Примеры на производные: Как найти производную функции, примеры решения - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

2} \)

Пример: $y = arccot( 2) => у’ = \frac{-1}{ 1+4} = \frac{-1}{ 5} $

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Содержание

Производная в задачах с параметром

На этой странице вы узнаете

Как функция отражается в зеркале?
Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой?
Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?

Что может рассказать о себе функция и как раскрыть ее секреты? Как узнать поведение функции, не видя ее график? Подробнее об этом в статье.

Производная в задачах с параметром

С помощью производной можно многое сказать о функции: где она возрастает или убывает, какие точки экстремума у нее есть, можно даже найти касательную к функции. Поэтому перед прочтением статьи рекомендуем ознакомиться с понятиями «Производная» и «Исследование функции с помощью производной».

Вспомним несколько важных фактов, которые относятся к производной:

производная положительна на участках возрастания функции;
производная отрицательна на участках убывания функции;
производная равна 0 в точках экстремума.

Представим, что мы решили покататься на велосипеде по городу. Участки, на которых мы будем ехать в гору — это участки возрастания функции. Производная в них будет положительна: мы тратим много сил, чтобы подняться по склону вверх.

Остановимся на вершине, чтобы полюбоваться красивой панорамой. Это самая высокая точка горы— точка максимума, которая является экстремумом.

Теперь спустимся с горы. Будем ли мы прикладывать силы? Нет, велосипед все сделает за нас. То есть производная отрицательна.

Скатившись с горы, мы попадем в самую низкую точку на рельефе, то есть в точку минимума.

Чуть подробнее про точки минимума и максимума:

В точке минимума производная функции меняет знак с минуса на плюс.
В точке максимума производная функции меняет знак с плюса на минус.

Рассмотрим, как эти знания могут пригодиться в решении задач с параметром.

Как функция отражается в зеркале?

Отражением функции в зеркале будет ни что иное, как производная. Именно она с точностью описывает поведение функции, ее характер и внешность.

Поскольку графики функции и производной несколько отличаются друг от друга, то это будет скорее отражение в кривом зеркале, чем в обычном.

Производная функции может пригодиться вам при решении различных заданий из ЕГЭ по профильной математике. Например, частым гостем производная является в номерах 7 и 11. Помимо этого, она может помочь еще и при решении задания второй части №15 на оптимизацию.

Сейчас мы потренируемся решать примеры с помощью производной.

Пример 1. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции f(x) = x³ — 48x — a равно -133 на отрезке [-5; -2]?

Решение.

Шаг 1. Для начала найдем производную функции.

f'(x) = 3x² — 48 = 3(x² — 16) = 3(x — 4)(x + 4)

Тогда точки экстремума будут равны x = 4 и x = -4. В этих точках производная функции будет менять знак на противоположный.

Шаг 2. Определим, какая из получившихся точек будет точкой максимума, а какая точкой минимума.

Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой?

Можно показать стрелочками направление функции: на промежутках с минусом стрелочки смотрят вниз, а на положительных промежутках— вверх. Так мы условно показываем график функции, а значит, можем увидеть точки минимума и максимума визуально.

В точке «4» производная функции меняет знак с минуса на плюс, а значит, это точка минимума.

В точке «-4» функция меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.

Нас интересует значение функции на определенном отрезке, а именно от -2 до -5. Если мы отметим этот участок на прямой, то в него войдет только точка минимума.

На минутку вспомним нашу поездку на велосипеде.

Допустим, мы едем по получившейся числовой прямой, включив в точке —2 фитнес-браслет для контроля пульса. От точки —2 до точки 4 будет спуск с горы, а от точки 4 до 5 будет подъем в гору.

Браслет был слабо заряжен, и в точке 5 он сел. Мы не успели подняться до вершины горы с включенным браслетом.

Вопрос: через какую самую низкую точку на маршруте мы проехали, пока работал фитнес-браслет? Через точку минимума, то есть 4.

Рассмотрим эти же рассуждения на языке математики: до точки -4 функция возрастает, а от -4 до 4 убывает, после точки 4 снова возрастает. Если рассмотреть отрезок от -2 до 5, то от -2 до 4 функция убывает, от 4 до 5 функция возрастает. 3-48*4-a=64-192-a= -128-a\).

