Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике – Алгебра
Справочник по математике | Алгебра | Уравнения четвертой степени |
Схема метода Феррари |
Приведение уравнений 4-ой степени |
Разложение на множители. Кубическая резольвента |
Пример решения уравнения 4-ой степени |
Схема метода Феррари
Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
a0x4 + a1x3 + a2x2 + + a3x + a4 = 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
x4 + ax3 + bx2 + + cx + d = 0, | (2) |
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
(3) |
где y – новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
В результате уравнение (2) принимает вид
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
y4 + py2 + qy + r = 0, | (5) |
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
2sy2 + s2,
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
(7) |
то уравнение (6) примет вид
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, – в виде
(9) |
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
(10) |
а также квадратное уравнение
(11) |
Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
Пример. Решить уравнение
x4 + 4x3 – 4x2 – – 20x – 5 = 0. | (12) |
Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
x = y – 1. | (13) |
Поскольку
x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3 –
– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0. | (14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
p = – 10, q = – 4, r = 8.![]() | (15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0. | (16) |
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
s = – 3. | (17) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 – 2y – 4 = 0,
корни которого имеют вид:
(18) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y – 2 = 0,
корни которого имеют вид:
(19) |
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ.
Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
y4 – 10y2 – 4y + 8 = = (y2 – 2y – 4) (y2 + + 2y – 2). | (20) |
Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.
Решение уравнений 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Решение уравнений
Уравнение, которое можно привести к виду ax = b, где a и b − некоторые числа
(a≠0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.
Рассмотрим решение уравнения:
4·(х-5) = 16 (1)
х-5 = 16:4
х-5 = 4 (2)
х = 9
Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), разделив обе части уравнения на 4.
4(х-5)=16 |:4 (1) 9 – корень уравнения (1), так как
4(x-5)4=164 4(9-5) = 16 – верное равенство.
х-5 = 4 (2) 9 – корень уравнения (2), так как
9-5 = 4 – верное равенство.
Число 9 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).
Сформулируем первое свойство уравнения.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, и корни уравнения не изменятся.
Применим первое свойство к решению уравнения.
Пример 1. Решим уравнение 34x-98x=54-18.
Умножим обе части уравнения на 8. Тогда коэффициент перед x станет целым.
34x-98x = 54-18 |·8
3∙84x-9∙88x = 5∙84-1∙88
6x-9x = 10-1
-3x = 9
x = 9:(-3)
x = -3.
Пример 2. Решим уравнение 0,7x-0,2x = 5,5.
Умножим обе части уравнения на 10. Тогда коэффициенты перед x станут целыми.
0,7х-0,2х = 5,5 |·10
7х-2х = 55
5х = 55
x = 55:5
x = 11.
Пример 3. Решим уравнение -20x-50∙2 = 100.
Разделим обе части этого уравнения на 2.
(-20х-50)·2 = 10 |:2
-20х-50 = 50
-20х = 50+50
-20х = 100
x = 100:(-20)
x = -5.
Пример 4. Решим уравнение 2,1∙4-6y = -42.
Разделим обе части равенства на 2,1.
2,1·(4-6у) = -4 |:2,1
4-6у = -20
-6у = -24
y = -24:(-6)
y = 4.
Пример 5. Решим уравнение 2х+5 = 17.
По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17-5; 2х = 12. Уравнения 2х+5 = 17 и 2х = 17-5 имеют один и тот же корень 6, т.к. 2·6+5 = 17 и 2·6 = 17-5.
Уравнение 2х = 17-5 можно записать так: 2х = 17+(-5).
Видим, что корень уравнения 2х+5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.
Пример 6. Решим уравнение 5х = 2х+6.
Вычтем из правой и левой части равенства 2х.
5х-2х = 2х-2х+6
Или 5х-2х = 6
3х = 6
x = 2.
Уравнение 5х-2х = 6 можно получить из исходного, если слагаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный.
Таким образом выполняется второе свойство уравнения:
Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак.
Пример 7. Решим уравнение 13x+12 = x.
Умножим левую и правую часть равенства на 3.
13x+12 = x |·3
x+36 = 3x
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое 3х из правой части в левую.
x-3x = -36
-2x = -36
x = -36:(-2)
x = 18
Рассмотрим сложные примеры.
