Примеры интегрирования по частям
Примеры интегрирования по частям подобного состава задают студентам 1, 2 курсов. Данные задания задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись же задачи описывать не будем. По условию заданий нужно или “Найти интеграл”, или “Вычислить интеграл”.
Пример 8. Интеграл находим по правилу интегрирования частями int(u*dv)=u*v-int(v*du). Здесь главное правильно выбрать функции под правило. (Для себя запомните что за dv если возможно выбирают периодические функции или такие, которые при дифференцировании с точностью до множителя дают сами себя – экспонента). В этом интеграле нужно синус внести под дифференциал
Дальнейшее интегрирование достаточно простое и на деталях останавливаться не будем.
Пример 9.Снова нужно применять правило интегрирования по частям u*dv. Здесь имеем произведение периодической функции на экспоненту, поэтому что лучше вносить под дифференциал выбирать Вам. Можно как экспоненту, так и косинус (в каждом варианте получим рекуррентную формулу).
Применяем интегрирование по частям повторно
Пришли к рекуррентной формуле. Если записать интеграл который искали и результат вычислений то получим два подобные слагаемые
Группируем их и находим искомый интеграл
Пример 10. Имеем готовую запись интеграла под правило u*dv. Находим du и выполняем интегрирование
Сводим второй интеграл под табличную формулу и вычисляем его
Пример 11. Обозначим за новую переменную cos(ln(x))=u і найдем du, затем внесением под дифференциал
К интегралу повторно применяем правило интегрирования по частям
Пришли к рекуррентной формуле
с которой и вычисляем неизвестный интеграл
Пример 12. Для нахождения интеграла выделим в знаменателе полный квадрат. Далее сведя знаменатель к известной формуле интегрирования получим арктангенс
Хорошо запомните порядок чередования множителей. Единица разделена на корень из свободного члена фигурирует перед арктангенсом, также этот множитель присутствует в арктангенс перед переменной.
Пример 13. Дело имеем с подобным интегралом, только в знаменателе квадратичная зависимость находится под корнем. Выделяем полный квадрат и сводим под формулу интегрирования, которая дает логарифм
Вот такие бывают примеры на контрольной или тестах. Хорошо запомните основные схемы интегрирования.
Если не можете решить интеграл сами, тогда обращайтесь за помощью.
Готовые решения контрольной по интегрированию
Криволинейный интеграл 2-го рода (криволинейный интеграл по координатам). Формула Грина. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Пусть функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой . Разбив произвольным образом кривую на частей и выбрав в каждой из них произвольно точку , построим интегральные суммы:
где – длины проекций частичных дуг , на соответствующие координатные оси. Тогда пределы:
называются криволинейными интегралами II рода или криволинейными интегралами по координатам.
Сумма интегралов:
обозначается как криволинейный интеграл
Если кривая замкнутая, то обозначают:
Основные свойства криволинейных интегралов II рода
При изменении направления интегрирования интеграл меняет свой знак:
Сказанное верно и для замкнутой кривой, при этом выбор точки начала обхода безразличен. Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (для плоской кривой это движение против часовой стрелки).
Остальные свойства такие же, как и у криволинейного интеграла I рода.
Вычисление криволинейного интеграла II рода
1. Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями
причем перемещение от точки к точке происходит при изменении параметра от до , то
2. В частном случае для плоской кривой
причем перемещение от точки к точке происходит при изменении параметра от до . Криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
3. Если плоская кривая определена уравнением , причем перемещение от точки к точке происходит при изменении от до , то
Формула Грина
Интеграл по замкнутому контуру можно преобразовать в двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром, и наоборот, используя формулу Грина:
где функции и и их частные производные первого порядка должны быть непрерывными в области и на контуре .
При этом обход контура выбирается таким образом, что область остается слева.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Для того, чтобы криволинейный интеграл
не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Если же, кроме того, есть замкнутая кривая, то
Задача 2
где – дуга кривой от точки до точки
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Криволинейный интеграл можно вычислить по формуле:
Получаем:
Ответ:
Задача 4
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
где -контур четырехугольника
Решение
Сделаем чертеж области:
Вычислим криволинейный интеграл непосредственно:
Криволинейный интеграл можно вычислить по формулам:
или
Уравнение прямой :
Уравнение прямой :
Уравнение прямой :
Уравнение прямой :
Искомый интеграл:
По формуле Грина:
Искомый интеграл:
Ответ:
Задача 5
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
для заданной линии (пробегаемой в положительном направлении) и подынтегральных функций и .{-t} dt = 1\). Таким образом, \(\Gamma(x) \rightarrow +\infty\) при \(x \rightarrow +0\).
Из формулы \eqref{ref5} находим
$$
\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) = n(n-1) \ldots 1 \cdot \Gamma(1) = n!.\nonumber
Функция \(n!\) определена для натуральных \(n\). Гамма-функция \(\Gamma(x)\) непрерывна для всех \(x > 0\) и \(\Gamma(n+1) = n!\).
