Главная
Примеры производная: Как найти производную функции, примеры решения

Примеры производная: Как найти производную функции, примеры решения

Производная функции – примеры решения с готовыми ответами

Содержание:

  1. Определение производной
  2. Производная сложной и обратной функций
  3. Производные высших порядков
  4. Геометрический смысл производной
  5. Экономическая интерпретация производной

Определение производной

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Производную функции в точке обозначают одним из символов или .

Итак, по определению

Операцию вычисления производной принято называть дифференцированием.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением
Пример №1

Исходя из определения производной, найти производную функции

Решение:

По формуле (11. 1) находим:

Основные правила вычисления производной. Если С — постоянная величина и функции и имеют производные, то

1.

2.

3.

4.

5.

3° Таблица производных.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференциальные уравнения примеры с решениями

Производная примеры решения

Векторное произведение векторов

Несобственный интеграл примеры решения

Пример №2

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найти производную функции

Решение:

Производная сложной и обратной функций

Пусть функция имеет производную в точке, а функция — в соответствующей точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке х, которая вычисляется по формуле

(11.2)

Пусть функция непрерывна, строго монотонна на отрезке и имеет конечную не равную нулю производную в некоторой точке . Тогда обратная функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

(11.3)

Пример №3

Найти производную функции .

Решение:

Функцию можно представить в виде , где , поэтому

Концепция дифференциальных вычислений, которая характеризует скорость изменения функции в определенной точке.

Производные высших порядков

Если функция имеет производную в точке , то эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции в точке и обозначается через или или

Если производная -го порядка функции имеет производную в точке , то эта производная называется -й производной или производной -го порядка функции в точке и обозначается через или или

Итак,

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример №4

Вычислить производную n-го порядка функции .

Решение:

Первую производную этой функции можно записать в виде

Таким образом, при дифференцировании функции аргумент этой функции увеличивается на. Следовательно, справедлива формула

Геометрический смысл производной

Пусть существует касательная к графику функции в точке (рис. 11.1). Тогда существует производная функции в точке , которая равна угловому коэффициенту этой касательной: Верно и обратное: если существует производная функции в точке , то существует касательная к графику функции в точке , угловой коэффициент которой равен этой производной (геометрический смысл производной).

Геометрическая интерпретация производной позволяет записать уравнение касательной к графику функции в точке :

(11.4) Рис. 11.1 Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали:

(11. 5)

Пример №5

Составить уравнение касательной к кривой

в точке с абсциссой

Решение:

По заданному значению находим

Значит, касательная проходит через точку . Найдем угловой коэффициент касательной:

Теперь составим уравнение касательной, согласно формуле (11.4):

или

Пример №6

На кривой найти точку, в которой

касательная параллельна прямой .

Решение:

Пусть искомая точка касания есть . Тогда угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания:

Чтобы касательная была параллельна прямой , их угловые коэффициенты должны совпадать, то есть , откуда .

Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, найдем значение ее ординаты . Итак, искомая точка .

Экономическая интерпретация производной

Одним из примеров применения понятия производной в экономическом анализе служит расчет производительности труда в заданный момент времени. Рассмотрим количество произведенной продукции как функцию от времени, т.е. . Тогда приращение показывает количество произведенной продукции за период от доа отношение показывает среднюю производительность труда за этот период. Следовательно, производная показывает производительность труда в момент времени , то есть производительность труда — это скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени.

Аналогично определяются предельная выручка, предельный доход, предельные издержки производства и т.д. Например, предельные издержки производства определяются как производная функции издержек производства по количеству выпускаемой продукции.

Пример №7

Объем продукции, произведенной группой работников за восьмичасовую смену, описывается уравнением

где — рабочее время в часах . Вычислить производительность труда в начале и в конце рабочего дня.

Решение:

Производительность труда вычисляется по формуле

В начале рабочего дня производительность труда данной группы работников будет

В конце рабочего дня производительность труда данной группы работников будет равна Итак, мы наблюдаем спад производительности труда к концу рабочего дня.

2.3.6. Примеры решения задач по теме «Производные высших порядков»

Задача 1.

Найти вторую производную от функции

Указание

Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ:

Задача 2.

