Примеры решение уравнений: Примеры уравнений 5. Решение линейных уравнений с примерами

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике – Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Уравнения четвертой степени

Схема метода Феррари

Приведение уравнений 4-ой степени

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 + + a3x + a4 = 0,

(1)

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 + + cx + d = 0,

(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy² + s²,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, – в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2 – – 20x – 5 = 0.

(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.

(13)

      Поскольку

x⁴ + 4x³ – 4x² – 20x – 5 =
= (y – 1)⁴ + 4(y – 1)³ –
– 4(y – 1)² – 20(y – 1)– 5 =
= y⁴ – 4y³ + 6y² – 4y + 1 +
+ 4y³ – 12y² + 12y – 4 –
– 4y² + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y⁴ – 10y² – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.

(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.

(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s³ + 10s² – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.

(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

s = – 3.

(17)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y² – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y² + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 = = (y2 – 2y – 4) (y2 + + 2y – 2).

(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Решение уравнений 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 Решение уравнений

Уравнение, которое можно привести к виду ax = b, где a и b − некоторые числа

(a≠0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Рассмотрим решение уравнения:

4·(х-5) = 16 (1)

х-5 = 16:4

х-5 = 4 (2)

х = 9

Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), разделив обе части уравнения на 4.

4(х-5)=16 |:4   (1)                9 – корень уравнения (1), так как

4(x-5)4=164                          4(9-5) = 16 – верное равенство.

х-5 = 4  (2)                           9 – корень уравнения (2), так как

                                              9-5 = 4 – верное равенство.

Число 9 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).

Сформулируем первое свойство уравнения.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, и корни уравнения не изменятся.

Применим первое свойство к решению уравнения.

Пример 1. Решим уравнение 34x-98x=54-18.

Умножим обе части уравнения на 8. Тогда коэффициент перед x станет целым.

34x-98x = 54-18 |·8

3∙84x-9∙88x = 5∙84-1∙88

6x-9x = 10-1

-3x = 9

x = 9:(-3)

x = -3.

Пример 2. Решим уравнение 0,7x-0,2x = 5,5.

Умножим обе части уравнения на 10. Тогда коэффициенты перед x станут целыми.

0,7х-0,2х = 5,5 |·10

7х-2х = 55

5х = 55

x = 55:5

x = 11.

Пример 3. Решим уравнение -20x-50∙2 = 100.

Разделим обе части этого уравнения на 2.

(-20х-50)·2 = 10 |:2

-20х-50 = 50

-20х = 50+50

-20х = 100

x = 100:(-20)

x = -5.

Пример 4. Решим уравнение 2,1∙4-6y = -42.

Разделим обе части равенства на 2,1.

2,1·(4-6у) = -4 |:2,1

4-6у = -20

-6у = -24

y = -24:(-6)

y = 4.

Пример 5. Решим уравнение 2х+5 = 17.

По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17-5; 2х = 12. Уравнения 2х+5 = 17 и 2х = 17-5 имеют один и тот же корень 6, т.к. 2·6+5 = 17 и 2·6 = 17-5.

Уравнение 2х = 17-5 можно записать так: 2х = 17+(-5).

Видим, что корень уравнения 2х+5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Пример 6. Решим уравнение 5х = 2х+6.

Вычтем из правой и левой части равенства 2х.

5х-2х = 2х-2х+6

Или 5х-2х = 6

3х = 6

x = 2.

Уравнение 5х-2х = 6 можно получить из исходного, если слагаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный.

Таким образом выполняется второе свойство уравнения:

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак.

Пример 7. Решим уравнение 13x+12 = x.

Умножим левую и правую часть равенства на 3.

13x+12 = x |·3

x+36 = 3x

Перенесем с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое 3х из правой части в левую.

x-3x = -36

-2x = -36

x = -36:(-2)

x = 18

Рассмотрим сложные примеры.

Пример 8. Решим уравнение 12∙8x-4-5 = 6∙13x+12.

Сначала раскроем скобки.

12∙8x-12∙4-5 = 6∙13x+6∙12

4x-2-5 = 2x+3

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

4х-2х = 3+2+5

2х = 10

x = 5

Пример 9. Решим уравнение 7-x6 = 19x-118.

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение средних равно произведению крайних.

