от системы Windows Olfi e-97 к системе Windows-2000, Проектная команда выявила риски, такие, как зависание системы после установки, жалобы конечных пользователей на изменение и сопротивление им и плохую работу оборудования. Помимо оценки вероятности, серьезности и времени события, проектная команда также оценивала свою способность вовремя определить тот момент, когда соответствующее событие действительно будет иметь место, чтобы смягчить его последствия, Обратите внимание, что команда считает высокой степень трудности обнаружения события, связанного с зависанием системы, так как системы рушатся без предупреждения, а отказ пользователя получил среднюю оценку, так как растущее недовольство и сопротивление можно заметить задолго до того, как оно приобретет угрожающие размеры.  [c.166]

Положительные матрицы очевидно строго коположительны. Однако, как показывают примеры, матрицы вида  [c. 24]

Типы матриц с определением и примерами

Матрицы — форма множественного числа матрицы, которая символизирует прямоугольный массив или таблицу, в которой числа/элементы организованы в строки и столбцы. Матрицы могут содержать любое количество столбцов и строк. Другими словами, можно понять, что прямоугольный массив m × n чисел (действительных или комплексных) в кадре из m горизонтальных строк (называемых строками ) и n вертикальных линий (называемых столбцами ) называется матрица с порядка м на n и записывается в виде матрицы m × n, как показано ниже.

\(A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&……&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&……&a_{2n}\\ .& .&.&.\\ .&.&.&.\\a_{m1}&a_{m2}&……&a_{mn}\end{matrix}\right] \)

Узнайте больше о наборах здесь.

\(\text{Здесь числа }a_{11},a_{12\ },\dots..\ \text{и т. д. известны как элементы матрицы A.} \)

Пример матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}_{3\times3} \)

Приведенная выше матрица B имеет порядок 3 × 3. Следовательно, всего в матрице 9 элементов. Здесь горизонтальный массив идентифицируется как строки, а вертикальный массив распознается как столбцы.

В линейной алгебре существует множество различных типов матриц. Все типы матриц различаются по компонентам, порядку и определенному набору условий. Различные типы матрицы; матрица-строка, матрица-столбец, одноэлементная матрица, прямоугольная матрица, квадратная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, диагональная матрица и т. д.

Существуют также специальные матрицы. В этой статье о типах матриц вы узнаете обо всех вышеупомянутых типах матриц с определением и примерами.

Типы матриц с примерами

Доступны матрицы всех размеров, но, как правило, их форма остается неизменной. Размер матрицы называется ее размерностью, которая представляет собой общее количество строк и столбцов в заданной матрице.

Над матрицами можно выполнять различные операции, такие как сложение матриц, вычитание матриц, скалярное умножение матриц, умножение матриц, транспонирование матриц и т. д. Существуют различные типы матриц в зависимости от количества компонентов и организации элементов в матрицах. Давайте проверим каждый из них на примерах.

Матрица-строка

Любая матрица, состоящая из одной строки и n столбцов, называется матрицей-строкой.

т.е. \(A=\left[a_{11}\dots..a_{1n}\right]_{1\times n} \)

Пример матрицы строк:

\(P=\begin{bmatrix }\ 1&-3&17\end{bmatrix} \)

Матрица-столбец

Любая матрица, содержащая m строк и один столбец, называется матрицей-столбцом.

т.е.

\(A=\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{bmatrix}_{m\times1}\)

Пример матрицы столбцов:

\(Q=\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}\)

Нулевая матрица или нулевая матрица

Любая матрица, в которой все компоненты ноль называется нулевой матрицей. Она также распознается как нулевая матрица и обозначается O. нулевая матрица порядка 3 x 3.

Одноэлементная матрица

Любая матрица называется одноэлементной, если матрица состоит только из одного элемента.

т. е. \(A=\left[a_{ij}\right]_{ m\times n}\) является одноэлементной матрицей, если m = n = 1.

