| Дата: 20.11.2014 Таблица производных.Производная – одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств. Это знакомство позволит: Понимать суть несложных заданий с производной; Успешно решать эти самые несложные задания; Подготовиться к более серьёзным урокам по производной. Сначала – приятный сюрприз.) Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний! Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов – чтобы понять задание, и всего несколько правил – чтобы его решить. Приступим к знакомству?) Термины и обозначения.В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках. Здесь же важно понять, что дифференцирование – это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная. Дифференцирование – действие над функцией. Производная – результат этого действия. Так же, как, например, сумма – результат сложения. Или частное – результат деления. Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т. Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y” или f”(x) или S”(t) и так далее. Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…) Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)” , (x 3 )” , (sinx)” и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем. Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего – научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной – это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного. Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. 1. Таблица производных (формулы дифференцирования). 3. Производная сложной функции. Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных. Таблица производных.В мире – бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе – линейная, квадратичная, гипербола и т.п. Дифференцирование функций “с нуля”, т.е. исходя из определения производной и теории пределов – штука достаточно трудоёмкая. А математики – тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.) Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева – элементарная функция, справа – её производная.
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице – вроде и нету… Рассмотрим несколько примеров: 1. Найти производную функции y = x 3 Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат: (x 3) ” = 3·x 3-1 = 3x 2 Вот и все дела. Ответ: y” = 3x 2 2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0. Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню – это уже новая функция. По табличке находим синус и соответствующую производную: y” = (sin x)” = cosx Подставляем ноль в производную: y”(0) = cos 0 = 1 Это и будет ответ. 3. Продифференцировать функцию: Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет. Напомню, что продифференцировать функцию – это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает… Но если увидеть, что наша функция – это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается! Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это – табличная функция. Сразу получаем: Ответ: y” = – sin x . Пример для продвинутых выпускников и студентов: 4. Найти производную функции: Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так: А икс в степени одна десятая – это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем: Вот и всё. Это будет ответ. Надеюсь, что с первым китом дифференцирования – таблицей производных – всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования. |
Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по
е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
nx. Формулы производных высших порядков.
Производная от числа равна нулю 
Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.
Производная переменной под корнем произвольной степени 
И всё. Это радует.
п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.
Вот они эти три кита:
Производная степенной функции – одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
По формуле косинуса двойного угла:
Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава I. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ § 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ § 2. АРИФМЕТИКА § 3. ГЕОМЕТРИЯ § 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ § 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ § 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН § 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА § 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ § 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Глава II. АНАЛИЗ § 2. ФУНКЦИЯ Графики функций. § 3. ПРЕДЕЛ § 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ Примеры вычисления производных. § 6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Производная суммы. Производная произведения. Производная частного. Производная обратной функции. Таблица производных. Нахождение производной функции от функции.  § 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Отыскание наибольших и наименьших значений функции. Производные высших порядков. Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость. Признаки максимумов и минимумов. Исследование графиков функций. § 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Теорема о среднем и примеры ее применения. § 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Формула Тейлора. Ряд Тейлора. § 10. ИНТЕГРАЛ Определенный интеграл. Связь дифференциального и интегрального исчисления. § 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Неявное задание функции. Геометрическое изображение. Частные производные и дифференциал. Дифференцирование неявных функций. Задачи на максимум и минимум. Формула Тейлора. Относительный максимум и минимум. § 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА Контурные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. § 16. РЯДЫ Сходимость ряда. Ряды функций.  2.§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА § 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Уравнение эллипса и его фокальное свойство. Законы движения планет. Эллипс инерции. Гипербола и ее фокальное свойство. Парабола и ее директрисса. Свойство касательной к параболе. Директриссы эллипса и гиперболы. Конические сечения. Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности. § 8. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Формулы преобразования координат. Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов. § 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей. Алгебра векторов. Скалярное произведение и его свойства. § 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ Уравнение плоскости и уравнения прямой. Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.  Эллипсоид. Гиперболоиды и конус 2-го порядка. Параболоиды. § 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ Эллипс как результат «сжатия» окружности. Пример решения более сложной задачи. Важнейшие применения аффинных преобразований Формулы аффинных преобразований. Ортогональные преобразования. § 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ § 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке. Проективная плоскость. Проективные отображения; основная теорема. Проективная геометрия. Запись проективных преобразований формулами. § 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА Проективные преобразования круга в себя. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ) § 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Разложение многочлена на множители и формулы Виета. Теорема о симметрических многочленах. Работы Лагранжа. Открытие Абеля. Теория Галуа. Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.  Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа. § 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ Теория комплексных чисел. Поверхность модуля многочлена. О возрастании модуля многочлена при удалении от начала. Существование минимумов поверхности M. Лемма Даламбера. § 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ Простые и кратные корни многочлена. Теорема Ролля и некоторые ее следствия. Правило знаков Декарта. Теорема Штурма. Задача Гурвица. § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ |
Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.
Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями,
мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема.
Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости:
\начать{выравнивать*}
z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\
&= 5 + 2(х-1) + 4(у-2)
\конец{выравнивание*}
Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость – это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}
Пример 1′
Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?
Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\ \pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\ Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right]. \конец{выравнивание*} Уравнение касательной плоскости, т. е. линейное приближение, принимает вид \начать{выравнивать*} z &= L(x,y) = f(2,3)+\pdiff{f}{x}(2,3)(x-2) + \pdiff{f}{y}(2,3)( у-3) \\ &= 13 + 4(х-2) + 6(у-3) \конец{выравнивание*}
Пример 2
Найдите производную от
\начать{выравнивать*}
\vc{f}(x,y,z)=(x^2y^2z,y+\sinz)
\конец{выравнивание*}
в точке $(1,2,0)$.
2) 0, 2+\sin 0)\\
&= (0,2)
\конец{выравнивание*}
Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть
Линейное приближение к $\vc{f}$ есть
\начать{выравнивать*}
L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z)
\\
“=”
\левый[
\начать{массив}{с}
0\2
\конец{массив}
\верно]
+
\левый[
\begin{массив}{ccc}
0 и 0 и 4\\
0 и 1 и 1
\конец{массив}
\верно]
\левый[
\начать{массив}{с}
х-1\у-2\\г
\конец{массив}
\верно]
\\
“=”
\левый[
\начать{массив}{с}
0\2
\конец{массив}
\верно]
+
\левый[
\начать{массив}{с}
4з\у-2+з
\конец{массив}
\верно]
\\
&=(4г, у+г)
\конец{выравнивание*}
Пример 4
Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.
Решение :
Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно
\начать{выравнивать*}
L(1.1,1.9,0.1) &= (4(0.1), 1.
9+0.1)\\
& = (0,4, 2,0)
\конец{выравнивание*}
Обратите внимание, что $(1.1,1.9,0.1)$ очень близко к $(1,2,0)$, т.е. точка, вокруг которой мы вычислили линейную аппроксимацию. Итак, мы ожидать, что это линейное приближение будет близко к истинному значению $\vc{f}$ в $(1.1,1.92(0,1), 1,9+\sin(0,1))\\ &\ приблизительно (0,4368,1,9998). \конец{выравнивание*} В этом случае приближение достаточно близкое.
Производное в математике — объяснение с примерами
Ariel Skelley/DigitalVision/Getty ImagesКогда речь идет о творческом письме, то, что что-то называется «производным», подразумевает, что не было вложено много мыслей, и автор скопировал идеи из других работ.
В математике производные уравнения — это не уравнения, которые предполагают недостаток воображения, а скорее помогают найти средний наклон между двумя точками. Производные математические задачи могут варьироваться от «эй, это не так сложно» до «когда математика стала состоять только из букв и символов?»
В этой статье мы обсудим, как рассчитать производные, и сделаем концепцию максимально понятной.
Хотя изучение математики может быть похоже на изучение нового языка, как только вы поймете, что означают новые символы и как они работают, вы сможете получить более сложные уравнения.
Если вам интересно, как нахождение производной функции когда-либо пригодится, скажем, вы хотите получить одну из следующих профессий:
- Инженерное дело
- Строительство
- Архитектура
- Изобразительное искусство
- Сейсмология
- Медицина
- Компьютерное программирование
Понимание уравнений исчисления производных, особенно без использования калькулятора, будет невероятно полезным.
Что означает производная?
Вскоре мы рассмотрим некоторые математические примеры определения производных, но пока давайте дадим вам рабочее определение.
Производная показывает скорость изменения функций по отношению к переменным.
В исчислении и дифференциальных уравнениях производные необходимы для нахождения решений.
Давайте рассмотрим производное математическое уравнение, чтобы лучше понять концепцию и предложить некоторые определения для различных используемых символов.
