Примеры неопределенных интегралов с решением: Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,   ,   .

Пример 1

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3) меньше степени многочлена числителя (4). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1.   Выделим целую часть дроби. Делим x ⁴ на x ³ – 6x ² + 11x – 6:

Отсюда
.

2.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, 3, 6, –1, –2, –3, –6.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим на x – 1:

Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение   .
.
Корни уравнения: ,   .
Тогда
.

3.   Разложим дробь на простейшие.

.

Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.

Ответ

.

Пример 2

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x ⁰). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3, то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, –1, –3.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим x ³ + 2x – 3 на x – 1:

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x ² + x + 3 = 0.
Находим дискриминант: D = 1 ² – 4·3 = –11. Поскольку D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x – 1)(x ² + x + 3):
(2.1)   .
Подставим x = 1. Тогда x – 1 = 0,
.

Подставим в (2.1) x = 0:
1 = 3A – C;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x ²:
;
0 = A + B;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.
(2.2)   .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I₂.

.
Поскольку уравнение x ² + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x ² + x + 3 > 0. Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2):
.

Ответ

.

Пример 3

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3. Степень многочлена знаменателя дроби равна 4. Поскольку 3 < 4, то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли один корень x = –1. Делим на x – (–1) = x + 1:

Итак,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x ² + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) ²(x ² + 2):
(3.1)   .
Подставим x = –1. Тогда x + 1 = 0,
.

Продифференцируем (3.1):

;

.
Подставим x = –1 и учтем, что x + 1 = 0:
;
;   .

Подставим в (3.1) x = 0:
0 = 2A + 2B + D;
.

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x ³:
;
1 = B + C;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.

.

Ответ

.

Новости – Костромской автотранспортный колледж

Новости

Форма входа

Пароль

Запомнить меня

• Регистрация
• Забыли логин?
• Забыли пароль?

Версия для слабовидящих

Подробности

Опубликовано 24 Январь 2023

Важно! Важно помнить и знать свою историю! Оставаться благодарными за возможность жить!
С 23 января по 3 февраля 2023 года в России пройдёт ежегодная “Неделя памяти”, посвящённая двум датам.

Подробнее…

Подробности

Опубликовано 30 Сентябрь 2022

ОГБПОУ “Костромской автотранспортный колледж” продлевает прием документов на 2022-2023 учебный год по следующим образовательным программам:

Подробнее. ..

Подробности

Опубликовано 26 Сентябрь 2022

«С Днем среднего профессионального образования!» — такими теплыми словами впервые начнется праздничный концерт во Дворце творчества 01.10.2022 года. День среднего профессионального образования, объявленный Президентом страны 2 октября, должен коснуться каждого студента, преподавателя колледжа, мастера производственного обучения.

Подробнее…

Подробности

Опубликовано 29 Август 2022

График проведения 1 сентября 2022 г.

1 курс
11.30-12.00 – линейка
12.00-12.45 – классный час

2, 3, 4, 5 курс
8.40-9.40 – 1 пара
9. 50-10.50 – 2 пара, согласно расписания

11.00-11.30 – классный час
11.30-12.00 – линейка

 

Подробности

Опубликовано 16 Август 2022

ОГБПОУ “Костромской автотранспортный колледж” продлевает прием документов на 2022-2023 учебный год по следующим образовательным программам:

Подробнее…

1. Кострома отмечает 78-ю годовщину образования Костромской области
2. Окончание учебного года в КАТК
3. Награждения участников IV Всероссийской летней Спартакиады “Юность России”
4. Свидетельства “Слесарь по ремонту автомобилей 1 разряда” вручены учащимся 8 и 9 классов
5. Фестиваль культур народов Костромской области

Неопределенные интегралы — определение, формулы, свойства, примеры

Производные были действительно полезны почти во всех сферах жизни. Они позволяют найти скорость изменения функции. Иногда бывают ситуации, когда доступна производная функции, и цель состоит в том, чтобы вычислить фактическую функцию, производная которой дана. В этих случаях в игру вступают интегралы. Интуитивно они представляют собой обратную сторону процесса дифференциации. Интегралы также имеют множество приложений в исчислении, а также в реальной жизни. Они полезны при анализе функций и вычислении площадей и объемов различных произвольных форм.

Что такое неопределенный интеграл?