Формула \eqref{ref5} позволяет продолжить функцию \(\Gamma(x)\) с сохранением ее свойств на отрицательные значения \(x\), не равные \(-1, -2, \ldots, -n, \ldots\)
Положим по определению
$$
\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x},\ -1 < x < 0.\label{ref6}
$$
Так как при \(x \in (-1, 0)\) имеем \(x+1 \in (-1, 0)\), то определение \eqref{ref6} корректно. Исследуем поведение \(\Gamma(x)\) при \(x \rightarrow -1+0\). Полагая \(y = x+1\), получаем, что \(x \rightarrow -1+0\) эквивалентно \(y \rightarrow +0\). Поэтому при \(y \rightarrow +0\), используя \eqref{ref6}, получаем
\Gamma(y-1) = \frac{\Gamma(y)}{y-1} \sim -\Gamma(y) \sim -\frac{1}{y} = -\frac{1}{x+1}.{c} \varphi\ d\varphi = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{c}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-\frac{c}{2}\right) =\\= \frac{1}{2} \dfrac{\pi}{\displaystyle\sin \pi\left(\frac{c}{2}+\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{2} \dfrac{\pi}{\displaystyle\cos \frac{c\pi}{2}},\quad |c| < 1.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Проблемы интеграции в исчислении: решения и примеры – видео и стенограмма урока
Мономы
Мономы – это функции, содержащие только один член. Некоторые одночлены – это просто константы, в то время как другие также включают переменные. Ни одна из переменных не имеет степени дроби; все степени целые числа. Например,
Когда вы видите постоянный моном в качестве функции, ответ при интегрировании – наша константа, умноженная на переменную, плюс наша константа интегрирования. Например, если наша функция f ( x ) = 6, то наш ответ будет следующим:
Мы можем записать это в виде формулы следующим образом:
Если наша функция является мономом с такими переменными, как
Правило мощности говорит нам, что если наша функция является мономом, включающим переменные, то нашим ответом будет переменная, возведенная в текущую степень плюс 1, деленная на нашу текущую степень плюс 1, плюс нашу постоянную интегрирования.2, то наш ответ будет таким:
Какой бы ни была наша текущая мощность, нашим ответом будет переменная, возведенная в следующую степень, деленную на следующую степень. В приведенном выше примере наша текущая степень равна 2, поэтому наша следующая степень – 3. В нашем ответе у нас есть 3 для мощности переменной и знаменателя в соответствии с правилом мощности. Если наш моном представляет собой комбинацию константы и переменной, у нас есть правило константы, которое нам поможет.Постоянное правило выглядит так:
Правило константы говорит нам вынести константу из интеграла, а затем интегрировать остальную часть функции. Например, если наша функция f ( x ) = 6 x , то наш интеграл и ответ будут следующими:
Мы переместили 6 за пределы интеграла в соответствии с правилом констант, а затем интегрировали
Тригонометрические функции
Наши тригонометрические функции включают функции косинуса, синуса и секущей. Они следуют этим формулам:
Если вы интегрируете функцию косинуса, вы получите функцию синуса плюс постоянную интегрирования.Интегрирование функции синуса дает вам функцию отрицательного косинуса плюс нашу постоянную интегрирования. Если вы видите квадрат секущей функции, вашим ответом будет функция касательной плюс наша постоянная интегрирования.
Итоги урока
Давайте рассмотрим. Интеграция различных функций включает обращение к формулам для каждого типа функции, а также применение правила константы или степени, когда это необходимо. Правило константы говорит нам вынести константу из интеграла, а затем интегрировать остальную часть функции.Правило мощности говорит нам, что если наша функция является мономом, включающим переменные, то нашим ответом будет переменная, возведенная в текущую степень плюс 1, деленную на нашу текущую степень плюс 1, плюс нашу постоянную интегрирования. Всегда помните о своей постоянной интеграции при интеграции.
Термины для запоминания
- Мономы : функции, содержащие только один член
- Правило мощности : если функция является мономом, включающим переменные, то ответом будет переменная, возведенная в текущую степень плюс 1, деленная на текущую степень плюс 1, плюс постоянная интегрирования
- Правило констант : говорит нам вынести константу из интеграла, а затем интегрировать остальную часть функции
Результаты обучения
По мере продвижения по уроку вы можете развить способность:
- Определить, является ли функция проблемой интеграции
- Определите формулы для обратных чисел, тригонометрических функций, экспонент и одночленов
- Соблюдайте правило мощности и правило константы
Integral Solution – обзор
II.Неопределенные проблемы
Начнем с простой задачи. На скотном дворе живут куры и козы. Всего на скотном дворе 72 ножки. Сколько там кур и коз? Условия приводят к уравнению 4 x + 2 y = 72, где x – количество коз, а y – количество цыплят. Очевидно, есть множество решений для этого уравнения, некоторые из которых мы можем обнаружить, решив для одной переменной через другую, y = (72-4 x ) / 2:
| x | y |
|---|---|
| 10 | 16 |
| 15 | 6 |
| −5 | 46 |
| 2 | −22 + 36et. |
| ⋮ | ⋮ |
Реалии мира не позволяют принимать определенные решения, например, связанные с отрицательными или иррациональными числами. Даже с этими ограничениями существует 19 интегральных решений, соответствующих x = 0, 1, 2,…, 18.
Конечно, количество переменных не ограничивается 2. Рассмотрим следующую задачу: тридцать человек входят в кинотеатр, заплатив в общей сложности 50 долларов. Если мужчины платят по 3 доллара, женщины по 2 доллара и дети по 1 доллару, сколько мужчин, сколько женщин и сколько детей составляют вечеринку?
Если мы положим x равным количеству мужчин, y количеству женщин и z количеству детей, мы получим
x + y + z = 30
и
3x + 2y + z = 50.
Вычитание первого уравнения из второго дает
2x + y = 20ory = 20-2x.
