Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка: 42 важных примера подробных решений дифференциальных уравнений - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

где и – непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

или

. (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v – решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Как было показано в алгоритме,

y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере – обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции

u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная “игрека” ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на “икс” и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u

. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная “игрека” ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

или

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию

v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию “игрека” в левую часть и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых “демо”-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Поделиться с друзьями

Примеры решения линейных дифференциальных уравнений й

Рассмотрим примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде: y’+y/x=3x. Здесь p(x)=1/x, q(x)=3x.

1) Введем замену y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Отсюда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения для y и y’ в условие: u’v+v’u+uv/x=3x.

2) Сгруппируем слагаемые, содержащие v: [u’+u/x]v+v’u=3x. (I) Теперь потребуем равенства нулю выражения в скобках: u’+u/x=0. Получили новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Подставляем u’=du/dx и разделяем переменные: du/dx= — u/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на u≠0. Пришли к уравнению с разделенными переменными: du/u= — dx/x. Интегрируем его:

Поскольку при нахождении u С берем равным нулю, то получаем, что ln│u│=-ln│x│, используем свойство логарифма: ln│u│= ln│1/x│отсюда u=1/x.

3) В уравнение (I) подставляем [u’+u/x]=0 и u=1/x. Имеем: v’/x=3x. Умножаем обе части полученного уравнения на x≠0: v’=3x². Можно представить v’=dv/dx и разделить переменные: dv/dx=3x², отсюда, умножив обе части на dx, получаем dv=3x²dx, интегрируем:

здесь С уже не игнорируем, и приходим к v=x³+C. (А можно было просто проинтегрировать обе части равенства: v’=3x²

и сразу получить ответ v=x³+C).

4) Так как y=uv, подставив найденные выражения для u и v, получаем: y=(x³+C)/x. Если преобразовать ответ, получим: y=x²+C/x.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Линейное уравнение в стандартном виде. p(x)=1, q(x)=cosx.

1) y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

u’v+v’u+uv=cosx. Группируем слагаемые с v: [u’+u]v+v’u=cosx. (II)

2) Теперь потребуем, чтобы выполнялось условие u’+u=0. Получили уравнение с разделяющимися переменными u и x. Так как u’=du/dx, то du/dx+u=0, откуда du/dx=-u. Умножаем обе части на dx и делим на u≠0: du/u=-dx. Интегрируем уравнение:

3) В уравнение (II) подставляем [u’+u]=0 и

Интегрируем обе части уравнения:

Этот интеграл находится с помощью формулы интегрирования по частям:

4) y=uv, подставляем найденные выражения для u и v:

Ответ:

Рассмотрим еще одно интересное задание.

3) Найти решение уравнения (x+y)y’=1, удовлетворяющее начальному условию y(-1)=0.

Если рассматривать y как функцию от x, то уравнение не получится записать в стандартном виде y’+p(x)y=q(x). А вот если рассматривать x как функцию от y, то с учетом того, что y’=1/x’, получаем: (x+y)·1/x’=1, откуда x’=x+y, теперь переписываем это уравнение в виде x’-x=y. (III)

Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида x’+p(y)=q(y). Здесь p(y)=-1, q(y)=y. Все рассуждения абсолютно аналогичны. Проведем их.

1) Замена x=uv, где u=u(y), v=v(y). Отсюда x’=u’v+v’u. Подставляем в (III): u’v+v’u-uv=y.

2) Группируем слагаемые с v: [u’-u]v+v’u=y. (IV) Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’-u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными. Только не забываем, что вторая переменная здесь y, а не x. С учетом того, что u’=du/dy, разделим переменные: du/dy=u. Умножаем обе части уравнения на dy и делим на u: du/u=dy. Теперь интегрируем:

3) В (IV) подставляем [u’-u]=0 и

Этот интеграл также находим по формуле интегрирования по частям

Здесь

Подставляем, по формуле интегрирования по частям получаем:

4) Так как x=uv, то, подставив найденные выражения для функций u и v, получаем:

5) В общее решение уравнения

подставляем начальные условия y(-1)=0 (то есть x=-1, y=0):

Отсюда частное решение x=-y-1. Выразив y через x, приходим к окончательному варианту ответа: y=-x-1.

Ответ: y=-x-1.

Задания для самопроверки:

1) y’=x+y

2) xy’-2y=x²

Показать решение

1) y’-y=x. Здесь p(x)=-1, q(x)=x.

1) Вводим замену y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.

2) Группируем слагаемые с v: [u’- u]v+v’u=x (*).

Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’- u=0ю Из этого условия находим u: du/dx=u, du/u=dx. Интегрируем:

3) В равенство (*) подставляем [u’- u]=0 и

Интеграл в правой части уравнения будем искать с помощью формулы интегрирования по частям: u=x, du=x’dx=dx.

Отсюда получаем, что

4) Поскольку y-uv, подставлям:

Ответ:

2) Делим обе части уравнения на x: y’-(2/x)y=x. Здесь p(x)=-2/x, q(x)=x.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: xu’v+xv’u-2uv=x².

2) Группируем слагаемые с v: [xu’-2u]v+xv’u=x² (**). Теперь требуем выполнения условия xu’-2u=0. Отсюда x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Интегрируем:

3) В равенство (**) подставляем [xu’-2u]=0, u=x²: xv’x²=x², отсюда xv’=1, а значит, v’=1/x. Отсюда v= ln|x|+C.

4) Так как y=uv, то подставляем и получаем: y=x²(ln|x|+C).

Ответ: y=x²(ln|x|+C).

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

2) Группируем слагаемые с v:

Требуем равенства нулю выражения в скобках: u’+2u/x=0. Отсюда du/dx=-2u/x, du/u= (-2/x)dx. Интегрируем:

3) В условие (***) подставляем [u’+2u/x]=0 и u=1/x². Имеем:

Чтобы найти интеграл в правой части, введем замену -x²=t, тогда dt=(-x²)’dx=-2xdx. Отсюда

4) Так как y=uv, подставив, получаем:

Ответ:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка [wiki.eduVdom.com]

subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной $$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$

Решение линейного уравнения ищем в виде $y=u(x)v(x)$

Подставляя в (1), после преобразования получаем $$ u \left ( \frac{dv}{dx} + p(x)v \right ) +V\frac{du}{dx} =Q(x) $$

Выберем v такой чтобы $\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$ найдём u(x) , и следовательно получим решение $y=uv$

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение: ${xy}’-2y=4x^{4}-x$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 2.{x} \right ) $$

subjects/diffury/линейные_уравнения_первого_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 — ¶

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения
1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x₀)=y₀, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.
Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр “t” в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае “t” сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную “y” через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.
Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x², как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа “C” принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С – постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр “Регулярная и хаотическая динамика”. 2000.

1. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение $$y’+P(x)y=Q(x)\qquad (1)$$ называется линейным. Чтобы его решить, надо сделать замену переменных $y=u(x)v(x),$ где $u(x) – $ решение однородного уравнения $u’+P(x)u=0.$ Это уравнение решается методом разделения переменных.
Далее, делаем обратную замену. $y’=(uv)’=u’v+uv’.$ Следовательно,
$$u’v+v’u+P(x)uv=Q(x)$$
$$v(u’+P(x)u)+v’u=Q(x).$$
Заметим, что $u’+P(x)u=0.$ Следовательно, получили уравнения с разделяющимися переменными $$v’u=Q(x)\\ v’=\frac{Q(x)}{u(x)}\Rightarrow v(x)=\int\frac{Q(x)}{u(x)}dx+C.$$
2. Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную.2}$ те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде $y=\frac{a}{x}.$ Подставляя $y=\frac{a}{x}$ в уравнение, найдем постоянную $a.$

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Краткая теория

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

Примеры решения задач

Задача 1
Решить дифференциальное уравнение.

Решение
Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Пусть
Тогда

Положим

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
Общее решение дифуравнения:

Ответ:

Задача 2
Решить дифференциальное уравнение.

Решение
Преобразуем дифуравнение:

Данное дифуравнение – это уравнение Бернулли.

Применим подстановку

Пусть

Общее решение дифуравнения:

Ответ:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим примеры решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения
y’ + y·tg x = cos x

Дифференциальное уравнение неоднородное, его правая часть не равна нулю. Решение такого уравнения обычно ищут в виде произведения двух функций:
y(x) = u(x)·v(x)
Некоторые умудряются использовать метод вариации произвольной постоянной. Действительно, u(x) является варьируемой постоянной, а v(x) — решением соответствующего однородного уравнения. Метод же вариации произвольной постоянной, используемый в явном виде, пригоден для решения дифференциальных уравнений высших порядков, но не совсем уместен для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Зачем из пушки по комарам палить?
Попытаемся найти общее решение уравнения, применяя известные нам формулы дифференцирования. Будем исходить из предположения, что однородные дифференциальные уравнения первого порядка мы решать уже умеем.
Представив tg x = sin x/cos x, приведём левую часть дифференциального уравнения к общему знаменателю.
y’ + y·sin x/cos x = (y’·cos x + y·sin x)/cos x = (y’·cos x − y·(cos x)’)/cos x = cos x
Разделив обе части уравнения на cos x, получим в левой части производную частного:
(y’·cos x − y·(cos x)’)/cos² x = (y/cos x)’ = 1
Интегрируем: y/cos x = ∫dx = x + C, откуда
y = (x + C)·cos x — общее решение уравнения.
Пример 2
Найти частное решение дифференциального уравнения
y’ + y·tg x = 2·x/cos x; y(0) = 0
Разделим обе части уравнения на cos x, получив в левой части производную частного:
(y/cos x)’ = 2·x/cos² x
Проинтегрируем с учётом начальных условий: при x = 0 y/cos x = 0
Учитывая вид подынтегральной функции, интегрировать будем по частям.

y = 2·cos x·(x·tg x + ln|cos x|) = 2·(x·sin x + cos x·ln|cos x|) — частное решение дифференциального уравнения.
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Возможно, вам сначала захочется прочитать о дифференциальных уравнениях
и разделении переменных!
Дифференциальное уравнение – это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx
Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений под названием Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Первый орден
Они «Первого Ордена», когда их всего dy dx , а не г ² г dx ² или г ³ г dx ³ и т. Д.
Линейный
Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда его можно сделать так:
dy dx + Р (х) у = Q (х)
Где P (x) и Q (x) – функции от x.
Для ее решения есть специальный метод:
Мы изобретаем две новые функции от x, называем их u и v и говорим, что y = uv .
Затем мы решаем найти и , а затем находим и , приводим в порядок, и все готово!
И мы также используем производную от y = uv (см. Производные правила (Правило продукта)):
dy dx = u дв dx + v du dx
Ступеньки
Вот пошаговый метод их решения:
Давайте попробуем на примере увидеть:
Пример 1: Решите это:
dy dx – л х = 1
Во-первых, это линейно? Да, так как в форме
dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = – 1 х и Q (x) = 1
Итак, давайте выполним шаги:
Шаг 1: Подставляем y = uv и . dy dx = u дв dx + v du dx
Так это: dy dx – л х = 1
Становится этим: u дв dx + v du dx – уф х = 1
Шаг 2: Разложите на множители детали, включающие v
Фактор v : u дв dx + v ( du dx – u х ) = 1
Шаг 3. Положите член v равным нулю
v член равен нулю: du dx – u х = 0
Итак: du dx знак равно u х
Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u
Отдельные переменные: du u знак равно dx х
Поставьте знак интеграла: ∫ du u = ∫ dx х
Интегрировать: ln (u) = ln (x) + C
Сделайте C = ln (k): ln (u) = ln (x) + ln (k)
Итак: u = kx
Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2
(помните, что v член равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx дв dx = 1
Шаг 6: Решите это, чтобы найти v
Отдельные переменные: k dv = dx х
Поставить знак интеграла: ∫k дв. = ∫ dx х
Интегрировать: kv = ln (x) + C
Сделайте C = ln (c): kv = ln (x) + ln (c)
А так: kv = ln (cx)
И так: v = 1 к ln (сх)
Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.
y = uv: y = kx 1 к ln (сх)
Упростить: y = x ln (cx)
И получается это прекрасное семейство кривых:

y = x ln (cx) для различных значений c
Что означают эти кривые?
Они являются решением уравнения dy dx – л х = 1
Другими словами:
В любом месте на любой из этих кривых
наклон минус л х равно 1
Давайте проверим несколько точек на c = 0.6 кривая:
Расчет по графику (до 1 знака после запятой):
Точка х y Наклон ( dy dx ) dy dx – л х
А 0.6 -0,6 0 0 – -0,6 0,6 = 0 + 1 = 1
B 1,6 0 1 1 – 0 1,6 = 1 – 0 = 1
С 2,5 1 1.4 1,4 – 1 2,5 = 1,4 – 0,4 = 1
Почему бы не проверить несколько пунктов самостоятельно? Здесь вы можете построить кривую.
Может, вам поможет еще один пример? Может, посложнее?
Пример 2: Решите это:
dy dx – 3 года х = х
Во-первых, это линейно? Да, так как в форме
dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = – 3 х и Q (x) = x
Итак, давайте выполним шаги:
Шаг 1: Подставляем y = uv и . dy dx = u дв dx + v du dx
Так это: dy dx – 3 года х = х
Становится этим: u дв dx + v du dx – 3uv х = х
Шаг 2: Разложите на множители детали, включающие v
Фактор v : u дв dx + v ( du dx – 3u х ) = х
Шаг 3. Положите член v равным нулю
v член = ноль: du dx – 3u х = 0
Итак: du dx знак равно 3u х
Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u
Отдельные переменные: du u = 3 dx х
Поставьте знак интеграла: ∫ du u = 3 ∫ dx х
Интегрировать: ln (u) = 3 ln (x) + C
Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = 3ln (x)
Тогда: uk = x ³
Итак: u = х ³ к
Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2
(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 х ³ к ) дв dx = х
Шаг 6: Решите это, чтобы найти v
Отдельные переменные: dv = k x ^-2 dx
Поставьте знак интеграла: ∫dv = ∫k x ^-2 dx
Интегрировать: v = −k x ^-1 + D
Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.
у = УФ: у = х ³ к (−k x ^-1 + D)
Упростить: y = −x ² + D к х ³
Заменить D / k одной константой c : y = c х ³ – х ²
И получается это прекрасное семейство кривых:

у = с x ³ – x ² для различных значений c
И еще пример, на этот раз еще на сложнее :
Пример 3: Решить:
dy dx + 2xy = −2x ³
Во-первых, это линейно? Да, так как в форме
dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = 2x и Q (x) = −2x ³
Итак, давайте выполним шаги:
Шаг 1: Подставляем y = uv и . dy dx = u дв dx + v du dx
Так это: dy dx + 2xy = −2x ³
Становится этим: u дв dx + v du dx + 2xuv = −2x ³
Шаг 2: Разложите на множители детали, включающие v
Фактор v : u дв dx + v ( du dx + 2xu ) = −2x ³
Шаг 3. Положите член v равным нулю
v член = ноль: du dx + 2xu = 0
Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u
Отдельные переменные: du u = −2x dx
Поставьте знак интеграла: ∫ du u = −2∫x dx
Интегрировать: ln (u) = −x ² + C
Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = −x ²
Тогда: uk = e ^{-x ²}
Итак: u = e ^{-x ²} к
Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2
(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 e ^{-x ²} к ) дв dx = −2x ³
Шаг 6: Решите это, чтобы найти v
Отдельные переменные: dv = −2k x ³ e ^{x ²} dx
Поставить знак интеграла: ∫dv = ∫ − 2k x ³ e ^{x ²} dx
Интегрировать: v = о нет! это трудно!
Посмотрим… мы можем интегрировать по частям … где написано:
∫RS dx = R∫S dx – ∫R ‘(∫S dx) dx
(Боковое примечание: здесь мы используем R и S, использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)
Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:
Итак, вперед:
Первый вытащить k: v = k∫ − 2x ³ e ^{x ²} dx
R = −x ² и S = 2x e ^{x ²} : v = k∫ (−x ²) (2xe ^{x ²}) dx
Теперь интегрировать по частям: v = kR∫S dx – k∫R ‘(∫ S dx) dx
Положим R = −x ² и S = 2x e ^{x ²}
А также R ‘= −2x и ∫ S dx = e ^{x ²}
Таким образом, получается: v = −kx ² ∫2x e ^{x ²} dx – k∫ − 2x (e ^{x ²}) dx
Теперь интегрируйте: v = −kx ² e ^{x ²} + k e ^{x ²} + D
Упростить: v = ke ^{x ²} (1 − x ²) + D
Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.
у = УФ: у = e ^{-x ²} к (ke ^{x ²} (1 − x ²) + D)
Упростить: y = 1 – x ² + ( D к ) e ^– ^{x ²}
Заменить D / k на одну константу c : y = 1 – x ² + c е ^– ^{x ²}
И мы получаем красивое семейство кривых:

y = 1 – x ² + c e ^– ^{x ²} для различных значений c
9429, 9430, 9431, 9432, 9433, 9434, 9435, 9436, 9437, 9438
Дифференциальные уравнения –
DE первого порядка Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Глава 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
В этой главе мы рассмотрим решение дифференциальных уравнений первого порядка.Наиболее общее дифференциальное уравнение первого порядка можно записать как,
\ [\ begin {уравнение} \ frac {{dy}} {{dt}} = f \ left ({y, t} \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]
Как мы увидим в этой главе, не существует общей формулы для решения \ (\ eqref {eq: eq1} \). Вместо этого мы рассмотрим несколько частных случаев и посмотрим, как их решить. Мы также рассмотрим часть теории, лежащей в основе дифференциальных уравнений первого порядка, а также некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка.Ниже приводится список тем, обсуждаемых в этой главе.
Линейные уравнения – В этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \ (y ‘+ p (t) y = g (t) \). Мы даем подробный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциального уравнения, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего коэффициента, используемого в процессе решения.
Разделимые уравнения – В этом разделе мы решаем разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, т.е.е. дифференциальные уравнения вида \ (N (y) y ‘= M (x) \). Мы дадим вывод процесса решения этого типа дифференциального уравнения. Мы также начнем искать интервал применимости решения дифференциального уравнения.
Точные уравнения – В этом разделе мы обсудим определение и решение точных дифференциальных уравнений. Мы разработаем тест, который можно использовать для идентификации точных дифференциальных уравнений и дать подробное объяснение процесса решения.{n} \). В этом разделе также будет представлена идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.
Подстановки – в этом разделе мы продолжим с того места, где закончился последний раздел, и рассмотрим пару других замен, которые можно использовать для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида \ (y ‘= F (\ frac {y} {x}) \) и \ (y’ = G (ax + by) \).
Интервалы достоверности – В этом разделе мы подробно рассмотрим интервалы достоверности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.
Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка – В этом разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим проблемы смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкость как на входе, так и на выходе), проблемы популяции (моделирование популяции в различных ситуациях, в которых популяция может входить или выходить) и падающие объекты. (моделирование скорости падающего объекта под действием силы тяжести и сопротивления воздуха).
Равновесные решения – В этом разделе мы определим равновесные решения (или точки равновесия) для автономных дифференциальных уравнений, \ (y ‘= f (y) \). Мы обсуждаем классификацию равновесных решений как асимптотически устойчивые, нестабильные или полустабильные равновесные решения.
Метод Эйлера. В этом разделе мы кратко рассмотрим довольно простой метод приближения решений дифференциальных уравнений. Мы выводим формулы, используемые методом Эйлера, и даем краткое обсуждение ошибок в приближении решений.
Дифференциальные уравнения – Линейные уравнения
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2-1: Линейные дифференциальные уравнения
Первым частным случаем дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, является линейное дифференциальное уравнение первого порядка.В этом случае, в отличие от большинства случаев первого порядка, которые мы рассмотрим, мы действительно можем вывести формулу для общего решения. Общее решение выводится ниже. Однако мы бы посоветовали вам не запоминать саму формулу. Вместо того, чтобы запоминать формулу, вы должны запомнить и понять процесс, который я собираюсь использовать для получения формулы. На самом деле с большинством проблем легче справиться, используя процесс, а не формулу.
Итак, давайте посмотрим, как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка.Помните, когда мы проходим этот процесс, цель состоит в том, чтобы прийти к решению в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Иногда легко упустить из виду цель, когда мы проходим через этот процесс впервые.
Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка, мы ДОЛЖНЫ начать с дифференциального уравнения в форме, показанной ниже. Если дифференциальное уравнение не в такой форме, то процесс, который мы собираемся использовать, не сработает.
\ [\ begin {уравнение} \ frac {{dy}} {{dt}} + p \ left (t \ right) y = g \ left (t \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]
Где и \ (p (t) \), и \ (g (t) \) – непрерывные функции.Напомним, что быстрое и грязное определение непрерывной функции состоит в том, что функция будет непрерывной при условии, что вы можете рисовать график слева направо, даже не беря в руки карандаш / ручку. Другими словами, функция является непрерывной, если в ней нет дыр и разрывов.
Теперь мы собираемся предположить, что где-то в мире существует некоторая магическая функция, \ (\ mu \ left (t \ right) \), называемая интегрирующим коэффициентом . На этом этапе не беспокойтесь о том, что это за функция и откуда она взялась.Мы выясним, что такое \ (\ mu \ left (t \ right) \), когда у нас будет формула для общего решения.
Итак, теперь, когда мы предположили существование \ (\ mu \ left (t \ right) \), умножаем все в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на \ (\ mu \ left (t \ right) \). Это даст.
\ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) \ frac {{dy}} {{dt}} + \ mu \ left (t \ right) p \ left (t \ right) y = \ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]
Вот здесь и вступает в игру магия \ (\ mu \ left (t \ right) \).Мы собираемся предположить, что что бы ни было \ (\ mu \ left (t \ right) \), оно будет удовлетворять следующему.
\ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) p \ left (t \ right) = \ mu ‘\ left (t \ right) \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]
Снова не беспокойтесь о том, как мы можем найти \ (\ mu \ left (t \ right) \), который будет удовлетворять \ (\ eqref {eq: eq3} \). Как мы увидим, при условии непрерывности \ (p (t) \) мы можем его найти. Итак, подставив \ (\ eqref {eq: eq3} \), мы приходим к.
\ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) \ frac {{dy}} {{dt}} + \ mu ‘\ left (t \ right) y = \ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \ label {eq: eq4} \ end {уравнение} \]
На этом этапе мы должны признать, что левая часть \ (\ eqref {eq: eq4} \) – не что иное, как следующее правило продукта.\ prime} \, dt}} = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} \] \ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) y \ left (t \ right) + c = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} \ label {eq: eq6} \ end {уравнение} \]
Обратите внимание, что здесь включена константа интегрирования \ (c \) из левой части интегрирования. Это жизненно важно. Если его не указывать, вы каждый раз будете получать неправильный ответ.
Последний шаг – это некоторая алгебра, которую нужно решить для решения, \ (y (t) \).
\ [\ begin {align *} \ mu \ left (t \ right) y \ left (t \ right) & = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} – c \\ y \ left (t \ right) & = \ frac {{\ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} – c} } {{\ mu \ left (t \ right)}} \ end {align *} \]
Теперь, с точки зрения обозначений, мы знаем, что постоянная интегрирования \ (c \) – это неизвестная константа, и поэтому, чтобы облегчить нашу жизнь, мы включим знак минус перед ней в константу и вместо этого будем использовать плюс. .Это НЕ повлияет на окончательный ответ решения. Итак, с этим изменением у нас есть.
\ [\ begin {уравнение} y \ left (t \ right) = \ frac {{\ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} + c}} {{\ mu \ left (t \ right)}} \ label {eq: eq7} \ end {уравнение} \]
Опять же, изменение знака константы не повлияет на наш ответ. Если вы решите сохранить знак минус, вы получите то же значение \ (c \), что и мы, за исключением того, что у него будет противоположный знак. Подключив \ (c \), мы получим точно такой же ответ.
С константами интеграции в этом разделе очень много шуток, так что вам нужно к этому привыкнуть. Когда мы делаем это, мы всегда будем стараться очень ясно дать понять, что происходит, и попытаться оправдать, почему мы сделали то, что мы сделали.
Итак, теперь, когда у нас есть общее решение для \ (\ eqref {eq: eq1} \), нам нужно вернуться и определить, что это за магическая функция \ (\ mu \ left (t \ right) \). . На самом деле это более простой процесс, чем вы думаете.\ prime} = p \ left (t \ right) \]
Как и в случае с процессом, прежде всего, нам нужно объединить обе стороны, чтобы получить.
