Примеры производных с решением сложных функций: Как найти производную функции, примеры решения

Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике 10 класс онлайн-подготовка на

Тема 12: Производная. Профильный уровень

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Дифференцирование сложной функции. Примеры

 

Сложную функцию мы уже  дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию . Например, . Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.

 

Начнем с функции

1.

Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.

Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.

Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции.

 

Таблица производных сложных функций

 

 

1.

 

2.

3. . Напомним, что .

Пример. 

4. .

Пример. 

5.

6.

7.

8. .

Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.

 

Задача из практики подготовки к ЕГЭ

 

 

В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.

 

Найти минимум функции .

Решение.

ОДЗ:   .

Найдем производную . Напомним, что , .

Приравняем производную к нулю   . Точка  – входит в ОДЗ.

Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).

Рис. 1. Интервалы монотонности для функции .

Рассмотрим точку  и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку  меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит,  – точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то  – точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума: . Нарисуем схему (см. рис.2).

Рис.2. Экстремум функции .

На промежутке  – функция убывает, на  – функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .

Ответ: .

 

Итог урока

 

 

На уроке рассмотрели  дифференцирование сложных функций, составили таблицу и рассмотрели правила дифференцирования сложной функции, привели пример применения производной из практики подготовки к ЕГЭ.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 
2. Портал Естественных Наук (Источник). 
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

 

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Видеоурок: Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике по предмету Алгебра за 10 класс.

Частные производные сложной функции?

Задавать вопрос

спросил

2 года, 2 месяца назад

Изменено 2 года, 2 месяца назад

Просмотрено 215 раз

$\begingroup$ 92$, скажем, $f(x,y)=[u,v]$, я могу вычислить четыре различные частные производные $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial у}, \ гидроразрыва {\ парциального v} ​​{\ парциального х}, \ гидроразрыва {\ парциального v} ​​{\ парциального у} $.

Если я интерпретирую $x$ и $y$ как пространственные координаты, я мог бы, например, создать два отдельных графика колчанов: один, иллюстрирующий частные производные $u$, и другой, иллюстрирующий частные производные $v$.

Похоже, что в сложной алгебре мы должны столкнуться с похожим поведением: предположим, что у меня есть $z=x+iy$ и $w=u+iv$, и что моя функция $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ является (скажем) преобразованием Мёбиуса 92}$$

Теперь вот мой вопрос: производная, которую я получу, будет одним комплексным числом. Можно ли извлечь частные производные $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac {\ парциальное v} {\ парциальное у} $? Если да, то как бы я это сделал?

• комплексный анализ
• производные
• частная производная
• преобразование Мебиуса

$\endgroup$

$\begingroup$

Да, это возможно. В общем случае мы имеем

$$\frac{\mathrm df}{\mathrm dz}=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial v}{\partial x}, $$

и уравнения Коши-Римана говорят, что, кроме того, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Вместе это позволяет нам извлечь все частные производные из $\frac{\mathrm df }{\mathrm dz}$, если известны его действительная и мнимая части.

В этом вопросе вы можете найти некоторые идеи о том, как получить эти уравнения из определения вещественной и комплексной дифференцируемости.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Расчет I – критические точки

Онлайн-заметки Пола
Дом / Исчисление I / Применение производных / Критические точки

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.

е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4.2: Критические точки

Критические точки будут появляться на протяжении большей части этой главы, поэтому нам сначала нужно определить их и поработать с несколькими примерами, прежде чем переходить к разделам, в которых они используются.

Определение

Мы говорим, что \(x = c\) является критической точкой функции \(f\left( x \right)\), если \(f\left( c \right)\) существует и если верно любое из следующих утверждений.

\[f’\влево(c\вправо) = 0\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{OR}}\hspace{0,5in}f’\влево(c\вправо)\,\,\,{\mbox {не существует}}\]

Обратите внимание, что мы требуем, чтобы \(f\left( c \right)\) существовало, чтобы \(x = c\) действительно было критической точкой. Это важный момент, которым часто пренебрегают. На самом деле это говорит о том, что все критические точки должны находиться в области определения функции. Если точка не находится в области определения функции, то она не является критической точкой.

Также обратите внимание, что на данный момент мы работаем только с действительными числами, поэтому любые комплексные числа, которые могут возникнуть при нахождении критических точек (а они иногда будут возникать), будут игнорироваться. Есть части исчисления, которые работают немного по-другому при работе с комплексными числами, поэтому в первом классе исчисления, таком как этот, мы игнорируем комплексные числа и работаем только с действительными числами. Расчет с комплексными числами выходит за рамки этого курса и обычно преподается на курсах математики более высокого уровня. 92}\влево({5x – 3}\вправо)\влево({x+5}\вправо) = 0\]

Поскольку это факторизованная форма производной, довольно легко определить три критические точки.

Они есть,

\[x = – 5,\,\,\,\,\,\,x = 0,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{5}\]

Полиномы обычно представляют собой довольно простые функции для нахождения критических точек при условии, что степень не становится настолько большой, что возникают проблемы с поиском корней производной. 9{\ гидроразрыва {1} {3}}}}} \]

Нам нужно быть осторожными с этой проблемой. Столкнувшись с отрицательным показателем степени, часто лучше исключить знак минус в показателе степени, как мы сделали выше. На самом деле это не обязательно, но иногда это может облегчить нашу жизнь, если мы это сделаем.