Пример одноэлементной матрицы:

\(\left [4\right],\left[7\right],\left[b\right]\) являются примерами одноэлементной матрицы.

Квадратная матрица

Любая матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов, скажем, «А», называется квадратной матрицей порядка n.

т. е. \(A=\left[a_{ij}\right]_{ m\times n}\) объявляется квадратной матрицей порядка n, если m = n.

Пример квадратной матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}\)

Прочтите эту статью об определителях.

Прямоугольная матрица

Матрица идентифицируется как прямоугольная, если количество строк не совпадает с количеством столбцов.

Пример прямоугольной матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&3&6&-1\\3&4&5&5\\6&5&9&-1\end{bmatrix}\)

Здесь мы видим, что в этой матрице четыре столбца и три строки, поэтому B — прямоугольная матрица.

Горизонтальная матрица

Матрица порядка m x n называется горизонтальной матрицей, если n > m. То есть, если количество столбцов больше, чем количество строк в горизонтальной матрице.

\(B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}\)

Вертикальная матрица

Матрица порядка m x n называется вертикальной, если m > n. То есть, если количество строк больше, чем количество столбцов в вертикальной матрице.

\(B=\begin{bmatrix}1&1\\2&5\\3&6\\2&4\end{bmatrix}\)

Диагональная матрица

Любая квадратная матрица, в которой все компоненты равны нулю, кроме компонентов в главная диагональ называется диагональной матрицей.

То есть \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\) является диагональной матрицей, если \(a_{ij}=0\) для i не равно j.

Пример диагональной матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ \ 0\\0&\ 1&\ \ 0\\0&\ 0&-2\end{bmatrix}_{3\times3}\ )

\(P=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&5&0&0\\0&\ 0&2&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}\)

Здесь мы можем понять, что кроме диагональных элементов все остальные элементы равны до нуля. Следовательно, вышеупомянутый тип матрицы в математике является диагональной матрицей.

Также читайте о статистике в этой статье.

Прямоугольные диагональные матрицы

Прямоугольная диагональная матрица — это тип матрицы, которая также имеет одну ведущую диагональ с числами, а остальные записи — нули. Ведущая диагональ выбирается из самого большого квадрата в неквадратной матрице.

\(\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&7&0&0\end{bmatrix}\)

Скалярная матрица

Диагональная матрица, в которой все главные диагональные компоненты равны, называется скалярной матрицей.

Пример скалярной матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ 0\\0&\ 2&\ 0\\0&\ 0&\ 2\end{bmatrix}_{3\times3}\)

\(B=\begin{bmatrix}-5&\ 0&\ 0\\0&\ -5&\ 0\\0&\ 0&-5\end{bmatrix}_{3\times3}\)

Единичная матрица или единичная матрица

Диагональная матрица, в которой все главные диагональные компоненты равны 1, называется единичной матрицей. Он также распознается как матрица единиц . Единичная матрица порядка n обозначается I или \(I_{n}\).

Примеры матрицы идентичности:

\(I_2=\begin{bmatrix}1&\ \ 0\\0&\ \ 1\end{bmatrix}\)

\(B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\ \0&0&1\конец{bmatrix}_{3\times3}\)

Прочтите эту статью об отношениях и функциях.

Некоторые специальные типы матриц

Помимо наиболее часто используемых и практикуемых матриц, существуют другие типы матриц, которые применяются в сложных математических расчетах и ​​компьютерных технологиях. Ниже обсуждаются некоторые другие типы матриц:

Сингулярная и невырожденная матрица

Любая квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется сингулярной матрицей, а любая матрица, чей определитель не равен нулю, называется невырожденной. сингулярная матрица.