\ [\ begin {align *} \ ln \ mu \ left (t \ right) + k & = \ int {{p \ left (t \ right) \, dt}} \\ \ ln \ mu \ left (t \ right) & = \ int {{p \ left (t \ right) \, dt}} + k \ end {align *} \]
Вы заметите, что константа интегрирования с левой стороны, \ (k \), была перемещена в правую часть и снова поглощена знаком минус, как мы это сделали ранее.{\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}} \ label {eq: eq8} \ end {уравнение} \]
Итак, теперь у нас есть формула для общего решения \ (\ eqref {eq: eq7} \) и формула для интегрирующего множителя \ (\ eqref {eq: eq8} \). Однако у нас есть проблема. У нас есть две неизвестные константы, и чем больше у нас неизвестных констант, тем больше у нас проблем в дальнейшем. Поэтому было бы неплохо, если бы мы смогли найти способ устранить одну из них (мы не будем уметь устранить и то, и другое….).
На самом деле это довольно просто сделать.{\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}}}} \ end {align *} \]
Итак, \ (\ eqref {eq: eq7} \) можно записать таким образом, что единственное место, где появляются две неизвестные константы, – это их соотношение. Тогда, поскольку и \ (c \), и \ (k \) – неизвестные константы, то же самое и отношение этих двух констант. Поэтому мы просто назовем соотношение \ (c \), а затем исключим \ (k \) из \ (\ eqref {eq: eq8} \), поскольку в конечном итоге оно просто поглотится в \ (c \). {\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}} \ label {eq: eq10} \ end {Equation} \]
Теперь реальность такова, что \ (\ eqref {eq: eq9} \) не так полезен, как может показаться.Часто проще просто выполнить процесс, который привел нас к \ (\ eqref {eq: eq9} \), чем использовать формулу. Мы не будем использовать эту формулу ни в одном из наших примеров. Нам нужно будет регулярно использовать \ (\ eqref {eq: eq10} \), поскольку эту формулу проще использовать, чем процесс ее получения.
Процесс решения
Процесс решения линейного дифференциального уравнения первого порядка выглядит следующим образом.
Приведите дифференциальное уравнение в правильную начальную форму, \ (\ eqref {eq: eq1} \).
Найдите интегрирующий коэффициент \ (\ mu \ left (t \ right) \), используя \ (\ eqref {eq: eq10} \).
Умножьте все в дифференциальном уравнении на \ (\ mu \ left (t \ right) \) и убедитесь, что левая часть становится правилом произведения \ (\ left ({\ mu \ left (t \ right) y \ left ( t \ right)} \ right) ‘\) и напишите это как таковое.
Объедините обе стороны, убедитесь, что вы правильно справились с постоянной интеграции.
Найдите решение \ (y (t) \).
Давайте поработаем пару примеров. Начнем с решения дифференциального уравнения, полученного нами в разделе «Поле направления».
Пример 1 Найдите решение следующего дифференциального уравнения. \ [\ frac {{dv}} {{dt}} = 9,8–0,196 об. \] Показать решение
Во-первых, нам нужно получить дифференциальное уравнение в правильной форме.
\ [\ frac {{dv}} {{dt}} + 0,196v = 9.{- 0,196т}} \]
Из решения этого примера мы теперь можем понять, почему постоянная интеграции так важна в этом процессе. Без него в этом случае мы получили бы одно постоянное решение \ (v (t) = 50 \). Используя постоянную интегрирования, мы получаем бесконечно много решений, по одному для каждого значения \ (c \).
Вернувшись в раздел поля направления, где мы впервые вывели дифференциальное уравнение, использованное в последнем примере, мы использовали поле направления, чтобы помочь нам наметить некоторые решения.Посмотрим, правильно ли мы их поняли. Чтобы набросать некоторые решения, все, что нам нужно сделать, это выбрать разные значения \ (c \), чтобы получить решение. Некоторые из них показаны на графике ниже.
Итак, похоже, мы неплохо сделали набросок графиков в секции поля направлений.
Теперь вспомните из раздела «Определения», что начальные условия позволят нам сосредоточиться на конкретном решении. В решениях дифференциальных уравнений первого порядка (не только линейных, как мы увидим) будет одна неизвестная константа, поэтому нам понадобится ровно одно начальное условие, чтобы найти значение этой константы и, следовательно, найти решение, к которому мы пришли.Начальное условие для дифференциальных уравнений первого порядка будет иметь вид
\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \]
Напомним также, что дифференциальное уравнение с достаточным количеством начальных условий называется задачей начального значения (IVP). {- 0.{\ ln \, \, \ sec \ left (x \ right)}} = \ sec \ left (x \ right) \]
А интеграл сделать можно? Если нет, перепишите касательную обратно в синусы и косинусы, а затем используйте простую замену. Обратите внимание, что мы можем опустить столбцы абсолютного значения на секансе из-за ограничений на \ (x \). Фактически, это причина ограничений на \ (x \). Отметим также, что есть две формы ответа на этот интеграл. Они эквивалентны, как показано ниже. Что вы используете – это действительно вопрос предпочтений.{\ ln f \ left (x \ right)}} = f \ left (x \ right) \ label {eq: eq11} \ end {уравнение} \]
Это важный факт, о котором вы всегда должны помнить при возникновении подобных проблем. Мы захотим максимально упростить интегрирующий коэффициент во всех случаях, и этот факт поможет в этом упрощении.
Вернемся к примеру. Умножьте интегрирующий коэффициент на дифференциальное уравнение и убедитесь, что левая часть соответствует правилу произведения. Также обратите внимание, что мы умножаем интегрирующий коэффициент на переписанное дифференциальное уравнение, а НЕ на исходное дифференциальное уравнение.2} \ left (x \ right) \, dx}} \\ \ sec \ left (x \ right) y \ left (x \ right) & = – \ frac {1} {2} \ cos \ left ({ 2x} \ right) – \ tan \ left (x \ right) + c \ end {align *} \]
Обратите внимание на использование тригонометрической формулы \ (\ sin \ left ({2 \ theta} \ right) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \), которая упростила интеграл. Затем найдите решение.
\ [\ begin {align *} y \ left (x \ right) & = – \ frac {1} {2} \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left ({2x} \ right) – \ cos \ left (x \ right) \ tan \ left (x \ right) + c \ cos \ left (x \ right) \\ & = – \ frac {1} {2} \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left ({2x} \ right) – \ sin \ left (x \ right) + c \ cos \ left (x \ right) \ end {align *} \]
Наконец, примените начальное условие, чтобы найти значение \ (c \).
\ [\ begin {align *} 3 \ sqrt 2 = y \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) & = – \ frac {1} {2} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) – \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) + c \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) \\ 3 \ sqrt 2 & = – \ frac {{\ sqrt 2}} {2} + c \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \\ c & = 7 \ end {align *} \]
Тогда решение есть.
\ [y \ left (x \ right) = – \ frac {1} {2} \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left ({2x} \ right) – \ sin \ left (x \ right) + 7 \ соз \ влево (х \ вправо) \]
Ниже представлен график решения.2} \]
Ниже представлен график решения.
Давайте рассмотрим последний пример, который больше рассматривает интерпретацию решения, а не поиск решения.
Пример 6 Найдите решение следующей IVP и определите все возможные варианты поведения решения как \ (t \ to \ infty \). {\ frac {t } {2}}} \]
Теперь, когда у нас есть решение, давайте посмотрим на долгосрочное поведение ( i.е. \ (t \ to \ infty \)) решения. Первые два члена решения останутся конечными при всех значениях \ (t \). Это последний член, который будет определять поведение решения. Экспонента всегда стремится к бесконечности как \ (t \ to \ infty \), однако в зависимости от знака коэффициента \ (c \) (да, мы уже нашли его, но для простоты этого обсуждения мы продолжим называть это \ (c \)). В следующей таблице показано долгосрочное поведение решения для всех значений \ (c \).
Диапазон \ (c \) Поведение решения при \ (t \ to \ infty \)
\ (с \) <0 \ (y \ left (t \ right) \ to – \ infty \)
\ (с \) = 0 \ (y \ left (t \ right) \) остается конечным
\ (с \)> 0 \ (y \ left (t \ right) \ to \ infty \)
Это поведение также можно увидеть на следующем графике некоторых решений.
Теперь, поскольку мы знаем, как \ (c \) относится к \ (y_ {0} \), мы можем связать поведение решения с \ (y_ {0} \). В следующей таблице показано поведение решения в терминах \ (y_ {0} \) вместо \ (c \).
Диапазон \ (y_ {0} \)
Поведение решения как \ (t \ to \ infty \)
\ ({y_0} <- \ frac {{24}} {{37}} \) \ (y \ left (t \ right) \ to – \ infty \)
\ ({y_0} = – \ frac {{24}} {{37}} \) \ (y \ left (t \ right) \) остается конечным
\ ({y_0}> – \ frac {{24}} {{37}} \) \ (y \ left (t \ right) \ to \ infty \)
Обратите внимание, что для \ ({y_0} = – \ frac {{24}} {{37}} \) решение останется конечным.Так бывает не всегда.
Исследование долгосрочного поведения решений иногда бывает важнее, чем само решение. Предположим, что указанный выше раствор дает температуру в металлическом бруске. В этом случае нам нужно решение (я), которое останется конечным в долгосрочной перспективе. Благодаря этому исследованию у нас теперь будет значение начального условия, которое даст нам это решение, и, что более важно, значения начального условия, которых нам нужно было бы избежать, чтобы мы не расплавили стержень.