Заметим также, что устранение отрицательного показателя степени во втором члене позволяет нам правильно определить, почему \(t = 0\) является критической точкой для этой функции. Как только мы переместим второй член в знаменатель, мы ясно увидим, что производная не существует в \(t = 0\), и поэтому это будет критическая точка. Если вы не избавитесь от отрицательного показателя степени во втором члене, многие люди неправильно заявят, что \(t = 0\) является критической точкой, потому что производная равна нулю в \(t = 0\). Хотя это может показаться глупой точкой, в конце концов, в каждом случае \(t = 0\) идентифицируется как критическая точка, это иногда важно знать, почему точка является критической точкой. Фактически, через пару разделов мы увидим факт, который работает только для критических точек, в которых производная равна нулю. 9{\ гидроразрыва {1} {3}}}}} \]

Обратите внимание, что у нас все еще есть \(t = 0\) в качестве критической точки. Выполнение такого объединения никогда не должно терять критические точки, это делается только для того, чтобы помочь нам найти их. Как мы видим, теперь стало намного проще быстро определить, где производная будет равна нулю. Напомним, что рациональное выражение будет равно нулю только в том случае, если его числитель равен нулю (и, конечно, при условии, что знаменатель в этот момент не равен нулю). 2} – w – 6 = \left( {w – 3} \right)\left( {w + 2} \right) = 0\]

Мы не стали возводить это в квадрат, так как если это ноль, то ноль в квадрате по-прежнему будет нулем, а если он не равен нулю, то возведение в квадрат не сделает его равным нулю.

Отсюда видно, что производная не будет существовать при \(w = 3\) и \(w = – 2\). Однако это НЕ критические точки, так как в этих точках функция также не будет существовать. Напомним, что для того, чтобы точка была критической, функция должна действительно существовать в этой точке.

В этот момент мы должны быть осторожны. Числитель не учитывается, но это не означает, что нет критических точек, в которых производная равна нулю. Мы можем использовать формулу квадрата для числителя, чтобы определить, равна ли дробь в целом нулю. 92} – 4\влево( 1 \вправо)\влево( { – 1} \вправо)} }}{{2\влево( 1 \вправо)}} = \frac{{ – 14 \pm \sqrt {200} }}{2} = \frac{{ – 14 \pm 10\sqrt 2 }}{2} = – 7 \pm 5\sqrt 2 \]

Итак, мы получаем две критические точки. Кроме того, это не «хорошие» целые числа или дроби. Это будет происходить при случае. Не зацикливайтесь на ответах, которые всегда должны быть «хорошими». Часто это не так.

Обратите внимание, что мы используем только действительные числа для критических точек. Итак, если бы при решении квадратного числа в числителе мы получили комплексное число, эти точки не считались бы критическими.

Подводя итог, у нас есть две критические точки. Они есть,

\[w = – 7 + 5\sqrt 2 ,\,\,\,\,w = – 7 – 5\sqrt 2 \]

Опять же, помните, что, хотя производная не существует в точках \(w = 3\) и \(w = – 2\), не существует и функции, поэтому эти две точки не являются критическими для этой функции.

В предыдущем примере нам пришлось использовать квадратичную формулу для определения некоторых потенциальных критических точек. Мы знаем, что иногда мы получаем комплексные числа из квадратичной формулы. Просто помните, что, как упоминалось в начале этого раздела, когда это происходит, мы игнорируем возникающие комплексные числа.

До сих пор во всех примерах не было триггерных функций, экспоненциальных функций, и т. д. . в них. Мы не должны ожидать, что так будет всегда. Итак, давайте взглянем на некоторые примеры, в которых используются не только степени \(x\).

Пример 4. Определить все критические точки функции. \[y = 6x – 4\cos \left( {3x} \right)\]

Показать решение

Сначала получите производную и не забудьте использовать цепное правило для второго члена.

\[y’ = 6 + 12\sin\left( {3x} \right)\]

Теперь это будет существовать везде, поэтому не будет критических точек, для которых производная не существует. Единственными критическими точками будут точки, в которых производная равна нулю. Нам нужно будет решить,

\[\begin{align*}6 + 12\sin \left( {3x} \right) & = 0\\ \sin \left( {3x} \right) & = – \frac{1}{2}\ конец {выравнивание *} \]

Решение этого уравнения дает следующее.

\[\begin{align*}3x & = 3,6652 + 2\pi n,\hspace{0,25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 3x & = 5,7596 + 2\pi n, \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Не забудьте \(2 \pi n\) на них! В будущем будут проблемы, в которых мы упустим решения без этого! Также убедитесь, что он надет на этом этапе! Теперь разделите на 3, чтобы получить все критические точки для этой функции.

\[\begin{align*}x &= 1,2217 + \frac{{2\pi n}}{3},\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x &= 1,9199 + \frac{{2\pi n}}{3},\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Обратите внимание, что в предыдущем примере мы получили бесконечное количество критических точек. 2}}}\] 92}\left( {\frac{3}{{3x}}} \right)\\ & = 2x\ln \left( {3x} \right) + x\\ & = x\left( {2\ln \left( {3x} \right) + 1} \right)\end{align*}\]

Теперь этой производной не будет, если \(x\) является отрицательным числом или если \(x = 0\), но опять же не будет и функции, так что это не критические точки. Помните, что функция будет существовать только в том случае, если \(x > 0\), и достаточно хорошо, что производная также будет существовать только в том случае, если \(x > 0\), поэтому единственное, о чем нам нужно беспокоиться, это где производная равна нулю.

Во-первых, обратите внимание, что, несмотря на внешний вид, производная не будет равна нулю для \(x = 0\). Как отмечалось выше, производная не существует в \(x = 0\) из-за натурального логарифма, и поэтому производная не может быть там равна нулю!

Таким образом, производная будет равна нулю, только если

\[\begin{align*}2\ln \left( {3x} \right) + 1 & = 0\\ \ln \left( {3x} \right) & = – \frac{1}{2}\ конец {выравнивание *} \]

Напомним, что мы можем решить эту задачу, возведя обе части в степень.