Шаг 4. По условию наименьшее значение функции должно быть –133, откуда

-128-a= -133
a=5

Ответ: 5

Касательная к графику

Касательная к графику — это прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку.

Могут возникнуть вопросы: как задать касательную к графику с помощью уравнения? Как найти координаты точки касания? Как она связана с самой функцией? И на все эти вопросы дает ответ производная функции.

Геометрический смысл производной: если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная функции в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона.

То есть если мы найдем производную в точке касания, то найдем и угол наклона касательной.

Рассмотрим некоторую функцию и касательную к ней. Пусть их общая точка будет в х₀, также возьмем произвольную точку в х.

Заметим, что касательная к графику задана уравнением y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а следовательно, k = tg(∠BAC)

Найдем тангенс угла наклона:

$tg(\angle{BAC})=\frac{BC}{AC}=\frac{y — y_0}{x — x_0}$.

Пусть функция, к которой проведена касательная — это f(x). По геометрическому смыслу производной получаем:

$f'(x_0) = \frac{y — y_0}{x — x_0}$

Мы взяли точку х₀, поскольку по геометрическому смыслу производной нам нужна именно точка касания, а не произвольная точка.

Выразим у:

f'(x₀) * (x — x₀) = y — y₀
y = y₀ + f'(x₀) * (x — x₀)

Немного поменяем обозначения. Поскольку $y_0$ и $f(x_0)$ — это одно и то же, то получаем:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀).

Мы получили уравнение касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)

Допустим, нам дана произвольная прямая y = kx + b. Как понять, при каких коэффициентах она будет касательной к графику функции?

Для этого достаточно выполнение одной из двух систем:

Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?

Ранее мы встречались с касательной к «Окружности». У них много общего с касательной к графику, но есть одно отличие.
Касательная к окружности не может пересечь ее в другой точке, а вот касательная к функции может.

Мы не зря говорим про касательную в точке. Поскольку функция может иметь сложный график, касательная, проведенная к одной точке, может пересечь функцию в другом месте. Пример на изображении ниже.

В ЕГЭ по профильной математике можно встретить касательную функции в задании 7. Поэтому предлагаем вам рассмотреть пример, как применить касательную функции в задачах с параметром, чтобы на экзамене верно и без сомнений решить это задание.

Рассмотрим, где можно применить касательную к функции в задачах с параметром.

Пример 2. Дана парабола y = x² + ax — 9, касательная к ней проходит через точку (0; -34). При каких значениях параметра а значение функции в точке касания равно 10 при положительных значениях х?

Решение.

Шаг 1. Заметим, что дана парабола, ветви которой направлены вверх.

Шаг 2. Пусть парабола и прямая касаются в точке (x₀; y₀). В уравнении касательной также есть значения х и у. В условии нам дана точка, через которую проходит касательная. Следовательно, y = -34, x = 0.

Шаг 3. Найдем производную для функции, задающей параболу: y’ = 2x + a, тогда f'(x₀) = 2x₀+ a.

Шаг 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)

$-34 = x_0^2 + ax_0 — 9 + (2x_0 + a)(0 — x_0)$
$-34 = x_0^2 + ax_0 — 9 + 2x_0 * 0 — 2x_0^2 + a * 0 — ax_0$
$-34 = -x_0^2 — 9$
$x_0^2 — 25 = 0$
(x₀ — 5)(x₀ + 5) = 0
x₀ = 5 и x₀ = -5

Поскольку по условию х₀ должно быть положительно, получаем x₀ = 5.

Тогда абсцисса точки касания равна 5, откуда можем найти значение функции в точке касания:

y = x² + ax — 9
y = 25 + 5a — 9
y = 16 + 5a

По условию, значение функции в точке касания равно 10, отсюда:

10 = 16 + 5a
5a = -6
a = -1,2

Ответ: — 1,2

Давайте подведем итог. Что узнали, чему научились?