Пример сингулярной матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}1&\ 1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\left|B\right|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1\конец{vmatrix}=1\влево(1-1\вправо)-1\влево(1-1\вправо)+1\влево(1-1\вправо)\влево|B\вправо|=0+0 +0=0\)

Пример невырожденной матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&\ 1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}\left|B\right|=\begin{ vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{vmatrix}=2\left(2-1\right)-1\left(1-1\right)+1\left(1-2\right)\left| B\право|=2-0-1=1\)

Любая квадратная матрица называется треугольной матрицей , если элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю. Существует два вида треугольной матрицы , как показано ниже:

Верхняя треугольная матрица

Любая квадратная матрица скажем \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\) называется верхнетреугольной матрицей, если \(a_{ij}=0\) ∀ i > j.

Верхняя треугольная матрица Пример матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&\ 3&\ \ 4\\0&\ 1&\ \ 5\\0&\ 0&-2\end{bmatrix}_{3\times3 }\)

Нижняя треугольная матрица

Любая квадратная матрица, например \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\), называется нижней треугольной матрицей, если \(a_{ij}= 0\) ∀ i < j.

Нижняя треугольная матрица Пример матрицы:

\(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ \ 0\\3&\ 1&\ \ 0\\4&\ 5&-2\end{bmatrix}_{3\times3 }\)

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы может быть достигнуто путем замены ее строк на столбцы и столбцов на строки. Матрица транспонирования любой заданной матрицы, скажем, X, может быть записана как \(X^T[l/atex]. 9{’} (транспонировать A) \)тогда A называется кососимметричной матрицей.

Кососимметричная матрица Пример:

\(Q=\begin{bmatrix}\ 0&\ \ 3\\-3&\ \ 0\end{bmatrix}\)

Характеристики симметричных и кососимметричных матриц

• Для кососимметричной матрицы A все ее диагональные элементы равны нулю. то есть \(a_{ii\left(i=j\right)}=0\) ∀ i и j.
• Нулевая матрица / Нулевая матрица является как симметричной, так и кососимметричной матрицей.
• A+B и AB также являются симметричными матрицами. 9{\ тета} \).

  \(Q=\begin{bmatrix}0&\ -2+i\\2-i&\ \ \ \ \ 0\end{bmatrix}\)

  Узнайте больше о центроиде треугольника из этой статьи.

  Операции с матрицами

  Имея четкое представление о матрице и ее типах, приступим к основным операциям с матрицами.

  Типы матриц: сложение матриц

  Рассмотрим A и B любые две матрицы одинакового порядка m × n, тогда их сумма \(A+B=\left[a_{ij}+b_{ij}\right]_ {м\умножить на п}\). где \(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n} и B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n}\).

  Добавление матрицы Пример:

  \(A+B=\begin{bmatrix}\ 2&\ \ 3\\1&\ \ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\ 4&\ \ -2\\\ 3&\ \ \ \ \ 5\end{bmatrix}\)

  \(A+B=\begin{bmatrix}\ 6&\ \ 1\\4&\ \ 5\end{bmatrix}\)

  Типы Матрицы: умножение матриц

  Пусть A и B — любые две матрицы порядка m × n и p × q соответственно. Тогда выпуск AB существует тогда и только тогда, когда n = p. Точно так же продукт BA будет существовать тогда и только тогда, когда q = m.

  Если любую матрицу умножить на скаляр k ∈ R, то каждый элемент матрицы умножается на k.

  т.е. если \(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\).

  затем

  \(k\times A=A=\left[k\times a_{ij}\right]_{ m\times n}\)

  Умножение матриц Пример:

  Если

  \(A =\begin{bmatrix}2&\ \ 0\\0&\ \ 4\end{bmatrix}\)

  и

  \(B=\begin{bmatrix}4&\ \ 0\\0&\ \ 2\end{ bmatrix}\)

  \(A\times B=\begin{bmatrix}2&\ \ 0\\0&\ \ 4\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}4&\ \ 0\\0&\ \ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&\ \ 0\\0&\ \ 8\end{bmatrix}\)

  В этой статье вы узнаете о различных концепциях линейного графика.