Интегралы также известны как антипроизводные. Интеграция есть процесс, обратный дифференциации. Вместо дифференцирования функции нам дается производная функции и требуется вычислить функцию по производной. Этот процесс называется интеграцией или антидифференциацией. Рассмотрим функцию f(x) = sin(x), производную этой функции, если f'(x) = cos(x). Итак, интегрирование f'(x) должно вернуть функцию f(x). Обратите внимание, что для каждой функции f(x) = sin(x) + C производная одинакова, потому что после дифференцирования константа становится равной нулю. Таким образом, первообразные не уникальны, для каждой функции ее первообразные бесконечны.

Эта константа C называется произвольной константой.

Для обозначения интегралов используется новый символ . Это будет представлять операцию интегрирования над любой функцией. В таблице ниже представлены символы и значения, относящиеся к интегралам.

Символ/Термин/Значение	Значение
	Интеграл F в отношении X
F (x) в
F (x) в
F (x) в
F (x).0021
x in	Переменная интегрирования
Интеграл от f(x)	Функция такая, что F'(x) = f(x)

в виду, помогите нам упростить расчет и сделать это быстро. Правило обратной степени — это одно из правил, которые помогают нам интегрировать многочлены и другие функции.

Правило обратной мощности

Это правило помогает интегрировать функции, члены которых имеют форму x ^и .

Здесь C — произвольная константа, а n ≠ 1. 

В этом правиле показатель степени переменной увеличивается на 1, а затем результат делится на новое значение показателя степени. В таблице ниже приведены интегралы некоторых стандартных функций.

Function	Integral
sin(x)	-cos(x)
cos(x)	sin(x)
e x	e x
sec 2 (x)	tan(x)
	ln(x)

Graphical Interpretation of Integrals

Apart from the обычные алгебраические правила вычисления интегралов. Интегралы можно понять через графики. Ясно, что интегралы есть не что иное, как антипроизводные. Рассмотрим функцию f(x) и скажем, что она является антипроизводной, если задана F(x). В этом случае F'(x) = f(x). Рассматривайте приведенный ниже график как график функции f(x), это означает, что график производных функции F(x) задан и целью является определение интегральной функции F(x).

 

На графике показана функция f(x) = 2x, это прямая линия, проходящая через начало координат. Проинтегрируем данную функцию, используя упомянутое выше правило обратной мощности.

 

 

Теперь, когда это C = 0, уравнение интеграла становится F (x) = x ² , что представляет собой параболу с центром в начале координат. При С = 1 парабола смещается вверх на одну единицу и аналогично при С = -1 парабола смещается вниз на одну единицу.

Это означает, что функция F(x) = x ² + C представляет семейство кривых.

Интегралы по графикам

Интегралы можно грубо определить по графикам. Подынтегральные выражения есть не что иное, как производные от интегралов. Они дают информацию о скорости увеличения/уменьшения и максимумах и минимумах интегралов. Рассмотрим график функции f(x),

Предположим, что F(x) =

Поскольку производная функции положительна и возрастает, функция будет возрастать с возрастающей скоростью, и график функция F(x) будет приблизительно иметь вид параболы, устремленной вверх. Рисунок ниже дает примерное представление о графике функции F(x).

 

Вычисление неопределенного интеграла

Различные шаги для вычисления неопределенного интеграла:

Шаг 1: Нормальные неопределенные интегралы решаются с использованием формул прямого интегрирования.

Шаг 2: Интегралы с рациональными функциями решаются методом частных дробей.

Шаг 3: Неопределенные интегралы можно решать методом подстановки.

Шаг 4: Интегрирование по частям используется для решения интеграла от функции, где две функции представлены как произведение.

Пример: найти неопределенный интеграл ∫ x ³ cos x ⁴ dx

Решение:

Методом подстановки.

Предположим,

x ⁴ = T

4x ³ DX = DT

Теперь, ∫ x ³ COS X ⁴ DX

= 1/4∫COS T DT

= 1/4 (sin t) + C

= 1/4 sin (x ⁴ ) + C

Важные формулы для неопределенных интегралов

Некоторые из важных формул неопределенных интегралов: 1) + C

∫ e ​​ ^x dx = e ^x + C

∫ a ^x dx = a ^x / ln a + C

x d x | + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = -cos x + C

∫ sec ² x dx = tan x + C

Свойства неопределенного интеграла

Неопределенные интегралы обладают различными свойствами некоторые из различных свойств неопределенного интеграла:

Свойство суммы

Свойство суммы неопределенного интеграла: g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

Свойство разности

Свойство разности неопределенного интеграла:

∫ [f(x) × g(x)]dx = ∫ f(x)dx × ∫ g(x)dx

Свойство постоянного кратного

Свойство постоянного кратного неопределенного интеграла:

∫ k f(x)dx = k∫ f(x)dx неопределенный интеграл равен

• ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx, если ∫ [f(x) – g(x)]dx = 0
• ∫ [k ₁ f ₁ (x ) + k ₂ f ₂ (x) + …+k _n f _n (x)]dx = k ₁ ∫ f ₁ (x) DX + K ₂ ∫ F ₂ (x) DX +… + K _N ∫ F _N (x) DX

DIVEIT используется для нахождения интегрирования любой функции, которая не связана, т.

е. не имеет ни нижнего предела, ни верхнего предела. В то время как определенные интегралы дают значение функции в пределе. т. е. определенные интегралы интегрируются по определенному интервалу. Неопределенные интегралы имеют постоянную интегрирования, тогда как определенный интеграл не имеет постоянной интегрирования.

Для неопределенного интеграла:

∫ f(x) dx = F(x) + C )

Read, Подробнее

• Дифференциальные уравнения
• Уравнения с частичным детью (х) = грех(х) + 1

  Решение: 

  Задано f(x) = sin(x) + 1

  sin(x) — стандартная функция, и ее первообразная равна

  =∫ f(x)dx

  = ∫ (sin(x) + 1)dx

  =

  =

  Решение:

  Учитывая f(x) = 2e ^x  

  e ^x , это стандартная функция, и ее антипроизводная равна 9.0003

  =

  =

  Используя упомянутое выше свойство 1,

  =

  = 2e ^x + C

  Пример 3: Найти интеграл для заданной функции = 5x ^-2

  Решение:

  Указано F (x) = 5x ^-2

  Использование Правило обратной мощности

  =

  =

  Используя свойство 1:

  =

  =

  .

  =

  =

  Пример 4. Найдите интеграл для заданной функции f(x), f(x) = sin(x) + 5cos(x)

  Решение:

  Учитывая f(x) = sin (x) + 5cos(x)

  sin(x) и cos(x) являются стандартными функциями, а их интеграл равен

  = 

  Пример 5. Найдите интеграл для заданной функции f(x), f(x) = 5x ^-2 + x ⁴ + x

  Solution: 

  Given f(x) = 5x ^-2 + x ⁴ + x

  Using the reverse power rule

  = 

  = 

  = 

  = 

  = 

  Пример 6: Является ли приведенный ниже график дифференцируемым или нет?

   

  Решение:

  Граф, приведенный выше, y = 4 является постоянным графом.

  И постоянный граф легко дифференцируемы.

  Часто задаваемые вопросы о неопределенном интеграле

  Q1: Что представляет собой неопределенный интеграл?

  Ответ:

  Для любой функции F(x), производной которой является f(x). Неопределенные интегралы представляют собой первообразные функций, таких что ∫f(x) dx есть F(x).

  Q2: Неопределенные интегралы похожи на первообразные?

  Ответ:

  Да, неопределенные интегралы похожи на первообразные. т. е. для любой функции f (x), производной которой является f ‘(x), тогда ∫f’ (x) dx есть f (x), называется ее неопределенным интегралом или антипроизводной.

  Q3: Как найти неопределенный интеграл?

  Ответ:

  Неопределенный Интеграл любой функции вычисляется по формулам интеграла Q4: Почему определенные интегралы не имеют C?

  Ответ:

  Определенные интегралы не имеют константы интегрирования C, так как определенный интеграл имеет диапазон, в котором вычисляется значение интегрирования.

  Q5: Каковы границы неопределенного интеграла?

  Ответ:

  Определенный интеграл вычисляется в диапазоне, тогда как неопределенный интеграл не вычисляется ни в каких границах.

  Q6: Что такое неопределенный интеграл любой константы C?

  Ответ:

  Неопределенный интеграл от константы C равен Cx. As ∫ C dx = Cx + D, где D — постоянная интегрирования.

  Q7: Что такое неопределенный интеграл от e

  ^х ?

  Answer:

  Indefinite Integral of e ^x is e ^x + C it can be calculated using the formula, 

  ∫ e ^x dx = e ^x + C

  Q8: В чем разница между неопределенными интегралами и определенными интегралами?

  Ответ:

  Интегралы также называются антипроизводными, их можно считать обратными дифференцированию. Основное различие между неопределенными интегралами и определенными интегралами заключается в том, что неопределенные интегралы оцениваются без каких-либо ограничений, тогда как определенные интегралы всегда имеют надлежащие пределы.