Пример 8. Решим уравнение 12∙8x-4-5 = 6∙13x+12.
Сначала раскроем скобки.
12∙8x-12∙4-5 = 6∙13x+6∙12
4x-2-5 = 2x+3
Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.
4х-2х = 3+2+5
2х = 10
x = 5
Пример 9. Решим уравнение 7-x6 = 19x-118.
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение средних равно произведению крайних.
8·(7-х) = 6·(19х-11)
Раскроем скобки в левой и в правой части уравнения.
8·7-8·х = 6·19х-6·11
56-8х = 114х-66
Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.
-8х-114х = -66-56
-122х = -122
x = 1
Решение уравнений – методы и примеры
Понимание того, как решать уравнения, является одним из самых фундаментальных навыков, которым может овладеть каждый студент, изучающий алгебру. Решения для большинства алгебраических выражений ищутся с применением этого навыка. Поэтому студенты должны стать более опытными в том, как проводить операцию.
Эта статья научит , как решить уравнение , выполнив четыре основные математические операции: сложение , вычитание , умножение и деление .
Уравнение обычно состоит из двух выражений, разделенных знаком, указывающим на их взаимосвязь. Выражения в уравнении могут быть связаны знаком равенства со знаком (=), меньше (<), больше (>) или комбинацией этих знаков.
Как решать уравнения?
Решение алгебраического уравнения обычно представляет собой процедуру манипулирования уравнением. Переменная остается с одной стороны, а все остальное с другой стороны уравнения.
Проще говоря, чтобы решить уравнение, нужно изолировать, приравняв его коэффициент к 1. Что бы вы ни делали с одной частью уравнения, сделайте то же самое с противоположной частью уравнения.
Решите уравнения, добавив
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 1
Решение: –7 – x =
Решение
–7 – x =
Добавить 7 к обеим сторонам уравнения.
7 – x + 7 = 9 + 7
– x = 16
Умножение обеих сторон на –1
x = –16
Пример 2
Solve 4 = x – 3
Решение
Здесь переменная находится в правой части уравнения. Добавьте 3 к обеим частям уравнения
4+ 3 = x – 3 + 3
7 = x
Проверьте решение, подставив ответ в исходное уравнение.
4 = х – 3
4 = 7 – 3
Следовательно, x = 7 – правильный ответ.
Решение уравнений путем вычитания
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 3
Решение для x in x+ 10 = 16
Решение
x+ 10 = 16
Вытяните 7 с обеих сторон уравнения.
x + 10 – 10 = 16 – 10
x = 6
Пример 4
Решить линейное уравнение 15 = 26 – y
Решение
15 = 26 – y
Вычесть 26 из обеих частей уравнения
1 – 7 – 4 – 026 = 26 – 026 y
Умножьте обе части на –1
y = 11
Решение уравнений с переменными в обеих частях путем сложения
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 4
Рассмотрим уравнение 4x –12 = -x + 8.
Поскольку уравнение имеет две стороны, вам нужно выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон.
Добавьте переменную x к обеим частям уравнения
⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.
Упростить
Упростить уравнение, собрав одинаковые члены с обеих сторон уравнения.
5x – 12 = 8.
Теперь уравнение имеет только одну переменную с одной стороны.
Добавьте константу 12 к обеим частям уравнения.
Константа, прикрепленная к переменной, добавляется с обеих сторон.
⟹ 5x – 12 +12 = 8 + 12
Упростить
Упростить уравнение, объединив одинаковые члены. А 12.
⟹ 5x = 20
Теперь делим на коэффициент.
Деление обеих частей на коэффициент — это просто полное деление на число, прикрепленное к переменной.
Решение этого уравнения равно, следовательно,
x = 4.
Проверьте свое решение
Проверьте правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение.
4x –12 = -x + 8
⟹ 4(4) –12 = -4 + 8
4 = 4
Следовательно, решение верное.
Пример 5
Решение -12x -5 -9 + 4x = 8x -13x + 15 -8
Раствор
Упрощение путем объединения таких терминов
-8X -14 = -5x +7
Добавьте 5x с обеих сторон.
-8x + 5x -14 = -5x +5x + 7
-3w -14=7
Теперь прибавьте 14 к обеим частям уравнения.