Допустим, что x принимает значения 0, 1, 2,…, 10, дает эти значения для y : 20, 18, 16,…, 0. Тогда любое уравнение дает эти значения для z : 10, 11, 12,…, 20. Есть одиннадцать решений, состоящих из троек (0, 20, 10), (1, 18, 11), (2, 16, 12),…, (10, 0, 20).
Иногда дополнительные условия ограничивают количество решений. В этой задаче можно потребовать, чтобы количество женщин было вдвое больше, чем мужчин, что даст единственное решение (5, 10, 15).В других случаях решений может быть бесконечное количество или даже не решения. Одна известная неопределенная проблема, называемая проблемой Архимеда о рогатом скоте, приводит к семи уравнениям с восемью неизвестными, решение которых дает чрезвычайно большие числа.
Многие задачи этого типа, называемые линейными неопределенными задачами, возникли в Индии. Индуистский математик Брахмагупта (родился в 598 году нашей эры) написал трактат по астрономии, который включал главы, посвященные математике. Эта работа «Брахма-Сфута-Сиддханта» (или «Правильная система Брахмы») включает решения многочисленных линейных неопределенных уравнений.Также найдено неопределенное уравнение второй степени nx 2 + 1 = y 2 , для которого Брахмагупта дает решение
x = 2t / (t2 − n) y = (t2 + n) / (t2 − n),
, где t – любое целое число. Таким образом, если n = 3, имеем 3 x 2 + 1 = y 2 и x = 2 t ( t 2 – 3) и y = ( t 2 + 3) / ( t 2 – 3), что ведет к
| t | x | 50 |
|---|---|---|
| 1 | −1 | −2 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 1 | 2 |
| 10 | 2097 | 10397 |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ |
Он также утверждает, что уравнение nx 2 – 1 = y 2 не имеет интегральных решений для x и y , кроме n – это сумма е квадраты двух целых чисел.Например, 4 x 2 – 1 = y 2 не имеет интегральных решений, тогда как 13 x 2 – 1 = y 2 имеет интегральные решения, потому что 13 = 2 2 + 3 2 . Одно из решений: x = 5, y = 18.
Поиску общих решений способствовало введение символов для определенных величин и операций, которые часто происходят в рамках данной проблемы. Использование этой техники приписывают Диофанту.В течение долгого времени математики не делали различий между проблемами, ведущими к определенным и неопределенным решениям. Сегодня изучающие алгебру сталкиваются почти исключительно с детерминированными задачами.
Следующие результаты полезны при решении некоторых неопределенных проблем.
- Теорема.
Если целые числа a и b являются относительно простыми, тогда существуют целые числа x и y такие, что ax + by = 1.Это следует непосредственно из алгоритма Евклида и приводит к теореме
- .
Существуют целые числа x и y , удовлетворяющие уравнению ax + на = c тогда и только тогда, когда НОД a и b делит c .
Например, в уравнении 14x + 35y = 56 мы находим, что (14, 35) = 7 и 7 делит 56. Разделив, мы получаем эквивалентное уравнение 2x + 5y = 8.Теперь положим 2 x + 5 y = 1 и найдем решение x = −2, y = 1. Тогда x = 8 (−2) = −16 и y = 8. (1) = 8 являются решениями 2 x + 5 y = 8 и, следовательно, 14 x + 35 y = 56. Из частного решения x 0 , y 0 , мы можем найти общее решение x = x 0 + tb и y = y 0 – ta , где t – любое целое число.В нашем случае x = −16 + 35 t и y = 8-14 t .
Диофантовы уравнения, включающие переменные во второй или более высоких степенях, могут оказаться трудными или невозможными для решения. Хотя существует много специальных результатов, общий метод решения любого диофантова уравнения или доказательства отсутствия решений неизвестен. Отметим несколько частных результатов. Известно, что уравнения x 3 + y 3 = z 3 и x 4 + y 4 = z 4 не имеют положительного интегральные решения.
Уравнение x 4 + y 4 = u 4 + v 4 имеет общие решения, которые мы не будем перечислять. Наименьшее интегральное решение: 133 4 + 134 4 = 158 4 + 59 4 .
Доказано, что уравнение ax n + by n = c имеет только конечное число решений, если n ≥ 3.В более общем плане Аксель Туэ (1863–1922) показал, что если функция x и y ,
fx, y = беспокойство + an − 1xn − 1y +… + a1xyn − 1 + a0yn,
с a i целых чисел, нельзя разложить на два полинома с целыми коэффициентами, тогда уравнение f ( x , y ) = c имеет только конечное число решений для n ≥ 3
Уравнение x 2 – cy 2 = 1 известно как уравнение Пелла после Джона Пелла (1610–1685), хотя он не участвовал в его решении.Для любого значения c существует тривиальное решение: x = ± 1, y = 0. Если c – квадратное число, левую часть легко разложить на множители. Если c – неквадратное положительное целое число, то можно доказать, что уравнение всегда имеет нетривиальное решение. Такие решения не обязательно могут быть легко получены методом проб и ошибок. Уравнение x 2 – 61 y 2 = 1 имеет x = 1,766, 319, 049 и y = 226,153,980 в качестве наименьшего положительного нетривиального решения.
Приведенное выше обсуждение предназначено для иллюстрации широкого круга проблем, ведущих к диофантовым уравнениям, большого разнообразия подходов к решению таких проблем и огромных трудностей, которые возникают при решении некоторых из них.