В этой статье мы разобрали важную тему для экзамена по математике «Производная в задачах с параметром». Знания, которые вы получили после прочтения статьи, пригодятся в нескольких заданиях экзамена.

Вы научились определять:
— минимум и максимум функции, благодаря чему можете понять, как ведет себя функция;
— каким уравнением задается касательная, как ее применять в задачах с параметром.

Теперь вам будет проще решать задания 7 и 11 ЕГЭ по профильной математике, а также №15 на оптимизацию.

Термины

Точки экстремума — точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на отрезке.

Фактчек

С помощью производной можно проанализировать функцию, а именно найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции.
Касательная к графику — прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку.
Касательная задается уравнением y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀).
Чтобы найти значения коэффициентов в уравнении прямой, при которых она будет касательной к графику, достаточно выполнение одной из двух систем:

Проверь себя

Задание 1.
В каких точках производная равна 0?

В точках экстремума.
В точках, где функция возрастает.
В точках, где функция убывает.
Производная не может быть равна 0.

Задание 2.
Чему равна производная функции?

Тангенсу касательной, проведенной к функции.
Котангенсу касательной, проведенной к функции.
Синусу касательной, проведенной к функции.
Косинусу касательно, проведенной к функции.

Задание 3.
Как выглядит уравнение касательной?

y = f(x₀) — f'(x₀) * (x — x₀)
y = f(x) + f'(x₀) * (x — x₀)
y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)
y = f(x₀) + f'(x₀) *(x₀ — x)

Задание 4.
Чему равен коэффициент наклона k в уравнении прямой y=kx+b?

Первообразной функции.
Производной функции.
Синусу угла наклона касательной.
Тангенсу угла наклона произвольной прямой.

Ответы: 1.— 1 2.— 1 3.— 3 4.— 2

Деривативы Легкий способ

Производные инструменты Легкий способ

Постоянное правило и степенное правило

Мы видели следующие производные:

Если f(x) = c, то f ‘(х) = 0
Если f(x) = x, то f ‘(х) = 1
Если f(x) = x ² , затем f ‘(х) = 2х
Если f(x) = x ³ , то f'(x) = 3x ²
Если f(x) = x ⁴ , то f'(x) = 4x ³

Это приводит нас к предположению следующей теоремы.

Теорема

д
х ⁿ = nx ^n-1
дх

Доказательство:

У нас есть

Приложения

Пример

Найдите производные следующих функций:

f(x) = 4x ³ – 2x ¹⁰⁰
f(x) = 3x ⁵ + 4x ⁸ – x + 2
f(x) = (x ³ – 2) ²

Решение

Мы используем наши новые производные правила, чтобы найти

12x ² – 200x ⁹⁹
15x
3 +32x ⁷ -1
Сначала мы ФОЛЬГА, чтобы получить
[х ⁶ – 4х ³ + 4] ‘

Теперь используйте производное правило для степеней
. 6x ⁵ – 12x ²

Пример:

Найти уравнение касательной к

у = 3x ³ – x + 4

в точка (1,6)

Решение:

у’ = 9x ² – 1

при x = 1 это равно 8. Использование уравнения точка-наклон для линии дает

у – 6 = 8(х – 1)

или

у = 8х – 2

Пример:

Найдите точки, где касательная к

у = х ³ – 3x ² – 24x + 3

является горизонтальным.

Решение:

Находим

у’ = 3x ² – 6x – 24

Касательная будет горизонтальной, если ее наклон равен нулю, т. производная равна нулю. Установка производной равной нулю дает:

3x ² – 6x – 24 = 0

или

х ² – 2х – 8 = 0

или

(х – 4)(х + 2) = 0

так что

х = 4 или x = -2

Производная f(x) = sin(x)

Теорема

д
sin(x) = cos(x)
дх

Доказательство:

d/dx cos(x)

Теорема

д
потому что х = -sin х
дх

Вернуться к Домашняя страница Math 105

электронная почта Вопросы и Предложения

Пример

производных | Три основных примера производных инструментов

В следующем примере производных финансовых инструментов представлен обзор наиболее распространенных видов производных инструментов. Производный инструмент — это финансовая ценная бумага, стоимость которой определяется базовым активом. Базовыми активами могут быть акции, индексы, иностранная валюта, товары или любые другие активы. Таким образом, из приведенного выше определения ясно, что производные продукты не имеют собственной стоимости, их стоимость определяется какими-либо конкретными базовыми активами. Основными участниками производных рынков являются хеджеры, спекулянты и арбитражеры. Ниже примеры производных иллюстрируют наиболее распространенные производные. Невозможно привести примеры всех типов производных, поскольку таких производных тысячи, и они различаются в каждой ситуации.