Дифференциальные уравнения – разделяемые уравнения
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2-2: Разделимые уравнения
Теперь мы приступим к рассмотрению нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Первый тип нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, – это сепарабельные дифференциальные уравнения.
Разделимое дифференциальное уравнение – это любое дифференциальное уравнение, которое мы можем записать в следующей форме.
\ [\ begin {уравнение} N \ left (y \ right) \ frac {{dy}} {{dx}} = M \ left (x \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]
Обратите внимание, что для того, чтобы дифференциальное уравнение было разделимым, все \ (y \) в дифференциальном уравнении должны быть умножены на производную, а все \ (x \) в дифференциальном уравнении должны быть на другом сторона знака равенства.
Чтобы решить это дифференциальное уравнение, сначала проинтегрируем обе части относительно \ (x \), чтобы получить,
\ [\ int {{N \ left (y \ right) \ frac {{dy}} {{dx}} \, dx}} = \ int {{M \ left (x \ right) \, dx}} \ ]
Теперь помните, что \ (y \) на самом деле \ (y \ left (x \ right) \), поэтому мы можем использовать следующую замену:
\ [u = y \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} du = y ‘\ left (x \ right) \, dx = \ frac {{dy}} {{dx}} \, dx \]
Применяя эту замену к интегралу, получаем
\ [\ begin {уравнение} \ int {{N \ left (u \ right) \, du}} = \ int {{M \ left (x \ right) \, dx}} \ label {eq: eq2} \ конец {уравнение} \]
На этом этапе мы можем (надеюсь) интегрировать обе стороны, а затем обратно подставить \ (u \) в левой части.Обратите внимание, что, как подразумевается в предыдущем предложении, на данный момент может оказаться невозможным вычислить один или оба интеграла. Если это так, то мы мало что сможем сделать, чтобы использовать этот метод для решения дифференциального уравнения.
Теперь описанный выше процесс является математически правильным способом решения этого дифференциального уравнения. Однако обратите внимание, что если мы «отделим» производную, мы можем записать дифференциальное уравнение как,
\ [N \ left (y \ right) dy = M \ left (x \ right) dx \]
Очевидно, что мы не можем таким образом отделить производные, но давайте представим, что можем, и увидим, что приходим к ответу с меньшими усилиями.
Теперь мы объединяем обе стороны этого, чтобы получить,
\ [\ begin {уравнение} \ int {{N \ left (y \ right) dy}} = \ int {{M \ left (x \ right) dx}} \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]
Итак, если мы сравним \ (\ eqref {eq: eq2} \) и \ (\ eqref {eq: eq3} \), мы увидим, что единственная разница находится слева, и даже тогда единственная реальная разница – \ (\ eqref {eq: eq2} \) имеет интеграл в терминах \ (u \), а \ (\ eqref {eq: eq3} \) имеет интеграл в терминах \ (y \). В остальном реальной разницы нет.Интеграл слева – это точно такой же интеграл в каждом уравнении. Единственное отличие – буква, используемая в интеграле. Если мы проинтегрируем \ (\ eqref {eq: eq2} \), а затем обратно подставим вместо \ (u \), мы получим то же самое, как если бы мы просто интегрировали \ (\ eqref {eq: eq3} \) с самого начала.
Поэтому, чтобы облегчить работу, мы просто воспользуемся \ (\ eqref {eq: eq3} \), чтобы найти решение дифференциального уравнения. Кроме того, после выполнения интеграций у нас будет неявное решение, которое мы, надеюсь, сможем найти для явного решения, \ (y (x) \).Обратите внимание, что не всегда можно найти явное решение.
Напомним из раздела Определения, что неявное решение – это решение, которое не имеет формы \ (y = y \ left (x \ right) \), в то время как явное решение было записано в этой форме.
Нам также придется побеспокоиться о сроке действия многих из этих решений. Напомним, что интервал достоверности был диапазоном независимой переменной, \ (x \) в данном случае, на которой решение действительно.Другими словами, нам нужно избегать деления на ноль, комплексных чисел, логарифмов отрицательных чисел или нуля, и т. Д. Большинство решений, которые мы получим из разделяемых дифференциальных уравнений, не будут действительны для всех значений \ (x \ ).
Давайте начнем с довольно простого примера, чтобы мы могли увидеть процесс, не теряясь в деталях других проблем, которые часто возникают в связи с этими проблемами.
Пример 1 Решите следующее дифференциальное уравнение и определите интервал применимости решения.2} x \ hspace {0.25in} \, \, \, y \ left (1 \ right) = \ frac {1} {{25}} \] Показать решение
Понятно, надеюсь, что это дифференциальное уравнение разделимо. Итак, давайте разделим дифференциальное уравнение и проинтегрируем обе части. Как и в случае с линейным первым порядком, официально мы возьмем константу интегрирования с обеих сторон от интегралов по обе стороны от знака равенства. Их можно переместить в одну сторону и впитать друг в друга. Мы будем использовать соглашение, которое помещает единственную константу на сторону с \ (x \), учитывая, что мы в конечном итоге будем решать для \ (y \), и поэтому константа все равно окажется на этой стороне.2}}} \ end {выровнять *} \]
Теперь, что касается решений, у нас есть решение. Однако нам нужно начать беспокоиться о сроках действия.
Напомним, что есть два условия, которые определяют срок действия. Во-первых, это должен быть непрерывный интервал без разрывов и отверстий. Во-вторых, он должен содержать значение независимой переменной в начальном условии, в данном случае x = 1.
Итак, в нашем случае нам нужно избежать двух значений \ (x \).А именно, \ (x \ ne \ pm \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \ приблизительно \ pm \, 3.05505 \), поскольку они дадут нам деление на ноль. Это дает нам три возможных интервала действия.
\ [- \ infty
Однако только один из них будет содержать значение \ (x \) из начального условия, поэтому мы можем видеть, что
\ [- \ sqrt {\ frac {{28}} {3}}
должен быть интервалом действия для этого решения.
Вот график решения.
Обратите внимание, что это не означает, что любой из двух других интервалов, перечисленных выше, не может быть интервалом действия для любого решения дифференциального уравнения. При правильном начальном условии любое из этих условий могло быть периодом действия.
Мы предоставим вам возможность проверить детали следующих претензий. Если мы используем начальное условие
\ [y \ left ({- 4} \ right) = – \ frac {1} {{20}} \]
мы получим точно такое же решение, но в этом случае интервал действия будет первым.
\ [- \ infty
Аналогично, если мы используем
\ [y \ left (6 \ right) = – \ frac {1} {{80}} \]
в качестве начального условия мы снова получаем точно такое же решение, и в этом случае третий интервал становится интервалом действия.
\ [\ sqrt {\ frac {{28}} {3}}
Итак, простое изменение начального условия может дать любой из возможных интервалов. 2} – 4x – 2} \ right)}}} {2} \ end {align *} \]
Затем обратите внимание, что мы можем вынести 4 из-под квадратного корня (получится 2…), а затем немного упростить.2} – 4x + 2} \ end {align *} \]
Мы почти у цели. Обратите внимание, что на самом деле у нас здесь два решения («\ (\ pm \)»), и нам нужно только одно решение. На самом деле верным может быть только один из признаков. Итак, чтобы выяснить, какой из них правильный, мы можем повторно применить к нему начальное условие. Только один из знаков даст правильное значение, поэтому мы можем использовать его, чтобы выяснить, какой из знаков правильный. Подстановка \ (x \) = 1 в решение дает.
\ [3 = y \ left (1 \ right) = 2 \ pm \ sqrt {1 + 2 – 4 + 2} = 2 \ pm 1 = 3, \, 1 \]
В этом случае похоже, что «+» – правильный знак для нашего решения.2} – 4x + 2 \ ge 0 \]
Другими словами, нам нужно убедиться, что величина под радикалом остается положительной.
Используя систему компьютерной алгебры, такую как Maple или Mathematica, мы видим, что левая часть равна нулю при \ (x \) = –3,36523, а также два комплексных значения, но мы можем игнорировать комплексные значения для вычислений интервала достоверности. Наконец, ниже показан график количества под радикалом.
Итак, чтобы получить реальные решения, нам потребуется \ (x \ ge – 3.{\ mbox {36523}} \), потому что это диапазон значений \ (x \), для которых величина положительна. Также обратите внимание, что этот интервал также содержит значение \ (x \), которое находится в начальном состоянии, как и должно.
Следовательно, интервал действия решения равен \ (x \ ge – 3. {\ Mbox {36523}} \).
Вот график решения.
Пример 3 Решите следующую IVP и найдите интервал годности решения.2} \ end {align *} \]
Обратите внимание, что мы смогли возвести в квадрат обе части неравенства, потому что в этом случае обе стороны неравенства гарантированно будут положительными. Наконец, решая для \ (x \), мы видим, что единственный возможный диапазон \ (x \) ’, который не дает деления на ноль или квадратного корня из отрицательных чисел, будет