8·(7-х) = 6·(19х-11)

Раскроем скобки в левой и в правой части уравнения.

8·7-8·х = 6·19х-6·11

56-8х = 114х-66

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

-8х-114х = -66-56

-122х = -122

x = 1

Решение уравнений – методы и примеры

Понимание того, как решать уравнения, является одним из самых фундаментальных навыков, которым может овладеть каждый студент, изучающий алгебру. Решения для большинства алгебраических выражений ищутся с применением этого навыка. Поэтому студенты должны стать более опытными в том, как проводить операцию.

Эта статья научит , как решить уравнение , выполнив четыре основные математические операции: сложение , вычитание , умножение и деление .

Уравнение обычно состоит из двух выражений, разделенных знаком, указывающим на их взаимосвязь. Выражения в уравнении могут быть связаны знаком равенства со знаком (=), меньше (<), больше (>) или комбинацией этих знаков.

Как решать уравнения?

Решение алгебраического уравнения обычно представляет собой процедуру манипулирования уравнением. Переменная остается с одной стороны, а все остальное с другой стороны уравнения.

Проще говоря, чтобы решить уравнение, нужно изолировать, приравняв его коэффициент к 1. Что бы вы ни делали с одной частью уравнения, сделайте то же самое с противоположной частью уравнения.

Решите уравнения, добавив

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 1

Решение: –7 – x =

Решение

–7 – x =

Добавить 7 к обеим сторонам уравнения.
7 – x + 7 = 9 + 7
– x = 16

Умножение обеих сторон на –1
x = –16

Пример 2

Solve 4 = x – 3

Решение

Здесь переменная находится в правой части уравнения. Добавьте 3 к обеим частям уравнения

4+ 3 = x – 3 + 3

7 = x

Проверьте решение, подставив ответ в исходное уравнение.

4 = х – 3

4 = 7 – 3

Следовательно, x = 7 – правильный ответ.

Решение уравнений путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решение для x in x+ 10 = 16

Решение

x+ 10 = 16

Вытяните 7 с обеих сторон уравнения.

x + 10 – 10 = 16 – 10

x = 6

Пример 4

Решить линейное уравнение 15 = 26 – y

Решение

15 = 26 – y

Вычесть 26 из обеих частей уравнения
1 – 7 – 4 – 026 = 26 – 026 y

Умножьте обе части на –1

y = 11

Решение уравнений с переменными в обеих частях путем сложения

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 4

Рассмотрим уравнение 4x –12 = -x + 8.

Поскольку уравнение имеет две стороны, вам нужно выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон.

Добавьте переменную x к обеим частям уравнения

⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.

Упростить

Упростить уравнение, собрав одинаковые члены с обеих сторон уравнения.

5x – 12 = 8.

Теперь уравнение имеет только одну переменную с одной стороны.

Добавьте константу 12 к обеим частям уравнения.

Константа, прикрепленная к переменной, добавляется с обеих сторон.

⟹ 5x – 12 +12 = 8 + 12

Упростить

Упростить уравнение, объединив одинаковые члены. А 12.

⟹ 5x = 20

Теперь делим на коэффициент.

Деление обеих частей на коэффициент — это просто полное деление на число, прикрепленное к переменной.

Решение этого уравнения равно, следовательно,

x = 4.

Проверьте свое решение

Проверьте правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение.

4x –12 = -x + 8

⟹ 4(4) –12 = -4 + 8

4 = 4

Следовательно, решение верное.

Пример 5

Решение -12x -5 -9 + 4x = 8x -13x + 15 -8

Раствор

Упрощение путем объединения таких терминов

-8X -14 = -5x +7

Добавьте 5x с обеих сторон.

-8x + 5x -14 = -5x +5x + 7

-3w -14=7

Теперь прибавьте 14 к обеим частям уравнения.

– 3x – 14 + 14 = 7 + 14

-3x = 21

Разделить обе части уравнения на -3

-3x/-3 = 21/3

x = 7.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

 

Пример 6

Решите уравнение 12x+3 = 4x+15

12x-4x + 3 = 4x – 4x + 15

6x + 3= 15

Вычесть константу 3 с обеих сторон.