  Вычитание матриц

  Подобно сложению матриц, вычитание матриц также возможно, если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково. При вычитании двух матриц мы вычитаем компоненты в каждой строке и столбце из соответствующих элементов в строке и столбце предыдущей матрицы.

  \(A-B=\begin{bmatrix}\ 2&\ \ 3\\1&\ \ 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\ 4&\ \ -2\\\ 3&\ \ \ \ \ 1\ конец{bmatrix}\)

  \(A-B=\begin{bmatrix}\ -2&\ \ 5\\-2&\ \ 4\end{bmatrix}\)

  Узнайте о матрице преобразования в статье по ссылке.

  Types of Matrices: Summary

  Check out the types of matrix with example in the below summary table:

  Type of Matrix	Representation Details	Example
  Матрица строк	\(A=\left[a_{ij}\right]_{1\times n}\)	\(P=\begin{bmatrix}\ 1&-3&17\end{bmatrix}\)
  Матрица столбцов	\(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times1} \)	\(Q=\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}\)
  Нулевая или нулевая матрица	\(A=\left[a_{ij}\right ]_{m\times n}\text{где }a_{ij}=0\)	\(B=\begin{bmatrix}0&0&0\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}_{3\times3}\ )
  Одноэлементная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{, где }m=n=1\)	\(\left[4\right],\left[7\right],\left[b\right]\)
  Горизонтальная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right ]_{m\times n}\text{ где }n\gt m\)	\(B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}\)
  Вертикальная матрица	\ (A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{, где}m>n\)	\(B=\begin{bmatrix}1&1\\2&5\\3&6\\ 2&4\end{bmatrix}\)
  Квадратная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{где }m=n\)	\(B=\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\ 6&5&9\end{bmatrix}\)
  Диагональная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{где} a_{ij}=0\text { for } i\ne j\)	\(P=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&5&0&0\\0&\ 0&2&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}\)
  Скалярная матрица	\(A =\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{ где }a_{ij}=\begin{Bmatrix}0&i\ne j\\k&i=j\end{Bmatrix}\) Здесь k — константа.	\(B=\begin{bmatrix}-5&\ 0&\ 0\\0&\ -5&\ 0\\0&\ 0&-5\end{bmatrix}_{3\times3}\)
  Идентичность или единичная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{, где }a_{ij}=\begin{Bmatrix}0&i\ne j\\1&i= j\end{Bmatrix}\)	\(B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}_{3\times3}\)
  Равная матрица	\(A =\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{ и }B=\left[b_{ij}\right]_{r\times s}\text{ где}a_{ij }=b_{ij},\ m=r,\text{ и } n=s\)	\(A=\begin{bmatrix}2&-5\\2&\ 4\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}2&-5\\2&\ 4\end{bmatrix}\) Здесь A и B — равные матрицы.
  Верхняя треугольная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{ for }a_{ij}=0\ ∀\ i>j\)	\(B=\begin{bmatrix}2&\ 3&\ \ 4\\0&\ 1&\ \ 5\\0&\ 0&-2\end{bmatrix}_{3\times3}\)
  Нижний Треугольная матрица	\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{ for }a_{ij}=0\ ∀\ i	\(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ \ 0\\3&\ 1&\ \ 0\\4&\ 5&-2\end{bmatrix}_{3\times3}\)
  Единственное число Матрица	\(\left|A\right|=0\)	\(B=\begin{bmatrix}1&\ 1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\)
  Несингулярный Матрица	\(\left|A\right|\ne 0\)	\(B=\begin{bmatrix}2&\ 1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}\)
  Симметричные матрицы 9{m} = O\), где O — нулевая матрица порядка n.	–

  Прочтите эту статью на сайте Locus.

