Примеры решений вычислить неопределенный интеграл: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Вычислить неопределенный интеграл. – примеры, решения

Пример 1:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Для вычисления был использован табличный интеграл

Пример 10:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Вычислить неопределенный интреграл:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Интегралы вида

где m, n, p – рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.

Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.

1. Если p – целое число, то используется подстановка

где k – наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

2. Если – целое число, то используется подстановка

где s – знаменатель дроби p.

3. Если – целое число, то используется подстановка

где s – знаменатель дроби p.

Определим для нашей функции.

m = -2; p = ; n = 2

p = – не целое
– не целое
– не целое.

Вывод: использовать подстановки нельзя

Это четвертый случай. Такой интеграл является не берущимся.

Пример 18:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Вычислить неопределенный интерграл:

Решение от преподавателя:

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:

Пример 20:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти неопределенный интеграл

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Представим подынтегральное выражение в виде:
= + dx
Представляя выражение x^2+2*x+10 как переменную t, получаем:

Выделим полные квадраты:

Вычисляем табличный интеграл вида:

=

Пример 25:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти неопределённый интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти неопределённый интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 34:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 36:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 37:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 38:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 39:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 42:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 43:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 47:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:
-2x+4 = A(x+4) + Bx
x: A + B = -2
1: 4A = 4
Решая ее, находим:
A = 1;B = -3;

Вычисляем табличный интеграл:

Вычисляем табличный интеграл:

Ответ:
=ln(x)-3ln(x+4) + C

Пример 48:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 50:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 51:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 52:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 53:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 54:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 55:

Найдите неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 56:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 57:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 58:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 59:

Найдите неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 60:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 61:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 62:

Найти неопределенные интегралы методом подстановки:

Решение от преподавателя:

Пример 63:

Найдите неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 64:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 65:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 66:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 67:

Найдите неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 68:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 69:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 70:

Найти интегралы методом интегрирования по частям:

Решение от преподавателя:

Пример 71:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 72:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 73:

Найти неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 74:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 75:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 76:

Найти неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 77:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 78:

Найти интегралы от рациональных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 79:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 80:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 81:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 82:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 83:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 84:

Найти неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 85:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 86:

Найти интеграл от рациональной функций:

Решение от преподавателя:

Пример 87:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 88:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 89:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 90:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 91:

Вычислить следующий интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 92:

Вычислить неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 93:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 94:

Вычислить неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 95:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 96:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 97:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 98:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 99:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 100:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 101:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 102:

Вычислить неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 103:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 104:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 105:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 106:

Вычислить неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 107:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 108:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 109:

Вычислить неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 110:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 111:

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 112:

Вычислить неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 113:

Вычислить неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 114:

Вычислить неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 115:

Вычислить неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 116:

Вычислить неопределенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 117:

Найти неопределенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 118:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 119:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 120:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 121:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 122:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 123:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 124:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 125:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 126:

Найти неопределённый интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 127:

Найти неопределённый интеграл:

Решение от преподавателя:

Примеры решения типовых задач по интегральному исчислению функции одной переменной

Задача 25. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Если интеграл не может быть вычислен непосредственно по формулам интегрирования элементарных функций, то во многих случаях введение новой переменной T позволяет преобразовать подынтегральное выражение f(X) DX к такому виду, интегрирование которого можно провести либо по таблице, либо известным приемом.

Независимую переменную X заменим по формуле

Где – дифференцируемая функция.

Затем определим

И .

Полученная формула носит название формулы замены переменной в неопределенном интеграле.

В данном примере, согласно методу замены переменной (подстановки) получаем

Задача 26. Вычислить интеграл

Решение. Вычислим данный интеграл методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям

Предполагает, что в правой части может быть вычислен легче, чем исходный интеграл.

Приведем следующие рекомендации для применения метода интегрирования по частям.

1. Понижение степени многочлена PN(X) в интеграле типа:

Обозначение многочлена PN(X) через U приводит к понижению степени многочлена в .

2. Избавление от трансцендентных функций в интегралах типа:

В результате обозначения трансцендентных функций через U в эти функции будут отсутствовать.

В данном примере через

U целесообразно обозначить трансцендентную функцию . В итоге получим:

Задача 27. Вычислить интеграл

Решение. В данном примере интегрирование по частям применяют несколько раз:

Задача 28. Вычислить определенный интеграл

Решение. Сделаем подстановку. Пусть . Тогда 2х+5=Z3; 2Dx=3Z3Dz; Dx=3/2Z2Dz. Определим пределы интегрирования для переменной Z. При Х=-2 получаем Z=1, при Х=11 получаем Z=3.