11.2 Неправильные интегралы
Исчисление одной действительной переменной
Автор: Пхенг Ким Винг, |
11.2
|
Перейти к проблемам и решениям
1. Правильные и неправильные интегралы |
Пусть функция f имеет вид
непрерывно на замкнутом ограниченном интервале [ a , b ] ([ a , b ] ограничено, если оба a и b – (конечные) числа).
См. Рис. 1.1. В этих условиях f достигает
как максимальные, так и минимальные значения (см. раздел 1.2.2 Теорема 2.1 ),
f непрерывно на [ a , б ], |
В этом разделе мы собираемся расширить наше исследование определенных интегралов
для включения тех функций, которые являются непрерывными на
неограниченных интервалов и функций, разрывных на конечном числе
очков.Такие определенные интегралы будем называть
несобственными интегралами . Определенные интегралы от функций, непрерывных на замкнутых
ограниченные интервалы называются собственными интегралами .
Когда мы говорим, что f – это
непрерывно на [ a , b ),
мы имеем в виду, что f : (1) непрерывно ( a , b ), (2)
справа-непрерывный на а и
(3) не непрерывный слева (и, следовательно, прерывистый) в точке b .См. Рис. 3,1 , 3,2 ,
и 3,3 . Аналогично, когда мы говорим, что f – это
непрерывно включен ( a , b ]
или ( a , b ).
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
2.Несобственные интегралы по полуоткрытым неограниченным интервалам |
Здесь, |
Конвергенция и расхождение
Это наблюдение мотивирует определения конвергентных и расходящихся несобственных интегралов, как видно на
следующие
определение.
Определение 2.1
Пример 2.1
Определите, соответствует ли каждый из следующих несобственных интегралов сходится. Нарисуйте график в каждом случае.
Решение
а.
г.
EOS
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
3. Несобственные интегралы по полуоткрытым ограниченным интервалам |
Определение 3.1
Пример 3.1
Определите, соответствует ли каждый из следующих несобственных интегралов сходится. Нарисуйте график в каждом случае.
Решение
а.
г.
EOS
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
4. Неправильные точки и четыре основных типа неправильных интегралов |
Каждый из 4 несобственных интегралов, определенных в определениях 2.1 и 3.1 имеет
только 1 неправильный балл. Есть только 1 предел до
ручка для каждого из них. Таким образом, считается, что каждый из них относится к базовому типу .
Несобственный интеграл называется базовым типом
если у него только 1 неправильный балл. Как мы увидим позже в этом разделе, все
другие типы основаны на этих основных. Примечание
что несобственный интеграл – это конечное число, если он существует.
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
5.Неправильные интегралы через интервалы открытия |
{5.1} Часть 3 .
Теперь пусть f будет непрерывным
на открытом ограниченном интервале ( а , б ). См. Рис. 5.4. Определенный интеграл от f сверх ( a , b ) также равен
несобственный интеграл; он имеет 2 неправильных точки: , и б , г.
не только 1.Опять же, есть 3 ситуации для поведения f at или
рядом с каждым из a и b .
Итак, есть 6 ситуаций. Мы показываем ситуацию, когда f не определено в a и b и неограниченный
рядом с ними на рис. 5.4. Несобственный интеграл f Мы собираемся определить одно и то же для всех 6 ситуаций. Пусть c будет
произвольная точка такая, что a < c < b .В
неправильный интеграл f over ( a , b ) определен
быть суммой базового типа
несобственные интегралы f по
полуоткрытые конечные интервалы ( a , c ] и [ c , b ), и сходится, если оба основных типа
сходятся.
Определение 5.1
В каждом случае несобственный интеграл в левой части
сходится тогда и только тогда, когда оба несобственных интеграла основного типа на |
Замечание, что точка c должна быть
выбрана так, чтобы производить вычисления несобственных интегралов на
правый
сторона как можно проще.
Пример 5.1
Определите, является ли интеграл:
сходится. См. Рис. 5.5.
Решение
EOS
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
6.Неосновные типы неправильных интегралов |
Каждый из несобственных интегралов, определенных в определении 5.1 , имеет 2 несобственные точки. Каждый из
неосновной тип. Мы говорим, что
несобственный интеграл относится к неосновному типу , если в нем более 1 неправильного
точки. Есть более 1 лимитов для обработки
для несобственного интеграла неосновного типа.
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
7.Разрушение неправильных интегралов неосновного типа |
Часть 5 показывает необходимость
что несобственные интегралы небазового типа должны быть разбиты на (т. е. выражены как
сумма )
отдельный
Несобственные интегралы основного типа и способы их разрушения. Там мы ломаем
заданные несобственные интегралы на 2 основных типа.
Несобственный интеграл неосновного типа будет разбит на основной
типы.Есть неосновные типы, которые необходимо разбить на
более 2-х основных типов.
Пример 7.1
Определите, сходится ли следующий несобственный интеграл. или расходится. Нарисуйте график.
Решение
EOS
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
8.Проверка определенных интегралов на наличие неправильных точек |
Пример 8.1
Находят:
См. Рис. 8.1.
Интеграл Например 8.1. |
Неправильное решение
EOS
Правильное решение
Подынтегральное выражение 1/ x равно undefined & поэтому прерывается при x = 0.Таким образом:
EOS
Напомним, что основная теорема исчисления применима только
если интервал интегрирования конечен и замкнут в виде
[ a , b ]
и подынтегральное выражение непрерывно на [ a , b ]. В неверном решении теорема имеет вид
неправильно применен к функции
которое не непрерывно в 0 и, следовательно, не непрерывно на [1, 1].