Найти вторую производную от функции

При Х = 1.

Указание

Найдите вторую производную по формуле

А затем вычислите ее значение при Х = 1.

Решение

Ответ:

Задача 3.

Найти производную 4-го порядка от функции

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ:

Задача 4.

Найдите общее выражение для производной порядка П от функции

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для

П-й производной от ее порядка.

Ответ:

Задача 5.

Найдите общее выражение для производной порядка П от функции

Указание

Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:

Решение

Ответ:

Задача 6.

Найти вторую производную для функции, заданной параметрически:

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 7.

Найти D3Y для функции У = Х5.

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 8.

Вычислите производную:

Указание

Воспользуйтесь формулой Лейбница:

Решение

Пусть

Тогда

Применяя формулу Лейбница, получим:

Ответ:

Задача 9.

Рассматриваются функции

Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?

Указание

По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)

4) непрерывна на отрезке [Ab];

5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).

Решение

Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:

Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;

Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;

3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;

Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке;

Существует на всем отрезке;

Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.

Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.

Ответ: 4.

< Предыдущая   Следующая >
2$. Найдите $Df(1,2)$ и уравнение касательной плоскость в точке $(x,y)=(1,2)$. Найдите линейное приближение к $f(x,y)$ при $(х,у)=(1,2)$.

Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.

Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями, мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема. Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости: \начать{выравнивать*} z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\ &= 5 + 2(х-1) + 4(у-2) \конец{выравнивание*}

Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость – это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}

Пример 1′

Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?

Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\ \pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\ Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right]. \конец{выравнивание*} Уравнение касательной плоскости, т. 2) 0, 2+\sin 0)\\ &= (0,2) \конец{выравнивание*} Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть Линейное приближение к $\vc{f}$ есть \начать{выравнивать*} L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z) \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \Правильно] + \оставил[ \begin{массив}{ccc} 0 и 0 и 4\\ 0 и 1 и 1 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} х-1\у-2\\г \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \Правильно] + \оставил[ \начать{массив}{с} 4з\у-2+з \конец{массив} \Правильно] \\ &=(4г, у+г) \конец{выравнивание*}

Пример 4

Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.

Решение : Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно \начать{выравнивать*} L(1.

1,1.9,0.1) &= (4(0.1), 1.9+0.1)\\ & = (0,4, 2,0) \конец{выравнивание*}

Обратите внимание, что $(1.1,1.9,0.1)$ очень близко к $(1,2,0)$, т.е. точка, вокруг которой мы вычислили линейную аппроксимацию. Итак, мы ожидать, что это линейное приближение будет близко к истинному значению $\vc{f}$ в $(1.1,1.92(0,1), 1,9+\sin(0,1))\\ &\ приблизительно (0,4368,1,9998). \конец{выравнивание*} В этом случае приближение достаточно близкое.

Производные инструменты Примеры

Производные инструменты Производные инструменты Производные инструменты в сфере финансов представляют собой финансовые инструменты, стоимость которых определяется стоимостью базового актива. Базовым активом могут быть облигации, акции, валюта, товары и т. д. Существует четыре типа деривативов: опционные контракты, фьючерсные деривативы, свопы, форвардные деривативы. Читать далее — это финансовые инструменты, такие как акции и облигации, в форме контракта, стоимость которого зависит от результатов деятельности и движения цены базовой компании.

Этот базовый объект может быть чем угодно, например, активом, индексом, товаром, валютой или процентной ставкой — в каждом примере производного инструмента указывается тема, соответствующие причины и дополнительные комментарии по мере необходимости.

Ниже приведены наиболее распространенные примеры:

  1. Форварды
  2. Фьючерсы
  3. Опционы Опционы Опционы представляют собой финансовые контракты, которые дают покупателю право, но не обязательство по исполнению контракта. Право состоит в том, чтобы купить или продать актив в определенную дату по определенной цене, которая заранее определена на дату заключения контракта.Подробнее основная сумма, в том числе процентные свопы, обмен плавающей процентной ставки на фиксированную процентную ставку.Подробнее
СОДЕРЖАНИЕ
  • Примеры производных
    • Наиболее распространенные примеры производных
    • Заключение
    • Рекомендуемые статьи