Примеры производных сложных функций с решением: Производная сложной функции – примеры решений

Производная сложной функции – примеры решений

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;   ;   ;   ;   .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x. Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u.

Примеры

Все примеры

Далее рассмотрены примеры решений производной сложной функции.
Простые примеры.
   
Более сложные примеры
 

Простые примеры

Пример 1

Все примеры

Найти производную сложной функции
.

Решение

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 2

Все примеры

Найти производную
.

Решение

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 3

Все примеры

Найдите производную
.

Решение

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Более сложные примеры

Все примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Все примеры

Найдите производную
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение
.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Ответ

.

Пример 5

Все примеры

Найдите производную функции
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

.
Здесь
.

Теперь находим производную искомой функции.

.
Здесь
.

Ответ

.

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию –

внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю

неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим: Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет

выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример 3

Найти производную функции Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение

выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:

, значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции

следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень,

его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых

– это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования

частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного

, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем

обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции

сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.

А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие –

вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2:

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 11:

Пример 13:

Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степеннопоказательной функции

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. В ходе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими «кандидатами» для этого являются производные простейших из сложных функций, например:

По правилу дифференцирования сложной функции :

При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил:

«Чему равна производная тангенса двух икс?». На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ: .

Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.

Пример 1

Найти следующие производные устно, в одно действие, например: . Для выполнения задания нужно использовать только

таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась). Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции.

, , ,

, , ,

, , ,

Почему сложные функции имеют производные?

Комплексную производную следует рассматривать не как представление «градиента» как такового, а скорее как набор инструкций для аппроксимации функции вблизи точки, в которой она дифференцируема.

---

Предположим, что $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ комплексно дифференцируема в точке $z_{0}\in\mathbb{C}.$ Это означает, что предел $$\lim_{h\to0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$$ существует и конечен. В свою очередь, это означает, что должна существовать некоторая функция “ошибки” $\epsilon,$ с $\epsilon(h)\to0$ в качестве $h\to0,$ такая, что $$f(z_{0}+h)-f(z_{0}) = h[f^{\prime}(z_{0}) + \epsilon(h)]. {\ prime} (z_ {0}), \end{уравнение} где под “$\приблизительно$” я подразумеваю заостренные концы векторов близко друг к другу. Так что все это значит? 9{\prime}(z_{0})$ как вектор, растянуть его (то есть умножить его величину на $\lvert z_{1}-z_{0}\rvert$), повернуть его (то есть добавить аргументы), и, наконец, вы добавляете вектор $f(z_{0}).$

Итак, что такое комплексная производная? Это сложный коэффициент масштабирования, точно так же, как действительная производная является реальным коэффициентом масштабирования. Единственное отличие состоит в том, что комплексные коэффициенты масштабирования вводят оборотов. Его следует рассматривать не как представление «градиента» как такового, а скорее как набор инструкций для аппроксимации функции вблизи точки, в которой она дифференцируема. 9{2} = 0,21 + 2,2 i,$$ а тем временем $$-2i + 2(1+i)z_{1} = 0,2 + 2,2 i.$$ Я думаю, если мы согласимся с тем, что $1,1+i$ близко к $1+i,$, то мы должны также согласиться с тем, что $0,2+2,2i$ близко к $0,21+2,2i.

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

76209

• Хуан Карлос Понсе Кампусано
• Университет Квинсленда

Понятие комплексной производной лежит в основе теории комплексных функций. Определение комплексной производной аналогично определению производной действительной функции. Однако, несмотря на внешнее сходство, комплексная дифференциация представляет собой глубоко иную теорию.

Комплексная функция \(f(z)\) равна  дифференцируемый  в точке \(z_{0}\in \mathbb{C}\) если и только если существует следующий коэффициент предельной разности

\(\begin{eqnarray}\label{diff01}
                f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.

                 \end {выражение}\)

В качестве альтернативы, если \(\Delta z= z-z_{0}\), мы можем записать

\(\begin{eqnarray}\label{diff02}
                f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z }.
                \end{eqnarray}\)

Мы часто опускаем нижний индекс на \(z_{0}\) и вводим число

.

\(\Delta w=f\left ( z+\Delta z \right )-f\left ( z \right )\).

, который обозначает изменение значения \(w=f(z)\), соответствующее изменению \(Δz\) в точке, в которой оценивается \(f\) . Тогда мы можем записать уравнение (2) как

\(\frac{dw}{dz}=\lim_{Δz\стрелка вправо 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}\).

Несмотря на то, что формула (1) для производной по форме идентична формуле производной действительнозначной функции, важно отметить, что \({f}’\left ( z_{0} \ right )\) следует из двумерного предела. Таким образом, для существования \({f}’\left ( z_{0} \right )\) должен существовать соответствующий предел, не зависящий от направления, с которого \(z\) приближается к предельной точке \(z_{0}\ ). Для функции одной действительной переменной у нас есть только два направления, то есть \(xx_{0}\).

