Примеры пределы функции: 5.07.3 Примеры на вычисление пределов функций

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы
  

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990.— 416 с.

В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и качал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Предыдущее издание вышло в 1988 году.



Оглавление

ГЛАВА I. ЧИСЛА
3. Деление с остатком.
4. Признаки делимости.
5. Разложение натурального числа на простые множители.
6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел.
7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.
8. Употребление букв в алгебре. Переменные.
§ 2. Рациональные числа
11. Приведение дробей к общему знаменателю.
12. Арифметические действия над обыкновенными дробями.
13. Десятичные дроби.
14. Арифметические действия над десятичными дробями.
15. Проценты.
16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.
17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
18. Координатная прямая.
19. Множество рациональных чисел.
§ 3. Действительные числа
§ 4. Комплексные числа
ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 6. Целые рациональные выражения
52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду.
§ 7. Дробные рациональные выражения
Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 9. Свойства функций
§ 10. Виды функций
95. Обратная функция. График обратной функции.
96. Логарифмическая функция.
96. Определение тригонометрических функций.
§ 11. Преобразования графиков
ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 14. Уравнения с одной переменной
§ 15. Уравнения с двумя переменными
§ 16. Системы уравнений
Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
§ 17. Решение неравенств с переменной
§ 18. Доказательство неравенств
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 19. Числовые последовательности
§ 20. Предел функции
§ 21. Производная и ее применения
§ 22. Первообразная и интеграл
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. О строении курса геометрии
§ 2. Основные свойства простейших геометрических фигур
§ 3. Геометрические построения на плоскости
§ 4. Четырехугольники
§ 5. Многоугольники
§ 6. Решение треугольников
34. Теорема косинусов. Теорема синусов.
§ 7. Площади плоских фигур
38. Площади подобных фигур.
ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве
§ 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них
§ 9. Параллельность прямых и плоскостей
§ 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей
45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 11. Многогранники
§ 12. Тела вращения
§ 13. Изображение пространственных фигур на плоскости
§ 14. Объемы тел
§ 15. Площади поверхностей тел
ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
§ 16. Координаты на плоскости и в пространстве
§ 17. Уравнения фигур на плоскости
§ 18. Уравнения фигур в пространстве
ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
§ 19. Движение
§ 20. Подобие фигур
ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ
§ 21. Введение понятия вектора
§ 22. Операции над векторами
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ
I. Основные законы алгебры
ГЕОМЕТРИЯ

Энциклопедия элементарной математики. Книга 3 (функции и пределы, основы анализа)

Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин

М. -Л., ГТТИ, 1952. 559 с.
Тираж 50000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.


Содержание

Предисловие.

Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.

(В.Л.Гончаров)

Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).

Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.

§ 7. Целые положительные степени.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17.
Алгебраические иррациональные функции.
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32. Обратные тригонометрические функции.
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.

Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.

§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в “несобственном смысле”).
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.
§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.

§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.

Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.

Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)

Введение.

Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
     1. Задачи, приводящие к понятию производной.
     2. Определение производной.
     3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
     4. Производные простейших элементарных функций.
     5. Дифференцирование обратных функций.
     6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
     7. Дифференциал.
     8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
     9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
     10. Теоремы Ферма и Ролля.
     11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
     12. Формула Тейлора.
     13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
     14. Признаки постоянства и монотонности функции.
     15. Экстремум функции.
     16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.

Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
     17. Основные понятия.
     18. Интегрирование с помощью подстановки.
     19. Интегрирование по частям.
     20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
     21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
     22. Определённый интеграл.
     23. Основные свойства интеграла.
     24. Интеграл, как функция верхнего предела.
     25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
     26. Формула Валлиса.
     27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
     28. Вычисление площадей.
     29. Вычисление объёмов.
     30. Длина дуги кривой.
     31. Площадь поверхности вращения.
     32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.

Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
     33. Основные понятия.
     34. Простейшие свойства рядов.
     35. Положительные ряды.
     36. Знакочередующиеся ряды.
     37. Абсолютная сходимость.
     38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
     39. Промежуток сходимости.
     40. Свойства суммы степенного ряда.
     41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
     42. Разложение арктангенса и вычисление π.
     43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
     44. Биномиальный ряд.
     45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.

Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)

§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.

Алфавитный указатель.