  
  

  Неопределенный интеграл: значение и расчет

  Вы замечали, как члены одной семьи похожи друг на друга? То же верно и для семейств функций! Функции одной формы очень похожи друг на друга, как члены одной семьи. Неопределенные интегралы здесь ничем не отличаются. Они представляют собой семейство первообразных функции, поэтому они очень похожи друг на друга.

  В этой статье вы узнаете, что такое неопределенный интеграл, его определение, формулу и свойства. Вы также увидите примеры вычисления неопределенных интегралов.

  Определение неопределенного интеграла

  Как вы знаете из статьи о первообразных, процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием . Помните, что если вам дана функция \( f(x) \), то первообразной \( f(x) \) является любая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет условию:

  \[ F'(х) = f(х). \]

  Итак, при чем тут неопределенный интеграл?

  Ну, он используется для ссылки на все семейство первообразных производных функции, тогда как первообразная — лишь одна из бесконечных возможностей.

  Имея это в виду, вы определяете неопределенный интеграл как: f(x) \) называется неопределенным интегралом . Обозначение для этого неопределенного интеграла:

  \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]

  , где \(C\) – любая константа.

  Обратите внимание:

  • \( \int \) называется интегральным символом ,

  • \( f(x) \) называется подынтегральным выражением ,

  \( переменная интегрирования ,

  • \( \mathrm{d}x \) называется дифференциалом C\) называется константой интегрирования (или константой интегрирования).

  Обратите внимание, что термины «неопределенный интеграл» и «первообразная» иногда используются взаимозаменяемо, а в некоторых текстах первообразная также называется «примитивной функцией».

  Учитывая терминологию, представленную вам в этом определении, действие по нахождению первообразных функции, \( f \), обычно упоминается как:

  1. интегрирование \( \mathbf{f} \) o r
  2. нахождение интеграла от \( \mathbf{f} \).

  Для функции \( f(x) \) и ее первообразной \( F(x) \) функции вида \( F(x) + C \), где \( C \ ) — любая константа, часто называют семейством первообразных \( \mathbf{f(x)} \).

  Неопределенный интеграл: семейство первообразных

  Чтобы лучше понять, что означает «семейство первообразных», рассмотрим этот пример.

  Неопределенный интеграл, константа интегрирования и семейство первообразных 9{2} + C, \]

  , где \(C\) — постоянная интегрирования.

  Поскольку производная любой константы равна \(0\), \(C\) может быть любой константой (при условии, что это действительное число), положительной, отрицательной или даже самой \(0\).

  Когда вы находите неопределенный интеграл, вы всегда добавляете постоянную интегрирования \(C\) к вашему окончательному решению.

  Почему?

  Потому что у вас есть бесконечные решения — семейство первообразных \(f(x)\).

  • В этом примере набор всех функций вида \( F(x) = x^{2} + C \) (где \(C\) – любая константа) известен как семейство первообразных функция \( f(x) = 2x \). {2}+C \), где \(C \) — любая константа (при условии, что это действительное число).

    Формула неопределенного интеграла

    Как и в случае с первообразными вообще, неопределенные интегралы не имеют единственной формулы для их решения. Существует множество правил и свойств, которые вы научитесь использовать для решения неопределенных интегралов — они основаны на уже изученных вами правилах дифференцирования. Причина этого обсуждается в статье об основной теореме исчисления.

    При этом суть нахождения неопределенного интеграла функции состоит в обратном выполнении уже известных вам правил дифференцирования.

    Свойства неопределенного интеграла

    Поскольку неопределенный интеграл — это просто семейство первообразных, их свойства одинаковы. Но, повторяю, неопределенный интеграл линейный; т. е. вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются приведенными ниже правилами.

    Свойство суммы/разности :

    \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int г(х) ~\mathrm{d}х \]

    Постоянное кратное свойство :

    \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]

    Доказательства свойств Неопределенный интеграл

    1. В общем, если \(F\) является первообразной \(f\) и \(G\) является первообразной \(g\), то\[ \frac{d}{ dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
    2. Теперь рассмотрим нахождение первообразной \(kf(x)\), где \(k\) — любая константа. Поскольку вы знаете, что \[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]для любой константы \( k \) , можно заключить, что \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]

    Правила нахождения неопределенных интегралов

    По большей части правила нахождения неопределенного интеграла интеграл функции являются обратными (или обратными) правилам нахождения производных.