\ [- \ frac {{\ sqrt 5}} {2}
и, что довольно хорошо, это также содержит начальное условие \ (x = 0 \). Таким образом, этот интервал является нашим сроком действия.2} – 4x – 4> 0 \]
Квадратичная функция будет равна нулю в двух точках \ (x = 2 \ pm 2 \ sqrt 2 \). График квадратичной зависимости (показанный ниже) показывает, что на самом деле есть два интервала, в которых мы получим положительные значения многочлена и, следовательно, могут быть возможные интервалы достоверности.
Итак, возможные интервалы действия –
\ [\ begin {array} {c} – \ infty
Из квадратичного графика видно, что второй содержит \ (x \) = 5, значение независимой переменной из начального условия.2}}} dr}} & = \ int {{\ frac {1} {\ theta} d \ theta}} \\ – \ frac {1} {r} & = \ ln \ left | \ тета \ право | + c \ end {align *} \]
Теперь примените начальное условие, чтобы найти \ (c \).
\ [- \ frac {1} {2} = \ ln \ left (1 \ right) + c \ hspace {0,25 дюйма} c = – \ frac {1} {2} \]
Итак, неявное решение:
\ [- \ frac {1} {r} = \ ln \ left | \ тета \ право | – \ frac {1} {2} \]
Решение для \ (r \) дает нам явное решение.
\ [r = \ frac {1} {{\ frac {1} {2} – \ ln \ left | \ theta \ right |}} \]
Итак, есть две проблемы для нашего решения. Во-первых, нам нужно избегать \ (\ theta = 0 \) из-за натурального логарифма. Обратите внимание, что из-за абсолютного значения \ (\ theta \) нам не нужно беспокоиться о том, что \ (\ theta \) будет отрицательным. Нам также нужно будет избегать деления на ноль. Другими словами, нам нужно избегать следующих моментов.
\ [\ begin {align *} \ frac {1} {2} – \ ln \ left | \ тета \ право | & = 0 \\ \ ln \ left | \ тета \ право | & = \ frac {1} {2} \ hspace {0.{\ frac {1} {2}}} \\ \ theta & = \ pm \ sqrt {\ bf {e}} \ end {align *} \]
Итак, эти три точки разбивают числовую строку на четыре части, каждая из которых может быть периодом действия.
\ [\ begin {array} {c} – \ infty
Фактическим интервалом действия будет тот, который содержит \ (\ theta = 1 \). Следовательно, срок действия равен \ (0 <\ theta <\ sqrt {\ bf {e}} \).
Вот график решения.2} + 2t + 3} \ right) + \ frac {5} {2} \]
Невозможно найти явное решение этой проблемы, поэтому нам придется оставить решение в его неявной форме. Поиск интервалов достоверности из неявных решений часто может быть очень трудным, поэтому мы также не будем беспокоиться об этом для этой проблемы.
Как показал этот последний пример, не всегда можно найти явные решения, поэтому будьте начеку в таких случаях.
Дифференциальные уравнения – точные уравнения
Сначала определите \ (M \) и \ (N \) и убедитесь, что дифференциальное уравнение является точным.2} + 1 \ hspace {0,25 дюйма} {N_x} = 2x \ end {align *} \]
Итак, дифференциальное уравнение является точным согласно тесту. Однако мы уже знали это, поскольку дали вам \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \). Однако неплохо проверить это и хотя бы один раз пройти тест.
Теперь, как нам найти \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \)? Напомним, что
\ [\ begin {align *} {\ Psi _x} & = M \\ {\ Psi _y} & = N \ end {align *} \]
Мы можем использовать любой из них, чтобы начать поиск \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \) путем интегрирования следующим образом.
\ [\ Psi = \ int {{M \, dx}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} \ Psi = \ int {{N \, dy}} \]
Однако нам нужно быть осторожными, поскольку это не даст нам точной функции, которая нам нужна. Часто не имеет значения, с какой из них вы работаете, в то время как в других задачах одна будет значительно проще, чем другая. В этом случае не имеет значения, какой из них мы используем, поскольку любой из них будет столь же простым.
Итак, воспользуемся первым.3} + h \ left (y \ right) \]
Обратите внимание, что в этом случае «константа» интегрирования на самом деле вообще не является константой, но вместо этого она будет функцией оставшейся переменной (переменных), в данном случае \ (y \).
Напомним, что при интеграции мы спрашиваем, какую функцию мы дифференцировали, чтобы получить функцию, которую мы интегрируем. Поскольку здесь мы работаем с двумя переменными и говорим о частичном дифференцировании по \ (x \), это означает, что любой член, содержащий только константы или \ (y \), отличался бы от нуля, поэтому нам нужно подтвердите этот факт, добавив функцию от \ (y \) вместо стандартной \ (c \).
Хорошо, у нас есть большая часть \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \), нам просто нужно определить \ (h (y) \), и мы закончим. 2} + 1 = N \]
Отсюда видно, что
\ [h ‘\ left (y \ right) = 2y + 1 \]
Обратите внимание, что на этом этапе \ (h (y) \) должен быть только функцией \ (y \), и поэтому, если в уравнении на этом этапе есть какие-либо \ (x \), мы где-то ошиблись и пора его искать.2} + 25 = 0 \]
При решении этого уравнения равен нулю при \ (x \) = –11.81557624 и \ (x \) = –1.396
3. Обратите внимание, что для решения этого уравнения вам потребуется некоторая вычислительная помощь. Вот график полинома под радикалом.
Итак, похоже, есть два интервала, где многочлен будет положительным.
\ [\ begin {array} {c} – \ infty
Однако напомним, что интервалы допустимости должны быть непрерывными интервалами и содержать значение \ (x \), которое используется в начальном условии.3} \]
Итак, как отмечалось выше, это линейное дифференциальное уравнение, которое мы знаем, как решить. 3} \ hspace {0.4} \ ln x \ end {выровнять *} \]
Обратите внимание, что мы опустили столбцы абсолютного значения на \ (x \) в логарифме из-за предположения, что \ (x> 0 \).
Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования. Это можно сделать одним из двух способов. Мы можем преобразовать вышеприведенное решение в решение в терминах \ (y \), а затем использовать исходное начальное условие или мы можем преобразовать начальное условие в начальное условие в терминах \ (v \) и использовать его.4} \ left ({1 + 16 \ ln \ frac {x} {2}} \ right)}} \]
Обратите внимание, что мы сделали небольшое упрощение в решении. Это поможет определить срок действия.
Однако, прежде чем найти интервал действия, мы упомянули выше, что можем преобразовать исходное начальное условие в начальное условие для \ (v \). Давайте вкратце поговорим о том, как это сделать. Для этого все, что нам нужно сделать, это вставить \ (x = 2 \) в подстановку, а затем использовать исходное начальное условие. {- \, \ frac {1} {{16}}}} \ hspace {0.{- \, \ frac {1} {{16}}}}
Вот график решения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение линейного уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение типа
\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]
, где \ (a \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) – непрерывные функции от \ (x, \), называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
Использование интегрирующего коэффициента;
Метод изменения постоянной.
Использование интегрирующего коэффициента
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]
интегрирующий коэффициент определяется по формуле
\ [{u \ left (x \ right)} = {\ exp \ left ({\ int {a \ left (x \ right) dx}} \ right).} \]
Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \ (u \ left (x \ right) \) преобразует левую часть в производную произведения \ (y \ left (x \ right) u \ left (x \ справа). \)
Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:
\ [y = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}}, \]
где \ (C \) – произвольная постоянная.
Метод вариации константы
Этот метод аналогичен предыдущему.Для начала необходимо найти общее решение однородного уравнения:
\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = 0. \]
Общее решение однородного уравнения содержит константу интегрирования \ (C. \). Заменим константу \ (C \) некоторой (пока неизвестной) функцией \ (C \ left (x \ right). \) By Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию \ (C \ left (x \ right). \)
Описанный алгоритм называется методом изменения константы.Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.
Задача начального значения
Если помимо дифференциального уравнения существует еще начальное условие в виде \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}, \), такая задача называется задачей начальной стоимости (IVP). или проблема Коши.
Частное решение для IVP не содержит константы \ (C, \), которая определяется подстановкой общего решения в начальное условие \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}.3}. \)
Решение.
Мы решим эту задачу, используя метод изменения постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения:
\ [xy ’= y, \]
, которую можно решить, разделив переменные:
\ [
{x \ frac {{dy}} {{dx}} = y, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{dy}} {y} = \ frac {{dx}} {x }, \; \;} \ Rightarrow
{\ int {\ frac {{dy}} {y}} = \ int {\ frac {{dx}} {x}}, \; \;} \ Rightarrow
{ \ ln \ left | у \ право | = \ ln \ left | х \ право | + \ ln C, \; \;} \ Rightarrow
{y = Cx.