6x + 3 -3 = 15 – 3

6x = 12

Разделить на 6;

6x/6 = 12/6

x = 2

Пример 7

Решение уравнения 2x – 10 = 4x + 30.

Раствор

Подряд 2x из обеих сторон .

2x -2x -10 = 4x – 2x + 23

-10 = 2x + 30

Вычтите обе части уравнения на константу 30.

-10 – 30 = 2x + 30 – 30

– 40 = 2x

Теперь разделите на 2

-40/2 = 2x/2

-20 = x

Решение линейных уравнений с умножением

 

Линейные уравнения решаются с помощью умножения, если при записи уравнения используется деление. Как только вы заметите, что переменная делится, вы можете использовать умножение для решения уравнений.

Пример 7

Решение x/4 = 8

Решение

Умножение обеих сторон уравнения на знаменатель фракции,

4 (x/4) = 8 x 4

x = 32

Пример 8

Решение -x/5 = 9

Решение

Умножение обеих сторон на 5.

5 (-x/5) = 9 x 5

-x = 45

Умножьте обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при переменной положительным.

x = – 45

Решение линейных уравнений с делением

Для решения линейных уравнений с делением обе части уравнения делятся на коэффициент переменной. Давайте посмотрим на примеры ниже.

Пример 9

Решите 2x = 4

Решение

Чтобы решить это уравнение, разделите обе части на коэффициент переменной.

2x/2 = 4/2

x = 2

Пример 10

Решение уравнения -2x = -8

Решение

Разделите обе стороны уравнения на 2.

−2x/2 = −8/2

–x. = − 4

Умножая обе части на -1, мы получаем;

x = 4

Как решать алгебраические уравнения, используя распределительное свойство?

 

Решение уравнений с использованием распределительного свойства влечет за собой умножение числа на выражение в скобках. Затем сходные термины объединяются, а затем изолируется переменная.

Пример 11

Решить 2x – 2(3x – 2) = 2(x –2) + 20 + 20

Использовать распределительное свойство для удаления скобок
2x – 6x + 4 = 2x – 4 + 20
– 4x + 4 = 2x + 16

Сложение или вычитание с обеих сторон

–4x + 4 – 4 –2x = 2x + 16 – 4 –2x
–6x = 12
x = –2

Проверьте ответ, подставив решение в уравнение.

2x – 2(3x – 2) = 2(x –2) + 20

(2 * –2) – 2((3 * –2) –2) = 2(–2 –2) + 20
12 = 12

 

Пример 12 9000 Решить для x в уравнении -3x – 32 = -2(5 – 4x)

Решение

Примените свойство распределения, чтобы убрать скобки.

–3x – 32 = – 10 + 8x

Сложение обеих частей уравнения в 3x дает

-3x + 3x – 32 = – 10 + 8x + 3x Добавьте обе части уравнения на 10.

– 10 + 10 + 11x = -32 + 10

11x = -2

Разделите все уравнение на 11.

11x/11 = -22/11 с дробями?

Не паникуйте, когда видите дроби в алгебраическом уравнении. Если вы знаете все правила сложения, вычитания, умножения и деления, это для вас пустяк.

Чтобы решить уравнения с дробями, нужно преобразовать их в уравнение без дробей.

Этот метод также называется « очистка дробей ».

При решении уравнений с дробями выполняются следующие шаги:

• Определите наименьшее общее кратное знаменателей (НОК) всех дробей в уравнении и умножьте на все дроби в уравнении.
• Изолировать переменную.
• Упростите обе части уравнения, применяя простые алгебраические операции.
• Применение свойства деления или умножения, чтобы сделать коэффициент переменной равным 1.

Пример 13

Решить (3x + 4)/5 = (2x – 3)/3

Решение

LCD 5 и 3, следовательно, 37 (90, 4 умножить на 37, 4 и 3 равно 15) 4)/5 = (2x – 3)/3

{(3x + 4)/5}15 = {(2x – 3)/3}15

9x +12 = 10x -15

Изолировать переменную;

9x -10x = -15-12

-x = -25

x = 25

Пример 14

Решение для x 3/2x + 6/4 = 10/3

Решение

LCD 2x, 4 и 3 равно 12x

Умножьте каждую дробь в уравнении на LCD.