    Ниже приведен список правил для общих неопределенных интегралов.

    1. T Правило константы Если вы рассматриваете функцию \( F(x) = 3 \) и записываете ее производную как \( f(x) \), это означает, что \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Вы уже знаете, что можете найти производную этой функции, применяя константное правило для производных: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \). Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).

       • Однако существуют и другие функции, производная которых равна \( f(x) = 0 \), включая, помимо прочего, \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \ ) и \( F(x) = 200 \). Это потому, что когда вы берете производную, константа исчезает.

       • Следовательно, если вам дана первообразная \(f(x)\), все остальные можно найти, добавив другую константу. Другими словами, если \(F(x)\) является первообразной \(f(x)\), то \(F(x) + C\) также является первообразной \(f(x)\) для любой константы \( C \). Эта группа или семейство первообразных представлена ​​неопределенным интегралом. 9{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]

       • Правило синусов

         \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin (x) + C\end{align} \]

       • Правило косинуса

         \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\cos( x)) = -\sin(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \ ] 9{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]

       • Правило косеканса

         \[ \begin{align}\text{Производная Правило: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \csc(x)\ cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]

       • Правило секущих

         \[ \begin{align}\text{Производное правило : } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sec(x)\tan( х) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \] 9{rd} \) правило из списка выше:

         \[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]

         Неопределенные интегралы: ошибки, которых следует избегать

         Вы заметили, что в приведенном выше списке нет правил произведения, частного или цепных правил для интегралов?

         Что это значит?

         Это означает, что, как и в случае с производными, правила, применимые к сложению и вычитанию, не применяются в той же мере к умножению и делению. Другими словами, так же, как и с производными:

         • Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций .\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g (x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f( x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x }\end{align} \]

         Вместо:

         • правила произведения и частного для производных приводят к интегрированию по частям, и

         • цепное правило для производных приводит к интегрированию путем замены.

         Хотя интегрирование по частям выводится специально из правила произведения для производных, оно применяется как к произведению, так и к частному интегралов. Это связано с тем, что для любых двух функций \(f\) и \(g\) можно записать частное двух функций в виде произведения:

         \[ \frac{f}{g} = f \cdot \ дробь{1}{г}. \]

         Другими словами, вы можете думать о частном правиле для деривативов как о замаскированном правиле произведения; то же верно и для интегрирования по частям. 9{2}} ~\mathrm{d}x \]

         и используйте правило произведения для выполнения интегрирования по частям.

         Вычисление неопределенного интеграла

         Когда дело доходит до вычисления неопределенного интеграла, точные шаги будут зависеть от самого интеграла. Однако есть несколько очень простых шагов, которые вам нужно будет запомнить для вычисления всех неопределенных интегралов.

         Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла

         1. Определите, какие свойства и правила применяются.

         2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

         3. Используйте правила, которые вы выбрали.

         4. Добавьте константу интегрирования.

         5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

         Неопределенные интегралы Примеры

         В следующих примерах оцените каждый из неопределенных интегралов. Этот первый пример относительно прост.

         Оценка 9{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]

         Решение :

         1. Определите, какие свойства и правила применяются.

         2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

            1. Применение правила суммы/разности для интегралов.

            2. Применение правила постоянного кратного для интегралов.

            3. Применение правила степени для интегралов.

         9{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \right) ~\mathrm{d}x. \]

         3. Теперь вы можете вычислить интеграл почленно, используя правило суммы/разности и правило степени.

    2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

       • Применение правила суммы/разности.

       • Применение правила мощности.

    3. Используйте выбранные вами правила.

       9{2}} ~\checkmark\end{align} \]

    Этот пример показывает, что упрощение тригонометрических функций под интегралом может значительно упростить задачу.

    Вычислить

    \[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]

    Решение :

    1. Определите, какие свойства и правила применяются.

    2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

    3. Используйте правила, которые вы выбрали.

    4. Добавьте константу интегрирования.

       \[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]

    5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x ) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel {\ cos (x)} = \ sin (x) \\ F (x) & = – \ cos (x) + C \\~ \\ F ‘(x) & = – (- \ sin (x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]

    Неопределенный интеграл – основные выводы

    • Если \( F(x) \) является первообразной функции \( f( x) \), то семейство первообразных \( f(x) \) называется неопределенный интеграл . Это записывается как: \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]где \(C\) – любая константа.