Перейти к проблемам и решениям Вернуться к К началу страницы
9. Территории безграничных районов |
Область под графиком у = 1/ x , над осью x ,
и справа от вертикальной линии x = 1,
окрашены на рис.9.1,
продолжается до бесконечности в правой части. Это безграничный регион. Его площадь
найдено в Пример 2.1.a и бесконечно. Это
неограниченная область имеет бесконечную площадь.
Область под графиком у = 1/ x 2 , над осью x ,
и справа от вертикальной линии x = 1,
окрашенные на рис. 9.2,
продолжается до бесконечности в правой части.Это безграничный регион. Его площадь
находится в Пример 2.1.b и равен 1. Это
неограниченная область имеет конечную площадь.
{9.1} Пример 5.1 .
В общем, некоторые неограниченные области имеют бесконечные области, в то время как
у других есть конечные области.Это правда ли регион
простирается до бесконечности по оси x или
по оси y или по обеим, и независимо от того,
простирается до бесконечности с одной или обеих сторон
ось.
Вернуться к началу страницы
1. Определите, является ли каждое из следующих неправильных интегралы сходятся и находят его значение, если оно сходится.
Решение
г. Используя метод интегрирования по частям, пусть u = ln x и дв = dx , так что du = dx / x и v = x . Таким образом:
сходится к 1.
Вернуться к началу страницы
2.
Решение
а.
Вернуться к началу страницы
3. Оценить каждый из следующих несобственных интегралов или покажите, что он расходится.
Решение
г. Используя метод интеграции по частям, пусть u = x и dv = e x dx , так что du = dx и v = e x . Следовательно:
эл. У нас:
Вернуться к началу страницы
4.
а. Нарисуйте кривую y = e x .
Заштрихуйте область, которая находится выше оси x , ниже
кривая y = e x , а слева от оси
y .
г. Найдите область затененного
область.
Решение
а.
Вернуться к началу страницы
5. Докажите, что для а > 0, несобственный интеграл:
Решение
Если p = 1, то имеем:
Вернуться к началу страницы Вернуться К содержанию
Учебное пособие по базовой интеграциис рабочими примерами – iGCSE & A Level
Базовая интеграция
Из этого туториала Вы узнаете:
- Что такое интеграция.
- Его отношение к дифференциации.
- Почему процесс, обратный дифференциации, становится интеграцией.
- Как набор специальных вопросов поможет вам освоить тему
Интеграция – это противоположность дифференциации. Другими словами, если вы обращаете вспять процесс дифференциации, вы просто выполняете интеграцию. Следующий пример показывает это:
y = x 2 => dy / dx = 2x
Итак, ∫ (dy / dx) dx = ∫ 2x dx = x 2
∫ и dx идут рука об руку и указывают на интеграцию функции с соответствующим x.Таким же образом ∫ s dt и указывают интегрирование s относительно dt. Результат интегрирования называется интегралом .
Теперь рассмотрим следующие три примера:
y = x 2 => dy / dx = 2x
y = x 2 + 3 => dy / dx = 2x
y = x 2 -5 => dy / dx = 2x
Итак, при интеграции возникает проблема:
Мы не уверены в точном решении ∫ 2x dx; это может быть любой из трех указанных выше: y = x 2 или y = x 2 + 3 или y = x 2 – 5
Чтобы иметь дело с неопределенностью , мы обозначим базовое интегрирование следующим образом:
∫ (dy / dx) dx = y + c, где c – произвольная постоянная.
Итак, что касается приведенного выше примера,
∫ 2x dx = x 2 + c, где c может быть 0, 3 или -5
c показывает неопределенность; он может принимать любое значение, которое не определено на момент интеграции. Поэтому результат называется неопределенным интегралом .
Формула интегрирования: ∫ x
n dx = x n + 1 / n + 1 + cНапример, 1
∫x dx = x 1 + 1 /1 + 1 + c
= х 2 /2 + с
E.г.2
∫x 2 dx = x 2 + 1 /2 + 1 + c
= х 3 /3 + с
Пример: 3
∫a dx = ∫a (1) dx
= a ∫ x 0 dx
= a x 0 + 1 /0 + 1 + c
= ах + с
Пример: 4
∫ x 1/2 dx
= х (1/2 + 1) / (1/2 + 1) + с
= х 3/2 /3/2 + с
= 2x 3/2 /3 + c
E.г.5
∫ (x + 2) 2 dx
∫ (x 2 + 4x + 4) dx
= x 3 /3 + 4x 2 /2 + 4x + c
= x 3 /3 + 2x 2 + 4x + c
Пример: 6
∫ (х + 2) / √x dx
∫ (x / √x + 2 / √x) dx
∫ (x 1/2 + 2x -1/2 dx
= x 3/2 /3/2 + 2x 1/2 /1/2 + c
= 2x 3/2 /3 + 4x 1/2 + c
Определенный интеграл
Общее интегрирование дает нам константу для обозначения неопределенности числового значения, которое может быть добавлено или исключено из результата.В определенном интеграле нет места для постоянной, так как интегрирование выполняется между определенным диапазоном переменной.
a ∫ b f ‘(x) dx = [f (x) + c] a b
= (f (b) + c) – (f (a) + c)
= f (б) – f (а)
Константа исчезает; это определенный интеграл .