(3/2x)12x + (6/4)12x = (10/3)12x

=> 18 +18x = 40x

Изолировать переменную

22x = 18

x = 18/22

2 Упростить

x = 9/11

 

Пример 15

Найти x (2 + 2x)/4 = (29 902x)/8

030

LCD = 8

Умножить каждую дробь на LCD,

=> 4 +4x = 1 +2x

Изолировать x;

2x = -3

x = -1,5

Решение уравнений — Алгебра II

Все ресурсы Алгебры II

10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 34 35 Следующая →

Алгебра II Помощь » Базовая алгебра с одной переменной » Уравнения » Решение уравнений

Решите эту систему уравнений.

Возможные ответы:

,

,

,

,

,

Правильный ответ:

,

03 . Правильный ответ:

, 06603 . Объяснение:

Уравнение 1:

Уравнение 2:

Уравнение 3:

Сложение членов первого и второго уравнений вместе дает .

Затем добавьте это к третьему уравнению, чтобы исключить члены y и z. Ты получишь .

Это говорит нам о том, что x = 1. Подставьте x = 1 обратно в систему уравнений.

Теперь мы можем решить оставшуюся часть задачи, используя метод подстановки. Мы возьмем третье уравнение и используем его для решения для y.

Подставьте это уравнение y в первое уравнение (или второе уравнение, это не имеет значения), чтобы найти z.

Мы можем использовать это значение z, чтобы найти y

Таким образом, набор решений равен x = 1, y = 2 и z = –5/3.

Сообщить об ошибке

Решить для: 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы можем сначала прибавить к каждой части уравнения, получив

. Затем мы возьмем квадратный корень из обеих частей, чтобы получить

Затем мы вычисляем квадратный корень  который равен .

Сообщить об ошибке

Решите эту систему уравнений для:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножьте первое уравнение на 3 с обеих сторон, затем добавьте второе уравнение, чтобы исключить члены:0002

 

Сообщить об ошибке

Решить для .

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножьте обе стороны на 3:

Распределение:

Вычитание с обеих сторон:

Добавить термины, и вычитайте с обеих сторон:

Добавить термины и вычтите с обеих сторон:

Добавить термины и вычесть с обеих сторон:

. Добавить термины и вычесть с обеих сторон:

. Добавить термины и вычесть с обеих сторон:

0003

Разделите обе стороны на:

Упрощение:

Отчет о ошибке

Решение для:

. Объяснение:

Распределите x через круглые скобки:

x

2 –2x = x ² – 8

Вычтите x ² с обеих сторон:

–9x = –80003

Разделите обе части на –2:

x = 4

 

Сообщите об ошибке

Найдите :.

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала разложите выражение, вытащив:

Разложите выражение в круглых скобках, признав, что это разность квадратов:

Установите каждый член равным 0 и решите для значений x:

 

Сообщить об ошибке

Решите систему уравнений.

Возможные ответы:

Ни один из других ответов не является правильным.

Правильный ответ:

Объяснение:

Изолировать  в первом уравнении.

Подставьте во второе уравнение, чтобы найти .

Подставьте в первое уравнение, чтобы найти .

Теперь у нас есть значения и и мы можем выразить их в виде точки: .

Сообщить об ошибке

Решить для  и .

Возможные ответы:

Невозможно определить.

Правильный ответ:

Объяснение:

 

1-е уравнение:

2-е уравнение:

Вычтите 2-е уравнение из 1-го уравнения, чтобы исключить «2y» из обоих уравнений и получить ответ для x:

3 90 в любое уравнение и решить для:

Сообщить об ошибке

Какое решение этой системы уравнений:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Шаг 1:  Умножьте первое уравнение на -2 и добавьте результат ко второму уравнению. Результат:

  

Шаг 2:  Умножьте первое уравнение на -3 и добавьте результат к третьему уравнению. Результат:

Шаг 3:  Умножьте второе уравнение на -23 и добавьте результат к третьему уравнению. Результат:

 

Шаг 4: найдите z.

 

 

Шаг 5: найдите y.

Шаг 6: найдите x, подставив y=2 и z=1 в первое уравнение.

Сообщить об ошибке

Какое решение этой системы уравнений?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Подставляем уравнение 2. в уравнение 1.,

итак,

Подставляем в уравнение 2:

итак, решение есть.