  Типы матриц: Ключевые выводы
  • Для матричных продуктов матрицы должны быть совместимы. Это утверждает, что две матрицы A и B совместимы, если количество столбцов в A= количеству строк в B.
  • Если мы умножаем матрицу на скалярное значение, то это распознается как скалярное умножение.
  • Чтобы матрица была симметричной, она должна быть квадратной, т. е. иметь одинаковое количество строк и столбцов.
  • Если m=n, матрица считается квадратной.
  • Если m \ne n, матрица считается прямоугольной.
  • Здесь m обозначает количество строк, а n обозначает количество столбцов.
  • Диагональная матрица, в которой все главные диагональные компоненты равны 1, называется единичной матрицей. Она также признается единичной матрицей. Тогда как единичная матрица порядка n обозначается \(I\) или \(I_n\).
  • Единичная матрица, нулевая матрица или нулевая матрица, а также скалярная матрица являются примерами диагональной матрицы, поскольку во всех них неглавным диагональным элементам присваивается нуль.

  Мы надеемся, что приведенная выше статья о типах матриц поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

  Часто задаваемые вопросы о типах матриц

  В.1 Каковы различные типы матриц?

  Ответ 1 Существуют следующие типы матриц:
  Матрица-строка, матрица-столбец, одноэлементная матрица, прямоугольная матрица, квадратная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, диагональная матрица и т. д.

  Q.2 Можно ли добавлять матрицы разных размеров?

  Ответ 2 Для выполнения сложения или вычитания матриц они должны иметь одинаковый размер или размерность. Если сложение или разность двух матриц, имеющих разные размеры или размерности, не определены.

  Q.3 Каков порядок матрицы?

  Ответ 3 Говорят, что матрица с m строк и n столбцов имеет порядок m x n.

  Q.4 Что такое транспонирование матрицы?

  Ответ 4 Можно определить транспонирование матрицы путем переключения строк в столбцы и столбцов в строки для заданной матрицы, т. е. строки и столбцы меняются местами.

  В.5 Где в реальной жизни используются матрицы?

  Ответ 5 Они используются для построения графиков, статистики и других научных исследований практически во всех областях. Матрицы также можно использовать для представления реальных данных, таких как уровень младенческой смертности, численность населения и т. д. Они также используются в качестве методов представления для построения опросов

  В.6 Что такое единичная матрица?
  

  Ответ 6 Единичная матрица также известна как единичная матрица, которая используется как мультипликативная идентичность квадратных матриц и представлена ​​обозначением: I_n​

  Q. 7 Каково условие симметричной матрицы?
  

  Ответ 7 Симметричная матрица в линейной алгебре — это квадратная матрица, которая остается неизменной после транспонирования. Это доказывает, что матрица, транспонирование которой эквивалентно самой матрице, называется симметричной матрицей.

  Q.8 Каковы некоторые свойства единичной матрицы?

  Ответ 8 Некоторые из важных свойств единичной матрицы:
  Каждая единичная матрица всегда является квадратной матрицей, умножение единичной матрицы/единичной матрицы на любую другую матрицу дает ту же матрицу, определитель единичной матрицы всегда равен единице и т. д.

  Q.9 Что такое определитель диагональной матрицы?

  Ответ 9 Определитель диагональной матрицы является произведением ее старших диагональных компонент.

  Q.10 Что является определителем единичной матрицы?

  Ответ 10 Определитель единичной матрицы всегда равен единице.

  Скачать публикацию в формате PDF

  Еще на testbook.com

  Алкены: формула, структура, типы, получение, свойства, использование алкенов Изучите определение, связанные термины, формулу, доказательство и применение здесь!
  Magnitude: Know Definition, Magnitudes of Real Number & Vectors with Examples
  Mode: Definition, Formulas, Types and Solved Examples

  Vectors and matrices

  by Marco Taboga, PhD

  Эта лекция представляет собой неформальное введение в матрицы и векторы.