Примеры производных (с шаблоном Excel)

Давайте попробуем понять производные на приведенных ниже примерах.

Вы можете скачать этот пример Excel-шаблона для деривативов здесь — Пример деривативов — Excel-шаблон

#1 Пример деривативов — Фьючерсный контракт

ABC Co. — компания по доставке, чьи расходы связаны с ценами на топливо. ABC Co. предполагала, что они будут использовать 90 000 галлонов бензина в месяц. В настоящее время 1 июля ^st, и компания хочет хеджировать свои следующие 3 месяца расходов на топливо, используя фьючерсные контракты RBOB Gasoline. Информация об этих контрактах следующая.

Каждый контракт рассчитан на 42 000 галлонов.
Срок действия контрактов истекает в конце предыдущего месяца. Например, если нам нужно купить августовский контракт, срок действия которого истекает в конце июля.
Начальная маржа составляет 11 475 долларов США, а поддерживающая маржа составляет 8 500 долларов США.

Дано,

Вопрос-1 – Должна ли ABC Co. покупать (длинная) или продавать (короткая) фьючерс, чтобы открыть свою позицию.

Решение:

Компания ABC Co. подвержена влиянию цены на газ, если цена на газ повысится, ее расходы повысятся, а из-за расходов прибыль снизится.

Поэтому, если ABC Co хочет хеджировать этот риск и защитить свою прибыль, ей нужна ситуация, при которой будущая позиция будет увеличиваться в цене при повышении цен на газ. Таким образом, если компания заключает долгосрочный контракт, покупая фьючерсы на бензин, чтобы компания получала прибыль от этих фьючерсов, когда цена на газ подорожает, это компенсирует естественные риски. Таким образом, позиция хеджирования ABC Co. заключается в том, чтобы открыть длинную позицию (купить) по контракту.

Вопрос 2. Сколько контрактов следует использовать компании ABC?

Решение:

Компания ABC использует 90 000 галлонов газа каждый месяц, и каждый контракт был на 42 000 галлонов.

Количество контрактов = предполагаемое использование газа / контракт на
Количество контрактов =
/42000
Количество контрактов = 2

Контракт на двоих:

Один контракт = 42 000
Два контракта = 2 × 42 000
Два контракта = 84 000 галлонов газа.

Итак, сколько следует использовать, ответ 2.

Вопрос 3 – Что такое первоначальный денежный поток ABC Co.?

Начальный денежный поток или маржа рассчитывается как:

Решение:

Итак, здесь номер контракта = 2
Начальный денежный поток/маржа = $11 475
= 2 × 11 475 долл. США
= 22 950 долларов в месяц

Так за 3 месяца

Первоначальный денежный поток/прибыль за 3 месяца = 22 950 долл. США × 3
Первоначальный денежный поток/маржа за 3 месяца = 68 850 долл. США

Таким образом, первоначально ABC Co. должна положить 68 850 долларов США на свои маржинальные счета, чтобы установить свою позицию, что даст компании два контакта на следующие 3 месяца.

Вопрос 4 – Цена бензина на августовский фьючерс составляет 2,8974 доллара, сентябрьский фьючерс – 2,8798 доллара, а октябрьский фьючерс – 2,7658 доллара, который закрылся на уровне 2,6813 доллара в августе, 2,4140 доллара в сентябре и 2,09 доллара в октябре.

99 Сколько ABC Co. потеряла на фьючерсном контракте?

