Пример №2:
Нужно вычислить приблизительное значение заданной функции arctg 1.02. При этом производя замену приращения функции ее дифференциалом.
Рассмотрим подробно функцию y= arctg x.
Для данной функции нужно вычислить значение в точке равной 1,02.
Для этого выразим функцию в следующем выражении: \[x=x_{0}+\Delta x\].
Значения двух точек \[\mathrm{x}_{0}\]и \[\Delta x\] подбираются таким образом, чтобы при вычислении значений функции и ее производных было легко проводить расчеты. При этом желательно числа выбирать так, чтобы значение \[\Delta x\]. было достаточно минимальным по значению.
Учитывая все требования можно сделать следующий вывод:
\[x=1.02=1+0.02\] , а именно \[ x_{0}=1 \text { и } \Delta x=0,02 .\]
Определим значения для заданной функции y= arctg x в первой точке равной \[\mathrm{x}_{0} = 1\]
\[y\left(x_{0}\right)=y(1)=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}\].
2.3.6. Примеры решения задач по теме «Производные высших порядков»
Задача 1.
Найти вторую производную от функции
Указание
Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что
Решение
Ответ:
Задача 2.
Найти вторую производную от функции
При Х = 1.
Указание
Найдите вторую производную по формуле
А затем вычислите ее значение при Х = 1.
Решение
Ответ:
Задача 3.
Найти производную 4-го порядка от функции
Указание
Воспользуйтесь тем, что
Решение
Ответ:
Задача 4.
Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
Указание
Воспользуйтесь тем, что
Решение
Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для П-й производной от ее порядка.
Ответ:
Задача 5.
Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
Указание
Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:
Решение
Ответ:
Задача 6.
Найти вторую производную для функции, заданной параметрически:
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ:
Задача 7.
Найти D3Y для функции У = Х5.
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ:
Задача 8.
Вычислите производную:
Указание
Воспользуйтесь формулой Лейбница:
Решение
Пусть
Тогда
Применяя формулу Лейбница, получим:
Ответ:
Задача 9.
Рассматриваются функции
Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?
Указание
По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)
4) непрерывна на отрезке [Ab];
5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:
Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;
Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;
3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;
Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке;
Существует на всем отрезке;
Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.
Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.
Ответ: 4.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Производные сложных функций – Формула, примеры
Напомним сначала смысл составных функций. Составные функции — это функции, когда функция записывается в терминах другой функции. Это означает, что в составной функции функция может быть заменена другой функцией и обычно записывается как (fog)(x) = f(g(x)). Теперь, чтобы определить производные сложных функций, продифференцируем первую функцию по второй функции, а затем вторую функцию по переменной, т. е. (fo g)'(x) = f'(g(x) )). г'(х).Давайте узнаем, как определять производные сложных функций, формулу их нахождения и понятие частных производных сложных функций от двух переменных с помощью решенных примеров для лучшего понимания концепции.
| 1. | Что такое производные сложных функций? |
| 2. | Формула производных составных функций |
| 3. | Производные сложных функций с одной переменной |
| 4. | Частные производные составных функций двух переменных |
5. | Часто задаваемые вопросы о производных составных функций |
Что такое производные сложных функций?
Производные составных функций оцениваются с использованием метода цепного правила (также известного как правило составной функции). Цепное правило гласит: «Пусть h будет действительнозначной функцией, состоящей из двух функций f и g». т. е. h = f o g. Предположим, что u = g(x), где существуют du/dx и df/du, тогда это можно выразить следующим образом:
Производная h(x) по весу x = производная от f(x) относительно u × Производная от u относительно x ⇒ d(h(x))/dx = df/du × du/dx
Другой способ записи производных составных функций с использованием формулы цепного правила: Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно x ⇒ d( f(g(x))/dx = f’ (g(x)) · g’ (x). Проще говоря, мы говорим, что производная сложной функции есть произведение производной внешняя функция по отношению к внутренней функции и производная внутренней функции по переменной.