Точка	х	y	Наклон ( dy dx )	dy dx – л х
А	0.6	-0,6	0	0 – -0,6 0,6 = 0 + 1 = 1
B	1,6	0	1	1 – 0 1,6 = 1 – 0 = 1
С	2,5	1	1.4	1,4 – 1 2,5 = 1,4 – 0,4 = 1

Диапазон \ (c \)	Поведение решения при \ (t \ to \ infty \)
\ (с \) <0	\ (y \ left (t \ right) \ to – \ infty \)
\ (с \) = 0	\ (y \ left (t \ right) \) остается конечным
\ (с \)> 0	\ (y \ left (t \ right) \ to \ infty \)

Диапазон \ (y_ {0} \)	Поведение решения как \ (t \ to \ infty \)
\ ({y_0} <- \ frac {{24}} {{37}} \)	\ (y \ left (t \ right) \ to – \ infty \)
\ ({y_0} = – \ frac {{24}} {{37}} \)	\ (y \ left (t \ right) \) остается конечным
\ ({y_0}> – \ frac {{24}} {{37}} \)	\ (y \ left (t \ right) \ to \ infty \)

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Примеры решения линейных дифференциальных уравнений й

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка [wiki.eduVdom.com]

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

1. Линейные уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Примеры решения задач

Задача 1

Задача 2

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Первый орден

Линейный

Ступеньки

Пример 1: Решите это:

Пример 2: Решите это:

Пример 3: Решить:

Дифференциальные уравнения –

Глава 2: Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения – Линейные уравнения

Раздел 2-1: Линейные дифференциальные уравнения

Процесс решения

Дифференциальные уравнения – разделяемые уравнения

Раздел 2-2: Разделимые уравнения

Дифференциальные уравнения – точные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Использование интегрирующего коэффициента

Метод вариации константы

Задача начального значения

Оставить комментарий Отменить ответ