– 3x – 14 + 14 = 7 + 14
-3x = 21
Разделить обе части уравнения на -3
-3x/-3 = 21/3
x = 7.
Решение уравнений с переменными с обеих сторон путем вычитания
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 6
Решите уравнение 12x+3 = 4x+15
12x-4x + 3 = 4x – 4x + 15
6x + 3= 15
Вычесть константу 3 с обеих сторон.
6x + 3 -3 = 15 – 3
6x = 12
Разделить на 6;
6x/6 = 12/6
x = 2
Пример 7
Решение уравнения 2x – 10 = 4x + 30.
Раствор
Подряд 2x из обеих сторон .
2x -2x -10 = 4x – 2x + 23
-10 = 2x + 30
Вычтите обе части уравнения на константу 30.
-10 – 30 = 2x + 30 – 30
– 40 = 2x
Теперь разделите на 2
-40/2 = 2x/2
-20 = x
Решение линейных уравнений с умножением
Линейные уравнения решаются с помощью умножения, если при записи уравнения используется деление. Как только вы заметите, что переменная делится, вы можете использовать умножение для решения уравнений.
Пример 7
Решение x/4 = 8
Решение
Умножение обеих сторон уравнения на знаменатель фракции,
4 (x/4) = 8 x 4
x = 32
Пример 8
Решение -x/5 = 9
Решение
Умножение обеих сторон на 5.
5 (-x/5) = 9 x 5
-x = 45
Умножьте обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при переменной положительным.
x = – 45
Решение линейных уравнений с делением
Для решения линейных уравнений с делением обе части уравнения делятся на коэффициент переменной. Давайте посмотрим на примеры ниже.
Пример 9
Решите 2x = 4
Решение
Чтобы решить это уравнение, разделите обе части на коэффициент переменной.
2x/2 = 4/2
x = 2
Пример 10
Решение уравнения -2x = -8
Решение
Разделите обе стороны уравнения на 2.
−2x/2 = −8/2
–x. = − 4
Умножая обе части на -1, мы получаем;
x = 4
Как решать алгебраические уравнения, используя распределительное свойство?
Решение уравнений с использованием распределительного свойства влечет за собой умножение числа на выражение в скобках. Затем сходные термины объединяются, а затем изолируется переменная.
Пример 11
Решить 2x – 2(3x – 2) = 2(x –2) + 20 + 20
Использовать распределительное свойство для удаления скобок
2x – 6x + 4 = 2x – 4 + 20
– 4x + 4 = 2x + 16
Сложение или вычитание с обеих сторон
–4x + 4 – 4 –2x = 2x + 16 – 4 –2x
–6x = 12
x = –2
Проверьте ответ, подставив решение в уравнение.
2x – 2(3x – 2) = 2(x –2) + 20
(2 * –2) – 2((3 * –2) –2) = 2(–2 –2) + 20
12 = 12
Пример 12 9000 Решить для x в уравнении -3x – 32 = -2(5 – 4x)
Решение
Примените свойство распределения, чтобы убрать скобки.
–3x – 32 = – 10 + 8x
Сложение обеих частей уравнения в 3x дает
-3x + 3x – 32 = – 10 + 8x + 3x Добавьте обе части уравнения на 10.
– 10 + 10 + 11x = -32 + 10
11x = -2
Разделите все уравнение на 11.
11x/11 = -22/11 с дробями?
Не паникуйте, когда видите дроби в алгебраическом уравнении. Если вы знаете все правила сложения, вычитания, умножения и деления, это для вас пустяк.
Чтобы решить уравнения с дробями, нужно преобразовать их в уравнение без дробей.
Этот метод также называется « очистка дробей ».
При решении уравнений с дробями выполняются следующие шаги:
- Определите наименьшее общее кратное знаменателей (НОК) всех дробей в уравнении и умножьте на все дроби в уравнении.
- Изолировать переменную.
- Упростите обе части уравнения, применяя простые алгебраические операции.
- Применение свойства деления или умножения, чтобы сделать коэффициент переменной равным 1.
Пример 13
Решить (3x + 4)/5 = (2x – 3)/3
Решение
LCD 5 и 3, следовательно, 37 (90, 4 умножить на 37, 4 и 3 равно 15) 4)/5 = (2x – 3)/3
{(3x + 4)/5}15 = {(2x – 3)/3}15
9x +12 = 10x -15
Изолировать переменную;
9x -10x = -15-12
-x = -25
x = 25
Пример 14
Решение для x 3/2x + 6/4 = 10/3
Решение
LCD 2x, 4 и 3 равно 12x
Умножьте каждую дробь в уравнении на LCD.
