Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеГЛАВА I. ЧИСЛА3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. ![]() 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. ![]() § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений § 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 1. О строении курса геометрии § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3. Геометрические построения на плоскости § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. § 7. Площади плоских фигур 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве ![]() § 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14. Объемы тел § 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ |
Энциклопедия элементарной математики. Книга 3 (функции и пределы, основы анализа)
Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин
М. -Л., ГТТИ, 1952. 559 с.
Тираж 50000 экз.
|
Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.
Содержание
Предисловие.
Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.
Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).
Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17.

§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32.

§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.
Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в “несобственном смысле”).
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.
§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.
Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.
Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)
Введение.
Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Определение производной.
3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
4. Производные простейших элементарных функций.
5. Дифференцирование обратных функций.
6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
7. Дифференциал.
8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
10. Теоремы Ферма и Ролля.
11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
12. Формула Тейлора.
13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
14. Признаки постоянства и монотонности функции.
15. Экстремум функции.
16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.
Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
17. Основные понятия.
18. Интегрирование с помощью подстановки.
19. Интегрирование по частям.
20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
22. Определённый интеграл.
23. Основные свойства интеграла.
24. Интеграл, как функция верхнего предела.
25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
26. Формула Валлиса.
27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
28. Вычисление площадей.
29. Вычисление объёмов.
30. Длина дуги кривой.
31. Площадь поверхности вращения.
32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.
Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
33. Основные понятия.
34. Простейшие свойства рядов.
35. Положительные ряды.
36. Знакочередующиеся ряды.
37. Абсолютная сходимость.
38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
39. Промежуток сходимости.
40. Свойства суммы степенного ряда.
41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
42. Разложение арктангенса и вычисление π.
43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
44. Биномиальный ряд.
45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.
Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)
§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.
Алфавитный указатель.
Список литературы
- Книга 1. Арифметика. (1951, 448 с.)
- Книга 2.
Алгебра. (1951, 424 с.)
- Книга 3. Функции и пределы, основы анализа. (1952, 559 с.)
- Книга 4. Геометрия. (1963, 568 с.)
- Книга 5. Геометрия. (1966, 624 с.)
|
Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/59
Предел функции Примеры с ответами
О «пределе функции Примеры с ответами»
Предел функции Примеры с ответами :
Здесь мы увидим несколько примеров вопросов по оценке пределов.
Формулы можно найти на странице “Формулы для оценки пределов”.
Вычисление пределов функции- Примеры
Вопрос 1 :
Оцените следующий предел
предел x -> 0 √(x 2 + a 2 ) – a / √(x 2 + b 2 ) – b
Решение: 900 06
= lim x -> 0 √(x 2 + a 2 ) – a / √(x 2 + b 2 ) – b
Мы можем распределить пределы для числителя и знаменателя.
= lim x -> 0 √(x 2 + a 2 ) – a / lim x -> 0 √(x 2 + б 2 ) – b
= lim x->0 [x 2 +a 2 -a 2 /√(x 2 +a 2 9002 5 )+а)]/[х 2 +b 2 -b 2 /√(x 2 +b 2 )+b)]
= lim x->0 [x 2 / √(х 2 + a 2 )+a)]/[x 2 /√(x 2 +b 2 )+b)]
= lim x->0 [x 2 / √(х 2 +a 2 )+a)] ⋅ [√(x 2 +b 2 )+b)/x 2 ]
= lim x->0 [√(x 2 +b 2 )+b)/√(x 2 +a 2 )+а )]
= 2b/2a
= b/a
Отсюда значение lim x -> 0 √(x 2 + a 2 ) – a / √(x 2 + b 2 ) – б есть б/а.
Вопрос 2 :
Оцените следующий предел
lim x-> 0 (2 дуги sinx/3x)
Решение:
= lim x-> 0 (2 sin -1 x/3x)
= (2/3) lim x-> 0 (sin -1 х/х )
= 2/3
Следовательно, значение lim x -> 0 (2 arc sinx/3x) равно 2/3.
Вопрос 3 :
Оцените следующий предел :
= lim x-> 0 (2 sin 2 (x/2)/(x 2 (4/4))
= lim x-> 0 (2/4) sin 2 (x /2)/(x/2) 2
= lim x-> 0 (2/4) (sin(x/2)/(x/2)) 2
= (1/ 2) lim x-> 0 (sin(x/2)/(x/2)) 2
= 1/2
Отсюда значение lim x-> 0 (1 – cos x )/x 2 равно 1/2
Вопрос 4 :
Вычислить следующий предел х(2/2))
= lim x-> 0 2 (tan 2x/2x)
= 2 lim x-> 0 (tan 2x/2x)
= 2
Следовательно, значение lim x-> 0 (загар 2x/x) равно 2.