Самый простой способ взглянуть на производное уравнение — связать его с наклоном на графике.
Мы видим, что x проходит по низу горизонтально, а y проходит по левой стороне вертикально.
Через график проходит линия, и мы собираемся найти число, представляющее общее изменение или средний наклон между двумя точками на линии. Мы можем написать уравнение так:
Наклон = Изменение Y
Изменение X
Если бы наклон линии был таким, что изменение x между двумя точками равнялось 3, а изменение y равнялось 6, мы получили бы уравнение, которое выглядит так:
Наклон = 6
3
Разделите, чтобы получить:
Наклон = 2
Теперь мы знаем средний наклон линии! Легко, верно? Ну, подождите, потому что что мы будем делать, если нам нужно найти средний наклон между двумя точками на изогнутая линия ?
С кривыми формула расчета производных становится немного сложнее.
Кроме того, мы собираемся добавить наш первый производный математический символ.
Наклон = Изменение Y = Δy
Изменение X = Δx
Символ треугольника Δ называется «Дельта». Мы можем думать об этом как о «изменении».
Формула будет делением изменения y на изменение x. Теперь мы перейдем к другому символу, который нам нужно знать.
Взгляните на это уравнение:
Δy = f(x+Δx)
Δx Δx
См. f? Буква f в производных математических уравнениях означает «функцию» или степень изменения наклона. F связывает ввод с выводом, чтобы мы могли понять взаимосвязь между уравнением и ответом. Если бы у нас была функция:
f(x) = 2x
, мы бы знали, что любое число, которое мы подставим вместо x, будет умножено на 2.
f(3) = 2(3)
Умножим, и мы получить:
f(3) = 6
Помните, что при решении уравнения производной цель состоит в том, чтобы заставить Δx двигаться к нулю.
Вам может показаться, что вы видите кучу кода, но поверьте нам, вы к нему привыкнете.
Сначала мы возьмем нашу функцию и применим ее к нашему уравнению. Поскольку f(x)=2x, мы знаем, что хотим использовать это в своих интересах при решении этой задачи. Мы начнем по одной части за раз.
Если f(x)=2x
Тогда f(x+∆x)=2(x+∆x), потому что по существу “f” означает, что мы умножаем все, что в скобках после f, на 2.
Используя распределительное свойство алгебры, мы знаем, что можем упростить, чтобы получить 2x+2(Δx), которое мы изменим на 2Δx+2x:
Δy = 2Δx+2x
Δx 0
Поскольку мы работаем над тем, чтобы Δx было как можно ближе к нулю, что произойдет, если мы подставим 0 вместо Δx? Что ж, в этот момент мы делим на 0, а 2 умножить на 0 равно нулю, так что у нас остается это:
2x
0
Этот шаг приводит нас к нулю! Итак, мы знаем, что какую бы цифру мы ни ввели для Δx, мы будем знать среднюю скорость изменения нашего наклона.
Разве в алгебре нет формулы наклона? Какая разница? sefa ozel / E+ / Getty ImagesДа, формула наклона в алгебре такова:
m=y2-y1
x2-x1
В алгебре m равно наклону.
Но алгебра больше связана с решением уравнений, тогда как вычисление производных связано с нахождением скорости изменения.
Метод определения скорости изменения наклона, который мы использовали ранее, не является единственным методом, и вам необходимо знать о других обозначениях. Давайте посмотрим на другое уравнение и график и разберемся, что они означают. Взгляните на этот график:
Эти точки являются нашими значениями y, которые мы собираемся решить. Чтобы найти нашу скорость изменения, мы хотим посмотреть на это так:
lim f(h+x)-f(x)
h→0 x+h-x
Потому что мы можем избавиться от нижних x ( x минус x равно 0), мы можем переписать это так:
lim f(h+x)-f(x)
h→0 h
Некоторые определения в помощь! Когда мы пишем «lim» и «h→0», мы пишем предел, когда h приближается к нулю. Мы хотим найти предел нашего наклона, и мы собираемся ввести его в нашу формулу.
Поскольку кривые линии изменяются по своей длине, нам нужно найти среднюю скорость изменения, которую лучше всего выразить в виде формулы.