Список литературы

  • Книга 1. Арифметика. (1951, 448 с.)
  • Книга 2. Алгебра. (1951, 424 с.)
  • Книга 3. Функции и пределы, основы анализа. (1952, 559 с.)
  • Книга 4. Геометрия. (1963, 568 с.)
  • Книга 5. Геометрия. (1966, 624 с.)

Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/59


Предел функции Примеры с ответами

О «пределе функции Примеры с ответами»

Предел функции Примеры с ответами :

Здесь мы увидим несколько примеров вопросов по оценке пределов.

Формулы можно найти на странице “Формулы для оценки пределов”.

Вычисление пределов функции- Примеры


Вопрос 1 :

Оцените следующий предел

предел x -> 0 √(x 2 + a 2 ) – a / √(x 2 + b 2 ) – b

Решение: 900 06

  =  lim   x -> 0 √(x 2  + a 2 ) – a / √(x 2  + b 2 ) – b

Мы можем распределить пределы для числителя и знаменателя.

  =  lim   x -> 0  √(x 2  + a 2 ) – a / lim   x -> 0  √(x 2  + б 2 ) – b

  =  lim x->0 [x 2 +a 2 -a 2 /√(x 2 +a 2 9002 5 )+а)]/[х 2 +b 2 -b 2 /√(x 2 +b 2 )+b)] 

  =  lim x->0 [x 2 / √(х 2 + a 2 )+a)]/[x 2 /√(x 2 +b 2 )+b)] 

  =  lim x->0 [x 2 / √(х 2 +a 2 )+a)] ⋅ [√(x 2 +b 2 )+b)/x 2

  =  lim x->0 [√(x 2 +b 2 )+b)/√(x 2 +a 2 )+а )]

= 2b/2a

= b/a

Отсюда значение lim x -> 0 √(x 2 + a 2 ) – a / √(x 2  + b 2 ) – б есть б/а.

Вопрос 2 :

Оцените следующий предел 

lim x-> 0  (2 дуги sinx/3x)

Решение:

   = lim x-> 0  (2 sin -1 x/3x)

  =  (2/3) lim x-> 0  (sin -1 х/х )

  =  2/3

Следовательно, значение lim x -> 0   (2 arc sinx/3x) равно 2/3.

Вопрос 3 :

Оцените следующий предел :

 = lim x-> 0  (2 sin 2 (x/2)/(x 2 (4/4))

  = lim x-> 0  (2/4) sin 2 (x /2)/(x/2) 2

  = lim x-> 0  (2/4) (sin(x/2)/(x/2)) 2

  =  (1/ 2) lim x-> 0  (sin(x/2)/(x/2)) 2

  = 1/2

Отсюда значение lim x-> 0   (1 – cos x )/x 2 равно 1/2

Вопрос 4 :

Вычислить следующий предел х(2/2))

  = lim x-> 0  2 (tan 2x/2x)

  =  2 lim x-> 0  (tan 2x/2x)

  =  2

Следовательно, значение lim x-> 0   (загар 2x/x) равно 2.

Вопрос 5:

Оцените следующий предел

lim x-> 0  (2 x – 3 x )/x

Решение:

  = lim x-> 0  (2 9002 4 х – 1 + 1 – 3 х ) /x

  =  lim x-> 0  [(2 x – 1) – (3 x 1)]/x

  =  [lim x-> 0  9002 3 (2 х – 1)/x] – [lim x-> 0 (3 x 1)/x]

  =  log 2 – log 3

  =  log (2/3)

Вопрос 6 :

Оцените следующий предел Решение:

  =  lim x-> 0  ((3 x – 1)/√(x+1) – 1) (√(x+1) + 1 / √(x+1) + 1)

  =  lim x-> 0  ((3 x – 1)/((x+1) – 1) (√(x+1) + 1)

  =  lim x-> 0  ((3 x – 1)/x) (√(x+1) + 1)

  =  lim x-> 0  ((3 x – 1)/x) lim x-> 0 (√(x+1) + 1)

  =   log 3 (2)

  =  2 log 3

  =  log 3 2

  =  log 9 9000 7

Отсюда значение lim x-> 0   (3 x  – 1)/√(x+1) – 1 – это логарифм 9.