Выразив подынтегральное выражение через Z и переходя к новым пределам получим

Так как разность кубов , то, сократив на знаменатель, получим

Задача 29. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса:

(1)

Решение. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой Y=F(X) между точками с абсциссами Х=а и Х=B, вычисляется по формуле

(2)

Из уравнения эллипса (1) находим . Производная . Используя формулу (2), получим

Чтобы вычислить последний интеграл, положим . Тогда Z=0 при Х=0 и Z=p/4 при Х=2. Имеем

Задача 30. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при Х=1, т. е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функция F(X) интеграла имеет бесконечный разрыв при Х=с, где А<С<B, а во всех других точках отрезка [

A,B] непрерывна, то по определению полагают:

(*)

Если оба предела в правой части(*) существуют, то интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл называется расходящимся.

Следовательно, данный интеграл – сходящийся.

Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (A,B).

< Предыдущая		Следующая >

5.1: Неопределенный интеграл – Mathematics LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 54786

Майкл Коррал
Schoolcraft College

Производные появляются во многих физических явлениях, таких как движение объектов. Вспомним, например, что, зная функцию положения \(s(t)\) объекта, движущегося по прямой линии в момент времени \(t\), можно найти скорость \(v(t)=s'(t )\) и ускорение \(a(t)=v'(t)\) объекта в момент времени \(t\) путем взятия производных. Предположим, что ситуация была обратной: если задана функция скорости, как бы вы нашли функцию положения, или задана функция ускорения, как бы вы нашли функцию скорости?

В этом случае вычисление производной не поможет, так как нужен обратный процесс: вместо дифференцирования нужен способ выполнения антидифференцирования , т.е. вычисление первопроизводной .

Дифференциация относительно проста. Вы изучили производные многих классов функций (например, многочлены, тригонометрические функции, экспоненциальные и логарифмические функции), и с помощью различных правил дифференцирования вы можете вычислять производные сложных выражений, включающих эти функции (например, суммы, степени, произведения, частные) .

Однако антидифференциация — это отдельная история. 92 + С\) — производная которой также оказывается \(f(x) = 2x\)? К счастью, ответ отрицательный:

Чтобы доказать это, рассмотрим функцию \(H(x) = F(x) – G(x)\), определенную для всех \(x\) в общей области \(I\) функции \(F\) и \(G\). Поскольку \(F'(x) = G'(x) = f(x)\), то

\[H'(x) ~=~ F'(x) ~-~ G'(x) ~=~ f(x) ~-~ f(x) ~=~ 0\] для всех \(x\ ) в \(I\), поэтому \(H(x)\) является постоянной функцией на \(I\), как было показано в разделе 4.4 о теореме о среднем значении. Таким образом, существует константа \(С\) такая, что 92 + C\), где \(C\) — константа общего положения. Таким образом, функции имеют не одну первообразную, а целое

семейство первообразных, отличающихся только константой. Следующие обозначения облегчают выражение всего этого:

Большой S-образный символ перед \(f(x)\) называется знаком интеграла . Хотя неопределенный интеграл \(\int f(x)~\dx\) представляет всех первообразных \(f(x)\), этот интеграл можно рассматривать как отдельный объект или функцию в своем собственном праве, чья производная равна \(f'(x)\):

Вам может быть интересно, что представляет собой знак интеграла в неопределенном интеграле и почему включена бесконечно малая \(\dx\).

Это связано с тем, что представляет бесконечно малая величина: бесконечно малая «часть» количества. Для первообразной \(F(x)\) функции \(f(x)\) инфинитезимальная (или дифференциальная) \(d\!F\) определяется формулой \(d\!F = F'( х)\,\dx = f(x)\,\dx\), и поэтому

\[F(x) ~=~ \int\,f(x)~\dx ~=~ \int\,d\!F ~.\] Таким образом, знак интеграла действует как символ суммирования: он суммирует бесконечно малые «кусочки» \(d\!F\) функции \(F(x)\) в каждом \(x\), так что в сумме они составляют всю функцию \(F(x)\). Думайте об этом как о обычном символе суммирования \(\Sigma\), используемом для

дискретных сум; знак интеграла \(\int\) вместо этого принимает сумму континуума бесконечно малых величин.

Нахождение (или вычисление ) неопределенного интеграла функции называется интегрированием функции, а интегрированием является антидифференцированием.

Пример \(\PageIndex{1}\): antideriv1

Добавьте сюда текст.

Решение

Вычислить \(\displaystyle\int\,0~\dx\).

Решение:

Поскольку производная любой постоянной функции равна 0, то \(\int\,0~\dx = C\), где \(C\) — общая константа.