Вопрос 5:
Оцените следующий предел
lim x-> 0 (2 x – 3 x )/x
Решение:
= lim x-> 0 (2 9002 4 х – 1 + 1 – 3 х ) /x
= lim x-> 0 [(2 x – 1) – (3 x – 1)]/x
= [lim x-> 0 9002 3 (2 х – 1)/x] – [lim x-> 0 (3 x – 1)/x]
= log 2 – log 3
= log (2/3)
Вопрос 6 :
Оцените следующий предел Решение:
= lim x-> 0 ((3 x – 1)/√(x+1) – 1) (√(x+1) + 1 / √(x+1) + 1)
= lim x-> 0 ((3 x – 1)/((x+1) – 1) (√(x+1) + 1)
= lim x-> 0 ((3 x – 1)/x) (√(x+1) + 1)
= lim x-> 0 ((3 x – 1)/x) lim x-> 0 (√(x+1) + 1)
= log 3 (2)
= 2 log 3
= log 3 2
= log 9 9000 7
Отсюда значение lim x-> 0 (3 x – 1)/√(x+1) – 1 – это логарифм 9.
После того, как мы ознакомились с материалом, приведенным выше, мы надеемся, что учащиеся поняли, “Предел функции Примеры с Ответы”
Помимо материалов, приведенных в разделе “Предел функций, примеры с ответами”, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
Счет, математика и статистика – набор академических навыков
Пределы и непрерывность (экономика)
ContentsToggle Главное меню 1 Предел 1.1 Односторонние пределы 1.2 Двусторонние пределы 2 Непрерывность 3 Асимптоты 3.1 Вертикальная асимптота3. 2 Горизонтальная асимптота 3.3 Примеры работы 4 Примеры видео 5 Внешние ресурсы
Ограничение
Предел (или предельное значение ) — это (выходное) значение, к которому приближается функция или последовательность, когда вход приближается к некоторому определенному значению. Пределы являются жизненно важной частью дифференцирования и интеграции, а также помогают нам графически отображать функции.
Обозначение пределов:
\[\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c} f(x) = l}\] или \[f(x) \rightarrow l\text{ as } x\rightarrow c \]
что означает: функция $f(x)$ стремится (приближается) к $l$, когда $x$ стремится (приближается) к $c$. 9+} f(x) = l\]
и мы говорим, что $l$ является корректно определенным пределом . И наоборот, если односторонние пределы не равны, мы говорим, что предел 90 387 определен некорректно.
Как мы видели, два односторонних предела функции $f(x)=\frac{1}{x}$ равны , а не . Левосторонний предел равен $-\infty$, а правосторонний предел равен $+\infty$, поэтому предел $f(x)=\frac{1}{x}$ определен нечетко.
Непрерывность
Непрерывная функция — это, по сути, функция без «пробелов»: мы можем нарисовать график функции, не отрывая ручки от бумаги. Чтобы функция $f(x)$ была равна 9+}}\] 2) Функция $f(x)$ определена при $x=a$
3) Выход функции равен пределу при $x=a$: \[f(a) =\displaystyle{\lim_{x\to a}}\]
Примечание : Условие 3) является наиболее важным, поскольку для того, чтобы 3) было истинным, 1) и 2) также должны быть истинными.
Примечание : Если предел не определен в точке $x=a$, то функция не является непрерывной в точке $x=a$. Однако функция, непрерывная при $x=a$, не обязательно имеет четко определенный предел при $x=a$. 93$.
$x$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-10$ | $-20$ | $-100$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
$f(x)$ | 0 | -1 | -8 | -27 | -1000 | -8000 | -1000000 |
Мы видим, что по мере уменьшения значений $x$ значение $f(x)$ явно становится все более и более отрицательным.
Итак, мы говорим $f(x) \rightarrow -\infty$ как $x\rightarrow -\infty$ или $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} x^3} = -\infty$.
Решение
Предел корректно определен, если оба односторонних предела равны. Давайте сначала рассмотрим функцию, когда $x$ приближается к нулю от ниже :
$x$ | $-1$ | $-0.5$ | $-0.1$ | $-0.05$ | $-0.01$ | $-0.005$ | $-0.001$ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$f(x)$ | -1 | -8 | -1000 | -8000 | -1000000 | -8000000 | 9-} f(x) = -\infty\] Теперь рассмотрим функцию при приближении $x$ к нулю от выше :
|