Формула производных составных функций
Производную сложной функции h(x) = f(g(x)) можно определить, взяв произведение производной f(x) по g(x) и производной g(x) относительно переменной x. Математически формула производных сложных функций имеет вид:
Производные составных функций с одной переменной
Производные составных функций одной переменной определяются по простой формуле цепного правила. Давайте решим несколько примеров, чтобы понять расчет производных:
Пример 1: Определить производную сложной функции h(x) = (x 3 + 7) 10
Решение: Теперь пусть u = x 3 + 7 = g( x), здесь h(x) можно записать как h(x) = f(g(x)) = u 10 . Таким образом, производная h(x) определяется как:
d(h(x))/dx = df/du × du/dx
⇒ h'(x) = 10u 9 × 3x 2
= 10(х 3 + 7) 9 × 3х 2
= 30 x 2 (x 3 + 7) 9
cos(cos(x 2 )).
= -2x sin (x 2 ) cos (cos x 2 )
Частные производные составных функций двух переменных
Производная функции многих переменных вычисляется одновременно по одной из переменных. Такие производные называются частными производными. Мы можем вычислить частные производные составных функций z = h(x, y), используя метод цепного правила дифференцирования для одной переменной. При определении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считаем постоянными. Давайте рассмотрим пример, показанный ниже:
Пример: Найдите производные x и y сложной функции f(x, y) = (x
Решение: Сначала продифференцируем составную функцию f(x, y) = (x 2 y 2 + ln x) 3 относительно x и считать y константой.
∂[(x 2 y 2 + ln x) 3 ]/∂x = 3 (x 2 y 2 + ln x) 0 ₽69 2
y 2 + ln x)/∂x
= 3 (x 2 y 2 + ln x) 2 × (2xy 2 = 9 0/)29 0 (0/)29 + 0 1 2xy 2 + 1/x)(x 2 y 2 + ln x) 2
Точно так же мы определим производную по y, считая x константой, используя формулу цепного правила.
∂[(x 2 y 2 + ln x) 3 ]/∂y = 3 (x 2 y 2 + ln x) 0 ₽69 2
y 2 + ln x)/∂y
= 3 (x 2 y 2 + ln x) 2 × (2x 2 Y)
= 6x 2 y) (x 2 y 2 + ln x) 2
Важные замечания о производных составных функций
- t-производная составной функции z = h(x(t), )) можно рассчитать по формуле dh/dt = (∂f/∂x) . (dx/dt) + (∂f/∂y) . (дн/дт)
- Производная h(x) по весу x = производная от f(x) относительно u × Производная от u относительно x ⇒ d(h(x))/dx = df/du × du/dx, где h(x) = (f o g)(x) и g(x) = u
Похожие темы
- Производные
- Дифференциация
- Рабочие листы цепных правил
Часто задаваемые вопросы о производных составных функций
Что такое производные сложных функций в исчислении?
Производные сложных функций вычисляются по цепному правилу.
Это произведение производной внешней функции по внутренней функции и производной внутренней функции по переменной.
Как использовать цепное правило для нахождения производной сложной функции?
Производные составных функций с использованием формулы цепного правила вычисляются как: Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно x ⇒ d( f(g(x))/dx = f’ (g(x)) · g’ (x), где h(x) = (fo g)(x).
Как найти производные составного Функции
Производные составных функций можно определить с помощью правила составной функции (также известного как метод дифференцирования по цепному правилу).
Что такое частные производные сложных функций?
Частные производные составных функций z = h(x, y) можно вычислить, используя метод цепного правила дифференцирования для одной переменной. При определении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считаем постоянными.
Какая формула для производных сложных функций?
Формула дифференцирования сложной функции h(x) = (f o g)(x): Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно х ⇒ d( f(g(x))/dx = f'(g(x)) · g'(x).
Простые примеры использования цепного правила
Цепное правило — это формула для вычисления производной композиции функций. Как только вы поймете основную идею цепного правила, следующий шаг — попробовать свои силы на нескольких примерах.
Пример 1
Пусть $f(x)=6x + 3$ и $g(x)=-2x+5$. Используйте цепное правило для вычисления $h'(x)$, где $h(x)=f(g(x))$.
Решение : Производные от $f$ и $g$ равны \начать{выравнивать*} f'(x)&=6\\ g'(x)&=-2. \конец{выравнивание*} Согласно цепному правилу, \начать{выравнивать*} h'(x) &= f'(g(x)) g'(x)\\ &= f'(-2x +5) (-2)\\ &= 6 (-2)=-12. \конец{выравнивание*}
Поскольку функции были линейными, этот пример был тривиален.