Примечание. С этого момента \(C\) будет просто считаться универсальной константой без необходимости каждый раз указывать это явно.

Пример \(\PageIndex{1}\): antideriv2

Добавьте сюда текст.

Решение

Вычислить \(\displaystyle\int\,1~\dx\).

Решение: Поскольку производная \(F(x) = x\) равна \(F'(x) = 1\), то \(\int\,1~\dx = x + C\). 9{-1}\), то можно проинтегрировать любую степень \(x\):

Следующие правила для неопределенных интегралов являются прямым следствием правил для производных:

Приведенные выше правила легко доказать. Например, первое правило является простым следствием постоянного кратного правила для производных: если \(F(x) = \int\,f(x)~\dx\), то

\[\ddx(k\,F(x)) ~=~ k\,\ddx(F(x)) ~=~ k\,f(x) \quad\Стрелка вправо\quad \int\,k\ ;f(x)~\dx ~=~ k\,F(x) ~=~ k\,\int\,f(x)~\dx ~. \quad\checkmark\] Остальные правила доказываются аналогично и остаются в качестве упражнений. Повторное использование приведенных выше правил вместе с формулой мощности показывает, что любой многочлен можно интегрировать почленно — фактически таким образом можно интегрировать любую конечную сумму функций:2 + 100\), измеряется в футах.

Решение: Когда объект падает в момент времени \(t=0\), единственной силой, действующей на него, является сила тяжести, заставляющая объект двигаться вниз с известной постоянной скоростью 32 фута/с ² . Таким образом, ускорение объекта \(a(t)\) в момент времени \(t\) равно \(a(t) = -32\). Если \(v(t)\) скорость объекта в момент времени \(t\), то \(v'(t) = a(t)\), что означает, что

\[v(t) ~=~ \int a(t)~\dt ~=~ \int -32~\dt ~=~ -32t ~+~ C\] для некоторой константы \(C\). Константа \(C\) здесь равна 92 ~+~ 100\] для всех \(t \ge 0\).

Формула для \(s(t)\) в примере

Пример \(\PageIndex{1}\): гравитация

Добавьте сюда текст.

Решение

можно обобщить следующим образом: обозначим начальное положение объекта в момент времени \(t=0\) через \(s_0\), пусть \(v_0\) – начальная скорость объекта (положительная, если брошено вверх, отрицательное, если его бросают вниз), и пусть \(g\) представляет собой (положительное) постоянное ускорение под действием силы тяжести. По первому закону Ньютона единственное ускорение, сообщаемое телу 92 + v_0(0) + С = С\). Подводя итог:

Обратите внимание, что единицы измерения не указаны — они просто должны быть согласованы. В метрических единицах \(g = 9,8\) м/с ² , а \(g = 32\) фут/с ² в английских единицах.

Представление о неопределенном интеграле как о сумме всех бесконечно малых «частей» функции — с целью извлечения этой функции — обеспечивает удобный способ интегрирования дифференциального уравнения для получения решения. Ключевая идея состоит в том, чтобы преобразовать дифференциальное уравнение в 9{kt}\) для некоторой константы \(A\). C\) — константа. Обратите внимание, что это формула радиоактивного распада из раздела 2.3.

Пример \(\PageIndex{1}\): intidealgas

Добавьте сюда текст.

Решение

Вспомним из раздела 3.6 уравнение дифференциальных

\[\dfrac{\dP}{P} ~+~ \dfrac{\dV}{V} ~=~ \dfrac{\dT}{T}\] относительно давления \(P\), объема \( V\) и температура \(T\) идеального газа. Проинтегрируйте это уравнение, чтобы получить исходный закон идеального газа \(PV = RT\), где \(R\) – константа. .

Решение: Интегрирование обеих частей уравнения дает 9С\) является константой.

Формулы интегрирования в этом разделе зависели от того, что уже были известны производные определенных функций, а затем «работали в обратном направлении» от их производных для получения исходных функций. Без этих предварительных знаний вы были бы сведены к догадкам или, возможно, к распознаванию паттерна из какой-то производной, с которой вы столкнулись. Вскоре будет представлен ряд методов интегрирования, но есть много неопределенных интегралов, для которых не существует простой замкнутой формы (например, \(\int e^{x^2}\,\dx\) и \(\int \sin( х^2)\,\dx\)). 2}{ 2g}\).