 

Рис. 1:  Есть бесконечное множество направлений для приближения  \(z_{0}\) .

Замечательная особенность сложной дифференциации состоит в том, что существование одной комплексной производной автоматически влечет за собой существование бесконечно многих производных! Это отличается от случая функции действительной переменной \(g(x)\), в которой \(g′(x)\) может существовать без существования \(g″(x)\).

---

Уравнения Коши-Римана

Теперь давайте посмотрим на замечательное следствие определения (1). Сначала мы посмотрим, что произойдет, если мы приблизимся к \(z_{0}\) в двух простейших направлениях — горизонтальном и вертикальном. Если мы установим

\(z=z_{0}+h=\left ( x_{0} +h\right )+iy_{0}\),    \(h\in \mathbb{R}\),

, затем \(z\стрелка вправо z_{0}\) вдоль горизонтальной линии как \(h→0\). Если мы запишем ff через его действительную и мнимую составляющие, то есть

\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\),

, тогда

\({f}’\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\стрелка вправо 0}\frac{f\left ( z_{0}+h \right )-f\left ( z_{0 } \right )}{h}\)

затем

\({f}’\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0 }+h \right )-f\left ( z_{0} \right )}{h}=\lim_{h\стрелка вправо 0}\frac{f\left ( x_{0}+h+iy_{0} \ вправо )-f\влево ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{h}\\=\lim_{h\стрелка вправо 0}\влево [ \frac{u\left ( x_{0 }+h,y_{0} \right )-u\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h} \right ]+i\lim_{h\стрелка вправо 0}\left [ \frac {v\left ( x_{0}+h,y_{0} \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h}\right ]\\=u_{x} \left (x_{0},y_{0} \right)+iv_{x}\left (x_{0},y_{0} \right)\)

где \(u_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) и \(v_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) обозначают частные производные первого порядка по \(x\) функции \(u\) и \(v\) соответственно в точках \(\left ( x_{0},y_{0} \right ) \). Если теперь мы установим

\(z=z_{0}+ik=x_{0}+i\left ( y_{0} +k\right )\),    \(k\in \mathbb{R}\) ,

, затем \(z→0\) по вертикальной линии как \(k→0\). Следовательно, мы также имеем

\({f}’\left ( z_{0} \right )=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+ik \right )-f \left ( z_{0} \right )}{ik}=\lim_{k\стрелка вправо 0}\left [  -i\frac{f\left ( x_{0}+i\left ( y_{0} +k \right )\right )-f\left ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{k}\right ]\\=\lim_{k\стрелка вправо 0}\left [ \frac{ v\left ( x_{0},y_{0}+k \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{k} -i\frac{u\left ( x_{ 0},y_{0}+k \right )-u\left (x_{0},y_{0}  \right )}{k}\right ]\\=v_{y}\left ( x_{0} ,y_{0} \right )-iu_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\)

, где частные производные от \(u\) и \(v\) на этот раз относятся к \(y\). Приравнивая действительную и мнимую части этих двух формул для комплексной производной \({f}’\left ( z_{0}\), мы замечаем, что действительная и мнимая компоненты \(f(z)\) должны удовлетворять однородная линейная система дифференциальных уравнений в частных производных:

\(u_{x}=v_{y}\),    \(u_{y}=-v_{x}\).

Это  Коши-Римана уравнения названы в честь известных математиков девятнадцатого века Огюстена-Луи Коши и Бернхарда Римана, двух основоположников современного комплексного анализа.

Теорема \(\PageIndex{1}\)

Комплексная функция \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) имеет комплексную производную \(f′(z) \) тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана

\(u_{x}=v_{y}\),    \(u_{y}=-v_{x}\ )

В этом случае комплексная производная \(f(z)\) равна любому из следующих выражений:

\({f}’\left ( z \right )=u_{x}+iv_ {x}=v_{y}-iu_{y}\).

Пример \(\PageIndex{1}\) 9{n}log\,z\)), а \(c\) – любая комплексная константа. Экспоненциальные формулы для комплексных тригонометрических и гипербоических функций предполагают, что они также удовлетворяют стандартным правилам

\(\frac{d}{dz}sin\,z=cos\,z\),    \(\frac{d }{dz}cos\,z=-sin\,z\)

\(\frac{d}{dz}sin\,z=cosh\,z\),    \(\frac{d}{dz} ch\,z=sinh\,z\)

Формулы для дифференцирования сумм, произведений, отношений, обратных и композиций комплексных функций идентичны их реальным аналогам с аналогичными доказательствами.