Решение:

Убыток = (Цена закрытия – Цена открытия) × Общий объем бензина

Убыток рассчитывается следующим образом: 2,6813-2,8974) * 84000

Потери = -18152,4

Аналогично для всех,

Общий убыток = убыток в (август) + (сентябрь) + (октябрь)

Общий убыток = -18152,4 + -39127,2 + -55935,6
Общая потеря = -113215,20

So Суммарный убыток по фьючерсным контрактам $ -113215,20

Производные Пример №2 – длинные фьючерсы 1

^ст сентября. Цена одной кипы хлопка была установлена на уровне 50 долларов США за кипу. Текущий обменный курс: 1 доллар США = 69,35 индийских рупий. Импортер рискует заплатить больше, если доллар укрепится. Доллар укрепляется в ближайшие месяцы и на 1^st сентября обменный курс поднимается до 1 доллара США = 72,35 индийских рупий.

Давайте рассмотрим следующие два сценария.

Теперь, что произошло здесь, что Импортер должен платить больше из-за разницы в курсах, то есть 72,35 INR – 69,35 INR = 3 INR

Таким образом, 1000×50×3 = 1 INR, 50 000 дополнительных сумм к оплате.

Дано,

Случай -1:- Когда Импортер не хеджировал свою позицию.

Решение:

Общая сумма платежа в долларах США по состоянию на 1 ^марта года = количество тюков хлопка × цена за единицу

Общая сумма платежа в долларах США по состоянию на 1 ^марта года рассчитывается следующим образом:

Общая сумма платежа 1 марта = 50×1000
Общий платеж, сделанный 1 ^марта года = 50 000 долларов США

Сумма в индийских рупиях, необходимая для оплаты 1 ^st 9 марта0325

Сумма в индийских рупиях, необходимая для осуществления платежа 1 ^марта года, рассчитывается следующим образом:

Сумма в индийских рупиях, необходимая для осуществления платежа 1 ^марта года = 50 000 долл. США × 69,35 90,35
Сумма в индийских рупиях, необходимая для совершения платежа 1 ^марта года = 34, 67 500 индийских рупий

Сумма INR, необходимая для совершения платежа 1 ^st Sep

Сумма INR, необходимая для совершения платежа 1 ^st Sep = 50 000 $ × 72,35
Сумма INR, необходимая для совершения платежа 1 ^st Sep = 36, 17 500 INR

Общие убытки, понесенные в результате повышения обменного курса

Общие убытки, понесенные в результате повышения обменного курса = 34 67 500,00 – 36 17 500,00
Общий убыток, понесенный из-за повышения обменного курса = -1, 50 000 индийских рупий

Вывод – Импортер должен заплатить дополнительно 1 50 000,00 индийских рупий 1 900 27 900 28 сентября из-за повышения обменного курса, таким образом, он несет убыток по сравнению со своим платежным обязательством по состоянию на 1 900 27 900 28 марта.

Случай -2:- Импортер решил хеджировать свою позицию, выйдя на рынок валютных фьючерсов. Импортер ожидал, что доллар укрепится, и решил заключить контракт на доллар-рубль, чтобы застраховать свою позицию.

Решение:

Количество контрактов в долларах США и индийских рупиях

Кол-во контрактов в USD-INR рассчитывается как:

Кол-во контрактов в USD-INR = Сумма к оплате/1000 (размер лота для контракта 1USD-INR)
Количество контрактов USD-INR = 50 000/1000
Кол-во контрактов USD-INR = 50 контрактов

Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта

Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта, рассчитывается как:

Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта = 50 × 1000 × 69,55
Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта = 34, 77 500 индийских рупий

Выручка от продажи фьючерсного контракта

Выручка от продажи фьючерсного контракта рассчитывается как:

1 ^{сентября} Обменный курс изменяется до 72,65 9095, а цена фьючерса достигает 72,35. 015 Выручка от продажи фьючерсного контракта = 50 × 1000 × 72,55

Выручка от продажи фьючерсного контракта = 36, 27 500 индийских рупий

Прибыль от продажи фьючерса

Прибыль от продажи фьючерса рассчитывается как:

Прибыль от продажи фьючерса = продажа фьючерса – покупка фьючерса

прибыль от продажи фьючерса 36, 27 500,00 – 34, 77 500,00
Прибыль от продажи фьючерса = 1 50 000 индийских рупий

Заключение: Импортер эффективно хеджировал свои убытки, заключив будущие контракты и тем самым аннулировав свои убытки из-за неблагоприятного изменения обменного курса.