В этом случае предполагается, что функция \(f\) дифференцируема в точке \(x\). Если нет, то точки, в которых \(f\) не дифференцируемы, можно исключить, не влияя на интеграл.
Доказательство и более полное обсуждение всего этого см. в главах 1–2 в Knopp, MI, Theory of Area , Chicago: Markham Publishing Co., 1969. В книге делается попытка точно определить, что на самом деле означает «площадь». , включая прямоугольник (показывая согласие с интуитивным понятием ширины, умноженной на высоту).↩
Теорема может быть доказана для более слабого условия, что \(f\) просто непрерывно на \(\ival{a}{b}\). См. стр. 173-175 у Parzynski, W.R. and P.W. Zipse, Introduction to Mathematical Analysis , New York: McGraw-Hill, Inc., 1982. ↩
Создан физиком П.А.М. Дирак (1902-1984), получивший Нобелевскую премию по физике в 1933 году. Функция не является ни вещественной, ни непрерывной в \(x=0\). «График» на рисунке [fig:dirac], возможно, вводит в заблуждение, поскольку \(\infty\) не является фактической точкой на оси \(y\). Одна из интерпретаций состоит в том, что \(\delta\) представляет собой абстракцию мгновенного импульса или всплеска из что-то , перед ним и после него ничего . Чтобы узнать больше об этой увлекательной и полезной функции, см. §15 в Dirac, P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics , 4-е изд., Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press, 1958.↩
См. стр. 140-141 в Buck, RC, Advanced Calculus , 2nd ed., New York: McGraw-Hill Book Co., 1965. ↩

Эта страница под названием 5.1: The Indefinite Integral распространяется под лицензией GNU General Public License 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Майклом Корралом.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Майкл Коррал
Лицензия
GNU GPL
Показать страницу TOC
нет
Теги

1.1: Интегралы как решения – Mathematics LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 332

Йиржи Лебл
Университет штата Оклахома

ОДУ первого порядка представляет собой уравнение вида

\[\dfrac{dy}{dx}=f(x,y) \номер\]

или просто

\[y’=f(x,y) \номер\]

В общем, не существует простой формулы или процедуры, которой можно следовать, чтобы найти решение. В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда решение получить нетрудно. В этом разделе предположим, что \(f\) является функцией только \(x\), т. е. уравнение имеет вид

\[y’=f(x) \label{1.1.1} \]

Мы могли бы просто проинтегрировать (антидифференцировать) обе части по \(x\).

\[\int y’ (x) dx = \int f(x) dx + C \nonumber \]

это

\[y(x)=\int f(x) dx + C \nonumber \]

Это \(y(x)\) на самом деле является общим решением. Итак, чтобы решить уравнение \(\ref{1.1.1}\), мы находим некоторую первообразную \(f(x)\), а затем добавляем произвольную константу, чтобы получить общее решение.

Сейчас самое время поговорить об обозначениях и терминологии исчисления. Учебники по математическому анализу мутят воду, говоря об интеграле прежде всего как о так называемом 9х f(t) dt + C \номер \]

Отсюда термин «интегрировать», когда на самом деле мы можем иметь в виду «антидифференцировать». Интегрирование — это всего лишь один из способов вычисления первообразной (и этот способ работает всегда, см. следующие примеры). Интеграция определяется как площадь под графиком, это происходит только для вычисления первообразных. Ради согласованности мы будем продолжать использовать обозначение неопределенного интеграла, когда нам нужна первообразная, и вы всегда должны думать об определенном интеграле. 9{x_0} f(x) dx + y_0 = y_0\). Это!

Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференцирование) — совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Таким образом, уравнение \(\ref{1.1.2}\) представляет собой формулу, которую мы можем вставить в калькулятор или компьютер, и он будет рад рассчитать для нас определенные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как и с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной. 92} ds + 1. \nonumber \]

Решение

Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, занимающимися исчислением во втором семестре. Скажите им найти решение в закрытой форме. Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Нельзя (в закрытом виде). Нет абсолютно ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

Используя этот метод, мы также можем решать уравнения вида

\[y’ = f(y) \nonumber \]

Запишем уравнение в системе обозначений Лейбница.

\[\dfrac{dy}{dx} = f(y) \nonumber \]

Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять местами \(x\) и \(y\), чтобы получить

\[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{f(y)} \nonumber \]

То, что мы делаем, похоже на алгебру с \(dx\) и \(dy\). Заманчиво просто заняться алгеброй с \(dx\) и \(dy\), как если бы они были числами. И в этом случае это работает. Однако будьте осторожны, так как подобные расчеты могут привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной. На данный момент мы можем просто интегрировать, 92} \nonumber \]

Интегрируем, чтобы получить

\[x = \dfrac{-1}{y} + C \nonumber \]

Находим \(y = \dfrac{1}{C-x} \). Таким образом, общее решение

\[y = \dfrac{1}{C-x} \,\ или\,\, y=0 \nonumber \]

Обратите внимание на особенности решения.