Вы можете увидеть всю эту формулу, когда вас учат вычислять производные как f’(x). Таким образом, это будет выглядеть так:
f'(x) = lim f(h+x)-f(x)
h→0 h
Можно сказать, что f’(x) – это f простое число x. Это выражение является производной. Давайте решим пример и найдем производную функции. Скажем так:
f(x)=x²
Теперь мы можем подставить x² в нашу формулу:
(x+h)²-x²
h
Что благодаря свойству распределения становится:
x²+2h²+2h² -x²
H
Мы можем устранить два X²S:
2HX+H²
H
Мы можем затем использовать свойство распределения, чтобы упростить чтение:
H (2x+H)
9000 HПоскольку мы можем разделить h, мы получим:
2x+h
Нас всегда интересует нахождение предела по мере приближения к нулю, поэтому давайте обозначим ноль вместо h:
2x+0
Осталось:
2x
Что означает:
f'(x)=2x
Теперь предположим, что мы хотим найти конкретный наклон к определенному набору точек.
Допустим, мы хотим найти наклон линии по координате x 3 и координате y 6. подобрал, уклон 6. Решено!
Родители, возможно, вы учитесь этому вместе со своими детьми, так что будьте терпеливы к себе не меньше, чем к ним!
Теперь предположим, что мы хотим найти решение для нашей касательной. Касательная только касается кривой, в отличие от секущей, которая касается кривой в двух точках.
Мы можем найти среднюю скорость изменения в любой точке склона, представив, что через нее проходит линия. Давайте наберём несколько чисел из нашего примера уравнения производной. Мы собираемся использовать формулу точечного наклона:
y-y1=m(x-x1)
Мы будем использовать наши предыдущие координаты, чтобы решить это:
y-6=6(x-3)
Мы получаем:
y-6=6x- 18
Получается:
y=6x+12
Помните, что мы не пытаемся перейти к числу, а пытаемся найти работающую формулу.
Зачем мне знать Как рассчитать производные ? Справедливый вопрос.
Каково практическое применение способности решать производные математические уравнения? Возможно, вы будете удивлены!
Мы знаем влияние гравитации. Падающий объект имеет скорость ускорения 9,08 метра в секунду за секунду. Мы можем записать формулу гравитации как 9,8 м/с².
Если мы запишем нашу функцию в виде x(t), где t — время, мы сможем рассчитать, где приземлится запущенный объект или где он будет находиться в воздухе в любой заданной точке. Полная формула будет выглядеть так: x′′(t)=−9,8 м/с², чтобы показать, как объект падает, используя производную математику.
Рассчитать распространение тепла Поскольку мы знаем, что источник постоянной температуры излучает тепло через твердые тела с известной скоростью, мы можем узнать точную температуру на любом заданном расстоянии от источника тепла. Этот расчет важен при определении прочности материалов в определенных ситуациях, например при проектировании теплозащитных экранов.
Знания исчисления и производной математики важны в экономических расчетах. Производная математика может помочь рассчитать стоимость товаров с течением времени по конкретным ценам и спрогнозировать результаты. Каким бы бизнесом вы ни занялись, чем раньше вы научитесь вычислять такие важные цифры с помощью производной математики, тем лучше.
Изучать производные сложно, но полезно Federico Caputo / EyeEm / EyeEm / Getty ImagesМы рассмотрели некоторые математические примеры определения производных, но вы все еще можете подумать: «Я никогда не буду использовать это; это не для меня!” Помните, что изучение новых навыков, подобных этому, тренирует ваш мозг и помогает развивать навыки критического мышления. Это не просто изучение изолированной способности.
Вы научитесь вычислять производные, и ваш мозг будет экстраполировать эту информацию и решать проблемы в других областях.
Это будет! Независимо от того, в какой профессии вы работаете, изучение математики необходимо.
Музыкантам нужна производная математика, чтобы понимать музыку со сложным ритмом. Писателям может понадобиться изучить производную математику, если они создают истории с персонажами, которые понимают математику.
Инженеры, строители, даже ремесленники и компании, создающие огнестрельное оружие — и люди, использующие это огнестрельное оружие — должны понимать, как использовать производную математику для понимания баллистики.
В конце концов, вам, возможно, придется найти хорошего репетитора, который сможет лучше понять производную математику. Чем больше вы над этим работаете, тем больше странных символов будет появляться! Но эти понятия не невозможно понять. Как только вы изучите одну функцию или понятие производной математики, вы получите новую, чтобы добавить в свой репертуар.
В математике всегда есть новые задачи, поэтому, если вы относитесь к тому типу людей, которые хотят потренировать свое серое вещество, это фантастическая область для этого.