После того, как мы ознакомились с материалом, приведенным выше, мы надеемся, что учащиеся поняли, “Предел функции Примеры с Ответы”

Помимо материалов, приведенных в разделе “Предел функций, примеры с ответами”, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Счет, математика и статистика – набор академических навыков

Пределы и непрерывность (экономика)

ContentsToggle Главное меню 1 Предел 1.1 Односторонние пределы 1.2 Двусторонние пределы 2 Непрерывность 3 Асимптоты 3.1 Вертикальная асимптота3. 2 Горизонтальная асимптота 3.3 Примеры работы 4 Примеры видео 5 Внешние ресурсы

Ограничение

Предел (или предельное значение ) — это (выходное) значение, к которому приближается функция или последовательность, когда вход приближается к некоторому определенному значению. Пределы являются жизненно важной частью дифференцирования и интеграции, а также помогают нам графически отображать функции.

Обозначение пределов:

\[\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c} f(x) = l}\] или \[f(x) \rightarrow l\text{ as } x\rightarrow c \]

что означает: функция $f(x)$ стремится (приближается) к $l$, когда $x$ стремится (приближается) к $c$. 9+} f(x) = l\]

и мы говорим, что $l$ является корректно определенным пределом . И наоборот, если односторонние пределы не равны, мы говорим, что предел 90 387 определен некорректно.

Как мы видели, два односторонних предела функции $f(x)=\frac{1}{x}$ равны , а не . Левосторонний предел равен $-\infty$, а правосторонний предел равен $+\infty$, поэтому предел $f(x)=\frac{1}{x}$ определен нечетко.

Непрерывность

Непрерывная функция — это, по сути, функция без «пробелов»: мы можем нарисовать график функции, не отрывая ручки от бумаги. Чтобы функция $f(x)$ была равна 9+}}\] 2) Функция $f(x)$ определена при $x=a$

3) Выход функции равен пределу при $x=a$: \[f(a) =\displaystyle{\lim_{x\to a}}\]

Примечание : Условие 3) является наиболее важным, поскольку для того, чтобы 3) было истинным, 1) и 2) также должны быть истинными.

Примечание : Если предел не определен в точке $x=a$, то функция не является непрерывной в точке $x=a$. Однако функция, непрерывная при $x=a$, не обязательно имеет четко определенный предел при $x=a$. 93$.

$x$

$0$

$-1$

$-2$

$-3$

$-10$

$-20$

$-100$

$f(x)$

0

-1

-8

-27

-1000

-8000

-1000000

Мы видим, что по мере уменьшения значений $x$ значение $f(x)$ явно становится все более и более отрицательным.

Итак, мы говорим $f(x) \rightarrow -\infty$ как $x\rightarrow -\infty$ или $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty} x^3} = -\infty$.

Решение

Предел корректно определен, если оба односторонних предела равны. Давайте сначала рассмотрим функцию, когда $x$ приближается к нулю от ниже :

$x$

$-1$

$-0.5$

$-0.1$

$-0.05$

$-0.01$

$-0.005$

$-0.001$

$f(x)$

-1

-8

-1000

-8000

-1000000

-8000000

9-} f(x) = -\infty\]

Теперь рассмотрим функцию при приближении $x$ к нулю от выше :

$x$

$1$

$0,5$

0,1$

0,05 $

$0,01$

$0,005$

$0. +} f(x) = +\infty\] 93}$ имеет какие-либо горизонтальные асимптоты, мы должны исследовать поведение функции как $x\rightarrow \pm infty$. Давайте сначала посмотрим на поведение $h(x)$ при $x\rightarrow -\infty$: ​​

$x$

$-1$

$-2$

$-5$

$-10$

$-15$

$-20$

$-25$

$f(x)$

-1

-0,125

-0,008

-0,001

-0,000296296296

-0,000125

9-\] так что существует горизонтальная асимптотика при $y=0$.

Теперь посмотрим на поведение $h(x)$ при $x\rightarrow +\infty$: ​​

$x$

$1$

$2$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

$f(x)$

1

0,125

0,008

0,001

0,000296296296

0,000125

0,000064

Мы можем видеть, что по мере того, как $x$ становится все больше и больше (стремится к положительной бесконечности), $f(x)$ быстро становится все меньше и меньше (стремится к нулю сверху).

Оставить комментарий