  Содержание

  1. Матрица

  2. Размер матрицы

  3. Entries of a matrix

  4. Vectors

  5. Scalars

  6. Equal matrices

  7. Zero matrices

  8. Square matrices

  9. Diagonal and off-diagonal elements

  10. Единичная матрица

  11. Транспонирование матрицы

  12. Симметричные матрицы

  13. Решенные упражнения

      1. Упражнение 1

      2. Упражнение 2

      3. Упражнение 3

  Матрица

  Матрица — это двумерный массив с фиксированным числом строк и столбцов и содержит число на пересечении каждой строки и столбца.

  Матрица обычно ограничивается квадратными скобками.

  Пример Вот пример матрицы с двумя строками и двумя столбцы:

  Размер матрицы

  Если матрица имеет ряды и столбцы, мы говорим, что он имеет размерность , или что это матрица.

  Пример матрица имеет ряды и столбцы. Итак, мы говорим, что это матрица.

  Элементы матрицы

  Числа, содержащиеся в матрице, называются записи из матрица (или элементы, или компоненты).

  Если является матрицей, запись на пересечении строки и колонка обычно обозначается (или же ). Мы говорим, что это -й запись .

  Пример Позволять быть матрица определяется как следует: элемент на пересечении третьей строки и первого столбца, т. е. его -й вход

  Векторы

  Если матрица имеет только одну строку или только один столбец, она называется вектором.

  Матрица, имеющая только одну строку, называется вектором-строкой .

  Пример матрикс вектор-строку, потому что он имеет только одну строку.

  Матрица, имеющая только один столбец, называется вектором-столбцом .

  Пример матрикс вектор-столбец, потому что он имеет только один столбец.

  Скаляры

  Матрица, имеющая только одну строку и один столбец, называется скалярной.

  Пример матрикс скаляр. Другими словами, скаляр — это одно число.

  Равные матрицы

  Равенство между матрицами определяется очевидным образом.

  Два матрицы а также имеют одинаковую размерность, называются равно тогда и только тогда, когда все их соответствующие элементы равны каждому другое:

  Нулевые матрицы

  Матрица является нулевой матрицей , если все ее элементы равны нулю, и мы пишем

  Пример Если это матрица и , затем

  Квадратные матрицы

  А матрица называется квадратной матрицей , если количество его строк равно столько же, сколько и количество его столбцов, т. е. .

  Пример матрикс квадратная матрица.

  Пример матрикс квадратная матрица.

  Диагональные и недиагональные элементы

  Позволять быть квадратной матрицей.

  Диагональ (или главная диагональ ) это набор всех записей такой, что .

  Элементы, принадлежащие диагонали, называются диагональными элементами, и все остальные элементы называются недиагональными.

  Пример Позволять быть матрица определена всеми внедиагональные записи равны , а три диагональных элемента равны , , а также , соответственно.

  Идентификационная матрица

  Квадратная матрица называется единичной матрицей , если все ее диагональные элементы равны и все его недиагональные элементы равны . Обычно обозначается буквой .

  Пример матрикс в единичная матрица.

  Транспонирование матрицы

  Если это матрица, это транспонировать , обозначается , это матрица такая, что -й элемент равно -й элемент за Любые а также удовлетворяющий а также .

  Другими словами, столбцы равны строкам (равнозначно ряды равны столбцам ).

  Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица:

  Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица:

  Симметричные матрицы

  Говорят, что квадратная матрица равна 9. 0003 симметричный , если он равен его транспонировать.

  Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица: какая равно . Следовательно, симметричен.

  Решенные упражнения

  Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

  Упражнение 1

  Позволять быть матрица определена по

  Найдите его транспонирование.

  Решение

  Транспонирование матрица такая, что ее столбцы равны строкам :

  Упражнение 2

  Позволять быть вектор-столбец определен по

  Покажите, что его транспонирование является вектором-строкой.

  Решение

  Транспонирование матрица такая, что ее строки равны столбцам . Но имеет только один столбец, что означает, что имеет только одну строку.