Производные инструменты Пример#

3 – Фьючерсы на фондовые индексы
Джон владеет портфелем акций и деталями, связанными с портфелем, как указано ниже.
Стоимость портфеля: V = 95 миллионов долларов (спотовая цена)
Бета портфеля: β =0,90
Фьючерсный контракт S&P Цена фьючерса:
f= 1 513,40
Фьючерсный контракт
S&P имеет размер, кратный $250
Таким образом, цена будущего контракта = 250 долл. США × 1 513,40 долл. США = 378 350 долл. США
Размер контракта Note = $250 × цена фьючерса S&P.
Решение:
Коэффициент хеджирования (HR) = (S/f) β
HR = (долларовая стоимость портфеля/долларовая цена фьючерсного контракта S&P) × β
HR = (95 000 000 долл. США/378 350 долл. США) × 0,90
ЧСС = 225,98 ≈ 226
Теперь давайте попробуем понять приведенный выше пример с помощью следующих двух сценариев:
Предположим, что рынок упадет, скажем, на 5%
Поскольку Джон владеет портфелем, он потеряет деньги из-за падения рынка на 5%, но, поскольку Джон в будущем будет в короткой позиции (Проданные фьючерсы), он снова заработает .
Падение стоимости портфеля акций на = β × 5%
Падение стоимости портфеля акций на = 0,9 × 5% = 4,5% или на 0,045 × 95 000 000 долларов)
Стоимость портфеля акций упадет на = -4 275 000 долларов США
Цена фьючерсного контракта также уменьшится на 5% и составит $378 350 × 5% = $18,9. 17,50
Цена фьючерсного контракта = $378 350 – $18 917,50
Цена фьючерсного контракта
= $359 432,50
Прибыль от фьючерса = (378 350 долл. США – 359 432,50 долл. США) × 226 = 4 275 355 долл. США
Прибыль от хеджирования = позиция спот + позиция в будущем
Прибыль от хеджирования = -4 275 000 долл. США + 4 275 355 долл. США
Прибыль от хеджирования = $355
Предположим, рынок вырос, скажем, на 5%
Поскольку Джон владеет портфелем, он получит деньги благодаря росту рынка на 5%, но поскольку у Джона короткая позиция по фьючерсам (Проданные фьючерсы), он проиграет.
Увеличение стоимости портфеля акций на = β × 5%
Увеличение стоимости портфеля акций на = 0,9 × 5% = 4,5% или на 0,045 × 95 000 000 долларов)
Увеличение стоимости портфеля акций на = 4 275 000 долларов США
Цена фьючерсного контракта также вырастет на 5% и составит $378 350 × 5% = $18 917,50
Цена фьючерсного контракта = $378 350 + $18 917,50
Цена фьючерсного контракта = $ 397 267,50
Будущие убытки = (378 350 долл. США – 39 долл. США7 267,50) × 226 = -4 275 355 долл. США
Убыток от хеджирования = позиция спот + позиция в будущем
Убыток от хеджирования = 4 275 000 долларов США + (-4 275 355 долларов США)
Убыток от хеджирования = -$355
Заключение
Таким образом, приведенные выше примеры дают нам краткий обзор того, как работают рынки деривативов и как они хеджируют рыночные риски. Приведенные выше примеры показывают нам, что деривативы предоставляют конечным пользователям эффективный метод хеджирования и управления своими рисками, связанными с колебаниями рыночных цен/курсов. Риски, с которыми сталкиваются дилеры деривативов, зависят от фактической стратегии, принятой дилером. Приведенные выше примеры объясняют нам, как хеджирование защищает хеджера от неблагоприятных ценовых движений, позволяя при этом продолжать участвовать в благоприятных движениях. Приведенные выше примеры ясно показывают, что дериватив явно сложнее, чем традиционные финансовые инструменты, такие как акции, облигации, кредиты, банковские депозиты и т.