Например, 1
2 ∫ 4 3x 2 dx
= [3x 3 /3] 2 4
= [x 3 ] 2 4
= 4 3 – 2 3
= 64–8
= 56
E.г.2
0 ∫ 2 (x + 1) 2 dx
0 ∫ 2 (x 2 + 2x + 1) dx
= [x 3 /3 + 2x 2 /2 + x] 0 2
= [2 3 /3 + 2 2 + 2] – [0 3 /3 + 0 2 + 0]
= [8/3 + 4 + 2] – [0]
= 8,6
Определение площади под кривой
Площадь между кривой и осью x – это определенный интеграл функции кривой в заданном диапазоне x.
Площадь =
a ∫ b f (x) dxНапример, 1
Найдите под кривой, f (x) = x 2 , для -1
Площадь = -1 ∫ 2 x 2 dx
= [x 3 /3] -1 2
= [2 3 /3] – [-1 3 /3]
= 8/3 – -1/3
= 3
Пример: 2
Найдите под кривой, f (x) = x (x – 2) (x + 2), для -1
Площадь = -1 ∫ 1 x (x – 2) (x + 2) dx
Площадь = -1 ∫ 1 x 3 – 4x dx
= [x 4 /4 – 4x 2 /2] -1 1
= [x 4 /4 – 2x 2 ] -1 1
= [1 4 /4 – (2) 1 2 – (-1) 4 /4 – (2) (- 1) 2 ]
= 0
Ответ определенно неправильный, потому что между кривой и осью абсцисс явно есть область.
Чтобы избежать ошибки, мы должны интегрировать его в две части: от x = -1 до x = 0 и от x = 0 до x = 1.
Площадь левой части = -1 ∫ 0 x (x – 2) (x + 2) dx
Площадь левой части = -1 ∫ 0 x 3 – 4x dx
= [x 4 /4 – 4x 2 /2] -1 0
= [x 4 /4 – 2x 2 ] -1 0
= [0 4 /4 – (2) 0 2 – (-1) 4 /4 – (2) (- 1) 2 ]
= 7/4
= 1.75
Площадь правой части = 0 ∫ 1 x (x – 2) (x + 2) dx
Площадь правой части = 0 ∫ 1 x 3 – 4x dx
= [x 4 /4 – 4x 2 /2] 0 1
= [x 4 /4 – 2x 2 ] 0 1
= [1 4 /4 – (2) 1 2 – (0) 4 /4 – (2) (0) 2 ]
= -7/4
= -1.75
Поскольку площадь не может быть отрицательной, действительное значение равно 1,75.
Итак, общая площадь под кривой = 2 X 1,75 = 3,5
Площадь под кривой – Интерактивный
В следующем апплете площадь под кривой, y = x 2 – 2x + 1, вычисляется для области, охватываемой a ≤ x ≤ b. Вы можете изменить положение ползунков, чтобы изменить a и b, чтобы его увидеть.
Область между линией и кривой – интерактивный
E.г
Найдите площадь синей области между кривой y = x (x – 2) и линией y = x.
Прежде всего, давайте найдем точку пересечения кривой и прямой.
В точке пересечения,
х (х-2) = х
х 2 – 2x -x = 0
х 2 – 3х = 0
х (х – 3) = 0
х = 0 или х = 3
Область ниже оси x – синяя область = 0 ∫ 2 x 2 – 2x dx
= [x 3 /3 – x 2 ] 0 2
= 4/3
Площадь под линией между x = 0 и x = 3 = 0 ∫ 3 x dx
= [x 2 /2] 0 3
= 9/2
Площадь под кривой между x = 2 и x = 3 = 2 3 ∫ x 2 – 2x dx
= [x 3 /3 – x 2 ] 2 3
= 4/3
Итак, площадь заштрихованной синим области = 9/2 – 4/3 + 4/3 = 4.5
В следующем апплете область между линией и кривой может быть вычислена для 0 ≤ x ≤ 2, в которой они пересекаются.
Площадь прямоугольника
Уравнение линии: y = a
Итак, площадь под линией, образующей прямоугольник, = 0 b ∫ a dx
Площадь = [ax] 0 b
Площадь = ab
Площадь = длина X ширина
Площадь треугольника
Уравнение линии: y = mx, где m – градиент.
Итак, площадь под линией, образующей треугольник, = 0 b ∫ mx dx
Площадь = [mx 2 /2] 0 b
Площадь = mb 2 /2 – m 0 /2
Площадь = mb 2 /2
Поскольку m, градиент, = h / b
Площадь = h / b * b 2 /2
Площадь = 1/2 ч * b
Площадь = 1/2 * высота * основание
Ad: Автор этого сайта предлагает полностью интерактивный учебник по дифференциации
Площадь трапеции
Уравнение линии: y = mx + a, где m – градиент, а a – точка пересечения с y.