(3/2x)12x + (6/4)12x = (10/3)12x
=> 18 +18x = 40x
Изолировать переменную
22x = 18
x = 18/22
2 Упростить
x = 9/11
Пример 15
Найти x (2 + 2x)/4 = (29 902x)/8
030
LCD = 8
Умножить каждую дробь на LCD,
=> 4 +4x = 1 +2x
Изолировать x;
2x = -3
x = -1,5
Решение уравнений — Алгебра II
Все ресурсы Алгебры II
10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 34 35 Следующая →
Алгебра II Помощь » Базовая алгебра с одной переменной » Уравнения » Решение уравнений
Решите эту систему уравнений.
Возможные ответы:
,
,
,
,
,
Правильный ответ:
,
03 . Правильный ответ:, 06603 . Объяснение:
Уравнение 1:
Уравнение 2:
Уравнение 3:
Сложение членов первого и второго уравнений вместе дает .
Это говорит нам о том, что x = 1. Подставьте x = 1 обратно в систему уравнений.
Теперь мы можем решить оставшуюся часть задачи, используя метод подстановки. Мы возьмем третье уравнение и используем его для решения для y.
Подставьте это уравнение y в первое уравнение (или второе уравнение, это не имеет значения), чтобы найти z.
Мы можем использовать это значение z, чтобы найти y
Таким образом, набор решений равен x = 1, y = 2 и z = –5/3.
Сообщить об ошибке
Решить для:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, мы можем сначала прибавить к каждой части уравнения, получив
. Затем мы возьмем квадратный корень из обеих частей, чтобы получить
Затем мы вычисляем квадратный корень который равен .
Сообщить об ошибке
Решите эту систему уравнений для:
Правильный ответ:
Объяснение:Умножьте первое уравнение на 3 с обеих сторон, затем добавьте второе уравнение, чтобы исключить члены:0002
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Умножьте обе стороны на 3:
Распределение:
Добавить термины, и вычитайте с обеих сторон:
Добавить термины и вычтите с обеих сторон:
Добавить термины и вычесть с обеих сторон:
. Добавить термины и вычесть с обеих сторон:
. Добавить термины и вычесть с обеих сторон:
0003Разделите обе стороны на:
Упрощение:
Отчет о ошибке
Решение для:
. Объяснение:
Распределите x через круглые скобки:
x
Вычтите x 2 с обеих сторон:
–9x = –80003
Разделите обе части на –2:
x = 4
Сообщите об ошибке
Найдите :.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала разложите выражение, вытащив:
Разложите выражение в круглых скобках, признав, что это разность квадратов:
Установите каждый член равным 0 и решите для значений x:
Сообщить об ошибке
Решите систему уравнений.
Возможные ответы:
Ни один из других ответов не является правильным.
Правильный ответ:
Объяснение:
Изолировать в первом уравнении.
Подставьте во второе уравнение, чтобы найти .
Подставьте в первое уравнение, чтобы найти .
Теперь у нас есть значения и и мы можем выразить их в виде точки: .
Сообщить об ошибке
Решить для и .
Возможные ответы:
Невозможно определить.
Правильный ответ:
Объяснение:
1-е уравнение:
2-е уравнение:
Вычтите 2-е уравнение из 1-го уравнения, чтобы исключить «2y» из обоих уравнений и получить ответ для x:
3 90 в любое уравнение и решить для:
Сообщить об ошибке
Какое решение этой системы уравнений:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение: Шаг 1: Умножьте первое уравнение на -2 и добавьте результат ко второму уравнению. Результат:
Шаг 2: Умножьте первое уравнение на -3 и добавьте результат к третьему уравнению. Результат:
Шаг 4: найдите z.
Шаг 5: найдите y.
Шаг 6: найдите x, подставив y=2 и z=1 в первое уравнение.
Сообщить об ошибке
Какое решение этой системы уравнений?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Подставляем уравнение 2. в уравнение 1.,
итак,
Подставляем в уравнение 2:
итак, решение есть.