Площадь под линией трапеции = 0 h ∫mx + a dx
= [mx 2 /2 + ax] 0 h
= mh 2 /2 + ah
= (mh 2 + 2ah) / 2
= h / 2 [mh + 2a]
= h / 2 [(b-a) / h * h + 2a]
= h / 2 [b – a + 2a]
= h / 2 [b + a]
Площадь = высота / 2 [сумма двух параллельных сторон]
Теперь, когда вы прочитали это руководство, вы также найдете следующие очень полезными:
Line Integral – Определение и примеры решений
В расчетах линейный интеграл представлен как интеграл, в котором функция должна быть интегрирована вдоль кривой.Линейный интеграл также известен как интеграл по путям, криволинейный интеграл или интеграл по кривой. Линейные интегралы имеют несколько применений, например, в электромагнитной сфере. Линейный интеграл используется для оценки работы, совершаемой над заряженной частицей, движущейся вдоль некоторой кривой в силовом поле, определяемом векторным полем. В классической механике линейный интеграл используется для вычисления слова, выполняемого над массой m, движущейся в гравитационном поле. В этой статье мы изучим линейный интеграл, линейный интеграл векторного поля, формулы линейного интеграла и т. Д.
(изображение будет скоро загружено)
Определение интеграла линии
Интеграл линии – это интеграл, функция которого должна быть интегрирована вдоль некоторой кривой в системе координат. Интегрируемая функция может быть представлена в виде скалярного или векторного поля. Мы можем интегрировать как скалярную функцию, так и векторную функцию вдоль кривой. Значение интеграла векторной линии можно оценить, суммируя все значения точек на векторном поле.
Линейный интеграл векторного поля
Линейный интеграл (также известный как интеграл по путям) – это интеграл от некоторой функции вместе с кривой. Можно также включить скалярную функцию вдоль кривой, получая, например, массу проволоки из ее плотности. Мы также можем включить определенные типы векторных функций вдоль кривой. Эти векторные функции имеют одинаковый размер ввода и вывода, и мы обычно определяем их как векторные поля.
Линейный интеграл векторного поля также интерпретируется как количество работы, которую силовое поле выполняет над частицей, когда она движется по кривой.{2} t} \] dt.
Следовательно, мы получаем линейный интеграл = 15.87
2. Вычислите \ [\ int_ {c} \] 4x³ ds, где C – отрезок прямой от (1,2) до (-2, -1).
Решение: вот параметризация кривой
\ [\ overline {r} \] (t) = (1-t) (1, 2) + t (-2, -1)
(1- 3t, 2 – 3t)
For, 0≤ t ≤ 1.
Примечание: мы меняем направление кривой, и это также изменит параметризацию кривой, поэтому мы можем гарантировать, что мы начинаем / заканчиваем в правильном точка.{1} \]
= 12 \ [\ sqrt {2} \] (- 5/4)
-15 \ [\ sqrt {2} \] = -21,213
Время викторины
1. Строка Для вычисления используется интеграл
Сила
Длина
Площадь
Объем
2. Интегральная форма связи потенциала и поля задается линейным интегралом.
True
False
Интегралы от экспоненциальных и логарифмических функций
| Функция | Интегральный |
| линкс | x ∙ lnx – x + c |
| logx | (x ∙ lnx – x) / ln (10) + c |
| логакс. | x (logax – logae) + c |
| ex | пр. + C |
| эк ∙ x | 1 / k ∙ ek ∙ x + c |
| ax | топор / lna + c |
| xn | 1 / (n + 1) ∙ xn + 1 + c, где | n | ≠ 1 |
| 1 / x = x-1 | лин | x | + c |
| √x = x1 / 2 | 2/3 ∙ (√x) 3 + c = 2/3 ∙ x3 / 2 + c, где c – постоянная |
Пример 1: Решить интеграл экспоненциальной функции ∫e x3 2x 3 dx
Решение :
Шаг 1: задана функция ∫e x ^ 3 3x 2 dx
Шаг 2: Пусть u = x 3 и du = 3x 2 dx
Шаг 3: Теперь у нас есть: ∫e x ^ 3 3x 2 dx = ∫e u du
Шаг 4: В соответствии со свойствами, перечисленными выше: ∫e x dx = e x + c, поэтому ∫e u du = e u + c
Шаг 5: Так как u = x 3 , теперь у нас есть ∫e u du = ∫e x3 dx = e x ^ 3 + c
Итак, ответ: e x ^ 3 + c
Пример 2: Интегрировать
.Решение : Сначала разделите функцию на две части, чтобы мы получили:
Пример 3: Интегрировать ∫ ln x dx .
Решение :
Пусть
u = ln u
и
dv = dx = (1) dx
так, чтобы:
du = 1 / x dx
и
v = х
Следовательно:
∫ лин x dx
= x ln x – ∫x * 1 / x dx
= x ln x – ∫1dx
= x ln x – x + C
Пример 4: Интегрировать.
Решение :
Используйте u-замену. Пусть u = 3 + ln x
Итак, du = 1 / x dx .
Подставив в исходную задачу получим:
ИНТЕГРАЦИЯ ПО частям МЕТОД: РЕШЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: ПРИМИТИВЫ
Содержимое этой страницы:
Введение
Когда подынтегральное выражение образовано продуктом (или подразделением, которое мы можем рассматривать как продукт) рекомендуется использовать метод, известный как интеграция по частям , который заключается в применении следующей формулы:
Несмотря на то, что это простая формула, ее необходимо применять правильно.4} {4} $$
Мы увеличили показатель степени, и это может означать шаг назад в процессе.
Нечто подобное происходит с дробями (например, 1 / x ). Если взять dv = 1 / x , получим v = log | x | , и, вероятно, закончится более сложным процессом интеграции.
Как правило, мы будем называть и все степени и логарифмы; и дв экспонент, дроби и тригонометрические функции (круговые функции).
Не изменяйте нашему выбору: Иногда нам нужно применить метод более одного раза к одному и тому же интегралу. Когда это происходит, нам нужно позвонить по номеру u и получить результат du из первый интеграл, к которому мы применили метод. То же самое относится к дв . Если мы этого не сделаем, потому что выберем один вариант или другое включает интеграцию или дифференциацию, мы отменим предыдущий шаг и не сможем двигаться дальше.
Циклические интегралы: Иногда после применения интегрирования по частям дважды мы должны выделить саму интегральную из равенства, которое мы получили, чтобы решить эту проблему. Примером этого является упражнение 10 .
Интегральный 1
Показать решение
Примечания: важно выбрать
$$ x = u \ rightarrow dx = du $$
, потому что таким образом мы уменьшаем степень мономов (с 1 до 0).x} dx $$
Интегральный 2
Показать решение
Примечания: Как видно из упражнения ранее, не имеет значения, cos (x) in u или dv (за счет того, что получаем синус ). Выбираем u = x , чтобы уменьшите его степень (и тогда x исчезнет).2} {2} $$
Интегральный 3
Показать решение
В этом интеграле нет явного произведения функций, но мы не знаем, что такое примитивная функция логарифмов, поэтому мы ее дифференцируем, таким образом u = ln (x) .
Интегральный 4
Показать решение
В наших интересах выбрать u = x 2 (для уменьшения показателя степени) но затем мы вынуждаем, чтобы dv = ln (x) , и получение v происходило не сразу.Так что выберем другой случай
Интегральный 5
Показать решение
Если мы выберем dv = ln (x) , мы не сможем легко получить v . Лучше выбрать u = ln (x)
Интегральный 6
Показать решение
Обычно мы выбираем u = x 2 , чтобы уменьшить показатель степени, но тогда мы получим dv = arctan (x) , и мы не знаем примитив из arctan .Итак, выберем
Теперь нам нужно вычислить интеграл от рациональной функции. Чтобы упростим выражение, которое мы собираемся разделить на многочлены:
$$ \ frac {P (x)} {Q (x)} \ rightarrow P (x) = Q (x) C (x) + R (x) $$
, где C (x) – частное, а R (x) – остаток.
Разделив выражение на Q (x) , получим
$$ \ frac {P (x)} {Q (x)} = C (x) + \ frac {R (x)} {Q (x)} $$
Мы будем использовать эту разбивку в интеграле:
Разрешаем интеграл:
Затем
Примечание: Мы убрали абсолютное значение от логарифма, потому что всегда имеет положительный аргумент.
Интегральный 7
Показать решение
Каждый раз, когда мы интегрируем или дифференцируем cos (x) , получаем ± sin (x) . Так что неважно, u или dv . Тем не мение, это лучше выбрать u = x 2 , потому что, когда мы дифференцируем, мы уменьшаем показатель степени: du = 2x .Выберем dv = cos (x) .
Мы интегрируемся снова части, но у нас есть выбрать u = x , в противном случае вернемся к предыдущему шагу:
Затем,
Интегральный 8
Показать решение
Мы выбираем u = x , чтобы уменьшить показатель степени (и таким образом x исчезнет).2 (x)} $$
немедленно:
Интегральный 9
Показать решение
Аналогично тому, что происходит с sin (x) и cos (x) , когда мы дифференцировать или интегрировать e x мы получаем e x , поэтому Безразлично, у или дв .Если мы выберем экспоненциально должно быть и , этот множитель всегда будет оставаться в интеграле и, кроме того, моном (степень) будет dv , и увеличим его степень при расчете против . Итак, мы выберем dv = e x и одночлены полином как и , чтобы уменьшить показатель степени до константы.
Интегральный 10
Показать решение
В этом примере не имеет значения, какие факторы u и dv , потому что при объединении и дифференциации e -x получаем -e -x и когда интегрирование и дифференцирование cos (x) получаем ± sin (x) .Это циклический интеграл, в котором мы должны применить интеграцию по частям дважды (с теми же вариантами выбора, чтобы мы не идем назад) и мы должны изолировать интеграл из полученного математического выражения.
Интегральный 11
Показать решение
У нас есть экспонента, снова умноженная на синус, поэтому мы против циклической интеграции, потому что мы должны применять интеграция по частям обрабатывается дважды (всегда с одним и тем же выделение, чтобы мы не отступали ни на шаг) и изолируем интеграл от выражение получим.
Мы можем выбрать u и dv по своему усмотрению.
Интегральный 12
Показать решение
Мы выбираем полином и , чтобы уменьшать показатели, пока они не исчезнут.
Интегральный 13
Показать решение
Интегральный 14
Показать решение
Каждый раз, когда мы дифференцируем или интегрируем экспоненты получаем ту же экспоненту, но умноженную на константу (или обратное значение указанной константы), поэтому значение u или dv не имеет значения.Мы выбираем в зависимости от другого фактора и, увидев, что это моном, мы делаем u = x 2 , чтобы уменьшить показатель степени:
Интегральный 15
Показать решение
Интеграл от арксинуса можно считать прямым, но мы можем также вычислите его примитив, используя интегрирование по частям:
Интегральный 16
Показать решение
Интегральный 17
Показать решение
Это циклический интеграл, в котором мы должны применить интеграцию по частям дважды (с теми же вариантами выбора):
Интегральный 18
Показать решение
Мы должны применить интеграцию по частям трижды (с теми же вариантами выбора):
Matesfacil.